Исследования устойчивости неавтономных систем и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Пузырев, Владимир Евгеньевич

• Пузырев, Владимир Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пузырев, Владимир Евгеньевич

ВВЕДШИЕ.

ГЛАВА I. Об .-устойчивости дифференциальных уравнений, неавтономных в первом приближении

§ I.I. Теорема об асимптотической устойчивости

§1.2. Об устойчивости колебательной системы второго порядка с переменными коэффициентами

§ 1.3. Теорема об асимптотической устойчивости по первому приближению.

ГЛАВА II. К устойчивости неустановившихся движений в критическом случае IT пар чисто мнимых корней

§ 2.1. Теорема об асимптотической устойчивости системы

Zyi -го порядка.

§ 2.2. О нормализации вспомогательной функции в одном особенном случае

§ 2.3. Теорема об асимптотической устойчивости в критическом случае ^ пар чисто мнимых корней

§ 2.4. Одна теорема об асимптотической устойчивости

§ 2.5. К экспоненциальной устойчивости по части переменных в критическом случае п пар чисто мнимых корней

ГЛАВА III. К устойчивости вращений гироскопа Лагранжа вокруг главной оси при наличии сил сопротивления среды 9S

§ 3.1. Постановка задачи

§ 3.2. Устойчивость раБНомераых вращений гироскопа в округ глаЕпой осп е случае 0 •

§ 3.3. Оценка области притяжения . НО

§ 3.4. Устойчивость неравномерных Еращений гироскопа, устанавливаемая по первому приближению

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования устойчивости неавтономных систем и их приложения»

В последние десятилетия заметно возрос интерес к теории устойчивости движения, созданной в конце прошлого века выдающимся русским математиком и механиком A.M.Ляпуновым. Различные вопросы этой теории имеют большое принципиальное и прикладное значение. При решении разнообразных задач механики и техники всё чаще приходится применять точные методы Ляпунова, так как более грубые подходы к ним (задачам) не дают положительных результатов. Изучение и применение этих методов становится всё более необходимым для нужд науки и техники.

В настоящее время осноеным строгим методом решения задач устойчивости является прямой или второй метод Ляпунова. Задача исследования устойчивости движения рассматривается как задача устойчивости нулевого решения уравнений возмущённого движения i = Ht,£) (0.1) где х= , te С0,оо[ , xefii , f(t,£)- п- мерная непрерывная по t, х{ , Х^ функция, J- Ct,0) = 0. Обычно также предполагается, что (0.1) допускает в области t > 0, Н*|| н > о (0.2) единственное решение соответсвующей задачи Коши, непрерывно зависящее от начальных данных.

С помощью некоторых вспомогательных функций, названных впоследствии его именем, A.M. Ляпунов установил ряд достаточных услоЕий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости тривиального решения системы (o.I) » составивших основу второго метода. В классической теории устойчивости функции Ляпунова являются ЕещестЕешшш и непрерывно-дифференцируемыми в области (0.2) и уничтожаются на невозмущённом движении (то есть V(t,0) = 0 ). Производная функции V по времени в силу системы (0.1) при этом непрерывна в указанной области.

Рассмотрим уравнения возмущённого дышения вида

VPisWli + " + P«tt,:r*+ Xs(t,x(,.,iJ, (0.3)

При решении задачи устойчивости системы предшественники Ляпунова пользовались обычно методом линеаризации, то есть рассматривали систему

Xs - pis№)x ♦ pMtt)l. , s = C« (0.4) и на осноЕашш устойчивости или неустойчивости тривиального решения (0.4) делали аналогичный вывод относительно невозмущённого движения системы (0.3). Однако такого рода решение задачи является нестрогим и, вообще говоря, неправильным, поскольку может случиться, что невозмущённое движение при исследовании лишь первого приближения окажется устойчивым, хотя на самом деле оно неустойчиво, и наоборот.

