Обоснование методов усреднения и замораживания для систем уравнений в конечных разностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Драган, Владимир Алексеевич

• Драган, Владимир Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Драган, Владимир Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОДЫ ПОЛНОГО И ЧАСТИЧНОГО УСРЕДНЕНИЯ С ВЕСОМ

СИСТЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ I. Усреднение с весом систем конечно-разностных уравнений.

§ 2. Частичное усреднение систем конечно-разностных уравнений.

§ 3. Усреднение с весом систем конечно-разностных уравнений не разрешенных относительно разности.

ГЛАВА П. МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ И ЗАМОРАЖИВАНИЯ СИСТЕМ СУММАРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ I. Методы усреднения и замораживания начальной задачи для систем суммарно-разностных уравнений.

§ 2. Усреднение и замораживание начальной задачи для систем суммарно-разностных уравнений не разрешенных относительно разности.

§ 3. Применение методов усреднения и замораживания для решения многоточечных краевых задач для систем суммарно-разностных уравнений.

§ 4. Методы усреднения и замораживания многоточечных краевых задач для систем суммарно-разностных уравнений не разрешенных относительно разности.

§ 5. Частичное усреднение и замораживание систем суммарно-разностных уравнений.

ГЛАВА Ш. МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ И ЗАМОРАЖИВАНИЯ СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ РАЗНОСТЯХ.

§ I. Принцип усреднения конечно-разностных систем уравнений в частных разностях.

§ 2. Методы усреднения и замораживания систем суммарно-разностных уравнений в частных разностях.

§ 3. Усреднение и замораживание систем суммарно-разностных уранений не рнзрешенных относительно старшей разности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обоснование методов усреднения и замораживания для систем уравнений в конечных разностях»

В последнее время усилился интерес к теории систем уравнений в конечных разностях и методам приближенного решения этих систем. Это связано с тем, что уравнения в конечных разностях оказались весьма удобной моделью для описания дискретных динамических систем, а также для математического моделирования импульсных систем.

Для изучения непрерывных динамических систем был предложен метод усреднения, являющийся одним из широко применяемых асимптотических методов, позволяющий существенно упростить исходную задачу.

Строгое обоснование этого метода, разработанного еще в трудах создателей небесной механики, дано в известных исследованиях Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [17?][б], [?].[в].

Под влиянием фундаментальных идей Н.Н.Боголюбова метод усреднения получил дальнейшее развитие и обобщение в работах И.И.Гихмана [12] , Б.П.Демидовича [15] , М.А.Краеносельского и С.Г.Крейна [1б] , Ф.С.Лось [19] и ряда других исследователей С Ю], [13],[14], [24] ,[28] .

Методы усреднения и замораживания начальной задачи для систем интегральных и интегро-дифференциальных уравнений были впервые разработаны и обоснованы в работах А.Н.Филатова [25] , С 30] -[36] и получили дальнейшее развитие в[з] ,[4], [18], [38], [39].

В работах Д.Д.Байнова и С.Д.Милушевой [i] , [ 2] , [22] , [ 23 ] , метод усреднения применен для решения систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с многоточечным краевым условием.

Идеи метода усреднения оказались плодотворными и в теории конечно-разностных систем уравнений.

Так, в [41] рассматривается вопрос существования почти-периодического решения системы конечно-разностных уравнений

Дх(п) = еХ(п,х(п))9 п= 0,1,2,. (I) в окрестности статического решения усредненной системы где

Ы—1

Х0 (JC)= Urn -rr X(?,JC) (3) N->oo /V T=0 - среднее функции X(n,x) по явно входящему дискретному аргументу п . Принцип усреднения (на интервале длины порядка £ ~ 1 ) начальной задачи х(0)=хо (4) для системы (I) обоснован в работе Е.Л.Белана [5] . Усреднение начальной задачи для систем конечно-разностных уравнений не разрешенных относительно разности рассмотрено в [26] , [27] .

