Оптимальное управление процессом нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения и максимальную температуру тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Бикбулатова, Гузялия Саяфовна

• Бикбулатова, Гузялия Саяфовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бикбулатова, Гузялия Саяфовна

Содержание

В в е д е н и е

Глава 1. Задача оптимального по быстродействию управления процессом нагрева призмы

§1. Постановка задачи оптимального быстродействия

§2. Применение метода интегральных преобразований для расчета

тепловых полей

Глава 2. Расчет термонапряжений

§ 1. Термонапряженное состояние призмы

§2. Ускорение сходимости рядов при расчете термонапряжений

§3. Анализ термонапряжений

Глава 3. Конечномерная аппроксимация

§1. Постановка конечномерной задачи

§2. Априорная оценка погрешности аппроксимации по состоянию в

норме пространства

§3. Сходимость конечномерных приближений

§4. Исследование управляемости

§5. Решение задачи быстродействия с линейными ограничениями

§7. Вычислительные эксперименты и их анализ

3 а к люч е н и е

Л и т е р а т у р а

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление процессом нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения и максимальную температуру»

ВВЕДЕНИЕ

Во многих современных технологических процессах, связанных с нагревом материалов, элементов конструкций, деталей и т.п., требуется находить оптимальные режимы нагрева с учетом различных ограничений, например, ограничений на максимальную температуру тела, на термонапряжения и др.

Несмотря на практическую значимость задачи оптимизации процессов нагрева с учетом ограничений изучены значительно меньше задач оптимизации нагрева без учета ограничений.

В работах [1,11-13,23,24] исследована задача оптимального по быстродействию одномерного нагрева с учетом ограничений на растягивающие термонапряжения и на температуру поверхности. Исходная задача аппроксимировалась конечномерной. Считалось, что к разрушению нагреваемого изделия приводят только растягивающие термонапряжения, на которые и накладывались ограничения. В предположении, что предел прочности есть постоянная величина предложены способы решения задачи наискорейшего нагрева. Описанные способы решения применимы только для задачи одномерного нагрева, причем методы поиска управлений указаны только для конечномерной задачи из двух-трех уравнений и не применимы для решения конечномерных задач большей размерности/ Не исследованы также вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, по функционалу быстродействия и по управлениям.

В работах [18-20] исходная задача сводилась к задаче поиска

допустимых температурных режимов. Этот подход применим лишь в некоторых частных случаях при жестких априорных ограничениях на поведение оптимального управления.

В [52] рассматриваются задачи распределения температур и напряжений в призме прямоугольного сечения, находящейся под действием внутренних источников. Исследуется распределение термонапряжений при действии единичного импульса. Однако в [52] не рассматривается задача оптимального управления нагревом призмы с учетом ограничений на термонапряжения.

В работах [61,62] исследовалась двумерная задача оптимального по быстродействию индукционного нагрева цилиндра конечной длины с учетом ограничений на термонапряжения. Уравнения аппроксимировались методом конечных элементов и дифференциальная задача заменялась задачей нелинейного программирования. Последняя решалась в предположении, что управляющий параметр имеет не более двух точек переключения. Этот метод приводит к весьма трудоемким алгоритмам, которые не всегда сходятся.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Решена задача оптимального по быстродействию нагрева призмы внешними тепловыми источниками с учетом ограничений на термонапряжения, на максимальную температуру путем аппроксимации исходной задачи последовательностью конечномерных задач оптимального управления;

2. Доказана теорема о сходимости конечномерных приближений по функционалу и по управлению в двумерной задаче внешнего нагрева с ограничениями на максимальную температуру, получены конструктивные оценки погрешности аппроксимации по состоянию;

3. Исследовано термонапряженное состояние призмы. Определе-

ны точки, в которых термонапряжения при наискорейшем нагреве достигают экстремальных значений;

4. В случае одномерного нагрева призмы проведено исследование управляемости задачи нагрева с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру;

5. Разработан комплекс программ, позволяющий провести анализ термонапряжений, возникающих при нагреве призмы, и решить задачу оптимального по быстродействию нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность метода решения задачи оптимального нагрева с учетом ограничений .

