Неявное знание в развитии математики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.01, доктор философских наук Султанова, Линера Байраковна

• Султанова, Линера Байраковна
• доктор философских наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор философских наук Султанова, Линера Байраковна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Неявное знание в общенаучном контексте

§ 1. Проблема неявного знания в современной гносеологии.

§2. Неявное знание в научной теории и проблема его трансляции.

ГЛАВА 2. Специфика неявного знания в математике.

§ 1. Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике.

§ 2. Классификация неявного знания в математике.

§3. Специфика основных типов математического мышления.

§4. Роль неявных элементов в исторической эволюции математического знания.

ГЛАВА 3. Неявные элементы в математическом обосновании

§1. Динамика уровня теоретической строгости в истории математики.

§2. Гносеологический механизм математического обоснования.

§3. Неявные элементы в развитии основных программ обоснования математики.

§ 4. Гносеологический статус современной математики.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неявное знание в развитии математики»

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана прежде всего заметным усилением в философии науки интереса к исследованию эмоционально-личностного аспекта научно-теоретической деятельности. Представляется, что это связано с кризисом позитивистской традиции в теории познания, игнорирующей вопросы истории науки и научного творчества, согласно которой «объективная эпистемология . может в значительной степени пролить свет на . субъективные процессы мышления учёных, но обратное неверно»1. В соответствии с этой традицией, знание, а, точнее, знание в объективном смысле, под которым подразумеваются непосредственно сами научные проблемы и теории как объекты автономного попперовского «третьего мира», - это «знание без того, кто знает: оно есть знание без познающего субъекта»2.

Однако, опираясь на работы аналитического философа первой половины двадцатого века Г. Райла , можно заключить, что не может быть разработано такой научной теории, которая бы учитывала всевозможные особенности понимания всех субъектов познания, все аномалии и частные случаи и целиком в себе содержала все правила по её применению. Как представляется, это происходит по причине того, что в познании, в том числе и научном, необходимо различать «область действия», то есть область научно-теоретических, в том числе и математических построений, имеющих символическую форму, и «область понимания», то есть область осмысления, связанную с «имманентным Я», через которую в «область действия» проникает, говоря словами Р. Декарта, «естественный свет разума»4. Вследствие этого в процессе практического применения теоретических утверждений в научной теории образуются «провалы», которые, в конечном счёте, становятся очевидными, и, хотя какая-то часть из них со временем и выявляется, на основе предыдущего опыта возникает опасение, все ли такие неявные утверждения обоснованы. Это значит, что

1 Поппер К. Объективное знание. Эволюционный подход. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - С. 113.

2 Поппер К. Логика и рост научного знания. - М.: Прогресс, 1983. - С. 439-440.

3 Райл Г. Понятие сознания. - М.: Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999.

М 4 Бирюков. В. «Свет не вне меня, а во мне»// Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. С. 349. область понимания» и «область действия» взаимосвязаны, и декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира», по крайней мере, может быть подвергнута вполне обоснованной критике. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.

Представляется, что пришло время попытаться на иных теоретико-методологических основаниях не только разобраться в реальной истории развития науки, но и выдвинуть концепцию развития научно-теоретического знания с учётом исторических реалий и специфики научного творчества, в которой проблема рационализации предпосылок научно-теоретического мышления выходила бы на первый план.

При этом необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения интуитивных механизмов мышления и исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных, что, как представляется, необходимо оценивать позитивно с точки зрения перспективы научно-философского исследования.

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана также и поисками реальных механизмов развития научной и, прежде всего, математической, теории. Специфика математики отнюдь не исчерпывается аксиоматическим способом её исторического формирования, на что явно указывает относительная неудача программы математического формализма. Она проявляется ещё и в том, что математика как образец теоретической строгости, соответствующий, казалось бы, всем стандартам позитивизма, представляющая собой единственный реально возможный жёсткий идеал научной теории, тем не менее, слывёт наукой, самой сложной для понимания. В самом деле, решение простейшей математической задачи требует от нас владения неким предварительным неформальным доопытным знанием и определённого уровня развития математической интуиции. Представляется, что эта особенность математики вызвана в основном тем, что её основания содержат солидный слой теоретически неявного знания, который имеет онто-гносеологический характер и формируется на личностно-индивидуальном уровне. Необходимость философских предпосылок в математике отмечалась в своё время ещё Д. Гильбертом. Поэтому исследование неявного знания в математике в любом аспекте, особенно в области оснований математики, представляется крайне важным не только для теории познания или философии науки, но и перспектив развития и применения самой математической науки.

Нельзя не отметить, что в философии науки последних десятилетий муссируется тезис о стагнационных процессах, происходящих в философии математики, вызванных как высокой сложностью современной математики, так и многообразием противоречащих друг другу концепций относительно статуса математики и взаимоотношений математики и философии1. Однако, представляется, что исследование проблемы роста математического знания, осуществляемое с опорой на результаты истории математики и концепцию неявного знания, должно способствовать прогрессивному продвижению философско-математических исследований, попытка чего как раз и осуществлена в данной работе. Актуальность подобных исследований возрастает в связи с развитием в современной философии науки социокультурного направления, отрицающего априорный статус оснований математики.