Изучение свойств усредненных траекторий медленных динамических систем в [21] позволило определить достаточные условия, при которых усредненные траектории близки к траекториям исходной и усредненной систем (как на конечном, так и на бесконечном интервале времени). Следствиями из доказанных утверждений являются теоремы об усреднении на конечном и бесконечном интервале времени задачи (I), (4).

Систематическое изложение основ теории разностных уравнений дано в книгах А.О.Гельфовда [II] , А.Халаная и Д.Векслера [37], Я.В.Быкова и В.Г.Линенко [9] , Д.Й.Мартынюка [20] , Л.Бранда [40].

Настоящая работа посвящена обоснованию методов (полного и частичного) усреднения и замораживания начальной и многоточеч

- б ной краевой задач для систем конечно-разностных и суммарно-разностных уравнений одной и нескольких дискретных переменных. Основными результатами диссертации являются:

- обоснование метода полного и частичного усреднения с весом для систем конечно-разностных уравнений;

- обоснование методов усреднения и замораживания для систем суммарно-разностных уравнений;

- доказательство принципов усреднения и замораживания для систем уравнений в частных разностях.

В первой главе дается обоснование метода полного и частичного усреднения с весом систем конечно-разностных уравнений, разрешенных и неразрешенных относительно разности.

Отметим, что усреднение с весом начальной задачи для систем дифференциальных уравнений рассмотрено в работе И.С.Теплиц-кого [29] .

В первом параграфе первой главы обоснован метод усреднения с весом начальной задачи (I), (4).

Введем диагональные матрицы /77-го порядка

Р(п,х)4р.(п,х) Sik] , Q (n.x)Jf Р(Т, х), 1 г=0 и положим

N-1

Г Н-*оо T-Q (5)

Задаче (I), (4) поставим в соответствие усредненную с весом Р(п9х) систему конечно-разностных уравнений

AH(n) = eXp(t;(n)) <б> с начальным условием k(0) = x(0)=xo. (?)

Очевидно, обычное усреднение (3) соответствует применению единичной весовой матрицы.

Условия близости решений задач (I), (4) и (6), (7) устанавливает следующая

Теорема I.I.I. Пусть вектор-функция Х(пух) и матрица Р(п,х) в некоторой области D евклидова пространства Rm удовлетворяют следующим условиям:

1) для всех п^О и для любых точек х9х'€2) существуют положительные константы Н,Я и fit такие, что

II IP(v,x)\UnH, 1\Р(п,х)[Х(п,х)-Х(л,х')]1 ± т=о

4 ЯI Р(п, х) (X -x')l II р(п, х)Х(п, х) - Р(пУ)Х(п,фц Цх-х'Ц;

2) существует вектор-функция Xр (ос) такая, что равномерно по X в области J) йт jlQ-1(N,x)l Р(г,х)[Х(т,х)-Хр(х)]//= О,

Ы-ь-оО Т = 0 причем

IIХР(Х)Ц * М, ЦР(п,х)Хр (х)-Р(п,х>)Хр (х')\\ &Цх-сс'Ц, где М, 'О - положительные постоянные ; х9 х' € D У

3) решение ^(п) задачи (б), (7) определено при всех п^О и вместе с некоторой J.)- окрестностью принадлежит области В;

4) вдоль траектории функциональная матрица Р(пу % (п)) удовлетворяет оценкам^

Pi(nMn))\>«, П(Ч/М11)>У, \U(n)H<i,

IT" V где

Ц(п)= А Р(п, $(п)) Р~'(п+/, ^ (п+ /)) , ос - положительная постоянная, jb - постоянная больше единицы. Тогда для любого lj>0 и L> О можно указать такое число

S > 0 , что для 0 < £ й £0 при О й Е (Le~1)

Кроме того, в первом параграфе усреднение с весом применяется для решения системы (I) с одним из многоточечных краевых условий t

1 Я. х(пь) = О, (8)

Z tiixfai)* Г(х(п0) хСп,),. 9 х(пе),е), (9)

1=0 где fl'L - постоянные матрицы.

