Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Старикова, Ольга Александровна

• Старикова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Старикова, Ольга Александровна

Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Проективные пространства, ассоциированные со свободными модулями

§1.1. Группа проективных преобразований и некоторые ее инварианты.

§1.2. Основная задача теории квадрик

Глава 2. Каноническая форма над локальными кольцами главных идеалов

§2.1. Диагонализируемость симметричных матриц над локальными кольцами главных идеалов.

§2.2. Конгруэнтные преобразования канонических матриц и ортогональная группа.

§2.3. Нормальная диагональная форма при |R* : R*21 <

§2.4. Распространение закона инерции вещественных квадратичных форм.

Глава 3. Перечисление квадрик проективных пространств над локальным кольцом

§3.1. Теорема о перечислении классов проективно конгруэнтных квадрик проективного пространства

§3.2. Перечисление классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости

§3.3. Случай не главного максимального идеала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами»

Важным источником функций над полями и кольцами и различных задач комбинаторного анализа традиционно являются билинейные формы и билинейные функции векторных пространств и модулей, квадратичные формы и соответствующие квадрики проективных пространств [16], [7], [9], [19], [17]. В диссертации исследуются квадрики проективных пространств над локальными кольцами, рассматривается одна из основных в теории квадрик задача

А) Классифицировать и перечислить квадрики проективного пространства с точностью до проективностей или проективных конгруэнтностей.

Теории симметричных и квадратичных форм векторных пространств и квадрик (или геометрических образов второго порядка) проективных пространств над полем развивались взаимосвязано и достаточно хорошо разработаны. Изучение произвольных рефлексивных форм над полем сведено к изучению невырожденных ре-^ флексивных форм, а последние классифицированы вместе с симметричными и кососимметричными (симплектическими) формами, [1, гл. 3], [12, 41.1]. Наряду с развитием К-теории, в исследованиях проективных пространств возрастал интерес к переходу от полей к более общим кольцам коэффициентов. В более общей ситуации исследуются (проективные) линейные группы и проективности, обобщается основная теорема проективной геометрии, [15], [14] и др. Бенц [2, гл.1] рассматривает классические геометрии Мебиуса, Jla-герра и Минковского как проективные прямые над ассоциативно-коммутативными алгебрами; указаны геометрические интерпретации таких проективных прямых в евклидовом пространстве.

Естественно, что квадрики исследуются взаимосвязано с квадратичными формами и их матрицами. В [13, § 3] устанавливается су-V ществование ортогонального базиса "сильно невырожденной" симметричной формы на модуле над локальным кольцом с обратимым элементом 2. В то же время, при переходе к таким кольцам коэффи-v циентов определяющая роль симметричных форм с обратимой матрицей утрачивается, а число всех классов проективно эквивалентных квадрик, как правило, существенно превосходит число классов с "сильно невырожденными" квадриками. Поэтому целесообразно

Б) Выявить локальные кольца, над которыми любая симметричная матрица конгруэнтна диагональной матрице.

Конгруэнтными к А называют (исходя из конгруэнтности квадратичных форм) матрицы QAQT с обратимыми матрицами Q. Недиа-гонализируемую по конгруэнтности симметричную матрицу над локальным кольцом указывает пример 1.2.1 в § 1.2 диссертации (другие примеры см. в § 3.3 ). Отметим, что матрицы произвольной фиксированной билинейной формы на модуле образуют класс эквивалентных матриц; эквивалентными к А считаются матрицы PAQT с всевозможными обратимыми матрицами Р, Q. Диагонализируемость и нормальный вид относительно эквивалентности матриц над кольцами главных идеалов устанавливаются в [3, глава 15]. В случае колец коэффициентов из (Б) требуется также

В) Установить (единственную) "нормальную" диагональную форму в классах конгруэнтных симметричных матриц. ч Рассматриваемые в диссертационной работе задачи тесно связаны с функциями над кольцами, перечислительными задачами и некоторыми комбинаторными вопросами.

