Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Хоанг Туан Ань

• Хоанг Туан Ань
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Хоанг Туан Ань

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Обзор литературы по расчету пластин средней толщины

1.2 Литература по численным методам

1.2.1 Метод конечных элементов (МКЭ)

1.2.2 Метод последовательных аппроксимаций (МПА)

1.2.3 Обзор работ по методу конечных разностей

1.3 Выводы по главе 1

Глава 2. РАСЧЕТ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ НА СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

2.1 Дифференциальные уравнения пластины средней толщины

2.2 Представление дифференциальных уравнений в безразмерном виде

2.3 Аппроксимация дифференциальных уравнений обобщенными уравнениями метода конечных разностей

2.4 Учет граничных условий

2.4.1 Шарнирное закрепление:

2.4.2 Жесткое защемление:

2.4.3 Свободное опирание:

2.4.4 Свободный край:

2.5 Приближенный способ расчета изгибаемых пластин средней толщины со свободным от закреплений краем

2.6 Выводы по главе 2

Глава 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА РАСЧЕТА ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

3.1 Дифференциальные уравнения задачи при действии динамических нагрузок

3.2 Переход к безразмерным величинам

г»

3.3. Об аппроксимации во времени

3.4 Разработка алгоритма расчета на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений МКР

3.5 Учет граничных условий

3.6 Определение внутренних усилий

3.7 Выводы по главе 3

Глава 4. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ И НОВЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ

4.1 Результаты решения тестовых задач по расчету пластин средней толщины на статические нагрузки

4.2 Результаты решения задач по расчету пластин средней толщины на динамические нагрузки

4.3 Выводы по главе 4

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки»

ВВЕДЕНИЕ

Вьетнам расположен в Юго-Восточный Азии и является развивающейся страной. Во Вьетнаме строительство развито недостаточно, как и во всех развивающихся странах . Поэтому развитие и усовершенствование в строительстве являются задачами правительства. В настоящее время много больших сооружений строят во всех местах страны. Например, высокие здания, телевизионные башни, склады, резервуары , радиорелейные линии... Фундаменты этих сооружений, их межэтажные перекрытия, их покрытия представляют собой за частую плиты средней толщины. Применение плит средней толщины в качестве несущих элементов конструкций ведет к необходимости совершенствования методов их расчета. Эти вопросы возникают как в строительстве так и в различных областях современной техники.

Актуальность темы

Теория пластин (плит) и оболочек является наиболее важным приложением теории упругости . Плиты средней толщины различного очертания применяются при построении многих технических объектов . Возникают ситуации, когда и тонкие плиты для уточнения результатов приходится рассчитывать по теории плит средней толщины. Поэтому тема диссертации является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методики расчета изгибаемых плит средней толщины на различные статические и динамические нагрузки с применением обобщенных уравнений метода конечных разностей.

В соответствии с этим были поставлены следующие основные задачи:

- разработка алгоритмов и программ расчета на ЭВМ изгибаемых плит средней толщины на различные статические и динамические нагрузки ;

- сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями ;

- решение новых задач расчета изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработаны алгоритмы расчета изгибаемых плит средней толщины на статические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР);

- разработаны алгоритмы расчета изгибаемых плит средней толщины на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей ;

- на базе разработанных алгоритмов составлены программы для ЭВМ;

- решены новые задачи расчета изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Достоверность результатов устанавливается сходимостью решений и сравнением их с известными решениями , в том числе по классической теории, а для некоторых задач- сопоставлением результатов с экспериментальными данными.

Практическая ценность работы заключается в разработке алгоритмов и программ для расчета на ЭВМ изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки с различными условиями закрепления. Результаты доведены до возможности использования в

практических расчетах на стадии инженерного проектирования конструкций.

Программы позволяют учитывать:

- различные краевые условия ;

-нагрузки с произвольными законами изменения в пространстве и времени.

Апробация работы была проведена на:

-заседании кафедры «Строительная Механика» Московского государственного строительного университета 28-го августа 2014 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи в рецензируемых журналах , рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям; Наименования статей приведены в списке литературы под номерами [66,67].

На защиту выносятся:

- алгоритмы расчета изгибаемых пластин средней толщины на произвольные статические и динамические нагрузки на базе обобщенных уравнений МКР ;

-результаты решения новых задач по расчету изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы ; изложена на 125 страницах.

В первой главе приводится обзор литературы по расчету плит средней толщины и численным методам.

В второй главе приводятся обобщенные уравнения МКР для расчета изгибаемых плит средней толщины с различными краевыми условиями на статические нагрузки. Разработан алгоритм расчета плит средней толщины для определения внутренних усилий и перемещений. Составлена программа для ЭВМ. Приводится приближенный способ расчета изгибаемых пластин средней толщины со свободным от закреплений краем.

В третьей главе приводятся обобщенные уравнения МКР для расчета изгибаемых плит средней толщины с различными краевыми условиями на динамические нагрузки. Разработан алгоритм расчета плит на динамические нагрузки с определением внутренних изгибающих моментов, крутящих моментов и поперечных сил. Составлена программа для ЭВМ.

В четвертой главе приводятся результаты решения тестовых задач по расчету плит средней толщины на различные статические нагрузки ,а так же результаты решения новых задач по расчету плит на статические и динамические нагрузки.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам проведенных в диссертации исследований.

Диссертация написана на [125] листах, имеет [29] рисунков и [47] таблиц. Библиографический список состоит из[213]наименований трудов российских и зарубежных учёных.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю проф. д.т.н. Габбасову Р.Ф., заведующему кафедрой строительной механики проф. д.т.н. Мондрусу В.Л. и всему коллективу кафедры за постоянное внимание и большую помощь при выполнении настоящей диссертации.

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Обзор литературы по расчету пластин средней толщины

Теории и методам расчета изотропных однородных изгибаемых пластин постоянной и переменной жесткости, в линейной и нелинейной постановке, тонких и средней толщины, помимо фундаментальных трудов И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко и С. Войновского-Кригера, посвящено большое количество работ. Значительный вклад в теорию расчета внесли российские и зарубежные ученые: A.B. Александров, Е.Г. Алексеева, А.Г. Анг, Н.И. Безухов, Ван Цзи-де, Д.В. Вайнберг, Л.П. Варвак, П.М. Варвак, Б.Ф. Власов, И.О. Губерман, М.И. Длугач, В.А. Киселев, Г.В. Колосов, Б.Г.Коренев, Е.Б.Коренева, А.Л. Коши, Л.С. Лейбензон, А.И. Лурье, A.M. Масленников, Г. Маркус, Н.И. Мусхелишвили, Х.М. Муштари, Э. Мюллер, А. Надаи, В.В. Новожилов, П.М. Огибалов, Г. Ольсон, A.M. Проценко, Г.И. Пшеничнов, В.Г. Рекач, А.Ф. Смирнов, В.А. Смирнов, Д.Н. Соболев, A.A. Уманский, В. Флюгге, Чен Сян-Юнь, H.H. Шапошников, Г.Г. Шенгелая, В.М. Янсен и другие исследователи.

