Оптимальность и робастность линейных непрерывно-дискретных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Сомова, Алиса Александровна

• Сомова, Алиса Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сомова, Алиса Александровна

6.2 Постановка задачи

6.3 Переформулировка задачи в частотных терминах

6.4 Робастность универсального регулятора

Глава II. Непрерывно-дискретная задача оптимального управ ления

7 Постановка абстрактной задачи управления

8 Непрерывно-дискретная задача управления

8.1 Постановка задачи

8.2 Управление на конечном промежутке времени

8.3 Оптимальное управление в стационарном случае

8.4 Оптимальное замкнутое управление

8.5 Программные и программно-замкнутые управления

Глава III. Робастность линейной непрерывно-дискретной абстрактной системы

9 Робастность линейной непрерывно-дискретной абстрактной системы

10 Применение абстрактной теоремы

76

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальность и робастность линейных непрерывно-дискретных систем управления»

Введение

В теории оптимального управления наиболее полно изучена задача управления линейным объектом при квадратичном критерии качества управления (линейно-квадратичная задача оптимизации или задача Калмана - Летова). Эта задача в достаточно общей постановке может быть переформулирована как задача минимизации квадратичного функционала на подпространстве гильбертова пространства (абстрактный вариант задачи Винера). За последние годы разработаны методы синтеза оптимального управления (регулятора) при различных постановках линейно-квадратичной задачи оптимального управления. В "стационарном" случае многие из них доведены до эффективных алгоритмов, основанных, в частности, на операциях факторизации и сепарации дробно-рациональных матричных функций.

Современный этап развития систем автоматического управления характеризуется массовым внедрением средств цифровой вычислительной техники в контуры управления непрерывными динамическими объектами и процессами, поэтому возникает проблема учета специфических особенностей, обусловленных наличием в контурах управления дискретных измерителей и вычислительных устройств. Задача выбора дискретного закона управления непрерывным динамическим объектом решается обычно одним из следующих способов:

1) Выбирается некоторый непрерывный закон управления, который затем заменяется дискретной аппроксимацией.

2) Дискретный закон управления находится по дискретной модели объекта.

Оба подхода обладают принципиальными недостатками. Поэтому для приложений весьма актуальной является проблема отыскания дискретных законов управления непосредственно по непрерывной модели регулируемого объекта.

В приложениях объект управления обычно зависит от некоторых параметров. При этом может оказаться, что оптимальное в том или ином смысле управление, рассчитанное на некотрое но-

минальное значение параметров, должно применяться в условиях, когда некоторые параметры отклоняются от номинальных значений. Естественно ожидать, что при малых отклонениях реальных параметров от расчетных качество оптимального управления изменится мало. Однако в некоторых случаях это не так. Поэтому естественным является вопрос получения достаточных условий робастности системы управления. Данная работа посвящена изучению линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления, установлению достаточного условия робастности этой системы.

Первая глава диссертации является разработкой теории линейных абстрактных систем. Абстрактная система определяется в причинном гильбертовом пространстве в наиболее общем виде.

/Л « и о ^

Оказывается, что такое свойство линеинои абстрактной системы, как устойчивость, удобно определить в терминах передаточного оператора системы. Именно для этого гильбертово пространство и оснащается временной структурой. В диссертации показано, что определение устойчивости абстрактной системы на языке передаточного оператора соответствует привычному понятию устойчивости замкнутых конечномерных систем управления.

Следующим естественным шагом является изучение свойства линейной абстрактной системы быть робастной (грубой) по отношению к малым изменениям ее параметров. В диссертации установлено достаточное условие робастности линейной абстрактной системы и в качестве примеров приведены две системы, каждая из которых неробастна по отношению к своему множеству параметров. В качестве множества параметров взяты множество коэффициентов системы и множество запаздываний в канале управления объектом.

Кроме вопроса об устойчивости и робастности системы .управления может возникнуть и другая задача, связанная с необходимостью синтезировать оптимальные робастные регуляторы. Эта ситуация возникает, когда задача оптимизации разрешима не единственным образом, и не все оптимальные регуляторы являются робастными. Понятие универсального регулятора возникает,

когда задача управления зависит от тех или иных параметров и требуется построить оптимальный регулятор, не зависящий от этих параметров (один и тот же регулятор является оптимальным для различных значений параметров; таким образом, универсальность понимается по отношению к наперед заданному множеству параметров). Разумеется, эта ситуация не является общей, в большинстве случаев оптимальный регулятор зависит от параметров (т.е. универсального регулятора не существует), тем более важны те частные случаи, когда удается доказать существование и синтезировать универсальный регулятор. В диссертации изложен метод построения универсального регулятора при полигармонической помехе для дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления.

