Ограниченность решений нелинейных систем дифференциальных уравнений относительно части переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лапин, Кирилл Сергеевич

• Лапин, Кирилл Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Лапин, Кирилл Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. Ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями 16 1.1 Критерий равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

1.2. Эквиограниченность и тотальная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

1.3. Ограниченность в пределе решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

РАЗДЕЛ 2. Исследование поведения решений систем дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков на частичную ограниченность с частично контролируемыми начальными условиями

2.1. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов

2.2. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде

2.3. Ограниченность в пределе по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов

2.4. Исследование решений нелинейных систем дифференциальных уравнений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

РАЗДЕЛ 3. Прямой метод Ляпунова в исследовании неустойчивости по Ла-гранжу по всем переменным и по части переменных

3.1. Теоремы о неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, использующие одну функцию Ляпунова

3.2. Теоремы о неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, использующие две функции Ляпунова

3.3. Применение полученных результатов к исследованию неустойчивости по Лагранжу по всем и по части переменных конкретных систем дифференциальных уравнений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ограниченность решений нелинейных систем дифференциальных уравнений относительно части переменных»

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы

Представленная диссертация посвящена разработке методов исследования поведения решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, а именно, исследованию решений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями и неограниченности решений по всем и части переменных. Такие задачи составляют активно развивающееся направление в качественной теории дифференциальных уравнений. Задача исследования ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных является весьма актуальной для практических применений. Действительно, эта задача естественным образом возникает во многих прикладных областях, в которых требуется обеспечить нормальное функционирование какого-либо динамического объекта, исходя лишь из условий ограниченности движений этого объекта по части переменных. На идейной основе фундаментальных работ Т. Иосидзавы, Н.Г. Четаева, H.H. Кра-совского, В.В. Румянцева, A.C. Озиранера, В.И. Воротникова, указанных ниже в пункте «Актуальность темы», в диссертации введены новые математические понятия, а именно, понятия различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Основные результаты диссертации связаны с разработкой методов исследования решений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями и неограниченности решений по всем и части переменных. Важное место в работе уделяется применению полученных результатов к исследованию поведения решений динамических систем, описывающих реальные процессы, а это говорит о том, что полученные результаты могут найти применение не только в математике, но и во многих других областях естествознания.

Актуальность темы

Качественная теория дифференциальных уравнений и теория ограниченности решений систем дифференциальных уравнений являются в настоящее время быстроразвивающимися разделами современной математики, что вызвано потребностями многочисленных приложений в таких разнообразных дисциплинах как аэрокосмические науки, технические науки, науки об окружающей среде, медицинские науки, физические и математические науки. Возрастает интерес российских, европейских, китайских, японских, американских математиков, а также международных научных организаций к теории устойчивости по Ляпунову решений систем дифференциальных уравнений по части переменных и её приложениям, что подтверждается увеличением количества работ в российских и зарубежных издательствах. В теории ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных, которая является в идейном плане родственной теории устойчивости по Ляпунову по части переменных, также идет бурный процесс исследований, поскольку это направление представляет большой научный интерес и является весьма плодотворным в естественных и технических приложениях.

Главной вехой на пути становления теории ограниченности решений систем дифференциальных уравнений явилась основополагающая работа японского математика Т. Йосидзавы [98], результаты и конструкции которой получили дальнейшее развитие в исследованиях российских и зарубежных математиков. В этой работе при изучении условий существования периодических движений динамических систем были введены понятия различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений. В качестве основного средства исследования ограниченности решений в работе [98] был разработан и применён метод, который в какой-то степени аналогичен методу функций Ляпунова в теории устойчивости [40], [20]. Применение метода функций Ляпунова к исследованию ограниченности решений дифференциальных уравнений далее рассматривалось в работах [16], [17], [19],[21], [27], [28], [46], [50], [51], [59], [63],

[64], [67], [72-77], [82], [83], [87-90], [92], [93], [95], [97], [100] , а также во многих других работах.

Следует отметить, что при исследовании устойчивости в критических случаях (см. A.M. Ляпунов [40], И.Г. Малкин [43], Г.В. Каменков [24], Ю.В.Малышев [41] и др.) по существу используются методы теории устойчивости относительно части переменных. В монографиях В.В. Румянцева и A.C. Озиранера [49], В.И. Воротникова и В.В. Румянцева [15], были изложены основополагающие результаты применения метода функций Ляпунова к исследованию устойчивости по части переменных. Перспективы дальнейшего развития теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений по части переменных были подробно рассмотрены в работах В.И. Воротникова [7],[12]. Представляется важным отметить, что в работе [12] В.И. Воротников выделяет для систем обыкновенных дифференциальных уравнений три класса основных задач, характеризующих в основных чертах проблему устойчивости по части переменных. Это задачи:

1) устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия (задачи частичной устойчивости Ляпунова-Румянцева) [1-4], [22], [23], [25], [29], [45], [47], [48], [62], [65], [66], [78], [84], [86], [68-71], [99].