А.М.ЛяпуноЕ доказал теоремы об устойчивости и неустойчивости тривиального решения систеш (0.3) по первому (линейному) приближению. Для случая установившихся движений (когда Ps- = сопл-t , X з не зависят от Бремени) эти теоремы были доказаны с помощью использования вспомогательных функций, взятых б виде квадратичных форм. В случае неустановившихся движений теорема об устойчивости для правильных систем была доказана Ляпуновым при помощи построения некоторых рядов, удовлетворяющим уравнениям возмущённого движения. Впоследствии изучением устойчивости по первому приближению занимались многочисленные авторы. О .Перрон [94] , а несколько лет спустя И.Г.Малкин [59] и К.П.Персидский [53] доказали три эквивалентных критерия асимптотической устойчивости по первому приближению. Приведём здесь формулировку теоремы Персидского .

Теорема I. Если для уравнений линейного приближения системы (0.3) при любых t0^0 и t>t-0 выполняются неравенства

-*(t-t0) х . (t,t)| <- Ь е

- положительные постоянные, не зависящие где (К и Ь от t , X (t,10) - фундаментальная система решений урав-SA нений (0.4) , то невозмущённое движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций X. , удовлетворяющих в области (0.2) неравенствам X,(t,х)| < A , если только постоянная А достаточно мала.

Установленные вышеназванными авторами критерии не являются эквивалентными критерию Ляпунова ( в отличие от послед

-Г о него, теорема I гарантирует асимптотическую устойчивость тривиального решения равномерную по начальному моменту времени t0. Однако утверждения этих теорем в известном смысле близки, поскольку все они справедливы лишь в случае, когда все характерпстпческпе числа системы (0.4) положительны.

Тоорсма Ляпунова об устойчивости по первому приближению для правильных систем была доказана Н.Г. Четаевым с помощью построения квадратичной функции ЛяпупоЕа С 8 6 1 . Им J3G бЬШ1 доказаны теоремы о неустойчивости по дерЕОму приближению для правильных систом, а также об устойчивости и неустойчивости для неправильных систем . Несколько лет спустя Х.Л.Ыассера обобщил теорему ЧетаоЕа об устойчивости по перЕОму приближению для неправильных систем [ ^ 3 ] .

Позднее использованием вспомогательных функций для исследования поведения траекторий системы уравнений возмущённого движения но уравнениям первого ( не обязательно линейного ) приближения занимались И.Г. Ыалкин [ 3 9 ] , Е.А. Барбашин [f], а также Н.Н. Красовский [2)0] , который обобщил теорему I па задачи устойчивости по первому приближению для тех случаев, когда правые части уравнений первого приближения представляют собой однородные формы от переменных X порядка YYI > { с переменными по t непрерывными и ограниченным! коэффициентами. Изучением вопроса об устойчивости по первому приближению для неавтономных систем занимались также А.С. Озиранер [ 50 - 5 2 ] ,В.Е. Гермаидзе , Г.М. Ханаев [42 " 80] ,

О .В. Анашкин [51 , В.И. Косолапов [28] .

Как показал А.ЫЛяпунов, наряду со случаями, когда задача устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения, встречаются случаи (которые были названы критическими) , когда для правильного решения задачи требуется рассмотрение членов более высокого порядка. Для уравнений возмущённого движения, автономных в первом приближении, критические случаи имеют место тогда и только тогда, когда некоторые из корней характеристического уравнения имеют нулевые вещественные части, и не имеется корней с положительными вещественными частями. В своих работах Ляпунов рассмотрел три критических случая: I) характеристическое уравнение имеет один нулевой корень и № корней с отрицательными вещественными частями; 2) характеристическое уравнение имеет два нулевых корня, которым соответствует одна группа решений; 3) случай пары чисто мнимых корней и m корней с отрицательными вещественными частями.

В дальнейшем задача о критических случаях стала предаетом многочисленных исследований. Большой вклад в развитие теории критических случаев внесли Г.В. Каменков [24 26], И.Г. Малкин

39] , В.Г. Веретенников [10, U] , A.M. Молчанов Л.Сальвадори [ТО, 92], А.Я. Савченко [66-6 8] , а для гамиль-тоновых систем - В.И. Арнольд [5] , Ю.Мозер [^8], А.П. Мар-кеев [^0,-41] , A.M. Ковалёв .

