Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рябова, Елена Александровна

• Рябова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябова, Елена Александровна

0.1 Введение.

1 Гиперболические полулинейные системы на стандартном симплексе

1.1 Системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка на стандартном симплексе; необходимые и достаточные условия принадлежности данному классу систем.

1.2 Система, записанная в инвариантах: необходимые и достаточные условия принадлежности классу систем на стандартном симплексе.

1.3 Уравнения химической кинетики: пример гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе

1.4 Формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе.

1.5 Решение задачи Коши для гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе.

1.6 Условия приведения системы дифференциальных уравнений к системе на стандартном симплексе.

1.7 Проектирование симплекса.

1.8 Решение задачи Коши в классе абсолютно непрерывных функций

2 Предельные свойства решения задачи Коши для гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе

2.1 Стремление решения к вершине симплекса: необходимые и достаточные условия выполнения.

2.2 Необходимые и достаточные условия стремления к вершине симплекса для частного случая гиперболической системы

2.3 Примеры исследования предельного поведения решения систем гиперболического типа на стандартном симплексе.

2.4 Попадание решения в окрестность вершины симплекса: достаточные условия.

3 Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе

3.1 Постановка задачи оптимального управления для системы на стандартном симплексе.

3.2 Необходимые условия оптимальности допустимого процесса в задаче на ограниченном интервале времени ф 3.3 Решение одного класса оптимизационных задач.

3.4 Теорема о постоянстве управления вдоль характеристик.

3.5 Решение оптимизационных задач на ограниченных интервалах времени

3.6 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени .10G

3.7 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае линейных функций перехода.

3.8 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае нелинейных функций перехода.

3.9 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени для частного случая гиперболической системы па ф стандартном симплексе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе»

Для математического описания многочисленных явлений и процессов различной природы используются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, в том числе системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы широко применяются в теории переноса и излучения, при моделировании процессов is ядерных реакторах, газовой динамике, при описании процессов популяциоппой генетики и химической кинетики.

Большинство реальных физических процессов описывается нелинейными уравнениями, и только существенные дополнительные предположения приводят к линейным уравнениям, которые изучены более глубоко. При всем обилии различных методов исследования и решения нелинейных уравнений эта область математики до сих пор не изучена так же полно, как теория линейных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиции решений, так что многообразие решений не является линейным. Поэтому для приложений большое значение имеет изучение отдельных классов уравнений, исследование которых существенно опирается на их специфику.

Основные вопросы, возникающие при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, связаны с проблемами существования, единственности, непрерывной зависимости от входных данных решения задачи Коши, построения алгоритмов численного и аналитического поиска этого решения, проблемой глобальной разрешимости задачи Коши.

Первые результаты по существованию и единственности решения задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных были получены методом Коши - Ковалевской в предположении аналитичности входных данных задачи Коши. Теорема Коши - Ковалевской применима для широчайших классов дифференциальных уравнений в частных производных, по ценность полученных результатов снижается достаточно обременительными для приложений требованиями на входные данные, так как задачу Коши для систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы различной природы, часто требуется рассматривать при минимальных ограничениях на входные данные.

Среди гиперболических систем нелинейных уравнений с частными производными наиболее простыми являются системы квазилинейных уравнений. Теоремы общего характера о разрешимости квазилинейных гиперболических уравнений порядка выше первого и систем квазилинейных уравнений гиперболического типа начали изучаться в начале 20 века в работах Э. Леви [235,236]. Однако затем, как отметил Курант [111] ". работа Э. Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты." Позднее, независимо от работ Э. Леви, Ю. Шаудером [255], Г. Леви [237J, К. Фридрихсом и Г. Лени |211j, Ф.И. Франкелем [182], С.А. Христиановичем |184] были установлены различные условия локальной разрешимости задачи Коши для систем нелинейных и квазилинейных уравнений гиперболического типа как с двумя, так и со многими независимыми переменными. Наиболее общие результаты в этом направлении были получены II.Г. Петровским в его классической работе [143].

Естественная степень общности построения классического решения задачи Коши для случая гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными была достигнута в работах А. Дуглиса [208], Ф. Хартмана и А. Винт-нера [220], обобщивших результаты К. Фридрихса [212], Р. Куранта и П. Лакса [204]. А. Дуглис [208] с помощью гладкой аппроксимации данных задачи и последующего предельного перехода, а Ф. Хартман и А. Винтнер [220] с помощью метода характеристик [59,61,187,258] доказали существование и единственность классического (гладкого) решения задачи Коши для квазилинейной системы при предположениях о том, что начальные условия, коэффициенты и правые части системы уравнений обладают лишь первыми непрерывными производными в соответствующих областях. Несколько иное доказательство этих результатов приведено в книге Б.Л. Рождественского и H.H. Яненко [158].

Заметим, что область существования классического решения, вообще говоря, ограничена. Это связано с возможностью пересечения характеристик одного и того же семейства и образования разрывов решения, что, как видно из работ [227,234,240], довольно обычно для квазилинейных гиперболических систем. Основные условия глобальной разрешимости в этом направлении были связаны с построением обобщенного решения, включающего и разрывный случай. Наиболее значительные результаты общего характера здесь были достигнуты Дж. Глиммом [21G] (см. также [10,241]).

Однако интерес представляют и условия, при которых такого пересечения характеристик не наступает. Так, в [157] был исследован случай, ко [да задача Коши для слабо-нелинейной системы из двух уравнений может быть разрешена в классическом смысле глобально. Условия глобального существования гладкого решения задачи Коши для однородных систем из тп уравнений были получены в работе |222]. Достаточные условия существования непрерывного обобщенного решения задачи Коши для неоднородных систем из т уравнений были получены в [133]. Несмотря на перечисленные важные результаты, проблема глобальной разрешимости задачи Коши остается актуальной до сих пор [44,45,215,223,232,249].

Наряду с системами квазилинейных уравнений [53,115,132,197,198,220,247,253] изучаются и их следствия — гиперболические системы законов сохранения [55,139, 190,191,219,225,233,256].

Систему квазилинейных уравнений, в которой коэффициенты перед частными производными не зависят от искомых функций, называют полулинейной. В случае полулинейной системы ее можно записать в инвариантах [15G|, т.е. с помощью замены переменных добиться, чтобы в каждом из уравнений дифференцировалась лишь одна функция. Для таких систем строится обобщенное решение в классе непрерывных функций [158,212]; значительно упрощается нахождение области определенности |158]; производные решения полулинейной системы остаются ограниченными в области, в которой остается ограниченным само решение. В [2G] подробно исследован класс ¿-гипорболических по Фридрихсу систем (полулинейный случай): доказаны теоремы единственности гладких решений задачи Коши и смешанной задачи в рассматриваемых областях, теоремы существования для некоторых частных случаев этих задач, получены оценки решений симметрических гиперболических систем. Полулинейные системы уравнений в частных производных гиперболического тина привлекают к себе внимание широкого круга исследователей (29,42,43,124,132,251,252].

Во многих случаях физическая постановка задачи требует, чтобы се решение принимало лишь неотрицательные значения. Так, в физических процессах положительными остаются энергии частиц, в химических - концентрации реагирующих веществ, в биологических - количества особей различных видов и т.д. Проблема положительности решения также является одним из важнейших вопросов, возникающих при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Признаки существования положительного решения дифференциальных уравнений рассматриваются, например, в работах [65-67,69,1G7|,

Большое практическое значение имеет случай, когда решение г = (zi,. ,zn) системы дифференциальных уравнений поточечно удовлетворяет условиям п

Zi > 0, г = 1, п, ^^ Zi = const, i= 1 то есть система дифференциальных уравнений задается относительно функций, областью изменения которых является конечномерный симплекс. С помощью замены неременных в такой системе можно перейти к рассмотрению задачи, решение которой принадлежит стандартному симплексу п Zi> 0, г = Т~п. (0.1.1) г=1

В дальнейшем системы, решение которых поточечно принадлежит симплексу (0.1.1), будем называть системами на стандартном симплексе.

Например, для анализа обобщенных моделей иопуляционной динамики [15,116, 147,153,168,169] вида

N = f(t,N), N(t0) = N°, (0.1.2) где N = (Ni,.,Nn) - вектор состояния системы, / - нелинейная в общем случае функция переменных iV,- и t, обеспечивающая преобразование неотрицательного вектора начальных условий № в неотрицательную полутраекторию N(t) > 0, принято переходить к новым переменным, характеризующим состояние популяции, по формулам i = Y^li. (0.1.3)

Е Ni(t) i-1

При этом областью изменения переменных Z{ является стандартный симплекс (0.1.1).