К системам конечно-разностных уравнений можно применять оператор частичного усреднения усредняя, например, только некоторые уравнения или отдельные слагаемые правой части системы. Такое усреднение также приводит к упрощению исходной системы и бывает полезным в тех случаях, когда среднее некоторых функций не существует или их сохранение не усложняет исследование системы.

Некоторые схемы частичного усреднения систем конечно-разностных уравнений рассмотрены во втором параграфе первой главы.

Третий параграф посвящен обоснованию метода усреднения с весом систем конечно-разностных уравнений неразрешенных относительно разности

Дх(п) = еХ(п,х(п), Дх(п)). (10)

Для таких систем изложены две схемы усреднения. Согласно первой схеме, системе (10) ставится в соответствие усредненная система

А$(п)=еХр(Ь(п),д$(п)), (ш где

N-1

По второй схеме системе (10) ставится в соответствие усредненная система разрешенная относительно разности лк(п)^хра(п)), си) rfls N-1

Х(х)= Urn Q~'(N,x) Z Р(г,х)Х (?,х, 0). .ы)

Соответствующие результаты установлены для системы (10) с многоточечными краевыми условиями вида (8) или (9).

Во второй главе разработаны и обоснованы методы усреднения и замораживания начальной и многоточечной краевой задач для систем суммарно-разностных уравнений, разрешеных

Дх(п)=аХ(п,х(п) £ ip(n,s,x(s))). (15)

6=0 и неразрешенных относительно разности п

Лос(п)=еХ(п9х(п), Лх(п)9 X y>(n,s,x(s)9Ax(s))). (1б) з=0

Первый параграф этой главы посвящен обоснованию двух схем усреднения и замораживания начальной задачи (4) для системы (15). Согласно первой схеме усреднения, задаче (4), (15) ставится в соответствие усредненная система конечно-разностных уравнений а?) с начальным условием

-*о, (18) r*e *

Х01 (х)= Urn - Z X(t,x,z v(t,s,x)).

Близость решений задач (4), (15) и (17), (18) устанавливает Теорема 2.1.1. Цусть вектор-функции Х(п,х,у.) и <f(nt s, х) в некоторой области G-D xDf, ВСR^QcR*удовлетворяют условиям

1) для всех n^O^SzOvL для любых точек (х9у>\ (x'itf') € & существуют положительные постоянные М и ji , функция £l(n,$) такие что

U(n>x,u)U М, ЦХ(л,х,и)-Х(п,х',у 'Л^[llx-x'll+llr/ll]t

V П-1 Т h(n\s,x)~ 4>(n,s,x')\\ ^МЦх-х/, Z Lpfcs) 4

V-0 s=o nS(n), $(n) -+0, /7-^00;

2) существует такое Х01 (x) » что равномерно по i в области Л)

Um-У II Ё ^ Will =

Н-*>оо /V £--0 S=0

Тогда для любых у > О и L >0 существует число £0 > О такое, что для всех £ еа и 0 йп £ Е (L е~1) справедлива оценка tx(n>где - решение задачи (17), (18), определенное при всех п ^ 0 и лежащее в области D вместе со своей ^-окрестностью, а х(п) - решение задачи (4), (15).

Если предел (19) не существует, то оказывается, что решение системы (15) может быть сколь угодно близко аппроксимировано решением системы конечно-разностных уравнений

Wn)*£X(",i(n), t 4>(n,S^(n))) (20) $=о полученной из исходной системы методом замораживания (фиксированием x(s) под знаком суммы при S-п ).

По второй схеме усреднения, в которой используется сумма ряда ро 5=0 задаче (4), (15) ставится в соответствие система конечно-разностных уравнений

Д$(п) = е Х02 а (")), $ (0) = ^ , (21) где j N—1 со

X02(x)=Um U £ X(v>x>Z- (22)

02 N+co N t=0 s=0

Во втором параграфе второй главы дано обоснование методов усреднения и замораживания начальной задачи (4) для систем суммарно-разностных уравнений неразрешенных относительно разности (16). Здесь же показано, что при весьма общих условиях решение системы (16) может быть сколь угодно близко аппроксимировано решением системы конечно-разностных уравнений

Ay(n)=e,X(n9y(n),097L tr(n9s9f(n),0)). (23)

Применение методов усреднения и замораживания для решения многоточечных краевых задач (8), (9) для систем суммарно-разностных уравнений разрешенных и неразрешенных относительно разности, изложено соответственно в третьем и четвертом параграфах второй главы.

