Перенос тепла в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, доктор физико-математических наук Андреев, Валерий Филиппович

• Андреев, Валерий Филиппович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Андреев, Валерий Филиппович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА

§1. Общие вопросы построения градиентных алгоритмов для решения обратных задач теплообмена.

§2. Обратная задача восстановления коэффициентов переноса и правых частей для уравнений транспортной модели.

§3. Алгоритм решения обратной задачи для уравнения теплопроводности.

§4. Численная реализация градиентного алгоритма при решении обратных задач для уравнения теплопроводности.

§5. Учет эволюции равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы транспортных уравнений.

Выводы.

ГЛАВА II. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА, ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА И ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА ИЗ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

§1. Исследование единственности решения обратной задачи для восстановления коэффициентов переноса в плазме токамака.

§2. Восстановление коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака из анализа переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева.

§3. Вычисление коэффициента теплопроводности, скорости конвективного переноса и коэффициента электропроводности для системы транспортных уравнений.

§4. Восстановление коэффициента диффузии и скорости пинчевания частиц при импульсном напуске газа в токамаке Т-15.

Выводы.

ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦР НАГРЕВА

§ 1. Математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке.

§2. Численное исследование точности восстановления профиля ЭЦРН и коэффициентов переноса из решения обратных задач.

§3. Восстановление профиля ЭЦР мощности и коэффициентов переноса по эволюции мягкого рентгеновского излучения.

§4. Анализ переходного процесса после отключения ЭЦРН на основе локальной и нелокальной модели коэффициентов переноса.

Выводы.,.

ГЛАВА IV. АНОМАЛЬНО БЫСТРОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В ПЕРЕХОДНОМ ПРОЦЕССЕ ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦРН

§1. Скачок коэффициентов переноса после включения/отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX

Upgrade.

§2. Скачок потока тепла после включения центрального ЭЦР нагрева на токамаке Т-10.

§3. Самосогласованный профиль • давления и аномально быстрое изменение переноса тепла после включения/отключения ЭЦРН.

§4. Модель "песочной кучи" для описания аномально быстрого переноса тепла после включения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10.

Выводы.

ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ВНУТРЕННЕГО ТРАНСПОРНОГО БАРЬЕРА В ПЛАЗМЕ ТОКАМ АКА

§1. Улучшение удержания в центре плазмы после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10 и TEXTOR.

§2. Оптимизация условий формирования электронного внутреннего транспортного барьера на токамаке Т-10.

§3. Вычисление коэффициента теплопроводности в зоне ВТБ после включения дополнительного ЭЦР нагрева на Т-10.

§4. Связь между электронным ВТБ и самосогласованным профилем давления плазмы в токамаке.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перенос тепла в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве»

Изучение переноса тепла и частиц является важной задачей физики плазмы токамака особенно для будущих термоядерных реакторов. Исторически изучать транспорт начинали с вычисления таких глобальных величин, как время удержания энергии тЕ и время удержания частиц тг, которые могли быть измерены экспериментально. Это привело к созданию скейлингов для тЕ в терминах инженерных параметров (полный ток в плазме, тороидальное магнитное поле, большой и малый радиус плазмы, коэффициент запаса устойчивости на границе и т.д.).

С развитием диагностик стали изучать локальные характеристики переноса тепла и частиц. Транспортные модели баланса энергии и частиц в установках токамак впервые были предложены Ю.Н. Днестровским, Д.П. Костомаровым и группой французских физиков: Люком, Мерсье, Субрамайером в 1969 г. При своей относительной простоте они оказались чрезвычайно гибкими и удобными для изучения медленных, эволюционных процессов в тороидальной плазме. В настоящее время транспортные коды имеются во всех лабораториях, связанных с работами на установках токамак. Эти коды используются для анализа экспериментальных данных, планирования новых экспериментов, проектирования установок следующего поколения вплоть до термоядерных реакторов [1-3].

Основы классической теории переноса в аксиально-симметричных тороидальных системах были разработаны A.A. Галеевым и Р.З. Сагдеевым в 1967 г. [4]. Исторически эта теория получила название "неоклассической". Приставка "нео" появилась потому, что ее результаты существенно отличались от классической теории переноса в магнитном поле с прямыми силовыми линиями. Было показано, что усложнение конфигурации поля, и связанное с этим усложнение траекторий частиц, приводят к существенному увеличению коэффициентов переноса хТ° и ХТ° • Изменяется также характер их зависимости от частоты столкновений [5].

Однако расчеты энергобаланса на основе неоклассической модели коэффициентов переноса хТ° и хТ° и анализ экспериментальных данных, проведенные в 70-х годах показали, что результаты расчетов завышают электронную температуру и энергетическое время жизни плазмы в целом. Это указывает на существование потерь по электронному и ионному каналу, которые моделью не учитываются. В дальнейшем эти дополнительные потери были названы "аномальными".

Для согласования транспортной модели с экспериментом в нее включают аномальную теплопроводность электронов хТ и ионов хТ ■> т-е-формулы для потоков тепла электронов и ионов принимают следующий вид: ъ = -(хГ+хПп^, че = ЛхГ+хТ)п^- (В.1) др др

При этом величины аномальных коэффициентов хТ и хТ в различных режимах могут отличаться в несколько раз.

Физические причины аномального переноса связаны с турбулентностью плазмы. В ряде работ для объяснения этого явления привлекаются модели, основанные на различных неустойчивостях плазмы. В других работах используется более простой эмпирический подход. Поэтому задача нахождения коэффициентов переноса в плазме токамака до сих пор остается актуальной.

При разработке моделей коэффициентов переноса важную информацию дает анализ экспериментальных данных. Однако при обработке экспериментов возникают большие трудности. Например, анализ стационарных состояний позволяет получать достаточно надежную информацию об общем балансе тепла. Если тепловой поток содержит диффузионную и конвективную части, то восстановить каждую часть теплового потока на стационаре невозможно.

Можно анализировать распространение различного рода возмущений в плазме (пилообразные колебания, модуляция газонапуска, инжекция пеллеты, лазерная абляция примесей, модуляция нагрева и т.д.). Однако сами возмущения могут изменять коэффициенты переноса и, в результате находится реакция коэффициентов переноса на данное возмущение. К тому же при анализе возмущенных экспериментальных данных, как правило, используются различного рода упрощающие предположения, как о самих коэффициентах переноса, так и, например, линеаризация уравнения для описания эволюции возмущения. Такие упрощающие предположения могут также привести к неправильной трактовке экспериментальных данных.

Дополнительной сложностью при вычислении коэффициентов переноса из экспериментальных данных является то, что в плазме токамака существуют внутренние транспортные барьеры — узкие зоны, в которых коэффициенты переноса в несколько раз меньше коэффициентов переноса в других областях плазменного шнура. Такая радиальная зависимость коэффициентов переноса существенно усложняет использование стандартных методик анализа эксперимента.

Все эти трудности подчеркивают необходимость разработки новых математических моделей и методов анализа экспериментальных данных, которые позволили бы восстановить детальную радиальную и временную эволюцию коэффициентов переноса. При этом желательно использовать самые общие предположения, как о самих коэффициента переноса, так и об уравнениях, с помощью которых описывается распространение возмущения в плазме токамака.

Отметим, что в этом направлении очень перспективным подходом является решение обратных задач, которые позволяют восстановить коэффициентов переноса и источники нагрева на основе анализа различных переходных процессов. Именно развитию и применению этого подхода для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака уделяется основное внимание в диссертации.

Диссертация посвящена изучению переноса тепла и частиц в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве на основе решения обратных задач.

Целями диссертации являются:

- постановка обратных задач и разработка численных алгоритмов восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака для уравнений транспортной модели;

- решение обратных задач для широкого класса задач восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке;

- разработка математической модели для описания переходного процесса после включения и отключения электонно-циклотронного резонансного нагрева, которая включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса;

- экспериментальное исследование аномально быстрого изменения переноса в переходных процессах после включения и отключения электронно-циклотронного резонансного нагрева;

- экспериментальное исследование условий формирования электронного внутреннего транспортного барьера в плазме токамака;

Эффективный коэффициент теплопроводности можно вычислить по балансу тепла. В этом направлении были много сделано для анализа квазистационарных или стационарных транспортных уравнений, в которых связь между потоками и градиентами локальных величин задана через транспортные коэффициенты.

Отметим, что существуют экспериментальные факты, которые подтверждают, что представление, в котором связь между потоками и градиентами локальных величин линейна, является достаточно упрощенной картиной. Во-первых, даже в неоклассической теории потоки и градиенты связаны между собой через матрицу транспортных коэффициентов с недиагональными членами, влиянием которыми не всегда можно пренебречь. Во-вторых, не очевидно, что соотношение между потоками и градиентами должно быть линейным. В-третьих, может существовать нелокальный вклад в транспорт тепла и частиц.

В качестве другого подхода для вычисления коэффициентов переноса были предложены эксперименты по возмущению различных параметров плазмы [6]. Транспортный анализ эволюции плазменных параметров в переходных процессах, в котором изучается отклик плазмы на внешнее возмущение — экспериментально гораздо более трудоемкий, чем вычисления по балансу тепла, однако этот подход менее подвержен двусмысленным результатам. Применение небольших возмущений к плазме, находящейся на стационаре, позволяет, в принципе, достичь следующих результатов: 1) разделить отклик переноса тепла и частиц на изменение различных градиентов (температуры и плотности); 2) определить вклад недиагональных членов в матрицу транспортных коэффициентов; 3) вычислить раздельно диффузионный и конвективный вклад в общий транспорт тепла.

Коэффициенты переноса, найденные в результате анализа эволюции возмущения плазменных параметров, отличаются от коэффициентов переноса, вычисленных по балансу тепла — показано на рис.В. 1. пУТ

Р Д

Рис.В. 1. Различие между коэффициентом теплопроводности, х •> определяемым из анализа по балансу тепла и коэффициентом х'пс, определяемым из анализа эволюции возмущения плазменных параметров [6].

Отметим, что различие между коэффициентом %рв, определяемым из анализа по балансу тепла, и коэффициентом х'"°, определяемым из анализа эволюции возмущения плазменных параметров, будет именно в том случае, когда коэффициент теплопроводности х зависит от локальных параметров плазмы. Это означает, что связь между потоком тепла и градиентами локальных величин является нелинейной или, когда влияние недиагональных элементов в матрице транспортных коэффициентов является существенным.

Более важное отличие между анализом возмущения плазменных параметров и анализом по балансу тепла состоит в следующем: 1) можно воспроизвести эксперименты, в которых различные параметры плазмы и их градиенты, например, плотности и температуры, могут варьироваться независимо, в то время как при анализе по балансу тепла они имеют тенденцию быть связанными; 2) влияние различных членов в транспортных уравнениях может быть выделено за счет выбора временных констант возмущений относительно существенных транспортных процессов.

Перечислим наиболее распространенные экспериментальные техники для возмущения плазменных параметров.

1) Анализ распространения импульса тепла после срыва пилообразных колебаний температуры. В этом процессе начальное возмущение температуры имеет дипольный характер: отрицательное внутри радиуса переворота фазы rinv пилообразных колебаний температуры и положительное снаружи радиуса rmv. Анализ распространения максимума импульса тепла позволяет вычислить коэффициент %нрр (Heat Pulse Propagation).

2) Модуляция газонапуска. Контролируемые возмущения плотности плазмы можно получить с помощью периодического напуска газа на границе. Этот метод позволяет определить инкрементальные коэффициенты диффузии D"'c=ôr/dVn и конвекции У"с=дГ/дп. Впервые эти эксперименты проводились на установках Т-10 [7], TEXT [8], ASDEX [9], PLT [10], JET [11], Tore Supra [12] и JT-60U [13].

3) Инжекция пеллеты. При инжекции пеллеты источник частиц можно локализовать на периферии плазмы, что часто используется при изучении транспорта частиц. Данная методика позволяет одновременно анализировать эволюцию, как плотности, так и электронной температуры, что может дать интересную информацию о роли конвекции в уравнении теплопроводности. Впервые изучение транспорта при инжекции пеллеты проводилась на установках Alcator-C [14], JET [15], Tore Supra [16], T-10 [17].