Предположим, что функции в уравнениях (0.3) есть константы, а характеристическое уравнение системы (0.4) имеет Е-корней с отрицательными вещественными частями и т пар чисто мнимых корней, среди которых нет кратных (или, при наличии кратных корней, какдому такому корню отвечает столько групп решений, какова его кратность) (£m+t = in) . Тогда уравнения движения (0.4) с помощью линейной вещественной замены переменных могут быть приведены к виду i - К У*. Г- - V V^'''+ тде матрица Q = (Cf-ic) такова, что уравнение имеет только корни с отрицательными вещественными частями. В случае, когда уравнения возмущённого движения (0.3) автономны, а функции X ( ^ = i, it-) являются аналитическими s относительно переменных х ; . , Х^ ? полная система уравнений возмущённого движения запишется в виде y6(zi,->z~4i,'~>V>n>u"-~,u'J (О.о)

4i= 9ijUi + '" ^ (xt>~->z>*, fa,-,

Здесь функции X s , У5 , U-. представимы в виде рядов по степеням переменных Xs , , U. , разложения которых начинаются с членоЕ не ниже Еторого порядка. ( В дальнейшем любую Функцию ф ^^^.uj будем обозначать

Ф ).

При решении задачи устойчивости тривиального решения системы (0.5) обычно используют два метода. Первый из них - принцип сведения - состоит в следующем, для "некритических" переменных U, . . , Uo вводится замена

- V $.(*,■*) , (0'6) где 1Л - ноше переменные, а £. представляют собой сумму форм

О ' 4 до К. -го порядка включительно формальных рядоЕ, удовлетворяющих системе уравнений в частных производных

VI ^ s = i <>s s-1 4

В результате замены (0.6) система (0.5) преобразуется к Еиду

Ms + L X 5

У S - - + °° (р) L У l-- s р-2. о г— . . , (?) —

V. 4 \ = + - + L 11 СР) ^ U. , t i где j ^ . У, s ' s ; и. i - формы степени р относительно причём, согласно еыбору U пункций ^ . 6

CP) И о, А 0 прп р 4 ^ .

Затем рассматривается "укороченная система", содержащая только критичсскке переменные оо w

Хе " КЧ, + L 1

0-7) р-а

K.I'. Ыалкин [3 9] и Г.В. КамонкоЕ [2.6] показали, что если задача устойчивости решается с помощью построения вспомогательной функции для системы (0.7), причём знак не зависит от слагаемых порядка выше К , то и для системы (0.5) задача устойчивости может быть решена.

Другой способ исследования устойчивости тривиального решения уравнений (0.5), основанный на одной идее A.M. Ляпунова, даёт возможность рзшать задачу не прибегая к предварительному преобразованию переменных [ 6 %, 10], Вспомогательная функция берётся в виде где ^^ £> - некоторые константы, J) = xs + , s^l^;

Ц - положптельно-определенпг W ., Ut такая, что форма

11(г>

U. - положительно-определенная квадратичная форма переменных t

L +яч«.)

1 л г'» является отрицательно-определённой, V (р^Ъд) - некоторые формы порядка р переменных З^,.--, х^, i^.,^, u.lf., Ut.

Для произвольных чисел m и L А.Я.Савченко показал т Г (Р) , — . возможность такого выоора коэффициентов $оры \j (р - ; г^к; что полная производная по времени функции V в силу уравнений (0.5) имеет вдд

Здесь (и) - отрицательно-определённая квадратичная форма переменных . ? Ut ; 1®Чт"1 означает целую часть числа Kji-i , Г константы, зависящие изьестным образом от величин cot ., f и коэффициентов разложения правых частей системы (0.5), функция X (х,^, и.) имеет относительно переменных , ^«v.tyi,—порядок малости не менее К+1. В зависимости от значений величин G„ и формулируются теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости тривиального решения системы (0.5). Указанный подход распространён для периодических и почти периодических движений, а также для некоторых классов непериодических движений [22,68] .

Заметим, что е последние годы находят большое применение методы исследования задач устойчивости при наличии резонансоЕ, то есть в случае, когда для некоторого набора К1). , Кт сумма K4X1+. + icwX равна нулю. Из результатов, полученных в этом направлении отметим [ 32,^ ? ] .

С целью удобства изложения материала диссертационной работы введём следующие обозначения.

I - полубесконечный интервал [0,оо[ J - полубесконечный интервал [Т,оо[ , Т - некоторое положительное число; п

- некоторая окрестность начала пространства IR. ; (Js - П- мерный набор символов Кронекера cf-s C^in.), Its & п.