2) устойчивости "частичных" положений равновесия [1], [8-11],[14], [49], [52], [58], [85], [96].

3) устойчивости по части переменных "частичных" положений равновесия [1], [13], [9], [57], [58], [60], [61].

Указанные в [12] перспективные направления в теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений по части переменных в последнее время активно развиваются.

В монографии В.В. Румянцева и A.C. Озиранера [49] на основе теории Йосидзавы [98] ограниченности решений по всем переменным и теории устойчивости решений по части переменных было положено начало развитию теории различных видов частичной ограниченности решений и, в частности, равномерной ограниченности решений по части переменных систем дифференциаль-

6

ных уравнений. Исследованием ограниченности решений по части переменных активно занимаются как российские, так и зарубежные математики [5], [42], [56], [59-61], [79], [80].

С другой стороны в работах В.И. Воротникова [9] и В.И. Воротникова и Ю.Г. Мартышенко [13] было разработано новое направление в теории устойчивости по Ляпунову по части переменных, а именно: была развита теория устойчивости по части переменных "частичного" положения равновесия, у которого часть координат контролируется [9]. В связи с этим возник интересный и актуальный вопрос о возможности создания в теории ограниченности решений по части переменных методов, которые были бы в идейном плане аналогичны методам теории устойчивости по части переменных "частичного" положения равновесия.

В теории ограниченности решений систем дифференциальных уравнений имеется еще один важный аспект, который связан с неограниченностью решений или, как еще говорят, с неустойчивостью системы по Лагранжу по всем переменным, а также по части переменных. Отметим, что идейные истоки методов исследования неустойчивости по Лагранжу восходят к основополагающим работам Н.Г. Четаева [53-55] и H.H. Красовского [30], в которых разработаны эффективные методы исследования неустойчивости по Ляпунову. Стоит также отметить, что направление, связанное с задачами неустойчивости по Ляпунову, активно развивается [6], [18], [26], [68-70], [81], [91], [94]. Как было сказано выше, понятия неустойчивости по Лагранжу и неустойчивости по Ляпунову являются родственными. В самом деле, в классической работе Т. Иосидзавы [98] большинство понятий теории устойчивости по Ляпунову было перенесено в теорию устойчивости по Лагранжу. Более того, в работе [98] при помощи метода функций Ляпунова, т.е. прямого метода Ляпунова, в теории устойчивости по Лагранжу были получены аналоги всех основных теорем о различных видах устойчивости по Ляпунову. Однако, начиная с момента появления работы [98] и по настоящее время, многие важные вопросы о неустойчивости по Лагранжу

оставались без должного внимания. Аналогичным образом обстоят дела и в

7

теории устойчивости по Лагранжу по части переменных. Действительно, в работе В.В. Румянцева и A.C. Озиранера [49] была развита теория частичной устойчивости по Лагранжу, в которой при помощи прямого метода Ляпунова были получены аналоги всех основных теорем о различных видах устойчивости по Ляпунову относительно части переменных. Однако, подобно работе [98], многие важные и интересные вопросы о неустойчивости по Лагранжу по части переменных были в работе [49] незаслуженно обойдены вниманием. Наличие неустойчивости по Лагранжу, как в случае всех переменных, так и в случае их части, может являться весьма желательным для практических нужд и представляет большой интерес при исследовании поведения решений конкретных систем. Поэтому стратегически очень важно иметь в своем распоряжении эффективные методы обнаружения неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных.

Цель работы

Цель работы заключается в разработке методов исследования решений систем дифференциальных уравнений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями и приложении разработанных методов исследования к изучению поведения решений динамических систем, описывающих реальные процессы. Также целью работы является создание методов исследования систем дифференциальных уравнений на неустойчивость по Лагранжу относительно всех и части переменных или, другими словами, создание методов исследования решений систем дифференциальных уравнений на неограниченность по всем и по части переменных и применение полученных результатов к исследованию поведения решений конкретных систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования

Основным методом исследования в диссертации является метод функций Ляпунова. Отметим, что все теоремы первого раздела диссертации сформулированы и доказаны в терминах производной Дини.

Научная новизна

Введены понятия равномерной ограниченности по части переменных решений систем дифференциальных уравнений с частично контролируемыми начальными условиями, эквиограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, тотальной ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, равномерной ограниченности в пределе по части переменных решений систем дифференциальных уравнений с частично контролируемыми начальными условиями и эквиограниченности в пределе решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Получены достаточные условия соответствующих видов ограниченности решений систем дифференциальных относительно части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, доказан критерий равномерной ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями.

Проведено исследование на различные виды ограниченности относительно части переменных по скорости с контролем начальных скоростей нели-неаризованных механических параметрических колебательных процессов.

