Организация вычислений в конвейерных вычислительных системах в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системе счисления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат технических наук Пенчев, Огнян Иванов

• Пенчев, Огнян Иванов
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Пенчев, Огнян Иванов

Стр.

ВВЕДЕНИЕ.

1. КОНВЕЙЕРНЫЙ МЕТОД ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ И ИТЕРАЦИОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ.

1.1. Метод ¿/И" -деления.11.

1.2. Метод вычисления "цифра за цифрой".о.

1.3. Неавтономный режим вычисления.».о*.

1.4. Введение избыточности в итерационные вычислитель-. ные алгоритмы машинной арифметики.

2. МОДЕЛЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ В-ДВОИЧНОЙ ИЗБЫТОЧНОЙ МОДИФИЦИРОВАННОЙ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ. 2.1. Общая схема деления.

2.2. Синтез алгоритмов операции.деления аддитивной нормализацией.о.о.«••••.

2.3. Синтез алгоритмов операции умножения.

3. ВВЕДЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ В АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МЕТОДОМ "ЦИФРА ЗА ЦИФРОЙ" И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ.ФУНКЦИЙ.В. НЕАВТОНОМНОМ РЕЖИМЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

3.1. Развитие теоретической модели общей схемы деления.

3.2. Вычисление функции натурального.логарифма.

3.2.1. Этап псевдоделения.

3.2.1.1. Автономный алгоритм.*. ^

3.2.1.2. Неавтономный алгоритм.«о.

3.2.2. Этап псевдоумножения. ^

3.2.2.1. Псевдоумножение без дискретизации результата. ^

3.2.2.2. Псевдоумножение с дискретизацией, результата.

3.3. Вычисление функции экспоненты.

3.3.1. Этап псевдоумножения, о «о о о «о.о о.

3.3.1.1. Автономный алгоритм.о.

3.3.1.2. Неавтономный алгоритм.0.»

3,3*2. Этап псевдоумножения.• .•••.•«••••.

3.3.2Л. Псевдоумножение без дискретизации результата, 85 3,3.2.2, Псевдоумножение с дискретизацией результата. 87 3.4. Операция поворота вектора в .комплексной плоскости

3.4Л. Этап псевдоделения.о.».„.о.*.

3.4Л.1. Автономный алгоритм.

3.4.1.2. Неавтономный алгоритм.

3.4.2. Этап-псевдоумножения.«о.

3.4.2.1. Автономные алгоритмы.•».•••.••.

3.4.2.1.1. Автономный алгоритм без дискретизации ре. зультата с деформацией решения.•.••••««••

3.4.2.1.2. Автономный алгоритм без дискретизации ре. . зультата с компенсацией деформации решения

3.4.2.1.3. Автономный алгоритм с дискретизацией,ре-. зультата и с деформацией решения.

3.4.2.1.4. Автономный алгоритм с дискретизацией результата и с компенсацией, деформации решения

3.4.2.2. Неавтономные алгоритмы.

3.4.2.2.1. Неавтономный алгоритм без дискретизации, ре. . . зультата с деформацией решения.«•••«•••• Ю

3.4.2.2.2. Неавтономный алгоритм без дискретизации ре. . . зультата с компенсацией деформации решения Ю

3.4.2.2.3. Неавтономный алгоритм с дискретизацией ре-, зультата и с деформацией решения.о**.

3.4.2.2.4. Неавтономный алгоритм с дискретизацией результата и с компенсацией деформации решения ^^

3.4.3. Методические ошибки операции.поворота вектора в комплексной плоскости.

3.5, Извлечение квадратного.корня*•«.••.•.♦•••вв.».

3.5.1. Автономный алгоритм.во.

3.5.2. Неавтономный алгоритм. о.о <,.о „.

4. СТРУКТУРНЫЕ АСПЕКТЫ РЕАЛИЗАЦИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ:

АЛГОРИТМОВ МЕТОДОМ "ЦИФРА ЗА ЦИФРОЙ". В. КОНВЕЙЕРНЫХ.

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ ИНФОРМАЦИИ.

401о Структурная организация.конвейерных.преобразователей информации., о. .о. о.,.».

4.2. Реализация неавтономных алгоритмов, вычисления.методом "цифра за цифрой" в КПРИ.