Заглавными буквами латинского алфавита K.L. P.Q.R будем обозначать, если не оговорено противное, И - мерные наборы целых неотрицательных чисел, а соответствующими малыми буквами - суммы этих чисел. Например

Р= (Pt.-.PJ , р= Р. —+ •

Если векторы Х= (Xi 7.; и Р ^ (Pi, • • •, имеют одинаковую размерность m ^ n = t } то сшлволом X ^ будем р Р» обозначать произведение ЗС 1 • . . X . Таким образом,

Р Q Z запись CLp (t) X у. означает а

Oi , 9n л

Коротко остановимся на содержании диссертации. (Поскольку в последней не обсуждаются вопросы, связанные с неустойчивостью, то в дальнейшем, говоря о задаче устойчивости, будем иметь в виду нахождение достаточных условий устойчивости тривиального решения уравнений возмущённого движения.) Б первой главе рассматривается задача об устойчивости неустановившихся движений е случае, когда уравнения первого приближения изучаемой системы не являются автономными. В § I доказывается основная теорема об асимптотической устойчивости тривиального решения системы (0.1), использующая вспомогательную функцию, которая Еместе со своей производной по Бремени в силу уравнений возмущённого движения является, вообще говоря, знакопеременной в любой как угодно малой окрестности ^ . § 2 посвящён вопросу об устойчивости тривиального решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Доказанные критерии расширяют известные условия, налагаемые на коэффициенты рассматриваемого уравнения. Заканчивает главу теорема об устойчивости по первому приближению, позволяющая доказывать асимптотическую устойчивость невозмущённого движения в случаях, когда применение известных теорем связано с различными трудностями ( например, когда среди характеристических чисел решеограниченные по времени и др.). При доказательстве теорем главы указываются оценки скорости отрешения возмущённого движения к нулю.

Во второй главе изучается задача об устойчивости в критиний имеются нулевые, когда среди функций шлеются неческом случае П. пар чисто мнимых корней. В § I доказывается теорема об асимптотической устойчивости системы, характеристическое уравнение линейной части которой имеет только чисто мнимые корни. § 2 посвящен вопросу о построении вспомогательной функции в одном особенном случае. Доказывается теорема, которая позволяет устанавливать асимптотическую устойчивость тривиального решения в некоторых тонких ситуациях (наft (J «з пример, когда тривиальное решение 'предельной системы1 устойчиво неасимптотически). Теорема об асимптотической устойчивости невозмущённого движения системы порядка £ п. + т. доказывается в § 3. В § 4 доказывается теорема об асимптотической устойчивости произвольной системы вида (0.1) представляющая собой обобщение теоремы параграфа I.I. Завершает главу теорема об оценке возмущённого движения по части переменных. Как и е первой главе приводятся оценки скорости стремления к нулю возмущённого движения.

Заключительная глава диссертации посвящена исследованию устойчивости вращений симметричного тяжёлого твёрдого тела (гироскопа Лагранжа) под действием диссипатлвных сил. § I содержит общую постановку задачи. В § 2 приведены условия асимптотической устойчивости равномерных вращений гироскопа Лагранжа ео-круг главной осп инерции, которые имеют вид некоторых ограничений на коэффициенты диссипативной функции. В § 3 указывается метод оценки области притяжения и скорости стремления возмущённого движения к нулю. В одном частном случае даётся зависимость верхней оценки для возмущённого движения от параметров системы. Услоеия асимптотической устойчивости неравномерных вращений тела вокруг главной оси найдены в § 4.

Основные положения, выносящиеся на защиту:

1. Теорема I.I об асимптотической устойчивости тривиального ре решения системы (0.1).

2. Теорема 1.5 об устойчивости по первому приближению.

3. Исследование устойчивости и построение вспомогательной функции в одном особенном случае ( §2.2 ).

4. Достаточные условия асимптотической устойчивости е критическом случае П пар чисто мнимых корней ( теорема 2.3 ).

5. Теорема 2.4 об асимптотической устойчивости и оценке возмущённого движения системы (0.1).

6. Критерий экспоненциальной устойчивости по части переменных в критическом случае П пар чисто мнимых корней ( теорема 2.5 ).

7. Достаточные условия асимптотической устойчивости равномерных вращений гироскопа лагранжа вокруг главной оси и метод оценки области притяжения ( §§ 3.2, 3.3 ).