4) Лазерная абляция примесей. Осуществляется инжекция небольшого количества примесей на границу плазмы за счет лазерной абляции, что приводит к увеличению радиационных потерь, охлаждению периферии плазмы и, соответственно, падению температуры плазмы на границе. Отметим, что при этом изменяется электронная температура на границе плазмы, а плотность и другие параметры, практически, не возмущаются. Распространение холодного фронта от границы к центру плазмы дает информацию об электронном переносе в токамаке. Впервые была предложена на TEXT [18] и TFTR [19].

5) Модуляция источника нагрева. Экспериментально возможны несколько различных вариантов модуляции источника нагрева. Это модуляция ионно-циклотронного резонансного нагрева (ICRF), которая была использована на JET [20]. Также применяется модуляция источника нейтральной инжекции (NB) [21]. Однако наиболее распространенной является модуляция электронно-циклотронного резонансного нагрева (ЭЦРН). Модуляция ЭЦРН является, практически, идеальным инструментом для изучения электронного переноса: а) ЭЦРН вкладывает мощность только в электронную температуру, положение источника нагрева хорошо локализовано и может легко изменяться; б) оба направления: от источника нагрева к оси плазмы и периферии плазмы могут быть использованы при транспортном анализе, так как импульс тепла распространяется в обе стороны; в) имеется большая свобода в выборе параметров модуляции: частоты модуляции, глубины модуляции и рабочего цикла. Эксперименты с модуляцией ЭЦРН для изучения электронного переноса впервые были выполнены на установках DIU [22], TFR [23], W7 [24], DITE [25] и RTP [26].

В настоящее время модуляция ЭЦР нагрева является одной из основных экспериментальных техник по возмущению электронной температуры и изучению электронного переноса в плазме токамака. Кратко можно сослаться на эксперименты, проведенные на установках Tore Supra [27], FTU [28], TJ-II [29], ASDEX Upgrade [30-32], DIII-D [33].

Отметим, что транспортный анализ данных, полученных с помощью экспериментов по возмущению параметров плазмы, привел к разработке соответствующего математического аппарата. Рассмотрим основные из них.

1) "Time-to-peatf' анализ. Для изучения распространения импульса тепла при пилообразных колебаниях была разработана специальная техника - "time-to-peak" анализ. При этом момент времени tP, когда приращение температуры Те достигает своего максимума, строится как функция малого радиуса. Используя аналитическую модель, в [34, 35] получена следующая формула для коэффициента теплопроводности /рр:

1 г2 - г2

Xttp -(В.2)

8 tP(r)

Модель предполагает цилиндрическую геометрию, постоянные х и плотность п и дипольное возмущение температуры Те.

Существуют несколько модификаций формулы (В.2), например, метод "time-to-pealC, основанный на численном моделировании. Это позволило найти приближенную формулу для коэффициента теплопроводности [36]:

Zttp=uP-Ä, иР = [dtp{r) / dr)~l, Л = д\пТ/дг. (В.З)

Отметим, что метод остается прежним - аналитическое решение

141 уравнения теплопроводности для приращения электронной температуры Те.

2) Фурье преобразование (Fast Fourier transform method) - наиболее универсальный метод, используемый для анализа периодического возмущения. Применяется, практически, для всех экспериментов, в которых происходит периодическая модуляция источника нагрева или частиц [20, 24, 37, 38].

Например, в случае модуляции ЭЦР нагрева измеряется электронная температура для нескольких точек по радиусу. В этом случае, можно применить Фурье преобразование для каждого канала измерения температуры и, соответственно, вычислить амплитуду и фазу возмущения температуры для нескольких гармоник. По найденным фазам и амплитудам возмущения температуры можно судить о скорости распространения тепловой волны и, соответственно, о коэффициентах переноса.

Отметим, что использование Фурье анализа и, полученных аналитических выражений для коэффициентов переноса в цилиндрической геометрии [20, 24, 37, 38], ограничено. Реальная геометрия может быть более сложной, например, плазма имеет вытянутое поперечное сечение. Решение также может зависеть от положения источника модуляции в области, где анализируется распространение импульса тепла. Поэтому, в этих случаях используются методы прямого численного моделирования.

3) Численное моделирование. Прямой метод анализа эксперимента — приближение экспериментальных данных на основе некоторой заданной модели транспорта. В этом подходе необходимо иметь численный код, который моделирует эксперименты с возмущением плазменных параметров. Информация, используемая в этих кодах типична: а) стационарные профили; б) равновесие плазмы; в) пространственная и временная зависимость источников нагрева и стоков; г) экспериментальная эволюция температуры и плотности, которую необходимо приблизить в расчетах.

Альтернативно используется подход, в котором измеряемая температура Т на двух радиусах г\ и Г2 используется, как зависящие от времени граничные условия, в то время как уравнение теплопроводности решается внутри области г\<г<гг [39, 40]. Преимущество этого подхода состоит в том, что область плазмы, которая не представляет интереса для изучения, исключается из рассмотрения и анализа.

4) Вычисление коэффициентов переноса из анализа переходного процесса. В последнее время широкое распространение получило исследование транспорта на временах гораздо меньших времени удержания энергии. В этом случае индуцируется переходный процесс одним из вышеперечисленных способов: включение и отключение ЭЦРН, однократная инжекция пеллеты, примесей и т.д. [41-43]. Далее анализируется релаксация плазменных параметров от одного стационарного состояния к другому, и вычисляются коэффициенты переноса (transient transport coefficients).

Таким образом, развито много методов анализа возмущенных величин и вычисления коэффициентов переноса. Однако проблема состоит в том, что в них используются разные предположения, как о виде потоков тепла и частиц, так и упрощающие предположения, например, линеаризация уравнения для температуры или плотности. Это может оказаться решающим фактором при обработке конкретного эксперимента. Поэтому разработка новых методов анализа для эволюции возмущенных величин и вычисления коэффициентов переноса при минимальном количестве дополнительных упрощающих предположений, является актуальной задачей.

В диссертации разработан новый подход анализа экспериментальных данных - восстановление коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака на основе решения обратных задач для системы транспортных уравнений. В этом подходе переходный процесс описывается транспортными уравнениями с неизвестными коэффициентами переноса и источниками, для вычисления которых формулируется обратная задача. При постановке обратной задачи используются самые общие предположения о коэффициентах переноса и правых частях, что позволяет обойтись минимумом упрощающих предположений. Из решения обратной задачи восстанавливается эволюция коэффициентов переноса и источники нагрева.

Отметим, что решение обратных задач при анализе экспериментов представляет значительные трудности. Обратная задача является некорректной, поэтому погрешность экспериментальных данных, которая всегда присутствует, играет большую роль. Решение таких некорректных задач требует разработки специальных методов и численных алгоритмов.

Основы теории некорректных задач - теории регуляризации - были заложены в 50-х - 60-х годах прошлого века в трудах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. Ее бурное развитие, в особенности после выхода работы А.Н. Тихонова [44], обусловлено, во-первых, постоянным расширением области практических приложений этой теории, во-вторых, резким увеличением возможностей вычислительной техники.

Разработка эффективных методов решения обратных задач позволила упростить экспериментальные исследования, повысить достоверность и точность получаемых результатов за счет усложнения алгоритмов обработки экспериментальных данных. Из методов решения некорректных обратных задач выделяется направление, называемое "итерационная регуляризация". В этом методе строятся регуляризирующие алгоритмы на основе различных итерационных методов минимизации функционала невязки, причем параметром регуляризации является номер итерации. Многие итерационные методы, в том числе градиентного типа, обладают определенной устойчивостью к погрешностям в исходных данных, но ошибки постепенно нарастают с ростом числа итераций. Поэтому получить устойчивые приближения можно, лишь прерывая итерационный процесс на некотором номере итерации, согласованном с погрешностями в исходных данных. Впервые эта идея была использована М.М. Лаврентьевым в [45].

Известно, что при решении некорректных задач более эффективными, по сравнению с методом простой итерации, являются градиентные методы минимизации функционала невязки, типа скорейшего спуска и сопряженных градиентов. Но исследование этих методов, применительно к некорректным постановкам, затрудняется их нелинейностью даже в случае линейных задач. Поэтому результаты по построению и обоснованию регуляризирующих итерационных алгоритмов на основе градиентных методов для уравнений с линейным оператором получены сравнительно недавно.

Сходимость градиентных методов при точных исходных данных рассмотрена в работах [46-49]. Построение регуляризирующих алгоритмов на их основе при наличии погрешностей в операторе и правой части, в том числе обоснование критериев невязки и обобщенной невязки дано в [50-52]. Вопросы учета априорной информации о решении в регуляризирующих градиентных алгоритмах рассмотрены в [53, 54].

Если итерационная регуляризация линейных некорректных задач изучена уже достаточно полно, то работ, в которых исследуются нелинейные задачи очень мало (отдельные результаты имеются в [55, 56]). В то же время, как показали вычислительные эксперименты, итерационные алгоритмы решения нелинейных некорректных задач, построенные формально по той же схеме, что и для линейных задач, оказываются вполне работоспособными.

Большой вклад в разработку итерационных алгоритмов решения нелинейных некорректных задач теплообмена внесли О.М. Алифанов,. Е.А. Артюхов и C.B. Румянцев [57]. В работе рассматриваются различные вычислительные аспекты применения метода итерационной регуляризации, связанные с определением градиента функционала невязки, построением модифицированных градиентных алгоритмов для решения многопараметрических задач, в том числе учитывающих качественную и количественную априорную информацию об искомых величинах.

Для выбора параметра регуляризации (номера итерации) используют критерий невязки или обобщенной невязки, соответствующие теоремы доказаны в [50-52, 57]. При этом необходимо знать вектор h}, где Ô — погрешность экспериментальных измерений, a h определяется погрешностью аппроксимации. Для вычисления ô необходима статистическая обработка экспериментальных данных. Часто имеющиеся экспериментальные данные не позволяют определить S с требуемой точностью. Поэтому на практике используются эвристические методы выбора параметра регуляризации, которые хорошо зарекомендовали себя при решении обратных задач теплопроводности (некоторые из них обсуждаются в [57]).

При решении некорректных задач качество получаемых приближений существенно зависит от того, насколько полно удалось учесть всю имеющуюся априорную информацию об искомом решении. Некоторые особенности учета априорной информации при решении коэффициентных обратных задач теплопроводности рассмотрены в [53, 54, 57].

Отметим, что при решении обратных задач теплопроводности, важную роль играет вопрос единственности решения: теоремы единственности гарантируют детерминированность решения и информативность эксперимента. Кроме того, в силу теоремы А.Н. Тихонова [58], теоремы единственности гарантируют устойчивость вычислительного процесса в случае, если решение обратной задачи теплопроводности ищется на некотором конечном классе функций. В работе [59] были рассмотрены теоремы единственности решения обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянными коэффициентами. Единственность решения обратных задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа изучалась также в [59-62].

В первой главе диссертации задача восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака формулируется, как обратная задача для системы транспортных уравнений. Применительно к задачам физики плазмы численно реализован градиентный алгоритм решения обратных задач на основе метода итерационной регуляризации.

В §1 обсуждаются общие вопросы применения метода итерационной регуляризации для решения некорректных обратных задач теплообмена: а) построение градиента функционала невязки; б) условия регуляризуемости итерационных методов; в) выбор параметра регуляризации; г) учет априорной информации о решении; д) модификация градиентных методов для решения многопараметрических задач.

Во втором параграфе формулируется обратная задача для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака по экспериментальным измерениям плотности, электронной и ионной температур. Эволюция плазменных параметров описывается транспортной моделью, которая включает в себя уравнения в частных производных для электронной температуры, ионной температуры, электронной плотности и полоидального магнитного поля с неизвестными коэффициентами переноса и источниками тепла и частиц.