В работе Шойхет Б.А. [196] показано, что решение по классической теории пластин является асимптотически точным, то есть при d —> 0, где ¿/-толщина плиты, оно определенным образом стремится к решению пространственной задачи теории упругости. Однако в технической практике существует ряд важных задач, для которых получаемые по классической теории результаты являются недопустимыми. Введенная Кирхгоффом в 1850 году гипотеза о прямолинейности и не растяжимости нормали вносит не только значительные упрощения в исследование деформации пластин, но и известный произвол. Несвободная от формальных противоречий элементарная теория пластин допускает неполное выполнение условий на краю. Невозможность удовлетворения

трем естественным граничными условиям Пуассона противоречит физической природе явления и объясняется пренебрежением деформациями, вызванными касательными напряжениями. Отметим, что точность теории тонких пластин уменьшается с увеличением толщины плиты, коэффициента Пуассона, жесткости опор и ростом показателя интенсивности нагрузки.

Э. Рейсснер вернул рассмотрение в задачах изгиба трех граничных условий Пуассона. В [207] он задал линейный закон изменения напряжений ах, сту, т^ по толщине плиты, изменения касательных

напряжений тх2,т уг по квадратичному закону и кубическому для

нормального напряжения <jz .

В работе [208] получены разрешающие уравнения для прогиба w и функции напряжений %. Основные результаты статьи: применение этих уравнений к проблеме вращения прямоугольной плиты , к задачам плоского изгиба и чистого кручения плиты конечных размеров с круглым отверстием.

В [209] Э. Рейсснер дает несколько иной вывод уравнений , вводя углы поворота, а также способ преобразования системы уравнений и применяет теорию к проблеме расчета плит типа "сандвич" с толщиной 2с.

V.L.Salerno, М.А. Goldberg [213] применили теории Э.Рейсснера к расчету на действие равномерно распределенной нагрузки шарнирно-опертой прямоугольной плиты, в которой исключается поворот граней .

Авторы показывают , что при значениях параметра —<0.1 сдвиговой

а

деформацией можно пренебречь (а- меньший размер плиты).

В работе [199] L.Bolle иным способом вывел уравнения изгиба пластин с учетом влияния касательных напряжений, опираясь на те же исходные гипотезы, что и Э.Рейсснер.

В работе [202] A.E.Green , пользуясь комплексными переменными, показал, что уравнения Рейсснера могут быть получены из уравнений равновесия и физических соотношений, записанных Стивенсоном в комплексной форме.

В работе [204] P.M.Naghdi развил модификацию варианта теории Э.Рейсснера для случая произвольных нагрузок, учитывающую поперечное обжатие. Изменение перемещений u,v и напряжений <7Х, ау, тху по толщине по линейному закону. Изменение прогиба Wпо

толщине задается по квадратной параболе , что позволяет получать достаточно достоверные решения для произвольной нагрузки.

В работе [210] Э.Рейсснер предлагает другую модификацию теории. В этой теории вводится линейный закон изменения напряжений сгх,сг ,т по

толщине и далее интегрированием уравнений равновесия получается квадратичный закон для поперечных касательных напряжений. Путем интегрирования соотношений закона Гука для касательных напряжений при условии, что прогиб W не меняется по толщине пластины, может быть учтен эффект поперечного сдвига. В результате получается кубической закон изменения и и v по толщине пластины.

В работе [203] H.Hencky получил разрешающую систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно углов поворота (рх,(ру и прогиба W.

В работе [43] Власов Б.Ф предложил варианты теории изгиба. Подтвердил полное удовлетворение условиям неразрывности деформаций

и закону Гука. Вследствие приближенного выражения вариации энергии в принципе Лагранжа интегрально выполнены уравнения равновесия.

Позднее более общая теория была предложена в работе М.П. Шереметьева, Б.Н. Пелеха [194] .Получена замкнутая система разрешающих дифференциальных уравнений, позволяющая удовлетворить естественным условиям Пуассона на контуре пластины, а также двум условиям на граничных поверхностях z = ±d. Использование вариационной формулировки при построении этого варианта уточненной теории, а именно , введение энергетических выражений для компонент деформации, дало возможность записать общие уравнения изгиба.

В работе [205] R.D.Nordgren установил, что относительная ошибка решений , полученных по теории пластин Э.Рейсснера , пропорциональна квадрату толщины (d2 /а2) . В [211] Z.Rychter оценка погрешности перехода выполнена на основании гиперсферической теоремы, предложенной еще W.Prager, J.L.Sunge [206] . Отмечено , что в случае нерегулярной граничных условий и для композиционных плит порядок ошибки может достигать (d3 /а3).

В работе [79] Гольденвейзер А.Л обобщил теорию Э.Рейсснера, вводя в распределение напряжений некоторую нечетную функцию (p(z), т.е заменяя

линейный закон произвольным обратно-симметричным законом.

В работе [7] Айнола Л .Я показал, что функция <р(2) является искомой и определяется в ходе решения задачи.

В работе [114] Черняев А.А рассчитывал пластинки средней толщины из условия жесткости. Для определения максимального прогиба (жесткостной расчет ) упругих изотропных круглых, правильных п-угольных, треугольных и ромбических пластинок с шарнирно апертым ,

либо жестко защемленным контуром от действия равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки предлагается использовать единую для всех расчетную функцию одной переменной, а именно, безразмерную геометрическую характеристику формы плоской области (отношение внутреннего конформного радиуса к внешнему.)

В работе [107] Сухотерин М.В рассчитывал изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига. Предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций для начального приближения в виде гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам, которые по мере наложения взаимно компенсируют порождаемые ими невязки в граничных условиях. Невязки убывают с ростом числа итераций и решение можно получить с любой степенью точности. Приведены численные результаты для прогибов и изгибающих моментов консольной пластин Рейсснера под действием равномерной нагрузки. Дается сравнение с классической теорией.

В работе [106] рассчитывал изгиб плит средней толщины при наличии усилий в средней плоскости.

В работе [153] Груздев Ю.А. и Коженков А. А применили символический метод Лурье к динамической задаче растяжения толстой плиты. Предлагается способ определения собственных частот и форм колебаний, симметричных относительно срединной плоскости плиты с учетом нескольких распространяющихся мод. Символический метод А.И. Лурье в сочетании с принципом виртуальных работ эластокинетики используется для приведения трехмерной задачи о колебаниях плиты к двумерной. Системы приближенных уравнений получены методом однородных решений. Численно исследован случай осесимметричных колебаний свободной круглой толстой плиты.