Системы уравнений химической кинетики, подчиняющейся закону действующих масс, могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе [9,27, 77]. Еще одним примером служит процесс самосборки [63,176,177], модель которого первоначально была предложена в связи с анализом обнаруженных экспериментально прцессов самосборки вирусов [117,199]. Уравнения, описывающие процесс самосборки, также могут быть интерпретированы как уравнения химической кинетики.

Системы на стандартном симплексе при определенных предположениях являются обобщением модели, которую предложили А.Лотка |243] при рассмотрении кинетики химических реакций, а затем независимо от пего В.Вольтерра [19] для описания динамики численности групп, составляющих биологическое сообщество. Системы типа Лотки - Вольтерра, кроме экологических задач, возникают также при описании эволюции самых разнообразных взаимодействующих объектов. Так, уравнения этого типа встречаются в исследованиях кинетики химических реакций [230,248] и динамике микробных экосистем [152], при моделировании процессов видообразования [160] и активности нейронов [205|, в математической экономике [213,254], социологии [206,207], астрофизике [185,228], гидродинамике [33], к этому виду приводятся и некоторые уравнения популяционной генетики [150,151,153,188]. Такое обилие приложений определило необходимость развития качественной теории систем Логки -Вольтерра [120,121,127,189,238,242,259,261-265].

Исследование динамики биологических видов или химических элементов в условиях сильных водных или воздушных потоков, рассмотрение эволюции популяции с учетом возрастного состава приводит к необходимости изучения процессов с распределенными параметрами, которые описываются системами уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа [12,40,172,203,217,224], а также гиперболическими полулинейными системами, решение которых в каждой точке из области определенности [158] принадлежит стандартному симплексу. Уравнения типа "реакция - перенос" не менее актуальны, чем уравнения "реакция - диффузия", предполагающие хаотичность перемещений особей по ареалу обитания [11,13, 32,110,135,155,173,183].

Системы на стандартном симплексе, с формальной точки зрения, определяют эволюцию вероятностных распределений и, естественно, находят разнообразные приложения не только при исследовании равновесия и устойчивости в моделях популяционной динамики, генетики и химической кинетики [27,153]. Так, они возникают в теории игр при нахождении устойчивого значения игры |G2|, в теории автоматического управления при исследовании скользящих режимов [180].

Математические особенности сосредоточенных систем на стандартном симплексе изучались в работах O.A. Кузенкова [77-80]. Кроме того, O.A. Кузенковым исследована задача Коши для эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, посредством которого можно единообразно представить широкие классы сосредоточенных и распределенных систем, в том числе решение которых принадлежит стандартному симплексу [71-76]. Это позволяет выявит!» общие закономерности поведения различных систем, обосновать разрешимость многих классов дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде.

Математическая проблема сохранения стандартного симплекса имеет много общего с теорией выживания (термин принадлежит J.-P. Aubin) для динамических систем [192,193]. К задачам выживания для управляемых динамических систем относится, например, задача построения управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве. Если это множество гомеоморфио шару, то, вообще говоря, с помощью соответствующих замен неременных, его можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить па стандартный симплекс.

Вопрос о существовании решения x(t,xо) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения х = f(x) с начальным условием ж(0) = Хо, в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [24G]. А.Б. Куржаиским и Т.Ф. Филиповой [112,113] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества. Ими же в работе [114] установлены связи между задачами о выживаемости для дифференциальных включений и системами включений, содержащими возмущающие параметры и функции. В [179J для системы с последействием (с наследственностью) и некоторого целевого множества, заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций были найдены достаточные условия выживаемости. В работе [7[ исследованы необходимые и достаточные условия выживания систем с последействием в заданном множестве.

Еще один важный вопрос, возникающий при изучении систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, — формы представления. В [153, 154] показано, что при определенных предположениях о развитии популяции от системы (0.1.2) можно перейти к уравнениям динамики структуры популяции z(t) = zi(t),., zn(t)): п где функции Fi удовлетворяют условию квазиположитсльности [47]

Fi(t,zi,.,zi-i,0,zi+i,.,zn) > 0 при Zi> 0, г = 1,п, которое гарантирует в данном случае положительную инвариантность симплекса (0.1.1). При этом остается открытым вопрос: является ли это представление универсальным, и на сколько оно справедливо для систем в частных производных первого порядка на симплексе.

Естественно, что системы уравнений тина "реакция - перенос" являются более общими, нежели соответствующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из них можно вывести практически все закономерности динамики сосредоточенных систем на симплексе, а вот эффекты, возможные в распределенном случае, нельзя получить при исследовании только сосредоточенной системы. Так же, как и в сосредоточенном случае, при исследовании распределенных систем встают вопросы о критерии принадлежности гиперболических полулинейных систем классу систем на стандартном симплексе, формах представления таких систем, алгоритмах решения задачи Коши. Ответы на эти вопросы тесно связаны с исследованием качественного поведения этих систем, в частности с исследованием устойчивости решения.

Вопрос об устойчивости решения - это одна из важнейших проблем теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости решения было введено A.M. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость. Идеи A.M. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор и широко используются в современных исследованиях вопросов устойчивости. В работе [171] развивается метод функций A.M. Ляпунова для изучения устойчивости процессов с распределенными параметрами. С шестидесятых годов прошлого века это направление получило значительное развитие. Особенно плодотворным оказалось введение [138,1G2J понятия устойчивости по части переменных. Развитие его [128—131] привело к понятию устойчивости по двум мерам; в [49] рассмотрена устойчивость инвариантных множеств; исследованию устойчивости в целом, т.е. когда начальные возмущения являются конечными или даже сколь угодно большими, по процесс протекает в неограниченном интервале времени, посвящены статьи [8,46]. В перечисленных работах доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и т.д. в терминах функций Ляпунова. Различным вопросам исследования устойчивости процессов с распределенными параметрами методом функций Ляпунова посвящено большое количество работ, число которых непрерывно растет. Этот метод широко применяется и при исследовании управляемых динамических систем [118].

Вопрос об устойчивости вершины симплекса, являющейся состоянием равновесия рассматриваемых систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, связан с вопросами, возникающими в приложениях, о конечных продуктах реакции или о результатах отбора. Исследование глобальной асимптотической устойчивости вершины симплекса состоит из следующих задач: во-первых, исследование локальной устойчивости вершины симплекса и, во-вторых, исследование стремления фазовых траекторий с течением времени к вершине симплекса. Для решения второй проблемы также можно применить метод функций Ляпунова, но процесс этот не тривиален, и не всегда удается подобрать соответствующую функцию. В связи с этим имеет смысл разрабатывать и другие методы исследования поставленной задачи.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые сложными системами с распределенными параметрами, втом числе и системами квазилинейных уравнений гиперболического типа. К такому классу систем относятся многие производственные процессы, например, синтез и очистка вещества в ректификационной колонне, химическая сорбция, дистилляция, нагрев металла под прокатку или термообработку. Для этих объектов характерно то, что взаимодействие веществ и обработка материала происходят в процессе их пространственного продвижения через зоны обработки, во время которого на них оказывается распределенное не только во времени, но и в пространстве воздействие: тепловое, электрическое, химическое и т.п.

Во многих технических и научных приложениях часто возникает вопрос об отыскании наилучшего в том или ином смысле управления, например, для достижения наибольшего эффекта от эксплуатации управляемых объектов. С точки зрения математики это приводит к задачам оптимального управления.

Первые исследования по теории оптимизации систем с распределенными параметрами в нашей стране и за рубежом были проведены А.Г. Бутковским, А.II. Егоровым, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдиновым, Ж.-Л. Лионсом и др. [10,17,30,119,122,170].

В.И. Плотников предложил общий подход к получению необходимых условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем с помощью метода абстрактных вариаций [50,144,146]. Он базируется на общей схеме исследования экстремальных задач, позволяющей учитывать ограничения задачи посредством отделения выпуклого конуса вариаций. С его помощью удалось обосновать принцип максимума для широких классов оптимизационных задач [109,130, 137, 145|. Достоинство подхода, связанного с развитием абстрактных теорий оптимизации, использующего аппарат функционального анализа, состоит в единообразии процедуры вывода условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем, в возможности изложить основные идеи более доступно, не заслоняя их техническими деталями. Абстрактные теории оптимизации были предложены в работах [14,17,22-24,34,35,51,125]. Когда даны конкретные уравнения объекта управления, абстрактный принцип максимума "расшифровывается" п приобретает форму, близкую к принципу максимума Понтрягина. Например, книга [120] посвящена изложению методики такой "расшифровки", т.е. методике применения абстрактного принципа максимума.