4.3. Эффективность неавтономного режима вычислений.«.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Организация вычислений в конвейерных вычислительных системах в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системе счисления»

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам повышения эффективности вычислений на основе дальнейшего развития алгоритмических и структурных аспектов построения высокопроизводительных вычислительных средств конвейерного типа. С этой целью систематически исследован круг вопросов, связанных с синтезом вычислительных алгоритмов машинной арифметики в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системе счисления и с реализацией этих алгоритмов в конвейерных преобразователях информации (КЛЕИ). Особое внимание уделено дальнейшему обоснованию неавтономного режима вычислений, который в сочетании с конвейерным методом обработки, информации допускает возможность организации параллелизма при выполнении последовательностей машинных команд на уровне элементарных операций вычисления разрядов промежуточных результатов независимо от связности этих команд. Для этого режима модифицированы алгоритмы вычисления методом "цифра за цифрой", которые благодаря своему итеративному характеру естественным образом отображаются на структуру процессоров с кон-вейерно-циклической организацией. Работа выполнена в соответствии с принципами организации конвейерных вычислительных систем, предложенных и развиваемых на кафедре вычислительной техники Киевского политехнического института.

Повышение производительности вычислительных систем всегда являлось одной из основных задач структурного совершенствования средств вычислительной техники. Обычно высокая производительность достигается путем сочетания параллельной и конвейерной обработки информации на всех уровнях вычислительной системы. Но высокопроизводительная аппаратура, особенно на уровне арифметических подсистем, обычно проблемно ориентирована. Б случае универсальных вычислительных систем для решения задач, поддающихся глубокому распараллеливанию, к центральным процессорам подключаются матричные приставки. В сверхвысокопроизводительных ЭВМ типа с^Я^-ЮО, Суёе^-205 и-I для решения таких задач предусмотрен специальный режим векторной обработки информации, который поддержан аппаратно.

Важным направлением в развитии вычислительной техники является создание высокопроизводительных проблемно-ориентированных, систем, предназначенных для работы в реальном масштабе времени. Анализ вычислительных задач цифровой обработки сигналов показывает, что умножение действительных чисел наиболее часто встречаемая операция. Но в более сложных применениях цифровой обработки сигналов и матричной арифметики, таких как статистический анализ, адаптивные фильтрация, управление и оценивание, линейное и нелинейное программирование, широко используются следующие операции: умножения и деления комплексных чисел, вычисления.корней, тригонометрических, гиперболических и обратных функций. Реализация указанных функций в режиме реального масштаба времени при помощи операций умножения и деления неэффективна. Это является аргументом в пользу применения методов вычисления "цифра за цифрой" в задачах цифровой обработки сигналов.

С другой стороны с появлением СБИС возникает необходимость в пересмотре известных алгоритмов параллельной обработки информации. Цена коммуникационных связей на кристале СШС, выраженная через время прохождения сигналов и через площадь, занятую связывающими шинами и их драйверами, чрезвычайно высока. В результате существует тенденция к аппаратной реализации вычислительных алгоритмов, использующих только локальные коммуникации. Такие алгоритмы должны в максимальной степени соответствовать структуре проблемно-ориентированной.вычислительной системы. Это требование обычно достигается путем декомпозиции исходно.й задачи на базовые однотипные подзадачи, связанные между собой только локальными коммуникациями. В вычислительной системе такие подзадачи реализуются базовыми вычислительными модулями. Эти модули должны отвечать двум требованиям: одни должны обладать достаточно большой вычислительной мощностью и функциональными возможностями, а также иметь простую аппаратурную реализацию. Указанные требования легко выполняются, если базовые модули реализованы на основе алгоритмов вычисления методом "цифра за цифрой", что является вторым аргументом: в пользу применения этих алгоритмов в задачах цифровой обработки сигналов,

В последние годы в качестве альтернативы классической машинной арифметики все большее внимание уделяется развитию неавтономного режима обработки информации, позволяющего повысить производительность вычислительной системы за счет совмещения выполнения смежных комацп во времени на уровне элементарных операций вычисления разрядов промеждуточных результатов. При этом отмечаются такие достоинства неавтономных вычислительных алгоритмов как модульность и однородность арифметического устройства, ограниченное число связей между отдельными модулями, децентрализованное управление, возможность реконфигурации вычислительной системы. Поэтому неавтономные алгоритмы отвечает требованиям реализации в виде БИС и СБИС. Специфическим для неавтономного режима вычислений является также то, что можно добиться повышения быстродействия при решении задач, не поддающихся распараллеливанию обычными методами, например при вычислениях по рекуррентным формулам, характерным для метода "цифра за цифрой". Следовательно, синтез и реализация алгоритмов вычислений методом "цифра за цифрой" в неавтономном режиме работы являются актуальными и перспективными с точки зрения их применения в проблемно-ориентированных вычислительных системах, работающих в реальном масштабе времени•

