Онтологические и гносеологические основания математического знания в интуиционистской философии математики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.08, кандидат философских наук Левченко, Андрей Сергеевич

• Левченко, Андрей Сергеевич
• кандидат философских наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат философских наук Левченко, Андрей Сергеевич

Введение.

Глава 1. Проблема сущностного истолкования математики: предпосылки и становление интуиционистского подхода

§ 1. Проблема значимости интуиционистского подхода в онтологических и теоретико-познавательных основаниях математики.

§ 2. Истоки интуиционистского истолкования природы математики в истории математического знания.

§ 3. Историко-философские предпосылки интуиционистского истолкования природы математики.

Глава 2. Онто-гносеологические установки интуиционистского истолкования арифметической, логической и геометрической составляющих математики

§ 1. Специфика интуиционистского истолкования арифметики. Явные и имплицитные установки интуиционизма.

§ 2. Проблема соотношения логики и математики в интуиционизме. Связь логических объектов и истин с действительностью и процессом познания.

§ 3. Геометрические объекты и истины, их связь с действительностью и процессом познания в интуиционистской трактовке оснований математики.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Онтологические и гносеологические основания математического знания в интуиционистской философии математики»

Актуальность темы исследования

Актуальность выбранной темы исследования объясняется, во-первых, тем, что в наши дни процесс проникновения математических методов в различные отрасли знания представляется все более важной частью их развития. В современном мире математические науки приобретают большую, чем когда бы то ни было, значимость для человека. Как следствие этих процессов, перед современным научным сообществом встает ряд новых задач, среди которых одной из главных является задача объяснения роли и значения математического знания в системе наук, путем раскрытия связи истин и объектов математики с действительностью и процессом познания. Представляется очевидным, что решение вышеуказанных вопросов будет способствовать как ускорению математизации различных научных дисциплин, так и процессу развития науки.

Во-вторых, в конце XIX - XX вв. происходит интенсивная разработка философско-методологических проблем научного знания и, в том числе, математики. Богатое наследие этого периода продолжает оставаться плодотворной почвой для развития современной философии науки и, в частности, для построения интерпретаций онтологического и гносеологического фундамента математических областей. Перед современными исследователями остро встает задача выявления позитивных результатов, полученных в ведущих программах обоснования науки прошлого столетия, их реконструкции и развития в свете современных научных реалий, задача выявления на их основе тенденций и перспектив дальнейшей эволюции научных областей. К числу таких ведущих программ, несомненно, относится и программа интуиционизма в основаниях математики.

В-третьих, исследование интуиционистского подхода к обоснованию математики, на сегодняшний день, нельзя считать завершенным, несмотря на множество работ в отечественной и зарубежной литературе, посвященных этому вопросу. В частности, остались до настоящего времени так и не разрешенными вопросы о том, каковы онтологические и гносеологические следствия принятия в основаниях математики интуиционистских требований: как объясняется ограниченность интуиционистского построения математики с теоретико-познавательных и методологических позиций, какие выводы о связи математических истин и областей с действительностью можно сделать путем осмысления опыта программы интуиционизма, каким образом можно интерпретировать онто-гносеологические аспекты содержательной составляющей интуиционистских концепций в свете современного положения дел в математике и области ее философских оснований.

На решение вышеназванных вопросов, связанных с программой интуиционизма и онто-гносеологическим обоснованием математики, и направлено настоящее диссертационное исследование.

Степень научной разработанности проблемы

Тема диссертации связана с исследованиями в отечественной и зарубежной литературе, которые условно можно разделить на несколько групп.

Это труды ученых, направленные на осмысление вклада программы математического интуиционизма и конструктивизма в развитие математики, ее философских оснований и методологию науки, в частности таких авторов, как А. Гейтинг, Д. ван Даллен, А.Г. Драгалин, С.К. Клини, А.Н. Колмогоров, Б.А. Кушнер, В.Т. Мануйлов, A.A. Марков, П. Мартин-Леф, А. Мостовский, H.H. Непейвода, П.С. Новиков, М.И. Панов, A.A. Побережный, A.C. Трулстра, H.A. Шанин и др.

