Интуиционистская логика и теория множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.07, доктор философских наук Хаханян, Валерий Христофорович

• Хаханян, Валерий Христофорович
• доктор философских наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор философских наук Хаханян, Валерий Христофорович

1. Введение.

2. Глава 1. История развития теории множеств с интуиционистской логикой: метаматематика и философские аспекты.

3. Глава 2. Описание базисных теорий множеств с интуиционистской логикой и дополнительных постулатов конструктивного, интуиционистского и теоретико-множественного характера.

4. Глава 3. Свойства ординалов в интуиционистской теории множеств.

Интуиционистское доказательство совместности тезиса Чёрча с теорией множеств.

5. Глава 4. Соотношения дополнительных постулатов в базисных теориях множеств с интуиционистской логикой.

6. Глава 5. Независимость схемы собирания от принципа двойного дополнения множеств и vice versa в теории множеств с интуиционистской логикой.

7. Глава 6. О допустимости правила Маркова в теории множеств с интуиционистской логикой. Предикаты реализуемости для теории множеств с интуиционистской логикой.

8. Глава 7. Аксиома выбора в теории множеств с интуиционистской логикой.

9. Глава 8. Вариант теории множеств "New Foundations" Куайна с интуиционистской логикой.

Ю.Глава 9. Функциональные алгебраические модели для НА и теории множеств с интуиционистской логикой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интуиционистская логика и теория множеств»

Актуальность темы исследования Третий кризис в основаниях математики, порожденный созданием Г. Кантором в конце XIX века учения о множествах (теории множеств), вызвал бурный рост различного рода течений математической философской мысли, связанных в первую очередь с возможностью преодоления возникшего кризиса (ликвидацией различного рода парадоксов в теории множеств (и не только в теории множеств, но и в самой логике)), а во вторую очередь переосмыслением философских оснований всего математического здания, которое к тому времени имело, казалось бы, прочное основание. Известные предложения по преодолению создавшейся кризисной ситуации и сохранению всего математического знания, накопленного к тому времени, не имели полного, признаваемого всеми математиками того времени, успеха, однако эти попытки преодоления кризиса в основаниях математической науки дали могучий рост разных течений философской математической мысли, начиная от позиции формализованного подхода Д. Гильберта, Б. Рассела, Э. Цермело и заканчивая появлением такого интересного направления в основаниях математики, как интуиционизм Л. Брауэра.

Интуиционизм мыслился его создателем Л. Брауэром как полностью невозможное к формализации математическое знание, ибо в основу математической деятельности Л. Брауэр положил интуитивную ясность и точность математических определений и конструкций.

Однако интуиционистская математика, созданная Л. Брауэром, была недостаточно четким образованием (для сравнения приведем ситуацию, которая сложилась чуть позже в теории алгоритмов, когда стало ясным, что существуют неразрешимые проблемы и что для успешного решения такого рода задач необходимо было уточнить неформальное понятие алгоритма, что и было сделано различными эквивалентными способами). В 1930 г. один из последователей JI. Брауэра, А. Гейтинг, предложил формализацию трёх основных логических исчислений интуиционизма: интуиционистского исчисления высказываний IL, интуиционистского исчисления предикатов IPC и интуиционистской арифметики НА. Стало возможным изучать интуиционистскую математику с точки зрения теории доказательств (метаматематики) и её соотношение с классической математикой, т.е. математикой, применяющей полный закон исключённого третьего. Было доказано (с использованием негативной интерпретации К. Гёделя), что все три упомянутые исчисления получаются из их классических аналогов исключением полного закона снятия двойного отрицания (последнее не означает, что частные случаи этого закона не выводятся в том или ином виде в соответствующих интуиционистских исчислениях) и что классические исчисления и соответствующие их интуиционистские аналоги равнонепротиворечивы.

Дальнейшие исследования в области формализованной интуиционистской математики сосредоточились в первую очередь вокруг системы арифметики НА, которая рассматривалась как базисная система арифметики. Различные расширения НА, такие, как арифметика Пеано, традиционный конструктивизм А.А.Маркова-младшего, антитрадиционный конструктивизм, арифметика реализуемости и ряд других оказались непротиворечивыми относительно базисной системы арифметики НА. Каждая из этих формализованных теорий имела свою семантику, с которой НА оказалась согласована.

