Оценка эффективности механических перемешивающих устройств вертикальных емкостных аппаратов с применением системы конечно-элементного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мартьянов Евгений Игоревич

• Мартьянов Евгений Игоревич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Мартьянов Евгений Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

1 ТИПЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ УСТРОЙСТВ И МЕТОДЫ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

1.1 Сущность процесса перемешивания

1.2 Типы механических перемешивающих устройств

1.3 Методы расчета механических перемешивающих устройств,

моделирования процесса механического перемешивания

1.3.1 Инженерные методы расчета механических перемешивающих устройств

1.3.2 Методы оценки эффективности механических перемешивающих устройств

1.3.3 Методы математического моделирования процесса механического

перемешивания

1.3.4 Системы моделирования процесса механического перемешивания

Выводы по главе и постановка задач исследования

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ УСТРОЙСТВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА

2.1 Постановка задачи определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ

2.1.1 Анализ существующих методов численного моделирования ПМП

2.1.2 Уравнения Навье-Стокса для ньютоновской несжимаемой жидкости в цилиндрической системе координат

2.1.2 Анализ и выбор модели турбулентности для процесса механического перемешивания

2.1.4 Анализ и выбор основной характеристики объекта исследования для оценки эффективности процесса механического перемешивания

2.2 Проверка адекватности разработанной математической модели

процесса механического перемешивания

2.2.1 Описание лабораторной установки

2.2.2 Описание процесса проведения эксперимента

2.2.3 Проверка адекватности модели по результатам промышленного эксперимента

Выводы по второй главе

3 АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЧЕСКИХ

ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ УСТРОЙСТВ

3.1 Выбор плана вычислительного эксперимента

3.2 Выбор вида уравнения регрессии и определение оптимальных значений факторов

3.3 Программная реализация методики оптимизации конструкции и режима функционирования механических перемешивающих устройств

3.4 Оптимизация МПУ в промышленном аппарате

Выводы по третьей главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Результаты экспериментов на лабораторной

установке

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Результаты экспериментов на полупромышленной

установке

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Программы оптимизации параметров МПУ в среде Mathcad

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Копии свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Акт испытаний научно-исследовательской работы и справка о ее внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка эффективности механических перемешивающих устройств вертикальных емкостных аппаратов с применением системы конечно-элементного анализа»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Значительная часть гидромеханических, тепломассобменных и химических процессов в различных отраслях промышленности реализуется при перемешивания гомогенных или гетерогенных сред в вертикальных емкостных аппаратах с механическими перемешивающими устройствами (МПУ).

Гидродинамика процесса механического перемешивания (ПМП) характеризуется системой дифференциальных уравнений с частными производными (уравнениями Навье-Стокса). Решение этих уравнений требует высокой квалификации персонала и больших затрат времени, поэтому в проектно-конструктор-ских отделах промышленных предприятий при выборе конструкций и режимов работы МПУ либо применяется физический эксперимент в конкретной производственной ситуации, либо используются методики, разработанные на основе результатов экспериментальных исследований и рекомендованные к применению головными организациями. Любое отклонение параметров мешалок или аппаратов от параметров установок, на которых проводились эксперименты, может привести к неэффективному использованию оборудования и даже возникновению аварийных ситуаций.

В последние 10-15 лет в научной литературе публикуются результаты исследований ПМП в вертикальных емкостных аппаратах с применением систем конечно-элементного анализа или автоматизации инженерных расчётов (ANSYS, COMSOL, STAR-CD, QForm, Nastran или OpenFOAM). Однако эти системы очень требовательны к возможностям используемой вычислительной техники и квалификации персонала. Кроме того, эти комплексы ориентированы на решение широкого круга задач и требуют настройки на рассматриваемую предметную область. В результате возможны потери в скорости вычислений и точности получаемых результатов. Поэтому в настоящее время актуальна разработка инженерной методики определения параметров конструкций (геометрии и высоты установки мешалки над днищем аппарата) и режима функционирования

МПУ (частоты вращения мешалки), обеспечивающих максимальную эффективность ПМП, с применением систем конечно-элементного анализа и ориентированных на исследование этого конкретного процесса.

Степень разработанности темы исследования. Вопросами исследования и моделирования гидродинамики в аппаратах с МПУ занимались ученые по всему миру на протяжении многих лет. Среди отечественных ученых следует отметить Брагинского Л.Н., Бегачева В.И. и Барабаш В.М. Проведенные ими фундаментальные исследования в области моделирования ПМП легли в основу современной методики расчета МПУ, рекомендованной к применению НИИХИМММАШ.

В настоящее время широкое распространение получило применение вычислительной гидродинамики (англ. CFD - Computational Fluid Dynamics), в том числе и при моделировании ПМП в аппаратах с МПУ. Результаты исследований приведены в работах отечественных ученых: Абиева Р. Ш., Клинова А. В., Липина A. А., Липина А. Г., Голованчикова А. Б., Минибаевой Л. Р., Мухаметзяновой А. Г., Сы-ромятникова С. Н. и Хомякова А. П., а также ряда зарубежных исследователей: Adeyemi N. A., Hu F.J., Jameel A. T., Maximilian F. Eggl, Mohiuddin A. K., Ochieng A., Onyango M., Shi L., Wojtowicz R., Yang F. L. и Zhou S. J.

В представленных работах, помимо вычислительной гидродинамики, применение которой требует больших вычислительных мощностей, принимается ряд допущений, которые могут повлиять на степень достоверности получаемых результатов. Тем не менее, данный подход является наиболее эффективным при условии, что применяемая модель ПМП адекватно его описывает.

Помимо применения CFD, начинает развиваться новое направление в исследовании ПМП, а именно применение нейронных сетей для прогнозирования и определения целевых показателей готовой продукции. Представителями данного направления являются: Masanobu I., Mikito K. и Susumu G. Их работы посвящены методикам тренировки нейронных сетей с целью прогнозирования конечного состояния целевого показателя исследуемого процесса на основе имеющихся входных данных. Данный подход интересен с точки зрения реализации, однако точность получаемых результатов сильно зависит от достоверности

статистических данных, на которых обучается нейронная сеть. Для получения этих данных необходимо проводить достаточно сложные эксперименты, описанные в трудах Ochieng A., Onyango M. и Wojtowicz R.

Цель исследования. Исследование влияния параметров конструкции и режима функционирования механических перемешивающих устройств на эффективность перемешивания с применением системы конечно-элементного анализа.

Объект исследования. ПМП гомогенных сред в вертикальных емкостных аппаратах периодического действия.

Предмет исследования. Влияние параметров конструкции и режима функционирования МПУ на эффективность перемешивания с применением системы конечно-элементного анализа.

Задачи исследования:

1. Обобщение и анализ современных подходов к формализации ПМП. Постановка задачи определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ.

2. Разработка математической модели ПМП, проверка ее адекватности по результатам физических экспериментов на лабораторной установке.

3. Проведение вычислительных экспериментов с целью исследований влияния параметров конструкции и режима функционирования МПУ на эффективность перемешивания.

4. Разработка алгоритма и проблемно-ориентированной системы определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ, их применение для оптимизации промышленных процессов перемешивания гомогенных сред в вертикальных емкостных аппаратах периодического действия.

Научная новизна исследования:

Впервые предложено использовать в качестве критерия эффективности МПУ дисперсию длины суммарного вектора скорости перемешиваемой среды в вертикальном емкостном аппарате (п. 12 паспорта специальности 2.6.13).

Разработана математическая модель ПМП в вертикальном емкостном аппарате, основанная на использовании осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-

Стокса, замкнутых уравнениями турбулентности, отличающаяся использованием интегралов Бернулли для определения составляющих вектора гидродинамического давления (п. 3 паспорта специальности 2.6.13).

Подтверждена адекватность разработанной математической модели ПМП на лабораторной установке при перемешивании однородной гомогенной жидкости мешалками разных типов и вращении мешалок в пустом аппарате (п. 3 паспорта специальности 2.6.13).

Исследовано влияние параметров конструкции и режима функционирования МПУ на эффективность перемешивания, результаты которого позволили уточнить рекомендации руководящего документа головной организации (п. 12 паспорта специальности 2.6.13).