В системах суммарно-разностных уравнений можно проводить различные схемы частичного усреднения или замораживания. Некоторые из этих схем изложены и обоснованы в пятом параграфе.

Третья глава диссертации содержит обоснование принципа усреднения и метода замораживания систем конечно-разностных и суммарно-разностных уравнений, содержащих два независимых дискретных аргумента.

Первый параграф этой главы посвящен обоснованию принципа усреднения начальной задачи u(m,0)=f(m,s), и(0,п)=р(п>£^ f(0te)=p(0,E), (24) для систем конечно-разностных уравнений разрешенных

Дтпи~еХ(т,л,и, Ати, Апи) (25) и неразрешенных относительно старшей разности

Дтп и = 6 Х (т> п>и>Дт и, An U, Дтп Ш где тпи-и(т+ /, п+1)-и(т+ 1,п)~а(т,п + 1)+ ц(/п9п)9 Ат и = и (т+1,п)-и (т, п)9 Ап и = а(т, п+/)-и (т, /?).

Дусть существует среднее по явно входящим дискретным переменным т и п

М-1 N-1 тг не зависящее от величин 0.

Задаче (24), (25) ставится в соответствие усредненная система

Amn v(m} п) = бХ0 (v(m, п), Ат V, Ап v) (28) с начальным условием тГ(т, 0) £), Г(0,п)=р(п,е). (29)

Близость решений задач (24), (25) и (28), (29) устанавливает Теорема 3.1 Л. Пусть функция

Mm, п,и,Х,у) в некоторой области G*U2 9 2),Hi D2 С Rk} удовлетворяет следующим условиям:

I) для всех т>0,п>0 и для любых точек (u,xf^)f ( существуют положительные постоянные В к Я такие, что

ЦХ(т,п,и,х,у)Ц йВ,

- 13

2) функции f(m,e) и cj, (п, е) удовлетворяют условиям

U("b6)-f(m',e)l4k(e)$7\т-т'\,

3) существует такое Х0 (и, зс, i^J , что равномерно относительно всех ръ0у<р>0 и относительно значений (и, ос, у.} из области G

М-1 N4

Um rLfZZ [Х(т,+р,Ъ*(и,x,y)]g=0.

Л/-*о© I ъ -о ТР = 0 N-*-<*>

Тогда, если v(m,n) - решение задачи (28), (29) оцределен-ное для всех т>0, О и обладающее свойством, что множество [v(m,n), Дп v} принадлежит области G , а и(т,п)- решение задачи (24), (25), определенное при всех E(Le"T) 1 9 Q^n £E(LС1) и такое, что множество {и(т,п)у Ати, Ап и} принадлежит области G » то для любых tj> 0 и L > О существует такое е0>0 , что для всех 0<£ 4£0и 0*m£E(L£~1z),0£n£E(L£-z) справедлива оценка u(m,n)-v(m7n)\\ * f . Для систем уравнений в частных разностях вида (26), дано обоснование двух вариантов усреднения. Первый вариант основан на переходе от системы (26) к упрощенной системе

Дтп£ = еХ Ст,п, Z,AmZ,AnZ,0) (30) с последующим усреднением этой системы по явно входящим т и п. Второй вариант базируется на непосредственном усреднении функции тп по явно входящим /77 и п и рассмотрении усредненной системы Атптг=еХ0 (v,Amir, Дптг}Дтп<г). (3D

Во втором параграфе этой главы изложено обоснование двух схем усреднения и замораживания систем суммарно-разностных уравнений в частных разностях вида т п

Атпц = еХ(т> п,и, Z Z У(т>п>s>Пu(s>')))* <32)