Актуальность темы настоящего исследования вызвана и её близостью к проблеме понимания, связанной, в свою очередь, с современными исследованиями в области искусственного интеллекта. Очевидно, что перспективы искусственного интеллекта напрямую зависят от возможности сведения к формальным, иначе говоря, вычислительным механизмам если не самого процесса научного открытия, то хотя бы процесса понимания смысла

1 См., например, Heidi R. A fiesh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. -1995. - Aug.-Sept - P. 590-591; Xao Baa lipoid и существование//Магемаяическ^ 1965.

2 Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. - Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. утверждений и терминов математики, который обязательно предполагает наличие неявного слоя. В этой связи необходимо понимать, что неявный элемент научной теории не может быть полностью устранён из неё при самых благоприятных исторических перспективах.

Что касается степени разработанности темы настоящего диссертационного исследования, то представляется, что в настоящее время, как в теории научного познания, так и в философии математики, проведена вся необходимая подготовительная работа для получения новых значительных результатов по исследуемой теме, и современная философия науки как никогда близка к выработке адекватной модели научно-теоретического знания и к максимально объективному пониманию законов его исторического развития.

В истории математики важное значение для разработки диссертационной темы имеют, прежде всего, фундаментальные исследования А. П. Юшкевича и И. Башмаковой - по истории математики ХУИ-ХУШ веков; К. А. Рыбникова, Ф. Клейна, Д. Стройка и др. - по истории математики Х1Х-ХХ веков.

• В философии математики диссертант опирался в основном на исследования Ж. Адамара, В. Н. Катасонова, М. И. Панова, В. Я. Перминова, А. Пуанкаре и др. По проблемам оснований математики исходными для диссертационной темы стали исследования крупнейших математиков двадцатого столетия, авторов основных программ обоснования математики - таких, как Л. Э. Я. Брауэр, Д. Гильберт, Б. Рассел и Г. Фреге. Кроме того, представляется, что осмысление результатов развития основных программ обоснования математики невозможно без обращения к работам Г. Вейля, одного из крупнейших математиков двадцатого века, положившего, вместе с А. Гейтингом, начало этому осмыслению.

В своём исследовании проблемы развития и роста научного знания автор опирался на результаты, полученные Т. Куном, И. Лакатосом, Л. А. Микешиной, К. Поппером, М. А. Розовым и др., без учёта которых трудно представить себе современную философию науки. Концепция неявного знания в современной философии науки была разработана американским исследователем М. Полани, а синергетический подход в осмыслении проблемы неявного знания в современной философии науки развивается в работах В. И. Аршинова. Этот подход оказался необходимым для уточнения структуры личностно-индивидуального комплекса неявного знания, адекватное представление о которой является ключевым для разработки диссертационной темы. Проблема неявного знания в современной отечественной теории познания разрабатывается Л. А. Микешиной.

Проблема неявного знания фактически была вскрыта одним из крупнейших представителей аналитической философии Г. Райлом1. Аналитическая философия стремилась преодолеть эту проблему в рамках логико-эмпирического и лингвистического подходов, фактически ограничивая её исследование рамками лингвистической философии, что не позволило, в конечном счёте, добиться её адекватного разрешения.

В научно-математическом аспекте проблема неявного знания ранее не ставилась, а концепция неявного знания к философско-математическим и историко-математическим исследованиям ранее не применялась, что было восполнено диссертантом в рамках излагаемого подхода. Кроме того, полученные выводы позволили существенно доработать концепция неявного знания и в научно-теоретическом аспекте. Думается, что на современном этапе развития науки именно эти аспекты исследования проблемы неявного знания наиболее важны.

В принципе, и предпосылочное знание, и основания знания широко исследовались в эпистемологии двадцатого столетия. Наряду с концепцией неявного знания в этом отношении выделяется так называемый тематический анализ оснований науки Дж. Холтона. Однако указанный подход не предлагает такого эффективного методологического инструмента философско-научного исследования, каким представляется понятие неявного знания, поэтому предпочтение, отдаваемое в современной философии науки подходу, основы которого были разработаны М. Полани, вполне объяснимо.

1 РаЙл Г. Понятие сознания. — М.:Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999.

Идея конституирования понятий, имеющая большое значение для формирования основных выводов при исследовании оснований математики во второй главе диссертации, была в своё время разработана Э. Гуссерлем, а фундаментальные выводы о природе исходных принципов познания разработаны в рамках критической философии Им. Кантом. Соотнесение с ними крайне важно для любых исследований подобного рода. Серьёзный интерес в рамках диссертационного подхода представляют гносеологические исследования по проблеме интуиции и философско-научный анализ принципов математического интуиционизма, принадлежащий К. Попперу.

Современной теории познания и философии науки, в конечном счёте, приходится признать, что «Предпосылочное знание . является столь же фундаментальным параметром науки, как и эмпирическое знание»1. В том, что проблема неявного знания в научной теории существует, по крайней мере, как проблема рационализации предпосылочного знания, современная философия науки практически не сомневается. Это значит, что декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира» в определённом смысле может быть подвергнута вполне обоснованному сомнению. Поэтому современная философия науки склоняется к выводу о том, что редукция научно-познавательной деятельности, а также её результатов, к одним только дискурсивным рассуждениям и к полной элиминации интуитивной составляющей из научной теории, невозможна. В настоящем исследовании в дальнейшем будет доказано, что проблема неявного знания в научной теории не может сводиться только к проблеме выявления научно-теоретических предпосылок, а должна рассматриваться в значительно более широком аспекте, поскольку связана с проблемами понимания смысла научно-теоретических утверждений. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.