Особенно значимы современные исследования онтологических и гносеологических проблем обоснования математических областей, понятий и истин. К ним относятся работы Е.И. Арепьева, Г.Б. Гутнера, C.JI. Катречко,

A.Н. Кричевца, А.Ф. Кудряшева, В.Я. Перминова, Я. Хинтикки,

B.В. Целищева и др.

Необходимо учитывать исследования логико-методологических и семантических аспектов обоснования математики в работах A.B. Бессонова, Б.В. Бирюкова, Н. Бурбаки, В.Э. Войцеховича, Г. Генцена, К. Геделя, И.Н. Грифцовой, В.А. Карпунина, Х.Б. Карри, С.К. Клини, З.А. Кузичевой, И. Лакатоса, Я. Лукасевича, В.В. Мадер, П.С. Новикова, В.Я. Перминова, Е.Д. Смирновой, В.А. Успенского, Г. Фреге, В.В. Целищева, A.B. Чусова, Б.Л. Яшина и др.

Важные идеи для темы диссертации содержатся в классических трудах по основаниям математики И. Бар-Хилелла, П. Бернайса, Л.Э.Я. Брауэра, Н. Бурбаки, Г. Вейля, К. Геделя, А. Гейтинга, Д. Гилберта, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Х.Б. Карри, С.К. Клини, А.Н. Колмогорова, H.H. Лобачевского, A.A. Маркова, Дж. фон Неймана, Д. Пеано, Б. Рассела, Б. Римана, Г. Фреге,

A. Френкеля, Э. Цермело и др.

Новые идеи присутствуют в исследованиях, посвященных современному состоянию дел в философии математики в нашей стране и за рубежом, в частности таких авторов, как А.Г. Барабашев, В.Я. Перминов, З.А. Сокулер,

B.Ф. Хендрикс, В.В. Целищев, С. Шапиро, В.А. Шапошников, и др.; в работах, посвященных проблемам математизации различных областей научного знания следующих авторов: Ю.С. Владимиров, A.B. Волошинов, М. Иверсен, О.И. Кедровский, А.Н. Кочергин, Г.И. Рузавин, М. Штайнер и ДР

Труды, освещающие развитие представлений о природе математики, посвященные описанию подходов к ее обоснованию в истории математического знания и философии. Это работы В.А. Бажанова, Б.В. Бирюкова, Г. Вейля, В.Н. Катасонова, В.И. Колядко, А.Ф. Кудряшева, И.С. Кузнецовой, Г.Г. Майорова, П. Мартин-Лефа, В.В. Мороз, М.И. Панова, A.B. Родина, А.П. Юшкевича, С.А. Яновской и др.

Это работы, посвященные проблемам философии и методологии науки в целом, проблемам обоснования естествознания, проблемам физических и других отдельных научных областей таких авторов, как Л.Г. Антипенко,

B.В. Аристов, В.И. Аршинов, Б.С. Грязнов, Е. Вигнер, В.И. Жог, И.Т. Касавин, В.Н. Князев, А.Н. Кочергин, В.А. Лекторский, Л.И. Маневич, Л.А. Микешина, A.M. Новиков, Ю.А. Петров, М.А. Розов, В.Н. Садовский, З.А. Сокулер, B.C. Степин, А.Л. Субботин, В.А. Суровцев, B.C. Швырев,

C.А. Яновская, Я.С. Яскевич и др.

Используемая в диссертации установка о наличии в фундаменте математического знания трех независимых исходных компонент — арифметической, логической и геометрической — разрабатывается в современной отечественной литературе в трудах Е.И. Арепьева, посвященных построению новой реалистической интерпретации онто-гносеологических основ математики, а также в исследованиях наследия программы математического формализма в трудах Д.И. Алябьева.

Вместе с тем, выявления и реконструкции онтологических и гносеологических принципов интуиционистского обоснования математики, исходящего из установки о наличии трех равнозначных составляющих фундамента математики - логической, арифметической и геометрической, -до настоящего времени не предпринималось в развернутом виде ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Данная работа призвана в определенной степени восполнить этот пробел.

Цель и задачи диссертационного исследования

Целью диссертационного исследования является разработка и аргументация модели онто-гносеологических основ математического знания путем выявления и реконструкции интуиционистских представлений о связи базисных разделов математики с действительностью и процессом познания.