В § 1.1 главы 1 приводятся предварительные (известные) сведения о проективных пространствах, вводятся проективности и проективные линейные преобразования. Там же приведено обобщение классической основной теоремы проективной геометрии [15]. Ее следствием является факторизуемость группы проективных преобразований проективного пространства двумя стандартными подгруппами (лемма 1.1.3). В § 1.2 вводятся понятия, связанные с квадриками, обсуждаются основная задача теории квадрик и соответствующие вопросы для симметричных форм и их матриц. Показы-ц, вается, что при переходе от полей к более общим кольцам коэффициентов симметричные формы с обратимой матрицей перестают играть определяющую роль в описании всех симметричных форм.

Главные результаты, связанные с задачей (А), устанавливаются в главе 3. Через R* обозначается мультипликативная группа обратимых элементов кольца R. Пусть Qq(m) — совокупность всех упорядоченных наборов (щ,. ,nq) целых чисел пj > 0 с суммой т. Число ^ ^ , по определению, равно ^ ^ ^ Для Целых чисел р > q > О и равно 0 в других случаях. Следующая теорема о перечислении классов проективно конгруэнтных квадрик доказана в § 3.1.

Теорема 3.1.1. Пусть N(n,s) — число классов проективно конгруэнтных квадрик пространства RPn-\ {п > 2) над локальным кольцом R с нильпотентным ступени s главным максимальным идеалом, причем 2 Е R* и |R* : R*21 = 2. Тогда число N(n,s) соответственно случаям R* П (1 + Я2) ^ R*2 и 1 + R*2 С R*2 равно ([•••] — целая часть числа)

П min {m,s} , . //01 е Е ; т=\ 9=1 \ 1 У \ 1 п min{m,s} , ,

Е Е 1 + Е [Ш^+1)]}m—l q= 1

В определенных случаях (например, при R = Zpd) доказанная теорема дает и число классов проективно эквивалентных квадрик. Более точно, если кольцо R с максимальным идеалом J = (е) выбрано так, что элементы £ и ке для фиксированного обратимого неквадрата к неавтоморфны в R, то по основной теореме проективной геометрии отношения проективной конгруэнтности и проективной эквивалентности квадрик совпадают и число классов проективно эквивалентных квадрик также равно N(n, s) (предложение 3.1.2). Для проективной плоскости оставшийся случай рассматривает

Теорема 3.2.1. Пусть N есть число классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости RP2 над локальным кольцом R с нильпотентным ступени s главным максимальным идеалом J = (е). Допустим, что 2 Е R*, |#* : R*21 = 2 и элементы е и ке в кольце R автоморфны для обратимого неквадрата к.

Тогда число N соответственно для четного или нечетного числа s равно s(5s2 + 15s + 28))/12 или (5s3 + 15s2 + 31s - 3)/12 при R*Ci(l + R2) R*2, а при 1 + R*2 С R*2 соответственно равно (s(5s2 + 21s + 28))/12 или (5s3 + 21s2 + 31s + 3)/12.

Эта теорема опубликована автором в [28]; приводимая там же теорема 3.1.1 доказана в нераздельном соавторстве с В.М. Левчуком. Названные результаты существенно используют полученное в главе 2 решение задачи (В) для определенных случаев основного кольца.

Основная в § 2.1 теорема 2.1.2 устанавливает диагонализируе-мость симметричных форм и их матриц над локальным кольцом R главных идеалов с обратимым элементом 2 (такие кольца рассматриваются в примерах 2.1.8, 2.1.9 и лемме 2.1.3). Она показывает конгруэнтную приводимость симметричных матриц над R к специальному диагональному виду — каноническому (определение 2.1.1) - и выявляет некоторые инварианты. В частности, при R*2 = R* канонический вид единственен и, если максимальный идеал в R ниль-потентен ступени s, то число классов как конгруэнтных так и эквизамечание 2.1.10).