Найдены достаточные условия неустойчивости по Лагранжу систем дифференциальных уравнений относительно всех и части переменных. Также получены достаточные признаки неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, использующие две функции Ляпунова.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретической ценностью результатов исследований, проведенных в диссертации, является постановка новой задачи в теории частичной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений, а именно, задачи ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, и разработка методов решения поставленной новой задачи. Кроме того, теоретической ценностью результатов, полученных в диссертации, является развитие методов исследования неустойчивости по Лагранжу систем

дифференциальных уравнений. Практической ценностью диссертационных ре-

9

зультатов является возможность их применения к исследованию решений систем, описывающих реальные естественно-технические процессы на различные виды ограниченности, а также на их неограниченность.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 11-15 апреля 2011 г.), Всероссийской научно-практической конференции с Международным участием «Математика и математическое моделирование» (МГПИ им. М.Е. Евсевьева, Саранск, 13-14 октября 2011 г.), X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева, Казань, 12-16 июня 2012 г.), конференции «Огарёвские чтения» (МГУ им. Н.П. Огарёва, 6-14 декабря 2011 и 2012 гг.), на семинарах кафедры дифференциальных уравнений факультета математики и информационных технологий Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (руководитель профессор В.Н. Щенников), а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (руководитель профессор В.И. Жегалов).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах [31-39].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Разделы разбиты на пункты. Нумерация формул и утверждений состоит из трех цифр (первая - номер раздела, вторая - номер пункта, третья - номер формулы или утверждения в данном пункте). Объем работы составляет 91 страница текста. Библиография содержит 100 наименований.

Основное содержание работы

Первый раздел диссертации посвящен задачам ограниченности решений

по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями.

10

В первом пункте первого раздела диссертации введено понятие равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Это понятие является в идейном плане родственным понятию равномерной устойчивости относительно части переменных "частичного" положения равновесия из работы [9]. Получен критерий равномерной ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Проведено сравнение этого критерия с критерием равномерной ограниченности решений систем по части переменных [49].

Во втором пункте первого раздела диссертации введено понятие тотальной ограниченности (или, по-другому, ограниченности при постоянно действующих возмущениях) решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Получен достаточный признак тотальной ограниченности решений систем по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Далее во втором пункте введено понятие эквиограниченности решений систем по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Эти новые понятия также являются в какой-то мере родственными понятию устойчивости по части переменных "частичного" положения равновесия из работы [9]. Доказан достаточный признак эквиограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями.

В третьем пункте данного раздела диссертации введены понятия эквиограниченности в пределе и равномерной ограниченности в пределе решений систем по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Эти понятия также являются в некоторой степени родственными понятию устойчивости относительно части переменных "частичного" положения равновесия из работы [9]. Получены достаточные условия эквиограниченности в пределе (теорема 1.3.1) и равномерной ограниченности в пределе (теорема 1.3.2) решений по части переменных с частично контролируемыми начальными

условиями. На основе понятия равномерной ограниченности решений систем

И

по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями получены более сильные, по сравнению с теоремой 1.3.2, достаточные условия равномерной ограниченности в пределе решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями (теорема 1.3.3, следствие 1.3.1). Проведено сравнение полученных результатов с результатами о соответствующих видах ограниченности решений как по всем [98], так и по части переменных [59].

Второй раздел данной диссертации посвящён применению результатов, полученных в первом разделе к исследованию решений конкретных систем дифференциальных уравнений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. В разделе наряду исследованием "чисто математических" систем, проводится исследование поведения решений систем, описывающих реальные процессы, а это показывает, что полученные результаты могут найти применение не только в математике, но и в других областях, особенно в технике.

В первом пункте второго раздела диссертации при помощи теоремы 1.1.1 проводится исследование нелинеаризованных колебаний системы, состоящей из связанных механических осцилляторов на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей. Математическая модель данной системы осцилляторов описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка.

Во втором пункте второго раздела данной диссертации проводится исследование при помощи теоремы 1.1.1 из первого раздела диссертации на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде. Получен достаточный признак равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде в зависимости от коэффициента вязкости. Доказано, что все механические параметрические колебательные процессы без линеаризации, т.е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в

12

некоторой вязкой среде, поведение которых описываются уравнением (2.2.1), где параметр колебательного процесса удовлетворяет условиям теоремы 2.2.1, всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей. Показано, что физические вертикальные колебания железнодорожного экипажа всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей. Показано, что колебания физического маятника (нелинеаризованная модель колебаний маятника) в среде без сопротивления всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей, а колебания математического маятника (линеаризованная модель колебаний маятника) не будут равномерно ограничены по скорости с контролем начальных скоростей, однако, «просто» равномерно ограничены по скорости будут. Аналогично проведено сравнение поведения решений уравнения Хилла и обобщенного уравнения Хилла (без линеаризации). Показано, что свободное движение тела, выведенное из состояния покоя в вязкой среде всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

В третьем пункте второго раздела при помощи теоремы 1.3.2 проведено исследование на равномерную ограниченность в пределе по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде. Аналогично тому, как это было проиллюстрировано во втором пункте для случая равномерной ограниченности, показано, что колебания физического маятника в среде без сопротивления всегда являются равномерно ограниченными в пределе по скорости с контролем начальных скоростей.

