Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Нефедова, Юлия Сергеевна

• Нефедова, Юлия Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нефедова, Юлия Сергеевна

Введение

1. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости в ЦПТ

1.1. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ

1.1.1. Вспомогательные утверждения.

1.1.2. Случаи (1) и (111) - «малые» и «большие» значения х

1.1.3. Случай (11) - «умеренные» значения х.

1.1.4. Основные результаты

1.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ с уточненной структурой.

1.2.1. Вспомогательные утверждения.

1.2.2. Основные результаты

2. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм

2.1. Нижние оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эсссена для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами

2.2. Двусторонние оценки константы в неравенстве Берри-Эссеепа для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента.

2.2.1. Верхние оценки.

2.2.2. Нижние оценки.

2.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм.

3. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуассоновских случайных сумм

3.1. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для отрицательных биномиальных случайных сумм.

3.2. Неравномерные оценки скорости сходимости в предельной теореме для смешанных пуассоновских случайных сумм

3.3. Оценки скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм с параметром г ^ 5/

3.3.1. Случай г < 6/2.

3.3.2. Случай г = 6/2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин»

Суммы независимых случайных величии традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Такое внимание к ним обусловлено тем, что сумма случайных величин -довольно удобная н зачастую разумная математическая модель для описания количественных характеристик стохастических ситуаций. Однако, даже если функции распределения случайных слагаемых известны, вычислить в явном виде функцию распределения их суммы при большом числе слагаемых как правило практически невозможно. Стандартным решением данной проблемы является использование в качестве неизвестного распределения суммы его асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой, описывающей трансформацию распределения суммы при неограниченном увеличении числа слагаемых. Как сказано в книге Б.В.Гнеденко и А.Н.Колмогорова [9], опознавательная ценность теории, вероятностей раскрывается только предельными теоремами». Наиболее популярной асимптотической аппроксимацией для распределения суммы случайных величин является нормальное распределение. Возможность нормальной аппроксимации обосновывается центральной предельной теоремой теории вероятностей. При решении вопроса об адекватности математических моделей, основанных на нормальной аппроксимации, ключевую роль играет точность аппроксимации распределения суммы случайных величин нормальным законом. В связи с этим большую важность приобретает задача построения удобных и легко вычисляемых аналитических оценок точности нормальной аппроксимации, зависящих от основных параметров задачи - числа слагаемых в сумме и их первых моментов. Об оценках, в которых вся необходимая информация о распределении слагаемых сосредоточена лишь в простых характеристиках - первых моментах слагаемых, будем говорить как о мольентных оценках. Именно моментным оценкам и посвящена данная работа. Всюду далее будет предполагаться, что распределения независимых случайных слагаемых в сумме одинаковы.

В работе рассматриваются две схемы суммирования независимых одинаково распределенных случайных величин и связанные с ними продельные теоремы. В первой схеме число слагаемых считается детерминированным. Во второй схеме индекс суммирования сам является случайной величиной, независимой от слагаемых. При этом рассматриваются две возможности: в первой индекс является случайной величиной с распределением Пуассона, во второй число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса).

Среди предельных теорем для сумм фиксированного числа случайных величин наряду с законом больших чисел главное место занимает центральная предельная теорема, первый вариант которой был доказан еще А. де Муавром в 1730 г. Эта теорема утверждает, что распределение стандартизованной суммы большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией близко к нормальному.

Задача изучения точности нормальной аппроксимации привлекала внимание многих исследователей. В частности, над пей работали

A.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров, А. Я.Хинчин, П. Лови, Г.Крамер, Б. В. Гпсдснко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эсссен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Лишшк, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, П. Холл, К.Хейди и другие выдающиеся математики.

Вопросы, связанные с оценками точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, широко освещены в научной литературе, в частности, им уделено большое внимание в книге Б. В. Гнсденко и А.Н.Колмогорова [9], в монографиях И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника [14], Р.Н.Бхаттачария и Р.Ранга Рао [6], В.В.Петрова [33, 34], В.М.Золотарева [12] и

B. В. Сонатова [104], [41].

Несколько слов о том, почему данная работа посвящена именно момеитным оценкам. Этот вопрос тесно связан с вопросом о том, что считать оценкой. Самой точной и правильной оценкой невязки Ап{х) между допредельной функцией распределения нормированной суммы и предельной нормальной функцией распределения является, очевидно, сама невязка: Ап(х) ^ Дп(ж), но по своему смыслу оценка должна иметь более простой вид по сравнению с оцениваемой величиной и эффективно вычисляться, требуя лишь некоторую наиболее доступную информацию об исходных распределениях. Конечно же, оценки в терминах псовдомоментов (см., например, [31]) или дзета-метрик (см., например, [42]) могут быть существенно точнее оценок, рассматриваемых в данной диссертации. Однако чтобы вычислить характеристики, участвующие в указанных оценках (псевдомомспты или дзета-метрики), необходима полная информация о распределении слагаемых. Но при этом, естественно, имея такую информацию и современные компьютеры, па практике вполне можно оценить погрешность нормальной аппроксимации численно, не прибегая к аналитическим оценкам. В оценках же моментного типа вся необходимая информация сосредоточена лишь в простых характеристиках интегрального типа (первых трех моментах), которые, как правило, можно эффективно оценить по выборке, особенно в случае одинаково распределенных слагаемых.

Относительно случайных слагаемых Х\,Х2,. мы будем предполагать, что они независимы, одинаково распределены с общей функцией распределения F(x) = P(Xi < х) и удовлетворяют условиям

EXi = 0, ЕХ* = 1, Е\Хг\2+5 =/32+6 < оо (1) при некотором S 6 (0, 1]. Обозначим JS+tf множество всех функций распределения F случайной величины Xi, удовлетворяющих условиям (1). Пусть Fn{x) = P(Xi + . + Xn < х) = F*n{х) - п-кратпая свертка функции распределения F{x) с собой, Ф(ж) и tp{x) - соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального закона: X

Ф(х) = -L /* e'e'2dt, ф) = -1= • е-*2'2.