Теоретическая значимость исследования заключается в оригинальном способе описания ПМП однородной изотермической гомогенной жидкости в вертикальном аппарате с эллиптическим днищем и МПУ, который основан на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса в цилиндрической системе координат с замыканием к-е моделью турбулентности.

Практическая значимость исследования заключается

- в разработке алгоритма определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ, основанного на технологии многофакторного вычислительного эксперимента;

- в разработке проблемно-ориентированной системы оптимизации ПМП жидкости в вертикальных емкостных аппаратах периодического действия, внедренной в проектно-конструкторском отделе АО "Пигмент", г. Тамбов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Критерий эффективности МПУ, предусматривающий минимизацию дисперсии длины суммарного вектора скорости перемешиваемой среды в вертикальном емкостном аппарате.

2. Математическая модель ПМП.

3. Результаты проверки адекватности математической модели ПМП.

4. Алгоритм определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ

5. Результаты исследований влияния параметров конструкции и режима функционирования МПУ на эффективность перемешивания.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического моделирования, вычислительной математики, планирования эксперимента.

Степень достоверности. Достоверность результатов проведённых исследований обеспечивается применением метрологически поверенного современного оборудования, обоснованным применением тории движения вязкой несжимаемой жидкости, методов математического моделирования, статистических методов обработки экспериментальных данных, удовлетворительным совпадением полученных расчетных и экспериментальных данных и публикациями в рецензируемых изданиях.

Апробация результатов исследования. Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Международных научно-практических конференциях: "Виртуальное моделирование прототипирование и промышленный дизайн» (г. Тамбов, 2018-2021, 2023 гг.); «Приоритетные направления развития науки и образования» (г. Пенза, 2019 г.); «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2020 г.); «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-33» (г. Саратов, 2020 г.); «The World of Science without Borders» (г. Тамбов, 2020 г.).

Публикации по теме исследования. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 печатных работах, в том числе: 3 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК РФ; 1 статья в журнале, индексируемом в МБД Scopus; 2 статьи в реферируемых журналах и 7 публикаций в материалах Международных и Всероссийских конференций. Получены 2свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, общих выводов и рекомендаций, списка использованных источников

(126 наименований) и приложений. Работа содержит 98 страниц основного текста, включающего 10 таблиц и 15 рисунков, и 5 приложений.

В первой главе рассматривается процесс механического перемешивания и, в частности, ПМП в вертикальных емкостных аппаратах с МПУ. Рассматриваются основные типы МПУ, применяемых в химических, фармацевтических и пищевых производствах, области допустимых значений их параметров. Приводятся результаты анализа влияния интенсивности перемешивания на массо- и теплообменные процессы, а также на целевые показатели дисперсных систем с твердыми и жидкими компонентами. Приведены результаты сравнительного обзора существующих методов моделирования МПУ, основанных на применении инженерных методик и систем автоматизированного проектирования. На основе материала главы сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе рассматриваются предлагаемый критерий эффективности МПУ, используемая при определении его параметров математическая модель ПМП, а также результаты экспериментов на лабораторной установке. В качестве расчетной характеристики эффективности перемешивания (критерия оптимальности параметров конструкции и режима функционирования МПУ) предлагается использовать минимум дисперсии суммарной длины вектора скорости перемешиваемой среды, характеризующей степень равномерности поля скоростей в объеме аппарата. Математическая модель ПМП разработана на основе осред-ненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, замкнутых RNG (Renormal Group) k-e моделью турбулентности. Адекватность модели подтверждена серией экспериментов по определению затрат мощности на перемешивание на лабораторной установке.

В третьей главе обоснован выбор алгоритма решения задачи определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ, представлены результаты исследований влияния параметров конструкции МПУ на эффективность перемешивания гомогенной жидкости в вертикальных емкостных аппаратах, приводятся результаты сравнения эффективности разработанной проблемно-ориентированной системы и популярных систем конечно-элементного

анализа. Представлены результаты работ по расчету и подбору эффективного МПУ для промышленного аппарата поз. 180 установленного в цехе №15 АО "Пигмент", г. Тамбов на схеме производства фталоцианина меди. Подтверждена эффективность предложенной компоновки МПУ, позволившей сократить продолжительность процесса на 10%, и уменьшить мощность привода на 16 %.

1 ТИПЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ УСТРОЙСТВ И МЕТОДЫ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

1.1 Сущность процесса перемешивания

Перемешивание - это гидромеханический процесс многократного перемещения частиц текучей среды относительно друг друга в объеме аппарата под действием внешних или внутренних сил [2, 25, 35].

Различают три способа перемешивания:

- механический, при котором перемешивание осуществляют различными вращающимися устройствами;

- барботажный (пневматический), осуществляемый пропусканием газа через слой жидкости;

- гидравлический, осуществляемый смешением потоков при их совместном движении или при перекачивании перемешиваемых сред насосом.

Выбор конкретного способа определяется целью перемешивания, а также основными характеристиками процесса (температурой, давлением), свойствами перемешиваемой среды, необходимой производительностью аппарата [35, 42, 95]. Наиболее распространенный промышленный способ перемешивания - механический [6, 25, 41, 90].

В большинстве случаев механическое перемешивание применяют для получения однородных смесей (суспензий, эмульсий и растворов), а также для интенсификации процессов химических превращений, тепло- и массообмена в химической аппаратуре [3, 53, 75]. Механическое перемешивание всегда реализуется в ограниченном объеме (емкости, аппарате). Цель процесса - равномерное распределение растворенных веществ (взвешенных частиц) в ограниченном объеме или выравнивание полей концентраций, температур и скоростей [38, 75]. Исключение - процесс приготовления эмульсий, для реализации которого необходимы резкие перепады значений скоростей, которые создают знакопеременные

нагрузки на частицы дисперсной фазы, приводят к их дроблению и равномерному распределению по объему дисперсионной среды [73].

Для интенсификации химических и диффузионных процессов применяют специальные перемешивающие устройства, основная особенность, которых -обеспечение сильных осевых перемещений, т.е. создание так называемого «насосного эффекта» в объеме перемешиваемой среды, который непрерывно перемещает и перемешивает все ее слои в рассматриваемом объеме. Увеличение степени турбулентности потока жидкости приводит к увеличению поверхности взаимодействующих фаз, ускоряет химические и диффузионные процессы [76].

Основными характеристиками механических перемешивающих устройств (МПУ), на основе которых можно произвести их сравнительную оценку, являются эффективность и интенсивность перемешивания [76].

Под эффективностью перемешивающего устройства понимают качество проведения процесса перемешивания, которое определяется целью конкретного процесса [75, 80]. Например, при получении суспензий эффективность характеризуется степенью равномерности распределения твердой фазы в объеме аппарата.

Под интенсивностью перемешивания понимают продолжительность периода достижения заданного технологического результата: чем выше интенсивность перемешивания, тем меньше времени требуется для достижения заданного эффекта [75, 80]. Интенсификация процессов перемешивания позволяет уменьшить размеры проектируемой аппаратуры или приводит к увеличению производительности действующей) [80].

1.2 Типы механических перемешивающих устройств

МПУ состоит из вращающегося вала, к которому крепится мешалка: две или более лопасти, устанавливаемые перпендикулярно, параллельно оси вращения или под некоторым углом к ней. Также существуют мешалки в виде дисков

с зазубренными краями. МПУ соединяется с валом мотор-редуктора муфтой и приводится в движение электродвигателями постоянного или переменного тока.

В зависимости от профиля и вида лопастей механические мешалки подразделяются на лопастные, пропеллерные, турбинные, дисковые и специальные [1].

В промышленности наиболее распространены лопастные мешалки. В зависимости от формы лопастей различают двухлопастные, якорные и рамные, см. рис. 1.1 а-в. Основное достоинство двухлопастных мешалок (рис. 1.1 а) - простота изготовления и низкая себестоимость. К недостаткам можно отнести слабый насосный эффект, что может привести к существенной неравномерности поля скоростей в объеме аппарата [25, 41, 90]. Однако, несмотря на недостатки, МПУ с двухлопастными мешалками широко применяются для перемешивания взаимно растворимых жидкостей, динамическая вязкость которых не превышает 0.05 Па- с.