8. Достаточные условия асимптотической устойчивости неравномерных вращений гироскопа Лагранжа вокруг главной оси.

Некоторые результаты диссертационной работы докладывались на III республиканском совещании по проблемам динамики твёрдого тела ( Донецк, 9 - II сентября 1901 г. ), III республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям ( Одесса, 1-3 июня 1982 г. ), III Всесоюзной школе по теории устойчивости ( Иркутск, август 1982 г.), на теоретических семинарах отдела прикладной и технической механики Института прикладной математики и механики КБ УССР, на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликоЕаны б работах

5^-60, 69].

Автор Еыракает искреннюю благодарность и глубокую признательность А.Я. Савченко за постановку задач и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пузырев, Владимир Евгеньевич, 1983 год

1. Айзорман Ы.А. Достаточное условие устойчивости одного класса динамических систем с переменными параметрами. - 11Ш, 1951, т. 15, вып. 3.

2. Аминов Ы.Ш. К устойчивости неустановившегося движения. -Тр. Казан, авиац. пн-та, 1972, еып. 149, с. 3-14.

3. Анашкин О.В. Об асимптотической устойчивости в нелинейных системах. Дифф. уравнения, 1976, т. 14, Ш, с. 1490-1493.

4. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем. ШГд, 1979, т. 43, еып. 5, с. 796-805.

5. Арнольд В.И. малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. УМЫ, 1963, т.18, Г. 6, с. 91-192.

6. Артемьев Н.А. Осуществимые движения. Изв. АН СССР, OIJEIi, сер. мат ем., 1939, Ш, с. 351-367.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. м.: Наука, 1967. - 223 с.

8. Багрова А.И. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости состояния равновесия в неавтономных системах. Сб. науч. трудов Всесоюзного заочн. ин-та ииж. ж.-д. трансп. 1981,iii III, с. 43-48.

9. Брюно А.д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. Тр. Ыоск. матем. об-ва, т. 25, с. 119-262.

10. ВеретешшкоЕ В.Г. Об устойчивости движения в случаетрёх пар чисто мнимых корней. Тр. ун-та дружбы народов им. II .Лумумбы.: Сер. теор. мех., 1966, 15, 3, с. 166-179.

11. Веретенников В.Г. К устойчивости почти периодических движений. ПШ, 1968, т. 32, вып. I, с. II4-II7.

12. Гольцер Я.М. К исследованию критического случая пар чисто мнимых корней. Изв. АН Каз. ССР.: Сер. шиз.-мат., 1967, 1Б 3, с. 64-72.

13. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами. Журнал тех. физики,

14. Горшин С.И. Критические случаи. Изв. АН Каз. ССР.: Сер. мат. и мех., 1948, вып. 2, с. 23-29.

15. Далецкпй Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 534 с.

16. ДемидоЕпч Б.11. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Паука, 1967.

17. ЖукоЕ В.II. К вопросу о методе источников для исследования устойчивости нелинейных систем. ДАН СССР, 1978, т. 243,J& 2, с. 291-294.

18. Зубов В.И. Устойчивость движения. Ы.: Высшая школа,• 1973. - 271 с.

19. Игнатьев А.О. 0 влиянии исчезающих постоянно действующих возмущений на асимптотически устойчивые движения. В кн.: Механика те. тела. Киев: Паук, думка, 1979, вып. II, с. 92-95.

20. Игнатьев А.О. Об устойчивости положения равновесия колебателышх систем с переменными коэффициент шли. iIwIm, 1982, т. 46, еып. I, с. 167-168.

21. Игнатьев А.О., СаЕченко А.Я. К вопросу о критическом случае П пар чисто мнимых корней. Б кн.: Беесоюз. конш. по устойч. депл!., колебаниям мех. систем и аэродпншлике. Тез. докл., 1л., 1978, с. II.

22. ИгнатьеЕ А.О., Савченко А.Я., Светличная П.В. Об устойчивости в критическом случае пар чисто мнимых корней. Б кн.: Механика те. тела. Киев: Наук, думка, 1979.

23. Йордаиова ы., Атанасов Ж. достаточные условия устойчивости механической системы с переменными параметрами. Годишн. висш. учебпп завед., Техн. физ., 1977, 12, $ I, с. 93-100.