Опишем кратко основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется задача оптимального по быстродействию нагрева призмы с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения и максимальную температуру. Рассматривается задача нагрева внешними тепловыми источниками при краевых условиях третьего рода. Предполагается, что нагреваемые материалы разрушаются хрупко и что теплофизические и механические коэффициенты, входящие в уравнения, постоянные. Зависимости пределов прочности от температуры аппроксимируются линейными функциями. Методом интегральных преобразований решение тепловой задачи записывается в виде ряда Фурье, коэффициенты которого находятся из решения бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 2 решение задачи термоупругости выписывается в виде рядов, коэффициенты которых определяются из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Полученные ряды медленно схо-

дятся на границе и в точках, достаточно близких к границе. Пользуясь асимптотическими свойствами решения бесконечной системы алгебраических уравнений сходимость рядов улучшается путем выделения и представления в замкнутом виде их медленно сходящихся частей. Проведены вычислительные эксперименты. В результате анализа выявлены точки, в которых термонапряжения достигают экстремальных значений.

В главе 3 исходная задача быстродействия с ограничениями на термонапряжения и на максимальную температуру сводится к конечномерной задаче оптимального быстродействия, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. Решение полученной задачи и принимается за #-ое приближение решения исходной задачи. Выписана оценка погрешности аппроксимации по состоянию в норме пространства Ь . Указаны условия, при которых конечномерные приближения в задаче внешнего нагрева с учетом ограничений на максимальную температуру сходятся по функционалу быстродействия, а соответствующие управления слабо сходятся к оптимальному управлению. Полученная конечномерная задача решается с помощью многошагового алгоритма корректировки опорной гиперплоскости, изложенного в работе [45]. Алгоритм позволяет эффективно решать задачи линейного быстродействия независимо от размерности системы. Приведены результаты экспериментов как при наличии, так и при отсутствии фазовых ограничений, которые подтвердили эффективную работу алгоритма на практике .

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Бикбулатова, Гузялия Саяфовна

Основные результаты расчета записываются в файл rez.dat, который содержит следующую информацию:

1. Исходные данные;

2. Точки переключения оптимального управления;

3. Распределение температуры и термонапряжений в сечениях призмы в различные моменты времени.

Алгоритм работы комплекса программ состоит из следующих действий:

1. Ввод исходных данных из файла inf.dat. Часть данных в зависимости от выбранного варианта расчета вводится в диалоговом режиме ;

2. Логический контроль корректности введенных параметров. В случае нарушения корректности исходных данных осуществляется прерывание работы программы с выдачей соответствующего сообщения;

3. Расчет термонапряжений, возникающих в призме, и определение точек, в которых термонаряжения принимают экстремальные значения. При необходимости создается файл с информацией о распределении термонапряжений в сечениях призмы в различные моменты времени;

4. В зависимости от выбора осуществляется расчет оптимального управления нагревом призмы при наличии или отсутствии ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру;

5. Печать исходных данных и результатов расчета.

Выбор определенного варианта расчета осуществляется с помощью оператора выбора, каждая ветвь которого представляет собой вызов определенного модуля или подпрограммы (например, расчет термонапряжений, вычисление коэффициентов ограничений, расчет оптимального управления с учетом ограничений). В зависимости от выбора варианта расчета происходит активация одних блоков комплекса программ и игнорирование других.

Каждая подпрограмма снабжена необходимыми комментариями, облегчающими их использование. Межмодульный интерфейс организован с помощью глобальных переменных и обмена данными через запись и чтение из числовых файлов. Данные, имеющие довольно большой объем (трехмерные массивы), передаются через ввод-вывод из числовых файлов.

Универсальность комплекса заключается в том, что он предназначен для расчета оптимального управления внешним нагревом призмы как при наличии так и при отсутствии ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру, а также возможен расчет термонапряжений, возникающих в призме. При соответствующих изменениях комплекс программ может быть использован для расчета оптимального управления внешним нагревом других тел, а также для расчета оптимального управления индукционным нагревом. Кроме того комплекс программ обеспечивает создание архива данных, наглядное отображение текстовой и графической информации.

§ 7. Вычислительные эксперименты и их анализ

Предложенный алгоритм решения линейной задачи быстродействия с фазовыми ограничениями был аппробирован на ряде задач. В настоящем пункте приведены результаты вычислительных экспериментов для нагрева неограниченной призмы прямоугольного сечения из сплава ЖС6У до конечной (постоянной по сечению) температуры 920°С за минимальное время с учетом и без учета ограничений на термонапряжения и на температуру поверхности, которая по условию не должна была превышать 1100°С. Значения теплофизических и механических параметров, за исключением предела прочности, считались постоянными и соответственно равными: а = 0.0153 м2/час, \ = 23 Вт/(м-град), а = 200 Вт/(м2■град}, 0.18-10~* 1/град, Е = 0.145■1012Н/м2, v = 0.3, R=0.25 м.