Достижение поставленной цели предполагает решение ряда следующих задач: выявление проблемной ситуации в оценке бытийных и теоретико-познавательных основ интуиционизма, в интерпретации философско-математических следствий данной программы; определение предпосылок интуиционизма в эволюции математики, истоков интуиционистской трактовки фундамента математики в истории философии; интерпретация связи истин арифметики с реальностью и процессом познания на основе содержательной составляющей программы интуиционизма; онто-гносеологическое истолкование логики на основе анализа ее содержательного описания, введения в интуиционизме; выявление онто-гносеологических аспектов и следствий содержательного истолкования геометрической составляющей математики в интуиционизме; построение и аргументация комплексной модели бытийных и теоретико-познавательных основ математического знания, отвечающей современному состоянию математики и ее философских оснований, через реконструкцию и развитие интуиционистских представлений.

Теоретико-методологические принципы и источники исследования

Основными методами, используемыми в диссертационном исследовании, являются: элементы системного подхода, логико-лингвистический анализ, герменевтическая интерпретация. Значительное внимание в методологическом аппарате диссертации уделено сравнительному и интерпретирующему анализу. Помимо этого, основные задачи, поставленные в работе, требовали для своего решения широкого внедрения методов историко-философского анализа и историко-философской реконструкции. Так как диссертационная работа направлена на исследование онто-гносеологических аспектов оснований математики, в ней используется также метод контекстуального анализа и др. Использование вышеуказанного методологического аппарата направлено на прояснение природы математического знания, как посредством выявления особенностей эволюции самой математики, так и через раскрытие генезиса философско-математических проблем.

К источникам исследования относятся вошедшие в классику мировой философии и математики труды следующих мыслителей: Аристотель, И. Бар-Хиллел, П. Бернайс, Л.Э.Я. Брауэр, Н. Бурбаки, Г. Вейль, Г. Галилей, К.Ф. Гаусс, К. Гёдель, А. Гейтинг, Д. Гильберт, Г. Грисс, Э. Гуссерль, Д. ван Даллен, Р. Дедекинд, Р. Декарт, Евклид, И. Кант, Г. Кантор, Х.Б. Карри, С.К. Клини, А.Н. Колмогоров, Г.В. Лейбниц, Н.И. Лобачевский, A.A. Марков, А. Пуанкаре, Б. Рассел, Б. Риман, Г. Фреге, А. Френкель, И. Фихте, Л. Эйлер.

Научная новизна исследования

Научная новизна исследования заключается в том, что реализуется новый подход к реконструкции интуиционистской программы обоснования математики и результатам, полученным в ходе данной реконструкции. Он состоит в следующем:

- обосновано, что истолкование Брауэром природы математики и науки в целом содержит противоречия, возникающие, во-первых, из-за признания логики вторичной областью по отношению к арифметической составляющей математики. Во-вторых, трактовка Брауэром математики лишь как производной области от интуиции последовательности событий неоправданно исключает причинность, что противоречит его же пониманию науки как описания причинных последовательностей событий, а математики как эталона, идеала научного знания;

- аргументирована неправомерность утверждения арифметической составляющей математики как единственной фундаментальной области, и обоснована фундаментальность и значимость для математики также логической компоненты, что подтверждается выводом самих интуиционистов о невозможности математических построений без привлечения логики;

- выявлено, что истолкование природы геометрии в интуиционизме ориентируется на ее эмпирическую трактовку, а создание неевклидовых систем ошибочно толкуется как свидетельство ненадежности, неточности (и эмпиричности) евклидовой геометрии. Показано, что проводимая Брауэром аналогия с физикой содержит позитивный элемент онтологического характера, признает объективность геометрических истин и законов, их включенность в структуру бытия. Тем самым геометрическая составляющая рассматривается как фундаментальная для математики наряду с логической и арифметической компонентами;

- обосновано, что путем экспликации, реконструкции и развития установок содержательной части программы интуиционизма можно интерпретировать исходные истины арифметической, логической и геометрической составляющих математики как априорно заданные принципы человеческого познания, объективно воспроизводящие в абстрактной форме универсальные свойства действительности.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в том, что ее результаты позволяют дополнить сложившуюся к настоящему времени картину бытийного и теоретико-познавательного истолкования природы математики как вида знания, способствуют расширению круга предполагаемых подходов и сопутствующих этим подходам методов при исследовании отдельных проблем философии науки, позволяют более глубоко и разносторонне осмыслить философское наследие интуиционистской программы оснований математики.