S=0 г=о

Согласно первой схеме усреднения, системе (32) ставится в соответствие система конечно-разностных уравнений

ЛтпУ = £Л01 (V(m,n)), (33)

ГДе 1 м-1 N4

Если предел (34) не существует, то в соответствие с методом замораживания, наряду с системой (32) рассматривается система конечно-разностных уравнений т п

AmnV=eX(m,/7, <Г(™9п9*9г,тг(т,п% (35) s=0

Для доказательства принципа усреднения вводится и изучается двумерный аналог скользящего среднего [2lJ ц(т>п) траектории и(гПуП) исходной системы „ ,

Показано, что эта операция приводит к конечно-разностным системам уравнений "почти" совпадающими с усредненными. Оказывается усредненные траектории сколь угодно близки к траекториям исходной и усредненной систем. Последнее позволяет установить близость решений исходных и усредненных систем.

В третьем параграфе показывается, что принцип усреднения может быть установлен не прибегая к изучению усредненных траекторий исходной системы. Именно, показывается, что при соответствующих условиях близость решений исходной т п

Атпи = бХ(тЛц,Дтпц, Z Z VfaWuMArUMli36) s-o r*=o и усредненной систем

Amnv^eX01(v,Amnv), (37) где м-1 N-I г, г2 оiM'JiZm ^ ^ Z л««*>), может быть установлена непосредственно, через уклонение правой части Л от своего среднего Х01 вдоль траекторий усредненной системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Драган, Владимир Алексеевич, 1983 год

1. Байнов Д.Д. Метод усреднения для одной двухточечной краевой задачи. - Математични весник, 5 (20), Св. 2, 1968, е.198-- 204.

2. Байнов Д.Д. Асимптотические формулы для одной краевой задачи. Доклады Болгарской академии наук, т.23, № 5, 1970,с.469-471.

3. Бейшенкулов А. Метод замораживания для систем интегро-диф-ференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных. В кн.: Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения, вып.I, Фрунзе, 1978, с.13-16.

4. Бейшенкулов А. Методы усреднения и замораживания в теории приближенного построения решений нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений и их приложения. Диссертация канд.физ,мат.наук, 1981, с.125.

5. Белан Е.Л. 0 методе усреднения в теории конечно-разностных уравнений. Укр.мат.журн., т.19, № 3, 1967, с.85-90.

6. Боголюбов Н.Н. 0 некоторых статистических методах в математической физике. Изд-во АН УССР Киев, 1945, 139 с.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Науко-ва думка, 1969, 247 с.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методыв теории нелинейных колебаний. 4-е изд. испр. и доп. - М.: Наука, 1974, 504 с.

9. Быков Я.В., Линенко В.Г. 0 некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. Фрунзе: Илим, 1968, 139 с.

10. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем, — М.: Изд—во МГУ, 1971, 507 с.

11. Гельфонд я.О. Исчисление конечных разностей. о-е изд., испр. - М.: Наука, 1967, 375 с.

12. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н.Боголюбова. Укр. мат.журн., т.4, № 2, 1952, с.215-219.

13. Гребеников Е.А. Об обосновании методов осреднения уравнений небесной механики. Астр.ж., т.41, вып.З, 1964

14. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971, 444 с.

15. Демидович Б.П. Об одном обобщении принципа усреднения Н.Н. Боголюбова. ДАН СССР, т.96, № 4, 1954, с.693-694.

16. Красносельский М.А., Крейн С.Г. 0 принципе усреднения в нелинейной механике. Успехи мат.наук, т.10, № 3, 1955, с.147-152.

17. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937, 112 с.

18. Ларионов Г.С., Филатов А.Н. 0 методах усреднения в нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Труды пятой международной конференции по нелинейным колебаниям, т.1. Киев, 1970, с.353-361.

19. Лось Ф.С. 0 принципе усреднения для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Укр.мат.журн., т.2,3, 1950, с.87-93.

20. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972, 246 с.