Целью работы является повышение эффективности вычислений, основанных на применении итерационных алгоритмов в КПРИ, синтез автономных и неавтономных алгоритмов вычисления элементарных функций методом "цифра за цифрой" в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системе счисления и их реализации в КПРИ.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы:

1. Общая теоретическая модель вычислений в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системесчисления и организация требуемых вычислений путем отображения данной модели на структуру КПРИ. Эта модель охватывает как частный случай традиционные представления и позволяет получить оптимальные условия сходимости сложных вычислительных алгоритмов,

2. Способ введения избыточности в алгоритмы вычисления методом "цифра за цифрой" и автономные алгоритмы вычисления элементарных функций, использующие технику суммирования с сохранением переносов.

3. Способ модификации алгоритмов вычисления методом "цифра за цифрой" для неавтономного режима работы и неавтономные алгоритмы вычисления элементарных функций.

На основе предложенной теоретической модели вычисления впервые в полном объеме решена задача введения избыточности в алгоритмы вычисления методом "цифра за цифрой". Что касается синтеза неавтономных алгоритмов методом "цифра за цифрой", то следует заметить, что к началу работы над диссертацией он был признан открытой проблемой /Триведи, Руснак, 1978/.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Пенчев, Огнян Иванов

ВЫВОДЫ:

1. Итерационные вычислительные алгоритмы метолом "цифра за цифрой" естественным образом отображаются на структуру конвейерных преобразователей информации путем распределения шагов итерации по строкам конвейера. При этом с целью увеличения тактовой, частоты конвейерного арифметического устройства предпочтительнее применять алгоритмы, использующие технику алгебраического суммирования с запоминанием переносов.

2. Возможны два подхода реализации неавтономных алгоритмов вычисления методом "цифра за цифрой" в конвейерных преобразователях информации. При первом из них строится рекурсивный конвейер с обратными связями межпу строками, служащими для передачи старших разрядов промеждуточных результатов. В этом случае в конвейере реализован аппаратно весь набор алгоритмов.

Второй подход соответствует двухмерной ортогональной организации конвейерной вычислительной системы. В этом случае каждый алгоритм или группа алгоритмов реализован в отдельном конвейере. Все конвейеры связаны коммутатором для передачи старших разрядов промеждуточных результатов с целью реализации обобщенных вычислительных операторов.

3. Каждый неавтономный алгоритм получается более сложным по сравнению с соответствующим ему автономным алгоритмом, вычисляющим ту же функцию. Это значит, что применение неавтономного алгоритма связано с большими аппаратурными затратами и его время вычисления больше, чем в случае применения автономного алгоритма.

Поэтому об эффективности неавтономных алгоритмов есть смысл говорить только в том случае, если они включены в состав обобщенного оператора, выполняемого в режиме совмещения смежных операций во времени.

В работе предложен критерий эффективности неавтономного режима вычислений. Эффективность реализации обобщенного оператора растет с увеличением его длины и разрядности результатов вычислений.

4. В целях построения конвейерной вычислительной системы с достаточно широкими функциональными возможностями нужно расширить круг синтезированных неавтономных алгоритмов вычисления методом "цифра за цифрой". Основополагающей при этом остается разработанная модель общей схемы деления.

- 155 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе получены следующие результаты:'

1. Обоснованна перспективность автономных и неавтономных алгоритмов вычислений методом "цифра за цифрой" для построения высокопроизводительных проблемно-ориентированных вычислительных систем. Показано, что наиболее полно специфика данных алгоритмов отражается при конвейерной организации параллельных вычислений. .

2. Разработана общая теоретическая модель вычислений в двоичной избыточной модифицированной квазиканонической системе счисления, позволяющая получить точные условия сходимости для каждого конкретного алгоритма машинной арифметики. При этом учтены такие специфические особенности алгоритмов вычисления методом "цифра за цифрой" как асимметрия вычислительной процедуры при выборе цифр псевдочастного и зависимость нормирования частичных остатков от индекса итерации. Аналитические выражения, связывающие нормирование операндов с параметрами вычислительных алгоритмов, доведены до получения практических оценок. Предложены оптимальные по быстродействию процедуры выбора цифр псевдочастного для всех рассмотренных алгоритмов.