Подобные мешалки применяются и в аппаратах непрерывного действия, однако в большинстве случаев (более 80 %) их лопасти устанавливаются под углом 30°^60°к горизонтали, часто в несколько ярусов и повернутыми друг относительно друга под углом в 90°, что позволяет существенно повысить интенсивность перемешивания [6, 41].

Для предотвращения появления отложений на стенках аппарата обычно применяют якорную мешалку (рис. 1.1 б) [25,90]. Профиль якорной мешалки повторяет форму внутренней поверхности аппарата, в котором она устанавливается. Ее окружная скорость не превышает 0.5^1.5 м/с, а частота вращения 10^50 об/мин. Якорные мешалки используют для перемешивания достаточно вязких, загрязненных жидкостей.

Рамные мешалки (рис. 1.1 в) очень похожи на якорные, но при этом имеют более длинные лопасти, которые прилегают к стенкам аппарата [3, 36, 43]. В результате, с учетом усиливающих конструкцию перемычек, получается некоторое подобие рамы. Помимо этого, перемычки могут устанавливаться под некоторым углом к горизонтали, что повышает интенсивность перемешивания в несколько

раз. Рамные мешалки обычно вращаются с частотой 20^60 об/мин.

Рисунок 1.1 - Типы мешалок: а - лопастная, б - якорная, в - рамная, г - пропеллерная, д - турбинная открытая, е - турбинная закрытая.

Для приготовления однородных гомогенных жидкостей (растворов) применяют пропеллерные мешалки (рис. 1.1 г) [25,90]. Лопасти пропеллерных мешалок изогнуты по профилю судового винта. В зависимости от наклона лопастей или направления вращения создается ярко выраженный осевой поток, который позволяет эффективно перемешивать весь объем жидкости в аппарате, посредством создания так называемого «насосного эффекта» [25].

Лопастная мешалка с тремя, четырьмя или шестью лопастями, которые имеют некоторый наклон, очень похожа на пропеллерную, но при этом она более

проста в изготовлении и сохраняет все основные свойства пропеллерной мешалки [6, 41, 58, 105].

Турбинные мешалки могут быть двух типов: открытые (рис. 1.1 д) и закрытые (рис. 1.1 е) [25, 90]. При частоте вращения 100^350 об/мин турбинные мешалки обеспечивают интенсивное перемешивание жидкости. Несмотря на кажущуюся простоту конструкции, они очень сложны в изготовлении из-за необходимости балансировки по причине высокой частоты вращения. В случае, если балансировка нарушена, может возникнуть аварийная ситуация: разрушение мешалки и повреждение внутренней поверхности аппарата. Турбинные мешалки применяют для интенсивного перемешивания вязких жидкостей (динамическая вязкость менее 1 Пас для открытых и менее 5 Пас для закрытых), тонкого диспергирования и быстрого растворения, получения суспензий, содержащих до 60% твердой фазы с размерами частиц до 1.5 мм для открытых и до 2.5 мм для закрытых мешалок. [41, 101].

1.3 Методы расчета механических перемешивающих устройств, моделирования процесса механического перемешивания

1.3.1 Инженерные методы расчета механических перемешивающих устройств

В настоящее время на производстве для расчета параметров конструкций и режима функционирования МПУ применяют инженерные методы, в частности, руководящий нормативный документ НИИХИММАШ «РД 26-01-90-85 Механические перемешивающие устройства. Метод расчета.». Данный документ рекомендует метод расчета ПМП в вертикальных аппаратах вместимостью до 1000 м3 и вязкостью до 100 Па- с [74]. Рекомендуемый метод основан на использовании условия равновесия перемешиваемой среды при установившемся режиме ее течения, т.е. равенства крутящего момента, возникающего при движении лопастей мешалки, сумме моментов сопротивления вращению, возникающих на стенках и днище аппарата, а также установленных в сосуде внутренних

устройствах. Такой подход обеспечивает возможность использования единых расчетных зависимостей для аппаратов с МПУ разных типов. В качестве исходных данных для расчета используются конструктивные характеристики аппарата с МПУ, физические свойства перемешиваемой среды и параметры технологического процесса, осуществляемого в аппарате.

Алгоритм расчета состоит из следующих пунктов [74]:

1. В зависимости от физических и химических характеристик перемешиваемой среды выбирается тип мешалки и частота вращения ее вала.

2. Исходя из заданного диаметра аппарата, подбирается допустимый диаметр мешалки.

3. Определяется гидравлическое сопротивление внутренних устройств и, в зависимости от его значения, выбирается определяемый параметр уравнения равновесия перемешиваемой среды (параметр профиля окружной скорости жидкости или ее относительная окружная скорость).

4. По результатам решения уравнения равновесия определяется глубина образующейся воронки и критерий мощности перемешивания Кп. Его приблизительное значение можно определить и по графикам в РД 26-01-90-85 в зависимости от типа мешалки и величины центробежного критерия Рейнольдса

р-п-Р1

Reц=-, (1.1)

Д

где р - плотность перемешиваемой среды, кг/м3;

п - частота вращения мешалки, 1/с;

Бт - диаметр мешалки, м;

^ - динамическая вязкость перемешиваемой среды, Па- с.

5. Для определения мощности, затрачиваемой на перемешивание, используют формулу:

Ым = Кп-р-п3-0^ (1.2)

6. Для определения расчетного крутящего момента на валу мешалки используют формулу:

Мкр=^, (1.3)

где ю - угловая скорость вала мешалки, с-1

7. По значениям мощности, крутящего момента и частоты вращения мешалки с учетом пусковых перегрузок подбирается требуемый привод мешалки.

8. По выбранному диаметру мешалки при помощи АТК 24.201.17-90. «Мешалки. Типы, параметры, конструкция, основные размеры и технические требования. Альбом типовых конструкций.» определяются параметры конструкции МПУ.

Существуют некоторые вариации представленного инженерного метода расчета, см. [5, 6, 30, 41]. Эти методы достаточно просты и базируются на эмпирических зависимостях, однако они применимы только для стандартизированных аппаратов и МПУ, т.е. любое отклонение от стандартной конструкции аппарата или МПУ приводит к снижению точности получаемых результатов, что наглядно проиллюстрировано в ходе исследования [49].

Далее рассматриваются работы, в которых публикуются результаты изучения и моделирования ПМП. Вначале рассмотрим предложения по вопросу оценки эффективности МПУ.

1.3.2 Методы оценки эффективности механических перемешивающих

устройств

Среди работ, основанных на использовании уравнений импульса и им подобных, отметим публикацию [23]. Предлагаемый метод основан на решении уравнения момента импульса при допущении о неизменности тангенциальных скоростей перемешиваемой жидкости по высоте аппарата. Такое допущение соответствует квазистационарному течению жидкости, однако в работе [23] упоминание об этом отсутствует, т.е. остается неясным вопрос об области применения предложенного метода. Помимо этого, рассматривается свободный объем жидкости, т.е. не учитывается размер емкости, а расчетная область представлена

в виде цилиндра, размеры которого совпадают с предельными размерами рассматриваемой мешалки. Используемые расчетные коэффициенты получены из эмпирических зависимостей, представленных в литературе [1, 70]. Заметим, что адекватность предлагаемых соотношений оценивалась не по результатам экспериментов, а на основе статистических данных из общедоступных источников. Тем не менее, предложенные авторами [23] критерии производительности и циркуляционного расхода позволяют более обосновано подойти к выбору конструкции МПУ.