Во вторую очередь исследования коснулись математического анализа или теории действительного числа и здесь спектр рассматриваемых формализованных теорий оказался неизмеримо богаче арифметического. Обозрения работ в этой области можно найти в ряде монографий А, Г.

Драгалина, М. Бизона и периодических обзоров А. Трулстры, хотя полного изложения результатов исследований на данную тему не существует. Наконец, очередь дошла и до систем теории множеств.

Первые формализованные системы теории множеств, базирующиеся на интуиционистской логике, появляются в конце 60-х и начале 70-х годов

XX века. Здесь одними из первых необходимо отметить работы Дж.

Майхилла по интуиционистской теории типов и еще очень несовершенные, как бы наполовину бестиповые, теории множеств Л.

Тарпа и Л. Позгея. Основной пик исследований формализованных систем теорий множеств приходится на 1973 - 1990 г.г. Здесь нельзя оставить без внимания работы Х.Фридмана, А. Щедрова, Дж. Майхилла, посвященные интуиционистскому варианту ZF, работы Г.Шварца по интуиционистской теории типов; замечательные работы В.Поуэлла (в которой строится расширение интерпретации Гёделя для арифметики НА до уровня некоторой бестиповой системы теории множеств Цермело-Френкеля) и

Р.Грайсона (для интуиционистского варианта теории множеств со схемой

• н собирания (со11есйоп) строится V - гейтингозначный универсум над полной алгеброй Гейтинга Н). Полный перечень работ занял бы не одну страницу и здесь приведены наиболее важные и интересные работы.

Актуальность исследований по формализованным исчислениям с подлежащей интуиционистской логикой состоит в том, что такие исследования дают возможность получить богатый и тонкий спектр моделей с целью уточнения различных оттенков трактования эффективности в математике, выявить влияние интуиционистской логики (как наиболее глубоко исследованной на данный момент среди неклассических логик) на различное понимание таких фундаментальных математических объектов, как натуральные числа, действительные числа, функциии различного рода, множества и т.д. Для теории множеств трудность и актуальность такого рода исследований состоит в построении различного спектра моделей для универсума множеств, для понимания поведения и роли разного вида дополнительных, специфически как интуиционистских так и конструктивных, а также и чисто теоретико-множественных принципов, метаматематики их соотношений на уровне теории множеств (как правило, бестиповой).

Степень разработанности проблемы Как уже упоминалось в предыдущем разделе, первые работы в области теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой, появляются в конце 60-х и начале 70-х годов прошлого столетия. Здесь необходимо отметить исследования Дж. Майхилла и Г.Ф. Шварца по теории типов с интуиционистской логикой (эти исследования в определенной степени опираются на исследования по формализованному математическому анализу А. Трулстры (арифметика всех конечных типов), Дж. Московакис, А.Г. Драгалина, М. Д. Кроля, А. М. Левина, В.Г. Кановея, Е. Бишопа, школы исследователей-конструктивистов во главе с A.A. Марковым-младшим (Н.А.Шанин, Б.А. Кушнер, И.Д. Заславский, Г.С. Цейтин и ряд других), М. Бизона, Г. Крайзеля, И. Стаплса, С.К. Клини, Р. Весли, Б. Скарпеллини и др.). По теориям множеств полу бестиповым и полуинтуиционистским назовем уже упоминавшихся JI. Тарпа и JI. Позгея. По бестиповым теориям множеств с интуиционистской логикой типа Цермело-Френкеля (которые в основном и являются целью исследований автора диссертации) имеются исследования X. Фридмана (доказательство равнонепротиворечивости интуиционистского и классического вариантов теории множеств Цермело-Френкеля), А.Щедрова (интуиционистский вариант теории множеств, расширяющий систему формализованного анализа со схемой Крипке), В. Поуэлла (расширившего геделеву негативную интерпретацию на теорию множеств с принципом двойного дополнения множеств), Р. Грайсона (построившего для теории множеств со схемой собирания гейтингозначные модели) и ряда других авторов как в России, так и за рубежом. Все приведенные работы и ряд других, использованных в диссертации, цитируются в ней.