Результаты диссертации могут использоваться при разработке проектов и проведении исследований, связанных с проблемами обоснования математики и научного знания вообще, могут использоваться в курсах философии и методологии науки для философских специальностей, в курсах истории и философии науки для соискателей и аспирантов физико-математических специальностей, при разработке спецкурсов, посвященных философским аспектам оснований математики и пр.

Апробация диссертации

Цели и результаты настоящего диссертационного исследования вошли в круг задач и результатов научно-исследовательского проекта «Онтологические и гносеологические основы математического знания в направлениях философии математики конца Х1Х-ХХ столетия», получившего поддержку РГНФ, грант № 08-03-00049а (продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем). Основные результаты, полученные в ходе исследования, отражены в публикациях (в том числе и в центральных периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований).

Помимо этого, отдельные результаты диссертационного исследования прошли апробацию на международных научных конференциях: «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 28-30 мая 2009 г.); «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 15-16 июня 2007 г).

Заключение диссертации по теме «Философия науки и техники», Левченко, Андрей Сергеевич

Заключение

В заключении представляется необходимым описать полученные в ходе диссертационного исследования результаты.

Прежде всего, мы обнаружили явные признаки проблемной ситуации, сложившейся в современном осмыслении наследия интуиционизма, в частности, осмыслении бытийных и теоретико-познавательных оснований математики. Так, заявленные в интуиционизме сущностные и методологические установки не позволили построить новым способом всю математическую науку, избавленную от парадоксов, обнаруженных в классическом математическом знании. Значительная часть математики оказалась несоответствующей интуиционистским требованиям. Тем не менее, интуиционистская программа Л.Э.Я. Брауэра не может трактоваться как полностью ошибочная, опирающаяся лишь на заблуждения. Это подтверждается не только значительным влиянием основных идей представителей интуиционизма на развитие математики и ее оснований в свое время, но и продолжающейся до настоящего времени эволюцией этого направления, его конструктивных подходов к решению различного рода задач в современной математике, развитием неклассических логик и конструктивистской математики. Все вышесказанное, на наш взгляд, позволяет сделать вывод о наличии определенного ряда проблем при определении и адекватном истолковании онтологических и теоретико-познавательных источников математики в интуиционистском направлении ее оснований. В диссертации аргументировано, что выход из указанной проблемной ситуации возможен при анализе содержательного уровня интуиционистской программы с целью выявления позитивных установок в онто-гносеологическом истолковании исходных математических объектов и отношений.

Также в работе обоснована перспективность гипотезы о наличии в фундаменте математики как минимум трех компонент, являющихся бытийно значимыми и несводимыми друг к другу: арифметической, логической и геометрической. Несмотря на противоречие указанной установки доктрине интуиционистской программы, в диссертации была доказана допустимость и эффективность ее использования для выявления в содержательной части интуиционизма позитивных принципов онтологического и гносеологического обоснования первичных арифметических, логических и геометрических понятий и отношений.

Проведенный в работе анализ позволяет утверждать присутствие предпосылок программы Л.Э.Я. Брауэра в различных периодах развития математики, начиная с античности. Подтверждением этому являются воззрения пифагорейцев, определяющих арифметику как фундамент всей математики и любого знания вообще. Предпосылки интуиционизма встречаются у Евдокса, отношение к понятию бесконечного у которого совпадало с брауэровским, в работах Аристотеля, где создатель логики подвергает критике закон исключенного третьего, а также в трудах Евклида, в которых геометр не использует неконструктивных методов построения геометрии. В средние века предпосылки интуиционистского течения встречаются в работах таких ученых как Т. Браддвардин, который определял время как континуум, измеряющий следование, Дж. Валлис, который утверждал первичное и более фундаментальное положение арифметики в сравнении с геометрией. Позднее предпосылки интуиционизма обнаруживаются в работах Л. Эйлера, который рассматривал бесконечность как потенциальную и отвергал возможность использования актуальной бесконечности как противоречащей понятию количества в математике. К идейным источникам интуиционистского течения относятся работы А. Пуанкаре, в которых ученый не только придерживается идей о необходимости исключения геометрии из фундамента математики и о конструктивном характере математических построений при создании математических теорий, но и открыто подвергает критике течение логицизма, основывающееся на противоречащих интуиционизму положениях.