3. Введена избыточность в алгоритмы вычислений методом "цифра за цифрой", благодаря чему данные алгоритмы модифицированы для выполнения с использованием операции алгебраического суммирования с сохранением /то есть без распространения/ переносов.

4. Предложены неавтономные алгоритмы вычислений методом "цифра за цифрой", позволяющие повысить быстродействие вычислительной системы за счет совмещения смежных команд во времени на уровне элементарных операций вычисления разрядов промежуточных результатов.

5. Для всех разработанных алгоритмов определены методические погрешности вычисления результата.

6„ Разработана структура конвейерного преобразователя информации, реализующего указанные алгоритмы в неавтономном режиме вычислений.

7. Предложен критерий оценки эффективности вычислений в неавтономном режиме работы.

- 1DV

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Пенчев, Огнян Иванов, 1984 год

1. Аристов В.В, Интегро-алгоритмическйе вычисления» - Киев: Наукова думка, 1980. - 192 с.

2. Байков В.Д., Селютин С.А» Аппаратурно-ориентированный метод решения типовых задач линейной алгебры. Автоматика и вычислительная техника, 1983, № I, с. 23-28.

3. Байков В.Д., Смолов В.Б. Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ, Ленинград: Изд-во Ленинградского ун-та, 1975. - 96 с.

4. Бахтиаров Г„Д., Зиняков Н.Л. Алгоритм Волдера и его применение в вычислительной технике и цифровой обработке сигналов. -Зарубежная радиоэлектроника, 1983, № 3, с. 3-23.

5. Глушков В.М., Капитонова Ю.В., Летичевский А.А., Горлач С.П. Макроконвейерные вычисления функций над структурами данных. -Кибернетика, 1981, íM,.c. 13-21.

6. Жабин В.И., Корнейчук В.И., Тарасенко В0П. Метод деления чисел в избыточном представлении. Автоматика и вычислительная техника, 1977, № 3, с. 81-85.

7. Жабин В.И. Алгоритм неавтономного вычисления квадратного корня на цифровом устройстве, работающем в реальном масштабе времени. Автоматика и вычислительная техника, 1977,1. I, с. 83-88.

8. Жабин В.И., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П. Некоторые машинные методы вычисления рациональных функций многих аргументов. Автоматика и телемеханика, 1977, № 12, с. 145-154.

9. Жабин В.И., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П. Методы вычисления некоторых функций при поразрядном вводе и выводе информации. Известия вузов СССР. Приборостроение, 1978, № 2, с. 64-69.

10. Ю. Жабин В.И., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П., Щербина A.A. Структурный способ быстрого решения систем алгебраических уравнений с трехдиагнональной матрицей. Автоматика и вычислительная техника, 1979, № 6, с. 73-80.

11. Жабин В.И., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П., Щербина А.А, Быстродействующая мультимикропроцессорная вычислительная система для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Управляющие системы и машины, 1980, № 6, с. 38-42.

12. Карцев М.А. Арифметика цифровых машин. М.: Наука, 1969. -576 с.

13. Карцев М.А., Брик В.А, Вычислительные системы и синхронная арифметика. М.: Радио и связь, 1981. - 360 с.

14. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Вычисление элементарных функций методом цифра за цифрой в избыточных системах счисления. -Препринт /АН УССР, Ин-т кибернетики; 83-22, Киев, 1983.30 с.

15. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Методология вычисления в знакораз-рядных системах счисления. Гибридные вычислительные машины и комплексы, 1983, вып. 6, с. 3-12.

16. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Об одной теореме машинной арифметики с фиксированной запятой в избыточной двоичной квазиканонической системе счисления. Кибернетика, 1983, № 6, с, 50-56.

17. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Реализация итерационных методов вычисления в конвейерных ЭВМ. Вестник Киев, политехи, ин-та. Автоматика и электроприборостроение, 1982, вып. 19, с. 92-95.

18. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Критерий эффективности неавтономного режима вычислений. В кн.: Распараллеливание обработки информации: Тезисы докладов и сообщений 1У Всесоюзной школы-семинара, ч. I /Львов: Ж АН УССР, 1983, с. 38-39.