Цели и задачи исследования Основная цель работы заключается в том, чтобы предложить формализованный вариант бестиповой односортной теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой, который мог бы играть роль базисной теории множеств такого типа и был бы признаваем исследователями других направлений (классиками, интуиционистами, конструктивистами и т.д.) как нейтральный по отношению к развиваемым ими вариантам теории множеств. Это позволило бы также оценить влияние интуиционистской логики на бестиповые теории множеств. С этой целью в диссертации решается ряд следующих задач:

• исследование вопроса о совместности и независимости предлагаемого базисного варианта теории множеств с рядом конструктивных, интуиционистских и теоретико-множественных принципов, в том числе с некоторым вариантом стандартной аксиомы выбора;

• исследование свойств класса ординалов в предлагаемом варианте теории множеств с интуиционистской логикой;

• усиление ряда результатов (Р. Грайсона, X. Фридмана) для рассматриваемой системы теории множеств;

• построение для исследуемого базисного варианта теории множеств двух классов моделей, построенных ранее для интуиционистской арифметики А.Г. Драгалиным.

Также стояла задача предложить интуиционистский вариант для теории множеств Куайна «New Foundations» и исследовать вопрос о возможности погружения (интерпретации) классической теории Куайна в ее интуиционистский вариант.

Перечисленные выше задачи оказались тесно связанными между собой с точки зрения построения необходимых моделей и их решение дало возможность положительно ответить на основной вопрос исследования. Теоретико-методологические основания исследования Исследование обсуждаемых в диссертации проблем основано на построении ряда моделей для теории множеств с интуиционистской логикой, которые имеют в целом и общем по своей структуре характер универсума, чьё построение осуществляется с помощью трансфинитной индукции по ординалам (напомним, что метатеорией является в большинстве случаев та же теория множеств с интуиционистской логикой и таким образом классические свойства ординалов не используются). Универсумы такого вида строились ранее в работах Х.Фридмана, Дж. Майхилла, Л. Тарпа и ряда других исследователей. Однако в диссертации предлагается единый метод построения таких моделей (и целых классов моделей), который однако формализованного обобщения не имеет. Модели этого вида (и первую очередь их разновидность реализуемостного типа) дали возможность получить ряд метаматематических результатов для бестипового варианта теории множеств с интуиционистской логикой типа Цермело-Френкеля, которые не удавалось до сих пор получить (в сферу приложимости моделей такого вида попал даже интуиционистский вариант теории множеств Куайна «Новые основания»). Отметим также, что в диссертации самым непосредственным образом используются результаты, полученные в области исследования теории множеств с интуиционистской логикой Х.Фридманом, Дж. Майхиллом, А. Щедровым, В. Поуэллом.

Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту В диссертации строится ряд новых моделей для теории множеств с интуиционистской логикой, с помощью которых получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

1. Исследованы свойства класса ординалов в теории множеств с интуиционистской логикой.

2. Исследованы соотношения ряда дополнительных постулатов интуиционистского, конструктивного и теоретико-множественного характера в базисном варианте теории множеств с интуиционистской логикой.

3. Доказана независимость схемы собирания от принципа двойного дополнения множеств и обратно в теории множеств с подлежащей интуиционистской логикой.

4. Доказана допустимость правила Маркова с параметрами только по множествам в рассматриваемом варианте теории множеств; построены обобщенные модели типа предикатов реализуемости для теории множеств.,

5. Исследован ограниченный вариант аксиомы выбора в форме АС на вопрос ее совместности и независимости с теорией множеств с интуиционистской логикой.

6. Предложен интуиционистский вариант для классической теории множеств Куайна и доказана непротиворечивость классической № относитель но этого варианта.

7. Построен класс функциональных алгебраических моделей для интуиционистской теории множеств с принципом двойного дополнения множеств и доказана теорема о корректности для этого класса моделей; доказано, что штрих-реализуемость Клини не является функциональной алгебраической моделью для арифметики НА.

8. Как итог всех полученных результатов, предложен вариант аксиоматической базисной системы теории множеств с интуиционистской логикой, как удовлетворяющий большинству естественных требований к такому варианту со стороны исследователей различных направлений в основаниях математики (предварительно изложена история развития формализованных интуиционистских теорий множеств за все время их существования и основные результаты в этой области за последние 30 лет).

Теоретическое и практическое значение диссертации Примененные в диссертации методы построения моделей для теории множеств с интуиционистской логикой могут найти практическое применение у специалистов по логике в области решения проблем построения моделей для формализованных исчислений высокого порядка. Полученные в работе результаты могут быть использованы при создании новых курсов по логике (по теории множеств с неклассической логикой), составить содержание ряда специальных курсов для студентов, специализирующихся по данной тематике.