Различные задачи оптимального управления гиперболическими системами, в том числе и первого порядка, исследовались, например, в работах [2-0, 1G, 25,54,122,126, 170,174,175,186,200,201,210,214,233,244,245,260]. В большинстве работ были выведены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, справедливые при самых разнообразных предположениях относительно вида системы, управляющей функции, критерия качества и ограничений. Однако, как правило, непосредственно из этих условий трудно получить оптимальное управление и для того чтобы дать окончательное решение, необходимо дальнейшее исследование, опирающееся на учет особенностей конкретной задачи. Трудности многократно усугубляются нелинейностью управляемой системы или наличием фазовых ограничений.

Управляемый процесс, описываемый системой на стандартном симплексе (0.1.1), с точки зрения оптимального управления, приводит к оптимизационной задаче с п фазовыми ограничениями типа равенства Z{ = 1 и неравенства Z{ > 0, г = 1 , гс. г-1

В общем случае решение задач оптимального управления с фазовыми ограничениями вызывает определенные затруднения, связанные с тем, что принцип максимума формулируется для функции Гамильтона, содержащей неопределенные меры.

Большое практическое значение имеет исследование предельных возможностей управляющего воздействия и изучение связи между ограничениями на область управления и достижением абсолютного максимума критерием качества. Можно ли по величине, характеризующей запас управляющего воздействия, определить целесообразность поиска оптимального управления при котором интересующий нас вид элементов сохраняется в системе неограниченно долго, или же такой поиск бессмысле-нен, так как любое управление приводит к уничтожению интересующих нас элементов. Эти вопросы приводят к необходимости рассмотрения оптимизационных задач на неограниченных интервалах времени.

К задачам оптимального управления системами па стандартном симплексе при неограниченном времени управления приводят, например, оптимизационные задачи с собственным критерием качества, т.е. с критерием не навязанным извне, а проистекающим из объективных интересов и потребностей системы [47|.

Вопрос о том, каким критерием должна руководствоваться система при выборе своего поведения, неоднократно рассматривался как для отдельных классов систем (например, биологических [27,28,159]) в соответствующих дисциплинах, так и для общего случая в общей теории систем [1, 202]. Одна из важных идей системного анализа состоит в том, что основным собственным критерием поведения системы является ее неограниченно долгое непротиворечивое существование; все остальные критерии либо подчинены этому, либо являются внешними, задаваемыми иными системами [257]. Наиболее просто такой критерий можно формализовать для системы конкурирующих самовоспроизводящихся объектов.

Пусть задано множество М, состоящее из конечного числа п элементов. Это могут быть биологические виды, химические вещества, варианты поведения и т.п. Поставим в соответствие каждому г-му элементу множества М действительное число г*, количественно отражающее существование этого элемента в системе в данный мо

11 мент времени так, чтобы выполнялись условия Zi — 1, Zi > 0, г = 1, гг., которые г=1 определяют стандартный симплекс в n-мерном пространстве. Величина Z{ = 0, если элемент в системе отсутствует. Это могут быть удельные численности видов, удельные количества капиталов, занятых в производстве, удельные количества произведенных или реализованных товаров, частоты использования технических решений, вероятности выбора вариантов поведения и т.н. Например, если элементами множества М являются биологические виды, сосуществующие в общем ареале обитания, Ni(t) - количество особей г'-го вида в данный момент времени, то в качестве величины Z((t) целесообразно взять удельную численность (0.1.3). Переход к удельным величинам во многих случаях очень удобен и широко используется при исследовании моделей биофизики [153].

Если с течением времени будет справедливо соотношение lim Zi(t)/Zj(t) = 0, (—>00 то г-й элемент будет постепенно вытесняться из общей системы j-м элементом. Можно утверждать, что j-й элемент лучше приспособлен к условиям существования, чем г-й. Собственным критерием для выбора поведения г'-ro элемента будет предел lim Zi(t) (0.1.4) t-юо или в более общем случае временное среднее т

Zi>= lim i I Zi{t) dt (0.1.5)

T-* oo 1 J 0 если указанные пределы существуют).

Если скорости Фг изменения величин во времени являются непрерывными функциями для всех г от 1 до гг, то величины удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений t = <h(t,zi,,.,zn), i = Т~п. (0.1.6)

Наряду с рассмотренными пределами можно исследовать средневременное значение удельной скорости воспроизводства г-ro элемента т

J(zi)=? / ^dt <ол-7> о

Нетрудно видеть, что

1п г{(Т)

Если существуют оба предела (0.1.4),(0.1.7), то из того, что первый достигает наибольшего значения - единицы, вытекает, что второй также достигает наибольшего значения - нуля; увеличение второго никогда не может привести к уменьшению первого.

Отсюда следует, что первый критерий сильнее второго (в области их общего существования). Однако нередко на практике удобнее в качестве критерия использовать J(zi). В частности, именно через него формулируется в биологии критерий приспособленности биологического вида (как средневременной коэффициент размножения) [27,281

Если г-й элемент обладает возможностью влиять на скорость изменения величин Хг, г = 1 , п, то оптимальным управлением для него будет то, которое обеспечивает максимум указанных пределов (0.1.4),(0.1.5),(0.1.7). Если при любом управлении пределы (0.1.4),(0.1.5) равны нулю, то задача оптимизации бессмысленна. Абсолютно наилучшим будет то управление, при котором пределы (0.1.4),(0.1.5) равны единице. В этом случае г-й элемент вытесняет из системы всех остальных. Не уменьшая общности, можно считать, что г = 1, т.е. рассматривать задачу с точки зрения первого элемента. Такой подход к формированию собственного критерия качества системы подробно рассмотрен в [78,79,81].

Для системы (0.1.6) можно поставить задачу оптимального управления. Соответствующие пределы на бесконечном времени (0.1.4), (0.1.5), (0.1.7) будут играть роль критерия качества управления. Данные функционалы могут также выражать и цели внешней управляющей системы, например, выделение из общего набора конкурирующих элементов множества М элементов только одного г-го вида, интересующего нас по каким-либо причинам.

Изложенную методику построения оптимизационной задачи можно применить и для распределенной системы, описываемой уравнениями в частных производных первого порядка.

Библиография работ, посвященных исследованию задач оптимального управления на неограниченных интервалах времени, весьма обширна. В различных постановках оптимизационные задачи на неограниченных интервалах времени рассматривались в [21,30,52,118,123,134,141,142,195,190,209,218,221,229]. Указанные задачи также широко применяются при решении проблем оптимальной стабилизации [148[.

Задачи управления на неограниченных интервалах времени системами, решение которых поточечно принадлежит стандартному симплексу, тесно связаны с проблемой управляемости на бесконечном времени. Вообще говоря, множество гомеоморф-ное шару можно с помощью соответствующих замен переменных взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить на стандартный симплекс, который, в свою очередь, проектируется на конечномерный симплекс с вершиной в начале координат, при этом между вершинами симплексов устанавливается взаимно однозначное соответствие. Нахождение условий, ограничивающих область управления, при которых вершина стандартного симплекса асимптотически устойчива, можно интерпретировать как построение области управляемости на неограниченном интервале времени в случае, когда начало координат лежит на границе рассматриваемой области.

Начало изучения вопроса управляемости динамической системы было положено работами Р. Калмана [57], где были сформулированы и доказаны ранговые критерии глобальной управляемости линейных стационарных систем при отсутствии ограничений на управление. В настоящее время имеется обширное количество исследований, в которых получены необходимые и достаточные условия управляемости и нуль-управляемости нелинейных динамических систем при ограничении на управление [38,39,118,140,194,239]. В работах [38,39] приводятся критерии управляемости системы в области фазового пространства. Данные критерии являются достаточными условиями нуль-управляемости системы при наличие фазовых ограничений, если начало координат лежит внутри рассматриваемой области. Изучение случая, когда начало координат лежит на границе, не является тривиальным и представляет большую сложность. Статья [70] посвящена исследованию такого случая, когда фазовые ограничения вырезают в фазовом пространстве конечномерный симплекс с вершиной в начале координат.

Приведенный выше обзор позволяет сделать вывод об актуальности проблемы изучения полулинейных гиперболических систем на стандартном симплексе и исследования вопросов оптимального управления для таких систем на ограниченных и неограниченных интервалах времени.