1 Микешина Л. А. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. - М.: изд-во «Прометей» МГПИ им. В, И. Ленина, 1999. - С. 80.

В последние годы наличие неявных элементов научной теории, то есть таких её положений и принципов, статус которых существенно отклоняется от исторически сформировавшегося привычного статуса научно-теоретического знания (выработанного в рамках философии науки первой половины двадцатого столетия), получает всё более широкое признание в отечественной философии науки, которая приходит к выводу, что неявные элементы в научной теории порождаются прежде всего «синтетическими феноменами», подобными «психологической установке», «способу видения» Т. Куна1, «концептуальной

2 3 установке» Я. Хинтикки , «глубинным тематическим структурам» Дж. Холтона и т. д. Важная роль в этом смысле, как было отмечено, отводится предпосылочному знанию, которое проникает в научную теорию в виде философско- мировоззренческих и философско-методологических принципов, образующих научную картину мира и стиль научного мышления4.

В широком смысле в современной философии науки неявное знание рассматривается как некоторый набор стереотипов, образующих гуссерлевский «жизненный горизонт», на фоне которого разворачивается любая, и прежде всего, познавательная или профессиональная деятельность личности, как «некоторая невербализованная и дорефлексивная форма сознания и самосознания субъекта, как важная предпосылка и условие общения с собой, познания и понимания», возникающая в результате диалога с собственным подсознанием5.

Кроме того, необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения иррациональных механизмов мышления, и, прежде всего, интуиции, а также возможности исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных. В этом смысле «Иррациональное предстаёт как новое, ещё неотрефлектированное, допонятийное, не принявшее

1 Кун Т. Структура научных революций. // Структура научных революций.- М.: «АСТ», 2001.

2 Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. - М.: Прогресс, 1980.

3 Холтон Дж. Тематический анализ науки. - М.: Прогресс, 1981.

4 Там же, с. 76-78

5 Микешина Л. А. Опёнков Н. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997. С.37. логически определённые формы знание. Оно ещё проблематично, необоснованно, но уже присутствует как необходимый творческий компонент познавательной деятельности.»1. Очевидно, что такой подход существенно расширяет горизонты научно- философского исследования, особенно в теоретико-познавательном аспекте и создаёт в этом смысле вполне реальные позитивные перспективы. Крайне важно, что стремление к исследованию неявно-интуитивных механизмов познания ведёт к изменению самого представления о рациональности, при котором «Рациональность не только не отождествляется с концептуализацией вообще и логизацией в частности, но как обязательные для её понимания подключает различные факторы и доконцептуального порядка»2.

Вопросы развития математического знания традиционно находятся в центре внимания как математиков, так и специалистов в области философии и методологии науки, вследствие чего эти вопросы достаточно хорошо разработаны, как в зарубежной, так и в отечественной философско-научной литературе. Однако вызывает сожаление тот факт, что все подходы в исследовании вопросов развития математического знания, как в западной, так и в отечественной философии науки разрабатываются в основном в русле математического эмпиризма и социокультурной философии математики, даже если приводимые факты допускают совершенно иное истолкование. Это замечание относится, прежде всего, к стратегиям развития математического знания, предлагаемым И. Лакатосом и Ф. Китчером, которые критически оцениваются в третьей главе диссертации.

В целом представляется, что выводы, полученные теорией познания и философией науки, осмысленные в аспекте проблемы неявного знания, позволяют разработать новую стратегию философско-научного и историко-научного исследования развития математического знания, что было осуществлено в диссертации и отражено в основных выводах диссертационного Заключения.

Целью настоящего диссертационного исследования является раскрытие роли неявного знания в становлении и обосновании математического

1 Микешина Л. А. Опёнков Н. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997. С. 18.

2 там же, с. 35. знания. Реализация этой цели предполагает выполнение следующих взаимосвязанных задач: обобщение и систематизация результатов философско-научных исследований по проблеме неявного знания; прояснение проблемы неявного знания и сущности феномена неявного знания в теоретико-математическом и общенаучном аспекта; выявление возможностей и механизмов исторической эволюции различных типов неявного знания, содержащегося в математической теории, в явное, а в перспективе — в строгое математическое знание; прояснение роли неявных элементов в парадоксах канторовской теории множеств и неудачах классических программах обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм); уточнение гносеологического и методологического статуса современной математики с учётом концепции неявного знания.

При реализации основных задач настоящего диссертационного исследования необходимо основываться на определённых теоретико-методологических предпосылках. В рамках настоящего диссертационного исследования необходимо опираться на неклассическую философскую установку, согласно которой знание не всегда может быть не только рационализировано, но и вербализировано. Такой подход позволяет включать в область знания и неявные элементы. Понятие неявного знания рассматривается здесь в качестве наиболее эффективного методологического инструмента, причём подчёркивается, что такой подход наиболее целесообразен применительно именно к математике, которая не является эмпирической научной дисциплиной, то есть не нуждается в какой-либо опоре на внешний опыт, эксперимент.