Апробация работы Все основные результаты диссертации были доложены на ряде международных Конгрессов по логике, методологии и философии науки (YII (1983), (только опубликованы тезисы),YIII (1987), IX (1991), (только опубликованы тезисы), X (1995), XI (1999), XII (2003) (только опубликованы тезисы)), на ряде международных конференций Logic Colloquium (1998, 2001, 2002, 2003), на международной конференции 5-th Kurt Godel Colloquium (1997), на ряде всесоюзных и всероссийских конференций по математической логике (1979,1982,1984,1986,1988,1991, 1993,1995 и др.), на ряде зарубежных конференций по математической логике (1988,1990,1993, 1996 и др.), на научно-исследовательском семинаре им. А.А. Маркова кафедры математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета МГУ под руководством академика С.И. Адяна и профессора В.А. Успенского (2002), на заседании семинара сектора логики ИФРАН под руководством докторов философских наук В.А. Смирнова, Е.Д.

Смирновой и A.C. Карпенко (1990-2003), на семинаре кафедры логики философского факультета МГУ под руководством профессора Е.Д. Смирновой (2004), на заседании семинара кафедры алгебры УрГУ под руководством профессора Ю.М.Важенина (1997), на семинаре отдела алгебры Уральского отделения МИР АН (1997).

Структура диссертации Диссертация состоит из Введения, девяти Глав, Заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Логика», Хаханян, Валерий Христофорович

В заключение сделаем некоторые выводы из рассмотренного выше материала. Открытие Г. Кантора [17] оформилось в отдельную ветвь математической науки во второй половине XIX века. К концу XIX и началу XX века теория множеств стала широко применяться сначала в анализе и геометрии, а затем и в отдельных разделах математики. Однако едва завершилось оформление учения о множествах Кантора, как оно натолкнулось на ряд противоречий (Бурали-Форти - 1895г., Рассел -1902г.). При этом сама логика оказалась в опасном положении и проблема обоснования логики и математики вновь стала поистине сверхактуальной. Многие математики резко изменили свою позицию по отношению к теории множеств (А. Пуанкаре). Наступил третий кризис в основаниях математики. Были предложены различные возможные варианты выхода из этого кризиса. Одним их таких выходов стало создание аксиоматической системы теории множеств, устраняющей неограниченную схему свёртки (аксиоматическая система теории множеств сначала Цермело [129], а затем - Цермело-Френкеля, см. [69]. Стандартной моделью такой аксиоматической системы теории множеств может служить кумулятивная иерархия.

С другой стороны, Л.Я. Брауэр предложил положить в основу математической деятельности интуитивную ясность математических конструкций и определений. А. Гейтинг дал соединённое начало этих двух направлений (формализма и интуитивной ясности) в 1930 году, что в итоге привело к созданию аксиоматической системы теории множеств, основанной на интуиционистской логике. Однако желаемого выхода так найдено и не было и ни одна из казавшихся наиболее оптимистичными программ (например, программа Д. Гильберта) в целом не привели к успеху

2-я теорема Гёделя и другие причины). В итоге ситуация так и не была выправлена. В [30] у крупнейших специалистов в области оснований математики мы читаем (стр. 416): "Во взглядах на то, каким образом можно было бы достигнуть удовлетворительного обоснования, все еще имеется большое расхождение и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказывается считать, что идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то, что основания теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще". Первая часть этого вывода ".к реабилитации теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом объеме." кажется мне излишне оптимистичной, также как и возможность полного пересмотра интерпретации логики и математики, так как никаких удачных идей такого пересмотра (и направлений) пока даже не просматривается. Тем не менее уже нашло себе место направление, заключающееся в более или менее локальной формализации той или иной части (раздела) математики и изучении с определенной метаматематической и философской точки зрения этой части (раздела), причем последняя (метаматематика) является более или менее делом привычки и вкуса взглядов того или иного исследователя. Взаимоотношение различных метаматематических разделов также может изучаться с формальной точки зрения (то есть возникает метаматематика формализованных систем метаматематик). Именно такая ситуация имеет сейчас место в большинстве исследований по основаниям математики и именно с этой точки зрения и стояла задача создания такой системы теории множеств на базе интуиционистской логики, которая, напомним это кратко еще раз, была бы: а) достаточно мощной, не слабее классической теории множеств Цермело-Френкеля; б) достаточно эффективной, например, обладающей свойством полной экзистенциальности, и в которой были бы допустимы разные эффективные правила, например Черча, Маркова и другие.; в) эта система теории множеств должна была бы быть приемлемой с различных точек зрения, то есть допускать расширения до различных, может быть несовместных друг с другом, вариантов теории множеств (классическое расширение до теории ZF, конструктивное в стиле Майхилла до конструктивной теории множеств CST, интуиционистское до теорий множеств с различными оттенками понимания эффективности и т.д.).