В работе [116] дан ряд конкретных оценок влияния деформаций поперечного сдвига на напряженно- деформированное состояние

изолированных пластин , подкрепленных ребрами. Дана оценка влияния учета поперечного сдвига на напряженное состояние пластины, локализированное вблизи ее кромок или других линий возмущения. Обсуждается возможность использование упрощенных теориё учета влияния поперечного сдвига при расчете пластин. Приведен ряд известных примеров опасности формального использования классической теории для расчета тонких пластин. Путем сравнения асимптотического анализа точного и конечно-элементного решений выявлены причины появления эффекта запирания изгибной составляющей поперечного перемещения пластин при учете влияния поперечных сдвиговых деформаций.

В работе [157] Папуш А.В рассчитывал плиты средней толщины с учетом поперечного сдвига. Для получения достоверной картины напряженно- деформированного состояния плиты средней толщины необходимо использовать различные варианты уточняющих теорий. Решение исходных уравнений изгиба плиты значительно упрощается по варианту теории Б. Ф. Власова. Рассмотрен изгиб плиты шарнирно-закрепленной по двум противоположным сторонам, а по двум другим , к которым отнесены продольные края, -свободной от закрепления под действием равномерно распределенной нагрузки. Дана оценка погрешности, вносимая заменой крутящих моментов на краях поперечной силой, а также пренебрением деформацией сдвига, с помощью уточенной теории. Для свободного края плиты при этом точно выполняются три естественных граничных условия Пуассона .

В работе [115] Сухотерин М.В. исследовал изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера.

В работе [108] Cheng Chang-jun , Yang Xiao использовали уточенную теорию изгиба толстых пластин в форме Рейсснера, чтобы рассчитывать изгиб толстой прямоугольной пластины с тремя защемленными кромками и одной свободной. С введением функции напряжений задача сводится к

интегрированию независимых друг от друга дифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, которые завязываются через граничные условия. С использованием принципа суперпозиции задача разбивается на четыре вспомогательные задачи. Первая из них является задачей изгиба свободно опертой пластины при действии равномерного поперечного давления. Остальные задачи ставятся уже для однородных уравнений при неоднородных условиях для изгибающих моментов, прогиба и углов поворота . Решение каждой из вспомогательных задач записывается в явном аналитическом виде, где фигурируют искомые коэффициенты граничных разложений. Подчинение заданным граничным условиям приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, которая решается численно последовательным усечением. Приводятся результаты расчета толстых пластин.

В работе [48] рассматривается один вариант обобщенной теории плит Э. Рейсснера. Все напряжения и деформации представлены в форме рядов Фурье от поперечной координаты. Построено счетное множество потециальных и вихревых решений. Краевые условия на боковой поверхности плиты удовлетворяются для каждой гармоники отдельно.

В работе [112] исследованы большие прогибы упругих изотропных прямоугольных пластин Миндлина. Рассматриваются случаи жесткой заделки , шарнирного опирания и смешанных граничных условий. Численное решение задачи строится с использованием разработанного ранее алгоритма, основанного на методе динамической релаксации. Приведены результаты численного анализа больших прогибов прямоугольной пластины под действием равномерно распределенного сжатия и синусоидально изменяющейся нагрузки.

В работе [145] дан аналитический обзор всех известных инженерных двумерных теорий третьего порядка, описывающих статический изгиб

упругих пластин средней толщины. Показано, что все известные теории основаны на одних и тех же представлениях поля перемещений . Это , в свою очередь, позволяет сформировать обобщенный вариант нелинейной теории третьего порядка для пластин средних толщин. Все рассматриваемые теории учитывают эффект поперечного сдвига.

В работе [147] приводятся уравнения теория упругости , описывающие деформации изотропной и однородной упругой полосы под действием поверхностных нагрузок. В частном случае задача непосредственно сводится к решению уравнений Рейсснера в теории пластин.

В работе [183] рассматривается осесимметричная задача для неограниченной плиты , нагруженной объемными самоуравновешенными поперечными силами. Для локального нагружения сравниваются порядки особенностей, содержащихся в точном решении, которое построение с помощью преобразования Ханкеля, классическом решении и решении, соответствующем уточенной теории Рейсснера . Отмечается , что последняя теория хорошо согласуется с точной только для гладких нагрузок.

В работе [122] исследована пластина Миндлина. В рамках теории Рейсснера- Миндлина обсуждается проблема анализа напряженно-деформированного состояния при изгибе умеренно толстых и тонких упругих прямоугольных пластин под вертикальной нагрузкой с учетом деформаций поперечного сдвига . На базе вариационного энергетического подхода разрабатывается усовершенствованная конечноэлементная модель рассматриваемой задачи и выполняются основные матричные уравнения упругого равновесия . Исходный функционал Рейсснера-Миндлина модифицируется посредством включения в него "штрафных членов", концепции наименьших квадратов , уточняющих уравнения равновесия сил и моментов . Приводятся числовые примеры расчета по излагаемой конечноэлементной методике прогибов и нормальных напряжений в

квадратных пластинах с защемленными и свободно опертыми краями под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки при различных отношениях толщины к стороне пластины. Результаты численных расчетов подтверждают отсутствие эффекта запирания конечноэлементного расчета даже при малых значениях относительной толщины.

В работе [121] Колоса А.В производится асимптотический анализ точности теории Э.Рейсснера. Показано, что решение по теории Рейсснера практически не меняется по сравнению с решением, полученно асимптотическим методом. У края пластины эта теория дает неточные результаты, т.к в ней не учитывается напряженное состояние краевой плоской деформации.

В работах [180], [181] Терегулова И.Г получены уравнения в перемещениях для расчета плит средней толщины с использованием вариационного принципа возможных перемещений и в предложении возможности разложения компонент тензора напряжений и деформаций в степенные ряды по поперечной координате z. Для решения граничных задач вводятся упрощения в систему уравнений при условии: когда нагрузка имеет показатель изменяемости порядка единицы, либо когда этот показатель велик.

В работе [47] исследовались изгибные колебания пластин средней толщины . Учитывается произвольное распределение нагрузки на поверхности и опирание пластины на упругое основание Винклера. Для описания свойств основания введены два коэффициента постели с одинаковой физической размерностью. Они характеризуют сопротивление основания вертикальным и горизонтальным перемещениями пластин. Основание считается безынерционным и двухсторонним . Представлены уравнения движения пластины и численно решены задачи об изгибных ,

крутильных и изгибно-крутильных собственных колебаниях. Проведен параметрический анализ полученных решений. Исследовано влияние на частоту и форму колебаний толщины пластины, соотношения коэффициентов постели, коэффициент Пуассона , материала пластины и других параметров. Дано сравнение приведенных уравнений движения с аналогичными уравнениями для пластины , покоящейся на основании Пастернака- Власова.

Отметим, что при построении теории методом разложения и асимптотическим, решение связано с привлечением громоздкого математического аппарата и усложнением вычислительных алгоритмов. Их численная ЭВМ - реализация затруднена. Поэтому уточенные теории с упрощающими гипотезами находят преимущественное применение в задачах изгиба плит средней толщины.