Цель работы состоит в исследовании систем гиперболических уравнений в частных производных первого порядка, решение которых в каждой точке из области определенности принадлежит стандартному симплексу, а именно в доказательстве критерия принадлежности гиперболических полулинейных систем указанному классу систем; в установлении форм представления таких систем; в обосновании решения задачи Коши для гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе; в нахождении условий, при которых систему полулинейных уравнений гиперболического типа можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы; в выяснении предельного поведения решения поставленной задачи Коши; в исследовании задач оптимального управления гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе на ограниченных и неограниченных интервалах времени; в обосновании условий достижения абсолютного максимума некоторым семейством критериев качества на оптимальном управлении такими системами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функции действительного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравнений с частными производными и теории оптимального управления.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и состоят в следующем:

- доказан критерий принадлежности системы полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа классу систем на стандартном симплексе;

- установлены формы представления гиперболических полулинейных систем па стандартном симплексе;

-доказаны условия, при которых систему полулинейных гиперболических уравнений можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы;

- обоснован метод решения задачи Коши для гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе, опирающийся на решение вспомогательной системы, правая часть которой является однородной относительно искомых функций;

- доказаны необходимые и достаточные условия выполнения в рассматриваемых системах предельного свойства, заключающегося в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса вдоль всех характеристик;

- выведены необходимые и достаточные условия оптимальности допустимого управления в оптимизационной задаче на стандартном симплексе при ограниченном времени управления;

-для широких классов систем полулинейных уравнений в частных производных гиперболического типа найдены ограничения на область управления, при которых критерий качества достигает своего абсолютного максимума на неограниченных интервалах времени.

Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы сформулированы в виде теорем и строго математически обоснованы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, отдельные результаты могут быть использованы в прикладных исследованиях.

Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа па стандартном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выделении системы на симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем, что облегчает построение аналитического и численного решения, а также создает дополнительные возможности для исследования широкого класса задач оптимального управления указанными системами на ограниченных интервалах времени.

Изучение предельного поведения решения задачи Кошм для полулинейных гиперболических систем на стандартном симплексе, а именно доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнении с течением времени к вершине симплекса вдоль всех характеристик, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершины симплекса и служит основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интервалах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества па неограниченных интервалах времени.

Полученные результаты имеют практическую значимость при исследовании распределенных систем, являющихся обобщением модели Лотки-Вольтерра с учетом явления переноса, применяющихся при изучении динамики удельных концентраций взаимодействующих веществ или удельной плотности распределения биологической популяции в сильных водных или воздушных потоках, а также при изучении динамики популяции с учетом возрастного состава. К рассматриваемому классу систем относятся такие производственные процессы как синтез и очистка вещества в ректификационной колонне, химическая сорбция, дистилляция.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Международном семинаре, посвященном 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой (Самара, 1998); на Воронежских математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, 1999), (Воронеж, 2001), "Современный анализ и его приложения"(Воронеж, 2000), "Понтрягин-ские чтения - XII"(Воронеж, 2001), "Понтрягинские чтения - XIII"(Воронеж, 2002); на VI и VIII Международных конференциях "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 1999), (Пущино, 2001); на XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики"(Н. Новгород, 1999); на Международной конференции "Dynamical systems modeling and stability invcstigation"(Ki[eB, 1999); на V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем"(Н. Новгород, 1999); на Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2000), (Москва, 2004); на II Международной конференции "Control of Oscillations and Chaos"(Санкт-Петербург, 2000); па V Крымской Международной математической школе "Метод функции Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2000), на конференции "Вычислительная математика и кибернетика 2000", посвященной 80-летию Ю.И.Неймарка (Н. Новгород, 2000); на VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004), на X междисциплинарной конференции "Нелинейный мир"(Н. Новгород, 2005).

По теме диссертации были также сделаны доклады на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" в МГУ (рук. акад. C.B. Емельянов и акад. С.К. Коровин, 2005), на Ижевском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (рук. проф. ЕЛ. Тонков, доц. H.H. Петров, 2005), на семинаре каф. ЧиФА ф-та ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н. Слугин), на семинаре каф. математической физики механико-математического ф-та ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин и доц. М.И. Сумин, 2005), па семинаре каф. биофизики биологического факультета МГУ (рук. проф. Г.Ю. Ризниченко, 2005).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты 98-01-00635, 01-01-00591, 03-02-16680.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 30 работ. Из них: 3 статьи в центральной печати, 1 статья в издании института системного анализа РАН (Москва), 5 в научных сборниках ННГУ, 2 статьи в трудах и 19 тезисов в материалах конференций, конгрессов и семинаров (в скобках указаны номера по списку литературы).

1. [83] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Теорема существования решения одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Международный семинар, посвященный 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой: Тезисы докладов. Самара. 1998. С.77-78.

2. [84] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 1(20). С.63-72.

3. [85] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса //VI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва, 1999. С. 152.

4. [86] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Влияние явления переноса па динамическую систему "ш хищников - п жертв-// Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С.111.

5. [87] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 6. Часть II. Сб. научных трудов/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко. М.: "Прогресс-Традиция". 1999. С.429-433.

6. [88] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Достаточные условия нуль-управляемости за бесконечное время для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // XII Международная конференция "Проблемы теоретической кибернетики". Тезисы докладов. Москва. 1999. С.124.

7. [89] Кузенков O.A., Рябова Е.А. О решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на конечномерном симплексе // International Conference "Dynamical systems modeling and stability investigation". Kyiv. 1999. P.29.

8. [90] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Проблема отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н.Новгород. 1999. С.130-131.

9. [91] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2(21). С.138-144.

10. [92] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Необходимые и достаточные уел они я отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Воронежская математическая школа "Современный анализ и его приложения". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 103-104.

11. [93] Кузенков O.A., Рябова Е.А. О симметричной форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // VI Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва. 2000. C.46.

12. [94] Kouzenkov O.A., Ryabova Е.А. Study of periodic modes in generalised Volterra model // 2000 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos". Proceedings. Volume 3 of 3. St.Petersburg. 2000. P.579-582.

13. [95] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Изучение поведения гиперболической системы па конечномерном симплексе с помощью метода функций Ляпунова //V Крымская Международная математическая школа "Метод функции Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Крым, Алушта, 2000. С.94.

14. [96] Кузенков O.A., Рябова Е.А. О форме полулинейной гиперболической системы на конечномерном симплексе // Конференция "Вычислительная математика и кибернетика 2000", посвященная 80-летию IO.II. Пеймарка. Тезисы докладов. Н. Новгород. 2000. С.47.

15. [97] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Полулинейная гиперболическая система на конечномерном симплексе: система близкая к системе отбора // Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 2001.

16. [98] Кузеиков O.A., Рябова Е.А. Пример динамики численности экологической системы с учетом явления переноса // VIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва. 2001. C.29G.

17. [99] Кузеиков O.A., Рябова Е.А. Решение одного класса полулинейных гиперболических систем // Воронежская математическая школа "Понтрягииские чтения - XII". Тезисы докладов. Воронеж. 2001. С.96-97.

18. [100] Кузеиков O.A., Рябова Е.А. О форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. N 1(23). Н. Новгород. 2001. С.87-95.

19. [101] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Гиперболическая система полулинейных уравнений на конечномерном симплексе: достаточные условия близости к системе отбора // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. N 2(24). Н. Новгород. 2001. С.212-218.

20. [163] Рябова Е.А. Оптимальное управление процессом, описываемым гиперболической системой полулинейных уравнений // Конференция "Математика и кибернетика 2002". Материалы конференции. Н. Новгород. 2002. С.84-85.

21. [102] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование оптимального управления гиперболической системой полулинейных уравнений па бесконечном времени // Воронежская математическая школа "Понтрягииские чтения - XIII". Тезисы докладов. Воронеж. 2002. С.86-87.

22. [103] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование управляемости гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: 8 Международный семинар. Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2004. С. 102-103.

23. [104]Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической системой на симплексе // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. N 2. С.69-75.

24. [106] Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление системами с объективным критерием //VI Международный конгресс по математическому моделированию. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. С.99.

25. [164] Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе //VI Международный конгресс по математическому моделированию. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. С.118.

26. [165] Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Вести. ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2005. Вып. 2(29). С.185-192.

27. [166]Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Нелинейный мир: X междисциплинарная научная конференция. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2005. С.117.

28. [105]Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка па стандартном симплексе // Дифферент уравнения. 2005. Т.41. N 8. С.1142.

29. [107]Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление за бесконечное время системой на единичном симплексе // Автоматика и телемеханика. 2005. N 10. С.70-79.

30. [108]Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование предельного поведения управляемой системы на бесконечном времени // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит. 2005. С.

Краткий обзор содержания диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению свойств гиперболических полулинейных систем, решение которых в каждой точке из области определенности принадлежит стандартному симплексу п

S = {(zi,.,zn) : Zi > 0, i = l,n, ^Zi = 1}. 1

В п. 1.1-1.2 доказываются необходимые и достаточные условия принадлежности систем к данному классу.

В п. 1.2 вводятся в рассмотрение гиперболические системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью. Решение задачи Кошн для таких систем ищется в классе непрерывных вектор-функций, каждая из компонент которых всюду, за исключением точек разрыва правой части системы, имеет производную по переменному t вдоль характеристики.

