Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Новоженин, Алексей Владимирович

• Новоженин, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Новоженин, Алексей Владимирович

Оглавление

Введение

1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе

1.1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе; неотрицательное решение задачи Коши

1.2 Необходимые и достаточные условия сохранения суммы фазовых координат

1.3 Методы приведения к системе на стандартном счетномерном симплексе

1.4 Представления систем на стандартном счетномерном симплексе

1.5 Решение задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе

1.6 Предельные свойства решения задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе

2 Принцип максимума для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе

2.1 Постановка оптимизационной задачи для системы на стандартном счетномерном симплексе

2.2 Многоточечная импульсная варианта и ее свойства

2.3 Сопряженная функция и ее свойства

2.4 Вычисление приращения критерия качества

2.5 Необходимые условия оптимальности для вспомогательной задачи

2.6 Необходимые условия оптимальности для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе

2.7 Оптимизационная задача для уравнения с неограниченным оператором

3 Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении постоянной суммы фазовых координат

3.1 Постановка оптимизационной задачи

3.2 Построение аппроксимирующей последовательности

3.3 Сходимость конечномерных приближений

3.4 Численные эксперименты

3.5 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе»

Введение

Подмножество пространства абсолютно суммируемых последовательностей Ii, состоящее из последовательностей с неотрицательными компонентами, сумма ряда из которых равна единице, называется стандартным счетномерным симплексом:

S= j(zi,...,zn,...) : Zi>0, i = l,oo, X> = lj. (1)

В дальнейшем счетные системы дифференциальных уравнений, для которых решение любой задачи Коши в каждый момент времени принадлежит симплексу S (1) при условии, что начальные условия принадлежат симплексу S, будем называть системами на стандартном счетномерном симплексе.

Эти системы используются для моделирования разнообразных реальных объектов и процессов. В первую очередь к ним относятся случайные, в частности марковские процессы со счетным числом состояний и непрерывным временем. Марковские процессы, впервые введенные A.A. Марковым в работах [118,119], получили в дальнейшем интенсивное развитие и широкое применение, в том числе в теории стохастических процессов, в частности в теории массового обслуживания. Родоначальником теория массового обслуживания явился датский инженер А.К. Эр-ланг [176], первые публикации которого относятся к 1900-м годам. В 1940 - 1950-х годах развитие теории продолжилось в работах [36,37,168,169,200] и др. В связи с развитием теории массового обслуживания начали активно использоваться стохастические модели со счетным числом состояний, областью приложений которых являются задачи о времени ожидания, задачи, связанные с расчетом числа занятых телефонных линий и различных типов очередей для телефонов, машин и т.п. [8,21,22,34,55,66,68,69,146,165,183,184,193-195,201] и др. Фазовыми переменными в этих моделях являются вероятности нахождения системы в одном из нескольких состояний. Очевидно, что при этом все фазовые переменные неотрицательны и их сумма равна единице, т. е. любая такая модель представляет собой систему на стандартном счетномерном симплексе.

Помимо подобных стохастических процессов в окружающем мире существует большое количество объектов, поведение которых можно описать с помощью счетных систем дифференциальных уравнений. Счетные системы дифференциальных уравнений очень активно используются в решении задач математической физики. В частности, метод Фурье приводит к тому, что от дифференциальных уравнений в частных производных целесообразно перейти к рассмотрению счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. К таким системам дифференциальных уравнений сводятся в том числе многие дифференциальные уравнения параболического типа, используемые для описания процессов передачи тепла, диффузии и др. Часто постановка задачи требует, чтобы ее решение прини-

мало лишь неотрицательные значения. Так в физических процессах положительными остаются энергии частиц, в химических - концентрации реагирующих веществ, в биологических - количества особей различных видов. В силу своей практической значимости динамические системы с неотрицательными фазовыми координатами, описывающие широкий круг моделей из различных предметных областей, привлекали внимание математиков. М.А. Красносельский [71-73] и С.Г. Крейн [75] получили условия существования неотрицательного решения дифференциальных уравнений (инвариантности конуса) в абстрактном банаховом пространстве.

Как правило, значения фазовых координат в системах, описывающих реальные процессы, ограничены. В таком случае исходная система принадлежит некоторому ограниченному замкнутому множеству, например, части сферы, эллипсоида в бесконечномерном пространстве и т.п., которое можно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить на стандартный счетномерный симплекс. Тогда исходная система также может быть сведена к системе на стандартном счетномерном симплексе. Так системы, описывающие процессы коагуляции ([10-12,24,25,29,30,110,121,129,158-160] и др.), химической кинетики со счетным числом реагентов ([40,170,199,202] и др.) могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном счетномерном симплексе.

Кроме того, системы на стандартном счетномерном симплексе используются для изучения процессов отбора [40,188], имеющих широкое распространение в окружающей действительности. Отбором называют процесс сортировки или выделения по некоторому признаку элементов из заданного набора однородных объектов. Среди физико-химических процессов к ним можно отнести всевозможные процессы разделения смесей, очистки веществ: фильтрации, ректификации, абсорбции, экстракции. В живой природе существуют естественный и искусственный отборы. Частными случаями отбора также являются процессы классификации, распознавания образов, обучения и т.п. Для математического описания таких процессов целесообразно поставить в соответствие каждому элементу множества неотрицательный количественный показатель принадлежности данного элемента отбираемому подмножеству. Показателями принадлежности могут служить вероятность, масса, численность, энергия, частота использования и т.п. Отбор будет иметь место тогда, когда для некоторых элементов этот показатель с течением времени стремится к нулю. Системы на стандартном счетномерном симплексе наиболее удобны для изучения процессов отбора во множествах со счетным числом элементов, так как там сохраняется постоянной сумма значений показателей принадлежности к отбираемому подмножеству, вследствие чего увеличение преимуществ одного элемента возможно только за счет ослабления других, и ярче всего проявляются сравнительные качества разных элементов. В связи с этим представляет большой интерес исследование предельного поведения решения системы на стандартном счетномерном симплексе, играющего большую роль в изу-

чении процессов отбора в счетном множестве элементов. Примером такого отбора во множестве со счетным числом элементов служит процесс возникновения волны определенной частоты из шума, что соответствует концентрации энергии колебаний на одной гармонике (или на комбинации гармоник) при начальном хаотическом распределении энергии по всему спектру частот [197,203]. Кроме того, подобные явления наблюдаются и в динамике количественного распределения особей биологического вида по счетному множеству генотипов ([178,180,181] и др.)

Изучение предельных свойств системы на стандартном счетномерном симплексе также играет большую роль в изучении устойчивости систем с распределенными параметрами.