В нашей работе использована теория Рейсснера для расчета изгибаемых плит средней толщины на статические и динамические нагрузки.

1.2 Литература по численным методам.

В связи с развитием ЭВМ в практике инженерных расчетов широко применяются численные методы. Значительный вклад в решение краевых задач теории упругости и строительной механики численными методами внесли следующие российские и зарубежные специалисты : Абовский Н.П.[1] , Александров A.B. [8], Бате. [17], , Бузун И.М. [25], Вазов В. [26], Вайнберг Д.В. [27], Варвак П.М. [32,33,34], Вольмир A.C. [50,51,52], Габбасов Р.Ф. [56-69], Корнишин М.С. [124], Масленников А.М [135,136], Городецкий [85] Резниченко А.И., Нечаев Л.В., Казначеева О.К [161], Рикардс Р.Б. [162], Самаркий A.A. [171-173], Синицын А.П [174], Хемминг Р.В [188] и др.

Широко применяются методы конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ) , метод последовательных аппроксимаций (МПА), метод конечных разностей (МКР).

1.2.1 Метод конечных элементов (МКЭ).

К численным методам решения задач строительной механики

относится самый популярный и практичный в настоящее время метод конечных элементов (МКЭ). В силу присущей ему универсальности и алгоритмичности МКЭ успешно применяется для расчета конструкций практически любой сложности, и на его основе создаются комплексы программ широкого назначения. Математические основы метода впервые были сформулированы Р. Курантом в 1943г. [201] , а термин "конечный элемент" был введен в статье Р.В. Клафа, посвященной решению плоской задачи теории упругости [200]. Следует отметить, что первоначальная трактовка МКЭ базировалась на принципах строительной механики [198], что ограничивало сферу его приложений. В дальнейшем МКЭ развивался в многочисленных работах советских и зарубежных исследователей: JI.A. Розина [164-166], А. Масленникова [136], О. Зенкевича [103-104], A.A. Чираса [190-192] и многих других [ 29, 85, 188].

МКЭ основан на идее аппроксимации непрерывной функции (например, перемещения) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции в пределах элемента чаще всего применяется полином.

Метод конечных элементов состоит из следующих этапов:

1) идеализация исследуемой конструкции;

2) выбор основных неизвестных и интерполирующей функции;

3) получение матрицы жесткости элемента;

4) формирование разрешающей системы алгебраических уравнений

и её решение.

Наиболее важными преимуществами МКЭ являются следующие:

- свойства материалов смежных элементов могут быть разными;

- метод может быть использован для криволинейных областей;

- размеры элементов могут быть переменными;

- с помощью метода не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

Эти достоинства позволяют применять МКЭ без сомнений в тех случаях, когда решаемая задача легко может быть приспособлена к той или иной готовой программе по алгоритму МКЭ. Если решаемая задача новая, сложность МКЭ и трудоемкость алгоритма , не достаточно высокая точность при малом разбиении приводят к необходимости обратиться к другим современным численным методам.

1.2.2 Метод последовательных аппроксимаций (МПА).

В [64] показано , что МПА имеет три формы: интегральную,

дифференциальную и разностную. Интегральная и дифференциальная формы основаны на соответствующих матрицах интегрирования и дифференцирования. Последние составлены в отличие от подходов А.Ф. Смирнова , A.B. Александрова на базе кусочно-полиномиальных функций, обобщающих понятие сплайн, и учитывают конечные разрывы как самой функции, так и её первых двух производных. Габбасовым Р.Ф в [64] было установлено, что наиболее рациональная форма МПА- разностная. Последовательная аппроксимация заключается в том, как было показано еще в работах А.Ф Смирнова, A.B. Александрова, Б.Я. Лащеникова, что для приближенного описания самой функции и её производных используется аппроксимирующая функция одного и того же типа, например , кубический сплайн. Для разностной формы это название МПА

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хоанг Туан Ань, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами,- Пространственные конструкции в Краснодарском крае, 1975, в.8, с.215-219.

2. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В., Савченков В.И. и др. Избранные задачи по строительной механике и теории упругости. М.: Стройиздат, 1978. 189 с.

3. Абрамов Г.Д.Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными методами. Д.: Судпромгиз, 1951. 52 с.

4. Азархин A.M., Абовский Н.П. Об итерационных методах в некоторых задачах строительной механики. - Исследования по теории сооружений, 1977, в XXIII. -М.: Стройиздат, с. 152-157.

5. Айнола. О расчетных моделях упругих пластин для динамических задач. Ан.эст.ССР, серф.- М. и техн.н., 1963, т.12, №3.

6. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. - "Изв.АНЭст.ССР, сер. физ,- мат. и техн.наук", 1965, т.14, №1.

7. Айнола Л.Я. Об уточенных теориях пластинок типа Рейсснера // Теория оболочек и пластин.- Ереван, 1964. -с.171-178.

8. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ,- М., 1961.- вып. 131.- с.253-266.

9. Александров A.B., Шапошников H.H. Об использовании дискретной модели при расчёте пластинок с применением цифровых автоматических машин // Сб. трудов МИИТ. М.: Трансжелдориздат, 1966. С. 50-67.

10. Алексеев С.А. Изгиб толстых плит // Тр. ВВИА.- М.,1949.- вып.312.-с.3-30.

11. Алексеев Г.А. Устойчивость и динамика сооружений : Конспект лекций. Чебоксары : Изд-во Чуваш.ун-та, 1991.-67с.

12. Амосов A.A. Об использовании уточенных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний. Строительная механика и расчет сооружений , 1990, №1, с.36-39.

13. Аналитические и численные методы расчета прямоугольных пластинок : Учеб. пособие/ H.H. Леонтьев, А.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, В.И. Травуш; Моск.инж.-строит.ин-т им В.В. Куйбышева,- М., 1986.-88с.

14. Ананьин А.И., Баранов В.А., Барченков А.Г. Динамика сооружений : Учеб.пособие для студентов строит.спец.вузов. Воронеж: Изд-во Воронеж. Ун-та, 1987,- 192с.

15. Аргирос Дж., Шарпф Д. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечного элемента // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ.-Л.: Судостроение, 1974.-т. I.-с. 179-210.

16. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969, 287с.

17. Бате К., Вилсон Е., Численные методы анализа и метод конечных элементов . Пер. с. Англ. -М., Стройиздат, 1982. -447с.

18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

19. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах.- М., высшая школа, 1987- 264с.

20. Блох В.И. К общей теории упругих толстых плит// Инж. сборник.-1954.-t.18.

21. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М., наука, 1979, 336с.

22. Бойм A.A. О напряжениях в толстой прямоугольной шарнирно-оиертой плите // Вестник Львовского политех.института.- Львов, 1965.-№9.-c.3-13.