В публикации [32] на основе инженерных методик, предложенных в [38, 70, 74], представлена математическая постановка, метод и алгоритм решения задачи выбора оптимальной конструкции МПУ вертикального емкостного аппарата с учетом условий обеспечения приемлемой гидродинамической обстановки, требуемых значений параметров качества перемешивания, условий пригодности вала перемешивающего устройства, уплотнительного и теплообменных устройств при турбулентном, переходном и ламинарном режимах перемешивания. В качестве критерия эффективности МПУ предложено использовать сумму амортизации затрат на мешалки, вал и мотор-редуктор, а также затрат на электроэнергию, потребляемую устройством в течение года. Безусловным преимуществом такого подхода является рассмотрение различных режимов движения перемешиваемой среды, учет влияния параметров конструкции мешалки на качественные характеристики процессов перемешивания различных сред, выбор вала и его уплотнения в месте прохода через крышку аппарата, теплообменной рубашки или змеевика. Применение получаемых решений в промышленной практике проблематично по причинам использования для оценки приемлемости гидродинамической обстановки в аппарате с МПУ и качества перемешивания упрощенных алгебраических соотношений из [6, 70].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мартьянов Евгений Игоревич, 2024 год

д - 1д

д1{-Ри I2) + ГдГ5-Рги ги Г)

(2.9)

ди

Щ

д1

+ и

ди

= ! — дг !

1 дРг Р дг

д2Щ:Г д2и

+ %

2

+ -

Р

д

д12 1д

+

дг2

+

1 ди2- И2—

—----— I +

г дг г2

(2.10)

о15-Ри'Ги' ?)+ГдГ(-Рги' -2)

г дг

д , _Г:Л д г — (гит ) + — (ги- ) = 0. дЛ 1 } дгу г ;

РиI

РI =^г + Рв1

Ри2

Рг- = + Рд1,

2

т г жгп^'

урьгу

30

(2.11) (2.12) (2.13) (2.14)

осредненные по Рейнольдсу значения составляющих вектора ско-

где ц , и-рости, м/с;

и'Г, и'г - пульсационные составляющие вектора скорости, м/с

Таким образом, получена система уравнений (2.9)-(2.11), в которой неизвестными являются пять параметров: две составляющие скорости (щг, иг) и три напряжения Рейнольдса ( и ^ , и г и г , и 2). Для замыкания и решения полученной системы уравнений необходимо выбрать модель турбулентности для ПМП, которая устанавливает связь между параметрами осреднения течения и напряжениями Рейнольдса [123].

2.1.2 Анализ и выбор модели турбулентности для процесса механического перемешивания

Для моделирования гидродинамических процессов в несжимаемых жидкостях используются самый распространенный класс моделей турбулентности -RANS модели, к которым относятся семейство k-e моделей, семейство k-ю моделей, модель Спаларта-Алмараса и модель Рейнольдсовых напряжений [123].

Стандартная двухпараметрическая k-e модель турбулентности (Standard k-s модель) с уравнениями переноса для турбулентной кинетической энергии k и скорости турбулентной диссипации e, используется только для развитых турбулентных потоков. Постоянные коэффициенты этой модели турбулентности получены опытным путем, поэтому она является полуэмпирической. Эта модель широко применяется для решения производственных задач, что объясняется устойчивым итерационным процессом и разумной точностью для широкого класса турбулентных потоков. На базе стандартной k-e с учетом ее недостатков были созданы RNG k-e модель и Realizable k-e модели.

В RNGk-s модель внесены следующие модификации [44, 94,120]:

- дополнительное условие в уравнении для скорости турбулентной диссипации e, которое улучшает точность моделирования высоконапряженных потоков;

- учитывается эффект циркуляции турбулентности, что улучшает точность моделирования высокоскоростных вращающихся и циркуляционных потоков;

- введена аналитическая зависимость для вычисления числа Прандтля потока в ходе решения (в стандартной k-e модели турбулентности данный параметр является константой);

- введена аналитическая формула для определения динамической вязкости, что позволяет более качественно рассчитывать турбулентные течения с низким числом Рейнольдса.

Эти особенности делают RNG k-e модель применимой для более широкого класса задач, чем Standard k-e модель [56, 109].

Realizable k-s модель турбулентности имеет следующие существенные отличия по сравнению со стандартной k-e моделью [120, 123]:

- модифицирован способ расчета турбулентной вязкости;

- уравнение скорости турбулентной диссипации e получено из точного уравнения переноса среднеквадратичного пульсационного вихря.

Термин «Realizable» означает, что модель удовлетворяет некоторым математическим ограничениям Рейнольдсовых напряжений, которые имеют место в турбулентных течениях [121]. Непосредственное преимущество Realizable k-e модели состоит в том, что она более точно предсказывает распределение диссипации плоских и круглых струй.

Отличие двухпараметрической k-ю модели турбулентности от Standard k-e модели сводится к записи уравнений скорости турбулентной диссипации в виде (k/e) [86, 98]. Эта модель показывает отличные результаты при расчете пристенных слоев и потоков с низким числом Рейнольдса.

Shear-Stress Transport k-ю модель эффективно сочетает устойчивость и точность k-ю модели в пристенных областях и стандартной k-e модели на удалении от стенки. SST k-ю модель имеет следующие особенности по сравнению с k-ю моделью:

- k-ю модель и стандартная k-e модель объединяются специальной функцией, которая в пристенной области активирует k-ю модель, а на удалении от стенки - стандартную k-e модель;

- использована модификация определения турбулентной вязкости, необходимая для представления уравнения переноса касательных напряжений;

- отличаются константы модели турбулентности.

Эти особенности делают SST k-ю модель более надежной и точной для широкого диапазона турбулентных потоков (течения с неблагоприятными градиентами давления, аэропрофили, околозвуковые ударные волны).

Модель Спаларта-Алмараса относится к относительно новому классу однопараметрических моделей турбулентности, в которых нет необходимости вычислять длину пути смешения, связанную с локальной толщиной слоя, характеризующегося большими значениями касательных напряжений [100, 117]. Применима для потоков с низким числом Рейнольдса как при тонком, так и при грубом сеточном разрешении в области пограничного слоя. В случае грубого разрешения используются специальные функции. Кроме того, градиенты турбулентной вязкости в пристенных областях в таком случае значительно меньше, чем градиенты характеристик переноса турбулентности в моделях к-е и к-ю [91, 108]. Это делает модель Спаларта-Алмараса менее чувствительной к ситуациям, когда в пристенной области величина градиента размеров ячеек меняется не плавно.

Для замыкания уравнений (2.9)—(2.11) выбрана ЯМв к-е модель, удовлетворяющая требованиям точности и ресурсоемкости.

Для рассматриваемой задачи она имеет вид [120]:

д д — (ркгщ) + — )ркгиг) =

д ( дк\ д ( дк\ = т ~д1) + д-Г ~дг) + Ск + °ь - Р£'

д д д ( дг\ д ( де\

- (регщ) + - )региг) = - >а£Ыг -")+- [а£Ыг —ГС

+

£ к

д

дк

£2

С2ер к-«

и' ? -

Ч? - - Т!2),

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

= -р

РеВВ = 0,0845р — д

д

и'? НО + и— (ги?*) +

дд +и'1 —Г (гии?) + —г (гг2?])

дг

(2.19)

(2.20)

£

45 д д

Сь = 013811в„>- + -), (2.21)

с.ро3 (г - -1

я = ^1 \ щ)£ (2.22)

н 1 + То3

где к - кинетическая энергия турбулентности, Дж/кг; е - диссипация энергии; ¡лед- - эффективная вязкость;

ак, ае - обратные эффективные числа Прандтля для к и 8 соответственно (ак = ае = 1,393);

ОК - турбулентная кинетическая энергия, Дж;

Оь - кинетическая энергия выталкивающей силы, Дж;

С1е = 1,42, С2е = 1,68, С3е = 1 - эмпирические константы [10, 41, 57, 115,

120];

- ренормализационный член для скорости диссипации е. С = 0,0845, По = 4,38, в = 0,012 - эмпирические константы [10, 41, 57, 115,

120].

£

о =

дйь + дщ (2.23)

дг д1

- расчетный коэффициент уравнения (2.22).

Система уравнений (2.15) - (2.23) полностью замыкает полученные ранее уравнения, осредненные по Рейнольдсу (2.9)-(2.11). Граничные условия:

-для осредненных значений, составляющих вектора скорости

й\}(0,г* = 0,

= рз)т*, (2.24)

йг(1,0* = = 0,

где ps(r) - полуэмпирическая зависимость окружной скорости перемешиваемой среды от радиуса аппарата [6];

- для пульсационных составляющих вектора скорости:

Ц'.С0,г) = й'7(Ь,г* = 0,

_.........._..........(2.25)

и'.)1,0) = и'.ЦЯ) = 0.