В первом разделе диссертации дается определение линейной абстрактной системы, ее системного и передаточного операторов.

Второй раздел содержит примеры записи конечномерных непрерывных и дискретных систем управления, функционирующих на бесконечном и полубесконечном интервалах времени, в абстрактном виде с изучением свойств передаточных операторов полученных систем.

В третьем разделе осуществляется введение временной структуры в гильбертовом пространстве и определение каузальности оператора. В качестве примера приводится случай каузальности системных операторов замкнутых конечномерных систем управления, функционирующих в непрерывном и дискретном времени.

В четвертом разделе вводится понятие устойчивости абстрактной системы как каузальности и ограниченности ее передаточного оператора и устанавливается соответствие введенного определения устойчивости привычному понятию устойчивости в случае замкнутых конечномерных систем управления.

В пятом разделе обсуждается робастность линейной абстрактной системы, достаточные условия ее робаотности и приводятся примеры неробастных систем управления.

В шестом разделе обсуждается проблема построения универсальных регуляторов и приводится пример построения универ-

сального регулятора в случае дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления с полигармонической помехой.

Во второй главе диссертации обсуждается линейно-квадратичная непрерывно-дискретная задача оптимального управления. Особенностью этой задачи является то, что объект функционирует в непрерывном времени, а управление строится по дискретным наблюдениям за объектом. Такая постановка задачи обусловлена тем, что использование в цепи управления ЭВМ подразумевает дискретное поступление информации даже при непрерывно фукционирующем объекте. Довольно часто ([1]) непрерывно-дискретная задача оптимального управления решается сведением ее к дискретной, и оптимальное управление ищется в классе кусочно-постоянных допустимых управлений. Но такой подход к решению указанной задачи не всегда удобен, поскольку интервалы между моментами поступления информации о состоянии объекта могут быть велики, а указанный выше тин управления оказывается слишком тривиальным. Таким образом, непрерывно-дискретная задача оптимального .управления является содержательной.

Седьмой раздел диссертации содержит постановку линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления в достаточно общем виде.

В восьмом разделе диссертации приводятся возможные постановки линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления в случае конечномерной системы и ее решения. А именно, обсуждается задача оптимального управления на конечном промежутке? времени, оптимальное управление в стационарном случае, оптимальное замкнутое управление, оптимальные программное и программно-замкнутое управления. Не все приводимые в этом разделе результаты являются новыми (см., например, [1,2]), но их отбор и методическая переработка позволяют лучше понять абстрактные построения.

Во всех указанных случаях линейный объект управления описывается стохастическим уравнением, причем внешнее воздействие (помеха) является стандартным винеровским процессом, ре-

ализации которого с вероятностью 1 непрерывны. В начальный момент времени вектор состояния считается заданным либо случайным вектором с известными средним значением и матрицей ко-вариаций. Задано множество моментов квантования (моменты измерения состояния объекта), причем в эти моменты доступна неполная зашумленная информация о состоянии объекта, помеха в которой является стандартным дискретным белым шумом, стохастически независимым с помехой в объекте управления. Вводится понятие функционала качества, и задача оптимального управления состоит в нахождении допустимого управления, гарантирующего минимальное значение функционалу качества. Таким образом, более полная постановка задачи оптимального управления связана с дополнительными предположениями о выборе множества допустимых управлений. .

В случае управления на конечном промежутке времени кусочно-постоянное управление формируется при помощи обратной связи, и допустимыми считаются те управления, которые доставляют конечное значение квадратичному функционалу качества. Поставленная задача методом дискретизации (сведение уравнения, описывающего объект управления, функционирующий в непрерывном времени, к дискретному виду) сводится к задаче, подобной изученной ранее, и приводится ее решение.

Далее рассмотрен важный специальный случай задачи оптимального управления в стационарном случае. Предполагается, что моменты квантования являются эквидистантными (равноотстоящими) и все коэффициенты системы от времени не зависят. Эта задача решается в двух предположениях о множестве допустимых управлений:

1) допустимые управления являются кусочно-постоянными и формируются при помощи обратной связи;

2) допустимыми являются линейные неупреждающие управления.