23. Бовин В.А. Дискретный вариант плоской теории упругости // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1980. В. 24. С. 121128.

24. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин.- М.:ГИТТЛ, 1953.-586с.

25. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластин. - Тр. Тюменского индустриального института, 1974, в.40, с.79-87.

26. Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Пер. с англ.- М., ИЛ, 1963.

27. Вайнберг Д.В. Численные методы в теории оболочек и пластин. -Труды VI всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М., наука, 1966, с.890-895.

28. Вайнберг Д.В., Ворошков П.П., Синявский А.Л. Численное решение пространственной задачи теории упругости //Расчет пространственных конструкций.- М., 1969.- вып. 12.- с.4-26.

29. Вайнберг Д.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. Т. 8. №8. С. 3-28.

30. Ванюшенков М.Г., С.Б. Синицын, Г.Г. Малыха. Расчет строительных конструкций на ЭВМ методом конечных элементов: Учеб.пособие. Моск.инж.-строит.ин-т им. В.В.Куйбышева.- М., 1988, -115с.

31. Ван Цзиде. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.

32. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок,-Киев, 1949.-ч.1.-1952.-ч.2.-116с.

33. Варвак П.М. Расчет толстой квадратной плиты, защемленной по боковым граням // Расчет пространственных конструкций,- М., 1959.-вып.5.- С.245-249.

34. Варвак П.М., Варвак А.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций.- М.: Стройиздат, 1977.- 160с.

35. Варвак П.М., Губерман И.Ю., Мирошниченко М.М., Предтеченский Н.Д. Таблицы для расчета прямоугольных плит.- Киев: изд. АН СССР, 1959.-419с.

36. Варданян Г.С. и другие, Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластиности .- М.:изд-во АССОЦИАЦИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ ВУЗОВ, 1995, 572с.

37. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника. 1966. №3. С. 50-61.

38. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла // Известия вузов. Авиационная техника. 1960. №4. С. 132-141.

39. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчёта пластин // Тр. КАИ. 1972. В. 143. С. 59-67.

40. Вашакмадзе Т.С. Теория упругих пластин // Успехи механики.-Варшава, 1983.-т.11.-№3.-с.43-75.

41. Векуа И.Н. Об интегрировании уравнений упругого равновесия пластинки // Докл. АНССР.- 1969.-186.-№3.-с.541-544.

42. Вибрации в технике. Справочник. М., машиностроение, 1978, т.1. Колебания линейных систем. Под ред.В.В.Болотина. 352с.

43. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок // Изв. АН СССР, ОТН.-М.Д 957.-№12.-с.57-60.

44. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты// Вестник Моск.ун-та., Механика.- М. 1957.-№2.- с.24-34.

45. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв.АН СССР, ОТН,- 1955.- №7.- СЗ-15.

46. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.- М.: физматгиз, I960.- 419с.

47. Влияние двухпараметрического упругого основания на собственные колебания пластин средней толщины. Wplyw dwuparametrowego podloza sprezystego na dragania wlasne plyty о srednie j grubosci./ Szczesniak Waclaw // Rozpr. inz. -1989, -37, № 1.-87-115.-Пол.;рез. рус., англ.

48. Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб плиты ./ Ходжиянц И.Ф. , Шумейко В.И.// Нов.легк. конструкции зданий / Рост. инж. -строит, ин-т,- Ростов н/ Д, 1990,- С. 107-110. Рус.

49. Воин A.M. Изгиб прямоугольных толстых плит при произвольных краевых условиях // ПМ.-1967.- т.3.-вып.8. - с. 11-18.

50. Волков A.C., Бобушев С.А. Расчет пластин на изгиб методом конечных элементов: Учеб. пособие для вузов.- Хабаровск, 1996.-71с.

51. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек.- М., наука, 1972,314с.

52. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956.

53. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек// Tp.II Всесоюзного съезда по теорет. и прикладной механике.-М.: Наука, 1966.- вып.З,- с.116-136.

54. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Тр. 6 Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1966.-е-896-903.

55. Ворович И.И. , Шленев М.А. Асимптотический метод решения первой краевой задачи теории плит Рейсснера при большом показателе изменяемости краевой нагрузки // Расчет оболочек и пластин.- Ростов н/д., 1987.- с.3-16.

56. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций.- Строительная механика и расчет сооружений, 1978, №3, с.26-30.

57. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций.- Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 3, с.27-30.

58.Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин. Известия Вузов, строительство и архитектура, 1981, №11,с. 58-62.

59. Габбасов Р.Ф.,Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций,- В кн.: Расчет пространственных конструкций. Сб. трудов МИСИ, М.,1981, №157, с.23-34.

60.Габбасов Р.Ф., Захарова JI.B. Расчет изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР) и разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания.- М., 1984, 36с.

61.Габбасов Р.Ф. Обобщение уравнений метода конечных разностей в полярных координатах на задачи с разрывными решениями.-Сопротивление материалов и теория сооружений, 1984, в.45, К.: Будивельник, с.55-58.

62. Габбасов Р.Ф., Низомов Д.Н. Численное решение некоторых динамических задач строительной механики. - Строительная механика и расчет сооружений, 1985, №6, с.51-54.

63. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численные построение разрывных решений задач строительных механики. Издательство АСВ, 2008, 277с.

64.Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дисс. д-ра техн. наук.- М., 1989.- 343с.

65.Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит и балок на упругом основании с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания. -М., 1990, 36с.

66. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Нгуен Х.А. Сравнение результатов расчета тонких изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей и последовательных аппроксимаций. М., журнал "Промышленное и гражданское строительство", 2014, №1, с.61-64.

67.Габбасов Р.Ф., Филатов В.В., Хоанг Т.А. Приближенный способ расчета изгибаемых пластин средней толщины со свободным от закреплений краем. JL,Вестник гражданских инженеров, 3(44)-июнь 2014, с.96-99.

68.Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А. Расчет изгибаемых плит средней толщины с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР) .М., журнал "Промышленное и гражданское строительство", 2014, №10, с.—.

69. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Шикунов М.А. Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета тонких изгибаемых плит на динамические нагрузки // Вестник МГСУ. 2014. № 9. С. 32-38 .

70.Гаврюшин С.С., Коровайцев A.B. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ,- М.: ВЗПИ, 1991.- 159с.

71.Гаджиев Д.М. Руководство к изучению раздела "Устойчивость и динамика сооружений " курса "Строительная механика ": Учеб.пособие.-Махачкала: ДГТУ, 1999,-109с.

72.Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. -М.: Гостехтехиздат, 1933.- 371с.

73. Галинып А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань, 1967.-Ч.1,- вып.5. -с.66-92, 1970.-Ч.2. -вып. 6-7.- с.23-64.

74.Глазырин B.C. Применение теории Рейсснера к расчету неограниченных плит, лежащих на упругом основании// Строительная механика и расчет сооружений.- 1964.-№2.-с.20-26.