V л/2тг J V у/Ъг оо

Положим

• Ап{х) = \Fn(xy/v) - Ф(ж)|,

При условиях (1) известна оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме (см., например, [33]): при каждом 5 € (0, 1] существует абсолютная положительная конечная константа Со{5) такая, что sup Ап(х) ^ C0(5)Ll+\ где Ь2п+5 = (2)

Данное неравенство впервые было доказано в 1941-1942 гг. при 6 = 1 независимо Э. Берри [59] и К.-Г. Эссеепом [64]. При 0 < 5 < 1 его можно вывести из полученной в 1945 г. Эссееном [65] оценки sup A7Ax)^M5)(Ll+s + (Ll+5y/5), X справедливой для необязательно одинаково распределенных слагаемых, где Л^д) зависит только от 5. Неравенство (2) также можно вывести из оценки sup An(re) ^ А2 ■ EXfaXj/giy/Z), X доказанной в 1963г. М.Кацсм [78] для одинаково распределенных слагаемых, и обобщенной позже на случай разнораспределенных слагаемых В. В. Петровым [32], где д(х) - четная функция, неубывающая вместе с х/д(х), /Ь - положительная конечная абсолютная постоянная. Недавно В.Ю.Королев и С.В.Попов [82] показали, что в общем случае необязательно одинаково распределенных слагаемых А2 ^ 3.1905, какой бы пи была функция д, удовлетворяющая указанным выше условиям. Для случая одинаково распределенных слагаемых в той же работе была получена оценка А2 ^ 3.0466.

Уточнению оценок констант Co(J) при разных 6 посвящено много работ (см. исторические обзоры в [20, 21, 80, 48]). В последнее время усилиями В.Ю.Королева, И.Г.Шевцовой и PLC.Тюрина верхнюю оценку для Со(1) удалось существенно снизить. Королевым и Шевцовой получена оценка С0(1) ^ 0.4784 как следствие доказанного в работах [21, 80] неравенства

Bi + 0 429 sup Ап(х) < 0.33477 нл '-, ж у/гь являющегося структурным уточнением неравенства (2) (так как 0.33477(/3з + 0.429) < 0.33477(1 + 0.429)/% < 0.4784/33 в силу условия /З3 ^ 1). В работе Тюрина [42] доказана оценка С0(1) ^ 0.4785. Нижняя оценка Со(1) получена Эссееном [66]. Таким образом, относительно Со(1) в настоящий момент известно [66, 21, 80], что

0.4097 . = ^Д3 ^ С0(1) < 0.4784. 6Л/27Г

Наилучшие иа, сегодняшний день верхние оценки констант Со(£) при 0 < 5 < 1 получены в работе Григорьевой и Шевцовой [10], нижние оценки доказаны Шевцовой в [48] (см. таблицу 1). В работах [21, 80]

6 О, (5) ^ Co(d) ^ 5 С0(5) > С0 (5) < 6 С0(5) > Со (S) ^

0.9 0.2383 0.5383 0.6 0.2651 0.6276 0.3 0.3257 0.6195

0.8 0.2446 0.5723 0.5 0.2803 0.6413 0.2 0.3603 0.6094

0.7 0.2534 0.6026 0.4 0.3000 0.6342 0.1 0.4097 0.6028

Таблица 1. Двусторонние оценки констант Со (5) для некоторых 6 Е (0,1), полученные в работах [10, 48]. была полупена оценка, также являющаяся структурным уточнением неравенства (2) + 1 sup Д„(ж) ^ 0.3041 (3) х Vn

Несложно убедиться, что оценка (3) точнее (2) при /З3 ^ 1.75.

Для случая 5 = 0 известна тривиальная оценка зиржДга(ж) < 0.5409. . [6|. Для этого случая в 1966 году Л.В.Осипов [28] доказал, что существует такая конечная положительная абсолютная постоянная A3, что sup Ап{х) < Л3 • ЕХ~ min 11, Щ |,

4) также см. [34], глава V, §3, теорема 7). Результат Осипова был доказан для необязательно одинаково распределенных слагаемых. Также не предполагая одинаковой распределенности слагаемых, Л.Падитц показал [97, 99], что для константы Аз в (4) справедлива оценка Аз ^ 4.77. В 1986 году в работе [100] он же отмстил, что с учетом леммы 12.2 из монографии [6] с помощью техники, использованной в работах [97, 99], верхнюю оценку константы Аз можно снизить до Аз ^ 3.51. По-видимому, не будучи знакомыми с упомянутыми работами Падитца, в 2001 году Чеп и Шао опубликовали работу [60], в которой с помощью метода Тихомирова-Стейна. неравенство (4) было доказано с константой Аз — 4.1. В недавней работе [15] показано, что Аз ^ 2.011, откуда вытекает равномерная по 5 Е [0,1] оценка Со(5) ^ 2.011.

На практике часто возникает ситуация, когда число п слагаемых в сумме заранее не известно. Так, например, в медицинской статистике или страховой практике, как правило, заранее фиксируется не число наблюдений, а время для сбора информации. В таких ситуациях естественно предположить, что индекс суммирования, конкретное значение которого заранее не известно, является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы сосредоточимся на рассмотрении ситуаций, в которых случайный индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0:

Р(Л/д = к) = ув-\ /с = 0,1,., или же случайный индекс суммирования N(t) является случайной величиной со смешанным пуассоновским распределением: оо

Р(N{t) = ~ J e~x\kdP(A(t) < А), к = 0,1, 2,., о где t > 0 - параметр смешивающего распределения, Л(£) - случайный процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями, Л(0) = 0 почти наверное. Случайная величина A(t) называется структурной. Последняя ситуация, например, имеет место, когда параметр t имеет смысл времени, а случайный индекс N{t) формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом с накопленной интенсивностью Л(t) (процессом Кокса, управляемым процессом Л(i)). При этом предполагается, что случайные величины N\ и N(t) независимы от Xi,X2, ■ ■ ■ при каждом Л > 0 и t > 0 соответственно.

Случайная сумма S\ — Х\ + • • • + называется пуассоновской случайной суммой, a S(t) = Х\ + • ■ • + Хщ^ - смешанной пуассоновской случайной суммой. Для определенности полагаем, что S\ = 0 при N\ = 0, S(t) = 0 при N(t) = 0.