При исследовании личностно-индивидуального комплекса неявного знания представляется необходимой опора на синергетический подход, предполагающий, что взаимовлияние всех элементов этого комплекса оказывает воздействие на его функционирование как целостной системы.

Одной из важнейших теоретико-методологических предпосылок диссертационного исследования, несомненно, должно быть утверждение о связи с историей математики с непременным условием обязательного соответствия строящихся здесь методологических концепций фактам, изложенным в историко-математической литературе. Именно такой подход позволил диссертанту пересмотреть некоторые теоретико-методологические положения, свойственные сугубо М. Полани. В частности, это относится к утверждению М. Полани о принципиальной нерационализируемости неявных элементов знания, в том числе и научно-теоретического. В этой связи в диссертационном исследовании было, продемонстрировано, что, например, неявные предпосылки и скрытые леммы математических доказательств могут быть дискурсивно эксплицированы в рамках парадигмы конкретного исторического периода.

Одним из важнейших вопросов, рассматриваемых в диссертации, представляется вопрос о природе базовых оснований математики. При анализе таковых диссертант опирался на принципы априоризма, а также на концепцию неявного знания . В конечном счёте, на основе априористских концепций Им. Канта и Э. Гуссерля, а также на основе концепции неявного знания, во второй главе диссертации исследовался вопрос о взаимосвязи неявного и априорного знания. В результате было установлено, что именно априористский подход в решении вопроса о природе базовых оснований математики наиболее предпочтителен.

В диссертации на базе концепции дедукции Р. Декарта1, понятия личностно-индивидуального комплекса неявного знания и концепции творческого процесса, л разработанной Ж. Адамаром , сформировано понятие эвристической интуиции. Эвристическая интуиция посредством «озарения» усматривает некое неявно-интуитивное утверждение как «свёрнутое умозаключение», которое впоследствии может быть дедуктивно развёрнуто.

Что касается принятого в диссертационном исследовании статуса математического знания, то представляется, что ни конструктивный, ни

1 Декарт Р. Правила для руководства ума// Соч. в двух тг. Т. 1. - М.: Мысль, 1989. - С. 85.

2 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. интуиционистский подходы, развиваемые в современной математике, в конечном счёте, ничего кардинально не меняют в исторически сложившемся понимании математики как строгой и дедуктивной научной дисциплины, принципиально исключающей эмпирический аспект. Определённые соображения социокультурного характера, привлекаемые в диссертационном исследовании, как представляется, только уточняют, и, следовательно, укрепляют позиции математического априоризма.

В настоящем диссертационном исследовании методологически строго осуществляется разграничение эвристических, строгих, а также формализованных математических методов, совместное существование которых имеет место на каждом историческом этапе развития математики.

Методологически важно, что применение концепции неявного знания как базовой для данной работы позволяет добиться совпадения внутренней логики исторического развития математического знания и логики рациональной реконструкции этой истории при условии учёта указанных здесь ранее теоретико-методологических предпосылок. Такой подход и делает возможным, в конечном счёте, достижение основных целей настоящего исследования.

Все, раскрытые выше, теоретико-методологические предпосылки уточнялись и детализировались в настоящем диссертационном исследовании по мере необходимости.

Диссертация имеет эмпирическую основу, которой в данном случае является компендиум оригинальных философских, историко-математических и математических текстов, исследование которых и послужило основным источником идей диссертационной концепции.

Научная новизна диссертационного исследования в основном связана с применением понятия неявного знания в качестве основного методологического инструмента. В настоящем диссертационном исследовании:

1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Установлено, что личностно-индивидуальный комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.

2. Определено, что основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифицируемостъ, то есть неопределяемостъ в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории, а также такую специфику их взаимосвязей с обоснованными элементами математической теории, которая, при уточнении доказательств не нарушает их герметичности, то есть генетической взаимосвязи с личностно-индимвидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

3. Показано, что математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации), а при историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.

4. Показано, что неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Обосновывается то положение, что повышение уровня строгости математического рассуждения устраняет неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. Выявлено, что в классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также актуальная бесконечность.

5. Обосновывается положение, что интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле, могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат конституирования необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.

6. Установлено, что необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.

7. Показано, что строгость и надёжность как две характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные (априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.

8. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует её практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики.

9. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.

10. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Обосновано, что классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. При этом выяснено, что указанные особенности программ обоснования математики не противоречат её дедуктивной специфике, и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.

Все выводы по теоретической и практической значимости настоящего диссертационного исследования связаны с дальнейшим осмыслением и развитием применения концепции неявного знания к математической науке в теоретико-познавательном и методологическом аспекте.

Важное теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие важнейшую роль неявного знания в развитии математики в рамках аксиоматического типа мышления как на стадии формирования нового знания, содержащего развитый неявно-интуитивный компонент, так и на стадии обоснования и экспликации этого нового знания. Суть обоснования и экспликации в математике в рамках диссертационного подхода должна рассматриваться как вытеснение неявных элементов из математических доказательств и теоретических оснований.