Несмотря на то, что дифференциальные уравнения на стандартном счетномерном симплексе можно рассматривать как частный случай дифференциального уравнения в банаховом пространстве, существует много специфических свойств, характерных только для уравнений на счетномерном симплексе и обуславливающих их дополнительные возможности для исследования реальных процессов [57,76,167]. Уже для конечномерного случая известно, что системы на симплексе имеют ряд важных особенностей по сравнению с системами общего вида. Математические особенности систем на стандартном конечномерном симплексе изучались в работах O.A. Кузенкова, Е.А. Рябовой [80-82,94-101]. Кроме того, O.A. Кузенковым исследована задача Коши для эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, посредством которого можно единообразно представить широкие классы сосредоточенных и распределенных систем, в том числе те, решение которых принадлежит стандартному конечномерному симплексу [77-79]. Это позволяет выявить общие закономерности поведения различных систем, обосновать разрешимость многих классов дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде.

Важный вопрос, возникающий при изучении систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, - формы представления. При исследовании общих моделей динамики численности популяции Ю.А. Пых ввел понятие функций перехода [149,150]. Впоследствии было установлено [40], что любую систему на стандартном симплексе можно представить через функции перехода, которые допускают однородное продолжение на множество точек с неотрицательными координатами в евклидовом пространстве. Каждой такой системе можно поставить во взаимооднозначное соответствие однородную систему дифференциальных уравнений, решение которой связано с решением исходной через нормирующую замену.

По сравнению с теорией динамических систем на конечномерном симплексе на данный момент теория систем на счетномерном симплексе развита существенно менее полно. Так же, как и в конечномерном случае, при исследовании счетных систем дифференциальных уравнений встают вопросы о критерии принадлежности

классу систем на стандартном счетномерном симплексе, формах представления таких систем, методиках решения задачи Коши. Но перенос результатов, полученных для конечномерного случая, на счетномерный случай нетривиален, он наталкивается на значительные трудности, поскольку, в отличии от конечномерного счетномерный симплекс не является компактным множеством, в следствии чего, например, все компоненты вектора в счетномерном симплексе поточечно могут стремиться к нулю, что в конечномерном случае невозможно [70]. В связи с этим ряд теорем, известных для исследования предельного поведения систем на конечномерном симплексе, требует переработки для систем на счетномерном симплексе.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые сложными системами с распределенными параметрами, в том числе и системами уравнений на стандартном счетномерном симплексе, как, например, в задачах оптимального управления марковскими процессами, возникающих в инженерном деле, экономике, теории управления, теории надежности (см., например, [4,35,161,172] и обзор в [116,136,152]).

В 60-е годы XX века в связи с бурным развитием космической техники сформировалась математическая теория оптимального управления, основными проблемами которой являются вопросы существования и единственности оптимального управления, его аналитическое или численное построение. В это время академиком JI.C. Понтрягиным и его коллегами В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко был получен центральный результат этой теории - принцип максимума, впоследствии названный принципом максимума Понтрягина [145]. Принцип максимума является необходимым условием оптимальности управления в оптимизационной задаче. Он несет информацию о структуре оптимального управления, позволяет строить алгоритмы приближенного решения и обосновывать их. В ряде случаев он оказывается не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Иногда использование его приводит к точному решению задачи. Однако, успешное применение принципа максимума нетривиально, требует изобретательности и глубоких знаний.

Вслед за открытием принципа максимума последовали его всевозможные обобщения. Обобщению этого метода на случай распределенных систем посвящено огромное количество работ: [13,14,16,48-50,112,115,138,144,156,157] и др., см. также обзоры работ [26,27]. В.И. Плотников создал конструктивную теорию оптимизации распределенных и сосредоточенных управляемых систем, ядром которой является общая схема получения необходимых и достаточных условий оптимальности [65,137], которая впоследствии была развита его учениками [133,144]. Рассматривая уравнение, описывающее управляемый процесс, как ограничение особого рода, выделяющее задачи оптимального управления из общего класса экстремальных задач, В.И. Плотников предложил получать необходимые условия оптимальности (принцип максимума) в таких задачах применением общих теорем отделимости в пространстве ва-

риаций остальных ограничений и функционала качества. С помощью этого метода удалось обосновать принцип максимума для широких классов оптимизационных задач [103,132].

Абстрактные теории оптимизации были предложены в работах А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина [45,46,124], Р.В. Гамкрелидзе, Г.Л. Харатишвили [32], А.И. Нейштад-та [130], Б.Н. Пшеничного, Ю.М. Данилина [147], АД. Иоффе, В.М. Тихомирова [57],

A.C. Матвеева, В.А. Якубовича [122,123] и др.

Интенсивно развивались и другие разделы теории оптимального управления. Различные задачи оптимизации в банаховом пространстве исследовались в работах Ю.В. Егорова, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, Д. Варги, A.C. Матвеева,

B.А. Якубовича и многих других [1,16,23,28,31,32,45,46,48,51,52,112,120,171,173, 177,182,185,186,191,198]. Интерес к этой тематике сохраняется и до настоящего времени [5,123,153,162,163,166]. В большинстве работ на эту тему были выведены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, справедливые при самых разнообразных предположениях относительно вида системы, управляющей функции, критерия качества и ограничений. Однако, решение задач оптимального управления для нелинейных систем является очень сложным и, невзирая на огромное количество исследований, не создано универсального метода, который мог бы дать решение для всех случаев. Современные исследования направлены на разработку методов, наиболее приспособленных для решения определенных классов задач, максимально возможно учитывающих особенности этих классов.

Большое практическое значение имеет исследование предельных возможностей управляющего воздействия, в том числе, изучение связи между ограничениями на область управления и достижением абсолютного максимума критерием качества за неограниченное время управления. Интересным для приложений представляется вопрос: можно ли по величине, характеризующей запас управляющего воздействия, определить целесообразность поиска оптимального управления, при котором интересующее нас состояние равновесия в вершине симплекса является поглощающим, или же такой поиск бессмысленен, так как любое управление приводит к выходу из этого состояния. Эти вопросы приводят к необходимости рассмотрения оптимизационных задач на неограниченных интервалах времени. Библиография работ, посвященных исследованию задач оптимального управления на неограниченных интервалах времени, весьма обширна. В различных постановках оптимизационные задачи на неограниченных интервалах времени рассматривались в [33,41,58,106,111,117, 134,135,174,175,179,189,190,192] и др.

Эффективным в задачах оптимального управления является использование управления с обратной связью [7,9,44,111,151]. Этот тип управления более помехоза-щищен по сравнению с программируемым управлением. Практическая целесообразность приводит в этом случае к естественному изменению ограничения на ресурс

управления: ограничивается не абсолютная величина мощности воздействия, а коэффициент обратной связи.