В четвертом пункте второго раздела диссертации при помощи результатов, полученных в первом разделе диссертации, проводится исследование решений так называемых "чисто математических" систем дифференциальных уравнений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями.

Третий раздел диссертации посвящен вопросам исследования неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, а именно, при помощи прямого метода Ляпунова разработаны методы исследования неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных.

Основным результатом первого пункта третьего раздела диссертации является теорема 3.1.1 о неустойчивости по Лагранжу относительно части переменных, в которой используется одна функция Ляпунова. Напомним, что теоремы о неустойчивости по Ляпунову относительно части переменных были доказаны в [49]. В случае, когда часть переменных совпадает с множеством всех переменных, утверждение теоремы 3.1.1 становится теоремой о неустойчивости по Лагранжу по всем переменным, которая ранее нигде не рассматривалась. Из теоремы 3.1.1 выведены следствия 3.1.1 и 3.1.2 о неустойчивости по Лагранжу относительно части переменных. В случае, когда часть переменных совпадает с множеством всех переменных, утверждения следствий 3.1.1 и 3.1.2 соответственно становятся утверждениями о неустойчивости по Лагранжу относительно всех переменных, которые также ранее нигде не рассматривались.

Результатом второго пункта данного раздела диссертации является теорема 3.2.1 о неустойчивости по Лагранжу относительно части переменных, в которой используются две функции Ляпунова, причем одна функция зависит от времени и от всех переменных, а вторая функция зависит от времени и от той части переменных, относительно которой проводится исследование неустойчивости по Лагранжу. В случае, когда часть переменных совпадает с множеством всех переменных, утверждение теоремы 3.2.1 становится теоремой о неустойчивости по Лагранжу относительно всех переменных, которая также ранее нигде не рассматривалась. Отметим, что теоремы о неустойчивости по Ляпунову, в которых используются две функции Ляпунова, были рассмотрены в работе [50]. Далее в работе из теоремы 3.2.1 выведены следствия 3.2.1 и 3.2.2 о неустойчивости по Лагранжу относительно части переменных, в которых используются две функции Ляпунова.

В третьем пункте третьего раздела диссертации при помощи теорем, полученных в первых двух пунктах данного раздела, проводится исследование конкретных систем дифференциальных уравнений на неустойчивость по Ла-гранжу относительно всех и части переменных.

Раздел 1. Ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

Данный раздел диссертации посвящен ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. В этом разделе введены понятия различных видов ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, проанализировано отличие этих новых понятий от понятий "обычной" ограниченности решений по части переменных. Также в данном разделе найдены достаточные условия различных видов ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями, получен критерий равномерной ограниченности решений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями.

1.1 Критерий равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от п переменных

¿х

— = Е(г,х) = (^.т),...,^,*)), (1-1.1)

правая часть которой задана и непрерывна в К+ х Кп. Предполагается, что каждое решение системы (1.1.1) продолжимо на всю полуось М+ = {Ь в К | г > 0}.

Норма для произвольного а = (а1,....ат) £ задается формулой

||а|| = у/а\ + ... + а^ . Для каждого х = ..., хп) £ Мте и любого фиксированного числа 1 ^ к ^ п используется обозначение у = {х\,..., хк) € К*'.

Определение 1.1.1. Будем говорить, что решения системы (1.1.1) равномерно ограничены по части переменных у = (.т1?... ,хь) с контролируемой частью начальных условий у0 = ((то)ь • • • > {%о)к) или, более кратко, равномерно ¿/-ограничены с -г/0-контролем, если для каждого неотрицательного числа существует такое положительное число 0(а) € Е, что для любой точки (¿сь^о) € х Мп, ||у0|| ^ а, выполнено условие ||?/(£, .То, ¿о)|| < 0 при Ь ^ £0, где х — т(£,.То,£о) ~~ любое решение системы (1.1.1), проходящее через точку (¿0,т0).

Отметим, что если в определении 1.1.1 положить у = х и у0 = х0, то получим определение равномерной ограниченности решений [98]. Если же в определении 1.1.1 положить у0 = х0, то получим определение равномерной '¿/-ограниченности решений [49].