Асимптотической теории случайного суммирования посвящены монографии А. Гута [70], В.М.Круглова и В.Ю.Королева [22], Б.В.Гнеденко и В.Ю.Королева [67], В.В.Калашникова [77], В. Е. Беиинга, и В. Ю. Королева [54] и другие.

Если в случае сумм детерминированного числа слагаемых для упрощения обозначений предполагалось, что случайные величины Xi,X2,. ■ центрированы, то в ситуации, когда рассматриваются суммы случайного числа слагаемых, предположение EXi = 0 приводит к потере общности, поскольку при случайном суммировании центрирование слагаемых константами оказывается эквивалентным центрированию самих сумм случайными величинами, что, вообще говоря, порождает некоторые проблемы при построении асимптотических аппроксимаций для распределений самих случайных сумм.

Таким образом, при рассмотрении случайных сумм относительно Х\, Х2, ■ ■. мы будем предполагать

ЕХг = /х, 0 < DXi =а2 <00.

Функцию распределения стандартизованной пуассоновской случайной суммы

Q — ~ ~ ^ л~ y/DSi ~ v^pT^y обозначим F\(x).

В сделанных выше предположениях имеет место слабая сходимость стандартизованной пуассоновской суммы 6\ к нормальному закону (см., например, [67], [54] или [3]), то есть sup\F\(x) - Ф(ж)| —у 0, Аоо. х

Задаче изучения точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоповских случайных сумм - так называемых обобщенных пуассоповских распределений - посвящена обширная литература, см., например, библиографию в книгах [54, 3]. Большой интерес к данной задаче обусловлен тем, что пуассоновские случайные суммы являются «накопленными» значениями маркированного пуассоновского процесса, который, как отмечено в указанных книгах, может быть интерпретирован как абсолютно хаотическое случайное блуждание с дискретным временем. Подобные модели традиционно широко используются в теории массового обслуживания, при анализе информационных и телекоммуникационных систем, в теории управления запасами, в страховой математике и других областях.

Как известно, если слагаемые Х\, Х2, . имеют конечные моменты порядка 2 -Ь 5 с некоторым 0 < S ^ 1, то справедливо аналогичное (2) неравенство (см., например, книгу В. Е.Бениига, В.Ю.Королева, С. Я. Шоргииа [3]) sup|FA(a;)-^(®)| ^C(5)L2x+s, (5) X где С{6) > 0 зависит только от 5, а Ь^5 - нецентральная ляпуновская дробь порядка 2 + 5: г 2+5 Р2+5

А (га2 + сг2)1+г/2А5/2' 10

Неравенство (5) при 5 = 1 имеет интересную историю. По-видимому, впервые это неравенство было доказано в работе Г. В. Ротарь [39] и опубликовано в статье [40] с С(1) = 2.23 (диссертация [39] не опубликована, в то время как" в статье [40] не было приведено доказательство этого результата). Позднее с использованием традиционной техники, основанной па неравенстве сглаживания Эссеена, эта оценка была доказана в работе Р. фон Хосси и Г. Раппла [61] с С(1) = 2.21.

В работе Р. Михеля [86] с использованием свойства безграничной делимости обобщенных пуассоновских распределений и оценки абсолютной постоянной в классическом неравенстве Бсрри-Эссеена для сумм фиксированного числа независимых случайных величии, полученной Ван Биком [52], было показано, что в (5) С( 1) ^ 0.8. Не будучи знакомыми с этой работой Михеля, авторы статьи [53], применив уточненное неравенство сглаживания Эссеена, получили оценку С(1) ^ 1.99. Из метода доказательства, использованного в работе Михеля, вытекает, что если для абсолютной постоянной Со(1) в классическом неравенстве Берри-Эссеена известна оценка Со(1) ^ М, то неравенство (5) справедливо с С(1) = М. На это обстоятельство также обратили внимание авторы работы [81], в которой независимо от [86] получен тот же результат, но с другой, лучшей на тот момент времени текущей оценкой М = 0.7655.

Как показано в работах В.Ю.Королева и И. Г. Шевцовой [21, 80], наилучшая на сегодняшний день оценка абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена имеет вид Со(1) ^ 0.4784. Поэтому, следуя логике авторов работ [86] и [81], можно заключить, что неравенство (5) справедливо сС(1) = 0.4784.

Однако в той же работе показано, что на самом деле привязка оценки константы С( 1) в (5) к оценке абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена Со(1) менее жесткая. А именно, несмотря па то что, как уже говорилось, наилучшая на сегодняшний день верхняя граница для Со(1) равна 0.4784, неравенство (5) справедливо с С(1) = 0.3041 [21, 80].

В случае 0 < 5 < 1 в книге В. Е. Бенинга, В.Ю.Королева, С.Я.Шоргипа [3] приводится доказательство неравенства (5) с С(6), равными наилучшим на тот момент оценкам для Со(<5). Аналогичное неравенство, но с существенно уточненными оценками для С{8) при 0 < 6 < 1 получено в работе И.Г.Шевцовой [47], однако этот результат справедлив лишь в асимптотическом смысле, когда ляпуновская дробь Lбесконечно мала.

Тем не менее, несмотря на более чем тридцатилетнюю историю неравенства. (Б), нижние оценки для С(5) найдены не были. Важность задачи отыскания нижних оценок для C'{ö) подчеркивается тем фактом, что полученная в [21, 80] верхняя оценка С(1) ^ 0.3041 строго меньше наименьшего теоретически возможного значения абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена С0(1) > 0.4097.

Теперь рассмотрим случай смешанных пуассоповских случайных сумм S(t). Большое число разнообразных прикладных задач, приводящих к таким моделям, описано в книгах [67. 54].

Асимптотическое поведение смешанных пуассоповских случайных сумм S(t), когда N(t) в определенном смысле неограниченно возрастает, принципиально различно в зависимости от того, центрированы слагаемые или пет. В данной работе рассматривается ситуация, когда EXi = 0. В таком случае предельными распределениями для стандартизированных смешанных пуассоповских сумм являются масштабные смеси нормальных законов, а именно в работах В.Ю.Королева [79], В.Е. Бенипга и В.Ю.Королева [54] доказан следующий критерий слабой сходимости смешанных пуассоповских случайных сумм. Символы —> и —обозначают сходимость по распределению и сходимость по вероятности соответственно.