Проблема отыскания наилучшего управления системами на стандартном счетно-мерном симплексе приводит к оптимизационной задаче относительно дифференциального уравнения, заданного в банаховом пространстве 11 абсолютно суммируемых

оо

последовательностей, с фазовыми ограничениями типа равенства ^ ^ = 1 и нера-

_ ¿=1

венства ^ ^ 0, г = 1,оо. Задачи с фазовыми ограничениями являются наиболее

сложным классом задач оптимального управления даже для конечномерного случая евклидова пространства, в частности из-за того, что при этом принцип максимума формулируется через функцию Гамильтона, содержащую неопределенные меры. Но при всем разнообразии видов фазовых ограничений, на практике наиболее часто встречаются линейные или квадратичные и их комбинации. Такими являются, например, требования сохранения неотрицательности фазовых координат, сохранения постоянной суммы фазовых координат, суммы их квадратов или модулей. Геометрически в фазовом пространстве они задаются с помощью плоскостей, сфер, эллипсоидов и т.п. При их учете можно существенно использовать их простую конкретную форму, что облегчает решение по сравнению с общим случаем. Обобщением этих требований в случае эволюционных уравнений для распределенных систем являются требования сохранения интеграла решения по пространственной координате, интеграла квадрата решения и т.д. При определенных условиях их можно интерпретировать как сохранение постоянной нормы решения в каждый момент времени.

Если поставить общую задачу оптимального управления для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с условием сохранения постоянной нормы решения, то она будет чрезвычайно сложной. Представляется перспективным решение задачи оптимального управления, опирающегося на специфические особенности системы на счетномерном симплексе, позволяющие в той или иной степени обойти указанные затруднения. С одной стороны, как уже отмечалось выше, с помощью динамических систем на стандартном счетномерном симплксе может быть описано значительное число процессов физики, химии, биологии, теории массового обслуживания, что обеспечивает общность получаемых математических результатов, с другой стороны системы на стандартном счетномерном симплексе обладают важной спецификой по сравнению с общим случаем банахова пространства, что дает возможность получить простое и удобное решение поставленной задачи.

Задачи оптимального управления счетной системой дифференциальных уравнений часто возникают при оптимизации процессов теплопроводности, играющих важную роль в многочисленных технологических процессах: в металлургии и энергетике, при сушке влажных материалов, термической обработке в томильных и индукционных печах, в ядерных реакторах. Эти производства являются весьма дорогостоящими, и экономическая целесообразность диктует поиск наиболее эффективного

режима их эксплуатации. Как правило, системы, возникающие в этих задачах, не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления возможно лишь в простых случаях, которые далеки от запросов современной практики). Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе. Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами параболического типа посвящено большое число работ. Исследования этих вопросов для систем проводились в работах [20,47,54,59,63,64,67,104,107, ИЗ, 114,196] и др. Обзор работ, посвященных основам общей теории, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области, представлен в том числе в работах Ф.П. Васильева [18], А.З. Ишмухаметова [60,61].

Среди всех методов можно выделить класс методов, общность которых состоит в том, что исходная задача оптимального управления, связанная с системой уравнений с частными производными аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения в ряд Фурье [14,19, 48, 62, 63,104,141,155]. К этому классу относятся, например, метод моментов [14,19], финитного управления и др. Отличаются они друг от друга способом решения получаемых аппроксимирующих задач. В.И. Плотниковым для этой цели был использован принцип максимума Понтрягина (необходимые условия оптимальности) при определении наискорейшего режима нагрева твердого тела до заданной температуры [143]. Как было показано А.И. Егоровым [48], этот метод обладает некоторыми преимуществами по сравнению с широко известным методом моментов, в частности, большей устойчивостью относительно погрешностей в промежуточных вычислениях.

Часто приходится рассматривать задачи оптимального управления нагревом тела с фазовыми ограничениями [3,14,38,39,125-128,132,164] и др. Эти задачи сводятся к счетной системе дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями. Применение общих методов к решению таких задач вызывает значительные трудности. Перспективным является учет фазового ограничения в задачах оптимального управления, опираясь на особенности счетномерного симплекса [83,105].

Приведенный выше обзор позволяет сделать вывод об актуальности проблемы изучения систем на стандартном счетномерном симплексе и исследования вопросов оптимального управления для таких систем на ограниченных и неограниченных интервалах времени.

Цель работы состоит в установлении формы систем на стандартном счетномерном симплексе; получении необходимых условий оптимальности операторного управления в форме принципа максимума для квазилинейной системы на стандартном

счетномерном симплексе; в решении конкретных задач оптимального управления процессами коагуляции, случайным процессом и оптимального управления нагревом тела с обратной связью при наличии фазового ограничения; а также в обосновании необходимых условий достижения абсолютного максимума критерием качества на оптимальном управлении с обратной связью в задаче нагрева тела до заданного состояния с фазовыми ограничениями.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, а также теории оптимального управления.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

- доказан критерий принадлежности счетной системы дифференциальных уравнений классу систем на стандартном счетномерном симплексе; установлены формы представления таких систем (в том числе управляемых); доказаны условия, при которых счетную систему дифференциальных уравнений можно свести к системе на стандартном счетномерном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы;

- обоснована связь между решением задачи Коши для системы на стандартном счетномерном симплексе и решением вспомогательной однородной системы;

- доказаны необходимые и достаточные условия выполнения в рассматриваемых системах предельного свойства, заключающегося в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса;

- выведены необходимые условия оптимальности операторного управления в оптимизационной задаче для квазилинейной системы на счетномерном симплексе;

- решены конкретные задачи оптимального управления процессами коагуляции и оптимального управления случайными процессами;

- решена задача оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения с помощью обратной связи;

- для задачи оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения найдены ограничения на область управления, при которых критерий качества, характеризующий степень отклонения температурного распределения от к-ой собственной функции, достигает своего абсолютного максимума на неограниченных интервалах времени.

Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы и сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, отдельные результаты могут быть использованы в прикладных исследованиях.

Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выде-

лении системы на симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем. Изучение предельного поведения решения задачи Коши для систем на счетномерном симплексе, а именно, доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершины симплекса. Эти исследования служат основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интервалах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества на неограниченных интервалах времени. Полученные необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума являются теоретической базой для аналитического или численного решения задач оптимального управления указанными системами, что продемонстрировано в диссертации на ряде конкретных примеров. Разработанная методика учета фазовых ограничений имеет значение для решения реальных задач оптимального нагрева тела при сохранении постоянной внутренней энергии тепла, играющих важную роль в многочисленных технологических процессах. Эта методика позволяет особым образом учесть возникающие фазовые ограничения до применения принципа максимума, тем самым позволяя обойти математические трудности, связанные с возникновением неопределенных мер Лебега-Стильтьеса в сопряженных уравнениях и функции Гамильтона.