Вопрос построения "нормального" диагонального вида матриц по конгруэнтности при |R* : R*21 > 1 оказывается более сложным. Здесь существенно используется лемма 2.2.3 о матрице, преобразующей конгруэнтно друг в друга канонические диагональные матрицы над локальным кольцом главных идеалов. С ее помощью выявляется строение ортогональной группы квадратичной формы (теорема 2.2.1). С другой стороны, при |R* : R*2\ = 2 и наличии обратимого неквадрата к в 1 + R2 выявляется нормальный вид diag(te\£V. ,6т£т,£т,-. ,£т ,0,. ,0), (0.1) где каждый элемент Sj, • • • ,5т равен 1 или к. В § 2.3 доказана следствие 2.1.5 и

Теорема 2.3.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем \R* : R*2\ = 2, 1 + J С R*2 и R* П (1 + R2) <£ R*2. Тогда всякая симметричная матрица над R конгруэнтна единственной диагональной матрице вида (0.1).

Далее. Закон инерции вещественных квадратичных форм удается распространить на случай локальных колец коэффициентов, в которых обратимые квадраты образуют полугруппу по сложению. Более точно, для квадратичных форм над такими кольцами в § 2.4 выявляется следующий "нормальный" вид

-(х2 + . + <) + «+1 + . + ои + • • • + [(:СГ,+-+Г,1 + 1 Н ^ЖГ1+-+Г<7,+5(,)+ (0.2) где q > 0, 0 < i\ < • • • < iq, el4 ф 0, целые положительные числа гу и целые sj такие, что гН-----Ь rq < гс, 0 < sj < • • • , 0 < sq < rq.

Теорема 2.4.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (е), причем |Я* : R*2\ = 2, 1 + R*2 С R*2 и 1 + J С R*2. Тогда всякая ненулевая квадратичная форма над R приводится к диагональному виду (0.2) обратимым R— линейным преобразованием неизвестных, причем показатели , iq и целые числа - • ■ , rq, si, • • • , sq не зависят от способа приведения.

Именно, теоремы 2.3.1 и 2.4.1 о нормальной форме лежат в основе доказательства в главе 3 теорем 3.1.1 и 3.2.1 (см. выше) о перечислении классов проективно конгруэнтных и проективно эквивалентных квадрик. Условие 1 + J С R*2 в теоремах 2.3.1 и 2.4.1 не является жестким, как показывает предложение 2.1.7, и выполняется, например, когда «7 - ниль-идеал.

Полученные результаты позволяют классифицировать недиаго-нализируемые квадратичные формы и перечислять квадрики также над локальным кольцом с конечно порожденным, но не главным максимальным идеалом.

Пусть R — фактор-кольцо кольца формальных степенных рядов от х,у над конечным полем нечетного порядка по идеалу < х2,ху,у2 >, порожденному всеми однородными многочленами второй степени. Тогда R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J =< х,у >. Основной в § 3.3 является

Теорема 3.3.1. Всякая квадрика проективной плоскости RP2 либо диагонализируема, либо имеет ранг О, либо лежит в одном из 2 классов проективно эквивалентных недиагонализируемых квадрик ранга 1. Всякая диагонализируемая квадрика проективно эквивалентна, в точности, одной из 20 (явных) квадрик, у которых либо ранг < 3, либо матрица единична.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]— [29]. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательских семинарах Красноярского госуниверситета (г. Красноярск) и Института математики СО РАН (г. Новосибирск). Они были представлены на VI — X конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 1999 — 2003 гг.), на 2-ом Всесибирском конгрессе женщин — математиков (Красноярск, 2002 г.) и на международных конференциях: "Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках" (Чебоксары, 2001 г.), "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002 г.), "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Novosibirsk - Erlogol, 2003).

Автор благодарен своим научным руководителям, к.ф.-м.н., профессору К.Я. Гиберту за помощь при постановке задач и в подготовке первых работ, и д.ф.-м.н., профессору В.М. Левчуку, существенно содействовавшему разрабатыванию темы.

Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и факультета математики и информатики Красноярского госуниверситета за хорошие условия для работы над диссертацией во время приездов в КрасГУ в 2002 - 2003 гг. Частично работа над диссертацией была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, код гранта 03-01-00905.