ТЕОРЕМА 1 [79, 54]. Предполоомиль, что A(t) —> оо, t —V оо. Пусть d{t) > 0 - всполюгательиая нормирующая (масштабирующая) функция, неограниченно возрастающая при t —» оо. Для того чтобы распределение нормированной случайной величины S(t) слабо сходилось к распределению некоторой случайной ветчины Z:

S{t) Z, t-* оо, erVW) необходимо и достаточно, чтобы суш,ествовала неотрицате-льная случайная величина Л такая, что оо

1) Р(Z < х) = f <&(x/V\)dP(A < Л), ж <= R, о

2) A{t)/d(t) -АЛ, t —т" оо.

Обозначим ад х J ~ р(А < х) > х е R, t > о.

В работах [7, 3, 21, 80] показано, что при оценивании точности аппроксимации распределений смешанных пуассоповских случайных сумм масштабными смесями нормальных законов можно успешно использовать уже известные аналогичные оценки для пуассоновских случайных сумм. А именно, доказан следующий аналог неравенства Берри-Эссеспа для смешанных пуассоновских случайных сумм.

ТЕОРЕМА 2 [7, 3, 21, 80]. Предполооюим, что р2+5 = E\Xi\2+s < оо. d

Пусть также имеет место сходимость Л{t)/d(t) —> Л при t —> оо. Тогда при каждом t > 0 имеет место оценка supPt(x) ^ С(6) ■ %fE[A(¿)]-*/2 + isup5t(x), (6) х С ¿ х где С (ó) - константа из неравенства Берри-Эссееиа для пуассоновских случайных сумм (см. (5)). В частности, С( 1) ^ 0.3041.

Впервые неравенство (6) было доказано в работе С. В. Гавриленко [7], но с другими оценками абсолютной константы O(S). Однако вопрос о нижних оценках постоянной С(5) оставался открытым.

Если N(t) имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г > 0 и р = (1 + t)~l > 0, t > 0, то при условии г > 5/2 справедливо неравенство, являющееся следствием теоремы 2: sup^XCÍr.í)^^, (7) где C(r,S) = С(5)Г(г — 5/2)/Т(г). Однако задача построения оценки точности аппроксимации распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при г ^ 5/2 рапсе решена не была.

Рассмотренные выше оценки скорости сходимости распределений сумм независимых случайных величин к соответствующим предельным распределениям, устанавливаемые неравенством Берри-Эссеена (2), и его аналогами (5), (6), равномерней по х. Но поскольку и допредельная, и продельная функции - функции распределения, должно выполняться, например, соотношение Ап(х) —>■ 0 при —>• оо и каждом фиксированном п. Это обстоятельство не учитывается в равномерных оценках. Вместе с том точность нормальной аппроксимации для функций распределения сумм случайных величин именно при больших значениях аргумента представляет особый интерес, например, при вычислении рисков критически больших потерь. В данной диссертации большое внимание уделено неравномерным оценкам скорости сходимости в центральной предельной теореме.

Вопрос о зависимости остаточного члена в центральной предельной теореме от п и х рассматривался еще в работе Г. Крамера [62] для распределений с экспоненциально убывающими хвостами, т. с. таких, что Еехр{а|Х1|} < оо для некоторого а > 0. Для распределений же. удовлетворяющих рассматриваемым моментиым условиям, по-видимому, исторически первая оценка величины Ап(х) была получена К.-Г. Эсссеном [65] в 1945 г. для случая 5 = 1 и одинаково распределенных слагаемых и имела вид

Л м < Ь(2 + \х\) п[ ^ у/Е ' 1 + М3 ' где А±(Рз) зависит только от /?з. В работе Л. Д. Мешалкипа и Б.А.Рогозина [24] с помощью неравенства сглаживания, отличного от неравенства сглаживания, использованного Эсссеном, было доказано существование абсолютной постоянной Л5 такой, что при всех ж € К. и п ^ 1

А ( \ <£■ Атах0п п-> 1п(2 + \х\)}

Г— 1 I I П ' а также существование абсолютной постоянной Аб такой, что при всех п > 1

8ир(1 + х2)Ап(х) < А6 • Ь1. хеЖ

Результаты работ [65] и [24] затем были усилены и обобщены в работах С.В.Нагаева [26] (для случая одинаково распределенных слагаемых и 5 = 1) и А. Бикялиса [4] (для случая необязательно одинаково распределенных слагаемых и 0 < 6 ^ 1), где было показано, что существуют такие положительные конечные числа С(6), что впр(1 + \х\2+6)Ап(х)^С(5)Ь1+5. (8)

Вопрос о «правильности» (точности) устанавливаемого оценкой (8) порядка по п и х изучался в работах JI. В. Осипова и В. В. Петрова [29],

A. Бикялиса [5], К.Хсйди [72], Т. Накаты [87], Р.Михсля [84],

B.В.Петрова [35], Л.В.Розовского [37].

Впервые верхние оценки для С (5) были получены в работах J1. Падитца [93, 94, 95, 96] для необязательно одинаково распределенных слагаемых. В частности, в своей первой работе на эту тему [95], опубликованной лишь в 1978 г., для С( 1) им была получепа оценка, превосходящая 1955. Затем в [96] приведены оценки

7(0.9) ^ 820.4, С{0.7) ^ 569.5, С(0.5) < 376.7,

7(0.3) < 241.4, С(0.1) ^ 151.3.

В [94] было показано, что С( 1) ^ 114.7. В работе Р. Михеля [85] для случая одинаково распределенных слагаемых было показано, что (7(1) ^ <70(1) + 8(1 + е), что с учетом оценки для С0( 1), полученной в работе [21], влечет неравенство С( 1) ^ 30.2247. В работе В. Тысиака [108] для случая 0 < 5 ^ 1 и необязательно одинаково распределенных слагаемых были получены оценки

7(1.0) ^ 32.88, С(0.9) ^ 29.83, С(0.8) ^ 27.21, С(0.7) < 25.06,

7(0.6) < 23.41 (7(0.5) < 21.94, (7(0.4) ^ 20.58, С(0.3) ^ 19.32,

7(0.2) ^ 18.17, С(0.1) ^ 17.05.