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс в рамках специального курса «Теория меры» и вошли составной частью в учебное пособие (Ку-зенков O.A., Новоженин A.B. Уравнение динамики меры: Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010), предназначенного для студентов вузов, обучающихся по специальностям 010501 «Прикладная математика и информатика» и 010400 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Итоговая научная конференция учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижний Новгород, 2007); II Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008); III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008); Всероссийская конференция молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» (Нижний Новгород, 2010); XI Международная конференция

«Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, 2010); XV International Conference «Dynamical System modeling and stability investigation» (Kyiv, 2011), кроме этого, результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре кафедры численного и функционального анализа 26.04.2011.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано в научных журналах и сборниках - 6 статей, в материалах конференций и семинарах - 4 работы, 1 учебное пособие. Из них в изданиях, рекомендованных ВАК, опубликовано 3 работы. В работах, выполненных совместно с научным руководителем О.А. Кузенковым, формулировки утверждений и их доказательства даны диссертантом. О.А. Кузенкову принадлежит постановка задач исследования и общее руководство. В совместном с О.А. Кузенковым учебном пособии А.В. Новоженину принадлежат разделы 1.1, 1.3, 3.7.

1. [84] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Необходимые условия оптимальности для линейных управляемых систем в банаховом пространстве // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства». Нижний Новгород, - 2007. - С. 230 - 232.

2. [85] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении суммы фазовых координат // Сборник статей второй международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, - 2008. - С. 20 - 23.

3. [86] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Принцип минимума для задачи оптимального выделения заданной гармоники // Сборник статей третьей международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, - 2008. - С. 56 - 58.

4. [87] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2009. - № 3. - С. 145 - 151.

5. [88] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Принцип минимума для класса квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве / / Материалы всероссийской конференции молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования». Нижний Новгород, - 2010. - С. 235 - 236.

6. [89] Кузенков О.А., Новоженин А.В. Оптимальное управление для квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве / / Тезисы докладов XI

международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, - 2010. - С. 226 - 227.

7. [90] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Уравнение динамики меры: Учебное пособие. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010.

8. [91] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Принцип минимума для оптимального операторного управления // XV International Conference «Dynamical System modeling and stability investigation», Abstracts of conference reports, Kyiv, Ukraine,

- 2011. - P. 374.

9. [92] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Системы отбора на счетномерном симплексе // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского.

- 2011. - № 3. - С. 92 - 98.

10. [131] Новоженин A.B. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем в банаховом пространстве // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2011. - № 4. - С. 173 - 178.

11. [93] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Оптимальное операторное управление в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, X» 1.

- С. 132 - 142.

Краткий обзор содержания диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению свойств счетных систем дифференциальных уравнений, решение которых принадлежит стандартному счетномерному симплексу:

00

S = {Оь ..., zn,...) : Zi > 0, г = 1,оо, YlZi =

¿=1

В пп. 1.1-1.2 доказываются необходимые и достаточные условия принадлежности систем к данному классу.

В п. 1.3 обосновываются условия, при которых счетную систему дифференциальных уравнений можно свести к системе на стандартном счетномерном симплексе, либо выделить в ней систему на симплексе в качестве подсистемы. Метод приведения к системе на стандартном счетномерном симплексе продемонстрирован на примерах.

В п. 1.4 обоснованы формы представления систем на стандартном счетномерном симплексе.

В п. 1.5 устанавливается зависимость между решением задачи Коши для системы на стандартном счетномерном симплексе и решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям. Полученные результаты применяются к решению конкретных задач исследуемого типа.

В п. 1.6 доказываются необходимые и достаточные условия, при которых системы на стандартном счетномерном симплексе обладают предельным свойством А, заключающемся в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса вдоль фазовых траекторий.

Вторая глава диссертации посвящена выводу необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе.

В п. 2.1 рассматривается управляемая система на стандартном счетномерном симплексе

оо оо оо / оо 00 \

= ^ + Щз(1)хз - X] ПС а'к:>Х:> + X икз^)Х3 I > г = 1, 00

3=1 3 =1 к=1 \з=1 з=1 /

с начальным условием ж(0) = хо на ограниченном промежутке времени. Предполагается, что матрица 11{1) = {иг1 (/,)), г,;} = 1,оо, в каждый момент времени задает линейный ограниченный оператор и, принадлежащий некоторому множеству У С [1х] (здесь через [1Х] обозначается множество линейных ограниченных операторов, действующих из 1х в 1х); функция II(¿) кусочно-непрерывная; матрица А = (<%), г,3 = 1, оо задает линейный ограниченный оператор Ь. Вводятся в рассмотрение функционалы вида:

т

о

где : х И1 ^ Н1, /й([/,*) : [Ц хйЧ Я1, : 11 Н1, г = М -

непрерывные функционалы по совокупности своих переменных, д/ц/дг, дфг/дг -их производные по Гато, непрерывные по совокупности своих переменных, удовлетворяющие условию Липшица по переменной г, к - некоторая константа. Для рассматриваемой системы ставится задача оптимального управления: требуется найти функцию кусочно-непрерывную, принимающую значения из множества У, для которой выполняются условия

«/¿[С] < 0, г = 1 ,к, </о —» тш.

В пп. 2.2-2.5 на основании доказанной в п. 1.5 теоремы о зависимости между решением задачи Коши для системы на стандартном счетномерном симплексе и решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям, осуществляется переход к вспомогательной оптимизационной задаче для линейной системы. Основываясь на методике В.И Плотникова, производится вывод необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для вспомогательной оптимизационной задачи.

В п. 2.6 с помощью необходимых условия оптимальности для вспомогательной оптимизационной задачи производится вывод необходимых условий оптимальности для поставленной в п. 2.1 задачи.

В п. 2.7 выводятся необходимые условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления системой на стандартном счетномерном симплексе с линейным неограниченным замкнутым оператором Ь, Ь : 11 11, резольвента Я(Х,Ь) которого удовлетворяет условию ||[Д(Л, Л)]п|| ^ ^ М\~п, Л > 0, п = 1,2,..., где М - некоторая константа, значения Л принадлежат резольвентному множеству оператора.

В третьей главе диссертации рассматривается задача оптимального выделения заданной гармоники при сохранении постоянной суммы фазовых координат.