На геометрическом языке, по сравнению с определением равномерной ¿/-ограниченности, равномерная ¿/-ограниченность с ¿/0-контролем решений системы (1.1.1) означает, что решения этой системы, стартующие в произвольный момент времени из точек п-мерного полного бесконечного цилиндра Вк((Э, а) х Шп~к радиуса сечения а, где О — (0,..., 0) € М'5, будут во все последующие моменты времени находиться в п-мерном полном бесконечном цилиндре Вк{0, (3{а)) х Мп-/с, радиус сечения которого (3{а) не зависит от момента времени старта решений.

Таким образом, различие понятий равномерной ¿/-ограниченности и равномерной ¿/-ограниченности с ¿/0-контролем заключается в том, что при исследовании решений системы на равномерную ¿/-ограниченность интересуются всеми координатами точек, из которых стартуют решения, а при исследовании решений системы на равномерную ¿/-ограниченность с у0-контролем интерес представляет лишь контролируемая часть координат

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лапин, Кирилл Сергеевич, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Алексеев, С.А. К задачам частичной эквиасимптотической устойчивости нелинейных динамических систем / С.А. Алексеев, В.И. Воротников, В.А. Феофанова // Автоматика и телемеханика. - 2005. - №2. - С.3-16.

2. Андреев, A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных/ A.C. Андреев // Прикладная математика и механика. - 1984. - Т.48. - Вып 5. - С. 707-713.

3. Андреев, A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений / A.C. Андреев // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т.51. - Вып.2. - С. 253-259.

4. Андреев, A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости / A.C. Андреев // Прикладная математика и механика. - 1991. - Т.55. - Вып.4. -С. 539-547.

5. Барис, Я.С. Об ограниченных решениях относительно части переменных систем дифференциальных уравнений / Я.С. Барис, О.Б. Лыкова // Украинский математический журнал. - 1985. - Т.37. - №2. - С. 139 -146.

6. Ванько, В.И. Неустойчивость по Ляпунову положений равновесия профилей в воздушном потоке / В.И. Ванько // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. -2010. - Т.П. -ВЫП.19.-С. 21-27.

7. Воротников, В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности / В.И. Воротников // Автоматика и телемеханика. - 1993. - №3. - С.3-62.

8. Воротников, В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости / В.И. Воротников // Доклады РАН. - 2002. - Т. 384. - №1. - С. 47-51.

9. Воротников, В.И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных частичных положений равновесия нелинейных динамических систем / В.И. Воротников // Доклады РАН. - 2003. - Т.389. - №3. - С.332-337.

10. Воротников, В.И. К задаче координатной синхронизации динамических систем / В.И. Воротников // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т.40. - №1. - С.5-23.

11. Воротников, В.И. К задаче частичной асимптотической устойчивости в целом / В.И. Воротников // Доклады РАН. - 2004. - Т.396. - №3. - С. 295-299.

12. Воротников, В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития / В.И. Воротников // Автоматика и телемеханика. - 2005. - №4. - С.3-59.

13. Воротников, В.И. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем / В.И. Воротников, Ю.Г. Мартышенко // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2010. - № 5. - С. 23-31.

14. Воротников, В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В.И. Воротников. - М.:Наука, 1991. - 284 с.

15. Воротников, В.И. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения / В.И. Воротников, В.В. Румянцев. - М.:Научный мир, 2001. - 320 с.

16. Голечков, Ю.И. Исследование ограниченности решений нелинейных неавтономных дифференциальных систем / Ю.И. Голечков // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2010. - №15. - С. 23-25.

17. Голечков, Ю.И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка / Ю.И. Голечков. - М.: РГОТУПС МПС РФ, 2003. - 212 с.

18. Демидович, Б.П. Дальнейшее развитие теоремы Н.Г. Четаева о неустойчивости движения / Б.П. Демидович, Ю.В. Малышев // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т.13. - №5. - С. 841-847.

19. Дружинина, О.В. Исследование асимптотической устойчивости и ограниченности решения динамической системы методом вращения векторного поля// Вопросы техники безопасности и устойчивости систем / О.В. Дружинина. - Москва, 2007, Сборник. Вып. 10. М.:ВЦ РАН, 2008. - С.42-47.

20. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.:Наука, 1967. - 472 с.

21. Иванов, Б.Ф. Условие ограниченности решений некоторых линейных систем / Б.Ф. Иванов // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26. - №10. -С. 1705-1711.

22. Игнатьев, А.О. Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях / А.О. Игнатьев // Математическая физика и нелинейная механика. Киев: Наукова думка. - 1988. - №10. - С. 20-25.

23. Игнатьев, А.О. Об эквиасимптотической устойчивости относительно части переменных / А.О. Игнатьев // Прикладная математика и механика. - 1999. - Т. 63. - Вып. 5. - С. 871-875.

24. Каменков, Г.В. Избранные труды в 2-х т. Т. I. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика / Г.В. Каменков. -М.:Наука, 1971. - 259 с.

25. Каримов, А.У. Об устойчивости по части переменных при постоянно действующих возмущениях / А.У. Каримов // Математическая физика и электродинамика. М.:МГУ, 1973. - С. 3-10.