Соотношениями (2.9)-(2.25) моделируется определение осредненных значений, составляющих вектора скорости ии. и и.,соответствующих комбинации фиксированных значений п, Dm, Нт и Ннт для установившегося (квазистационарного) течения гомогенной жидкости в аппарате с МПУ при постоянной температуре.

Отличия полученной модели от классической формы уравнений Навье-Стокса заключается в следующем:

1. Использована цилиндрическая система координат, более подходящая для описания ПМП в цилиндрическом аппарате с эллиптическим днищем, симметричном относительно оси вращения мешалки.

2. Используется оригинальный способ представления составляющих вектора гидродинамического давления, основанный на использовании интеграла Бернулли, т.к. рассматривается однородная несжимаемая жидкость и установившееся течение внутри аппарата. Применение данного подхода позволило более точно описать влияние гидродинамического давления жидкости на ПМП.

В модели (2.9)-(2.25) не учитывается шероховатость поверхности стенки и днища аппарата, а также поверхности мешалки, т.к. внутренняя поверхность промышленных аппаратов (особенно в пищевой и фармацевтической промышленности), как правило, достаточно гладкая (высота микронеровностей не более 25 мкм), а поверхность мешалки под действием сил трения полируется и становится практически зеркальной (высота микронеровностей не более 12,5 мкм) [41]. По этой же причине не учитывается сила трения о внутреннюю поверхность аппарата в пристенной области (г = Я, I = Ь). Помимо этого, при расчете мощности, затрачиваемой на перемешивание, не учитывается сила трения, возникающая в подшипниковых опорах стойки мешалки.

2.1.4 Анализ и выбор основной характеристики объекта исследования для оценки эффективности процесса механического перемешивания

Для оценки результатов оптимизации параметров конструкции и режима функционирования МПУ необходимо выбрать определяющий параметр ПМП или его основную характеристику, который должен соответствовать следующим критериям [72]:

- выражаться количественно;

- быть единственным;

- отражать наиболее существенные стороны процесса или объекта.

В п. 1.1 отмечено, что наиболее важными характеристиками перемешивающих устройств, устанавливаемых в вертикальные емкостные аппараты, являются эффективность перемешивающего устройства и интенсивность его действия.

В данной работе рассматривается ПМП однородной гомогенной жидкости, поэтому в качестве критерия оценки использована эффективность МПУ.

На эффективность перемешивания влияет тип установленной мешалки, их количество на валу, а также высота установки над днищем аппарата. Помимо этого, в емкостных аппаратах различной конфигурации обычно устанавливается дополнительное оборудование, а именно отражательные перегородки, змеевики, опускные трубы (термогильзы для термопар или обсадные трубы для рН-метров), барботеры, а также иное узкоспециализированное оборудование [8, 41]. Каждый из этих элементов выполняет свою функцию, однако их установка приводит к появлению различного рода застойных зон (зон с низкой скоростью потока), а также снижению общей скорости потока из-за большого количества препятствий. В результате эффективность перемешивания снижается.

Ошибки подбора и высоты установки мешалки способны снизить эффективность МПУ более чем на 50 % [6, 30, 41, 115]. Затраты энергии могут быть значительными, но эффективность перемешивания будет низкой. Такие ситуации характерны для аппаратов, в которых высота столба жидкости в несколько

раз превышает диаметр и объем перемешиваемой жидкости ограничен областью, прилегающей к лопастям мешалки.

В качестве расчетной характеристики эффективности перемешивания предлагается использовать минимум дисперсии суммарной длины вектора скорости перемешиваемой среды, характеризующей степень равномерности поля скоростей в объеме аппарата:

1 2 Кбуб =\]5'й'1- иср) , (2.26)

1=1

где

Щ = ^ +У-Г12, (2.27)

- суммарная длина вектора скорости для г'-го узла конечно-элементной расчетной модели, м/с;

Щ(, щ! - осредненные по Рейнольдсу значения составляющих вектора скорости по направлениям высоты и радиуса аппарата, м/с;

1е [0; Ь] - текущее значение уровня жидкости в аппарате, м;

0.08, Нг

V + 0Л17Я < 12, (2.28)

- высота уровня жидкости в аппарате, м;

V - объем перемешиваемой жидкости, м3; Я - внутренний радиус аппарата, м; ге [0; Я] - текущее значение радиуса аппарата, м Нг - высота аппарата, м;

йСр= ^ + йг12, (2.29)

1=1

- среднее значение суммарной длины вектора скорости, м/с;

z - общее число узлов конечно-элементной расчетной модели. Очевидно, что минимальное значение критерия (2.26), равное 0, соответствует п = 0, а максимальной интенсивности перемешивания соответствует

максимально допустимое значение частоты вращения мешалки п, поэтому необходимо дополнить критерий ограничением

(2.30)

где птах - максимальное значение частоты вращения мешалки, с-1;

пр - расчетное значение частоты вращения мешалки, с-1.

Значение параметра птах определяется конструктивными (для конкретной мешалки) и технологическими (свойствами конкретной среды) ограничениями, а значение пр определяется из ограничения на значение мощности Рдв, затрачиваемой на перемешивание:

Рдв. < 11 • РдВ. ДОП., (2.31)

где Рдв.доп - допустимое значение мощности, при котором на каждый м3 объема аппарата приходится 1кВт мощности двигателя МПУ (из практического опыта эксплуатации вертикальных емкостных аппаратов);

В общем виде формула для расчета мощности, затрачиваемой на перемешивание Рдв, выглядит следующим образом [70]:

Рдъ. = кш-р-п3- (2.32)

где Кла -коэффициент мощности;

р - плотность жидкости, кг/м3;

От - диаметр мешалки, м.

Для исследования ПМП и оптимизации МПУ нами выбраны три наиболее распространенные в промышленности типы мешалок: двухлопастная, открытая турбинная и трехлопастная с наклонными лопастями.

Для упрощения и, следовательно, ускорения расчетов значений Рдв. принято решение использовать расчетный коэффициент мощности Клл,.полученный посредством аппроксимации имеющихся экспериментальных данных [10, 47, 48, 49, 62, 115] с учетом эмпирических коэффициентов из литературы [6, 30, 41, 46, 62, 115]. Выбор вида аппроксимирующих функций осуществлен при помощи метода наименьших квадратов, см. табл. 2.1.

В результате для двухлопастной мешалки

1 847Нт

kna = —(7623 + —) (2.33)

где Re - число Рейнольдса:

п • D2

Re=Th_^m (2.34)

V

Нт - ширина лопасти мешалки, м; v - кинематическая вязкость, м2/с.

Таблица 2.1 - Сравнение функций, аппроксимирующих результаты экспериментов по определению коэффициента мощности перемешивания

Наименование аппроксимирующей функции Полученные значения суммарной погрешности

Двухлопастная мешалка Открытая турбинная мешалка Трехлопастная мешалка с наклоненными лопастями

Полином 2-й степени 1153 3726 1095

Полином 3-й степени 692 769 647

Степенная 8 18 15

Логарифмическая 481 539 510

Экспоненциальная 311 267 362

Для открытой турбинной мешалки

N 0.00038HmLm>

Kna = -^¡ш )0000052 +-(2-35)

т

где N - количество лопастей мешалки; Vm - длина лопасти мешалки, м.

Для трехлопастной мешалки с наклоненными лопастями:

0.00038Н2 cosa

Kna = ReoJf (°-°00144 — (2.36)

где ае [0°; ±90°] - угол наклона лопасти мешалки к горизонтали, град.