В §3 главы I описывается градиентный метод минимизации функционала невязки для восстановления коэффициента теплопроводности, скорости конвекции и источника нагрева в уравнении для электронной температуры. При этом используется параметризация неизвестных величин. Для построения градиента функционала невязки, формулируется задача для приращения температуры и сопряженная краевая задача для сопряженной переменной. Осуществляется модификация градиентного метода наискорейшего спуска для решения многопараметрической задачи.

Четвертый параграф посвящен численной реализации градиентного метода минимизации функционала невязки в конечномерном пространстве, которое порождается разностной аппроксимацией исходного уравнения теплопроводности. Для этого в разностном виде формулируется задача для приращения температуры, сопряженная краевая задача для сопряженной переменной и выводится формула для градиента функционала невязки.

В §5 предлагается метод, позволяющий учесть эволюцию равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы уравнений транспортной модели. Метод основан на приближении электродинамическими моментами эволюции двумерного равновесия плазмы.

На основе разработанных методов и численных алгоритмов, изложенных в §1-§5 главы I, был создан численный код СОВЛА - решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением [63].

Во второй главе диссертации на нескольких модельных задачах изучается возможность восстановления коэффициентов переноса и правых частей при различных предположениях о функциональном виде неизвестных величин. Исследуется единственность восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в зависимости от погрешности в экспериментальных данных. Формулируется и решается несколько типов обратных задач актуальных в физике плазмы токамака.

Согласно имеющимся представлениям плазма в установках токамак представляет собой многофазную среду, определяемую топологией магнитного поля и степенью разрушенности магнитных поверхностей [64]. Можно выделить три-четыре зоны в плазме с сильно различающимися коэффициентами поперечной электронной теплопроводности. Положение границ раздела между зонами определяется самосогласованными процессами МГД-неустойчивости и переноса в плазме.

Обратные задачи по определению разрывных коэффициентов для уравнения теплопроводности на отрезке в декартовых координатах рассматривались в [59]. Показано, что для смешанной краевой задачи задание дополнительного теплового потока на левом конце, как непрерывной функции времени обеспечивает единственность восстановления коэффициентов. Доводы и численное исследование, проведённое в наших работах [65-67], показывают, что если имеются только измерения температуры в нескольких внутренних точках интервала в дискретные моменты времени, то разрывные коэффициенты определяются не единственным образом. Причиной единственности, полученной в [59] является именно переопределённость в граничных условиях, чего трудно достигнуть для задач физики плазмы.

В §1 рассматривается задача нахождения коэффициентов теплопроводности и конвективного переноса частиц в классе кусочно-постоянных функций, имеющей границу разрыва, которая также подлежит определению. Из эксперимента считается известной температура в ряде внутренних точек в некоторые моменты времени. Изучается одномерная задача для уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах [6567]. Так как экспериментальная информация задана с ошибкой, то одним из важных вопросов при решении обратных коэффициентных задач является исследование единственности решения. Этот вопрос подробно исследуется в данном параграфе.

Анализ экспериментов на установках токамак указывает на аномальную природу коэффициентов переноса. Однако, до сих пор структура теплового потока до конца не известна. Соотношение коэффициентов теплопроводности и конвекции обсуждалось [68], но пока неясно, насколько важную роль играет поток частиц в общей структуре теплового потока. Многие авторы пытаются решить эту проблему, анализируя распространения импульса тепла при малом возмущении плазменных параметров и используя линеаризованное уравнение теплопроводности [6, 69-71]

Во втором параграфе рассматривается новый метод восстановления структуры теплового потока, который основан на анализе переходных процессов с достаточно большой амплитудой возмущения плазменных параметров [72]. В этом случае используются нелинеаризованные транспортные уравнения. Коэффициенты переноса и источники нагрева восстанавливаются из решения обратной задачи для переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10.

Исследование обратной задачи восстановления коэффициентов переноса в плазме токамака в рамках только уравнения для электронной температуры проведено в наших работах [66, 67, 72]. В [72] указано на проблему одновременного восстановления источника омического нагрева и дополнительного ЭЦР нагрева плазмы. В работе вид источника омического нагрева задавался, как функция радиальной координаты и времени, а его амплитуда разыскивалась путем решения обратной задачи.

В §3 главы II рассматривается обратная задача восстановления коэффициентов теплопроводности, конвективного переноса и электропроводности в плазме токамака по экспериментальным измерениям температуры. Обратная задача формулируется для системы двух одномерных нелинейных параболических уравнений - электронной температуры и магнитного поля [73]. Источник омического нагрева находится из решения нелинейного уравнения диффузии магнитного поля, связанного с уравнением для температуры через зависимость коэффициента электропроводности от температуры. В результате проведенных исследований выяснено, в каких режимах удержания и нагрева плазмы важен учет уравнения для диффузии магнитного поля при восстановлении коэффициентов переноса.

Измерения потоков газа на границе и профилей плотности электронов на установках токамак показали, что диффузия частиц в плазме, так же как и теплопроводность, является аномальной. Однако детальный анализ баланса частиц в экспериментах оказывается гораздо сложнее баланса энергии.

Плотность электронов п(г,1) в обычных экспериментах имеет монотонный профиль с максимумом в центре плазменного шнура. В то же время источник частиц 8(г,1) является сильно скинированной функцией на границе. Эти факты можно согласовать следующим образом. В плазме токамака, наряду с диффузионным потоком частиц Го=-0„дг/бЬ, направленным наружу, должен существовать дрейфовый поток Гу=шрг> направленный внутрь плазменного шнура ("пинч частиц"). Полный поток частиц Гп равен их сумме. На стационарной стадии разряда потоки Г0 и Гу компенсируют друг друга в большей части сечения плазмы. Поэтому для их определения необходимо изучать нестационарные процессы. Наиболее распространенными нестационарными процессами, используемыми для нахождения потоков Г0 и Гу, являются переходные процессы, которые возникают при импульсном напуске газа [7-13, 74, 75] или инжекции водородных пеллет в плазму [14-17, 76].

В четвертом параграфе рассматриваются два алгоритма вычисления коэффициента диффузии и скорости линчевания частиц в плазме токамака при импульсном напуске газа [77]. Первый алгоритм учитывает знание стационарных распределений плотности до начала газонапуска и после окончания газонапуска, что дает возможность определения величины газонапуска. Для переходного процесса решается серия прямых задач и в результате определяются параметры, остававшиеся неизвестными.

Второй алгоритм определения коэффициента диффузии и скорости пинчевания частиц основан на решении обратной задачи, который работает при самых общих предположениях. Для описания переходного процесса после импульсного газонапуска записывается уравнение для эволюции электронной плотности, в котором неизвестными считаются коэффициент диффузии Д„ скорость пинчевания частиц и„, а также величина источника частиц & Для восстановления неизвестных величин формулируется и решается обратная задача.

Одним из основных инструментов исследования электронного переноса в плазме токамака является анализ распространения импульса тепла, который инициируется при модуляции источника нагрева. В этих экспериментах, как правило, используется ЭЦР нагрев [30-31, 78, 79]. Отметим, что анализ экспериментов с ЭЦР нагрев имеет свои специфические трудности, так как требует точного определения профиля мощности и места его вклада. Поэтому требуется разработка специальных моделей для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, а также моделей коэффициентов переноса для переходного процесса.

Для предварительных оценок места вклада и профиля ЭЦР мощности часто используют вычисления с помощью метода лучевых траекторий, например, по коду ТОКАУ [80]. Однако такой подход требует точного знания геометрии ввода инжектируемой ЭЦР мощности, а также распределения профиля температуры и плотности, что не всегда возможно в экспериментальных условиях.

Профиль ЭЦР мощности может быть найден, например, по скачку производной электронной температуры после включения/отключения нагрева. Однако шумы плазмы и регистрирующей аппаратуры не позволяют вычислить изменение производной электронной температуры на малом отрезке времени с достаточной точностью. В результате, вычисленный профиль ЭЦРН оказывается шире реального, что объясняется расплыванием профиля электронной температуры за счет эффекта теплопроводности [81].

Анализ экспериментов с модуляцией ЭЦР нагрева считается наиболее предпочтительным методом вычисления профиля ЭЦРН [81, 82]. Высокая частота модуляции и использование Фурье метода позволяет улучшить соотношение сигнал-шум в отклике электронной температуры на анализируемом отрезке времени. В другом методе используется специальный базис, что позволяет восстановить ЭЦР профиль с достаточно высокой точностью (БУБ-процедура) [83]. Однако для вычисления профиля ЭЦР мощности необходимы эксперименты с высокой частотой модуляции ЭЦР нагрева /„>1/(2ят) [81]. При этом также предполагается, что включение и отключение ЭЦРН не изменяет коэффициенты переноса.

Отметим, что очень перспективным подходом для нахождения профиля ЭЦРН является использование обратных задач, которые позволяют восстановить не только коэффициенты переноса, но и профиль ЭЦР нагрева.

В третьей главе диссертации разрабатывается математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, и анализируются две модели коэффициентов переноса - локальная и нелокальная. Исследуется точность восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР мощности в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Находится профиль ЭЦР нагрева, когда в качестве экспериментальной информации используются данные мягкого рентгеновского излучения.

В § 1 формулируется математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке [84, 85]. Модель включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности для электронной температуры и две модели коэффициентов переноса. Локальная модель - когда коэффициенты переноса зависят только от локальных параметров плазмы. Нелокальная модель - когда коэффициенты переноса могут изменяться в любом месте плазменного шнура, даже если локальные параметры плазмы в данном месте остаются неизменными.

Как уже отмечалось выше, обратные задачи являются некорректными, поэтому их использование при обработке экспериментов требует исследования единственности и точности восстанавливаемых величин в зависимости от погрешности экспериментальных данных.

Во втором параграфе анализируется точность восстановления профиля вложенной ЭЦР мощности, коэффициентов теплопроводности и скорости конвективного переноса в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Численные исследования позволили дать оценку точности восстановления искомых величин и сформулировать необходимые требования к измерениям электронной температуры. Найдены коэффициент теплопроводности, скорость конвективного переноса тепла и профиль ЭЦР нагрева, а также получены оценки точности их восстановления для серии экспериментов с нецентральным ЭЦР нагревом на токамаке Т-10 [86].

В §3 третьей главы рассматривается новый метод вычисления профиля вложенной ЭЦР мощности из экспериментальных данных на основе решения обратной задачи для уравнения теплопроводности [87-89]. Анализируется переходный процесс после отключения ЭЦР нагрева. Данный процесс рассматривается на конечном, но достаточно малом интервале времени. Небольшой отрезок позволяет пренебречь изменением интегральных параметров плазмы и записать нелинеаризованное уравнение теплопроводности в приращениях от стационарного состояния. В связи с тем, что измерения электронной температуры по 2-ой гармонике ЭЦИ не всегда имеют необходимое пространственное разрешение, для восстановления профиля ЭЦРН, то использовались данные рентгеновской диагностики, которые имели существенно лучшее пространственное разрешение [90, 91].

В четвертом параграфе анализируется переходный процесс после отключения нецентрального ЭЦР нагрева в установке Т-10 на основе двух моделей коэффициентов переноса — локальной и нелокальной. Показано, что локальная модель коэффициентов переноса не позволяет согласованно описать эволюцию электронной температуры в центре плазменного шнура и в области вложения ЭЦР мощности. В то время как нелокальная модель описывает переходный процесс с хорошей точностью. Показано, что в переходном процессе скачком изменяются коэффициенты переноса по всему сечению плазмы [84-85].

В четвертой главе диссертации изучается аномально быстрое изменение переноса тепла в переходных процессах после включения и отключения ЭЦР нагрева. Показано, что изменение коэффициентов переноса происходит за время tjump существенно меньше энергетического времени тЕ. (быстрее времени удержания энергии, вычисленного по балансу тепла tjump^tÈ)- Поэтому при изучении переноса тепла на диффузионных временах вводится термин — скачок коэффициентов переноса. В результате анализа экспериментальных данных обнаружена связь аномально быстрого переноса тепла и самоорганизации профиля давления в плазме токамака.