26. Ковалев, A.M. Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций / A.M. Ковалев // Доповцц нацюнально1 АН Укра'шы. -2009.-№11.-С. 21-27.

27. Козлов, М.В. Равномерная ограниченность сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений / М.В. Козлов, В.Н. Щенников // Вестник Мордовского государственного университета. Серия физико-математические науки. - 2010. - №4. - С. 56-59.

28. Козлов, М.В. Ограниченность решений систем сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений / М.В. Козлов, В.Н. Щенников // Известия вузов.

Поволжский регион. Серия физико-математические науки. - 2012. - №2. - С. 3643.

29. Косов, A.A. К задаче об устойчивости движения относительно части переменных / A.A. Косов. - Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988 -С.185-194.

30. Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H.H. Красовский. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. - 211 с.

31. Лапин, К.С. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде / К.С. Лапин // Вестник Мордовского государственного университета. Серия физико-математические науки. - 2012. -№2. - С. 46-50.

32. Лапин, К.С. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов / К.С. Лапин // Вестник Мордовского государственного университета. Серия физико-математические науки. - 2012. - №2. - С. 196-197.

33. Лапин, К.С. Прямой метод Ляпунова в исследовании неустойчивости по Лагранжу относительно части переменных / К.С. Лапин // Дифференциальные уравнения.-2013. - Т. 49. - № 1. - С. 128-131.

34. Лапин, К.С. Равномерная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями / К.С. Лапин // Известия вузов. Поволжский регион. Серия физико-математические науки. - 2013. - №2. -С.120-132.

35. Лапин, К.С. Ограниченность в пределе решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями / К.С. Лапин // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49. - №10. - С. 1281-1286.

36. Лапин, К.С. Частичная равномерная ограниченность решений систем

дифференциальных уравнений с частично контролируемыми начальными

84

условиями / К.С. Лапин // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50. - №3. - С.309-316.

37. Лапин, К.С. Неустойчивость по Лагранжу систем дифференциальных уравнений относительно всех переменных и относительно части переменных / К.С. Лапин // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» —М.: МАКС Пресс. - 2011. - С. 1-2.

38. Лапин, К.С. Равномерная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями / К.С. Лапин // Труды X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева, г. Казань, 12-16 июня 2012 г.) - Т.2. - С. 323-329.

39. Лапин, К.С. Производная Дини по семейству функций и равномерная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных / К.С. Лапин // Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Математика и математическое моделирование" г. Саранск, 13-14 октября 2011 г. [материалы]/ под общ. ред. Н.Г. Тактарова; мордов. гос. пед. ин-т - Саранск, 2012. - С. 198-200.

40. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. -М.:Гостехиздат, 1950. - 473 с.

41. Малышев, Ю.В. Качественное исследование критических случаев устойчивости движения / Ю.В. Малышев // Дифференциальные уравнения. -1984. - Т.20. - №10. - С.1715-1720.

42. Мартынюк, A.A. Об устойчивости и ограниченности движений относительно части переменных в метрическом пространстве / A.A. Мартынюк, B.C. Денисенко // Доклады Национальной АН Украины. - 2008. - №5. - С. 6975.

43. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / Н.Г. Малкин. - М.:Наука, 1966.-532 с.

44. Немыцкий, B.B. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.:Наука, 1947. - 448 с.

45. Озиранер, A.C. Об устойчивости относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях / A.C. Озиранер // Прикладная математика и механика. - 1981. - Т.45. - Вып.З. - С. 419-427.

46. Перов, А.И. Об ограниченных решениях обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т. 46. - №9. - С. 1228-1244.

47. Румянцев, В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев // Вестник МГУ. Серия математика, механика, астрономия, химия. - 1957. - №4. - С. 9-16.

48. Румянцев, В.В. Некоторые задачи об устойчивости движения по отношению к части переменных / В.В. Румянцев. - Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.:Наука, 1972. - С. 429-436.

49. Румянцев, В.В. Устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных / В.В. Румянцев, A.C. Озиранер. - М.: Наука, 1987. - 254 с.

50. Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа . - М.:М_ир,1980. - 300 с.

51. Савкин, A.B. Об ограниченных решениях матричного дифференциального уравнения Рикатти / A.B. Савкин // Дифференциальные уравнения. - 1991. -Т.27. - №5. - С. 781-788.

52. Хапаев, М.М. Усреднение в теории устойчивости / М.М. Хапаев. - М.: Наука, 1986.- 192 с.

53. Четаев, Н.Г. Одна теорема о неустойчивости / Н.Г. Четаев // Доклады АН СССР. - 1934. - Т.1. - №9. - С. 529-531.

54. Четаев, Н.Г. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция не есть максимум / Н.Г. Четаев // Прикладная математика и механика. - Т. 16. - Вып.1. - С. 89-93.

55. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. - М.:Гостехиздат, 1955. - 208 с.

56. Шестаков, A.A. К теории ограниченности решений относительно части переменных нелинейных дифференциальных уравнений / A.A. Шестаков, Е.В. Щенникова // Математическое моделирование. - Т.7. - №5. - С. 84.

57. Щенников, A.B. Асимптотическая устойчивость «частичного» положения равновесия многосвязной системы / A.B. Щенников, В.Н. Щенников // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2009. - №14. - С. 142-145.

58. Щенников, A.B. Принцип включения и устойчивоподобные свойства «частичного» положения равновесия динамических систем / A.B. Щенников // Вестник СПбГУ. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. - №4. - С.119-132.

59. Щенникова, Е.В. Функции Ляпунова и ограниченность в пределе относительно части переменных / Е.В. Щенникова // Математическое моделирование. - 1997. - Т.9. - №10. - С. 24.

60. Щенникова, Е.В. Исследование устойчивоподобных свойств решений нелинейных систем / Е.В. Щенникова // Автоматика и телемеханика. - 2007. -№9. - С. 106-112.

61. Щенникова, Е.В. Устойчивоподобные свойства решений одной многосвязной системы дифференциальных уравнений / Е.В. Щенникова // Математические заметки. - 2012. - Т.91. - Вып.1 - С.136-142.

62. Щенников, В.Н. Исследование устойчивости по части переменных дифференциальных систем с однородными правыми частями / В.Н. Щенников // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т.20. - №9. - С. 1645-1649.

63. Ademola, Т. A. Boundedness results for a certain third order nonlinear differential equation / T. A. Ademola, M.O. Ogundarian, P.O. Arawomo, O.A. Adesina // Appl. Math. And Comput. - 2010. - V. 216. - N 10. - P. 3044-3049.

64. Bereketoglu, H. On the boundedness and stability of some equations of the fourth order // H. Bereketoglu / An. Sti. Univ. Iasi. Mat. - 1990. - V.36. - N 4. - P. 371-378.

65. Bondi, P. Partial asymptotic stability via limiting equations / P. Bondi, P. Fergola, L. Gambardell, C. Tenneriello // Math. Mech. Appl. Sci. - 1981. - V. 3. - N 4. - P. 516-522.

66. Corduneanu, C. Sur la stabilite partielle / C. Corduneanu // Rev. Roumane math. Pures. Appl. - 1964. - V.9. - N 3. - P.229-236.

67. Gazzola, F. Blow up oscillating solutions to some nonlinear fourth order differential equations / F. Gazzola, R. Pavani // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. - 2011. - V.74. - N 17. - P.6696-6711.

68. Hatvani, L. On partial asymptotic stability and instability. I. (Autonomous systems) / L. Hatvani // Acta Sci. Math. - 1983. - V.45. - p. 219-231.

69. Hatvani, L. On partial asymptotic stability and instability. II. (The method of limiting equations) / L. Hatvani // Acta Sci. Math. - 1983. - v.46. - P. 143-156.

70. Hatvani, L. On partial asymptotic stability and instability. III. (Energy-like Ljapunov functions) / L. Hatvani // Acta Sci. Math. - 1985. - V.49. - P. 156-167.

71. Hatvani, L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation) / L. Hatvani // Ann. Math, pura appl. - 1985. - V.139. - P. 65-82.

72. Kiguradze, I. Bounded and vanishing at infinity solutions of nonlinear differential systems / I. Kiguradze // Georg. Math. J. - 2009. - V.16. - N 4. - P. 711724.

73. Li, A. Stability and boundedness of nonlinear impulsive systems in terms of two measures via perturbing Lyapunov functions / A. Li, X. Song // J. Math. Anal, and Appl. -2011. -V. 375.-N 1. - P. 276-283.

74. Li, B.L. Bounded variation solutions for a class of variable-coefficient linear ordinary differential equations / B.L. Li, L.Q. Li // J. Northw. Norm. Univ. Natur. Sci.-2011. -V. 47.-N4. - P. 1-6.

75. Liu, J.K. Boundedness of solutions for a class of nonlinear integro-differential equations / J.K. Liu, F.W. Meng // J. Qufu Norm. Univ. Natur. Sci., 2010, v. 36, N 4, p.48-52.

76. Li, W.J. Boundedness and stability of solutions for the fourth order nonlinear differential equations / W.J. Li // J. Inn. Mongolia Norm Univ. Nat. Sci. Ed. - 2008. -V. 37. -N 1. -P.21-24.

77. Mi, L. Boundedness of solutions for asymmetric Duffing equations / L. Mi, P. Zhang, H. Xu // Appl. Math, and Comput. - 2010. - V. 217. - N 7. - P. 3102-3112.