В п. 3.1 решается задача оптимального управления процессом распространения тепла в твердом неоднородном теле при отсутствии потоков тепла через границу. Управляющие функции входят в правую часть системы и принадлежат классу кусочно-непрерывных функций с конечным числом точек разрыва. В ходе решения определяется структура оптимального управления. Осложнений, связанных с фазовыми ограничениями, удается избежать, используя специальную форму управления с обратной связью. Данная форма управления позволяет свести исходную систему к системе на стандартном счетномерном симплексе и эффективно учесть фазовые ограничения без привлечения неопределенных мер Лебега - Стильтеса в формулировке принципа максимума.

П. 3.2-3.3 посвящены построению приближенного решения поставленной оптимизационной задачи с помощью численного метода. Здесь используется методика решения, предложенная В.И. Плотниковым. Сущность этого подхода состоит в том, что аппроксимирующая система, полученная с помощью метода Фурье, решается на основе принципа максимума Понтрягина. В п. 3.3 обосновывается сходимость конечных приближений.

В п. 3.4 приводятся численные эксперименты, иллюстрирующие эффективность построенных методов приближенного решения оптимизационной задачи.

В п. 3.5 исследована оптимизационная задача на неограниченном интервале времени, получены необходимые условия на ограничивающие константы для управляющего воздействия при котором критерий качества терминального типа достигает своего максимума на неограниченном времени. При этом конструктивно строится оптимальное управление.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам исследований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Новоженин, Алексей Владимирович

Заключение

Данная работа является комплексным исследованием. Ее результаты имеют теоретическую и практическую ценность. Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выделении системы на симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем. Изучение предельного поведения решения задачи Коши для систем на счетномерном симплексе, а именно, доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершины симплекса. Эти исследования служат основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интервалах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества на неограниченных интервалах времени. Полученные необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума являются теоретической базой для аналитического или численного решения задач оптимального управления указанными системами, что продемонстрировано в диссертации на ряде конкретных примеров. Разработанная методика учета фазовых ограничений имеет значение для решения реальных задач оптимального нагрева тела при сохранении постоянной внутренней энергии тепла, играющих важную роль в многочисленных технологических процессах. Эта методика позволяет особым образом учесть возникающие фазовые ограничения до применения принципа максимума, тем самым позволяя обойти математические трудности, связанные с возникновением неопределенных мер Лебега-Стильтьеса в сопряженных уравнениях и функции Гамильтона.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Новоженин, Алексей Владимирович, 2012 год

Литература

[lj Аваков Е.Р. Необходимые условия минимума для нерегулярных задач в банаховых пространствах. Принцип максимума для анормальных задач оптимального управления // Труды Математического института АН СССР. - 1988.

- Т. 185. - С. 3 - 29.

[2] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление.

- М.: Наука, 1979.

[3] Андреев Ю.Н., Федоренко Р.П., Черняховский Е.З Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструктивных разработках. // Автоматика и телемеханика. - 1980. - № 8.

- С. 16 - 26.

[4] Аоки М. Оптимизация стохастических систем. - М.: Наука, 1971.

[5] Арутюнов A.B., Досаточные условия оптимальности для бесконечномерных экстремальных задач // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология». - 2008. - С. 315 - 317.

[6] Ахмеров P.P. Очерки по теории дифференциальных уравнений // Электронные учебники Института вычислительных технологий СО РАН. URL: http : //old.ict.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode// unicode / index .html (дата обращения: 17.12.11).

[7] Баландин Д.В., Коган M.M. Стабилизация линейной обратной связью при фазовых ограничениях // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 11.

- С. 1443 - 1449.

[8] Баруча-Рид А.Г. Элементы теории марковских процессов и их приложения.

- М.: Наука, 1969.

[9] Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления.

- М.: Мир, 1972.

Буробин A.B. О существовании и единственности решения задачи Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения. - 1969. - Т. 19, № 9. - С. 1568 - 1579.

Буробин A.B. О задаче Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции при учете диффузии // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21, № 10. - С. 1806 - 1808.

Буробин A.B., Галкин В.А. О решениях уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17, № 4. - С. 669 - 677.

Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975.

Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1968.

Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. - 1979. - № 11. - С. 16 - 65.

Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Наука, 1977.

Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука. 1978.

Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс. 2002.

Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. - М.: Изд-во Московского университета, 1968.

Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М., Солодкая М.С. Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической системой // Методы и алгоритмы в численном анализе. - М.: Изд-во МГУ. 1984.

Венцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высш. шк., 1999.

Венцель Е.С., Овчаров J1.A. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. - М.: Наука, 1991.

Волин Ю.М., Островский Г.М. О принципе максимума в банаховом пространстве // Кибернетика. - 1969. - № 5. - С. 132 - 135.

Волощук В.М., Кинетическая теория коагуляции. - JL: Гидрометеоиздат, 1984.

[25] Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах.

- Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

[26] Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Соврем, проблемы математики. - 1975. - Т. 6. - С. 131 - 259.

[27] Габасов Р., Кириллова Ф.М. Математическая теория оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. мат. анал. - 1979. - Т. 16. - С. 55 - 97.

[28] Гавриков А.И., Слугин С.Н. Метод двусторонних приближений для поиска оптимума при ограничениях типа равенства // Ивз. вузов. Матем. - 1976. - N2 8.

- С. 100 - 103.

[29] Галкин В. А. О существовании и единственности решений уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения - 1977. - Т. 13, № 8. - С. 1460 - 1470.

[30] Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц // X Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Саров - 2008. - С. 52 - 54.

[31] Гамкрелидзе Р.В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач // Труды Мат. института им. В.А. Стеклова АН СССР

- 1971. - Т. 112. - С. 152 - 180.

[32] Гамкрелидзе Р.В. Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1969. - Т. 33, № 4. - С. 781 - 839.

[33] Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями.

- М.: Наука. 1991.

[34] Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.

- М.: Наука, 1977.

[35] Гихман И.И., Скороход A.B. Управляемые случайные процессы.

- Киев.: Наукова Думка, 1977.

[36] Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.

- М.: Наука, 1987.

[37] Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию массового обслуживания. - М.: Наука, 1964.

[38] Голичев И.И., Дульцев A.B., Морозкин Н.Д. Об одном итерационном методе решения задачи оптимального нелинейного нагрева с фазовыми ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2000. - Т. 40, № 11. - С. 1615 - 1632.

[39] Голубь H.H. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика. - 1967.

- Т. 28, № 4. - С. 38 - 57.

[40] Горбань А.Н. Обход равновесия (уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ). - Новосибирск: Наука, 1984.

[41] Гусев Д.Е., Якубович В.А. Теорема о магистрали в задаче непрерывной оптимизации // Вестн. ЛГУ. Мат., мех., астр. - 1983. - № 2. - С. 20 - 27.

[42] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.

[43] Далецкий Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечно-мерных пространствах. - М.: Наука, 1983.