П. 1.3 посвящен рассмотрению примера гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе, которая описывает химическую реакцию из класса автокаталитических, протекающую в ректификационной колонне.

В п. 1.4 обоснованы формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе.

В п. 1.5 устанавливается зависимость между решением задачи Кошн для гиперболической системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной

частью на стандартном симплексе и решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям. Полученные результаты применяются к решению конкретных задач исследуемого типа.

В п. 1.6 обосновываются условия, при которых систему полулинейных гиперболических уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве; подсистемы. Метод приведения к системе на стандартном симплексе продемонстрирован на примерах.

В п. 1.7 доказана теорема о взаимно-однозначном соответствии между системой на стандартном симплексе и системой, решение которой принадлежит конечномерному симплексу с вершиной в начале координат.

В п. 1.8 устанавливается зависимость между абсолютно непрерывным решением вдоль каждой характеристики задачи Коши для полулинейной системы на стандартном симплексе и абсолютно непрерывным вдоль каждой характеристики решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию предельного поведения решения задачи Коши для гиперболических полулинейных систем с одинаковой главной частью на стандартном симплексе.

В п. 2.1-2.2 доказываются необходимые и достаточные условия, при которых гиперболические системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью на стандартном симплексе обладают предельным свойством А, заключающемся в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса вдоль всех характеристик.

В п. 2.3 разобраны примеры исследования предельного поведения решения конкретных систем.

В п. 2.4 доказываются достаточные условия, при которых гиперболические системы полулинейных уравнений с одинаковой главной частью на стандартном симплексе обладают предельным свойством В, заключающемся в том, что решение системы уравнений за конечное время попадет в некоторую окрестность вершины симплекса. Теоретические выкладки сопровождаются большим количеством примеров.

В третьей главе диссертации рассматриваются оптимизационные задачи для гиперболических полулинейных систем па стандартном симплексе при ограниченных и неограниченных интервалах времени.

В п. 3.1 ставится задача оптимального управления такой системой с непрерывными начальными условиями на ограниченном промежутке времени. Управляющие функции входят в правую часть системы и принадлежат классу кусочно-непрерывных функций с конечным числом линий разрыва, совпадающих с характеристиками на множестве меры нуль. На множестве решений поставленной задачи определяются функционалы смешанного типа. Требуется минимизировать функционал при дополнительных фазовых и функциональных ограничениях типа равенства и неравенства. Осложнений, связанных с фазовыми ограничениями, удается избежать, используя более простую вспомогательную систему и связь между соответствующими решениями задач Коши. В итоге рассматриваемая задача сводится к более простой управляемой системе, не имеющей фазовых ограничений типа равенства, к которой применяется известная классическая методика, позволяющая эффективно находить ее решение. Окончательный результат формулируется в терминах исходной задачи. Опираясь на это, в п. 3.2-3.3 выводятся необходимые и достаточные условия оптимальности допустимого управления в поставленной задаче на ограниченных интервалах времени.

В п. 3.4 доказываются достаточные условия постоянства вдоль характеристики оптимального управления в этой задаче.

В и. 3.5 приведены примеры решения оптимизационных задач на ограниченных интервалах времени, в том числе задача оптимального управления процессом синтеза химического вещества в ректификационной колонне, который был описан в п. 1.3.

В п. 3.6 ставится задача оптимального управления системой полулинейных уравнений в частных производных гиперболического типа на стандартном симплексе при неограниченных интервалах времени.

В п. 3.7-3.8 доказаны достаточные условия достижения терминальным критерием качества типа (0.1.4), (0.1.5),(0.1.7) абсолютного максимума па решении гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе в случае линейных и нелинейных функций перехода. В то же время, эти условия являются необходимыми для выполнения в системе предельного свойства А.

В п. 3.9 аналогично исследована оптимизационная задача па неограниченном интервале времени для частного случая полулинейной системы на стандартном симплексе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябова, Елена Александровна, 2006 год

1. Бахвалов Н.С. О существовании в целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы // Ж.в.м. и м.ф. 1970. Т.10. N 4. C.9G9-980.

2. Белотелов Н.В., Саранча Д.А. Линейный анализ устойчивости двухуровневых систем с диффузией на экологическом примере // Биофизика. 1984. N 1. С.130-134.

3. Блохинов Ю.В. Качественное исследование модели динамики популяции, распределенной по возрасту и жизненности /7 Модели ров. процессов экологич. разв. Вып.2. М.: ВНИИ системн. исследов. 1982. С.61-69.

4. Боколишвили И.В., Малинецкий Г.Г. Об одном классе упрощенных моделей в теории систем "Реакция диффузия-// Мат. моделирование. 1989. T.l. N 6. С.67-94.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

6. Братусь A.C., Новожилов A.C. Математические модели экологии и динамические системы с непрерывным временем: Учебное пособие. М.: Мзд-во МГУ. 2004.

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

8. Варга Дж. Оптимальное управление функциональными и дифференциальными уравнениями. М.: Наука, 1977.

9. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

11. Воробьева Е.В. Об устойчивости решении смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Оме. гос. техн. ун-т, Омск, 1999. Деп в ВИНИТИ 10.08.99. N 2610-В99.

12. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука. 1991.

13. Гамкрелидзе Р.В. Необходимые условия первою порядка и аксиоматика экстремальных задач // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стсклова АН СССР. 1971. Т. 112. С.152-180. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36. N 3. С.652 679.

14. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1977.

15. Гамкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 196!). Т.ЗЗ. N 4. С.781-839.

16. Гасанов К.К. Теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых системой квазилинейных гиперболических уравнений // Изв. АН Аз. ССР. Сер. физ.-тех. и мат. и. 1988. Т. 8. X 1. С.142-149.

17. Годунов C.K. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

18. Горбань А.Н. Обход равновесия. Новосибирск: Наука, 1984.

19. Горбань А.Н., Хлебопрос Р.Г. Демон Дарвина: идея оптимальности и естественный отбор. М.: Наука, 1988.

20. Гузьль H.I. Задача без початкових умов для нашвлппйжп системи гшербо.:ичпих р1виянь иершого порядку. // Мат. студй. 2001. Т. 21. N 2. С.187-196.

21. Гусев Д.Е., Якубович В.А. Теорема о магистрали в задаче непрерывной оптимизации // Вести. ЛГУ. Мат., мех., астр. 1983. N 1. Выи.1.

22. Демидова Д.А., Зубов Н.В., Болотов A.A. Нахождение области управляемости // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2004. Т. С. N 1. С. 145-146.

23. Денисов Г.А. Теория ветвления и спиральные волны в системах уравнении реакции диффузии. Пущино. Препринт / НЦБН АН СССР, 1982.

24. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов А.М. Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М., 1974.

25. Дубовицкий А.Я. Теоретико-функциональный аппарат общей задачи оптимального управления. Препринт ИХФ АН СССР. Черноголовка: ИХФ АН СССР, 1975.

26. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. AI.: Наука. 1981. С.6-17.

27. Егоров А.И. Оптимальное управление! тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

28. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: ФПЗМАТЛИТ, 2004.

29. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы. // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. М. ВИНИТИ. 1987. Т. 21. С.3-39.

30. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. М. ВИНИТИ. 1988. Т. 23. С.3-107.

31. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций. М.: Едиториал УРСС, 2004.

32. Жепшов В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах // Изв. вузов. Мат. 2004. N 7. С.47 52.

33. Жестков C.B. О коэффициентных оценках глобальных решений задачи Коти для полулинейных систем в частных производных // Днфференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 7. С.1000-1002.

34. Жестков C.B., Забрейко П.П. О нелокальной разрешимости задачи Коши для квазилинейных нормальных систем в частых производных первого порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. N 7. С.1000-1002.

35. Жестков C.B., Забрейко П.П. О существовании глобальных решений задачи Коши для квазилинейных нормальных систем в частных производных // Тр. Ин-та мат. HAH Беларуси. 1999. Т. 3. С.бб-70.

36. Зайцев Ю.М. Распространение теорем об асимптотической в большом и целом на системы с распределенными параметрами // Тр. Второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. С.25-34.

37. Заславский Б.Г., Полуэктов P.A. Управление экологическими системами. М.: Наука, 1990.

38. Зубов A.B., Зубов Н.В., Мухин A.B. Релейно-пмпульсные управления и стабилизация динамических систем. СПб: Пзд-во ИППХ СПбГУ, 2002.

39. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высш. шк., 1984.

40. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: ФИЗМАТЛ1ГГ, 2003.

41. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

42. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. Достаточные условия оптимальности рекуррентных по Биркгофу движений дифференциального включения // Пестн. Удм. ун-та. Ижевск. 2005. N 1. С.59-75.

43. Искандеров Н.Ш. Задача рассеяния для гиперболической системы пяти уравнений первого порядка на полуоси // Изв. АН Азербайджана. Сер. физ,- техн. и мат. н. 1998. Т. 18. N 2. С.26-28.

44. Казаков К.Ю. Корректность начальной задачи для гиперболической системы квазилинейных законов сохранения на плоскости. 01.01.02 -диф. ур. и математическая физика: Автореферат диссерт. на сопск. уч. степ. к. ф.-м. наук. Горький, 1989.

45. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец U.M. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР. Сер. Ma i ем. 1985. Т. 49. N 1. С.141-159.

46. Калман Р., Фал б П., Арбиб М. Очерки но математической теории систем. М.: Мир, 1971.

47. Камке Э. Справочник но дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.

48. Капцов О.В. Инвариантность характеристик систем уравнений с частными производными // Сиб. мат. ж. 2004. Т. 45. N 3. С.577-591.

49. Капцов О.В. Интегралы характеристик гиперболических систем уравнений //Симметрия и диф. ур.: Труды 3 международной конф., Красноярск, 25 29 авг., 2002. Красноярск: Изд-во Ин-та вычпсл. модели]). СО РАН. 2002. С.] 19121.

50. Капцов О.В., Заблуда A.B. Инварианты характеристик // Вести. Краснояр. гос. ун-та. Физ мат. п. 2004. N 3. С.57-61.

51. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

52. Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям //УФН. 1984. Т.14. Вып.1. С.3-30.

53. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

54. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 19CG.

55. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

56. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

57. Крейн С.Г. Линейные дифференциальпые уравнения в банаховом пространств. М.: Наука, 1967.

58. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантный конус в пространстве Банаха // Успехи матем. наук. 1948. Т. 3. Вып. 1 (3). С.4-97.

59. Кузенков O.A. Достаточные условия нуль-управляемости динамической си'-темы на конечномерном симплексе // Методы прикладного функционального анализа. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1991. С.33-36.

60. Кузенков O.A. Исследование динамической системы вероятностных мер Радона //Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. N 4. С.591-596.

61. Кузенков O.A. Задача Коши для эволюционного уравнения с неограниченным оператором в семействе вероятностных мер Радона //Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. N 11. С.1535-1542.

62. Кузенков O.A. Слабое решение задачи Коши в семействе вероятностных мер Радона //Дифференц. уравнения. 2000. T.3G. N 11. С.1529-1537.

63. Кузенков O.A. О свойствах одного класса интегро-дифференцнальных уравнений в пространстве Лебега //Нелинейная динамика и управление. Вып.1. М.: Физматлит. 2001. С.347-354.

64. Кузенков O.A. Исследование асимптотического поведения в некоторых моделях с нелинейной динамикой //Нелинейная динамика и управление. Вып.1. М.: Физматлит. 2002. С.333-335.

65. Кузенков O.A. Задача Коши для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве //Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. N 1. С.24-32.

66. Кузенков O.A. Исследование квазитермодппамнческого поведения систем на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1997. С.67-75.

67. Кузенков O.A. Математическое моделирование процесса выбора оптимальной стратегии: проблема критерия // Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научи, тр. Под ред. Р.Г. Стронгнна. Н.Новгород. 1994. С.48-59.

68. Кузенков O.A. Математическое моделирование, процессов отбора // Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научи, тр. Под ред. Р.Г. Стронгина. Н.Новгород. 1994. С.120-131.

69. Кузенков O.A. Некоторые свойства динамических систем на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2(19) С.56-62.

70. Кузенков O.A. О системах оценок объективного критерия //Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 1(18). С.1160-125.

71. Кузенков O.A. Проблема критерия в математическом моделировании процесса выбора для биологических систем // Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научн. тр. Под ред. Р.Г. Стронгина. П.Новгород. 1996. С.53-64.

72. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 1(20). С.63-72.

73. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса //VI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва, 1999. С.152.

74. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Влияние явления переноса на динамическую систему "ш хищников п жертв-// Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С.111.

75. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса // Математика. Компьютер. Образование. Вып. С. Часть II. Сб. научных трудов/ Под ред. Г.Ю. Рнзннченко. М.: "Прогресс-Тра ¡иция". 1999. С.429-433.

76. Кузенков O.A., Рябова Е.А. О решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на конечномерном симплексе // International Conference "Dynamical systems modeling and stability investigation". Kyiv. 1999. P.29.

77. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Проблема отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н. Новгород. 1999. С.130-131.

78. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ИНГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2(21). С.138-144.

79. Кузенков O.A., Рябова Е.А. О симметричной форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе //VI Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва. 2000. С.46.

80. Kouzenkov O.A., Ryabova Е.А. Study of periodic modes in generalised Yolterra model // 2000 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos". Proceedings. Volume 3 of 3. St.Petersbnrg. 2000. P.579-582.

81. Кузенков O.A., Рябова Е.А. О форме полулинейной гиперболической системы на конечномерном симплексе // Конференция "Вычислительная математика и кибернетика 2000", посвященная 80-летию Ю.И. Неймарка. Тезисы докладов. Н. Новгород. 2000. С.47.

82. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Полулинейная гиперболическая система на конечномерном симплексе: система близкая к системе отбора // Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 2001.

83. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Пример динамики численности экологической системы с учетом явления переноса // VIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва. 2001. C.29G.

84. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Решение одного класса полулинейных гиперболических систем // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения -XII". Тезисы докладов. Воронеж. 2001. С.96-97.

85. Кузенков O.A., Рябова Е.А. О форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ИНГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. N 1(23). Н. Новгород. 2001. С.87-95.

86. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование оптимального управления гиперболической системой полулинейных уравнений на бесконечном времени // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения XIII". Тезисы докладов. Воронеж. 2002. С.86-87.

87. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической системой на симплексе // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. N 2. С.69-75.

88. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Диффере.иц. уравнения. 2005. Т.41. N 8. С.1142.

89. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление системами с обьектпв-ным критерием //VI Международный конгресс по математическому моделированию. Тезисы докладов.

90. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление за бесконечное время системой па единичном симплексе // Автоматика и телемеханика. 2005. N 10. С.70-79.

91. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование предельного поведения управляемой системы на бесконечном времени // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит. 2005. С.

92. Кузенков O.A., Шашков В.М. Оптимальное управление линейными распределенными системами: уравнения теплопроводности. И.Новгород: Изд-во HI1 ГУ, 1996.

93. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Теорема существования решения одного класса иитегро-дифференциальных уравнений и её приложения // Вестник НИГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород. 1987. С.47-54.

94. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

95. Куржанский A.B., Филипова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. Ali СССР. 1986. Т.289. N 1. С.38-41.

96. Куржанский A.B., Филииова Т.Ф. Об оптимальном описании пучка выживающих траекторий управляемой систем!,г // Дифферепц. уравнения. 1987. Т.23. N 8. С.1303-1315.

97. Куржанский A.B., Филипова Т.Ф. Дифференциалы! и v. включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. матем. ин- га РАН. 1995. Т.211. С.304-315.

98. Лапа Т. В., Мовша О.М. Задача коши для гиперболических уравнений и систем с кратными характеристиками в полной шкале пространств тина Соболева // Доп. Нац. АН Украины. 1999. N 2. С. 11 14.

99. Леканцев М.В. Моделирование биологических сообществ с саморегуляцией видов // Дальневост. мат. ж. 2002. Т. 3. N 2. С.320-331.117. • Леонтович A.M. Одна задача о самосборке отрезков // Проблемы передачи информации. 1975. N 15. С.97-10С.

100. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

101. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

102. Логинов М.В., Михайлов М.Д. Двумерная модель взаимодействия типа "хищник-жертва"с учетом внутривидовой конкуренции // Вести. Томск, гос. ун-та. Бюл. опер. науч. ииф. 2003. N 10. С.89-100.

103. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

104. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теории »кономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

105. Матвеев A.C. Обобщенные решения полулинейной системы уравнений в частных производных гиперболического тина и задачи управления // Деп. в ВИНИТИ 23.07.90, N 2983-80. 39 с.

106. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд-во СП6ГУД994.

107. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальные системы .•.■правления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные палачи. СПб.: Изд-во С. -Петербургского университета, 2003.

108. Михайлова О.В. Бифуркация двумерной модели развития популяции // Нелин. динам, и упр. 2001. N 1. С.269-282.

109. Мовчан A.A. О прямом методе Ляпунова в задачах ■ тойчивости упругих систем // Прикл. математика и механика. 1959. Т.23. Вып.З. С.483-493.