В первом случае решение линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления получено в окончательном виде, алгоритм формирования управления представлен

в рекуррентной форме, удобной для использования ЭВМ в цепи обратной связи. Во втором случае достигается более высокое качество управления, но синтез обратной связи становится несколько более сложным.

Далее рассмотривается общий (нестационарный) вариант линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления и оптимальное управление ищется в классе замкнутых управлений. Предполагается, что множество моментов квантования известно заранее, до начала процесса управления, т.е. гарантировано поступление неполной зашумленной информации о состоянии объекта в фиксированные моменты времени. Оптимальное управление в этом случае может быть получено с помощью так называемой теоремы разделения. В качестве множества допустимых управлений выбирается множество всех линейных неупреждающих обратных связей (не обязательно определяемых стационарным регулятором).

Рассматриваются еще два класса допустимых управлений программные и программно-замкнутые управления. При построении программного управления информация о состоянии объекта используется только в начальный момент времени и не предполагается дальнейшее измерение выходов. При построении программное амкну того управления предполагается, что моменты времени, в которые происходит измерение выходов объекта управления, не определяются предысторией процесса управления, т.е. в каждый данный момент времени будущие дискреты неизвестны. Предполагается лишь, что на любом интервале заданной длины по крайней мере один момент измерения содержится (когда он поступит, нам не известно, но при его достижении данные текущего измерения зашумленного выхода объекта управления оказываются доступными и могут быть использованы для уточнения управления). В момент поступления информации о состоянии объекта (в виде неполного зашумленного его наблюдения) строится с учетом этой информации программное управление, рассчитанное на следующий интервал заданой длины. Если при реализации этого управления поступит новая информация о состоянии объ-

екта управления, то в момент поступления информации уточняется оценка состояния объекта управления и с ее учетом строится новое программное управление на последующий промежуток заданной длины. В обоих случаях получены алгоритмы построения оптимальных управлений и как следствие получено утверждение, что на промежутках между измерениями выходов оптимальные управления всех трех классов (замкнутое, программное, программно-замкнутое) совпадают.

Третья глава диссертации посвящена изучению свойства робастности линейно-квадратичной непрерывно-дискретной системы управления.

В первой части диссертации приведены примеры, когда оптимальная обратная связь, синтезированная для номинальных значений параметров, может привести к неустойчивости замкнутой системы управления при сколь угодно малых отклонениях реальных значений параметров объекта управления от расчетных. В этом случае говорят, что система управления чувствительна к малым изменениям параметров (не обладает свойством грубости., или робастности, по отношению, в данном случае, к свойству устойчивости замкнутой системы). Использование негрубых обратных связей в приложениях обычно недопустимо. Поскольку этот эффект довольно часто встречается в задачах оптимизации, в последние годы большое внимание специалистов в области оптимального управления стала привлекать проблема грубости замкнутых систем управления.

Понятие грубости (по отношению к свойству устойчивости на полубесконечном интервале времени) системы, описываемой дифференциальными уравнениями, восходит к А.А.Андронову (1937). Понятие грубости можно вводить не только по отношению к свойству устойчивости замкнутой системы управления. Общая постановка может включать и другие, важные в приложениях свойства замкнутых систем. Достаточно общая постановка задачи о робастности замкнутой системы управления может быть сформулирована, если задан функционал, характеризующий качество управления. Этот функционал, естественно, зависит от параме-

тров объекта управления. Тогда можно говорить о робастности системы, если функционал качества непрерывен при номинальном значении параметра. Именно так ставится общая задача о робастности в [3,4], и в данной работе мы будем следовать этой постановке задачи. Понятие грубости системы идейно близко к понятию корректности по Адамару (неоднородное линейное уравнение корректно по Адамару, если его решение непрерывно зависит от аддитивного слагаемого). Заметим, что в некоторых случаях под робастностью понимают более сильное свойство, чем непрерывность функционала качества: требуется гарантированный уровень качества управления при заданном уровне отклонения параметров от номинальных их значений.

В данной работе исследуется робастность по отношению к малым отклонениям моментов квантования выходов объекта управления от их номинальных значений. Основной результат работы состоит в нахождении условий, при которых функционал качества управления остается непрерывным при малых вариациях моментов квантования. Задача о робастности замкнутой системы управления ставится в достаточно общем виде, что позволяет при ее исследовании широко использовать теорию линейных операторов в причинных гильбертовых пространствах.