[44] Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

[45] Дубовицкий А.Я., Милютин А.А Задачи на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 149, № 4. - С. 759 - 762.

[46] Дубовицкий А.Я., Милютин А.А Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычислит, математики и мат. физики. - 1965. - Т. 5, № 3.

- С. 395 - 453.

[47] Евсеенко Т.П. Приближенное решение задачи оптимального управления процессом теплопроводности // Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. - Фрунзе. Изд-во Илим. 1975.

[48] Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. - М.: Наука, 1979.

[49] Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // Прикл. математика и механика - 1963. - № 4. - С. 688 - 696.

[50] Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем.

- 1965. - Т. 29, № 6. - С. 1205-1260.

[51] Егоров Ю.В. Об оптимальном управлении в банаховом пространстве // УМН.

- 1963. - T. XVIII, вып. 4. - С. 211 - 213.

[52] Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности управления в банаховых пространствах // Матем. сб. - 1964. - Т. 64 (106), № 1. - С. 79 - 101.

[53] Заславский Б.Г., Полуэктов P.A. Управление экологическими системами.

- М.: Наука, 1990.

[54] Иванович Л.Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн.

- 1982. - № 3. - С. 10 - 15.

[55] Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. - М.: Высш. шк., 1982.

[56] Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.

[57] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974.

[58] Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. Достаточные условия оптимальности рекуррентных по Биркгофу движений дифференциального включения // Вестн. Удм. ун-та. Ижевск. - 2005. - № 1. - С. 59 - 75.

[59] Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 8. - С. 1324 - 1334.

[60] Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. - М.: Изд-во ВЦ РАН. 2000.

[61] Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Изд-во ВЦ РАН. 2001.

[62] Ишмухаметов А.З. Обобщенный метод моментов в задаче с управлением, зависящим только от пространственных переменных // Стандартные программы и численное решение задач волновой физики. М. - 1986. - С. 43 - 51.

[63] Ишмухаметов А.З., Першеев Д.В., Потапов М.М. Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального управления // Числ. мет. решения краевых и начальных задач для дифференц. уравн. МГУ. - 1986. -С. 117-122.

[64] Ишмухаметов А.З., Юлина A.B. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой // Вестн. МЭИ. - 1998. - № 6.

- С. 73 - 84.

[65] Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР, сер. матем.

- 1985. - Т. 45, № 1. - С. 141 - 159.

[66] Кельберт M.Jl., Сухов Ю-M. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Том II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения - М.: МИНМО, 2009.

[67] Керимов А.К. Об аппроксимации по Галеркину задач оптимального управления для систем с распределенными параметрами параболического типа // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1979. - Т. 19, № 4. - С. 851 - 865.

[68] Клейнкрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979.

[69] Колмогоров А.Н. О проблеме ожидания. // Математический сборник. - 1932.

- Т. 38. - С. 101 - 106.

[70] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989.

[71] Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1966.

[72] Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.

- М.: Физматгиз, 1962.

[73] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975.

[74] Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

[75] Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантный конус в пространстве Банаха // Успехи матем. наук. - 1948. - Т. 3, Вып. 1 (23).

- С. 4 - 97.

[76] Крейн С.Г. (ред.) Функциональный анализ. - М.: Наука, 1972.

[77] Кузенков O.A. Задача Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве //Дифференц. уравнения. - 2004.

- Т. 40, № 1. - С. 24 - 32.

[78] Кузенков O.A. Задача Коши для эволюционного уравнения с неограниченным оператором в семействе вероятностных мер Радона // Дифференц. уравнения.

- 1999. - Т.35, № И. - С. 1535 - 1542.

[79] Кузенков O.A. Исследование динамической системы вероятностных мер Радона // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, № 4. - С. 591 - 596.

[80] Кузенков O.A. Исследование квазитермодинамического поведения систем на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1997. - С. 67 - 75.

[81] Кузенков O.A. Математическое моделирование процессов отбора // Математическое моделирование и оптимальное управление: Сб. науч. тр. Под ред. Р.Г. Стронгина. Н. Новгород - 1994. - С. 120 - 131.

[82] Кузенков O.A. Некоторые свойства динамических систем на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1998. - Вып. 2(19). - С. 56 - 62.

[83] Кузенков O.A. Оптимальное выделение заданной гармоники с помощью обратной связи при наличии фазовых ограничений // Сборник научных трудов «Алгоритмы управления и идентификации». - М.: Диалог-МГУ. - 1997.

- С. 77 - 84.

[84] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Необходимые условия оптимальности для линейных управляемых систем в банаховом пространстве // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства». Нижний Новгород, - 2007. - С. 230 - 232.

[85] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении суммы фазовых координат // Сборник статей второй международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, - 2008. - С. 20 - 23.

[86] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Принцип минимума для задачи оптимального выделения заданной гармоники // Сборник статей третьей международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза, - 2008.

- С. 56 - 58.

[87] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2009. - № 3. - С. 145 - 151.

[88] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Принцип минимума для класса квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве // Материалы всероссийской конференции молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования». Нижний Новгород, - 2010. - С. 235 - 236.

[89] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Оптимальное управление для квазилинейных управляемых систем в банаховом пространстве / / Тезисы докладов XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, - 2010. - С. 226 - 227.

[90] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Уравнение динамики меры: Учебное пособие.

- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010.

[91] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Принцип минимума для оптимального операторного управления // XV International Conference «Dynamical System modeling and stability investigation», Abstracts of conference reports, Kyiv, Ukraine, - 2011.

- P. 374.

[92] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Системы отбора на счетномерном симплексе // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2011.

- № 3. - С. 92 - 98.

[93] Кузенков O.A., Новоженин A.B. Оптимальное операторное управление в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 1.

- С. 132 - 142.

[94] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Математическое моделирование процессов отбора.

- Н.Новгород.: изд-во ННГУ, 2007.

[95] Кузенков O.A., Рябова Е.А. О решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на конечномерном симплексе // International Conference «Dynamical systems modeling and stability investigation». Kyiv. - 1999. - P. 29.

[96] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Проблема отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Тезисы докладов. Н.Новгород. - 1999. - С. 130 - 131.

[97] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1999. - Вып. 2(21). - С. 138 - 144.

[98] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Необходимые и достаточные условия отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Воронежская математическая школа «Современный анализ и его приложения». Тезисы докладов. Воронеж. - 2000. - С. 103 - 104.

[99] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование управляемости гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: 8 Международный семинар. Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. - 2004. - С. 102 - 103.

[100] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической системой на симплексе // Изв. АН. Теория и системы управления. - 2003. - № 2.

- С. 69 - 75.

[101] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 8. - С. 1142.