Имеются многочисленные эксперименты, подтверждающие быстрый (быстрее диффузионного времени, вычисленного по балансу энергии) отклик электронного транспорта на различные возмущения: 1) распространение пилообразных колебаний [92]; 2) импульсный центральный ЭЦРН на стеллараторе W7-AS [93]; 3) L-H и H-L переход на токамаке JET [94]; 4) инжекция примеси, охлаждающей периферию плазмы на TFTR [19, 95]; 5) периферийная инжекция пеллеты на RTP [41] и на Tore Supra [96]; лазерная абляция примеси и периферийная инжекция пеллеты на JET [42, 97].

Впервые этот эффект наблюдался при лазерной абляции примеси с охлаждением периферии плазмы на токамаке TEXT [98]. В этих экспериментах происходил рост центральной температуры, как отклик на охлаждение периферии плазмы. Эти эксперименты замечательны тем, что в них присутствует инверсия электронной температуры (температура на периферии падает, а в центре растет). Симметричный эффект наблюдался при нагреве периферии плазмы на TEXT [99] и импульсном ЭЦР нагреве на RTP [100].

В экспериментах с включением центрального ЭЦР нагрева на токамаке Т-10 был обнаружен аномально быстрый вынос тепла из зоны нагрева на периферию ("Ballistic effect") [101-105]. А в экспериментах с отключением нецентрального ЭЦР нагрева наблюдался обратный эффект — аномально быстрое уменьшение коэффициентов переноса по всему сечению плазмы (улучшение удержания энергии) [84, 85, 105].

В экспериментах [18, 98] два факта являются парадоксальными: 1) быстрое изменение локальных параметров плазмы на большом расстоянии от места возмущения, так называемый нелокальный отклик плазмы на внешнее воздействие; 2) нагрев плазмы в центре, как ответ на охлаждение периферии плазмы. При этом время задержки отклика на воздействие мс, что на порядок меньше, чем энергетическое время тЕ и на два порядка меньше, чем скиновое время перераспределения плотности тока т5. Поэтому нагрев в центре плазменного шнура нельзя объяснить эффектом пикирования плотности тока или изменением профиля примесей 2ф Дальнейшие исследования показали, что рост температуры в центре плазмы в этих экспериментах объясняется появлением внутреннего транспортного барьера.

Нелокальный отклик плазмы на внешнее воздействие можно объяснить, например, изменением электронной теплопроводности %е сразу по всему сечению плазмы за время задержки т^. В этом случае, для описания экспериментов [18, 98], необходимо чтобы Хе падало на 25-50% в центральной области плазмы и увеличивалось на границе. Эксперименты по нагреву периферии плазмы [99, 100], в которых наблюдается падение температуры в центре плазмы, можно объяснить быстрым изменением но в обратную сторону. Детальный анализ Ь-Н и Н-Ь переходов в [106] показал, что скачком должна изменяться не только величина Хе, но и величина хь В этом случае одного порядка и в случае охлаждения и в случае нагрева периферии плазмы.

Следует отметить, что физическая природа такого быстрого изменения коэффициентов переноса до сих пор не выяснена. Поэтому предлагаются различные модели коэффициентов переноса, позволяющие описать быстрые переходные процессы. В [107] охлаждение периферии плазмы и нагрев центра в экспериментах [18, 98] описывался на основе модели канонических профилей. Подробный обзор моделей, используемых для объяснения нелокального отклика плазмы на внешнее воздействие, можно найти в [108].

В [93, 109] показано, что результаты моделирования электронного транспорта, использующие локальную зависимость коэффициента теплопроводности от таких плазменных параметров, как электронная температура Тс и градиент температуры УГС, плохо согласуется с экспериментальными данными. Только моделирование переходного процесса с коэффициентом теплопроводности, зависящим от введенной мощности нагрева (глобального параметра) позволяет описать эксперимент с хорошей точностью. В наших работах [84, 85, 105] показано, что сразу после включения или отключения ЭЦР нагрева происходит скачок коэффициентов переноса за время т^„пр меньше 1 мс и далее происходит их медленная релаксация.

В первом и втором параграфе четвертой главы анализируются результаты двух серий экспериментов по исследованию аномально быстрого изменения переноса тепла в переходных процессах после включения и отключения ЭЦР нагрева на токамаке Т-10. На установке Т-10 имеется двухчастотная система гиротронов (130 ГГц и 140 ГГц), которая позволяет проводить различные эксперименты по изучению электронного транспорта в плазме токамака. Отметим, что характерное время выхода ЭЦР мощности на максимальное значение после включения гиротрона составляет -150-200 мкс, а время вывода ЭЦР мощности после отключения гиротрона ~50 мкс (питание от батарей системы "БЕТОН"). Поэтому в экспериментах удается сформировать крутой фронт роста электронной температуры, что позволяет исключить влияние изменения мощности источника нагрева при анализе быстрых переходных процессов.

В первой серии экспериментов одна группа гиротронов (140 ГТц) подавляла пилообразные колебания за счет нецентрального ЭЦР нагрева. После подавления пилообразных колебаний включался еще один гиротрон (130 ГТц) от БЕТОНа, который вкладывал мощность в центр плазмы.

В этих экспериментах было обнаружено, что за время много меньшее времени удержания энергии те, возникает аномальный поток тепла, за счет которого значительная часть ЭЦР мощности выносится из зоны центрального ЭЦР нагрева на периферию. Эксперименты показали, что аномальный поток тепла практически не зависит от локальных параметров плазмы (плотности, температуры и т.д.), а определяется, в основном, только величиной ЭЦР мощности. Сам поток тепла является, в основном, конвективным потоком частиц, который возникает после включения ЭЦР нагрева (известный эффект "density pump-out" [110, 111]). Коэффициенты переноса при этом возрастают в -10-20 раз за время не более tJump<50Q мкс при Т£~10 мс [102-104].

Во второй серии экспериментов изучалось распространение тепла в переходном процессе после отключения нецентрального ЭЦР нагревом, с помощью которого подавлялись пилообразные колебания. Был обнаружен обратный эффект - аномально быстрое уменьшение коэффициентов переноса по всему сечению плазмы (улучшение удержания энергии) [84, 85, 101, 105, 112]. Эти результаты были подтверждены анализом экспериментов на токамаках TEXTOR, ASDEX Upgrade [112-116].

В §1 приводятся результаты анализа сравнительных экспериментов по изучению переноса тепла в переходных процессах после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках TEXTOR, Т-10 и ASDEX Upgrade. Сначала анализируются результаты, полученные на Т-10 и TEXTOR. Для этого на обеих установках были проведены одинаковые эксперименты. С помощью нецентрального ЭЦР нагрева подавлялись пилообразные колебания, а после достижения стационара нагрев отключался. Отсутствие пилообразных колебаний позволяет проводить более надежный численный анализ экспериментальных данных и повысить точность решения обратных задач [84-85, 105, 112-114].

Восстановление коэффициентов переноса из решения обратных задач (код COBRA [63]) и анализ экспериментов по транспортному коду ASTRA [117] позволили сделать следующий вывод. Коэффициенты переноса уменьшаются примерно в 1,5-2 раза по всему сечению плазы (по сравнению со стадией ЭЦР нагрева), а в центральной части плазмы становятся даже ниже омического уровня.

Далее в параграфе представлены результаты анализа экспериментов по изучению переноса тепла после включения и отключения ЭЦРН на токамаке ASDEX Upgrade [115, 116]. Для этого использовались два различных подхода: 1) прямое моделирование с эмпирической моделью критического градиента для коэффициентов переноса [32, 118]; 2) решение обратных задач.

Таким образом, результаты сравнительного анализа экспериментов для трех различных установок позволили надежно обосновать вывод об аномально быстром изменении переноса тепла в переходном процессе после отключения нецентрального ЭЦР нагрева - коэффициенты переноса уменьшаются по всему сечению плазмы (отклик на внешнее воздействие).

Отметим, что скачок коэффициентов переноса на короткой временной шкале при включении и отключении ЭЦР нагрева может существенно исказить результат вычисления профиля ЭЦР мощности по экспериментальным данным. Эксперименты с нахождением вложенной ЭЦР мощности по изменению температуры выявили, так называемую проблему "дисбаланса мощности" ("missing power"). Было показано, что ЭЦР мощность, вычисленная по скачку производной электронной температуры в зоне нагрева меньше вложенной мощности. Так называемая проблема "дисбаланса мощности" при ЭЦР нагреве плазмы изучалась на токамаках FT-I [119], DITE [120], W7-A [121], TFR [23], RTP [122].

Второй параграф посвящен подробному изучению проблемы, так называемого, "дисбаланса мощности" при включении центрального ЭЦР нагрева в режимах с предварительно подавленными пилообразными колебаниями в токамаке Т-10. Обработка этих экспериментов на основе решения обратных задач позволила аккуратно вычислить вложенную ЭЦР мощность по скачку производной электронной температуры. В этих экспериментах был маленький коэффициент теплопроводности в центре плазмы перед включением центрального ЭЦР нагрева, а измерения электронной температуры проводились с хорошим пространственным и временным разрешением.

Анализ возможных причин "дисбаланса" вычисленной и измеренной ЭЦР мощности позволил сформулировать гипотезу, объясняющую данный эффект. После включения центрального ЭЦР нагрева возникает аномальный поток тепла из-за быстрого увеличения коэффициентов переноса. Характерное время изменения коэффициентов т}„шр~200-т-300 мкс. В результате появления аномального потока тепла ~2/3 ЭЦР мощности выносится из зоны нагрева на периферию. Дополнительные исследования показали, что возникает именно аномальный конвективный поток, который выносит частицы из зоны ЭЦР нагрева на периферию плазмы [102-104].

В середине 80-х годов экспериментально было показано, что плазма имеет тенденцию к самоорганизации. Это означает, что профили давления плазмы, которые получены в различных режимах и на разных токамаках, можно представить в виде одной типичной кривой. Эта кривая была названа самосогласованным или каноническим профилем давления [123, обзор 124 и литература в нем].

Заметим, что в некоторых работах рассматривается жесткость профиля температуры являющегося частным случаем самосогласованного профиля давления, когда плотность плазмы меняется слабо. Отметим также, что в некоторых работах рассмотрена концепция самосогласованных профилей, которая использует аналогию между профилями давления и плотности тока [124-126], т.е. Ре(рУрс(ОУуХр)0Х®)- Отметим, что при дополнительном нагреве или при генерации тока самосогласованный профиль давления в плазме восстанавливается быстрее, чем происходит выход на стационар профиля плотности тока из-за большой разности диффузионного и скинового времен.

Теоретически было показано, что самосогласованный профиль давления реализуется в соответствии с принципом минимума свободной энергии плазмы [127-129]. Под свободной энергией плазмы понимается энергия, связанная с различными плазменными неустойчивостями. По мере своего развития любая плазменная неустойчивость черпает энергию из соответствующего градиента, поэтому она размывает данный градиент, на котором развивается и, в результате, стабилизируется. Это означает, что в плазме формируется градиент давления, который соответствует наилучшему удержанию плазмы в данных условиях.

Для омических разрядов, в которых почти нет внешних сил (кроме граничных условий) в эксперименте pc(p)/pc(0)=¡(pyj(P). Этот профиль тока -наилучший с точки зрения минимума свободной энергии. При генерации тока или дополнительном нагреве у(рЖ0) будет только стремиться к этому профилю за счет возбуждения соответствующих неустойчивостей и увеличения переноса, но не достигает его. Поэтому, как правило, удержание в омическом режиме лучше, чем при дополнительном нагреве.

В наших работах [130-135] на большой экспериментальной базе данных было подтверждено существование самосогласованного профиля давления, P^(r)=P(r, i)IPo(t), где Р0 величина давления в центре плазмы, или в другой выбранной точке. Исследовались режимы с разной плотностью, вплоть до предельной, разным током, стационарные и переходные процессы, омические и режимы с разными методами дополнительного нагрева: ЭЦР нагревом, нейтральной инжекции (NBI), комбинированным (NBI+ЭЦРН); на токамаках с круглым и вытянутым поперечным сечением: Т-10, TEXTOR, RTP, JET, DIII-D, ASDEX Upgrade, MAST.