На основе результатов диссертационного исследования необходимо заключить, что математическое знание в своём становлении проходит многоэтапную историческую эволюцию: от неявного неосознаваемого знания на этапе математического открытия, далее через ряд исторических трансформаций — к знанию явному как строгому алгоритму или обратимой процедуре. При этом неявно-интуитивный элемент математической теории неуклонно уменьшается, что особенно заметно становится на этапе алгоритмизации, однако как таковой этот неявно-интуитивный элемент не может быть элиминирован из математической теории полностью. Представляется, что, независимо от исторической перспективы, потенциал повышения уровня строгости в математике исчерпан, но, вместе с тем, адекватен её практическому применению и перспективам её дальнейшего развития. Это позволяет сделать важнейший практический вывод о надёжности современной математики, несмотря на ограниченность формально-теоретической экспликации её оснований.

Проблема понимания приобретает особую практическую важность в связи с исследованиями в области искусственного интеллекта. Представляется, что важнейшее практическое значение в этом плане может иметь подтверждение в диссертационном исследовании тезиса о том, что «человеческое математическое понимание несводимо к вычислительным механизмам»1. Это значит, что понятия интеллекта и искусственного интеллекта никогда не станут тождественно верными, какими бы успехами не сопровождались научно-теоретические и технические исследования в области искусственного интеллекта. В исторической перспективе, при качественно более высоком уровне развития компьютерных технологий, когда на повестку дня будет поставлен вопрос о возможности замены человека компьютером, непреодолимая существенная разница между этими понятиями станет принципиальной.

1 Пенроуз Р. Тени разума:в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. - Москва-Ижевск; Институт компьютерных исследований, 2003.-С. 320-321.

Необходимо признать, что выводы диссертационного исследования в определённой степени корректируют позиции математического эмпиризма, а также социокультурной философии математики. Диссертационный вывод, согласно которому только при условии априорности оснований математики рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной социокультурной традиции человечества, обусловливает важнейшее социокультурное значение исследований в области философии математики, в частности, изучение оснований этой науки. Полученные выводы доказывают, что концепция неявного знания не только связана с идеей априоризма оснований математики, но и в целом не разрушает математического дедуктивизма как такового.

На основе диссертационных выводов можно заключить, что никакие социокультурные институты передачи знаний и опыта, из структуры которых устранена личность преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт» в широком смысле слова, накопленный цивилизацией за время своего исторического развития, никогда не будут достаточно эффективными. При этом необходимым является синергийное взаимодействие личностно-индивидуальных комплексов неявного знания преподавателя и его учеников.

В данном исследовании продемонстрировано, что применение неявного знания в качестве методологического инструмента философско-научного исследования имеет неплохие перспективы. В качестве конкретных примеров применения неявного знания в этом аспекте рассмотрена историческая эволюция математического метода интерпретаций и историческое обоснование основной теоремы алгебры.

Выводы, полученные в диссертационном исследовании, позволяют теоретически уточнить представления о природе научного знания в рамках определённой тенденции, сложившейся в последнее десятилетие в отечественной теории познания и философии науки. Сегодня необходимо признать, что неявное знание - это неотъемлемый элемент научной теории, обеспечивающий понимание этой научной теории конкретным субъектом познания, обусловливающий ограниченность формализации её оснований, и, в конечном счёте, существенно ограничивающий претензии научно-теоретического разума на познание абсолютной истины.

Материалы диссертации могут использоваться в высшей школе при разработке специальных курсов для студентов и аспирантов по вопросам теории познания, философии науки и методологии математики.

Заключение диссертации по теме «Онтология и теория познания», Султанова, Линера Байраковна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем Заключении обобщены и пояснены основные выводы по диссертационной теме «Роль неявного знания в развитии математики», полученные при гносеологическом и методологическом исследовании вопросов становления и обоснования математического знания с учётом концепции неявного знания, а также намечены возможные перспективы дальнейшей работы над вопросами диссертационной темы.

Основные проблемы диссертационного исследования разрабатывались в рамках неклассической антипозитивистской философской установки, поскольку только таковая допускает принципиальную возможность исследования роли неявного знания в развитии математики и обобщение результатов этого исследования в общенаучном плане. К основным диссертационным выводам необходимо отнести следующие:

1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуалъного комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуалъного комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Личностно-индивидуальный комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.

2. Основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифицируемость, то есть неопределяемостъ в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории, а также такую специфику их взаимосвязей с обоснованными элементами математической теории, которая, при уточнении доказательств не нарушает их герметичности, то есть генетической взаимосвязи с личностно-индимвидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

3. Посредством применения концепции исторической эволюции математического знания, предполагающей исследование его развития от этапа неявной эвристики до этапа строгого алгоритма или обратимой процедуры, было установлено, что математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации). При историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.

4. Неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Обосновывается то положение, что повышение уровня строгости математического рассуждения устраняет неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. Показано, что в классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также актуальная бесконечность.

5. Интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле, могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат конституирования необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.

6. Априорные предпосылки математики: 1) генетически связаны с неявным знанием, поскольку элементы личностно-индивидуального комплекса неявного знания могут формироваться только на базе априорных онто-гносеологических, то есть метафизических предпосылок; 2) в математической теории применяются без доказательства, поэтому связи априорных оснований с математической теорией неявны, что методологически сближает таковые с неявным знанием; 3) имеют двойственный характер, поскольку применяются как в рамках онто-гносеологического контекста, то есть в рамках интуитивного математического мышления, так и в рамках формальной теории. Только при условии априорности математических оснований рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной исторической деятельности человечества.

7. Необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Познание как формирование знания, которое конкретный субъект может применять на практике и транслировать далее, развивать, будет максимально эффективным только при условии наличия личности преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт», накопленный цивилизацией за время своего исторического развития. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.

8. В истории математики строгость и надёжность как характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные {априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.

9. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует её практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики. Такая ситуация в развитии математики посредством теорем К. Геделя зафиксирована в программе математического формализма, разработанной в Д. Гильбертом в начале двадцатого столетия. Вследствие этого уровень строгости обоснования оснований, достигнутый в современной математике, должен быть признан математически непроблематичным. С учётом системного подхода и принципа герметичности математических доказательств в рамках конкретных априорных оснований представляется, что уровень строгости современной математики практически стабилизировался и наиболее близок к идеалу декартова дедуктивизма.

10. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.

11. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. Однако указанные особенности программ обоснования математики не противоречат её дедуктивной специфике, и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.

12. Даже при проведении математической формализации, когда можно абстрагироваться от смысла математических символов, практически невозможно отвлечься от необходимости понимания своих действий по интерпретации этих символов, и, следовательно, от опыта, обеспечивающего возможность такой интерпретации, а также от интуиции, на основе которой формируется этот «опыт» в самом широком смысле, проникающий в научно-теоретическое знание в виде скрытых, неявных предпосылок.

13. Знание как в индивидуально-личностном, так и в научно-теоретическом аспекте необходимо рассматривать как диалектическое единство явного и неявного знания, а любое конкретное понятие, входящее в систему явного знания, которым обладает личность, должно быть взаимосвязано не только с явным знанием этой личности, но и с её личностно-индивидуальным комплексом неявного знания.

Список литературы диссертационного исследования доктор философских наук Султанова, Линера Байраковна, 2005 год

1. Абрамова Н. Т. Ценности образования, новые технологии и неявные формы знания// Вопросы философии, 1998, № 6. С. 58-65.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970 - 152 с.

3. Аршинов В. И., Свирский Я. И. Философия самоорганизации: новые горизонты // Эпистемология и постнеклассическая наука. М.: ИФРАН. - С. 3-26.

4. Аршинов В. И. Синергетика как феномен постнеклассической науки. Автореферат диссертации доктор наук. М.: ИФРАН, 1999. - 48 с.

5. Аршинов В. И. Синергетика как феномен постнеклассической науки. М.: ИФ РАН, 1999.-203 с.

6. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Изд-во «Мысль», 1965. - 312 с.

7. Барабашев А. Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М: изд-во МГУ, 1991- 157 с.

8. Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: изд-во МГУ, 1981. - 216 с.

9. Беляев Е. А., Киселёва Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М.: изд-во МГУ, 1975. - 112 с.

10. Ю.Бердяев Н. А. Философия свободы. Часть 1// Философия свободы. Харьков: «Фолио», Москва: «АСТ». 2002. - С. 29-136.11 .Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус-К, 1997. 400 с.

11. Б. В. Бирюков, В. Н. Тростников. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 232 с.

12. Больцано Б. Парадоксы бесконечного// Парадоксы бесконечного. Минск: Издатель Ильин В. П. 2000. - С. 75-196.

13. Будущее искусственного интеллекта. -М.: «Наука», 1991. 302 с.

14. Бунге М. Интуиция и наука. М.: Прогресс, 1967. — 187 с.

15. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: изд-во иностр. лит., 1963. -291 с.

16. Бэкон Ф. Сочинения в двух т. -2-е изд. М.: Мысль, 1978. - 556 с.

17. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука. -М.: Физматгиз, 1959.-459 с.

18. Вартофский М. Эвристическая роль метафизики в науке// Структура и развитие науки. М.: «Прогресс», 1978. - 487 с.

19. Васильев А. Роль профессора Вейерштрасса в современном развитии математики. Казань, 1885.

20. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

21. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. -М.: Наука, 1966.-467 с.

22. Винер Н. Кибернетика. М.: Советское радио, 1958. — 215 с.

23. Витгенштейн JI. Замечания по основаниям математики// Витгенштейн JL Философские работы. 4.II, кн. 1. М.: Гнозис, 1994. - 206 с.

24. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. M.-JL: ОНТИ, * 1936.-96 с.

25. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ГТТИ, 1948. - 491 с.

26. Гильберт Д. Основания математики // Избранные труды. Т. 1. М.: Факториал, 1998.-С. 399-465.

27. Гуссерль Э. Феноменология внутреннего сознания времени// Собрание сочинений. Т. 1. -М.: Гнозис, 1994. 162 с.

28. Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. М.: Лабиринт, 1994. - 108 с.

29. Гуссерль Э. Кризис европейского человечества и философия// Логические исследования. -Мн.: Харвест, М.: «АСТ», 2000. С. 625-666.31 .ГуссерльЭ. Логические исследования//Логические исследования Мн.: Харвест, М.: «АСТ», 2000. С. 5-288.

30. Горанзон Бу. Практический интеллект. Вопросы философии. М.: «Наука», 1998.-№6.-С. 66-78.

31. Декарт Р. Геометрия. -М.-Л.: ГОНГИ, 1938.-294 с.