21. Меерков С.М. Об усреднении траекторий медленных динамических систем. Дифференц. уравнения, T.IX, № 9, 1973,с.1609-1617.

22. Милушева С.Д. Применение метода усреднения к одной двухточечной краевой задаче для систем интегро-дифференциаль-ных уравнений типа Вольтерра. Укр.мат.журн., т.26, № 3, 1974, с.338-347.

23. Милушева С.Д., Байнов Д.Д. Применение метода усреднения для решения краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений стандартного типа. Изв.АН Каз.ССР, сер.физ.мат.наук, № 3, 1976, с. 51-55.

24. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.

25. Митропольский Ю.А., Филатов А.Н. Усреднение интегро-диф-ференциальных и интегральных уравнений. Укр.мат.журн., т.24, № I, 1972, с.30-48.

26. Назайкулова Б. Нелинейные разностные уравнения второго порядка, содержащие малый параметр. В кн.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып.7, Фрунзе: Илим, 1970, с.229-241.

27. Назаркулова Б. Метод усреднения в нелинейных системах разностных уравнений. В кн.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, вып.7, Фрунзе: Илим, 1970, с.265-272.

28. Самойленко A.M. Применение метода усреднения для исследования колебаний, возбуждаемых мгновенными импульсами, в автоколебательных системах 2-го порядка с малым параметром. Укр.мат.журн., т.8, №3, 1961, с.103-109.

29. Теплицкий И.С. Усреднение с весом в дифференциальных уравнениях с малым параметром. Изв.АН УзССР, сер.техн.наук, № I, 1975, с.60-64.

30. Филатов А.Н. О методе усреднения в системах интегро-дифференциальных уравнений. ДАН СССР, т.165, № 3, 1965, с. 490-492.

31. Филатов А.Н., Талипов Л.И. Об одном варианте усреднения в интегро-дифференциальных уравнениях. ДАН СССР, т.192,4, 1970, с.750-752.

32. Филатов А.Н. О частичном усреднении в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц.уравн., т.У1, № 6, 1970, C.III8-II20.

33. Филатов А.Н. Усреднение в системах дифференциальных, интег-:!- ро-дифференциальных и интегральных уравнений. Ташкент:ФАН, 1967, 107 с.

34. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интег-ро-дифференциальных: уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971,279 с.

35. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: ФАН, 1974, 216 с.

36. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976, 152 с.

37. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: МИР, 1971, 310 с.

38. Шарова Л.В. Об одном способе частичного усреднения в дифференциальных уравнениях. -Дифференц.уравн., т.Х, № б, 1974, с.1074-1077.

39. Щарова Л.В. Усреднение одного специального класса интегро-дифференциальных уравнений. Дифференц.уравн., т.Х, № 8, 1974, с.1520-1524.

40. Brand L. Differential and difference equations ,John Wiley Sons Inc. ,Nev; York-London-Sidney ,1966.

41. Halanay A.Solutions periodiques et presque-periodiques des system.es d"* equations aux differences finies,Arch.Rat.Mech. aiid Analysis ,12 (19бр>~Ж2,р.134~149.

42. Драган В.А. Усреднение конечно-разностных уравненийУ Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений. Тез.докл.Кишинев: Штиинца, 1979, с.64-65.

43. Драган В.А. Частичное усреднение систем конечно-разностныхуравнений. В кн.: Исследования по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям. Кишинев: Штиинца, 1981, с.24-32.

44. Драган В.А. Метод замораживания в системах суммарно-разностных уравнений. В кн.: Исследования по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям. Кишинев: Штиинца, 1981, с.32-38.

45. Драган В.А. Метод усреднения систем суммарно-разностных уравнений. В кн.: Вычислительные методы механики (Мат. исслед., вып.64), Кишинев,: Штиинца, 1981, с.172-181.

46. Драган В.А. Методы усреднения и замораживания систем уравнений в конечных разностях двух переменных. В кн.: Вычислительные методы механики (мат.исслед., вып.64). Кишинев: Штиинца, 1981, с.182-188.