Последний пункт говорит о базисности такой аксиоматической системы теории множеств, основанной на интуиционистской логике предикатов. Целью исследований в создании такой базисной системы теории множеств, основанной на интуиционистской логике, может служить описанная выше аксиоматическая система ZFIR + DCS, как обладающая всеми отмеченными свойствами. Это основной философский вывод моих исследований в области теории множеств с интуиционистской логикой, подкрепленный математическими результатами ряда работ последнего тридцатилетия. Отметим также, что наиболее трудной и нерешённой проблемой в исследованиях по аксиоматической системе теории множеств остается следующая, см. [73] (после, естественно, проблемы построения модели для аксиоматической системы теории множеств NF Куайна): возможна ли интерпретация системы ZFIR + DCS (или системы ZFIC или классической теории множеств ZF) в системе ZFIR? Выше было У'-"" обещано дать набросок решения этой проблемы и сейчас это будет сделано.

Система ZFIC является системой теории множеств, равнонепротиворечивой с системами ZFIR + DCS и ZF (так как вторая система легко интерпретируется в третьей, а третья в первой (упоминавшийся результат Фридмана)). Поэтому будем строить интерпретацию первой системы теории множеств ZFIC в ZFIR. Предположим, что в последней теории множеств нам удалось построить (т.е. выразить) систему функций на множествах (это самое тонкое место - вопрос о существовании системы функций со свойствами, описанными ниже), м.б. счётную, которая обладает следующими свойствами: а) система функций допускает кодировку множествами и существует универсальная функция для данной системы функций; >а. б) система функций содержит некоторые стандартные функции на множествах (например, тождественную функцию, функции-константы, гёделевы конструктивные функции и т.д.); в) при ограничении аргументов натуральными числами или ординалами получаются системы функций с теми же свойствами на натуральных числах (частично-рекурсивные) или на ординалах; г) для данной системы функций имеется некоторый аналог s-m-n-теоремы для частично-рекурсивных функций на натуральных числах.

Системы функций такого рода выразимы (т.е. теорию таких систем функций можно развить) в классической ZF (см. [86] и ссылки на работы из [86]). Однако в интуиционистской ZFIR будут ли выразимы системы функций на множествах со свойствами а) - г)?

Главная тонкость в том, что при построении такой системы функций и доказательстве свойств а) — г) не должен использоваться полный закон искючённого третьего (см. [86]). Такая система функций позволила бы интерпретировать все аксиомы и схемы аксиом системы теории множеств ZFIC как система «реализующих» функций при оценках (см. определение реализуемости формулы при оценках для системы теории множеств ZFI2). В этом случае схема аксиом собирания могла бы быть «реализуема» следующим образом с использованием внешним образом только схемы аксиом подстановки, т.е. стала бы возможной интепретация теории ZFIC в теории ZFIR: е(код функции), g: ю—»V (достаточно только одной оценнки), УхеаЗуф(х,у) -> ЗВ УхеаЗуеВф(х,у) - схема аксиом собирания). Такую конструкцию нужно получить. Предположим, что К(к^, УхеаЗуф(х,у)), то есть функция к «реализует» посылку схемы собирания. Имеем для всякого множества х из аеУ, !к(х) = < 1,у > так, что К(1^пу, ф(х,)) и тогда нужное В и «реализующая» заключение схемы функция могут быть получены с помощью схемы подстановки из функции к («реализация» посылки), что и доказывало бы «реализуемость» схемы и, следовательно, интерпретируемость ZFIC в ZFIR, т.е. доказывало бы непротиворечивость первой системы теории множеств относительно второй.

Список литературы диссертационного исследования доктор философских наук Хаханян, Валерий Христофорович, 2004 год

1. Анисов A.M. Представление интенсиональных отношений в теориимножеств с атомами. Труды научно-исследовательского семинара логического центра ИФРАН 1997, М., 1998, С. 27-34.