В §3 главы IV эксперименты с центральным и нецентральным ЭЦР нагревом объясняются на основе самоорганизации плазмы, приводящей к существованию самосогласованных профилей давления в токамаке. Локальный нагрев стремится исказить самосогласованный профиль давления, поэтому в плазме возникают дополнительные потоки тепла, которые приводят к восстановлению самосогласованного профиля. Например, при быстром росте центральной электронной температуры, вызванным ЭЦР нагревом, плотность в зоне нагрева должна спадать, так как именно дополнительный конвективный поток частиц позволяет обеспечить сохранение самосогласованного профиля давления [132-136].

Разработка моделей переноса, позволяющих описать, наблюдаемое в экспериментах, аномально быстрое распространение тепла в переходных процессах является актуальной задачей. Для создания таких моделей необходимо использовать фундаментальные механизмы, которые могут определять перенос тепла в плазме токамака. Одним из таких механизмов, может быть механизм, который обеспечивает сохранение самосогласованных профилей давления в плазме токамаке. Поэтому экспериментальный факт существования самосогласованных профилей в плазме токамака часто используют для создания моделей электронного переноса в плазме токамака.

Обычно построение модели переноса тепла разбивается на два этапа: 1) сначала, каким-либо образом, определяется или вводится критический градиент электронной температуры или давления; 2) потом эта величина используется для построения модели коэффициентов переноса. Например, такой подход осуществлен в эмпирической модели переноса тепла на основе критического градиента электронной температуры [32, 118, 137]. В работе [107] описание быстрого нелокального переноса проводилось на основе модели канонического профиля для температуры, который находился из минимума свободной энергии [127].

В другом подходе для описания переноса тепла используется концепция сомоорганизованной критичности (СОК) [138]. В приближении СОК предполагается существование критического параметра, при превышении которого система перестает быть устойчивой. Таким образом, задается направление процессу самоорганизации: достичь минимально устойчивого состояния из всех возможных устойчивых состояний. Концепция СОК пытается описать динамику переноса тепла безотносительно к механизмам локальных флуктуаций. Поэтому, динамику таких систем можно исследовать численно при помощи модели клеточного автомата, разработанного для описания динамики песочной кучи [138-140]. Применимость модели "песочной кучи" (МПК) для описания переноса тепла в плазме токамака была рассмотрена в работах [139-141].

В четвертом параграфе приведены результаты применения МПК для описания формирования критического градиента профиля температуры в омическом режиме и аномально быстрого распространения тепла из зоны нагрева на периферию после включения центрального и нецентрального ЭЦР нагрева. Проведенные сравнения с экспериментом показали хорошее согласие результатов моделирования и экспериментальных данных [142].

В середине 90-х годов в плазме токамака были обнаружены локальные зоны с улучшенным удержанием [143]. Эти зоны называются внутренние транспортные барьеры (ВТБ), и они могут влиять на перенос тепла, как в электронной, так и в ионной компоненте. Под барьером понимается зона с .локально низкими коэффициентами переноса и повышенным градиентом электронной или ионной температуры. То есть зона с повышенным градиентом давления VP, который может быть вычислен из профиля электронной и ионной температуры Те, Т, и плотности пс.

После открытия ВТБ на многих токамаках проводились эксперименты по исследованию их свойств (например, обзоры и ссылки в них [144, 145]). В настоящее время на многих больших и малых токамаках изучается феномен формирования ВТБ и внешнего транспортного барьера (Н-мода).

Отметим, что для будущего токамака-реактора ITER очень важно понимание процессов, ответственных за формирование барьера, которые в данный момент выражаются в форме скейлинга относительно вкладываемой мощности. Наличие барьеров в ITER желательно и ими необходимо уметь активно управлять. Существующие эксперименты должны исследовать это явление и дать выводы о возможностях управления ВТБ на ITER.

Однако попытки экстраполировать характеристики ВТБ, наблюдаемые в современных токамаках, на параметры ITER не имели успеха. Например, скейлинги по пороговой мощности, которая необходима для формирования ВТБ у различных авторов значительно отличаются между собой [145]. Это не удивительно, так как в этих скейлингах используются произведения локальных параметров плазмы в некоторой степени, в то время как фактические процессы зависят от их профилей, точнее от их градиентов.

Поэтому важно понять физику основных процессов и выяснить необходимые условия для формирования ВТБ. Для этого нужны хорошо интерпретируемые эксперименты. Например, разряды с нагревом и генерацией тока на электронно-циклотронном резонансе отлично подходят для этого. В последнее время накопился большой объем экспериментальной информации по удержанию электронной компоненты плазмы, и, в частности, по формированию ВТБ в плазме токамака при ЭЦР нагреве на следующих установках: Т-10 [105, 112, 114, 146-149], RTP [150], TEXTOR [112-114, 148, 151, 152], TCV [153], ASDEX Upgrade [154], DIII-D [155].

Для понимания физических механизмов образования ВТБ и Н-моды необходимо найти и сформулировать необходимые и достаточные условия их формирования. Проведенные эксперименты на многих установках показали, что существуют три основных фактора, ответственных за формирование транспортного барьера.

Фактор 1. Профиль запаса устойчивости q(r) и абсолютная величина q в зоне барьера. В работах [143, 146, 150, 156-158] было показано, что обычно ВТБ формируется в области, где dq/dr^O, а величина q находится вблизи рациональной поверхности {q—mlrí). Здесь тип полоидальное и тороидальное модовые числа. Оказалось, что формирование барьера и образование зоны локально низкого переноса происходит более эффективно в области с низкими тип. Показано, что характеристики ВТБ зависят от присутствия или отсутствия отрицательного магнитного шира S -rlq-dqldr внутри центральной зоны плазменного шнура, но транспортный барьер может появиться в любом из этих случаев [143, 146].

Фактор 2. Градиент профиля давления VP. Можно утверждать, что если удается создать зону, где градиент профиля давления VP достигает некоторого критического значения, то в этой области формируется ВТБ [155, 158, 159]. Это означает, что для формирования ВТБ необходимо вложить достаточно мощности внутри зоны, где необходимо создать ВТБ.

Фактор 3. Локальное радиальное электрическое поле Ег. Согласно теории, если в плазме появляется зона с повышенным дрейфовым вращением Ex.В и достаточным радиальным шировым потоком, то некоторые моды будут стабилизированы (в особенности ITG-мода), что приводит к улучшению удержания [160]. Численное моделирование подтверждает это [161, 162].

В ранних экспериментах по изучению ВТБ использовалась нейтральная инжекция (М31), которая вносит угловой момент вращения в плазму, и, поэтому, фактор 3 был принят, как общий для объяснения этого феномена. Однако в более поздних экспериментах при нижнем гибридном нагреве и с ЭЦР нагревом было показано, что ВТБ формируется и без внесения в плазму углового момента вращения. Хотя большое локальное электрическое поле Ег и наблюдалось в зоне барьера, однако нельзя однозначно утверждать, что именно оно является истинной причиной формирования ВТБ [163].

Существование отрицательного магнитного шира 5 в центральной области плазмы также не является необходимым условием для формирования ВТБ. Многие эксперименты показали, что ВТБ может возникать и при положительном магнитном шире £ в центральной зоне плазмы. Однако при этом зона положительного, но маленького магнитного шира 5" должна находиться вблизи рациональной поверхности.

Возникает вопрос, можно ли утверждать, что это условие является необходимым? Или может быть все три фактора взаимосвязаны и ответственны за формирование ВТБ и каждый влияет на другой фактор? Для прояснения данной ситуации, необходимы эксперименты, в которых удается сформировать ВТБ, варьируя только профиль запаса устойчивости д(г) без изменения вкладываемой мощности нагрева.

Первоначально изучение роли профиля запаса устойчивости на формирование электронного ВТБ проводилась в экспериментах с быстрым подъемом тока при ЭЦР нагреве в токамаке Т-10 [147]. Было показано, что в зависимости от места вклада ЭЦР мощности относительно поверхности д=1, можно получить режимы или только с ВТБ или только с Н-модой или режимы, в которых одновременно присутствуют ВТБ и Н-мода. При этом профиль запаса устойчивости и величина производной dqldr вблизи рациональной поверхности являются важными факторами, влияющими на формирование электронного ВТБ. Даже небольшие изменения в профиле д(г) эффективно влияют на образование ВТБ, если соответствующий профиль запаса устойчивости д(г) при этом был сформирован.

Вскоре после того как ВТБ был обнаружен в JT-60U [143] существование нескольких ВТБ областей, иногда очень узких, около поверхностей с рациональным q низкого порядка было найдено в экспериментах на RTP [150]. Ранние эксперименты с ЭЦР генерацией тока на Т-10 [146] также подтвердили важность профиля запаса устойчивости q(f) на формирование внутреннего транспортного барьера.

В наших экспериментах на Т-10 было показано, что даже небольшое уменьшение dq/dr около рациональной магнитной поверхности приводит к очевидному формированию электронного ВТБ [147, 163].

В пятой главе диссертации обсуждаются условия формирования электронного ВТБ в плазме токамака. Изучается влияние профиля запаса устойчивости q{r) на формирование электронного ВТБ в токамаках Т-10 и TEXTOR в экспериментах с ЭЦР нагревом. Приведены результаты различных экспериментов с ЭЦРН и их анализ, позволяющие выявить основные параметры, влияющие на формирование электронного ВТБ.

В §1 анализируется очень интересное явление, тесно связанное с вышеупомянутыми результатами, которое впервые получено автором в режимах с нецентральным ЭЦРН в токамаке Т-10 [147]. После отключения ЭЦРН электронная температура Те в центре плазмы падала не сразу, как это должно быть, если коэффициенту постоянен во времени для всей плазмы. В экспериментах центральная температура Те оставалась постоянной в течение нескольких десятков миллисекунд, и только потом начинала падать. Иногда наблюдалось увеличение температуры в центре плазмы. Отметим, что длительность задержки спада температуры может составлять несколько времен удержания энергии тЕ. Тот факт, что центральная температура остается постоянной в течение некоторого времени после отключения ЭЦРН, в то время как температура вдали от центра уменьшается и, следовательно, градиент электронной температуры VTe увеличивается, при постоянной мощности внутри центральной зоны плазмы (только омической), означает, что коэффициенты переноса должны уменьшаться [105, 112, 114, 147, 148].

Для аналогичных разрядов на токамаке TEXTOR была также получена N задержка спада центральной электронной температуры, однако ее длительность не превышала ~lxi£, что объясняется не совсем оптимальными условиями вклада нецентральной ЭЦР мощности [113, 115, 148, 151].

Анализ этого явления показал, что длительность задержки спада центральной температуры зависит от величины локального магнитного шира S около рациональной поверхности q=\, который при этом близок к нулю. Измерения флуктуаций плотности в транспортном барьере корреляционным рефлектометром [114], а также численное моделирование эволюции турбулентности [149] показали, что сразу после отключения ЭЦР нагрева уровень флуктуаций снижается, что подтверждает выводы о формировании электронного ВТБ.

Таким образом, улучшение удержания внутри зоны электронного ВТБ, который был сформирован после отключения нецентрального ЭЦРН, подтверждает тот факт, что для образования ВТБ основным фактором является профиль запаса устойчивости вблизи q~ 1. Отметим, что профиль запаса устойчивости вблизи рациональной поверхности является как бы "затравочным" механизмом в образовании электронного ВТБ. Дальнейшее развитие внутреннего транспортного барьера определяется градиентом давления или температуры в данном месте. Такой градиент давления может быть создан, например, введением дополнительной мощности нагрева внутри зоны ВТБ, или отключением дополнительного нагрева снаружи от зоны ВТБ.

Во втором параграфе приведены результаты экспериментов по оптимизации условий формирования электронного ВТБ при отключении нецентрального ЭЦРН. При фиксированных параметрах плазмы от импульса к импульсу изменялось тороидальное магнитное поле, что приводило к смещению вклада ЭЦР мощности относительно поверхности q-1. Показано, что при увеличении расстояния между поверхностью q=1 и вкладом ЭЦР мощности увеличивается задержка спада центральной температуры после отключения ЭЦРН. Отметим, что при этом, по-видимому, уменьшается магнитный шир S в районе рациональной поверхности q= 1 за счет уплощения плотности тока между д= 1 и местом вклада мощности. Численные расчеты, проведенные по коду АЭТКА, подтвердили это предположение.