32. Декарт Р. Рассуждение о методе // Соч. в двух тт. Т. 1. М.: Мысль, 1989. - С. 250-296.

33. Декарт Р. Правила для руководства ума// Соч. в двух тт. Т. 1. М.: Мысль, 1989.- С. 77-154.

34. Дубровский Д. И. Обман. Философско-психологический анализ. М.: Рэй, 1994.

35. Джеймс У. Введение в философию; Рассел Б. Проблемы философии. М.: Республика, 2000. - 315 с.

36. Зенкин А. А. Ошибка Г. Кантора // Вопросы философии. М.: Наука, 2000. -№2.-С. 45 -48.

37. Ивс Г., Ньюсом К. В. О математической логике и философии математики. -М.: Знание, 1968.-48 с.

38. Ильясов И. И. Система эвристических приёмов решения задач. М.: изд. Российского открытого университета, 1992. - 140 с.

39. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Т. 2. Математика XVII столетия. М.: Наука, 1970. — 299 с.

40. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Т. 3. Математика XVIII столетия. -М.: Наука, 1972. С. 249.

41. Кант И. Критика чистого разума. Симферополь: Реноме, 1998. - 528 с.

42. Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1998. - 654 с.

43. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука// Трактаты. С.- Пб.: Наука, 1996. - С. 157-258.

44. Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М.: Наука, 1993. - 141 с.

45. Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999. — 207 с.

46. Катасонов В. Н. Лестница на небо. Генезис теории множеств Г. Кантора и проблема границ науки// Границы науки. РАН. Институт философии; Отв. ред. Л. А. Марков. М.: ИФ РАН, 2000.

47. Китчер Ф. Математический натурализм// Методологический анализ оснований математики. М., 1989.

48. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984. - 434 с.

49. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. - 295 с.

50. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: «Наука», 1989.-453 с.

51. Князева Е. Н. Как возможно освобождение от мифов классической науки? // Эпистемология и постнеклассическая наука. М.: изд-во ИФРАН, 1992. - С. 54 - 68.

52. Козлова М. С. Проблема оснований математики // Витгеншейн Л. Философские работы. Часть И. Книга I. М.: Гнозис, 1994. - С. VII - XXX.

53. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. — М.: «Наука», 1991. 223 с.

54. Кричевец А. Н. Априорность и адаптивность. — М.: Российское психологическое общество, 1998. 130 с.

55. Круглов А. Н. О происхождении априорных представлений у И. Канта // Вопросы философии. -М.: Наука, 1998. -№ 10. С. 126-130.

56. Котарбиньский Т. Об умозаключении// Элементы теории познания, формальной логики и методологии наук. Биробиджан: ИП «Тривиум», 2000. -158 с.

57. Кузанский Н. Об учёном незнании // Сочинения в 2-х томах. Т. 1. М.: Мысль, 1979. - С. 147-184.

58. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. — М.: Педагогика, 1970. 231 с.

59. Кун Т. Структура научных революций. // Структура научных революций. М.: «АСТ», 2001.-С. 9-268.

60. Лакатос И. Доказательства и опровержения. -М.: Наука, 1967. 152 с.

61. Лакатос И. История науки и её рациональные реконструкции // Структура научных революций. М.: «АСТ», 2001. - С.455-524.

62. Лахтин Л. К. О жизни и научных трудах Н. И. Лобачевского. Отд. отт. Из «Учёных записок Императорского Юрьевского Университета», 1893. № 1. -20 с.

63. Левин В. И. Рамануджан математический гений Индии. - М.: Наука, 1968. -47 с.

64. Лейбниц Г. Ф. Сочинения в 4-х томах. Т. 2. -М.: Мысль, 1983. 686 с.

65. Лекторский В. А. Эпистемология классическая и неклассическая. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 255 с.

66. Лосский Н. О. Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция. М.: Терра-книжный клуб, изд-во «Республика». 1999. - 408 с.

67. Малкей М. Наука и социология знания. М.: Прогресс, 1983. - 256 с.

68. Мамардашвили М. К. Классический и неклассический идеалы рациональности. Тбилиси, 1984. - 82 с.71 .Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. - 207 с.

69. Математика и практика; Математика и культура. (Сборник статей) М: Редакция журнала «Самообразование» и МФ :Семигор», 2000. - 200с.

70. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - 1200 с.

71. Математическая энциклопедия. Т. 1. -М.: Сов. Энциклопедия, 1977. 1151 с.

72. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1982. - 1183 с.

73. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия. 1985. - 1247 с.

74. Методологические проблемы развития и применения математики. — М.: Центр, совет философских методологических семинаров при Президиуме АН СССР, 1985.-208 с.

75. Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988 - 175 с.

76. Мерло-Понти М. Феноменология восприятия. — С.- Пб: «Ювента» «Наука», 1999.-605 с.

77. Микешина Л. А. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. -М.: Прометей МГПИ им. В. И. Ленина, 1999. 208 с.

78. Микешина Л. А. Опёнков Г. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997.-238 с.

79. Мичи Д., Джонстон Р. Компьютер творец. - М.: Мир, 1987. - 255 с.

80. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. - 303 с.

81. Мулуд Н. Современный структурализм. М.: Прогресс, 1973. - 380 с.

82. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. - 399 с.

83. Панов М.И. Интуиция в математическом познании // Философские методологические семинары. М.: Наука, 1984. - С. 300-318.