2. Бирюков Б.В. Герман Вейль и методологические проблемы науки.

3. В кн.: Герман Вейль и симметрия. М., Наука, 1968, С. 174-191.

4. Бочаров В.А., Войшвилло Е.К., Драгалин А.Г., Смирнов В.А.

5. Некоторые проблемы развития логики. Вопросы философии, № 6, 1979, С. 102.

6. Васюков В.Л., Карпенко A.C. Связь импликации Лукасевича с импликацией Гейтинга.Семиотические аспекты формализации интеллектуальной деятельности. М., 1988, С. 79.

7. Войшвилло Е.К., Маркин В.И. Философское и методологическое значение логики. Вопросы философии, № 2, 1988, С. 89-94.

8. Гавриленко Ю. О допустимости правила Маркова в интуиционистской арифметике. В кн.: II Советско-финский коллоквиум, 1979, С. 12-15.

9. Гейтинг.А. Интуиционизм. М., Мир, 1965, 200 С.

10. Гудстейн Р. Рекурсивный математический анализ. М., Наука,1970,470 С.

11. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теориюдоказательств. М., Мир, 1979, 256 С.

12. Драгалин А.Г. Новые виды реализуемости и правило Маркова.

13. ДАН СССР, т.251, № 3, С.534-537.

14. Драгалин А.Г. Функциональные алгебраические модели. В кн.:

15. Семиотика и информатика, XIII выпуск, М., ВИНИТИ, 1979, С. 184-195.

16. Драгалин А.Г. Алгебраический подход к анализу моделей нестандартных логик. В кн.: Семиотика и информатика, XII выпуск, М., ВИНИТИ, 1979, С. 53-56.

17. Драгалин А.Г. К обоснованию принципа конструктивного подбора

18. А.А.Маркова. ДАН СССР, т. 177, 1967, С. 13-16.

19. Драгалин А.Г. Конструктивные модели теорий интуиционистскихпоследовательностей выбора. В кн.: Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., Наука, 1974, С.214-252.

20. Ивлев Ю.В. Место логики в методологии научного познания.

21. Методология развития научного знания. М., 1982, С.25-34.

22. Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности.1. М., Наука, 1984.

23. Кантор Г. Теория множеств. М., Наука, 1985, 432 С.

24. Клини С., Весли Р. Основания интуиционистской математики.1. М., Наука, 1978, 272 С.

25. Кроль М. К топологическим моделям интуиционистскогоанализа. Один контрпример. Матем. заметки, 1976, т.19, №6, С. 859-862.

26. Кроль М. Дизъюнктивное и экзистенциальное свойствоинтуиционистского анализа со схемой Крипке. ДАН СССР, 1977, т.234, № 4, С. 750-753.

27. Кроль М.Д. Различные формы принципа непрерывности. ДАН

28. СССР, т.271, № 1, 1983, С.33-36.

29. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическомуанализу. М., Наука, 1973, 448 С.

30. Маркин В.И. Семантическое доказательство погружаемости некоторых систем силлогистики в исчисление предикатов. В кн.: Логические исследования, М., 1983, С. 17-26.

31. Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. М., Мир,1975, 136 С.

32. Новиков П.С. On the consistency of certain logical calculus.

33. Матем. сборник, № 12(54), 1943, С. 231-261.

34. Попов В.М. Погружение импликативного фрагмента классическойлогики в импликативный фрагмент интуиционистской. В кн.: Логические исследования. Выпуск 7. М., Наука, 2000, С. 80-83.

35. РЖ «Математика», №5, 1979, 5А59.

36. Смирнов В.А. Является ли классическая формальная логика универсальной? Тезисы докладов Первой научной конференции кафедр общественных наук Томского политехнического ин-та. Томск, 1958, С. 35-38.

37. Смирнова Е.Д. Философское значение теорем об ограниченности формализмов. Философские вопросы логического анализа научного знания. Ереван, 1974

38. Френкель А. Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., Мир,1966, С. 416.

39. Хаханян В.Х. Модели интуиционистской теории множеств. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 1982, 80 С.

40. Куайна NF. Математика и информатика в модернизации современного гуманитарного образования. Изд-во Урал. Гум.Ун-та, Екатеринбург, 2003, С.32-34.