Ш. А. Мирахмедов [25] утверждал, что результат Михеля (7(1) < Со(1) + 8(1 + е) справедлив и в общем случае произвольно распределенных слагаемых. Однако вычисления в работах [108, 25] содержали неточности (см. замечания в [30] и [101]). В [30] Падитц и Мирахмедов получили оценку С(1) ^ 32.153. В 1986 г. Падитц [100] показал, что (7(1) ^ 31.935. Полностью повторяя метод Падитца, но с учетом новых оценок для констант Со(5) в равномерном неравенстве (2), авторы статьи [113] получили таблицу

7(1.0) ^ 25.80, (7(0.9) ^ 24.23, С(0.8) < 22.41, <7(0.7) < 20.68,

7(0.6) ^ 19.01, <7(0.5) ^ 17.37, <7(0.4) ^ 15.69, С(О.З) < 14.08,

7(0.2) ^ 12.65, С(0.1) < 11.37.

В статье С. В. Гаврилепко [8] для случая 5 = 1 была получена неравномерная оценка уточненной структуры вида sup(l + |ж|3)Ап(х) ^ 22.7707 п ^ 1, F е (9) хек Vn

Заметим, что в силу неравенства Ляпунова @3 ^ 1, а следовательно, при больших значениях /Зз оценка (9) точнее, чем (8) за счет меньшего значения абсолютной константы.

В 2001 году Чен и Шао [60] получили неравномерное уточнение неравенства Осипова (4), построив неравномерную оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме, не требующую существования моментов порядка выше двух у суммируемых случайных величин. А именно, если Х\,., Хп - независимые случайные величины с Е.Х{ = 0 и ЕХ^ + . + ЕХ^ — 1, то, как показано в [60], существует константа Ссз такая, что для всех ж £ Ж а м<г V f W > 1 + N) | < 1 +М) Д„М « ccs ^ |-^^-+-

Верхним оценкам константы Ces посвящены работы [88, 107, 89]. Примечательно, что эти оценки зависят от значения х. В частности, в [89] приведена оценка Ces ^ 76.17, а также показано, что Ces ^ 39.39, если |х| > 14.

В статье Бенткуса и Кирши [57] для случая 5 = 1 при п = 1 была доказана следующая неравномерная оценка: sup|z|3Ai(a;) ^ /?3. тек

В работе В. Н. Никулина [27] (также см. [91]) было показано, что для случая 5—1 абсолютную константу С7(1) в неравенстве

-sMl + \x\3)An{x) <С(1) Рз жбК можно заменить на невозрастающую функцию Сдг(ж) от ж ^ 0 такую, что п ,.,3 sup\t\6An(t)^CN(x). (10)

РЗ \tfex

В статье Никулина [90] вычислены значения функции С^{х) прп некоторых х > 3.18 (см. таблицу 2). Несмотря на то, что использованиый в [90] алгоритм подсчета Сдг(.г) при больших х дает лишь оценку lim С^{х) = 1+е (равномерную по n > 1 и F £ .Fg), в той же работе при

X-»ОО каждом фиксированном п ^ 1 и F € J-% было аналитически исследовано предельное поведение Сдг(ж) при х —> оо и показано, что для такой ситуации lim С^(х) = 1. х-^оо

X С„{х) X Ся(х) X С^х)

3.18 28.4057 7.00 9.0590 20.00 4.9095

4.00 22.1853 8.00 7.2512 50.00 4.2732

5.00 16.0240 9.00 6.0329 100.00 4.0200

6.00 11.8046 10.00 5.7370 оо 1-т-е

Таблица 2. Значения функции Слг(х) пз работы [90].

Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для пуассоповских случайных сумм были получены Р. Михслсм [86] (для случая 5 = 1) и Ю. С. Нефедовой, И. Г. Шевцовой [113] (для общего случая 0 < 6 ^ 1). Было показано, что для любых ж € К и любого А > 0 справедливо неравенство

1 + |*п - Ф(*)| < т (и) где С(6) - та же константа, что в «классической» неравномерной оценке (8) для сумм фиксированного числа слагаемых. В работе С. В. Гаврилснко [8] устанавливается, что неравенство (11) справедливо с той же константой, что и в неравенстве (9): С( 1) < 22.7707.

Для смешанных пуассоновских случайных сумм неравномерные оценки были получены только для случая 5 = 1 в работе Гаврилснко [8], где было доказано неравенство оо 0 оо

I |й(А)|<гдф(-д), ¿>0, (12)

Как вытекает из сказанного выше, задача изучения точности аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин весьма популярна и достаточно хорошо изучена. Однако, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы. Заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Нефедова, Юлия Сергеевна

1.2.2. Основные результаты

Положим inf maxjCi (¿)£Г2+г,

К, a, b, c, 7 l

19(K,6,a,b,c,7), Р№а,Ь>С,ЛГ)}, (1.53) где инфимум берется по множеству всех значений вспомогательных параметров а, 6, с, 7, К, удовлетворяющих условиям теоремы 1.2, а также условиям К ^ 1/л/27г и а ^ а, 6, с,К)/х (величина ^ = 0.5409 . определена в лемме 1.4). Значения параметров а, Ь, с, 7, К, доставляющие минимум в (1.53), обозначим соответственно ао, ¿о, со, 70,-Ко- Положим v(s) = max {r(k0, 6, а0, &о, йь70), С^)/^}.

ТЕОРЕМА 1.6. Для любого п ^ 1 и F & J~2+5 справедливо неравенство sup М2+5ДП(Ж) ^ U(S)L2n+5 + V(ó)n-5/2. xeR

Следствие 1.2. Для всех п ^ 1 и F е J^+í sup(i+м2«)д„(*) < (y(í)+cm ig*+1/(¿)+ClW.