24. Калонков Г.Б. К задаче об устойчивости движения в критических случаях. 1Ш, 1965, т. 29, вып. 6, с. I053-IG69.

25. Каменков Г.Б. устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Паука, 1971. - 2ь9 с.

26. Каменков Г.Б. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Д.: Наука, 1972. - 214 с.

27. КовалёЕ АЛЛ., Савченко А.Я. Устойчивость равномерных Еращений твёрдого тела Еокруг главной оси. ГМ.л, 1975, т. 39, вып. 4, с. 650-660.

28. КосолапоЕ В.И. К устойчивости движения в нейтральном случае. ДАН УССР, сер. А, 1979, ^ I, с. 27-31.

29. КрасоЕСкпй Н.Н. Об устойчивости решений системы второго порядка е критических случаях. ДАН СССР, 1953, т. 93, с. 965967.

30. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивостидвижения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

31. Кузнецов Б.П., Кукаренко Е.П. Области асимптотической устойчивости линейной непрерывной нестационарной системы. Автоматика и телемех., I960, В 3, с. 26-30.

32. Кунпцыи А .Л. Об устойчивости в критическом случае трёх пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе. ГШ, 1971, т. 32, вып. I, с. 164-167.

33. ЛС'.л)шец С. Геометрическая теория дифференциальных уравне-нпй. м.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 307 с.

34. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -Собр. соч., т. 2, м.-Л.: Изд-во Ail ССОР, 1956. 473 с.

35. Ыартынюк А.А., 1'утоЕскн Р. Интегральные неравенстЕа л устойчпЕость движения. Киев: Наук, думка, 1979.

36. Массера Х.Л. К теории устойчивости. матегл. Период, сб. перевод, иностр. статей, 19137, I, J-* 4, с. 81-104.

37. Меркин Д.Р. достаточные условия асимптотической устойчивости одной нелинейной системы. Уч. зап. Лен. гос. пед. пита им. Герцена, 1966, 126.48. мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. - 163 с.

38. Молчанов A.M. Устойчивость в случае нейтрального линейного приближения. ДАН СССР, 1961, т. 141, JS I, с. 24-27.

39. Озпранср А.С. О некоторых теоремах еторого метода Ляпунова. Пмм, 1972, т. 36, вып. 3, с. 396-404.

40. Озпранер А.С. Об устойчивости движения в критических случаях. 1Ш, 1975, т. 39, еып. 3, с. 415-421.

41. Озпранер А.С. К теории неустановившихся движений. Вкн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. -Наука, сиб.отделение, Новосибирск, 1979, с. 50-56.

42. Персидский К.II. Избранные труды. T.I. Наука, Алма-Ата, 1971.

43. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1964, т.28,16 6, с.1297 -1324.

44. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости диссипативныу систем. -ПШ, 1957, т. 21, )Н, с. 503-512.

45. Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией. ПШ, 1961, т. 25, Й4, с. 657-667.

46. Пузырёв В.Е. Одна теорема об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Деп. в УкрНИИНТИ, 1321,22.11.83.

47. Пузырёв В.Е. Об асимптотической устойчивости гироскопа Лагранжа. Деп. в УкрНЙИНТИ, & 1322 , от 22.11.83.

48. Пузырёв В.Е., Савченко А.Я. К вопросу об устойчивости неавтономных систем в критическом случае П, пар чисто мнимых корней. В кн.: Третье респ. соЕещ. по проблемам динамики тв. тела. Тез. докл., Донецк, 1981, с. 62.

49. Пузырёв В.Е., Савченко А.Я. Достаточные условия устойчивости для неавтономных систем в критическом случае Я пар чисто мнимых корней. Мат. физика, 1983, вып. 34.

50. РозенЕассер Е.Н. Замечание об одном способе построения функции Ляпунова. ПШ, I960, т. 24, вып. 4, с. 746-749.

51. Ройтенберг Я.Н. Об одном методе построения функций ЛяпуноЕа для линейных систем с переменнымл коэффициентами. -ЛШ, 1958, т. 22, еып. 2, с. 167-172.

52. Румянцев Б.Б. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В сб.: Механика в СССР за 50 лет, т. I. М.: Наука, 1968, с. 7-66.

53. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений твёрдого тела. НММ, 1956, т. 20, вып. 3, с. 51-66.

54. Руш 11., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпцнова в теории устойчивости. I.I.: Мир, I960. - 300 с.

55. Савченко А.Я. К теории критического случая П пар чисто мнимых корней. В кн.: Мех. твёрдого тела. Киев: Наук, думка, 1976, вып. 8, с. 78-88.

56. СаЕченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. Киев: Наук, думка, 1977. - 160 с.

57. СаЕченко А.Я. Методы исследования неасимптотически устойчивых депноппй механических систем и их приложения. Дпссерт. на сопск. уч. степ, доктора физ.-мат. паук: Донецк, 1977. 237с.

58. СальЕадори Л. Об устойчивости равновесия в критических случаях. Механика. Дерподич. сб. переводов иностр. статей, 1969, J3 5, с. 3-28.

59. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гампльтоповой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот. -ШМ, 1974, т. 38, вып. 5, с. 791-799.

60. Старшшский В.М. Достаточные условия устойчивости одной механической системы с одной степенью свободы. 1Ш, 1952, т. 16, вып. 3, с. 368-374.

61. Старжинский В.М. Об устойчивости неустановившихся движений в одном специальном случае. ГШ, 1955, т. 19, еып. 4, с. 471-480.

62. Стрижак Т.Г. Об устойчивости решении некоторые гамиль-тоновых систем. Изв. АН Каз. СОР. Сер. физ.-мат., 1981, JS 3, с. 26-32.

63. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки, стабилизация. М.: Наука, 1977.

64. Хазин Л.Г., Хазина Г.Г. 0 возможности резонансной стабилизации системы осцилляторов. IMvI, 1980, т. 44, вып. 4, с. 660-666.

65. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Исследование асимптотической устойчивости равновесия при резонансе 1:3. М.: 1978, препринт67. 54 с.

66. Хапаев М.М. Об одной теореме типа Ляпунова. ДАН СССР, 1967, т. 176, J& 6, с. 1262-1265.

67. Хапаев М.М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний. Мат.заметки, 1968, т.З, $ 3, с. 307-318.

68. Хапаев М.М. Об устойчивости положения равновесия систем дифференциальных уравнений. Дифф. уравнения, 1969, т. 5, £ 5, с. 848-855.

69. Хитров r'lvl. К задаче стабилизации в критических случаях. В кн. Теория уст. и её прилож.: НоЕосиб., 1979,с. 136142.

70. ЧетаеЕ Н.Г. Теорема о неустойчивости для правильных систем. ПШ, 1944, т. 8, еып. 4, с. 323-326.

71. Четаев Н.Г. О наименьшем характеристическом числе. -№Ы, 1945, т. 9, еып. 3, с. 193- 196.

72. Четаеь Н.Г. Об устойчивости вращения твёрдого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа. ПШ, 1954, т.18, еып. I,. с. 123-124.

73. Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившиеся двшсений. ШМ, I960, т. 24, еып. I, с. 6-19.

74. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1946.

75. Чезари Jl. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир,1964.

76. ЯкоЕлев М.К. Об одном способе построения функций Ляпунова для линейных систем с переменными коэффициентами. Лиф. уравнения, 1965, т. I, J» II, с. 1488-1492.89. biassera J.L. On Liapunov's condition of stability. -Ann. Llath. , 194-9, 50, 3, p. 705-721.

77. LicGill D.J. , LOng L.S. Tlie effect of viscous damping on spin stability of a rigid body with, a fixed point. Trans. ASME, 1977, E 44, No. 2, p. 352.

78. Perron 0. Die Stabilitlitsfrage bei Differentialgleichungen. Mathem. Zeitschrift, 52, 1930»

79. Salvador! L. Sulla stabilita del movimento. Mathema-tiche, 1969, 24, No. 1, 218-238.

80. Yoshizawa T. On the nonlinear differential equation. Mem. College Sci. Univ. Kyoto, 1954, 29, Ser. A, p. 133-141.

81. Yoshizawa T. On the stability of solutions of a system of the differential equations. ibid, 1955, No. 1, p. 2755.

82. Yoshizawa T. Liapunov's functions and bounaedness of solutions. Funkcialaj Ekvacioj, 1959, No. 2, p. 92-142.