41. Хаханян В.Х. Независимость аксиомы «collection» от принципа

42. DC» в интуиционистской теории множеств. Известия ВУЗов, сер. «Математика», № 2, 1993, С.81-83.

43. Хаханян В.Х. Теория множеств и тезис Чёрча. В кн.: Исследованияпо неклассическим логикам и формальным системам. М., Наука, 1983, С. 198-208.

44. Хаханян В.Х. Независимость принципа двойного дополнениямножеств от схемы собирания в теории множеств с интуиционистской логикой. В кн.: Логические исследования. Выпуск 5,М., Наука, 1998, С. 160-162.

45. Хаханян В.Х. Предикаты реализуемости для теории множеств.

46. В кн.: Логические исследования. Выпуск 8. М., Наука, 2001, С.217-222.

47. Хаханян В.Х. Функциональная алгебраическая модель, эквивалентная штрих-реализуемости Клини. Математические заметки, т.75, выпуск 1, январь 2004, С. 155- 157.

48. Хаханян В.Х. Функциональная алгебраическая модель,соответствующая штрих-реализуемости Клини. В кн.: Логические исследования. Выпуск 10. М., Наука, 2003, С.198-203.

49. Хаханян В.Х. Функциональные алгебраические модели для неклассической теории множеств. В кн.: Логические исследования, Выпуск 4. М., Наука, 1997, С. 192-195.

50. Хаханян В.Х. Непротиворечивость интуиционистской теориимножеств с принципами Чёрча и униформизации.

51. Вестник МГУ, серия «Математика.Механика», № 5, 1980, С. 3-7.

52. Хаханян В.Х. Сравнительная сила вариантов тезиса Чёрчана уровне теории множеств. ДАН СССР, т.252, № 5, 1980, С. 1070-1074.

53. Хаханян В.Х. Интуиционистская теория множеств: модели иметаматематика. М., МИИТ, 2003, 120 С.

54. Хаханян В.Х. Непротиворечивость интуиционистской теориимножеств с формальным математическим анализом. ДАН СССР, т.253, № 1, 1980, С. 48-52.

55. Хаханян В.Х. Невыводимость принципа униформизациииз тезиса Чёрча в интуиционитской теории множеств. Математические Заметки, т. 43, №5, май, 1988, С.685-691.

56. Шанин Н.А. Конструктивные вещественые числа и конструктивные функциональные пространства. Труды МИАН СССР, № 67, М.: Изд-во АН СССР, 1962, С. 15-294.

57. Шварц.Г.Ф. Некоторые применения метода рекурсивнойреализуемости к интуиционистской теории типов. В кн.: Вопросы кибернетики. Неклассические логики и их применение. М., 1982, АН СССР, С. 37-54.

58. Шестопал В.Е. Теория множеств с неограниченным свёртыванием,логика целостного и неклассическая вероятность. ИТЭФ-131, Москва 1983.

59. Beeson М. Problematic Principles in Constructive Mathematics

60. University Utrecht, Department of Mathematics, Preprint № 185, 1981, February.

61. Beeson M., Scedrov A. Church's Thesis, continuity and set theory.

62. Preprint N.l84, University Utrecht, Department of Math., 1981, February.

63. Bernini S. A very strong intuitionistic theory. Studia1.gica, 1976, v.35, n.4, P.377-385.

64. Bishop E. Foundations of constructive analysis. N.Y.:1. McGraw-Hill Co., 1967.

65. Brouwer L.E. Consciousness, philosophy and mathematics.

66. Proc. of X International Congress Philosophy, Amsterdam, 1948, P.1235-1249.

67. Brouwer L.E. An example of contradictory in classical theory offunctions. Proc. Akad. Amsterdam, Ser.A, 57, P.204-206; Indag.math., 1954, 16, P. 204-206.

68. Brouwer L.E.J. De onbetrouwbaarheid der logische principes. Tijdschriftvoor wijsbegeerte, 2, 1908, 152-158. (О недостоверности логических принципов).

69. Damnjanovic Z. Minimal realizability of intuitionistic arithmetic andelementary analysis. Journal of Symbolic Logic, 1995, 60, №4, P.1208-1241.