110. Мовчан A.A. Об устойчивости движения сплошных im. Теорема Лагранжа и ее обращение // Инженерный сборник, i960. Т.29. С.•"■ 20.

111. Мовчан A.A. Устойчивость процессов но двум метрик.-.л! // Прикл. математика и механика. 1960. Т.24. Вып.6. С.988-1001.

112. Мовчан A.A. Об устойчивости процессов деформир м ания сплошных тел // Archiwum mechaniki stosowauej. 1963. Т.15. N 5. C.5-"'.¡ < S2.

113. Мышкис А .Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными //Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.:Физматлит. 2003. С.337-351.

114. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 1981. Т.27. N 3. С.488-500.

115. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир. 1972.

116. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

117. Новоженов М.М., Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. N 4. С.584-692.

118. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики: Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1986.

119. Озиранер A.C., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1972. Т.36. N 2. С.364-384.

120. Остапенко В.В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды: Курс лекций. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2004.

121. Павлов А.Ю. Управляемость за конечное и бесконечное время // Тр. Срсдне-волж. мат. о-ва. 2004. Т. 6. N 1. С.230-231.

122. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. Минск: Изд-во Белорусского ун-та, 1977.

123. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986.

124. Петровский И.Г. О проблеме Кош и для системы уравнений с частными производными // Избранные труды. М.: Наука. 1986. С.34-97.

125. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функции для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36. N 3. С.652-679.

126. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов H.A. Динамические модели экологических систем. JL: Гидрометеоиздат, 1980.

127. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Паука, 2002.

128. Пых Ю.А. Дифференцируемость системы с неотрицательными нормированными решениями // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. No. G. С.1138-1140.

129. Пых Ю.А. Задачи устойчивости в популяционной генетике. Автореферат диссертации. Ленинград: ЛГУ, 1972.

130. Пых Ю.А. Исследование устойчивости в динамических моделях популяционной генетики // Проблемы эволюции. Новосибирск. 1973. Т.З. С.214- 221

131. Пых Ю.А. Математический анализ модели культивирования микроводорослей на многокомпонентной среде. //Сборник трудов по агрономической физике. Вып.38. Ленинград. 1976. С.82-84.

132. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983.

133. Пых Ю.А. Уравнения эволюции структуры и плотности синхронных относительно стационарных биологических сообществ // Жури, общ.биол. 1975. Т. 36. N 5. С.699-708.

134. Разжевайкин В.Н. О возникновении диссипативных структур в системе двух уравнений реакции диффузии. ДАН СССР. 1980. Т.255. N 6. С.1321-1322.

135. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. Гостехиздат, 1948. С.376-395.

136. Рождественский Б.Л., Сидоренко А.Д. О невозможности "градиентной катастрофы "для слабо-нелинейных систем // Ж.в.м. и м.ф. 1967. Т.7. N 5. С.1176-1179.

137. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

138. Розен Р. Критерий оптимальности в биологии. М.: Мир, 19G2.

139. Розоноэр Л.И., Седых Б.И. О механизмах эволюции самовоспроизводящихся систем // Автоматика и телемеханика. 1979. N 5. С.137-148.

140. Романовский Р.К., Воробьева Е.В., Макарова И.Д. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы па плоскости // Сиб. ж. индустр. мат. 2003. Т. 6. N 1. С.118-124.

141. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. 1957. N 4. С.9-16.

142. Рябова Е.А. Оптимальное управление процессом, описываемым гиперболической системой полулинейных уравнений // Конференция "Математика и кибернетика 2002". Материалы конференции. II. Новгород. 2002. С.81-85.

143. Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе //VI Международный конгресс но математическому моделированию. Тезисы докладов.

144. Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // VI Международный конгресс по математическому моделированию. Сборник докладов.

145. Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Нелинейный мир: X междисциплинарная научная конференция. Тезисы докладов. П.Новгород: Пзд-во НПГУ. 2005. С.117.

146. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

147. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

148. Семеновский Ф.Н., Семенов С.М. Математическое моделирование экологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

149. Сиразетдииов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.

150. Сиразетдииов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987.

151. Скакаускас В. Поведение при больших временах динамики популяции, производящей потомков при фиксированных значениях возраста, с учетом миграции и присмотра за детьми // Liet. mat. rink. 2004. V.44. N 2. P.225-24G.

152. Стронгина Н.Р. Некоторые пространственные структуры в модели сообщества "хищник две конкурирующие жертвы"// Использование вычислительных средств в экологии, экономике, медицине. Межвузовский научный сборник. Издательство СГУ. Саратов. 1988. С.77-78.

153. Сумин В.И., Чернов A.B. Условия устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Коши для гиперболического уравнения // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. И.Новгород. 1997. С.94-103.

154. Тай M.JI. Динамика процессов самосборки: Учебное пособие. Н. Новгород: Пзд-во Нижегородского госуниверситета. 2000.

155. Тай M.JI. Процессы самосборки с объемными воздействиями // Докл. АН СССР. 1990. Т.314. N 1. С.189-193.

156. Толстоногов A.A. О решениях эволюционной управляемой системы, зависящей от параметров // Мат. сб. 2003. Т. 191. N 9. С.113-140.

157. Топков E.JI. Динамические задачи выживания // Вести. Перм. гос. тех. ун-та. 1997. N 4. С. 138-148.

158. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

159. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. М.: Наука, 1970.

160. Франкель Ф.И. О задаче Коши для нелинейных и линейных уравнений гиперболического типа второго порядка в частных производных // Мат. сб. 1937. Т.2(44). N 5. С. 793-811.

161. Хакен Г. Синергетика. М.:Мир, 1980.

162. Христианович С.А. Задача Коши для нелинейных уравнений гиперболического типа // Мат. сб. 1937. Т.2(44). N 5. С. 871-897.

163. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд. М.: ИЛ, 1950.

164. Чернов А.В. Вольтерровы операторные уравнения и их применение в теории оптимизации гиперболических систем. Дис.канд.физ.-мат.наук. П.Новгород: НГ ТУ. 2000.

165. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Изд. Тамара Рожковская. 2003.ХУ1.(Унив. сер. Т. 7.)

166. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. М.: Мир, 1973.

167. Ahmad Shair, Lazer Alan С. Necessary and sufficient average growl hin a Lotka-Volterra system // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1998. V.3 1. N 2. P.191-228.

168. Amadori Debora, Gosse Laurent, Guerra Graziano. Global BV entropy solutions and uniqueness for hyperbolic systems of balance laws //Arch. Ration. Mech. and Anal. 2002. V.162. N 4. P.327-366.

169. Ambrosio Luigi, Bouchut Francois, De Lellis Camillo. Well-posedncss for a class of hyperbolic systems of conservation laws in several space dimensions // Commun. Part. Differ. Equat. 2004. V.29. N 9-10. P.1635-1651.

170. Aubin J.-P. A survey of viability theory // SIAM J. Contr. and Opt::-s. 1990. V.28. N 4. P.749-788.

171. Aubin J.-P. Viability theory. Boston: Birkhauser, 1991.

172. Balachandran K., Dauer J.P. Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: A survey // Optimiz. Theory and Appl. 2002. V.115. N 1. P.7-28.

173. Baum R.F. Existence theorems for Lagrange control problems with unbounded time domain // JOTA. 1976. V.19. N 1.

174. Benchohra M., Ntouyas S.K. Controllability on infinite time horizo of nonlinear differential equations in Banach spaces with nonlocal conditions // n. Sii. Univ. Iasi. Mat. 2001. V.47. N 2. P.277-286.

175. Benvenuti Stefano, Bove Antonio. On a class of hyperbolic systems with multiple characteristics // Osaka J. Math. 1998. V.35. N 2. P.313-356.

176. Bove Antonio, Nishitani Tatsuo. Necessary conditions for hyperbolic systems // Progress in Analysis: Proceedings of the 3 International ISAAC Congress, Berlin, Aug. 20-25, 2001. V.2. Singapore etc.: World Sei. 2003. P.1015-1056.

177. Caspar D.L.D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses //Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 19G2. V.27. C.l-24.

178. Chan W.L., Guo B.Z. Optimal birth control of population dynamics //J. Math. Anal, and Appl. 1989. V.141. N 2. P.532-552.

179. Chan W.L., Guo B.Z. Overtaking optimal control problem of age-dependent populations with infinite horison // J. Math. Anal, and Appl. 1990. V.150. N 1. P.41-53.

180. Chekland P. From optimizing to learning a development of systems thinking for the 1990-s // J. of the Oper. Res. Soc. 1985. V 3G. N 9. P.757-7G7.