На основании вышесказанного мы приходим к выводу о необходимости рассмотрения интуиционизма как исторически обусловленного течения, в котором статус первичных, базисных объектов и понятий математики истолкован, конечно же, не исчерпывающим образом, но, тем не менее, достаточно интересно, и которое, несомненно, вместе с исторической обусловленностью должно иметь позитивные следствия.

В исследовании также определены историко-философские предпосылки интуиционизма. Первыми и явными предпосылками такого рода являются представленные в работах Зенона Элейского парадоксы, в которых он впервые указал на проблемы философского характера в математике, связанные с пониманием бесконечности. В трудах Аристотеля, также содержатся сведения и умозаключения, позволяющие относить их к области философских предпосылок программы Брауэра. В частности, создатель силлогистики одним из первых обосновывает неправомерность использования актуальной бесконечности в математике и определяет потенциальную бесконечность как единственно возможную в науке. Отдельные аспекты работ Р. Декарта позволяют относить труды великого ученого и философа к предпосылкам интуиционизма философского характера. В частности, в диссертации определено, что, задолго до Брауэра и его последователей, Декарт предполагал возможным использование в качестве фундамента математических размышлений самоочевидных истин, которые не нуждаются в обосновании или объяснении, а возникающие в науке ошибки приписывал неточности передачи информации при помощи языка. Философские предпосылки интуиционизма обнаруживаются в работах Г.В. Лейбница. Описывая идею универсальной характеристики, он предполагает возможным выражение любого знания посредством числа и его свойств. Кроме того, утверждения Лейбница о наличии в основе любого знания (в том числе и математического) интуитивно воспринимаемых и не нуждающихся в объяснении понятий и принципов, на основе которых возможно построение всего здания науки, также позволяют отнести его к предтечам интуиционистской программы обоснования математики.

Важнейшие предпосылки интуиционизма обнаруживаются в работах И. Канта, предполагавшего в качестве источника первичных интуитивных суждений математики восприятие человеком пространства и времени. Описанный Кантом источник построения натурального ряда и арифметики представляет собой восприятие разделенных во времени последовательных событий, что полностью соответствует интуиционистской теории, а кантовское определение конструктивного построения в математике, опирающегося на чистое мышление, практически аналогично брауэровскому.

В ходе диссертационного исследования было выявлено, что в интуиционистской программе арифметика определяется как априорная, неотъемлемая и сущностно значимая составляющая фундамента математики. Понятие числа, являющееся исходным для арифметики, связано для Л.Э.Я. Брауэра и его последователей со свойственной разуму человека интуицией восприятия последовательности событий. Соответствие этого положения интуиционизма реальной действительности, представленной чередующимися событиями, позволило, с одной стороны, признать в качестве верных утверждения Брауэра и его последователей об интуитивном и доопытном статусе первичных понятий и истин арифметики, а с другой подтвердило гипотезу о реальности, объективности этих понятий и истин.

Также было обнаружено, что вместе с фундаментальностью и априорностью Л.Э.Я. Брауэром и его последователями утверждается единственность и достаточность арифметики для возведения всего здания математической науки, возможность сведения к ней логического и геометрического разделов математики. В диссертации была аргументирована ошибочность указанной точки зрения, противоречащей принятой в нашей работе установке о трех равнозначных компонентах оснований математики, противоречащей многим весомым аргументам и взглядам современных исследователей на природу и основные принципы построения математической науки.

В ходе исследования было показано, что в работах самого Л.Э.Я. Брауэра, а также в трудах его последователей присутствуют положения, которые не согласуются с одной из основных установок интуиционизма - установки о единственности арифметической компоненты в фундаменте математики. Так, Брауэр указывает, что наука в целом представляет собой процесс восприятия причинных последовательностей явлений, а простое восприятие человеком последовательности событий во времени утверждается им в качестве основы построения математики. Основоположник интуиционизма называет также математику эталоном научного знания, неправомерно исключая, тем самым, логическую категорию причинности из определения сущности математики. Очевидно, что это выступает весомым подтверждением необходимости включения в фундамент математического знания логической составляющей.