19. Луцкий Г.М., Пенчев О.И. Общий подход к организации вычислений в неавтономном режиме работы. В кн.: Распараллеливание обработки информации: Тезисы докладов и сообщений 1У Всесоюзной школы-семинара, ч. Ш /Львов: ФМИ АН УССР, 1983, с. 180.

20. Луцкий Г.М., Корочкин A.B., Долголенко А.Н., Пенчев О.И. Конвейерное устройство для вычисления цепных дробей. -A.C. Ш 972503 /СССР/, Опубл. в Б.И., 1982, № 41.

21. Оранский A.M. Аппаратные методы в цифровой вычислительной технике. Шнек: Изд-во БГУ им. В.И.Ленина, 1977. - 208 с.

22. Палагин A.B., Иванов В.А., Кургаев А.Ф., Денисенко Б.П. Мини-ЭВМ. Принципы построения и проектирования. Киев: Наукова думка, 1975. - 200 с.

23. Папернов A.A. Логические основы цифровой вычислительной техники. М.: Советское радио, 1972. - 592 с.

24. Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высшая школа, 1970. - 308 с.

25. Самофалов К.Г., Луцкий Г.М. Структуры.и организация функционирования ЭВМ и систем. Киев: Вища школа, 1978. - 392 с.1

26. Самофалов К.Г., Луцкий Г.М,. Основы построения конвейерных ЭВМ. Киев: Вища школа, 1981. - 224 с.

27. Самофалов К.Г., Кухарчук А.Г., Луцкий Г.М. Структуры ЭВЦМ четвертого поколения. Киев: Техника, 1972. 256 с.

28. Смолов В.Б., Байков ВСД. Перспективные направления использования метода вычислений "цифра за цифрой" в микропрограммных процессорах. Известия вузов СССР. Приборостроение, 1978,5, с. 46-53.

29. Фуре С.Н. Простая и эффективная процедура для вычисления элементарных функций. Известия вузов СССР. Приборостроение, 1982, № Ю, с. 322-325.

30. Шауман A.M. Основы машинной арифметики. Ленинград: Изд-во Ленинградского ун-та, 1979. - 312 с.

31. Щербина A.A. Об использовании избыточных систем счисления для ускорения решения систем линейных алгебраических уравнений. -Электронное моделирование, 1981, № 6, с. 86-87.

32. Ahmed H.M., Delosme J.MC, Morf Mo Highly concurrent computing structures for matrix arithmetic and signal processing. Computer, 1982, no. 1, p. 65-82.

33. Atkins D.E. Introduction to the role of redundancy incomputer arithmetic. Computer, 1975» no. 6, p. 74—76.

34. Baker P.W. Parallel multiplicative algorithms for some elementary functions. IEEE Trans. Comput., 1975»v. C-24, no. 3, p. 322-325.

35. Baker P.W. More efficient radix-2 algorithms for some elementary functions. IEEE Trans. Comput., 1975»v. C-24, no. 11, p. 1049-1-54.

36. Baker P.W. Suggestion for a fast binary sine/cosine generator. IEEE Trans. Comput., 1976, cv. C-25, no. 11, p. 1134-1136.

37. Campeau J.O. Cellular redundancy brings new life to an old algorithm. Electronics, 1969, v. 42, no. 15, p. 98104.t *

38. Chen T.C. Automatic computations of exponentials, loga -rithms, ratios and square roots. IBM J. Res. and

39. Develop., 1972, no. 4, p. 380-388.

40. De Lugish B.G. A class of algorithms for automatic evaluation of certain elementary functions in a binary computer. Univ. Illinois, Urbana, Dep. Comput. Sci. Rep. no. 399, 1970, 181 p.

41. Despain A.M. Fourier transform computers using CORDIC iterations. IEEE Trans. Comput., 1974, v. C-23,no. 10, p. 993-1001.

42. Ercegovac M.D. Radix-16 evaluation of certain elementary functions. IEEE Trans. Comput., 1973» v. C-22, no. 6, p. 561-566.

43. Ercegovac M.D. A general hardware-oriented method for . evaluation of functions amd computations in a digital computer. IEEE Trans. Comput., 1977» v. C-26, no. 7, p. 667-680.

44. Ercegovac M.D. An on-line square rooting algorithm. -Proc. 4th. Symp. Comput. Arith., Santa Monica, Calif., 1978, p. 183-189.