[102] Кузенков O.A., Плотников В.И. Об одном свойстве системы собственных функций на границе области и его приложениях // Украинский математический журнал - 1989. - Т. 41, № 1. - С. 1566 - 1568.

[103] Кузенков O.A., Плотников В.И. Существование и единственность обобщенного решения линейного векторного уравнения параболического типа в третьей задаче // Математическое моделирование и методы оптимизации. - Горький: изд-во ГГУ. - 1989 - С. 132 - 143.

[104] Кузенков O.A., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального управления сильно параболической системой // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. Сб. трудов, М.: Изд-во МГУ. - 1989. - С. 1 - 18.

[105] Кузенков O.A., Шашков В.М. Оптимальное управление линейными распределенными системами: уравнения теплопроводности. - Н.Новгород.: изд-во ННГУ, 1996.

[106] Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами.

- Н.Новгород.: изд-во ННГУ, 2008.

[107] Лабузов С.Г., Потапов М.М. Оценка скорости сходимости метода прямых в задаче об оптимальном нагреве // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. - 1985. - № 3. - С. 35 - 42.

[108] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973.

[109] Лейфман Л.Я. Предельный переход под знаком интеграла с общей точки зрения теории интеграла Колмогорова // Изв. вузов Матем. - 1960. - № 1.

- С. 139-153.

[110] Лешаков О.Э., Логинов В.М. Коагуляция частиц в стохастической среде // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2000. - Т. 3, Xs 2(6).

- С. 159-171.

[111] Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. - М.: Наука, 1972.

[112] Лионе Ж.-Л. Оптимальное упрвление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. - М.: Мир, 1972.

[113] Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений // Тез. докл. Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск.

- 1994. - С. 79.

[114] Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах // Доклады РАН. - 1996. - Т. 349, № 5. - С. 598 - 602.

[115] Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.

- М.: Наука, 1975.

[116] Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. - М.: Физматгиз, 1977.

[117] Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.

[118] Марков A.A. Исследование замечательного случая зависимых испытаний // Известия Императорской Академии наук. Сер. VI. - 1907. - Т. 1, 3.

[119] Марков A.A. Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь // Зап. АН. - 1910. - Т. XXV, № 3.

[120] Матвеев A.C. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1988. - Т. 52, № 6. - С. 1200 - 1229.

[121] Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии: физика атмосферы.

- Л.:Гидрометеоиздат, 1976.

[122] Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления.

- СПб.: Изд-во СП6ГУД994.

[123] Матвеев A.C., Якубович В.А. Невыпуклые задачи глобальной оптимизации // Алгебра и анализ. - 1991. - Т. 3, № 5. - С. 229 - 253.

[124] Милютин A.A. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления // УМН. - 1970. - Т. 25, Вып. 5(155).

- С. 110 - 116.

[125] Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Матем. моделирование. - 1995. - Т. 7, № 5.

- С. 86.

[126] Морозкин Н.Д. Оптимальное управление одномерным нагревом с учетом фазовых ограничений // Матем. моделирование. - 1996. - Т. 8, № 3.

- С. 91 - 110.

[127] Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. - Уфа: БфшГУ, 1997.

[128] Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений // Ж. вычисл матем. и матем. физ. - 1996. - Т. 36, № 10. - С. 12 - 22.

[129] Мэйсон Б.Дж. Физика облаков. - Л.:Гидрометеоиздат, 1961.

[130] Нейштадт Л. Абстрактная вариационная теория с приложениями к широкому классу задач оптимизации // Кибернетика. - 1967. - J^ 1. - С. 77 - 91.

[131] Новоженин A.B. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем в банаховом пространстве // «Вестник» Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2011. - № 4. - С. 173 - 178.

[132] Новоженов М.М., Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18, № 4. - С. 584 - 692.

[133] Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И Методы оптимального управления системами математической физики: Учебное пособие. - Горький: Горьковский государственный университет, 1986.

[134] Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. - Минск: Изд-во Белорусского ун-та, 1977.

[135] Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. - Минск: Наука и техника, 1986.

[136] Пиуновский А.Б. Управляемые случайные последовательности: методы выпуклого анализа и задачи с функциональными ограничениями // Успехи мат. наук.

- 1998. - Т. 53, Вып 6(324). - С. 5 - 192.

[137] Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1972. - Т. 36, № 3. - С. 652 - 679.

[138] Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида // ДАН СССР. - 1971. - Т. 109, № 2. - С. 275 - 278.

[139] Плотников В.И. Об одной задаче оптимального управления стационарными системами с распределенными параметрами // ДАН СССР. - 1966. - Т. 170, № 2.

- С. 290 - 293.

[140] Плотников В.И. Об оптимальном управлении распределнными системами // ДАН СССР. - 1967. - Т. 175, № 6. - С. 1238 - 1241.

[141] Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного твердого тела произвольной формы) // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 8, № 1. - С. 136 - 157.

[142] Плотников В.И. Теоремы существования оптимизирующих функций для оптимальных систем с распределенными параметрами // Изв. АН СССР, сер матем.

- 1970. - Т.34, № 3. - С.689-711.

[143] Плотников В.И., Старобинец И.М. Фазовые включения в задачах оптимального управления // Дифференциальные уравнения. - 1986. - Т. 22, № 2.

- С. 236 - 247.

[144] Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. матем. журн. - 1981. - Т. 22, № 6. - С. 142 - 161.

[145] Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983.

[146] Потренко Н.И., Скороход A.B., Шуренков В.М. Марковские процессы // Итоги науки и техники. Соврем, пробл. матем. - 1989. - Т. 46, вып. 2. - С. 2 - 248.

[147] Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах

- М.: Наука, 1996.

[148] Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. - М.: МАИ, 1996.

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160 161 162

Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики.

- М.: Наука, 1983.

Пых Ю.А. Уравнения эволюции структуры и плотности синхронных относительно стационарных биологических сообществ // Журн. общ.биол. - 1975.

- Т. 36, № 5. - С. 699 - 708.

Ришел Р., Флеминг У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. - М.: Мир, 1978.

Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика т. 12 ВИНИТИ. - 1975.

Рязанцева И. П. Непрерывные и итеративные методы первого порядка с обобщенным оператором проектирования для монотонных вариационыых неравенств в банаховом пространстве // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.

- 2005. - Т. 45, № 3. - С. 400 - 410.

Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. - М.: Атомиздат, 1980.

Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука. 1989.

Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.

- М.: Наука, 1977.

Сиразетдинов Т. К. К теории оптимальных процессов с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 1964. - Т. 25, № 4.

- С. 463 - 472

Степанов A.C. Вывод уравнений коагуляции для броуновски движущихся частиц // Труды ИЭМ - 1974. - Вып. 23. - С. 42 - 64.

