Оптимизация управления стохастических систем с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Аюкасов, Рустам Анатольевич

• Аюкасов, Рустам Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аюкасов, Рустам Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

1.1 Постановка задачи.

1.2. Сведение задачи поиска оптимального управления стохастической системы к детерминированной задаче оптимального управления.

1.3 Управляемость нелинейных стохастических систем с запаздыванием.

1.4 Выводы.

2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Необходимые условия оптимальности.

2.2 Необходимые условия сильного экстремума.

2.3 Необходимые условия оптимальности управления с обратной связью

2.4 Оптимальное управление линейных стохастических систем с запаздыванием.

2.5 Примеры построения оптимального управления.

2.6 Выводы.

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

3.1 Введение.

3.2 Численный метод поиска оптимального управления.

3.3 Пример численного решения.

3.4 Выводы.

4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

4.1 Введение.

4.2 Задача оптимизации стохастических систем с запаздыванием.

4.3 Оптимизация управления линейных стохастических систем с запаздыванием.

4.4. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация управления стохастических систем с запаздыванием»

Актуальность работы

Системы, описываемые стохастическими дифференциально-разностными уравнениями, играют значительную роль в исследовании многих прикладных задач. Такие уравнения появляются там, где свойства объекта определяются эффектом последействия, и служат математическими моделями различных процессов: автоматического регулирования и управления техническими системами, развития, экономических и социальных систем; генерации сигналов, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов, влияния излучений, линий задержки; радиолокации и радионавигации, процессов в авиационных силовых установках и т.д

Звенья с запаздыванием могут появляться при моделировании объектов в механике наследственных сред, радиотехнике и радиофизике; в теории циклов в судостроительной промышленности, электронике и теоретической^ физике; теплопередаче, описании гистерезисных систем и влиянии гидравлического удара на устойчивость работы турбин; следящих приводов, напряженно-деформированного состояния ряда материалов (бетона, полимеров и пластмассы, древесины, льда, горных пород и др.), аэроавтоупругости, при изучении движения тел с учетом их взаимодействия с окружающей средой, действия лекарств, в робототехнике; замене систем с распределенными параметрами (гидропривод, акустическая линия и т.п.) эквивалентными звеньями.

К причинам возникновения таких явлений можно отнести транспортное, информационное и инерционное запаздывания (при передаче вещества, энергии, сигнала, информацию на расстояние), конечность скорости движения носителей электрических зарядов, запаздывание реакции в системах с человеком оператором.

Запаздывание в системах приводит к новым эффектам, например самовозбуждению колебаний, увеличению перерегулирования и неустойчивости объектов.

Также учет последействия в математических моделях позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с изучаемыми явлениями. В качестве примера можно привести работы [1,2,3,4] посвященные теории и приложениям дифференциальных уравнений, которые содержат наряду с искомой функцией ее значения в различные моменты времени. Так, например, учет запаздывания в цепи обратной связи в математической модели локатора (уравнение Минорского) позволил обнаружить устойчивые колебания в МХ-контуре на частоте, сильно отличающейся от частоты контура [4,5,6,7,8], ранее этот факт был обнаружен экспериментально. Введение запаздывания в математическую модель процесса обработки детали на токарном станке [9] позволило объяснить возникновение нежелательных вибраций резца. Эффект «галлопирования», наблюдаемый многими исследователями при движении самолета по грунтовому аэродрому, стал очевидным фактом после учета запаздывания в линейном уравнении движения, вызванное временем прохождения самолетом расстояния между передними и задними колесами шасси [10].

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности развития методов оптимизации управления систем, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими, значения неизвестных функций в различные моменты времени.

Степень разработанности проблемы

Впервые детерминированные системы с запаздыванием появились в литературе XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако их изучение началось только в 50-х годах XX века, в рамках развития теории автоматического регулирования, когда выяснилось, что для описания практических систем необходимо привлекать такой параметр, как время реакции системы. Постановка основной начальной задачи была выполнена А.Д. Мышкисом в 1949 году [11].

Впервые принцип максимума для детерминированных систем с запаздываниями был получен в [12]. В настоящее время существует множество работ, относящихся к теории принципа максимума для детерминированных систем с запаздываниями, в частности стоит отметить абстрактную схему вывода необходимых условий оптимальности детерминированных систем с запаздыванием [13]. Наиболее полно в упомянутой теории разработан случай, когда запаздывания в управлениях соизмеримы.