84. Панов М. И. Методологические проблемы интуиционистской математики. — М.: Наука, 1984.-224 с.

85. Патнэм X. Разум, истина и история. М.: Праксис, 2002. - 296 с.

86. Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 368 с.

87. Перминов В. Я. Проблема обоснования математики с системной точки зрения // Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989.-С. 141- 156.

88. Перминов В.Я. Развитие представлений о надёжности математического доказательства. М.: изд-во МГУ, 1986. - 239 с.

89. Перминов В. Я. Об аргументах Л. Брауэра против закона исключённого третьего // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. -М.: Янус-К, 1997.- С. 199-221.

90. Перминов В.Я. О природе доказательного мышления в догреческую эпоху развития математики // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 2 (37). М.: Янус-К, 1997. - С. 180-199.

91. Перминов В. Я. Ложные претензии социокультурной философии науки // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А. Г. Барабашева. СПб.: РХГИ. 1999. - С. 235-253.

92. Перминов В. Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.

93. Петросян В. К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0. М.: Янус-К, 1997. 144 с.

94. Пиаже. Ж. Генетическая эпистемология //Вопросы философии. М.: Наука, 1993. №5.-С. 54-63.

95. Пиаже Ж. Генезис числа у ребёнка //Избранные психологические труды. М.: Международная педагогическая академия, 1994. - С. 237-582.

96. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1957. - 535 с.

97. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. - 206 с.

98. Полани М. Личностное знание. М.: Прогресс, 1985. - 344 с.

99. Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983. - 605 с. ЮЗ.Поппер К. Объективное знание. Эволюционный подход. - М.: Эдиториал1. УРСС, 2002.-384 с.

100. Поппер К. Все люди философы: Как я понимаю философию; Иммануил Кант - философ Просвещения. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 56 с.

101. Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М., 1994.-222 с.

102. Пуанкаре А. О природе математических доказательств // Сборник научно-популярных статей Пуанкаре, Гельмгольца, Кронекера и др. по основаниям арифметики. Казань, 1906.

103. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. - 736 с.

104. Райл Г. Понятие сознания. М.: Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999. - 406 с.

105. Рассел Б. Исследование значения и истины. М.: Идея-Пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999. - 400 с.

106. Ю.Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: Водолей, 1999. - 192 с.

107. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977. - 365 с.

108. Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. -М.: Наука, 2003.-211 с.

109. Розов М. А. Наука как традиция // B.C. Стёпин, В.Г. Горохов, М.А. Розов. Философия науки и техники. Учебное пособие. М.: Гардарика, 1996. - С. 70 -190.

110. Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука, 1983.-302 с.

111. Рузавин Г. И. Об особенностях научных революций в математике// Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989. -С. 180-193.

112. Рыбников К. А. История математики. М.: изд-во МГУ, 1974. - 455 с.

113. Серебрянников О. Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. — М.: Наука, 1970.-283 с.

114. Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб.: РХГИ, 1999. - 552 с.

115. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. - 256 с.

116. Стяжкин Н. И. Становление идей математической логики. М.: Наука, 1964. - 304 с.

117. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. -508 с.

118. Султанова JI. Б. Неформальная рационализация в математике (монография в виде учебного пособия). Уфа: изд-во УГНТУ, 2001. - 194 с.

119. Тулмин С. Человеческое понимание. -М.: Прогресс, 1984. 328 с.

120. Уайтхед А. Наука и современный мир //Избранные работы по философии. -М.: Прогресс, 1990. С. 56-271.

121. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. 111 с.

122. Успенский В. А. Семь размышлений на темы философии математики //Закономерности развития современной математики: методологические аспекты. -М.: Наука, 1987.

123. Священник Павел Флоренский. Сочинения в четырёх томах. Т.1. Философское наследие. М.: Мысль, 1994. - С. 79-128.

124. Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск: Водолей, 2000. - 128 с.

125. Философско-религиозные истоки науки. -М.:Мартис, 1997.- 319 с. ИО.Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М.: Прогресс,1980.-448 с.

126. Холтон Дж. Тематический анализ науки. М.: Прогресс, 1981. - 383 с.

127. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ГТТИ, 1938.-230 с.

128. Цейтен Г. Г. Исследование по конструктивному анализу (конструирование вещественного числа и точечно-определённые функции). Автореф. дисс. докт. филос. наук. JL, 1968.

129. Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия математики/ Под ред. В.В.Целищева. Новосибирск: Наука, 2001.

130. Чёрч А. Математика и логика // Математическая логика и её применения. — М.: Мир, 1965. С. 209-215.

131. Шпенглер О. Закат Европы. Ростов н/ Д: Феникс, 1998. - 640 с.

132. Эйнштейн А. Геометрия и опыт // Собр. науч. тр. в четырёх томах. Т. 2. М.: Наука, 1966. - С. 83-94.

133. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics// Amer. Math. Monthly. 1995. - Aug.-Sept. - P. 590-591.

134. Hersh R. What is mathematics, really. N.Y.: Oxford UP, 1997. Review in: Philosophy of Science. - V. 66, No 3. - P. 501, 502.

135. Putnam H. Philosophy of mathematics why nothing works? Putnam H. Words and life. - Harvard UP. - P. 499-512.141 .Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford Univ. Press, 1983.