После преобразований получены следующие соотношения для двухлопастной, турбинной открытой и трехлопастной мешалки с наклоненными лопастями соответственно:

$дв = (7623Dm + 847Нт) -p-np-v2, (2.37)

$дв = (0.0003Dm + 0.0008Нт • Lm) • N • р • np-57 • • v0A3, (2.38)

$дв = (0.0004Dm + 0.0003Нт • cos а) • р • npA3 • D^€A • v057. (2.39)

Таким образом, предлагаемая нами постановка задачи определения параметров конструкции и режима функционирования МПУ при его оснащении мешалкой одного из вышеуказанных типов предусматривает выбор значений Dm, Нт, hhm и n, которые обеспечивают минимальное значение дисперсии суммарной длины вектора скорости перемешиваемой среды (2.26) при условиях (2.9)-(2.25).

Следующий раздел посвящен проверке адекватности математической модели ПМП в вертикальном емкостном аппарате (2.9)-(2.25).

2.2 Проверка адекватности разработанной математической модели процесса механического перемешивания

2.2.1 Описание лабораторной установки

Для проверки адекватности математической модели (2.9)-(2.25) проведена серия экспериментов на лабораторной установке (рис. 2.2) по определению затрат мощности на перемешивание при использовании мешалок разных типов. Этот параметр был выбран как основная характеристика энергоэффективности аппарата, а также потому, что он является легко идентифицируемым и проверяемым, все имеющиеся на данный момент инженерные методики расчета МПУ предусматривают его определение.

Установка состоит из колбы высотой 0,45 м и диаметром 0,5 м с эллиптическим днищем и крышкой, на которой установлен привод мешалки, состоящий

из редуктора с электродвигателем постоянного тока, который вращает вал с мешалкой.

На рис. 2.3. представлены модели мешалок, создающих в вертикальных емкостных аппаратах потоки жидкости различной направленности: двухлопастная (рис. 2.3 а), создающая преимущественно тангенциальные потоки, турбинная открытая (рис. 2.3 б), образующая преимущественно радиальные потоки, и трехлопастная с наклоном лопастей 30о к горизонтали (такой угол выбран с учетом рекомендаций [47]), создающая осевые потоки («насосный эффект»).

Рисунок 2.2 - Лабораторная установка

_ •• I 'Ш+. ** чь,

а б в

Рисунок 2.3 - Модели мешалок а - двухлопастная, б - открытая турбинная, в - трехлопастная с наклонными лопастями

Аппарат заполнялся 0,04 м3 артезианской воды с характеристиками:

- температура - 20 °С;

- плотность - 1027 кг/м3;

- кинематическая вязкость - 1,006-10-6 м2/с.

Таблица 2.2 - Основные размеры и частоты вращения мешалок

Тип мешалки Диаметр мешалки, мм Высота лопасти мешалки, мм Частота вращения, 1/мин

Двухлопастная 135 14 20^100

Турбинная открытая 64 12 150^350

Трехлопастная с наклонными лопастями 64 6 350^750

Определение фактической мощности затрачиваемой на перемешивание производилось косвенным методом посредством измерения силы тока (I) цифровым амперметром СА3010/3-000, с классом точности 0.1, включенного в цепь между питающим трансформатором и электродвигателем постоянного тока [39] со следующими характеристиками:

- мощность - 150 Вт;

- напряжение питания- 24 В;

- номинальная частота вращения вала - 2730 об/мин;

- номинальный ток - 6,3 А.

Реальное напряжение питания (Ц) измерялось цифровым вольтметром Д5103 (класс точности 0.1). Для получения фактических значений затрат мощности на перемешивание из значения мощности при заполненном аппарате вычитали мощность, полученную при замерах на пустом аппарате.

2.2.2 Описание процесса проведения эксперимента

Вначале замерялась сила тока, при вращении мешалок в пустом аппарате, а затем - в заполненном. Замеры силы тока производились в течение 5 мин. с интервалом в 10 с после того, как колебания измеряемой величины приходили в состояние относительного покоя (амплитуда колебаний не превышала 10 % начальной). Новые замеры для следующей частоты вращения мешалки производились только после того, как течение жидкости в аппарате стабилизировалось. Результаты экспериментов приведены в приложении А.

Поскольку в установке используется двигатель постоянного тока, расчета мощности, затрачиваемой на перемешивание, производился по формуле [39]:

РДв = I,, (2.40)

где I - сила тока, А;

и - напряжение питания, В.

Для получения фактических значений затрат мощности на перемешивание из значения мощности, полученных для заполненного аппарата, вычитали мощность, полученную на пустом аппарате Итоговые результаты замеряемой мощности, затрачиваемой на перемешивание, приведены в таблице 2.5.

Сравнение результатов решения модели (2.9)-(2.25) и результатов экспериментов (табл. 2.3) свидетельствует о ее адекватности (отклонения результатов расчетов от экспериментальных данных не превышают 10%). Следовательно, предложенная математическая модель ПМП применима для моделирования и расчетов процесса перемешивания гомогенных сред в емкостных аппаратах с МПУ. В таблице также приведены результаты расчета затрат мощности на перемешивание, полученные по РД 26-01-90-85 «Механические перемешивающие

устройства. Метод расчета». Для большей наглядности данные табл. 2.3 представлены в виде графиков (рис. 2.4).

Таблица 2.3 - Результаты расчетов и измерений мощности, затрачиваемой на _перемешивание для исследуемых типов мешалок_

Частота Мощность Мощность Мощность

Тип мешалки вращения мешалки, 1/мин рассчитанная по модели (2.9)-(2.25), Вт рассчитанная по РД 26-01-90-85, Вт измеренная на лабораторной установке, Вт

20 0,009 0,004 0,008

40 0,017 0,014 0,016

Двухлопастная 60 0,026 0,022 0,024

80 0,034 0,032 0,032

100 0,043 0,042 0,040

150 0,027 0,040 0,024

Турбинная 200 0,056 0,154 0,056

250 0,099 0,445 0,096

открытая 300 0,159 0,946 0,160

350 0,236 1,700 0,216

350 0,073 0,042 0,072

450 0,134 0,129 0,136

Трехлопастная 550 0,218 0,173 0,208

650 0,327 0,267 0,312

750 0,464 0,320 0,448

Сравнение результатов решения модели (2.9)-(2.25) и результатов экспериментов (табл. 2.3) свидетельствует о ее адекватности (отклонения результатов расчетов от экспериментальных данных не превышают 10%). Следовательно, предложенная математическая модель ПМП применима для моделирования и расчетов процесса перемешивания гомогенных сред в емкостных аппаратах с МПУ. В таблице также приведены результаты расчета затрат мощности на перемешивание, полученные по РД 26-01-90-85 «Механические перемешивающие устройства. Метод расчета». Для большей наглядности данные табл. 2.3 представлены в виде графиков (рис. 2.4).

, об/мин

а) двухлопастная мешалка

б) турбинная открытая мешалка

в) трехлопастная мешалка

Рисунок 2.4 - Результаты расчетов мощности перемешивания по модели (2.9) - (2.25) (♦) и РД 26-01-90-85( ▲), измерений на лабораторной установке (■)

Как видно, результаты расчетов по РД 26-01-90-85 для лопастной мешалки незначительно отличаются от результатов расчетов по модели (2.9)-(2.25): среднее отклонение не превышает 25%. Однако для открытой турбинной мешалки применение методики из РД 26-01-90-85 приводит к существенному завышению расчетных затрат мощности (при п = 350 об/мин почти в семь раз). При использовании этой методики на практике мощность выбранного привода будет завышена, что приведет к необоснованному завышению энергозатрат и снижению эффективности оборудования в целом.

Для трехлопастной мешалки наблюдается обратная ситуация, т.е. полученные по РД 26-01-90-85 значения мощности на 30% меньше, чем результаты расчетов по модели (2.9)-(2.25). В результате привод МПУ может быть перегружен, что в итоге приведет к выходу аппарата из строя.

2.2.3 Проверка адекватности модели по результатам промышленного

эксперимента

Адекватность предложенной математической модели ПМП в вертикальных емкостных аппаратах проверена также по результатам промышленного эксперимента на аппарате ВЭЭ 2-3-0,63-0,6 У объемом 0,63 м3 с размерами D г = 1 м и Hr = 0,875 м, наполненного V = 0.47 м3 жидкости с параметрами: р = 1027 кг/м3 и V = 1,006-10-6 м2/с, в котором установлена открытая турбинная мешалка (Рт = 0.25 м, Нт = 0.12 м и Нкт = 0.22 м) (рис. 2.5).