На основе результатов рассмотрения онто-гносеологического статуса арифметики в программе интуиционизма следует, что она может быть охарактеризована как априорная, фундаментальная составляющая оснований математического знания, но не единственная, а равнозначная с двумя другими составляющими - логикой и геометрией, представляющая собой (как и они) абстрактное отображение определенного рода свойств и объектов реального мира.

В ходе исследования обнаруживается ряд аргументов, позволяющих утверждать равнозначность логической и арифметической компонент оснований математики в онтологическом и теоретико-познавательном смыслах. Несмотря на то, что указанная позиция противоречит принятой в интуиционизме точке зрения о статусе и роли логики, подтверждение избранной в нашей работе установки обнаруживается в содержании интуиционистской программы. Как уже говорилось, принятое Л.Э.Я. Брауэром в своей программе определение фундамента науки, основанное на понятии причинной последовательности, содержит логическую категорию причинности, что явным образом указывает на фундаментальный статус логики в научном познании. Кроме того, уже на начальных стадиях важнейшего для интуиционистов «умственного математического построения» предполагается необходимость привлечения языка, имеющего непосредственную связь с логикой. Помимо этого, в процессе исследования было обнаружено, что сами представители интуиционизма предполагают невозможным построение математики без привлечения логической составляющей какого-либо вида.

Также одним из результатов проведенного исследования выступает доказательство ошибочности утверждений Брауэра, в которых он делает вывод о конвенциальном статусе логической компоненты математики, ее вторичности по отношению к арифметике, ссылаясь на возможности построения неклассических логик. В диссертации выявляется, что неклассические логические системы лишь расширяют сферу применимости логики вообще, например, в нестандартных ситуациях: недостаточное количество информации, отсутствие четких критериев классификации и пр. При этом основанием своим такие системы имеют, как и классическая математическая логика, первичные, априорные неизменные истины и положения, которые выражают в наиболее абстрактном виде определенные универсальные свойства действительности.

В диссертации подтверждена сущностная независимость и самостоятельность геометрической компоненты оснований математики, необходимость ее рассмотрения и изучения в качестве равнозначной с арифметикой и логикой части математического знания, которая основанием своим имеет данные в интуиции априорные очевидности пространственного характера. Причем указанные очевидности в онтологическом смысле объективны, реальны.

Важно отметить, что, несмотря на противоречие нашей позиции по статусу геометрии общепринятой точке зрения об интуиционистской программе, в работах Брауэра и его последователей содержится значительное количество косвенных подтверждений установки, принятой в диссертации относительно онто-гносеологического статуса геометрии. Кроме того, обнаруживаются и иные весьма значимые аргументы. Они заключаются, например, в том, что истинность утверждений геометрии подтверждается неизменно успешным использованием геометрических методов в процессе практического преобразования окружающей действительности. Кроме того, фундаментальные истины и положения геометрии подтверждаются и рационалистическими критериями: они удовлетворяют требованиям непротиворечивости, логичности, совместимости с другими разделами математики. Необходимость рассмотрения геометрии в качестве неотъемлемой составляющей оснований математического знания, истины и очевидности которой априорны и заданы свойствами разума и свойствами действительности, подтверждается всей историей развития математики, а также идеями современных ученых, занятых в сфере философского обоснования данной научной области.

Таким образом, мы можем отметить, что изначальная гипотеза диссертации о присутствии в основаниях математического знания по меньшей мере трех независимых и равнозначных компонент -арифметической, логической и геометрической — получает весомые подтверждения на основе выявления, развития и реконструкции принципов интуиционизма. В ходе рассмотрения и преобразования интуиционистского подхода к определению онтологического и теоретико-познавательного статуса исходных объектов и истин трех указанных компонент, было определено следующее: арифметика, логика и геометрия в основаниях математики могут быть истолкованы как взаимно несводимые, связанные с объективной реальностью составляющие, выражающие своими базисными понятиями объективные свойства действительности в наиболее абстрактной форме. Помимо этого обосновано, что первичные истины и объекты арифметики, логики и геометрии являются доопытиыми, априорно заданными в разуме человека очевидностями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Левченко, Андрей Сергеевич, 2010 год

1. Аверин А.Н., Панов М.И. Взаимосвязь математического языка и мышления // Семиотические аспекты научного познания / Отв. ред. В.В. Ким. — Свердловск, 1981.-С. 151-157.

2. Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.

3. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948;

4. Алябьев Д.И. Об онтологических и гносеологических аспектах истолкования логики в направлении формализма / Д.И. Алябьев // ВЕСТНИК ОГУ №7(101)/июль 2009 Оренбург: Изд-во Оренбургского ун-та, 2009. - С. 113118.

5. Апестов С.М. Парадоксы Брауэра антиномии чистого разума: приближение к трансцедентально-логическому источнику интуиционизма // Вестник Нижегородского университета. Сер.:Соц.науки. — Н.Новгород, 2005. Вып.1. - С.445-462.

6. Арепьев Е.И. Аналитическая философия математики. 2 изд-е, доп. - Курск: Изд-во Курского гос. пед. ун-та, 2003.

7. Арепьев Е.И. Преодоление кризиса теории множеств и становление аналитической философии математики // Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных трудов кафедры философии МПГУ. Выпуск XIV. М.: «Прометей», 2002.

8. Арепьев Е.И. Философия математики и ее аналитическая трактовка в свете теоретико-множественного подхода к обоснованию математического знания. Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2001.

9. Арепьев Е.И. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики: геометрическая составляющая / Е.И. Арепьев // Философская Россия 3/2007. -М.: Изд-во РУДН, 2007.-С. 144-151.

10. Арепьев Е.И. О сущностном фундаменте математики и ее арифметической составляющей / Е.И. Арепьев // Философская Россия 1/2006. М.: Изд-во РУДН, 2006.

11. Аристотель. Метафизика // Перевод с греческого, примеч. и послесл. A.B. Кубицкий. М.: Эксмо, 2006. - 606 с.

12. Аристотель. Физика // Пер. В.П. Карпова. М. Л., 1936

13. Аристотель. Об истолковании // Соч. в 4-х т. Т. 2. - М., 1978.

14. Аршинов В.И. Идеализация в физическом познании // Методы научного познания и физика. М., 1985;

15. Аршинов В.И., Свирский Я.И. На пути к рекурсивному этосу постклассической науки // Этос науки. М., 2008. - С.234-254.

16. Асмус В.Ф. Проблемы интуиции в философии и математике. — М., 1965.

17. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М.: Госполитиздат 1954. - 88 с.

18. Бажанов В.И. Рождение философии науки в России // Вопросы философии, №1,2006. С. 128-134.

19. Бажанов В.И. Российские истоки неклассической логики: персоналии, идеи, социокультурный контекст // Логико-философские штудии-3. СПБ: Изд-во СПбГУ, 2005.-С. 3-12.

20. Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.— 160 с.

21. Башмакова И.Г. Древняя Греция // История математики. T.I. Под. ред. А.П. Юшкевича. М.: Изд-во «Наука», 1970. - С. 58-106.

22. Башмакова И.Г. Эллинистические страны и Римская империя //История математики. T.I. Под. ред. А.П. Юшкевича . М.: Изд-во «Наука», 1970. - С 106-153.

23. Белл Э.Т. Творцы математики // Пер. В.Н. Тростникова, С.Н. Киро, Н.С. Киро. М.: Изд-во «Просвещение», 1979. - 256 с.

24. Берестов И.В. Возможные отношения между онтологией, гносеологией и аксиологией // Актуальные проблемы гуманитарных и социальных исследований. Новосибирск, 2006. С 95-100.

25. Берлянд И.Е. «Числа бывают разные» // Число: Сб. статей. — М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 66-78.

26. Бессонов A.B. Теория объектов в логике. — М.: Красанд, 2010.

27. Бирюков Б.В. Вейль и методологические проблемы науки // В кн.: Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

28. Бирюков Б.В., Кузичева З.А. Из истории становления логико-математического конструктивизм // Вопросы философии, №12, 2004. С. 89102.34.