T6R nó!¿

Замечание 1.4. Если дополнительно к условиям теоремы 1.2 потребовать, чтобы Аи(К) ^ и Ais(K) ^ R%(K), то получим, что R(K,ó, a,b,c,j) ^ Aiq(K, 5, a, b, с, 7) при любых допустимых параметрах. Поскольку Ci(á)X02+í ^ U(5),

V(ó) sC тах{/Т19(#0ДаД c,7),í/(¿)} = t/(¿).

А следовательно, приведенная в следствии 1.2 оценка имеет структуру оценки (1.48), аналогичную (1.45), и справедливо следующее утверждение.

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Неравенство (1.48) при всех п ^ 1 и F G F2+s справедливо с Cst(ó) ~ U(6) + Ci(6), т.е. sup(l + М2+5)Дп(х) < (U(S) + С^б)) хек n0'¿

В таблице 1.6 приведены значения величин U(ó) и Cst(d) при некоторых í> Е (0,1]. Алгоритм оптимизации в (1.53) реализован с использованием пакета Matlab 7.10.0, при этом применялась процедура fminsearch(.) от аргументов К, а, 6, с, 7. Оптимальные значения Ко(6), <2q(Ó), bo (ó), Cq(Ó) и 7o (J), доставляющие минимум U (£), также приведены в таблице 1.6.

Доказательство теоремы 1.6. Покажем, что для любых значений параметров К, а, Ь, с, 7, удовлетворяющих условиям теоремы, при всех xeR, п ^ 1 и F € Тч+5 выполняется неравенство a;|2+JAn(a;) ^ ma^{С^К2*5, А19(К, 6, а, Ь, с, 7), P(ó, а, Ь, с, K)}L2n+5+ max {С^К2*5, R(K, 5, а, b, с, 7)} тГ5/2.

Зафиксируем К их. Возможны два варианта:

1. \х\ ^ К, тогда И^ДпОс) < C^K^L2*5 + С^К^гГ*^

2. |ж| > К, тогда для заданных а, Ь, с, п ^ 1 и F € J-^+s имеется три возможности:

J К0(8) ш со (5) 7о (Я) т СЛ(8)

1.0 3.7042 10.3597 1.6838 1.0727 0.5204 15.4560 15.7601

0.9 3.7545 10.3167 1.7154 1.0905 0.5118 14.3228 14.6317

0.8 3.7900 10.0747 1.7399 1.1043 0.5044 13.2918 13.6105

0.7 3.8114 9.6837 1.7560 1.1142 0.4977 12.3564 12.6898

0.6 3.8201 9.4647 1.7756 1.1272 0.4916 11.5064 11.8592

0.5 3.8158 9.1820 1.7938 1.1395 0.4856 10.7370 11.1145

0.4 3.7986 8.4243 1.8021 1.1433 0.4798 10.0405 10.4485

0.3 3.7687 8.0664 1.8185 1.1547 0.4738 9.4103 9.8553

0.2 3.7246 7.6049 1.8346 1.1649 0.4676 8.8442 9.3343

0.1 3.6652 6.9744 1.8286 1.1665 0.4609 8.3386 8.8837

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нефедова, Юлия Сергеевна, 2011 год

1. В.Е. Бснинг, В.Ю. Королев. Введение в математ ическую теорию риска. — М., "Макс Пресс", 2000.

2. В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, С.Я. Шоргин. Введение в лштематическую теорию актуарных расчетов. — М., "Макс Пресс", 2002.

3. В.Е. Беиинг, В.Ю. Королев, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска. — М., "Физматлит", 2007.

4. А. Бикялис. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. — Литое, машем, сб., 1966, т. 6, вып. 3, с. 323-346.

5. А. Бикялис. О точности аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин нормальным распредедепнсм. — Литое, матем. сб., 1971, т. 11, вып. 2. с. 237-240.

6. Р. Н. Бхаттачария, Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением. М.: Наука, 1982, 286 с.

7. C.B. Гавриленко, В.Ю. Королев. Оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм — Системы и средства информатики, ИПИ РАН, Москва, 2006, специальный выпуск, с. 248-257.

8. C.B. Гавриленко. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону. Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 12-24.

9. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. Предельные распределения длясумм независимых случайных величин. — Москва—Ленинград, ГИТТЛ, 1949.

10. М. Е. Григорьева, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Каца-Бер-ри-Эссеена. — Информатика и ее применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 78-85.

11. В.М. Золотарев. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 1, с. 108-119.

12. В. М. Золотарев. Современгмя теория суммирования независимых случайных величин. — М., "Наука", 1986.

13. И. А. Ибрагимов. О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых случайных величин нормальным распределением. Независимые и стационарно связанные величины. — Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 4, с. 632-655.

14. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. Независимые и стационарно связанные величины. — М., "Наука", 1965.

15. В. Ю. Королев, С. В. Попов. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при отсутствии моментов порядков, бблыпих второго. Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 3, в печати.

16. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 3, с. 353-366.

17. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. II. — Теория вероятн. и ее примен2005, т. 50, вып. 4, с. 555-563.

18. В.Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных константах в неравенстве Берри-Эссееиа и его аналогах. — В сб. Системы и средства информатики. Специальный выпуск. ИПИ РАН, Москва, 2005, с. 333-358.

19. В.Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эсссена. — Докл. РАН, 2010, т. 430, вып. 6, с. 738-742.

20. В.Ю. Королев, И.Г. Шевцова. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятностей и ее применения. 2009, т. 54, вып. 4, с. 671-695.

21. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эссеена с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. -Обозрение прикл. и пролшшл. матем., 2010, т. 17, вып. 1, с. 25-56.

22. В.М. Круглов, В.Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. — М., Изд-во Московского университета, 1990.

23. В. К. Мацкявичюс. О нижней оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. 28, вып. 3, с. 565-569.

24. Ш.А. Мирахмедов. Об абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. -Изв. АН УзССР\ сер. физ.-мат. ?1аук: 1984, вып. 4, с. 26-30.

25. C.B. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 231-254. '

26. В.Н. Никулин. Неравномерные оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен 1992, т. 34, вып. 4, с. 831-832.

27. Л. В. Осипов. Уточнение теоремы Линдеберга. — Теория вероятпн. и ее примен., 1966, т. 11, вып. 2, с. 339-342.