Были найдены оптимальные условия для формирования электронного ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева. Изучение свойств электронного ВТБ проводилось с помощью инжекции углеродной пеллеты и включения дополнительного центрального ЭЦР нагрева в разряд с подавленными пилообразными колебаниями на токамаке Т-10.

В §3 главы V приводятся результаты экспериментов с включением дополнительного центрального и нецентрального ЭЦР нагрева в режимах с предварительно подавленными пилообразными колебаниями. Анализируется распространение тепла после включения дополнительного нагрева. Оценки коэффициента теплопроводности дают низкую величину коэффициента теплопроводности в зоне электронного ВТБ [164, 165]. Таким образом, именно нецентральный ЭЦР нагрев создает необходимые условия для формирования электронного ВТБ - низкий магнитный шир & в окрестности рациональной поверхности.

Для описания экспериментальных профилей электронной температуры в омическом режиме и с ЭЦР нагревом на токамаке ЮР в работе [166] предложена модель, в которой на каждой резонансной поверхности q=mln имеется электронный транспортный барьер (локальный минимум коэффициента теплопроводности).

В теоретической работе [167] предложена модель, в которой для квазилинейных и строго локализованных возмущений турбулентные транспортные коэффициенты представлялись в виде суперпозиции локальных коэффициентов, порожденных изолированными винтовыми модами. Показано, что на каждой рациональной поверхности имеется зона с минимумом коэффициента теплопроводности, а величина и ширина этой области определяются плотностью рациональных поверхностей в этом месте.

В некоторых теоретических работах [168-171] утверждается, что основные неустойчивости плазмы, которые развиваются в окрестности рациональных поверхностей, формируют турбулентные ячейки. Ячейки мод с различными тип могут перекрываться, и это может быть причиной аномального переноса. Плотность рациональных поверхностей можно рассчитать теоретически. Как отмечалось в [169], в окрестности рациональных поверхностей низкого порядка существуют промежутки без каких-либо рациональных поверхностей, если ограничить максимальные значения т. В этих промежутках турбулентные ячейки физически разделены, что приводит к низкому уровню переноса.

В четвертом параграфе рассмотрена и обсуждена гипотеза о промежутках между турбулентными ячейками в окрестности рациональных поверхностей с низким коэффициентом запаса устойчивости, позволяющая объяснить представленные экспериментальные результаты [162].

Экспериментальные исследования ВТБ показали, что в зоне ВТБ градиент давления может значительно превосходить градиент, который следует из самосогласованного профиля давления. Поэтому, кажется, что существование ВТБ находится в противоречии с самосогласованным профилем давления [79, 124, 131]. Естественно возникает вопрос, какая связь существует между самосогласованным профилем и ВТБ? Являются ли они двумя независимыми экспериментальными фактами, или они взаимосвязаны?

В §4 пятой главы обсуждаются различные причины образования электронного ВТБ, а также исследуется взаимосвязь между ВТБ и самосогласованным профилем давления. Представлена экспериментальная информация, накопленная на токамаках Т-10 и TEXTOR, и предложено объяснение основных особенностей наблюдаемых явлений. Приводятся аргументированные доводы в пользу необходимости одновременного сосуществования обоих явлений [139, 135, 172-174]. Показано, что радиальное распределение коэффициентов переноса в плазме определяется необходимостью поддержания самосогласованного профиля давления при различных внешних воздействиях [135, 172-174].

В заключении сформулированы основные выводы диссертации.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Андреев, Валерий Филиппович

Выводы

При исследовании условий образования электронного ВТБ в плазме токамака найдены факторы, влияющие на формирование ВТБ. Влияние этих факторов было изучено, а их роль подтверждена в экспериментах.

1) Показано, что величина и профиль запаса устойчивости q(r) вблизи рациональной поверхности в режимах нецентральным ЭЦР нагревом является одним из основных факторов, влияющим на образование электронного ВТБ.

2) Создание вблизи рациональной поверхности области, где dq/dr^O, позволяет формировать ВТБ внутри этой области наиболее эффективно.

Получены режимы с электронным ВТБ на токамаках Т-10 и TEXTOR при отключении нецентрального ЭЦР нагрева.

1) Показано, что после отключения нецентрального ЭЦР нагрева, в режимах с подавленными пилообразными колебаниями, формируется зона с улучшенным удержанием в центре плазменного шнура.

2) В результате численных расчетов показано, что после отключения нецентрального ЭЦР нагрева происходит уменьшение магнитного шира S=r/q-dq/dr за магнитной поверхностью q-\.

3) За счет оптимизации места вложения нецентрального ЭЦРН получено улучшение удержания в центре плазмы в течение =80 мс, что составляет 2-3 времени удержания энергии в омическом режиме.

4) Показано, что положения ВТБ, образующихся после отключения нецентрального ЭЦРН, ВТБ после инжекции пеллеты, ВТБ после включения центрального ЭЦРН совпадают. Это подтверждает тот факт, что именно профиль запаса устойчивости q, который был сформирован нецентральным ЭЦРН, является необходимым условием для формирования ВТБ.

При исследовании связи самосогласованного профиля давления и электронного ВТБ продемонстрирована возможность их совместного существования.

1) Показано, что изменение коэффициентов переноса определяется необходимостью поддержания самосогласованного профиля давления в плазме токамака при различных внешних воздействиях.

2) Гипотеза об уменьшении плотности магнитных поверхностей в окрестности рациональной поверхности с низкими числами тип может быть ключом к объяснению формирования электронного ВТБ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были получены следующие основные результаты.

Впервые задача восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака сформулирована, как обратная задача для системы транспортных уравнений. Разработана математическая модель для описания переходного процесса после включения и отключения ЭЦР нагрева, которая включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса.

Реализован численный метод решения обратных задач восстановления распределенных параметров в плазме токамака, включающий в себя градиентный алгоритм минимизации функционала невязки на основе метода итерационной регуляризации, параметрическое представление искомых величин и согласование разностных аппроксимаций уравнений на каждом этапе численного алгоритма. Предложен метод, позволяющий учесть эволюцию равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением, при решении обратной задачи для системы транспортных уравнений.

Впервые при исследовании переноса тепла и частиц в плазме токамака использован подход, основанный на решении обратных задач при анализе различных переходных процессов.

Проведено исследование единственности и точности решения обратных задач в зависимости от структуры функционала невязки и погрешности экспериментальных данных. Показано, что структура функционала невязки в задаче диффузия-конвекция имеет вытянутые овраги и, что погрешность во входных данных приводит к неединственности решения обратной задачи. Найдены условия, при которых из решения обратной задачи однозначно восстанавливается структура теплового потока -его диффузионная и конвективная части. Определена зависимость точности восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР нагрева от погрешности в измерениях электронной температуры. Восстановлены коэффициенты переноса и профиль ЭЦР нагрева для серии импульсов на токамаках Т-10, TEXTOR, ASDEX Upgrade.

Поставлена и исследована обратная задача восстановления коэффициента теплопроводности, скорости конвекции и электропроводности

273 I 1 в плазме токамака для системы транспортных уравнений. В результате проведенных исследований выяснено, в каких режимах удержания и нагрева плазмы важен учет уравнения для диффузии магнитного поля при восстановлении коэффициентов переноса.

Сформулирована и изучена обратная задача восстановления коэффициента диффузии, скорости пинчевания и источника частиц по локальным измерениям электронной плотности плазмы. Восстановлен коэффициент диффузии, скорость пинчевания и источник частиц при импульсном напуске газа на токамаке Т-15.

Предложен и реализован новый метод вычисления профиля ЭЦР мощности из экспериментальных данных на основе решения обратной задачи для переходного процесса после включения и отключения нагрева. Для определения профиля ЭЦР мощности и коэффициентов переноса использована интегральная (а не локальная) информация - хордовые измерения мягкого рентгеновского излучения. Проведенные численные расчеты и сравнение с существующими методами вычисления профиля ЭЦР мощности показало его высокую точность и эффективность.

Показано, что в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева возникает аномально быстрое изменение переноса тепла за время tjump гораздо меньше времени удержания энергии тЕ. Получено, что после отключения нецентрального ЭЦР нагрева скачком уменьшаются коэффициенты переноса по всему сечению плазмы, а после включения центрального ЭЦР нагрева возникает дополнительный конвективный поток тепла, выносящий тепло из зоны нагрева на периферию. Результаты подтверждены анализом многочисленных экспериментов на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX Upgrade.

Показано, что используя гипотезу сохранения самосогласованного профиля давления в плазме токамака можно объяснить аномально быстрое изменения переноса тепла после включения/отключения ЭЦР нагрева. В этом случае, изменение коэффициентов переноса по всему сечению плазменного шнура после включения и отключения ЭЦР нагрева определяется необходимостью поддержания самосогласованного профиля давления в плазме токамака при различных внешних воздействиях.

На основе экспериментальных исследований показано, что величина и профиль запаса устойчивости q(r) вблизи рациональной поверхности в режимах с нецентральным ЭЦР нагревом является одним из основных факторов, влияющим на образование электронного ВТБ в плазме токамака. Создание вблизи рациональной поверхности области с dqldr^0 позволяет формировать электронный ВТБ внутри этой области наиболее эффективно.

Получены режимы с электронным ВТБ после отключения нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10 и TEXTOR. Показано, что в режимах с подавленными пилообразными колебаниями после отключения нецентрального ЭЦР нагрева формируется зона с улучшенным удержанием в центре плазмы. За счет оптимизации места вложения нецентрального ЭЦР нагрева удалось улучшить удержание в центре плазмы на токамаке Т-10 и поддерживать это состояние в течение ~80 мс, что в 2-3 раза превосходит время удержания энергии в омическом режиме.

Создан код COBRA - решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением. Код использовался для анализа экспериментов на токамаках Т-10, T-15,TCV, TEXTOR, DIII-D, ASDEX Upgrade, JET.

Автор выражает свою глубокую благодарность Ю.Н. Днестровскому и К.А. Разумовой за постоянное внимание к работе, обсуждение постановок задач и результатов экспериментов. Автор благодарен А.В. Сушкову за проведение многочисленных совместных экспериментов. Автор выражает глубокую признательность A.M. Попову (МГУ им. М.В. Ломоносова) за обсуждения постановок задач, ценные замечания и обсуждение результатов расчетов. Автор выражает благодарность экспериментаторам и сотрудникам отдела Т-10 (ИФТ), результаты труда которых использовались в данной работе, а также сотрудникам теоретического отдела (ИФТ) за многочисленные плодотворные обсуждения результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Андреев, Валерий Филиппович, 2010 год

1. Merrier С., Soubbaramayer. Numerical models for plasma evolution in tokamak devices // Proc. 5th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Grenoble. 1972. - V.2. - P. 157-169.

2. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. В кн.: Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир. - 1974. - С.483-506.

3. Хоган Дж.Т. Многокомпонентные модели переноса в токамаке. — В кн.: Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир. 1980. - С. 142-177.

4. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Явление переноса в разреженной плазме в тороидальных магнитных ловушках // ЖЭТФ. 1967. - Т.53. - С.348-350.

5. Hirshman S.P., Hawryluk R.I., Birge В. Neoclassical conductivity of tokamak plasma // Nuclear Fusion. 1977. - V.17. - P.611-614.

6. Lopes Cardozo N.J. Perturbative transport studies in fusion plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 1995. - V.37. - P.799-852.

7. Bagdasarov A.A., et al // Nuclear Fusion Suppl. 1985. - V.l. - P.181.

8. Gentle K.W., Richards B. and Waelbroeck F. A measurement of hydrogen ion transport parameters in tokamak discharges // Plasma Phys. Control. Fusion. -1987. V.29. - P. 1077-1092.

9. DeHaas J.C.M., et al // Proc. Workshop on Local Transport Studies in Fusion Plasmas (Varenna 1993). Bologna: Societa Italiana di Fisica. 1994. -P.175.