Степанов A.C. К выводу уравнений коагуляции // Труды ИЭМ - 1971.

- Вып. 23. - С. 3 - 16.

Степанов A.C. Об использовании кинетических уравнений для описания облачных сред // Труды ИЭМ - 1974. - Вып. 8 (46). - С. 124 - 139.

Стратонович Р. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. - М.: Изд-во МГУ, 1965.

Сугак Д.В. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления системой эллиптического типа высокого порядка с фазовыми ограничениями // Вестник молодых ученых - 2000. - N8 3. - С. 57 - 69.

163] Тихомиров В.М. Гладко-аппроксимативно-выпуклый принцип и его прложения // Владикавказкий мат. журн. - 2005. - Т. 7, № 4. - С. 52 - 60.

164] Усов П.Т., Якимов А.В. Теплофизика механической обработки. - Одесса: Лы-бидь. - 1991.

165] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения Т. 1. - М.: Мир, 1967.

166] Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. - Новосибирск.: Научная книга, 1999.

167] Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

1681 Хинчин А.Я. Математическая теория стационарной очереди // Математический сборник. - 1932. - Т. 39. - С. 73 - 84.

169] Хинчин А.Я. О среднем времени простоя станков // Математический сборник..

- 1933. - Т. 42. - С. 119.

1701 Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск: Наука. - 1983.

171] Avgerinos Е.Р., Papageorgiou N.S. An exixtence theorem for an optimal control problem in Banach spaces // Bull. Austral. Math. Soc. - 1989. - V. 39, Issue 2.

- P. 239 - 247.

172] Astom K. J., Optimal control of Markov processes with in complete state information // J. Math. Anal. Appl. - 1965. - V. 10, - P. 174 - 205.

1731 Balakrishnan A.V Optimal control of linear distributed parameter systems // Acad. Press. -1969. - V. 7. - P. 114 - 125.

1741 Baum R.F. Existence theorems for Lagrange control problems with unbounded time domain // JOTA. - 1976. - V. 19, № 1. - P. 89 - 116.

175] Benchohra M., Ntouyas S.K. Controllability on infinite time horizon of nonlinear differential equations in Banach spaces with nonlocal conditions // An. Sti. Univ. Iasi. Mat. - 2001. - V. 47, № 2. - P. 277 - 286.

176] Brockmeyer E., Halstrom H.L., Arne Jensen. The Life and Works of A.K.Erlang // Transactions of the Danish Academy Technical Sciences. -1948. - 2.

177] Conti R. The optimal solution of linear evolution equation in Banach spaces // J. Optim. Theory Appl. -1968. - V. 2, № 5. - P. 277 - 284.

179

180

181 182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

Diekmann O., Gyllenberg M., Metz A.J. Steady state analysis of structured population models // J. Math. Biology. -2003. - V. 63. - P. 309 - 338.

Effati S., Kamyad A.V., Kamyabi-Gol R.A. On infinite-horizon optimal control problems // Z. Anal, und Anwend. - 2000. - V. 19, № 1. - P. 269 - 278.

Eshel I., Sansone E. Evolutionary and dynamic stability in continuous population games //J. Math. Biology. -2003. - V. 46. - P. 445 - 459. - 284.

Ewens W.J. Mathematical Population Genetics. - Berlin: Springer. 1979

Fattorini H.O Control in finite time of differential equation in Banach space // Conn. Pure. Appl. Math. -1966. - V. 19, № 1. - P. 17 - 34.

Feller W. On boundary conditions for the Kolmogorov differential equations // Annals of Mathematics. - 1957. - V. 65. - P. 527 - 570.

Feller W. The integrodifferential equations of completely descontinuous Markov processes // Transactions American Mathematical Society. - 1940. - V. 48.

- P. 488 - 515.

Friedman A. Optimal control in Banach spaces // Math. Anal. Appl. - 1967.

- V. 19, № 1. - P. 35 - 55.

Friedman A. Optimal control in Banach spaces with fixed end points // Math. Anal. Appl. - 1968. - V. 24, № 1. - P. 161 - 181.

Fry T.C. Probability and its engineering uses. - N.-Y. 1928

Gorban A. Selection Theorem for Systems with Inheritance // Math. Model. Nat. Phenom. - 2007. - V. 2, № 4. - p. 1 - 45.

Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horison // Econometrica. - 1974. - V. 42. - P. 267 - 273.

Haurie A. Existence and global asymptotic stability of optimal trajectories for a class of infinite horison, nonconvex systems // JOTA. - 1980. - V. 31, № 4.

- P. 515 - 533.

Joshi M. On the existence of optimal control in Banach spaces // Bull. Austral. Math. Soc. - 1983. - V. 27. - P. 395 - 401.

Kalman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bui. Soc. Mat. Mexicana. - 1960. - V. 5. - P. 102 - 119.

1931 Karlin S., Mc-Gregor J. Representation of a class of stochastic processes // Proceedings National Academy Sciences, USA. - 1955. - V. 4(6). - P. 387 - 391.

1941 Kendall D.G. The generalized «Birth and Death» process // Annals of Mathematical Statistics. - 1948. - V. 19. - P. 1 - 15.

1951 Ledermann W., Reuter G.E. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes // Philosophical Transactions Royal Society, London Ser A. - 1954. - V. 246. - P. 321 - 369.

196] Lubyshev F.V. Difference approximations and regularization of problems of optimal control for parabolic equations with controls in the coefficients // Comput. Maths Math. Phys. - 1995. - V. 35, № 9. - P. 1053 - 1069.

1971 L'vov V.S. Wave turbulence under parametric excitation applications to magnets.

- Berlin, Heidelber: Springer, 1994.

198] Nhuen Byong Optimal control of a class of nonlinear equations in Banach space // Ukrainian mathematical journal. - 1990. - V. 42, № 4. - P. 539 - 541.

199] Oster G.F, Perelson A.S. Chemical Reaction Dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal.

- 1974. - V. 55, Jl* 3. - P. 230 - 274. - 541.

2001 Palm C. Intnsitatsschwankungen im Fernsprechverkehr // Ericsson Thecnics (Stockholm). - 1943. - V. 44. - P. 1 - 189.

2011 Williams D. On the construction problem for Markov chains // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebicte - 1964. - V. 3. - P. 227 - 246.

202] Yablonskii G.S., Bykov V.I., Gorban A.N., Elokhin V.I. Kinetic models of catalytic reactions. Comprehensive Chemical Kinetics V. 32. Amsterdam: Elsevier. - 1991.

2031 Zakharov V.E., L'vov V.S., Falkovich G.E. Kolmogorov spectra of turbulence. V.l. Wawe Turbulence. - Berlin: Springer, 1992.