78. Michel, A.N. Partial stability of general dynamical systems under arbitrary initial z-perturbations / A.N. Michel, Y. Sun // Int. J. Hybrid Syst. - 2002. - V.2. - P. 57-92.

79. Michel, A.N. Partial stability and boundedness of general dynamical systems on metric spaces / A.N. Michel, A.P. Molchanov, Y. Sun // Nonlin. Anal. TMA. - 2003.

- V. 52. - N 4. - P.1295-1316.

80. Miki, K. On the partial total stability and partially total boundedness of a system of ordinary differential equations / K. Miki, A. Masamichi, S. Shoichi // Res. Rept. Akita Tech. Coll. - 1985. - V. 20. - P. 105-109.

81. Murty, M.S.N. On ^-instability of nonlinear matrix Lyapunov systems / M.S.N. Murty, G.S. Kumar, P.N. Lakshmi, D. Anyaneyulu // Demonstr. math. - 2009. -V.42.-N4. - P. 931-943.

82. Nakajima, F. Ultimate boundedness of solutions for a generalized Lienard equation with forcing term / F. Nakajima // Tohoku Math. J. - 1994. - V.46. - N 3. -P. 295-310.

83. Ogundare, B.S. Stability and boundedness properties of solutions to certain fifth order nonlinear differential equations / B.S. Ogundare // Мат. вести. - 2009. - Т. 61.

- P. 257-268.

84. Peiffer, К. Liapunov second method applied to partial stability / K. Peiffer, N. Rouche // J. Mecanique. - 1969. - V.8. - N 2. - P. 323-334.

85. Rouche, N. Le theorem de Lagrange-Dirichle et la deuxieme method de Liapunoff / N. Rouche, K. Peiffer // Ann. Soc. Scient. Bruxelle. Ser I. - 1967. - V. 81.-N 1. - P. 19-33.

86. Rumyantsev, V.V. On the stability with respect to a part of the variables/ V.V. Rumyantsev 11 Symp. Math.. Meccanica non-lineare stability.N.Y.: Acad. Press. - V.6. -1971.-P. 243-265.

87. Shu, Y.L. Boundedness of the solutions of the T-system and its control / Y.L. Shu, M. Wang // J. East China Norm. Natur. Sci. - 2009. - N 1. - P. 43-47.

88. Song, X. Stability and boundedness criteria of nonlinear impulsive ststems employing perturbing Lyapunov functions / X. Song, A. Li // Appl. Math. And Comput. - 2011. - V. 217. -N 24. - P. 10166-10174.

89. Tunç, С. Some new results on the boundedness of solutions of a certain nonlinear dufferential equation of third order / C. Tunç // Int. J. Nonlinear Sci. -

2009. - V. 7. - N 2. - P.246-256

90. Tunç, С. On the stability and boundedness of solutions of nonlinear vector differential equations of third order / C. Tunç // Nonlinear Anal. - 2009. - V.70. - N 6. - P. 2232-2236.

91. Tunç, С. Instability of solutions for certain nonlinear vector differential equations of fourth order / C. Tunç // Нелш. колив. - 2009. - T. 12. - N 1. - P. 120129.

92. Tunç, C. A note on boundedness of solutions to a class of non-autonomous differential equations of second order / C. Tunç // Appl. Anal. And Discrete Math. -

2010. - V.4. -N2. - P. 361-372.

93. Tunç, С. On the boundedness of solutions of a non-autonomous differential equation of second order / C. Tunç // Sarajev. J. Mat. - 2011. - V.7. - N 1. - P. 19-29.

94. Tunç, E. On the instability of solutions of certain sixth-order nonlinear differential equations / E. Tunç , С. Tunç // Nonlinear Stud. - 2008. - V.15. - N 3. -P. 207-213.

95. Tunç, С. On boundedness of solutions to nonlinear vector differential equations of third-order /С. Tunç, В. Karakaç // Nonlinear Stud. - 2011. - V. 18. - N 1. - P. 6373.

96. Vorotnikov, V.I. Partial Stability and Control / V.I. Vorotnikov. - Boston: Birkhauser, 1998. - 448 p.

97. Wang, X . Boundedness for sublinear reversible systems with a nonlinear damping and periodic forcing term / X. Wang // J. Math. Anal. And Appl. - 2011. -V. 378.-N 1. - P. 76-88.

98. Yoshizawa, T. Liapunovs function and boundedness of solutions / T. Yoshizawa // Funkcialaj Ekvacioj. - 1959. - V. 2. - P. 95-142.

99. Zhao, J.X. On partial asymptotic stability and limit equations / J.X. Zhao// J. Nanjing Math. Biqguart. - 1990. - V.7. -N 1. - P. 100-108.

100. Zhou, C. On the boundedness of solutions of a class of general Lienard system / C. Zhou, D. Zhang // J. Anhui Norm. Univ. Natur. Sci. - 2008. - V. 31. - N 2. -P.106-110.