28. Л. В. Осипов, В. В. Петров. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, вып. 2, с. 322-329.

29. JT. Падитц, Ш.А. Мирахмедов. Письмо в редакцию (Замечание к оценке абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в ц.п.т.) Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. паук, 1986, вып.З, с. 80.

30. В. И. Паулаускас. Об одном усилении теоремы Ляпунова. -Литовский математический сборник, 1969, т. 9, вып. 2, с. 173-179.

31. В. В. Петров. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона. Докл. АН СССР, 1965, т. 160, вып. 5, с. 1013-1015.

32. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. — М., "Наука", 1972.

33. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М., "Наука", 1987.

34. В. В. Петров. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме. -Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 341, с. 142-146.

35. А.П. Прудников. Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементар^ьые функции. — AI., "Наука", 1981.

36. Л. В. Розовский. Неравномерная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. Записки научных семинаров ПОМП, 2007, т. 351, с. 238-241.

37. Б. А. Рогозин. Одно замечание к работе Эссеена "Моментное неравенство с применением к центральной предельной теореме". — Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, вып. 1, с. 125-128.

38. Г. В. Ротарь. Некоторые задачи планирования резерва. — Дисс. канд. физ.-матем. наук, Центральный экономике»-математический институт, Москва, 1972.

39. Г. В. Ротарь. Об одной задаче управления резервами. — Эконом. мате.м. методы, 1976, т. 12, вып. 4, с. 733-739.

40. В. В. Сенатов. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разлоэюения. — М., Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

41. И. С. Тюрин. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. Успехи мателг. паук, 2010, т. 65, вып. 3, с. 201-202.

42. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее прилооюения. Т. 2.-М., «Мир», 1984.

43. Г. П. Чистяков. Об одной задаче А. Н. Колмогорова. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1990, т. 184, с. 289-319.

44. Г. П. Чистяков. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, вып. 2, с. 326-344.

45. И. Г. Шевцова. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятн. и се примен., 2006, т. 51, вып. 3, с. 622-626.

46. И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоповских случайных сумм. — Обозрение промышленной и прикладной математики, 2007. Т. 14. Вып. 1. С. 3-28.

47. И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца. — Теория вероятностей и ее применения, 2010. Вып. 2. С. 271-304.

48. И. Г. Шевцова. Нижняя асимптотически правильная постоянная в центральной предельной теореме. Докл. РАН, 2010, т. 430, вып. 4, с. 466-469.

49. И. С. Шиганов. Об уточнении верхней константы в остаточном члене центральной предельной теоремы. — Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды ВНИИСИ, 1982, с. 109-115.

50. Р. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb1972, Bd. 23, s. 187-196.

51. P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, p. 187-196.

52. V. E. Bening, V.Yu. Korolev, S.Ya. Shorgin. On approximation to generalized Poisson distribuions. — Journal of Mathematical Sciences, 1997, vol. 83, No. 3, p. 360-373.

53. V. E. Bening, V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and'Finance. — VSP, Utrecht, 2002.

54. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. — Preprint 91 078, Universität, Bielefeld, 1991.

55. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. — J. Theor. Probab., 1994, vol. 2, No. 2, p. 211-224.

56. V. Bentkus, K. Kirsa. Estimates of the proximity of a distribution to the noiinal law. Lithuanian Mathematical Journal, 1989. Vol. 29, No. 4, p. 657-673.

57. H. Bergström. On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables. — Skand. Aktuar¡etidskr1949, vol. 33, p. 37-62.

58. A. C. Berry. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates. — Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol. 49, p. 122139.

59. L.H.Y. Chen, Q.A4. Shao. A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein's method. Probability Theory and Related Fields, 2001, v. 120, p. 236-254.

60. R. von Chossy, G. Rappl. Some approximation methods for the distribution of random sums. — Insurance: Mathematics and Economics, 1983, vol. 2, p. 251-270.

61. H. Cramer. Sur un nouveau théorèm-limite de la théorie des probabilités. Actualités scientifiques et industrielles, 1938, No. 736, Paris.

62. P. Delaporte. Un problème de tarification de l'assurance accidents d'automobile examiné par la statistique mathématique. in: Trans. 16th Intern. Congress of Actuaries, Brussels, 1960, Vol. 2, p. 121-135.

63. C.-G. Esseen. On the Liapunoff limit of error in the theory of probability. — Ark. Mat. Astron. Fys., 1942, vol. A28, No. 9, p. 1-19.

64. G.-G. Essecn. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. — Acta Math., 1945, vol. 77, p. 1125.

65. C.-G. Esseen. A moment inequality with an application to the central limit theorem. — Skand. Aktuarrietidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

66. B.V. Gnedenko, V.Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

67. J. Grandell. Mixed Poisson Processes. Chapman and Hall, London, 1997.

68. M. Greenwood, G. U. Yule. An inquiry into the nature of frequency-distributions of multiple happenings, etc. J. Roy. Statist. Soc., 1920, vol. 83, p. 255-279.

69. A. Gut. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

70. C. C. Heyde. On the influence of moments on the rate of convergence to the normal distribution. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 1967, vol. 8, No. 1, p. 12-18.

71. C. C. Heyde. A nonuniform bound on convergence to normality. Ann. Probab., 1975, v.3, No. 5, p. 903-907.

72. W. Hoeffding. The extrema of the expected value of a function of independent random variables. Ann. Math. Statist., 1948, v. 19, p. 239-325.

73. M.S. Holla. On aPoisson-inverse Gaussian distribution. Metrika, 1967, Vol. 11, p. 115-121.

74. P. L. Hsu. The approximate distributions of the mean and variance of a sample of independent variables. — Ann. Math. Statist., 1945, vol. 16, No. 1, p. 1-29.

75. J. 0. Irwin. The generalized Waring distribution applied to accident theory. Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A, 1968, Vol. 130, p. 205-225.

76. V. V. Kalashnikov. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.

77. M.L. Katz. Note on the Berry-Esseen theorem. Ann. Math. Statist 1963, v. 34, p. 1107-1108.

78. V.Yu. Korolev. A general theorem on the limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

79. V. Korolev, S. Popov. On the univeisal constant in the Katz-Petrov theorem. Discussiones Mathematicae, 2011. To appear.