70. Diaconesku R. Axiom of choice and complementation. Proc.

71. Amer. Math. Society, v.51, 1975, P.176-178.

72. Dzierzgowski D. Intuitionistic typical ambiguity. Arch. Math.1.gic, 1992, № 31, P.171-182.

73. Dzierzgowski D. Models of intuitionistic TT and NF. Semin.

74. Math. / Institute Math. Pure et Appl., Univ. Cathol. Jouvain, 1994, № 1-2, P. 1-23.

75. Forti M., Honsell F. Choice principles in hyperuniverses. Annals

76. Pure and Applied Logic, v.77, № 1, 1996, P. 35-42.

77. Fraenkel A. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre.70. Friedman H.71. Friedman H.72. Friedman H.73. Friedman H.74. Friedman H.75. Friedman H.

78. Friedman H., Scedrov A. The lack definable witnesses and provably recursive functions in intuitionistic set theories Advances in Mathematics, v.57, № 1,1985, P. 1-13.

79. Godel K. Zur intuitionistishen Arithmetik und Zahlentheorie

80. Hahanyan V.H. The consistency of intuitionistic set theory withformal mathematical analysis. Sov. Math. Dokl., v.22 (1980), № 1,P. 46-50.

81. Hahanyan V.H. The comparative strength of variants of Church's

82. Thesis at the level of set theory. Sov.Math. Dokl. v.21 (1980), № 3, P. 894-898.

83. Handbook of proof theory. Studies in Logic and the foundations of mathematics, v. 137, ed. Buss S., Elsevier, 1998, 458 P.

84. Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionistichen. Mathematik.

85. Sitzangsber preuss Akad. Wiss., Berlin, 1930, S.57-71, 158-169.

86. Heyting A. Intuitionistic methods from a finite point of view.1.tuitionistic methods, Warsaw, P. 185-192.

87. Jensen R.B.,Karp C. Primitive recursive set functions. Proceedings

88. Symposium Pure Mathematics,

89. Amer. Math.Society 13, Part I, 1971, P.143-176.

90. Khakhanian V. Kh. ZFIR + CT is equiconsistent with ZFIR. SERDICA

91. Bulgaricae mathematicae publicationes. № 19 (1993), P. 8-11.

92. Khakhanian V.Kh. Markov's Rule is Admissible in the Set Theory with1.tuitionistic Logic. Lect. Notes in Comp.Science, v.1289, 1997, P.l67-171.

93. Khakhanian V.Kh. About admissibility of Markov's rule in set theory withintuitionistic logic. 10-th International Congress of LMPS, Augugt 19-25, 1995, Florence, Italy. Volume of abstracts, P.52.

94. Khakhanian V.Kh. The independence of a partial form of axiom ofchoice of intuitionistic set theory. Russian Mathematical Surveys, v.52, № 4, 1997. Communications of Moscow Mathematical Society.

95. Khakhanian V.Kh. Independence of the collection on the double complement and vice versa in set theory. The J. Symb. Logic v.57, № 1, 1992, P.378. Abstracts of VIII Latin American conference of mathematical logic.

96. Khakhanian V.Kh. Functional algebraic models for non-classicalset theory. Bulletin of the Section of Logic, v. 27, № 1/2 (march-june), 1998, P.53-54.

97. Kleene S.C. Constructive functions in FIM. In:Logic,Methodologyand Philosophy of Sciences III, Amsterdam, 1968, P.137-144.

98. Kleene S.C. Realizability: a retrospective survey. Lect. Notesin Math., v.337, 1973, P.96

99. Kreisel G. Lawless sequences of natural numbers.

100. Compositio math., 1968, v.20, P.222-248.

101. Kreisel G., Troelstra A.S. Formal systems for some branches ofintuitionistic analysis. Ann. Math. Ligic, 1970, v.l, P.229-387.

102. Krol M. A topological model for intuitionistic analysis with99. LifschitzV.100. Moschovakis101. Moschovakis102. Myhill J.103. Myhill J.104. Myhill J.105. Myhill J.106. Myhill J.107. Myhill J.108. Myhill J.109. Powell W.C.

103. Some properties of intuitionistic Zermelo-Fraenkel set theory. Lect. Notes in Math., n.337, 1973, P.206-231. Constructive set theory. Jour, of Symb. Logic, v.40, n.3, 1975, P. 347-382.

104. Metamathematical investigations of intuitionistic arithmetic and analysis. Lect. Notes in Math., v.344, 1973, chapter V.

105. The theory of choice sequences. In.: Proc. of

106. Congr. LMPS III, 1968, P. 201-233.

107. Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.

108. Math. Annalen, v.59,1904, P. 514-516

109. Neuer Beweis fur die Wohlordnung. Math. Annalen,v.65, 1908, P. 107-128.