Однако в ряде случаев рассмотрение детерминированной модели не дает удовлетворительного результата, поскольку например, случайные возмущения параметров могут не только количественно, но и качественно отражаться на результатах анализа динамики систем [14, 15].

Следует отметить, что в известных работах [2, 16, 17, 18] рассматриваются в основном задачи поиска оптимального управления для линейных стохастических систем с запаздыванием. В этих работах условия оптимальности исследуются на основе принципа максимума Понтрягина. Для нелинейных стохастических систем с запаздыванием более полно рассмотрены только задачи анализа [19, 23].

Задачи поиска оптимального управления стохастических систем с запаздыванием, представленные в иностранной литературе [82,83,84,86,86,87] также исследованы на основе принципа максимума Понтрягин.

Однако стоит отметить, что и здесь условия оптимальности управления записывались с использованием принципа максимума. Использование данного подхода предполагает решение стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием для всех реализаций компонент фазового вектора, что в общем случае является практически неразрешимой задачей ввиду бесконечного множества возможных реализаций компонент фазового вектора. Поэтому использовать принцип максимума Понтрягина для нелинейных задач большой размерности (больше 3) практически невозможно.

Анализ решения задач поиска оптимального управления стохастических систем с запаздыванием показывает, что более конструктивные результаты можно получить, рассматривая стохастические системы с точки зрения теории диффузионных Марковских процессов [20, 21, 81], позволяющей свести решение исходной стохастической задачи к детерминированной задаче с распределенными параметрами относительно плотности распределений фазового вектора состояний системы, удовлетворяющей уравнению Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП).

Используя в качестве дифференциальной связи уравнение КФП можно рассматривать целое семейство (пучок) траекторий, описываемых исходными стохастическими дифференциальными уравнениями, определенных плотностью распределения* вероятности начального состояния* системы, управляющими параметрами и функциями управления. Такой подход позволяет, использовать для решения задач оптимального управления? со случайными свойствами те конструктивные бесконечномерные аналоги теории экстремальных задач, математического программирования и вариационного исчисления, которые к настоящему времени разработаны.

Как известно [22] процесс, описываемый стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздыванием в общем случае не является Марковским процессом, и следовательно * к нему не применим аппарат уравнения КФП. Одним из способов преодоления данной трудности является»1 операция разбиения исходного временного интервала решения* задачи на отрезки, равные значению запаздывания; Используя расширение фазового' пространства [23], можно представить исходную систему стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием в виде последовательности стохастических дифференциальных уравнений без последействия, описывающих диффузионный Марковский процесс на каждом из последовательно примыкающих интервалов, равных значению запаздывания [22 ,23].

Цель и задачи работы

Целью данной работы является получение необходимых условий оптимальности управления стохастических систем с запаздыванием на основе теории диффузионных Марковских процессов и разработка численных методов поиска оптимального управления со сходимостью алгоритмов решения к необходимым условиям оптимальности.

Предметом исследования является необходимые условия оптимальности управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием и численные методы их поиска.

Объектами исследования являются математические модели процессов и систем, текущее состояние которых зависит как от предыстории, так и от случайных составляющих.

Теоретическая и методологическая основа исследования

В качестве методов исследования в работе применяются современный аппарат функционального анализа, общая теория экстремальных задач, теория оптимального управления, вариационное исчисление, математическое программирование, теория вероятностей и математическая статистика, теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, методов вычислений, численных методов оптимизации и т.д.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в предоставлении единого подхода к решению задач оптимизации управления стохастических систем с запаздыванием. Основное внимание в работе уделяется исследованию критериев оптимальности, позволяющих не только устанавливать необходимые условия-оптимальности систем, но и строить на их основе численные методы поиска оптимального управления.

Апробация работы

Основные положения, выводы и результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях: на всероссийском семинаре, посвященном 100-летию Кузьмина П. А. в г. Казань в 2008 году, международном семинаре ШАС в г. Самара в 2009 г., на российской школе-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» в г. Москва в 2009 году.