80. L. LeCam. On the distribution of sums of independent random variables. — in: Bernoulli, Bayes, Laplace (anniversary volume). Springer, Berlin Heidelberg - New York, 1965, p. 179-202.

81. R. Michel. On the accuracy of nonuniform Gaussian approximation to the distribution, functions of sums of independent and identically distributed random variables. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1976, Bd. 35, No. 4, S. 337-347.

82. R. Michel. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1981, Bd.55, S. 109-117.

83. R. Michel. On Berry-Esseen results for the compound Poisson distribution. Insurance: Mathematics and Economics, 1993, Vol. 13, No. 1,p. 35-37.

84. T. Nakata. A nonuniform bound on convergence to normality for independent random variables. -Advances in Applied Probability, 1977, v. 11, No. 2, p. 285-286

85. K. Neammanee. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005, v. 12, p. 1951—1967.

86. K. Neammanee, P. Thongtha. Improvement of the non-uniform version of Berry-Esseen inequality via Paditz-Siganov theorems. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2007, vol.8, iss.4, art. 92.

87. V. Nikulin. An algorithm to estimate a nonuniform convergence bound in the central limit theorem, 2010, http://arxiv.org/PScache/arxiv/pdf/1004/1004.0552vl.pdf

88. V. Nikulin, L. Paditz. A note on nonuniform CLT-bounds. -Ith Vilnius Conference on Probability Theory and 22nd European Meeting of Statisticians. Abstracts. 1998, p. 358-359.

89. H. Prawitz. Limits for a distribution, if the characteristic function is given in a finite domain. — Skand. AktuarTidskr., 1972, p. 138-154.

90. L. Paditz. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwortsatz. Wiss. Z. der TU Dresden, 1976, v.25, p. 1169-1177.

91. L. Paditz. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkcit zur Normalverteilung unter Voraussetzung einseitiger Momente. Math. Nachr., 1978, v.82, p. 131-156.

92. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. -Wiss. Z. der TU Dresden, 1979, v. 28, No. 5, p. 1197-1200.

93. L. Paditz. Bemerkungen zu einer Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen «Friedrich List», 1980, Bd. 27, No. 4, S. 829-837.

94. L. Paditz. Einseitige Fehlcrabschätzungen im zentralen Grenz wertsatz. -Math. Operationsforsch, und Statist., ser. Statist1981, Bd. 12, S. 587604.

95. L. Paditz. On error-estimates in the central limit theorem for generalized linear discounting. Math. Operationsforsch, и. Statist, Ser. Statistics, 1984, Bd. 15, No. 4, S. 601-610.

96. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz. -Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen «Friedrich List». Dresden. 1986, v. 33, No. 2, p. 399-404.

97. L. Paditz. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality. Statistics (Berlin: Akademie-Verlag), 1989, v. 20, No. 3, p. 453-464.

98. Z. Rychlik. Nonuniform central limit bounds and their applications. Теория веролти. и ее примен., 1983, т. 28, вып. 3, с. 646-652.

99. Н. Seal. Survival Probabilities. The Goal of Risk Theory. Wiley, Chichester New York - Brisbane - Toronto, 1978.

100. V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. — VSP, Utrecht, 1998.

101. II. S. Sichel. On a family of discrete distributions particular suited to represent long tailed frequency data. in: Proceedings of the 3rd Symposium on Mathematical Statistics. Ed. by N. F. Laubscher. CSIR, Pretoria, 1971, p. 51-97.

102. K. Takano. A remark to a result of A. C. Berry. — Res. Mem. Inst. Math., 1951, vol. 9, No. 6, p. 4.08-4.15.

103. P. Thongtha, K. Neammanee. Refinement on the constants in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. Thai Jo urnal of Mathematics, 2007, v. 5, p. 1—13.

104. W. Tysiak. Gleichmäßige und nicht-gleichmäßige Berry-Esseen-Abschätzungen. Dissertation, Wuppertal, 1983.

105. D.L. Wallace. Asymptotic approximations to distributions. — Ann. Math. Statist., 1958, vol. 29, p. 635-654.

106. G. E. Willmot. The Poisson-inverse Gaussian distribution as an alternative to the negative binomial. Scandinavian Actuarial Journal, 1987, p. 113-127.

107. V. M. Zolotarev. A sharpening of the inequality of Berry-Esseen. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1967, Bd. 8, s. 332-342.

108. Ю.С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О неравномерных оценках скорости сходимости в ЦПТ. Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 3.

109. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. Информатика и ее применения, 2011, т. 5, вып. 1, с. 39-45.

110. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Уточнение структуры неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме с приложением к пуассоновским случайным суммам. — Доклады РАН, 2011.

111. Ю. С. Нефедова. Оценки скорости сходимости в предельной теореме для отрицательных биномиальных случайных сумм. — Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Пермского университета. Пермь, 2011, Вып. 23.

112. Yu. Nefedova, I. Shcvtsova. On the constants in the unifoim and nonuniform versions of the Berry-Esseen inequality for Poisson random sums. — International Conference on Ultra Modern Telecommunications (.ICUMT), 2010, IEEE, p.1141-1144.

113. Yu. Nefedova. The lower estimates for the constants in the analogs of the Berry-Esseen inequality for sums of random number of random variables. — Proceedings of the l^th Conference of Applied Stochastic Models and Data Analysis, 2011, Rome, Italy.

114. Ю. С. Нефедова. Нижние оценки для константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для обобщенных процессов Кокса. — Сборник тезисов конференции «Ломоносов-2011» , секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 19-21.

115. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. Двусторонние оценки для констант в равномерном и неравномерном аналогах неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. — Материалы научной конференции «Тихоновские чтения 2010», стр. 56-57.

116. Yu. Nefedova, I. Shevtsova. On the accuracy of the normal approximation to Poisson random sums. — Book of abstracts of the conference Prague Stochastics 2010, p. 112.

117. Ю. С. Нефедова. Численный поиск нижней оценки для абсолютной константы в неравенстве Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм. — Сборник тезисов «Ломоносов-2010», секция «Вычислительная математика и кибернетика», стр. 124-126.