10. Gondhalekar A., Cheetham A.D., DeHaas J.C.M., Hubbard A., O'Rourke J. and Watkins M.L. Simultaneous measurements of electron thermal and particle transport in JET // Plasma Phys. Control. Fusion. 1989. - V.31. P.805-812.

11. Moret J-M. and Equipe TORE SUPRA. Tokamak transport phemenology and plasma dynamic response // Nuclear Fusion. 1992. - V.32. - P.1241-1259.

12. Kapralov V.G., Khlopenkov K.V., Kuteev B.V. and Svoiskaya M.L. // Proc. Workshop on Local Transport Studies in Fusion Plasmas (Varenna 1993). Bologna: Societa Italiana di Fisica. 1994. - P. 169.

13. Jahns G.L., Wong S.K., Prater R., Lin S.H., Ejima S. Measurement of thermal transport by synchronous detection of modulated electron cyclotron heating in the Doublet III tokamak // Nuclear Fusion. 1986. - V.26. - P.226-231.

14. The electron cyclotron resonance experiment on TFR. TFR Group and FOM-ECRH team // Nuclear Fusion. 1988. - V.28. - P. 1995-2025.

15. Hartfuss H.J., Maassberg H., Tutter M. and W7-A team. Evaluation of the local heat conductivity coefficient by power modulated electron heating in the Wendelstein VII-S stellarator // Nuclear Fusion. 1986. - V. 26. - P.678-684.

16. Eguilior S., Castejon F., de la Luna E., Cappa A., Likin K., Fernandez A. and TJ-II Team. Heat wave experiments on TJ-II flexible heliac // Plasma Phys. Control. Fusion. 2003. -V. 45. - P. 105-120.

17. Callen J. D. and Jahns G. L. Experimental measurement of electron heat diffusivity in a tokamak // Physical Review Letters. 1977. - V.38. - N°9. -P.491-494.

18. Soler M. and Callen J. D. On measuring the electron heat diffusion coefficient in a tokamak from sawtooth oscillation observations // Nuclear Fusion. 1979. -V.19. -N°6. — P.703-714.

19. Lopez Cardozo N.J., Tubbing B.J.D., Tibone F., Taroni A. Heat pulse propagation: diffusive models checked against full transport calculations // Nuclear Fusion. 1988. - V.28. - P. 1173-1181.

20. Giannone L., Erckman V., Gasparino U., Hartfuss H.J., Kohner G., Maassberg H., Stroth U., Tutter M., W7-AS Team. Electron thermal conductivity from heat wave propagation in Wandelstein 7-AS // Nuclear Fusion. 1992. - V.32-P.1985-2000.

21. Jacchia A., Mantica P., DeLuca F. and Gorini G. Determination of diffusive and nondiffusive transport in modulation experiments in plasmas // Phys. Fluids. -1991. B3(l). - P.3033-3040.

22. Riedel K.S., Eberhagen A., Gruber O., Lackner K., Becker G., Gehre O., Mertens V., Neuhauser J., Wagner F. and the ASDEX Team. ASDEX heat pulse propagation as a forced boundary value problem // Nuclear Fusion. 1988. -V.28. -P.1509-1518.

23. Тихонов A.H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - ТЛ51. -N°3. - С.501-504.

24. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. СО АН СССР. - 1962. - 68 с.

25. Гилязов С.Ф. Об итерационных методах решения линейных несовместных уравнений с несамосопряженным оператором // Вестник МГУ. Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 1977. - Т.1. -N°4. - С. 12-19.

26. Фридман В.М. О сходимости метода типа наискорейшего спуска // Успехи мат. Наук. 1962. - Т.17. - Вып.З. - С.201-208.

27. Kammerer W.J., Nashed M.Z. On the convergence of the conjugate gradient method for singular linear operator equations // SIAM J. Numer. Anal. 1972. -V.9. -№l. -P.165-181.

28. Nashed M.Z. Steepest descent for singular linear operator equations // SIAM J. Numer. Anal. 1970. - V.7. -N°3. - P.358-362.

29. Алифанов O.M., Румянцев C.B. Регуляризирующие итерационные алгоритмы для решения обратных задач теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 1980. -Т.39. -N°2. - С.253-258.

30. Гилязов С.Ф. Нелинейный регуляризирующий алгоритм, основанный на методе сопряженных градиентов. В кн.: Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ. - 1984. - С. 176-182.

31. Сарв Л.Э. Одно семейство нелинейных итерационных методов для решения некорректных задач // Изв. АН ЭССР. Физика, математика. 1982. -Т.31. -N°3. - С.261-269.

32. Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Градиентный метод нахождения гладких решений граничных обратных задач теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 1980. - Т.39. - N°2. - С.259-263.

33. Румянцев C.B. Способы учета априорной информации в регуляризируюгцих градиентных алгоритмах // Инженерно-физический журнал. 1985. - Т.49. - №б. - С.932-936.

34. Алифанов О.М, Артюхов Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач.-М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит.-1988-288с.

35. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. -Т.39. -N°5. - С.195-198.

36. Денисов A.M. Единственность решения некорректных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянными коэффициентами // ЖВМ и МФ. 1982. -Т.22. -N°4. - С.858-864.

37. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // ДАН СССР. 1975. - Т.225. -N°5. - С.1005-1008.

38. Безнощенко Н.Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений параболического типа. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. -М.: Наука. - 1977. - С.51-63.

39. Лавреньев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск, Наука. - 1982.

40. Андреев В.Ф. Код COBRA — решение обратных задач для восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010610432. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2010 г.

41. Rebut Р.Н., Brusti M. Magnetic topology, disruptions and electron heat transport //Plasma Phys. Control. Fusion. 1986. - V.28. -N°1A. -P.l 13-124.

42. Андреев В.Ф., Попов A.M. Обратные задачи определения коэффициентов переноса в плазме по экспериментальным измерениям температуры. В сб.: Вопросы кибернетики. Анализ больших систем / Под ред.: Федорова

43. B.В., Карманова В.Г. Москва. 1992. - С. 18-33.

44. Днестровский Ю.Н., Лысенко С.Е., Тарасян К.Н. Транспортная модель канонических профилей температуры электронов и давления в токамаке // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - Вып.2. - С.216-224.

45. Lopes Cardozo N.J., De Haas J.C.M., Hogeweij G.H.D., O'Rourke J., Sips

46. A.C.C., Tubbing B.J.D. Tokamak transport studies using perturbation analysis // Plasma Phys. Control. Fusion. 1990. - V. 32. - P.983-998.

47. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Popov A.M. Reconstruction of Transport Coefficients from Tokamak Experimental Data // Nuclear Fusion. 1993. -V.33. — N°3. -P.499-504.

48. Андреев В.Ф., Попов A.M. Восстановление коэффициентов переноса для системы транспортных уравнений плазмы В сб.: Численные методы в математической физике / Учебное пособие. Под ред.: А.А. Самарского и

49. B.И. Дмитриева. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. 1996. - С.110-114.

50. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Черкасов C.B. Определение коэффициента диффузии и скорости линчевания в плазме токамака при импульсном напуске газа // Физика плазмы. 1998. - Т.24. - №8. -С.690-696.

51. Hoang G.T., Garbet X., Zou X.L. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.87. -P.1251.

52. Ryter F., Angioni C., Beurskens M., Cirant S., Hoang G.T., Hogeweij G.M.D., Imbeaux F., Jacchia A., Mantica P., Suttrop W., Tardini G. Experimental studies of electrob transport // Plasma Phys. Control. Fusion. 2001. - V.43A.-A323-338.

53. Cohen R.H. Effect of trapped electrons on current drive // Phys. Fluids. 1987. — V.30. - N°8. - P.2442-2449.

54. Leuterer F., Peeters A.G., Pereverzev G., Ryter F. and ASDEX Upgrade Team. Localized ECRH power deposition in ASDEX Upgrade II Proc. 24th Europ. Conf. Control. Fusion and Plasma Phys. Berchtesgaden. 1997. - V.21A, Part IV.-P.1533-1536.

55. Barbato E. and Giannella R. // Physics-Letter-A. 1985. - V.l 1 OA. - P.309.

56. Manini A., Moret J.M., Ryter F. and ASDEX Upgrade Team. Signal processing techniques based on singular value decomposition applied to modulated ECRH experiments // Nuclear Fusion. 2003. - V.43. - P.490-511.

57. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N, Razumova K.A., Sushkov A.V. The jump ofirtransport coefficients at ECRH switch-on or switch-off in T-10//Proc. 28 EPS Conference Controlled Fusion, and Plasma Physics. Funchal 2001. ECA Vol.25 A. - P. 1173-1176, P3.066.

58. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Разумова K.A., Сушков А.В. Скачок транспортных коэффициентов при ЭЦР нагреве в токамаке Т-10 // Физика плазмы. 2002. - Т.28. - N°5. - С.403-418.

59. Андреев В.Ф., Касьянова Н.В. Точность восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР нагрева в токамаке из решения обратных задач // Физика Плазмы. 2005. - Т.31. -N°9. - С.771-782.

60. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Лысенко C.E., Разумова К.А., Сушков А.В. Определение профиля вложенной мощности при ЭЦР нагреве на токамаке Т-10 // Вопросы Атомной Науки и Техники. Сер. Термоядерный синтез. 2000. - Вып. 1.-С.116-120.

61. Sushkov А.V., Andreev V.F., Camenen Y., Pochelon A., Klimanov I., Scarabosio A. Weisen H. High-resolution multiwire proportional soft x-ray diagnostic measurements on TCV // Rev. Sci. Instrum. 2008. - V.79. -P.023506(5).

62. Sushkov A.V., Andreev V.F., Kravtsov D. E. Duplex multiwire proportional x-ray detector for multichord time-resolved soft x-ray and electron temperature measurements on T-10 tokamak // Rev. Sci. Instrum. 2008. - V.79. -P.10E319(3).

63. Frederickson E.D., McGuire K., Cavallo A., Budny R., Janos A., Monticello, Nagayama Y., Park W., Taylor G., Zarnstorff M.C. Ballistic contributions to heat-pulse propagation in the TFTR tokamak // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.65. -P.2869-2872.

64. Kissick M.W., Callen J.D., Fredrickson E.D., Janos A.C., Taylor G. Non-local component of electron heat transport in TFTR // Nuclear Fusion. 1996. - V.36. -P.1691-1701.

65. Becoulet A., on behalf of the contributors to the EFDA-JET work programme. JET progress towards and advanced mode of ITER operation with current profile control // Plasma Phys. Control. Fusion. 2001. - V.43 (12A). - P.395-406.

66. Galli P., Gorini G., Mantica P., Hogeweij G.M.D., de Kloe J., Lopes Cardozo N.J., RTP team. Non-local response of RTP ohmic plasmas to peripheral perturbations // Nuclear Fusion. 1999. - V.39. - P.1355-1368.

67. Sushkov A.V., Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Lysenko S.E., Razumova K.A. Determination of the heat flux structure after switch-off(-on) ECRH in T

68. I I Proc. 27th EPS Conf. Controlled Fusion and Plasma Phys. Budapest. Budapest 12-16 June 2000. ECA Vol.24B. - P.812-815.

69. V.F. Andreev, Yu.N. Dnestrovskij, M.V. Ossipenko, K.A. Razumova, A.V. Sushkov. The Jump of the Total Heat Flux After the ECRH Switch on in T-10 // Proc. 30th EPS Conference Control. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg2003. ECA Vol.27A. - P-3.209.

70. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Ossipenko M.V., Razumova К.A., Sushkov A.V. The ballistic jump of the total heat flux after ECRH switching on in the T-10 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. 2004. - V.46. - P.319-335.

71. Cordey J.G., Muir D.G., Neudatchin S.V., Parail V.V., Springmann, Taroni A. A numerical simulation of the L-H transition in JET with local and global models of anomalous transport // Nuclear Fusion. 1995. - V.35. - P.101-106.