Наконец, в разделе 10 результат, полученный для абстрактной системы управления в разделе 9, применяется к задаче о робастности конечномерной линейно-квадратичной непрерывно-дискретной системы управления по отношению к вариациям моментов отсчета выходного сигнала объекта управления.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Сомова, Алиса Александровна

Основные результаты дисертации можно сформулировать следующим образом:

1. получено достаточное условие робастности линейной абстрактной системы;

2. получены уравнения оптимальных регуляторов (теоремы 3-8) в линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задаче оптимального управления в зависимости от выбора класса допустимых управлений;

3. доказано, что непрерывно-дискретная система управления является робастной по отношению к малым изменениям моментов дискретизации.

Заключение

В диссертации разработана теория линейных абстрактных систем, определенных в наиболее общем виде. Свойства системы быть устойчивой и робастной определены в терминах передаточного оператора системы, что позволяет сделать анализ более конструктивным. Найдены достаточные условия робастности системы.

В случае конечномерной системы управления линейно-квадратичная непрерывно-дискретная задача оптимального управления изучена в различных постановках в зависимости от класса допустимых управлений. Приводимые результаты по линейно-квадратичной непрерывно-дискретной задаче оптимального управления в определенном смысле являются окончательными. Найдене простое достаточное условие робастности абстрактной непрерывно-дискретной задачи оптимального управления. Как иллюстрация эта теорема применяется к задаче построения непрерывно-дискретного оптимального замкнутого управления, робастного по отношению к малым изменениям моментов квантования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сомова, Алиса Александровна, 1998 год

Литература

1. Сомова А.А., Фомин D.H. Дискретное управление линей ными непрерывными объектами. СПб.,1990. Деп. в В И ЛИГ И 14.02.9G, N 483-В96.

2. Розенвассер Е.Н. Линейная теория числового управления в непрерывном режиме. Л., 1989.

3. Cherernensky A.G., Fomin V.N. Operator Approach to Linear Control Systems. Dordrecht/ Boston/ London, 1996.

4. Cliereiiiensky G.A., Foinin V.N., Soniova A.A. Stability and robustness of a linear abstract system // Proceedings of International Conference on Control of Oscillations and Chaos. 27-29 August, 1997. St. Petesrburg, Russia, 1997. Vol. 2. P. 300-303.

5. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка. 1971.

6. Петров К).II. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Л., 1987.

7. Feintuch A., Saelcs В.. System Theory : A Hilbert Space Approach, New York; 1982.

8. Якубович В.А. Универсальные регуляторы для оптимального гашения вынужденных случайных колебаний в линейных системах // Докл. РАН. Т. 338. N 1. С. 19-24. 1994.

9. Fomin V.N. Discrete Linear Control Systems. Dordrecht/ Boston/ London: Kluwer Acad. Publ. 1991.

10. Фомин B.H., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука. 1981.

11. Lindquist A., Yakubovieh V.A. Universal regulators for optimal damping and tracking in discrete time systems with harmonic external disturbances. / In Proceedings of International Conference on Control of Oscillations and Chaos. 27-29 August, 1997. St. Petersburg. Vol. 1. P. 1-2.

12. Петров О.А., Фомин В.Н. Теория фильтрации случайных процессов. Л.; 1991.

13. Казаринов Ю.Ф., Фомин В.Н. Линейно-квадратичная задача стохастического управления.I // Автоматика и телемеханика. 1990. N8. С.99-105.

14. Казаринов Ю.Ф., Фомин В.Н. Линейно-квадратичная задача стохастического управления.II // Там же. 1992. N 5. С.74-81.

15. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л., 1985.

16. Браммер Л., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана — Бьюси. М., 1982.

17. Сомова A.A., Фомин В.Н., Череменский А.Г. Устойчивость и робастность абстрактных систем управления // Нелинейные динамические системы. Вып.1. Издательство С.-Петербургского Университета, 1997. Стр. 228-260.

18. Fornin V.N., Soinova A.A. Stability and robustness of linear difference and differential systems // Proceedings of Second International Conference oil Differential Equations and Ajjplications. 15-20 June, 1998. St. Petersburg, Russia, 1998. P. 34.

19. Фомин B.H., Афанасьева Г.Б., Сомова A.A. Синтез непрерывно-дискретного оптимального фильтра. СПб., 1998. Деп. в ВИНИТИ 23.06.98, N 1921-В98.

20. Фомин В.Н., Сомова A.A. Оптимальность и робастность линейных непрерывно-дискретных систем. СПб., 1998. Деп. в ВИНИТИ 02.07.98, N 2055-В98.