Порядок проведения эксперимента, способ измерения мощности, затрачиваемой на перемешивание, а также измерительное оборудование аналогичны использованным в лабораторной установке, см. рис. 2.2. Единственное отличие -использование электродвигателя переменного тока с короткозамкнутым ротором: Рдв. = 550 Вт, и = 380 В, номинальная частота вращения ротора - 750 1/мин, номинальный ток 2,4 А, коэффициент мощности ео8ф = 0.6. Изменения размеров и типа мешалки в ходе проведения эксперимента были невозможны, т.к. использовался промышленный аппарат, установленный в одном из цехов АО

"Пигмент", г. Тамбов. С применением частотного преобразователя проведены исследования для нескольких значений частоты вращения мешалки, а именно: 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340 и 360 об/мин. Результаты экспериментов приведены в приложении Б

Рисунок 2.5 - Промышленный аппарат

Поскольку в установке используется двигатель переменного тока, для расчета мощности, затрачиваемой на перемешивание, использовалась следующая формула [39]:

$(2.41)

Таблица 2.5 - Результаты расчетов и измерений мощности, затрачиваемой на _перемешивание, для промышленного аппарата_

Частота вращения мешалки, 1/мин Мощность рассчитанная по модели (2.9)-(2.25), Вт Мощность рассчитанная по РД 26-01-90-85, Вт Мощность измеренная на промышленном аппарате, Вт

100 6,316 7,430 6,188

120 7,016 12,045 6,978

140 9,067 18,129 8,953

160 10,95 25,841 10,719

180 11,834 35,333 11,719

200 15,873 46,751 15,928

220 18,353 60,237 18,030

240 19,575 75,926 19,082

260 21,391 93,952 21,189

280 30,444 114,444 30,800

300 36,503 137,528 35,543

320 42,197 163,329 41,202

340 50,461 191,966 49,760

360 53,149 223,559 52,262

250 200 н 150 СО ^ 100 50 0 1 К

)0 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 п, об/мин

Рисунок 2.6 - Результаты расчетов мощности перемешивания по модели (2.9) - (2.25) (♦) и РД 26-01-90-85(А), измерений на промышленной установке (■)

Отклонение результатов эксперимента, от результатов расчета (табл. 2.5) по модели (2.9)-(2.25) не превысило 3%, следовательно, эта модель применима для расчетов ПМП и в аппаратах, отличающихся от лабораторной установки значением отношения диаметра аппарата к его высоте Нг.

Для большей наглядности представим имеющиеся данные табл. 2.5 в виде графика (рис. 2.6).

Выводы по второй главе

В данной работе используется подход к численному моделированию ПМП, основанный на решении осредненных по Рейнольдсу нестационарных уравнений Навье-Стокса в цилиндрической системе координат, обладающий обширной доказательной базой, основанной на физических экспериментах. Для описания гидродинамического давления жидкости использован интеграл Бернулли.

Для замыкания уравнений Навье-Стокса выбрана Я^в к-е модель турбулентности, удовлетворяющая требованиям точности и ресурсоемкости.

В качестве расчетной характеристики эффективности перемешивания предлагается использовать минимум дисперсии суммарной длины вектора скорости перемешиваемой среды, характеризующей степень равномерности поля скоростей в объеме аппарата.

Адекватность математической модели ПМП в вертикальном емкостном аппарате подтверждена серией экспериментов на лабораторной установке по определению затрат мощности на перемешивание при использовании мешалок разных типов путем измерения силы тока, потребляемого электродвигателем, при перемешивании однородной гомогенной жидкости и вращении мешалки в пустом аппарате. Сравнение результатов решения модели (2.9)-(2.25) и результатов экспериментов свидетельствует о ее адекватности (отклонение результатов расчетов от экспериментальных данных не превышает 10%).

Адекватность предложенной математической модели ПМП в вертикальных емкостных аппаратах проверена также по результатам промышленного эксперимента.

3 АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ УСТРОЙСТВ

Задача минимизации критерия (2.26) при условиях (2.9)-(2.25), (2.27)-(2.32) является задачей нелинейного программирования [18, 65]. Общепринятый алгоритм решения подобных задач предусматривает расчет значения критерия оптимизации для начальных значений параметров, полный, либо направленный, перебор допустимых комбинаций значений параметров, расчет значения критерия для каждой комбинации и фиксацию лучшей комбинации с точки зрения критерия.

Наиболее ресурсоемким этапом решения задачи является расчет поля скоростей в объеме перемешиваемой среды при фиксированных значениях диаметра мешалки Dm, ширины ее лопасти Нт, высоты расположения над днищем аппарата hhm, частоты вращения n и соответствующего значения критерия (2.26). Так при проверке адекватности математической модели (2.9)-(2.25) единичный расчет поля скоростей в лабораторном аппарате, см. п. 2.2.2, занимал около трех часов на компьютере с характеристиками:

- процессор: IntelPentium 2020M (2.4 ГГц);

- оперативная память: 8 ГБ DDR3 (800 МГц);

- видеокарта: NVIDIA GeForce GT 720M 2 ГБ (DDR3);

- жесткий диск: WD Blue 500 ГБ (5400 об/мин).

Расчет поля скоростей в сравнительно небольшом промышленном аппарате, см. п. 2.2.3, на том же компьютере требовал более шести часов.

Таким образом, алгоритм решения задачи (2.26), (2.9)-(2.25), (2.27)-(2.32), базирующийся на проведенных нами исследованиях [50, 51, 52, 103], должен предусматривать минимально возможное количество расчетов поля скоростей в объеме перемешиваемой среды исследуемого аппарата. На наш взгляд, такой методикой является методика планирования вычислительного эксперимента [77].

К числу факторов эксперимента относятся величины Dm, Нт и ккт, т.к. значение п однозначно определяется соотношениями (2.30)-(2.32), откликом объекта исследования является значение критерия (2.26).

Поскольку целью эксперимента является определение значений факторов, соответствующих экстремуму поверхности отклика объекта, необходимо выбрать один из планов эксперимента второго порядка. Наиболее популярным в вычислительной практике является ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП), благодаря следующим его свойствам [24, 66, 77]:

- симметричность относительно центра эксперимента;

- ортогональность матрицы планирования, позволяющая получать независимые оценки коэффициентов уравнения регрессии;

- "ротатабельность" матрицы планирования (экспериментальные точки находятся на равных расстояниях от центра эксперимента), обеспечивающая точность предсказаний значений отклика объекта исследования вне зависимости от направления их обхода.

Чаще всего ОЦКП применяется для построения полиномов регрессии второго порядка. Как видно из матрицы плана (табл. 3.1), в ОЦКП каждый фактор фиксируется на пяти уровнях:(-а,-1, 0, +1, +а) [87]. По результатам применения данной матрицы формируется полином:

у = Ь0 + Ь1с1 + Ь2с2 + Ь3с3 + Ъ12с1с2 + Ь13с1с3 + Ь23с2с3 +

(3.1)

+Ъ12з1с2сз + ЪЦ - а* + Ъ22(с| - а* + Ъзз(с| - а*, коэффициенты, которого определяются по формулам [77]

Ъ< = 1 • , Ъ = е1} • у}Щ= 1 е§, (3.2)

где I - индекс вектора-столбца матрицы ОЦКП, ву - значение '-го элемента этого столбца.