45. Ercegovac M.D., Takata M.M. An arithmetic module for efficient evaluation of functions. Proc. 4th. Symp. Comput. Arith., Santa Monica, Calif., 1978, p. 190-199.

46. Ffiedlander B. Lattice filters for adaptive processing. • Proc. IeEE, 1982, v. 70, no. 8, p. 829-867.

47. Frieman C.V. Statistical analysis of certain binary division algorithms. Proc. IRE, 1961, v. 49, no. 1, p. 91-103.4 •

48. Gorji-Sinaki A., Ercegovac M.D. Design of a digit-slice on-line arithmetic unit. Pric. 5th. Symp. Comput.

49. Arith. Ann Arbor, Mich., 1981, p. 72-80.

50. Haviland G.L., Tuszynski A.A. A CQRDIC arithmetic processor chip. IEEE Trans. Comput., 1980, v. C-29, no. 2,p. 68-79.

51. Irwin M.J. A pipeline processing unit for on-line division. SIGARCH Newsletter, 1978, no. 7.

52. Kung H.T. The structure of parallel algorithms. -Advances in Computers, 1980, v. 19, p. 65-112.

53. Kung S.Y., Arun K.So, Gal-Ezer R.J., Rao D.V.B. Wave -front array processor: language, architecture, and applications. IEEE Trans. Comput., 1982, v. C-31,p. 1054-1065.

54. Linhardt R.J., Miller H.S. Digit-by-digit transcendental-function computations. RCA Review, 1969» v. 30, no. 2, p. 209-247.

55. Meggitt J.E. Pseudo division and pseudo multiplication processes. IBM J. Res. and Develop., 1962, no. 2,p. 210-226.

56. Metze G. A class of binary divisions yielding minimally represented quotients. IRE Trans. Electron. Comput., 1962, no. 4, p. 761-764.

57. Metze G. Minimal square rooting. IEEE Trans. Electron. Comput., 1965, no. 2, p. 181-185.

58. Oklobdzija V.G., Ercegovac M.D. An on-line square root algorithm. IEEE Trans. Comput; 1982, v. C-31, no. 1,1. P. 70-75.

59. Owens R.M. Compaund algorithms for digit online arithmetic. Proc. 5th. Symp. Comput. Arith., Ann Arbor, Mich.,1981, p. 64-71.

60. Owens R.M., Irwin M.J. On-line algorithms for the design of pipeline architectures. SIGARCH Newsletter, 1979, no. 6.

61. Raghavendra C.S., Brcegovac M.D. A simulator for online arithmetic. Proc. 5th. Sjmp. Comput. Ar'ith., . Ann Arbor, Mich., 1981, p. 92-99.

62. Robertson J.E. A new class of digital division methods. -IRE Trans. Electron. Comput., 1958, no. 3, p. 218-222.

63. Robertson J.E. The correspondens between methods of digital division and multiplier recoding procedures. -IEEE Trans. Comput., v. C-19, no. 8, p. 692-701.

64. Robertson J.E., Trivedi K.S. The status of investigation into computer hardware design based on the use of continued fractions. IEEE Trans. Comput., 1973»v. C-22, no. 6, p. 555-560.

65. Sarkar B.P., Krishnamurthy E.V. Economic pseudodivision process for obtaining square root, logarithm and arctan.-IEEE Trans. Comput., 1971, v. C-20, no. 12, p. 15891593.

66. Specker W.H. A class of algorithms for Ln x, Esq) x, Sin x, Cos x, Tan-X|x, and Cot'^x. IEEE Trans. Electron. Comput., 1965» nOo 1, Po 85-86.

67. Tan K.G. The theory and implementation of high-radix division. Proc. 4th. Sjmp. Comput. Arith., Santa Monica, Calif., 1978, p. 154-16?.

68. Voider J.E. The CGRDIC trigonometric computing tech -nique. IRE Trans. Electron. Comput., 1959, v. EC-8, no. 3, p. 330- 334.

69. Watanuki 0., Ercegovac M.D. floating-point on-line arithmetic: algorithms. Proc. 5th. Sjmp. Comput. Arith., Ann Arbor, Mich., 1981, p. 81-86.

70. Watanuki 0., Ercegovac M.D. Floating-point on-line arithmetic: error analysis. Proc. 5th. Symp. Comput. Arith., Ann Arbor, Mich., 1981, p. 87-91.