75. Гершгорин С.А. О приближённом интегрировании дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Известия Ленинградского политехнического института. 1972. №30. С.75-97.

76. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений .- В кн.: успехи математических наук, т.ХУ1,1961,вып.З.

77. Годунов С.К. Уравнения математической физики,- М., наука, 1971, -416с.

78. Гольденблат И.И., Николаенко H.A., Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил. М., госстрой-издат. 1961, 320с.

79.Гольденвейзер А.Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера / Изв. высш. учеб.завед., ОТН,- 1958. №4,- с 102-109.

80.Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования // ПММ.1962.-т.26.-вып.4.-с.668-686.

81. Гольденвейзер А.Л. О погрешностях классической линейной теории и возможности её уточнения// ПММ.-1965.-т.29.-вып.4.-с.701-715.

82. Гольдштейн Ю.Б. Динамика и устойчивость деформируемых конструкций : Учеб.пособие. Петрозаводск: Петр ГУ, 2001,-199с.

83. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, " наукова думка" , 1964, 288с.

84. Гоши Б. Статика и динамика зданий с листовым каркасом / Пер.с венг. С.С. Попова ;Под ред.Б.Б.Лампси.- М.: Стройиздат, 1984.- 124с.

85. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1973. В. XX. С. 31-42.

86. Гордон Л.А, Скоморовский Я.Г, Фридман Е.Ш., Шойхет Б.А. Расчет и экспериментальные исследования пластин средней толщины. Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. -Л.: Энергия 1971.-т.95. - с. 142-166.

87. Григолюк Э.И., Слезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек. М.. изд. ВИНИТИ, 1973, 271с.

88. Груздев Ю.А. Полимоментная теория равновесия плит// Тр.7 Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука. 1970.-с.211-215.

89. Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Полимоментная теория толстых плит// ПММ.-1968.-32.-вып.2.-с.345-352.

90.Груздев Ю.А., Прокопов В.К. К задаче изгиба толстой плиты // ПМ.-1970.-6.-№5.-с.З-9.

91. Гутман С.Б. Расчет толстых плит под непрерывно распределенным давлением// Изв.НИИ гидротехники.-1940.-т.28.-с.76-83.

92. Деев В.М. Теория толстых упругих плит // Тр.6 всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок.-М: Наука, 1966.- с.369-374.

93. Даревский В.М. Изгиб прямоугольной пластины средней толщины / Издание центрального аэро-гидродинамического института им. проф. Н.Е. Жуковского. М.,1936.- 23с.

94. Дарков A.B., Шапошников H.H., Строительная механика ,учеб.для Вузов.- М., высшая школа, 1986, 607с.

95. Динамика и прочность конструкций : Темат. сб. науч. тр. / Челябин. политехи, ин-т им. Ленинского комсомола ; Под ред.Н.И.Гриненко.-Челябинск, 1982,- 112с.

96. Динамика и прочность машин и конструкций : Науч.тр.вузов ЛитССР / Вильнюс, инж,- строит.ин-т ; Редкол.: А.Чирас (гл.ред.) и др.- Вильнюс, 1983.- 168с.

97. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Киев: Наукова думка, 1964. 260 с.

98. Дятловицкий Л.И. К решению динамической задачи теории упругости методом конечных разностей.- Прикладная механика, 1966. Т.2, вып. 10, с.1-9.

99. Жадрасинов Н.Т. Численные методы и алгоритмы расчета строительных конструкций на ЭВМ; Учеб.пособие. - Караганда , 1988. -67с.

100. Жеков К.А. Метод конечных разностей в строительной механике и прочности : Учебное пособие,- М.:МАИ, 1988.-39с.

101. Жилкин В.А. Расчет на прочность и жесткость элементов сельскохозяйственных машин. Часть I. Теоретические основы проектирования элементов сельхозмашин: Учебное пособие. Челябинский государственный агроинженерный университет,- Челябинск, 2005.- 427с.

102. Захаров В.В. Расчет сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ. Лекции для студентов V курса специальностей С, МТ, ПГС. М., 1973, 83с.

103. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

104. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности // В сб. переводов «Механика». М.: Мир, 1960. №6. С. 127-132

105. Иванов Б.Э., Игнатова Е.В., Синицин С.Б. Решение задач динамики и устойчивости методом конечных элементов : Учеб. пособие .- М., 1990.-104с.

106. Изгиб плит средней толщины при наличии усилий в средней плоскости. Леонтьев H.H., Леонтьев А.Н., Вагилла Х.А. М.Строит.мех. и расчет сооруж. 2006, №6, с.21-24.

107. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига. Сухотерин М.В . Вестник СГАУ.2008, №1, с. 174-180.

108. Изгиб толстой прямоугольной пластины с тремя защемленными кромками и одной свободной. The bending of a thick retangular plate with three clamped edges and one free edge / Cheng Chang-jun , Yang Xiao // Ин'ню шусюэ хэ лисюэ = Appl. Math, and mech.. -1990.-11, № 6.-c. 543-559.- Англ.

109. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики : Справ.пособие. Минск : Вышейшая школа, 1990.- 349с.

110. Инженерные задачи статики, динамики и устойчивости сооружений: Межвуз. сб. науч. тр./ Воронеж, ииинж.-строит.ин-т; Редкол.: А.Г.Барченков (тов.ред.) и др.- Воронеж: изд-во Воронсж.ун-та, 1985.-188с.

111. Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки. М., Стройиздат, 1966, 134с.

112. Исследование больших прогибов упругих изотропных прямоугольных пластин Миндлина. Elastic large deflection analysis of isotropic rectangular Mindlin plates. /Turvey G.J., Osman M.Y.// Int. J.Mech.Sci.-1990.-32, № 4.-С.315-328.-Англ.

113. Егорычев O.O. Сравнительный анализ краевых задач в теории колебания пластин. Дисс.на соиск.уч.степ.к.т.н.(на правах рукописи), специальность 01.02.04, МГСУ, М.1994.

114. К вопросу о расчете пластинок средней толщины из условия жесткости. Черняев А.А, регион, архит. и стр-во. 2012, №1, с 83-89.

115. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера / Сухотерин М.В. // Прикл. мех. (Киев) .-1990.-26, № 7.- С. 120-124.- Рус. ; рез. англ.

116. К оценке влияния деформаций поперечного сдвига в теории Рейсснера- Миндлина для пластин. Постнов В. А. , Тумашик Г.А. 7 международная конференция "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" , Санкт- Петербург, 23-24 апр.,2008: Тезисы. СПб. ПГУПС, 2008, с. 140-141. Библ. 9.Рус.

117. Катерина С.Ю., Катерина М.А. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций с разрывными параметрами с использованием различных методов строительной механики. // Интернет-

вестник ВолгГАСУ. Сер.: Строительная информатика. 2014. Вып. 11(32). Ст. 8. Режим доступа: http://www.vestnik.vgasu.ru/

118. Клаф Р., Пензиен Д., Динамика сооружений. Пер. с. Англ. М., Стройиздат, 1979.-319 с.

119. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. 460 с.

120. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 504 с.

121. Колос A.B. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа Рейсснера // Тр.6 Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966.-С.497-501.

122. Конечноэлементная модель для пластин Миндлина. A finite element model for Mindlin plates./ Alliney S., Carnicer R.S // Comput. Mech.-1991.-7,№ 5-6.- C. 299-3 Ю.-Англ.

123. Коновалюк Д.М., Акимова B.H. Определение прогиба в толстых прямоугольных плитах // Расчет простр. строит, конструкций.-Куйбышев. 1976.-вып.6.-с.90-93.

124. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек , методы их решения. М., наука, 1964, 192с.

125. Крушевский А.Е. Решение задачи о равновесии плиты в точной постановке // 26 научно-техн.конф.Белорус. политех. Института.- Минск, 1970.-№3.-с.51-57.

126. Лазарев И.Б. Основы устойчивости и динамики сооружений; Учеб.пособие,- Новосибирск, 1987,- 82с.

127. Лапушкин И.Т. Применение метода конечных разностей к решению одного класса краевых задач теории упругости. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Киев, 1961. - 8с.

128. Лисицын Б.М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной задачи теории упругости// Прикладная механика.-1970.-6.-№5.-с. 18-23.

129. Ломбардо В.Н. Алгоритм численного решения плоских динамических задач теории упругости,- "Изв.ВНИИГ", 1973,т.ЮЗ. с.152-163.

130. Лурье А.И. К теории толстых плит //ПММ.-1942.-т.6.-вып. 2,3.-с.151-163.

131. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости,- М.: Гостехиздат, 1955.-С.146-158.

132. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.-939с.

133. Мазурова С.В. Метод последовательных аппроксимаций в задачах расчета изгибаемых плит средней толщины. Дисс. канд. техн. наук.-М.1990 . -187с.

134. Матвеев С.А., Лаптев О.П. Расчет тонких плит на изгиб методом конечных элементов: Учеб. пособие Омск, 1999.- 52с.

135. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами: Учеб. пособие .- Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1987.-225с.

136. Маслеников A.M. Приложение метода конечных элементов к расчету строительных конструкций: Учеб.пособие для слушателей ФПК и студентов строит, спец. вузов.- Л.: ЛИСИ, 1978.- 84с.

137. Метод конечных элементов : Учеб.пособие для студентов втузов / П.М.Варвак, И.М. Бузун, A.C. Городецкий и др.; Под ред. П.М. Варвака.-Киев: Виша школа, 1981,-176с.

138. Методические рекомендации по использованию библиотеки процедур расчета на динамические загружения ВК ЛИРА/ НИИ автоматизир. систем.планир. и управления в стр-ве; [Разраб. B.C. Здоренко, К.В. Лингуряном].- Киев: НИИАСС, 1984- 31 с.

139. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965, 383с.

140. Молотков JI.H. Об интегральных уравнениях колебаний пластин. Ленингр. отд. ин-та мат. АН СССР, ct.V, 1961.

141. Мусса Сали. Расчет балок и плит переменной жесткости на динамические воздействия. Дисс. канд. тех. наук. -М.,2002. -147с.

142. Муштари Х.М. Теория изгиба плит средней толщины. Изв. АН СССР, ОТН, мех. И машстр., 1959, №2.

143. Нечипорук Г.С., Тен Ен Со. Метод конечных разностей при решении задач теории упругости : Методические указания для студентов строительных специальностей. Магадан, 2004, -42с.

144. Низомов Д.Н. Численное решение динамических задач по расчету балок, плит и оболочек. Дисс. канд. тех. наук. - М.,1983. -169с.

145. Обобщенная нелинейная теория третьего порядка для пластин средней толщины. A general nonlinear third- order theory of plates with moderate thickness./ Reddy J.N.// Int. J.Non-Linear Mech. -1990.-25,№ 6.-C.677-686.-Англ.

146. Омецинская Е.Б. Обобщенные уравнения динамических пластин. Прикл. механика, 1959,5, №5, 64-70 - РЖ Мех, 1960, 11В162.

147. О дополнении к теории пластин Э. Рейсснера. О pewnym uzupelnieniu rownan terii plyt E. Reissnera./ Kuszynski Andrzej // Rozpr. inz.-1989. -37,№ 2.-C. 211-228. - Пол.; рез. рус., англ.

148. О применении метода конечных разностей к решению задачи об изгибе прямоугольных пластин./ Слушаенко Н. В.// Вести. Киев . политехи, ин-та. Машиностр. -1991.-№ 28.-С.40-43.

149. О решении задачи изгиба пластины с использованием параллельного алгоритма. Круглов Б.В, Леонтьев В.Л. Прикладная математика и механика : сборник научных трудов. Ульянов.гос.техн.ун-т. Уляьновск : УлГТУ .2007,с. 165-168.

150. Парфенов В.И. Применение численных методов к расчету пластин средней толщины : Дисс....канд. техн. наук.- Ростов н/д., 1973.

151. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Уч.зап.ЛГУ.Сер. матем. н. динамические задачи теории упругости. Вып. 24,1951, №149, 172-249.

152. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины. ПММ, 1962,т,26,№2, с.335-341.

153. Применение символического метода Лурье к динамической задаче растяжения толстой плиты / Груздев Ю.А., Коженков A.A.// Тр./Ленингр. политехи. ин-т.-1988.-№ 425.-C.61-65.-Pyc.

154. Рабинович И.М., Синицын А.П., Теренин Б.М. Расчет сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. М., изд. ВИА им.Куйбышева, 1956, 4.1, 464с.

155. Рабинович И.М., Синицын А.П., О.В.Лужин, Теренин Б.М. Расчет сооружений на импульсивные воздействия. М., Стройиздат, 1970, 304 с.

156. Рабинович И.М. Основы динамического расчета сооружений на действие мгновенных и кратковременных сил. М., стройиздат, 1945.

157. Расчет плиты средней толщины с учетом поперечного сдвига / Папуш A.B. // Тез. респ. науч. практ. конф. ученых, Душанбе, 12-14 апр., 1990. Секц. Техн. науки : Сб. науч. ст. / Тадж.респ. правл.ВНТО стройиндустрии, Сов.мол.ученыхТадж. политехи, ин-та.- Душанбе, 1990. -С.84-86.- Рус.

158. Расчет строительных конструкций на статические и динамические нагрузки : Межвуз. темат.сб. тр./ Ленингр. инж.- строит.ин-т ; Редкол.: А.М.Масленников (отв.ред.) и др.- Л., 1985.- 167с.

159. Рева Е.А. Решение пространственной задачи теории упругости для прямоугольной толстой плиты при некоторых условиях закрепления её боковой поверхности// Материалы 8 научно-техн. конф. УЗПИ.- Харьков ,1968.-с.172-175.