Зависимость предела прочности от температуры задавалась таблично

Заключение

В работе исследована задача оптимального управления процессом внешнего нагрева неограниченной призмы прямоугольного сечения с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру. Показано, что двумерная задача оптимального по быстродействию нагрева призмы с ограничениями на термонапряжения и на максимальную температуру может быть аппроксимирована конечномерной задачей оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. Исследованы вопросы сходимости конечномерных приближений. Доказаны теоремы о сходимости по функционалу и о слабой сходимости последовательности управлений к множеству оптимальных управлений. Получена априорная оценка погрешности аппроксимации по состоянию. В случае одномерного нагрева с учетом ограничений на термонапряжения и максимальную температуру проведено исследование управляемости.

Исследованы термонапряжения, возникающие в призме в результате неравномерного нагрева. Выявлены точки, в которых термонапряжения достигают экстремальных значений. В этих точках накладывались ограничения на термонапряжения. Указаны конструктивные способы ускорения сходимости рядов, возникающих при расчете термонапряжений в неограниченной призме. Так как заранее неизвестно какие термонапряжения (растягивающие или сжимающие) влияют на процесс нагрева, то учитывались ограничения и на сжимающие, и на растягивающие термонапряжения.

Конечномерные задачи оптимального управления решались с помощью многошагового алгоритма корректировки опорной гиперплоскости. Этот метод позволяет решать конечномерные задачи независимо от размерности конечномерной задачи.

Разработан комплекс программ, позволяющий провести анализ термонапряжений, возникающих при нагреве призмы, и решить задачу оптимального нагрева призмы при наличии и отсутствии ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру. Проведен вычислительный эксперимент, подтверждающий эффективность метода решения задачи оптимального по быстродействию нагрева при наличии и отсутствии фазовых ограничений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бикбулатова, Гузялия Саяфовна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев Ю.Н., Огульник М.Т. Оптимальный по быстродействию нагрев пластины при ограниченных температурных напряжениях // Кибернетика и управление. М.: Наука, 1967. с.43-52.

2. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.Г., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках. I // Автоматика и телемеханика, 1980, N8. с.16-26.

3. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.Г., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках. 2 // Автоматика и телемеханика, 1980, N9. с.5-12.

4. Бикбулатова Г.С. Применение метода конечных элементов для решения уравнения Пуассона для плоских областей //Тезисы докладов 1-ой научной конференции молодых ученых-физиков республики Башкортостан. Уфа, 1994, с.15.

5. Бикбулатова P.C. Двумерная задача расчета пластового давления //Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Том 6, Численные методы. Уфа, 1996, с.18-23.

6. Бикбулатова Г.С. Расчет термонапряжений в призме// Тезисы докладов международной конференции "Оптимизация численных методов". Уфа, 1998, с.18.

7. БиргерИ.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. -560 с.

8. Боли Б. Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:

Мир, 1964. -517 с.

9. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. -568 с.

10. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) //Автоматика и телемеханика. 1979, N11. с.16-65.

11. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. -476 с.

12. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургиздат, 1972. -440 с.

13. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1981, -272 с.

14. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: МГУ, 1974. -376 с.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. -400 с.

16. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. -550 с.

17. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.-Л.: Тех-ноэнергоиздат, 1956.-357 с.

18. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. Киев: Наукова думка, 1979. -360 с.

19. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. Киев: Наукова Думка, 1988.-313 с.

20. Вырк А.Х. Управление нагревом массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения // Автоматика и телемеханика, 1972, N5, с.185-188.

21. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к само-

летам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М.:1959.-349с.

22. Гживачевский М., Рапопорт Э.Я., Рыбаков В.В. К задаче синтеза оптимальных по быстродействию систем управления нагревом металла // Идентификация и оптимизация управляемых технологических процессов. Куйбышев: КПИ, 1989, с. 69-80.

23. Голубь H.H. Управление нагревом "линейно"-вязко-упругой пластины при ограничении температурных напряжений //Автоматика и телемеханика, N2, 1966, с.18-27.

24. Голубь H.H. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика, 1967, N4, с.38-57.

25. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наукова Думка, 1978.-264 с.

26. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, т.З, N5. с.887-904.

27. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. -464 с.

28. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. -744 с.

29. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JI. : Физматгиз, 1962. -695 с.

30. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985.-280 с.

31. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев:Наукова думка, 1970. -306 с.

32. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев:Вища школа, 1975. 216 с.

33. Коваленко А.Д. Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1976.

-762 с.

34. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1986. -392 с.

35. Коломейцева М.Б. Применение численных методов при решении задач оптимального управления объектами нагрева // Известия вузов. Энергетика, 1985, N6, с. 76-81.

36. Коялович Б.М. Исследование о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 1930, N 3, с.41-167.

37. Коялович Б.М. К теории бесконечных систем линейных уравнений // Труды Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 1932, т.2, N 4, с.1-16.

38. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408 с.

39. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М. Высшая школа, 1967. -600 с.

40. Морозкин Н.Д. 0 сходимости некоторых алгоритмов решения задачи линейного быстродействия // Математические методы анализа управляемых процессов. Ленинград:ЛГУ, 1986, вып.8, с. 147-154.

41. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численное приближение экстремалей управляемых динамических систем. Учебное пособие.Уфа, 1989. -89 с.

42. Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование, 1995, т.7, N5, с.86.

43. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление одномерным нагревом с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование,

1996, т. 8, N3. с.91-110.

44. Морозкин Н.Д. Об одном алгоритме поиска оптимального управления в задаче одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений // Тепломассообмен ММФ-96. Вычислительный эксперимент в задачах теплообмена и теплопередачи. Том IX, часть 1, Минск, 1996, с.132-136.

45. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с

учетом фазовых ограничений. Уфа: БашГу, 1997.-115 с.

46. Морозкин Н.Д. Математическое моделирование и оптимизация процессов нагрева с фазовыми ограничениями// Дис. докт.физ,-мат.наук. Уфа, 1996.-315 с.

47. Морозкин Н.Д., Бикбулатова Г.С. 0 сходимости конечномерных аппроксимаций в двумерной задаче нагрева с фазовыми ограничениями //Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Том 5, Численные методы. Уфа, Институт математики с ВЦ РАН, 1996, с.98-106.

48. Морозкин Н.Д., Бикбулатова Г.С. Оптимальное по быстродействию управление двумерным процессом индукционного нагрева с учетом ограничений на термонапряжения //Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1996, с.73.

49. Морозкин Н.Д., Башкатов А.Ф., Бикбулатова Г.С. Оптимизация индукционного нагрева цилиндра с учетом фазовых ограничений //Всероссийская конференция "Физика конденсированного состояния" . Том 1, Математические методы физики. Стерлитамак,

1997, с.86-90.

50. Морозкин Н.Д., Бикбулатова Г.С. Применение МКЭ для расчета пластового давления в нефтяном месторождении //Нефтяное хозяйство, 1998, N9.

51. Морозкин Н.Д., Бикбулатова Г.С. Оптимальное управление процессом нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения //Труды 3-ей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1998, с.55,56.

52. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Термоупругость. Киев: Наукова Думка, 1987.-264 с.

53. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, т.8, N1. с. 136-157.

54. Пшеничный Б.Н., Соболенко JI.A. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, т.8, N 6. с.1345-1351.

55. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. -480 с.

56. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1979. -488 с.

57. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, т.4, N6. с.1045-1064.

58. Филоненко-Бородич М.И. Механические теории прочности. М.: МГУ, 1961. -92 с.

59. Grzywaczewski М., Rapoport E.J., Stochniol A. Optimal control of electromagnetic and temperature fields in induction heating // International symposium on electromagnetic fields in electrical engineering (ISEF'89). Lodz, Poland, 1989, p.305-308.

60. Hitzchke, R.-P. Ein Beitrag zum Entwurf optimaler Zeitplan-

Steuerungen für induktive Erwarraungsprozesse unter Berücksichtigung Thermischer Spannungen, 1989,110 S. Iltenau, TH, Sektion ET, Diss. A.

61. Hitzschke R.-P., Schulze D. Berechnung van Zeitplansteuerungen für induktive Erwarmungsprozesse //Elektrowärme international 48 (1990) B4 Oktober, p.192-198

62. Schulze D. Modellierung und Steuerung induktiver Erwarmungsprozesse, 1984, 256 S, Ilmenau, TH, Diss.