72. Dnestrovskij Yu.N., Cherkasov S.V., Lysenko S.E., Tarasyan K.N. Non-local plasma response within the canonical profiles transport model // Nuclear Fusion. 1998. - V.38. - P.373-386.

73. Callen J.D., Kissick M.W. Evidence and Concepts for Non-Local Transport // Plasma Phys. Control. Fusion. 1997. - V.39. -B173-188.

74. Stroth U, Giannone L, Hartfuss H J, the ECH Group and the W7-AS Team. Fast Transport Changes and Power Degradation in the W7-AS Stellarator // Plasma Phys. Control. Fusion. 1996. - V.38. - P.611-618.

75. Аликаев B.B., Багдасаров A.A., Васин H.JI., Днестровский Ю.Н., Есипчук Ю.В., Кислов А .Я., Ноткин Г.Е., Разумова К.А., Стрелков B.C.,

76. Тарасян К.Н. Влияние профиля вкладываемой в плазму мощности на эффективность ЭЦР нагрева на Т-10 // Физика плазмы. — 1988. — Т. 14. — Вып.9. — С. 1027-1045.

77. Andreev V.F., Kirov K.K., Sushkov A.V., Dnestrovskij Yu.N., Leuterer F., Pereverzev G., Razumova K.A., Ryter F. and ASDEX Upgrade team. Analysis of ECRH switch on/off events in ASDEX Upgrade. Proc. 30th EPS Conference

78. Control. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg 2003. ECA Vol.27A. - P-1.186.

79. Kirov K.K., Andreev V.F., Leuterer F., Pereverzev G.V., F. Ryter, A.V. Sushkov and ASDEX Upgrade team. Analysis of ECRH switch on/off events in ASDEX Upgrade // Plasma Phys. Control. Fusion. 2006. - V.48. - P.245-262.

80. Pereverzev G.V. and Yushmanov P.N. ASTRA: Automated System for Transport Analysis in a Tokamak // Report IPP 5/42 Max-Planck-Institute fur Plasmaphysik, Garching. 2002. - P.84.

81. Garbet X., Mantica P., Ryter F., Cordey G., Imbeaux F., Sozzi C., Manini A., Asp E., Parail V. and Wolf R. Profile stiffness and global confinement // Plasma Phys. Control. Fusion. -2004. -V.46. -P.1351-1373.

82. Ashraf M., et al // Proc. XII Conf. Plasma Physics and Controlled Fusion Research. Nice, Japan, 1989. V.l. -P.541.

83. Erckmann V, W7-A Team, N1 Team, ECRH Group. Electron cyclotron resonance heating in the Wendelstein VII-A stellarator // Plasma Phys. Control. Fusion. 1986. - V.28. - P. 1277-1290.

84. Peters M. Electron heat transport in current, carrying and currentless thermonuclear plasmas // Thesis, Technical University Eindhoven, ISBN 90-386-0227-8.-1996.

85. Esipchuk Yu.V., Razumova K.A. Investigation of plasma confinement on soviet tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. 1986. - V.28. - P. 1253-1261.

86. Днестровский Ю.Н., Днестровский А.Ю., Лысенко C.E. Самоорганизация плазмы в токамаке // Физика плазмы. 2005. - Т.31. -Вып.7. - С.579-603.

87. Soltwisch Н., Stodiek W., Manickam J., Schluter J. Current density profiles in the TEXTOR tokamak // Proc. 11th IAEA Plasma Physics and Controlled

88. Nuclear Fusion Research Conf. Kyoto 1986. CN-47/A-V-1, IAEA,Vienna 1987. -V.l. -P.263-273.

89. Кадомцев Б.Б. Самоорганизация плазмы в токамаке // Физика Плазмы. -1987. Т. 13. -Вып.7. - С.771-780.

90. Есипчук Ю.В., Кадомцев Б.Б. Оптимальное распределение плотности тока в токамаке // Письма в ЖЭТФ. 1986. - Т.43. - Вып.12. - С.573-575.

91. Coppi В. Nonclassical transport and the principle of profile consistency // Comments Plasma Phys. Control. Fusion. 1980. - V.5. -P.261-269.

92. Razumova K.A., Andreev V.F., Dnestrovskij A.Yu., Kislov A.Ya., N.A. Kirneva, S.E. Lysenko, Yu.D. Pavlov, V.l. Poznyak, T.V. Shafranov, E.V.

93. Trukhina, V.A. Zhuravlev and T-10 team, A.J.H. Donné, G.M.D Hogeweij and RTP team. Main features of self-consistent pressure profile formation // Plasma Phys. Control. Fusion. 2008. - V.50. - 105004 (13pp).

94. Rebut Р.Н., Lallia P.P., Watkins M.L. The Critical Temperature Gradient Model of Plasma Transport: Applications to JET and Future Tokamaks // PlasmaxL

95. Physics and Controlled Fusion Research (Proc. 12 Int. Conf., France, Nice, 1988). V.3 (Vienna: IAEA, 1989). - P. 191-200.

96. Kappepac Б.А., Ньюман Д., Линч B.E., Даймонд П.Х. Самоорганизованная критичность как парадигма для процессов переноса в плазме, удерживаемой магнитным полем // Физика плазмы. 1996. - Т.22. -N°9. — С.819-833.

97. Chapman S.C., Dendy R.O., Hnat В. Sandpile model with tokamak like enhanced confinement phenomenology // Phys. Review Lett. 2001. - V.86. -N°13. - P.2814-2817.

98. March Т.К., Chapman S.C., Dendy R.O., Merrifield J.A. Off-axis electron cyclotron heating and the sandpile paradigm for transport in tokamak plasmas // Phys. Plasmas. 2004. - V.l 1. - P.659-665.

99. Chapman S.C., Dendy R.O., Hnat B. Self-organization of internal pedestals in a sandpile // Plasma Phys. Controlled Fusion. 2003. - V.45. - P.301-308.

100. Касьянова H.B., Андреев В.Ф. Модель "песочной кучи" для анализа быстрого переноса тепла после включения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2009. — Вып.1.-С.53-63.

101. Wolf R.C. Internal transport barriers in tokamak plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 2003. - V.45. - Rl-91.

102. Henderson M.A. Rapid and localized elTB formation during shear inversion in fully non-inductive TCV discharges // Proc. 20th IAEA Fusion Energy Conf. Vilamoura 2004. CD-ROM paper EX/P3-3.

103. Angioni C., Peeters A.G., Garbet X., Manini A., Ryter F. and ASDEX Upgrade Team. Density response to central electron heating: theoretical investigations and experimental observations in ASDEX Upgrade // Nuclear Fusion. 2004. - V.44. - P.827-845.

104. Doyle E.J., Staebler G.M., Zeng L., Rhodes T.L., Burrell K.H., Greenfield

105. Strait EJ. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.75. - P.4421.

106. Maget P., Garbet X., Gerand A., Joffrin E. Drift wave stability of PEP discharges in Tore Supra // Nuclear Fusion. 1999. - V.39. - P.949-962.

107. Erikson L.G. et al // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.88. - P. 14501.

108. Jenko F., Dorland W., Koschenruther M., Rogers B.W. Electron temperature gradient driven turbulence // Phys. Plasmas. 2000. - V.7. - P.1904-1910.

109. Biglary H., Diamond P.H., Terry P.W. Influence of sheared poloidal rotation on edge turbulence // Phys. Fluids. 1990. - B2(l). - L.l-4.

110. Burrell K.H. // Phys. Plasmas. 1997. - V.4. - P.1499.

111. Synakowski E.J., Beer M.A., Bell R.E., Burrell K.H., Carreras B.A., Diamond D.H., Doyle E.J., Ernst D., Fouck R.J., Gohil D., Greenfield C.M., Hahm T.S., Hammett G.W., Levinton F.M., Mazzucato E., McKee G., Newman

112. D.E., Park H.K., Retting C.L., Rewoldt G., Rhodes T.L., Rice B.W., Telor G., Zarnstorff M.C. Comparative studies of core and edge transport barrier dynamics of DIII-D and TFTR tokamak plasmas // Nuclear Fusion. 1999. - V.39. -P. 1733-1741.

113. De Baar M.R., Beurskents M.N., Hogeweij G.M.D. and Lopes Cardozo N.J. Tokamak plasmas with dominant electron cyclotron heating; evidence for electron thermal transport barriers // Physics of Plasmas. 1999-V.6.-N°12.-P.4645-4657.

114. Beklemishev A.D. and Horton W. Transport profiles by radially localized modes in a tokamak // Phys. Fluids B. 1992. - V.4(l). - P.200-206.

115. Solano E.R. Criticality of the Grad-Shafranov equation: transport barriers and fragile equilibrium // Plasma Phys. Control. Fusion. 2004. - V.46. - L7-13.

116. Beklemishev A.D. and Horton W. Transport profiles induced by radially localized modes in a tokamak // Phys. Fluids B. 1992. - B4(l). - P.200-206.

117. Kadomtsev В.В. Self-organization and transport in tokamak plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 1992. - V.34. - P.1931-1938.

118. Kishimoto Y., Kim J.Y., Horton W., Tajima T., Le Brun M J., Dettrick S.A., Li J.Q., Shirai S. Discontinuity model for internal transport barrier formation in reversed magnetic shwar plasmas // Nuclear Fusion. 2000. - V.40. - P.667-676.

119. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука. 1979. - 288 с.

120. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. 1966. - Т.6. - №б. - С. 1089-1093.

121. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМ и МФ. — 1968. — Т.8. — N°2. — С.295-309.

122. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). — М.: Машиностроение. 1979. - 216 с.

123. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. - 1982. - 320 с.

124. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука. — 1981.-616с.

125. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. — В кн.: Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича, М.: Госатомиздат. — 1963. — Вып.2. С.92-131.

126. Захаров Л.Е. Метод электродинамических моментов для расчета равновесия тороидальной плазмы // Препринт ИАЭ-4114/6, М. 1985.

127. Hinton F.L., Hazeltine R.D. Theory of plasma in toroidal confinement system // Review Modern Physics. 1976. - V.48. - P.239-308.

128. Coppi В., Sharky N. //Nuclear Fusion. 1981. - V.21. -P.1363.

129. Gorbunov E.P., Denisov V.P., Merezhkin V.G. et al. Data acquisition system HCN-laser interferometer at the T-15 tokamak. // In: 8 symp. on microcomputer and microprocessor applications. Budapest. 1994. - P.795-804.

130. Днестровский Ю.Н., Неудачин C.B., Переверзев Г.В. Моделирование баланса частиц в токамаке // Физика плазмы. -1984.-Т.10.-Вып.2.-С.236-244.

131. Weiland J. Collective Modes in Inhomogeneous Plasma // Bristol: IOP Publishing. -1999.

132. Peeters A.G., Angioni C., Apostoliceam M., Jenko F., Ryter F. and the ASDEX Upgrade team. Linear gyrokinetic stability calculations of electron heat dominated plasma in ASDEX Upgrade // Phys. Plasmas. 2005. - V.12. -P.022505(l-8).

133. Weiland J., Jarmen A.B., Nordman H. Diffusive particle and heat pinch effects in toroidal plasmas // Nuclear Fusion. 1989: - V.29. - P.1810-1814.

134. Сковорода А.А. Пособие пользователю данных диагностики по излучению на второй гармонике ЭЦРИ на токамаке Т-10 // Препринт ИАЭ-6346/6. М. 2005. - 26 с.

135. Bogdashov A.A. et al // International Journal of Infrared and Millimetre Waves. 1995. - V.16. -N°4. -P.735.

136. Vershkov V.A. et al // Rev. Sci. Instrum. 1999. - V.70. - P. 1700.

137. Parail V.V. and the JET Team. Role of magnetic configuration and heating power in ITB formation // Proc. 18th IAEA Fusion Energy Conf. Sorrento 2000. CD-ROM-EXP5/05.

138. Шелухин Д.А., Вершков В .И., Разумова K.A. Поведение мелкомасштабных флуктуаций плотности в разрядах с нецентральным нагревом на электронно-циклотронном резонансе на установке токамак Т-10 // Физика плазмы. -2005. -Т.31. Вып. 12. - С. 1059-1067.