Наиболее употребительные обозначения

В работе зафиксированы следующие обозначения:

R — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей;

GLn(R) — общая линейная группа степени п над кольцом R;

PGLn(R) — проективная общая линейная группа степени п над кольцом R;

Ат — матрица, транспонированная к матрице А; diag (a\,d2,. ,ап) — диагональная матрица с элементами ai, а2, . •, ап на главной диагонали;

R* и R*2 = {а2 | a G R*} — мультипликативная группа обратимых элементов кольца R и, соответственно, ее подгруппа квадратов;

R* : R*21 — индекс подгруппы R*2 в группе Л*;

RPn-i — проективное пространство (при п = 3 также проективная плоскость) над кольцом R (см. §1.1 ).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Старикова, Ольга Александровна, 2004 год

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука. 1969. 284 с.

2. Benz W. Vorlesungen uber Geometrie der Algebren. Berlin -Heidelberg New Iork. Springer - Verlag. 1973. 365 p.

3. Brown W. Matrices over commutative rings. New Iork. 1993. 282p.

4. Бурбаки H. Алгебра. Модули, кольца, формы. М: Наука, 1966. 556 с.

5. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука. 1979. 624 с.

6. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд. Казанского ун-та. 1985. 263 с.

7. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, Новосибирск, Наука. 1977. 284 с. English transl.: Transl. Math. Monographs, vol. 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984; 2nd ed. In 1989.

8. Egorychev G.P. and Levchuk V.M. Enumeration in the Chevalley algebras. // SIGSAM Bulletin, Vol. 35, no. 2, Issue 136, June, 2001, p. 20-34.

9. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М: Мир, 1982. 440 с.

10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: Том 1, 2. Пер. с англ. М: Мир, 1988. 822 с.

11. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М: Наука. 1970. 400с.

12. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М: Наука. 1980. 464 с.

13. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М: Наука. 1986. 176 с.

14. ОМира О. Лекции о линейных группах. В сборнике переводов "Автоморфизмы классических групп". М: Мир. 1976. с. 57-167.

15. Ojanguren M., Sridharan R. A note on the fundamental theorem of projective geometry. // Comm. Math. Helv. 1969. 44. no. 3. p. 310 315.

16. Polya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen, Acta Math. V. 68. 1937. 145-254.

17. Rodman L. Matrix functions. In: Handbook of Algebra, Ed. by M. Hazewinkel, Elsevier, 1996, 117-154.

18. Розепфельд Б.A. // История неевклидовой геометрии. М: Наука. 1976. 408 с.

19. Уфнаровский В. А. Комбинаторные асимптотические методы в алгебре. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 57. 1990. с. 5-178.

20. Холл М. Комбинаторика. М: Мир. 1970. 424 с.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

21. Старикова О.А. О классификации квадрик проективной плоскости Fp(e)P2. // Материалы VI науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 1999. с. 50-52.

22. Старикова О.А. Квадрики проективной плоскости Fp(en~l)P2. // Материалы VII науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2000. с. 13-16.

23. Старикова О.А. Взаимное расположение квадрик и прямых на проективной плоскости Fp(e)P2. // Материалы VIII науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Унт. 2001. с. 16-18.

24. Старикова О.А. Проективная плоскость Fp2,l]P2. // Материалы IX науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2002. с. 53-54.

25. Старикова О.А. Квадрики проективной плоскости Fq(en~l)P2. // В сбор, статей "II Всесибирский конгресс женщин-математиков". Красноярск: КГУ. 2002. с. 138-143.

26. Старикова О.А. О классификации квадрик проективной плоскости Fp2,1]Р2- // Тезисы докл. международной конф. "Алгебра и ее приложения". Красноярск: КГУ. 2002. с. 113-114.

27. Старикова О.А. Квадрики и квадратичные формы модулей. // Материалы X науч. конф. асп. и молодых исследователей СМУ. Магадан: Сев. Межд. Ун-т. 2003. с. 91-92.

28. Старикова О.А. Перечисление квадрик проективных плоскостей и пространств над локальными кольцами главных идеалов. // Алгебра и теория моделей, 4-й выпуск. Новосибирск: НГТУ. 2003. с. 110-115.

29. Старикова О.А. Перечисление квадрик над локальным кольцом с конечно порожденным, но не главным максимальным идеалом. //В сбор. "22-я региональная научно-техническая конференция". Красноярск: КрасГАСА. 2004. с. 14-15.

30. Левчук В.М., Старикова О.А. Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами // (в печати).