181. Chen Renrhao, Li Jianquan. Existence and uniqueness of the solution for nonlinear age-dependent time-varying population evolution equations // Acta math. sei. 2003. V.23. N 4. P.385-400.

182. Courant R., Lax P. On nonlinear partial differential equations with two independent variables // Comm. Pure Appl. Math. 1949. V.2. P.255-273.

183. Cowan J.D. A statistical mechanics of nervous activity. Lectures on mathematics in the life sciences. 1970. V.2.

184. Dasarathy B.V. Dynamics of a class of social interaction systems // Intern. J. Syst. Sei. 1974. V.5. N 4. P.329-333.

185. Dasarathy B.V. On a generalized dynamic model of bistate social interaction process // Intern. J. Syst. Sei. 1974. V.5. P.499-50G.

186. Douglis A. Some existence theorems for hyperbolic systems of partial differential equations in two independent variables // Comm. Pure Appl. Math. 1952. V.5. N 1. P.119-154.

187. Effati S., Kamyad A.V., Kamyabi-Gol R.A. On infinite-horizon optimal control problems // Z. Anal, und Anwend. 2000. V.19. N 1. P.2G9-278.

188. Fisterk Renee, Lenhart Suzanne. Optimal control of a competitive system with age-structure // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V.291. N 2. P.52G-537.

189. Fridrichs K.O. Nonlinear hyperbolic differential equations for functions of two independent variables // Amer. J. Math. 1948. V.70. P.555-588.

190. Gandolfo G. Mathematical methods and models in economic dynamics. Amsterdam: North-Holland Publ. 1971.

191. Gourley Stephen A., Wu Jianhong. Extinction and periodic oscillations in age-structured population model in a patchy environment // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V.289. N 2. P.431-445.

192. Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horison // Econometrica. 1974. V.42. P.267-273.

193. Hanouzet B., Natalini R. Global existence of smooth solutions for partially dissi-pative hyperbolic systems with a convex entropy // Arch. Ration. Mecli. and Anal. 2003. V.169. N 2. P.89-117.

194. Hartman P., Wintrier A. On hyperbolic differential equations //Arner. J. Math. 1952. V.5. P. 834-864

195. Ilaurie A. Existence and global asymptotic stability of optimal trajectories for a class of infinite horison, Nonvex Systems // JOTA. 1980. V.31. N 4. P.515-533.

196. Hoff D. Globally smooth solutions of quasilinear hyperbolic systems in diagonal form // J. of Math. Anal, and Appl. 1982. V.86. P.221-23G.

197. John F. Formation of singularities in one-diinentional nonlinear wave propagation // Comm. Pure. Appl. Math. 1974. V.27. N 2. P.377-405.

198. Jones C.W. On reducible non-linear differential equations occurring in mecharn-ics // Proc. Roy. Soc. 1953. V.217. N 1130.

199. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bui. Soc. Mat. Mexicana. I960. V.5. P.102-119.

200. Kerner E. A dynamical approach to chemical kinetics: mass-action laws as generalized // Bull. Math. Biophys. 1972. V.34. N 2. P.243-275.

201. Kong De-Xing, Yang Tong. A note on "Well-posedncss theory for hyperbolic conservation laws"// Appl. Math. Lett. 2003. V.1G. N 2. P.143-14G.

202. Kong De-Xing, Yang Tong. Asymptotic behavior of global classical solutions of quasilinear hyperbolic systems // Commun. Part. Differ. Equat. 2003. V.28. N 5-G. P.1203-1220.

203. Kong De-Xing. Maximum principle in nonlinear hyperbolic systems and its applications // Nonlinear Anal.: Theory, Metli. and Appl. 1998. V.32. N 7. P.871-880.

204. Lax P. Development of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations //J. Math. Phys. 19G4. V.5. N 5. P.G11-G13.

205. Levi E. Sul problema di Cauchy per le equizioni a caratteristice reali e distine // Rend, reale accad. lincei. Ser. 5a. 1908. V.18. N 1. P.331-339.

206. Levi E. Sul problema di Cauchy per le equizioni lineari in due variabili a caratteristice reali. I, II // Rend. 1st. Lombardo. Ser. 2. 1908. N 41. P.409-428, G91-712.

207. Levy II. Uber das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen iiichtlincaren partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen // Math. Annale». 1927. V.98. P.179-191.

208. Li Bi-vven, Hu Son-lin,Zcng Xian-wu. Stability of 11 specics cooperative Lotka-Volterra ecological systems // J. Cent. China Norm. Univ. Natur. Sci. 2001. V.38. N 1. P. 18-20.

209. Li Ta-tsien. Exact controllability for quasilinear hyperbolic systems and its application to unsteady flows in a network of open canals // Math. Meth. Appl. Sci. 2004. V.27. N 9. P. 1089-1114.

210. Li Ta-tsien, Kong De-xing. Breakdown of classical solutions to quasilinear hyperbolic systems // Nonlinear Analysis. 2000. N 40. P.407-437.

211. Li Ta-tsien, Kong De-xing. Global classical discontinuous solutions to a class of generalized Riemann problem for general quasilinear hyperbolic systems of conservation laws // Comm. in PDE. 1999. V.24. N 5,0. P.801-820.

212. Lisena Benedetta. Global stability in periodic competitive systems. // Nonlinear Anal.: Real World Appl. 2001. V.5. N 4. P.013-G27.

213. Lotka A. Elements of physical biology. Baltimora: Williams and Wilkins, 1925.

214. Luo Zhixue, He Ze-Rong, Li Wan-Tong. Optimal birth control for predator-prey system of three species with age-structure // Appl. Math, and Comput. 2004. V.155. N3. P.G65-685.

215. Nishitani Tatsuo. Hyperbolicity for systems // Analysis and Applications ISAAS 2001: 3 International ISAAC Congress, Berlin, Aug. 20-25, 2001. Dordrecht etc.: Klumer Acad. Publ. 2003. P.237-252.(Int. Soc. Anal., Appl. and Comput. Vol.10)

216. Oster G.F., Perelson A.S. Chemical reaction dynamics // Arch. Rat.Mech. and Analysis. 1974. V.55. N 3. P.230-274.

217. Ping Yan. Global classical solutions with small initial total variation for quasilinear non-strictly hyperbolic systems //Nonlinear stud. 2003. V.10. N 1. P. 11-27.

218. Plank Manfred. On the dynamics of Lotka-Vol terra equations having an invariant hypcrplane // SIAM J. Appl. Math. 1999. V.59. N 5. P.1540-1551.

219. Popivanov P.R. Creation of logarithmic singularities to the solutions of some non-strictly hyperbolic semilinear systems with two space variables // Докл. Бълг. АН.2003. Т. 56. C.11-1G.

220. Popivanov P.R. Interaction of singularities to the solutions of some classes of semilinear hyperbolic equations and systems with one and two space variables 1 Congress MASSEE, Borovets, Sept. 15-21, 2003.]// Math, balkan. 2004. V.18. N 1-2. P.173-17G.

221. Popivanov P.R. Nonlinear PDE. Singularities, propagation, applications. // Nonlinear Hyperbolic Equations, Spectral Theory and Wavelet Transformations: A Volume of Advances in PDE Basel etc.: Birkhausen 2003. P.1-94.

222. Samuelson R.A. Generalized predator-prey oscillations in ecological and economic equilibrium // Proc. Nat. Acad. Sei. 1971. V.G8. N 3. P.980-983.

223. Shauder J. Das Anfangswertproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. // Fund. Math. 1935. V.24. P.213-216.

224. Vickers G. Freedom in a Rocking Boat. London:Allen Lane, 1970. P.128.

225. Wang Guang-hui. Application of characteristic theory to partial differential equations //J. Anhui Agr. Univ. 2002. V.29. N 2. P.203-206. (Кит.)

226. Wang Yuanshi, Wu Hong. Dynamics of competitive Lotka Volterra systems that can be projected to a line // Appl. Math, and Comput. 2004. V.47. N 8-9. P. 12631271.

227. Wu Zhuoqun, Yin Jingxue, Gao Hang. Optimal control of growth rate for a class of population systems // J. Syst. Sei. and Complex. 2003. V.16. N 1. P.53-66.

228. Zeeman E.C., Zeeman M.L. From local to global behavior in competitive Lotka-Volterra systems // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. N 2. P.713-734.

229. Zhao Jiandong, Chen Wencheng. Global asymptotic stability of a periodic ecological model // Appl. Math, and Comput. 2004. V.147. N 3. P.881-892.

230. Zhou Tie-jun, Xia De-qi, Zhou Yu-yuan. Global stability of a class predator-prey system // J. Hunan Agr. Univ. 2004. V.30, N 2, P. 180-183. (Kiit.)