полинома второго порядка

№опыта С1 С2 С3 С1-С2 С1-С3 С2-С3 С1-С2-С3 2 с12 - а 2 С22 - а 2 С32 - а У

1 -1 -1 -1 + 1 +1 +1 -1 1 - а 1 - а 1 - а У1

2 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 1 - а 1 - а 1 - а У2

3 -1 + 1 -1 -1 +1 -1 +1 1 - а 1 - а 1 - а У3

4 +1 + 1 -1 + 1 -1 -1 -1 1 - а 1 - а 1 - а У4

5 -1 -1 +1 + 1 -1 -1 +1 1 - а 1 - а 1 - а У5

6 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 1 - а 1 - а 1 - а У6

7 -1 + 1 +1 -1 -1 +1 -1 1 - а 1 - а 1 - а У7

8 +1 + 1 +1 + 1 +1 +1 +1 1 - а 1 - а 1 - а У8

9 -а 0 0 0 0 0 0 а2 - а - а - а У9

10 +а 0 0 0 0 0 0 а2 - а - а - а У10

11 0 -а 0 0 0 0 0 - а а2 - а - а У11

12 0 +а 0 0 0 0 0 - а а2 - а - а У12

13 0 0 -а 0 0 0 0 - а - а а2 - а У13

14 0 0 +а 0 0 0 0 - а - а а2 - а У14

15 0 0 0 0 0 0 0 - а - а - а У15

Кодированные значения факторовсь с2, с3 определяется по формуле:

— х тш

с; =—-= 1,2,3; (3.3)

; . _тяу . лтп ' ' ' ' у '

—тах _ —тш

Л1 Л1

где хI - натуральное значение ¿-го фактора;

хтах, хт1П- границы интервала варьирования ¿-го фактора, а, а - константы (а ~ 1,215; а ~ 0,73). Рассмотренный план является избыточным как по числу экспериментальных точек (число экспериментов превосходит число коэффициентов полинома регрессии), так и по числу уровней варьирования факторов (пять вместо трех). Следовательно, ОЦКП при числе факторов более двух может быть использован

Таблица 3.2 - Матрица ОЦКП для трех факторов при формировании ^ ^ ^ полинома третьего порядка ___

№ опыта С1 С2 С3 01-02 01-03 02-03 01-02-03 2 2 022-а 2 032-а 3 013-П01 3 023-Л02 3 033-Л03 У

1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 1 - а 1 - а 1 - а -1 + п -1 + п -1 + п У1

2 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 1 - а 1 - а 1 - а 1 - п -1 + п -1 + п У2

3 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 1 - а 1 - а 1 - а -1 + п 1 - п -1 + п У3

4 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 1 - а 1 - а 1 - а 1 - п 1 - п 1 - п У4

5 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 1 - а 1 - а 1 - а -1 + п -1 + п 1 - п У5

6 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 1 - а 1 - а 1 - а 1 - п -1 + п 1 - п У6

7 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 1 - а 1 - а 1 - а -1 + п 1 - п 1 - п У7

8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1 - а 1 - а 1 - а 1 - п 1 - п 1 - п У8

9 -а 0 0 0 0 0 0 а2-а - а - а -а3+па 0 0 У9

10 +а 0 0 0 0 0 0 а2-а - а - а а3-па 0 0 У10

11 0 -а 0 0 0 0 0 - а а2-а - а 0 -а3+па 0 У11

12 0 +а 0 0 0 0 0 - а а2-а - а 0 а3-па 0 У12

13 0 0 -а 0 0 0 0 - а - а а2-а 0 0 -а3+па У13

14 0 0 +а 0 0 0 0 - а - а а2-а 0 0 а3-па У14

15 0 0 0 0 0 0 0 - а - а - а 0 0 0 У15

где п - константа (п ~ 1,1284).

Формируется уравнение регрессии вида: у = Ъ0 + Ъ1с1 + Ъ2с2 + Ъзсз + Ъ12с1с2 + Ъ^с^ + Ъ2зс2сз + +Ъ12зс1с2сз + Ъц(с12 - а* + Ъ22(с22 - а* + Ъзз(с| - а* +

(3.4)

+ Ъш(с1з - П1* + Ъ222(с2з - Пс2* + Ъззз(с| - ^з*, коэффициенты которого также определяются по соотношениям (3.2).

При реализации вычислительных экспериментов в качестве критерия адекватности получаемых полиномов регрессии результатам экспериментов

1

N д

IlJy^yr* (3.5)

G = .

ymin — Утах

где yi - результат эксперимента в ¿-ой точке плана;

yrt - расчетное значение отклика объекта в ¿-ой точке плана; Утах и ymin - максимальное и минимальное расчетные значения отклика объекта в точках плана;

N- количество точек плана.

Для обоснованного выбора вида уравнения регрессии необходимо выбрать его начальный, а затем увеличенный порядок и сравнить соответствующие значения относительной ошибки.

3.2 Выбор вида уравнения регрессии и определение оптимальных значений факторов

Расчеты проводились для аппарата и жидкости, использованных при проверке адекватности модели (2.9)-(2.25) при средних рекомендуемых значениях п для двухлопастной, турбинной открытой и трехлопастной мешалки с наклонными лопастями с учетом ограничения (2.31). Для расчетов использовался тот же компьютер.

Фиксированные уровни факторов Dm, Нт и Ннт приняты в соответствии с рекомендациями [15, 70], см. табл. 3.3. Дополнительным параметрам турбинной открытой мешалки присвоены следующие значения: число лопастей 6, отношение диаметра диска к диаметру мешалки 0.75, угол наклона лопастей трехлопастной мешалки - 30о к горизонтали.

Кодированные значения -1,215 -1 0 1 1,215 п, 1/мин

Двухлопастная мешалка Dm, м 0,160 0,169 0,213 0,257 0,226

Нт, м 0,010 0,012 0,021 0,033 0,036 50

ккт, м 0,025 0,043 0,125 0,207 0,225

Турбинная Dm, м 0,067 0,073 0,100 0,127 0,133

открытая Нт, м 0,010 0,014 0,030 0,046 0,050 250

мешалка ккт, м 0,025 0,043 0,125 0,207 0,225

Трехлопастная мешалка Dm, м 0,067 0,073 0,100 0,127 0,133

Нт, м 0,010 0,014 0,030 0,046 0,050 500

Ннт, м 0,025 0,043 0,125 0,207 0,225

Файлы расчетов по формированию полинома вида (3.1) и оптимизации значений параметров Dm, Нт и Ннт в среде МаШсаё приведены в приложении В. Результаты оптимизации - в табл. 3.4.

Таблица 3.4 - Результаты оптимизации параметров мешалок с использованием _полиномов регрессии вида (3.1)_

Тип мешалки Частота вращения мешалки, об/мин Отн. ошибка полинома регрессии, % Основные параметры, [рекомендации РД 26-01-90-85]

Диаметр мешалки, м Ширина лопасти, м Высота установки, м

Двухлопастная 50 4 0,246 [0,16;0,267] 0,033 [0,019] 0,043 [0,077;0,192]

Турбинная открытая 250 2,7 0,105 [0,067;0,133] 0,046 [0,017] 0,043 [0,034;0,085]

Трехлопастная 500 2,7 0,105 [0,067;0,133] 0,046 [0,017] 0,043 [0,034;0,085]

Как видно, результаты оптимизации параметров Бт и кнт входят в диапазоны, рекомендуемые [28, 70], а оптимальные значения высоты лопасти мешалки существенно превышают рекомендуемые: для двухлопастной мешалки более, чем в 1,7 раза, для турбинной открытой и трехлопастной - более, чем в 2,7 раза.

О 2x10 3 4x10 3 6x10 3

а) двухлопастная мешалка

0 0.01 0.02

б) турбинная открытая мешалка

в) трехлопа0тная мешалка Рисунок 3.1 - Графическая интерпретация точности квадратичных полиномов

регрессии

Значения относительной ошибки сформированных полиномов регрессии меньше критического (5%), однако графическое представление их точности, см. рис. 3.1, свидетельствует о серьезных отклонениях ряда расчетных значений отклика от результатов эксперимента. Кроме того, см. табл. 3.3 и 3.4, оптимальные значения параметров Нт и Ннт для мешалок всех типов равны граничным кодированным значениям интервалов их варьирования (1 и -1 соответственно), т.е. минимум полинома регрессии находится за пределами этих интервалов.

Результаты расчетов по формированию полинома вида (3.2) и их применения для оптимизации параметров Dm, Нт и Ннт мешалок трех типов также приведены в приложении В. Результаты оптимизации - в табл. 3.5.

Таблица 3.5 - Результаты оптимизации параметров мешалок с использованием

полиномов регрессии вида (3.2)