Основные положения и выводы диссертации опубликованы в журналах «Мехатроника, Автоматизация, Управление», «Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева», входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Объем, структура и содержание работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Аюкасов, Рустам Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Сформулирована задача оптимального управления непрерывных стохастических систем с постоянным запаздыванием относительно компонент вектора состояний.

2. Показано, что решение данной задачи может быть получено на основе теории диффузионных Марковских процессов^ позволяющей, свести решение исходной стохастической'задачи оптимизации с запаздыванием к детерминированной, задаче с распределенными параметрами, относительно уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка, а в случае линейности системы, к детерминированной задаче оптимизации относительно обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Исследованы условия существования управления непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

4. На основе общей теории экстремальных задач«. Дубовицкого-Милютина получены необходимые условия слабого и сильного экстремума непрерывных стохастических систем ^запаздыванием.

5. Для г случая полного и точного наблюдения вектора состояний системы сформулированы необходимые условия оптимальности стохастических систем с запаздыванием для управлениях обратной связью.

6. Решена задача синтеза управления линейной стохастической системы с запаздыванием в смысле минимума квадратичного функционала качества.

7. Предложен < численный метод поиска оптимального управления, стохастических систем с запаздыванием- на основе обобщения метода градиента.

8. Разработан приближенный метод решения задачи поиска оптимального управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием с точностью до аппроксимации плотности распределения компонент вектора состояний на основе семиинвариантов управляемого процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аюкасов, Рустам Анатольевич, 2011 год

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976

2. Турецкий X. Анализ и синтез управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974.

3. Коваль Б.Е., Царьков Е.Ф. Необходимые и достаточные условия абсолютной и, асимптотической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с постоянным'запаздыванием // ДАН УССР Сер. А. 1972. №6. 506-509

4. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас. 1979

5. Буйкис М.А., Садовяк Л.М., Царьков Е.Ф. О непрерывности по параметру решений стохастических уравнений // Латв. Мат. Ежегодник. 1973. №12. 39-49

6. Букатарь М.И., Царьков Е.Ф. Об, автоколебаниях в ламповом* генераторе с запаздывающей обратной связью // Изв. Вузов. Сер. Радиофизика. 1970. №8. 1117-1125

7. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит. 1961

8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984

9. Заре В.В. Моделирование автоколебаний металлорежущих станков // Вопросы динамики и прочности. 1969. №1. 157-173

10. Гоздек B.C. О галопировании тележек шасси при движении самолета по грунтовому аэродрому // Инж. Журнал Т. 5. №4. 173-177

11. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. //Успехи мат. наук. 1949. Т.4, № 5.

12. Харатишвили Г. Л. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1961. Т. 136. 39-42.

13. Гамкрелидзе Р. В., Харатишвили Г. Л. Экстремальные задачи в линейныхтопологических пространствах//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33. С. 781—839.

14. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука. 1985.

15. Хосьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений-при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука. 1969

16. Шаламов А.С. Оптимальное управление в, дифференциально-разностных системах со случайным квантованием- во времени. // Автоматика и, телемеханика: 1990: №2. 75-80'

17. Альсевич В.В., Кириллова Ф.М: Задачи оптимального управления и наблюдения для неопределенных динамических систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1996. №2. 50-63'

18. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука. 1978.

19. Frank T.D. Multivariate Markov processes for stochastic systems with delays: Application to* the stochastic Gompertz model with delay // PHYSICAL REVIEW E 66. 011914. 2002

20. Роднищев H.E. Оптимизация управления нелинейных, стохастических систем с ограничениями // Автоматика и телемеханика. 2001. №2. 87-100'

21. Роднищев Н.Е. Необходимые условия оптимальности, управления разрывных нелинейных стохастических систем с ограничениями: // Известия АН «Теория и системы управления». 2001. №6. 38-50

22. Царьков Е.Ф. Системы стохастических дифференциальных уравнений* с запаздыванием // Известия АН* Латвийской ССР. 1968. - №1. - С. 57-64

23. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. №9. 58-73

24. Роднищев Н.Е. Приближенный анализ точности дискретного оптимального управления нелинейных стохастических систем методом семиинвариантов. //Изв. вузов. Авационнаятехника. 1987. №1.25