160. Рева Е.А. К решению пространственной задачи теории упругости для толстой прямоугольной плиты // Материалы 9 научно-техн. конф. УЗПИ.-Харьков ,1968.-№2.-с. 128-131.

161. Резниченко А.И., Нечаев JI.B., Казначеева O.K. Метод конечных элементов. Основные понятия, применение к расчету конструкций на ПЭВМ : Учеб.пособие/ А.И. Резниченко, - Новочеркасск, 1996.-71с.

162. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.- Рига: Зинатне, 1988.-284с.

163. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. М., Мир, 1972, 418с.

164. Розин JI.A. Метод конечных элементов в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.

165. Розин JI.A. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971.

166. Розин JI.A. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. №11. С. 41-54.

167. Рустамов Данакул . Расчет плит средней толщины . Автореферат диссертации на соискание уч.степени канд.физико-математических наук.-Ташкент.1975 . -16с.

168. Рустамов Д., Халиков Р. Расчет плит средней толщины со смешанными условиями // Численные методы в прикладной математике.-Самарканд, 1979.-С.44-50.

169. Саакян С.М. Изгиб прямоугольной толстой плиты с заделанными краями//докл. АН Арм. ССР.- 1965.-40.-№3.-с. 137-143.

170. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

171. Самаркий A.A. Введение в численные методы. - М.: наука, 1987.-288с.

172. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.:Наука, 1989. -432 с.

173. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.- 592 с.

174. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений.-М.: Стройиздат, 1973.

175. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., стройиздат, 1960, 132с.

176. Справочник по динамике сооружений под ред.проф. Б.Г.Коренева и И.М.Рабиновича.- М., стройиздат, 1972, 511с.

177. Статика и динамика сложных строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр./ Ленингр. инж.-строит.ин-т; [Отв. ред. Лебедев В.А. ].- Л.: ЛИСИ, 1980,-162с.

178. Статические и динамические расчеты конструкций с учетом нелинейных свойств материалов : Межвуз. темат.сб.тр./ Ленингр.инж.-строит.ин-т; Под ред. В.А.Лебедева.- Ленинград, 1991.-106с.

179. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учебник для студентов строит.спец.вузов / А.Ф.Смирнов, A.B. Александров, Б .Я. Лащеников, H.H. Шапошников; Под ред.А.Ф.Смирнова.- М.: Стройиздат, 1984,- 415с.

180. Терегулов И.Г. К теории пластин средней толщины// Тр. Конф. по теории пластин и оболочек. - Казань, 1961.-е.367-375.

181. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий платсин и оболочек// ПММ.-М., 1962.-т.26.-вып.2. -с.346-350.

182. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. -М: Наука, 1966,- 636 с.

183. Точечные погрешности классической теории пластин и теории Рейсснера для случая локального нагружения. Pointwise errors in the classical and in Reissner's linear theory of plates , especially for concentrated loads./ Simmonds J.G. //J.Elast. -1990.-23,№ 2-3.-C.219-232. .-Англ. Место хранения ГПНТБ СССР

184. Филатов В.В., Расчет сжато-изогнутых балок и плит на несплошном упругом основании. Дис. канд. техн. наук.- М., 1999. 125с.

185.Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М., машиностроение, 1970, 736с.

186. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Приближенные уравнения колебаний упругих и вязкоупругих стержней и пластин: Учеб.пособие.-М., 1981.-111с.

187. Форсайт Д., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Пер. санг. М., Мир, 1969, 168 с.

188. Хемминг Р.В. Численные методы. Пер. санг. М., наука , 1972, 400с.

189. Хечумов P.A., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -M., АСВ, 1994.

190. Чирас A.A. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем // Вильнюс, Мокслас, 1982. 112 с.

191. Чирас A.A. Строительная механика // М.: Стройиздат, 1989. 256 с.

192. Чирас A.A., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизация упруго - пластических систем // JI. : Стройиздат, 1974. 279 с.

193. Шайкевич В.Д. О численном решении некоторых задач строительной механики пластин и пластинчатых систем.- Веб.: Исследования по теории сооружений. М.,стройиздат, 1969, вып. 17, с. 125.

194. Шереметьев М.П., Пелех Б.А. К построению уточенной теории пластин // Инж.журнал.-1964.-т.4.-вып.З.- с.504-509.

195. Шленев М.А., Туркина И.М. Расчет прямоугольной плиты Рейсснера // Расчет оболочек и пластин.- Ростов н/д., 1977.-c.3-22.

196. Шойхет Б.А. Одна задача теории изгиба толстых плит// Изв.АН СССР, МТТ.-1973.-№3.-с.58-68. '

197. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчёту пологих оболочек и пластин: Дисс. ... канд. техн. наук. М., 1979. 149 с.

198. Argyris J.H., Kelsey Е. Energy Theorems and Structural Analysis. - In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.

199.Bolle L/ Contribution an problème lineaire de flexion d'une plaque elastique// Bulletin technique de la Suisse Romande, Parts 1,2.- 1947.-s.281-285, 293-298.

200.Clough R.W.: The Finite Element in Plane Stress Analysis. - Proceedings 2nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. 1960.

201. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943)1. -S. 123.

202.Green A.E. On Reissner's theory of bending of elastic plates// Quart. Appl. Math.-1949.-Vol.7.-N.2.-P.223-228.

203. Hensky H. Uber die Berücksichtigung der S chub Verzerrung in ebenen Platten//Ing. Archiv.O 1947.-N.16-S.72-76.

204 . Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells// Quart. Appl. Math.-1957.- vol.l4.-N.4.-P.369-380.

205. Nordgren R.P. A bound on the error in Reissner's theory of plates// Quart. Appl. Math.-1972.- N.29.-P.551-556.

206. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space // Quart. Appl. Math.- 1947.- N.5.-P.241-269.

207. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // I.Math.a. Phys.-1944.-Vol.23.-P.184-191.

208. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates// J.Appl.Mech.-1945.-Vol.l2.-N.2.-P.69-77.

209. Reissner E. On bending of elastic plates // Quart. Appl.Math.-1947.-V0I.5.-N.I.-P.55-68.

210. Reissner E. On the transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation // Int. J. Solids a.Struct.-1975.-Vol.11.-N.5.-P.569-573.

211. Rychter Z. An improved bound on the error in Reissner's theory of plates // Arch.Mech.- Warszawa, 1986.-Vol.38.-Nl,2.-P.209-213.

212.Schafer W.M. Uber eine Verfeinring der Klassischen Theorie dunner schwach gebogener Platten// ZAMM.-1952.-N.32.-S.161-171. 213. Salerno V.L. , Goldberg M.A. Effect of shear deformation on the bending of rectangular plates // J.Appl. Mech.- 1960. Vol.27.- N.I.- P.54-59.