Численный метод расчёта изгибаемых круглых пластин на статические и динамические нагрузки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Мансур Алаа Эльдин Мохамед Абдельгафар Ибрагим

• Мансур Алаа Эльдин Мохамед Абдельгафар Ибрагим
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Мансур Алаа Эльдин Мохамед Абдельгафар Ибрагим

Введение

Глава 1. Обзор работ по расчёту круглых пластин

1.1 О круглых пластинах

1.2 Численные методы расчёта тонких пластин

1.2.1 Метод стержневой сетки «Grid work method »

1.2.2 Метод конечных полос « nite strips methoa »

1.2.3 Метод граничных элементов «Boundary elements method »

1.2.4 Метод конечных элементов «Finite elements method »

1.2.5 Метод конечных разностей «Finite differences method »

1.3 Иллюстративный пример расчёта

1.3.1 По классическим уравнениям МКР

1.3.2 По Обобщённым уравнениям МКР

1.3.3 По методу конечных элементов

1.4 Выводы по главе №

Глава 2. Разработка численного алгоритма расчёта круглых пластин на статические нагрузки

2.1 Переход от классического уравнения МКР к обобщенному уравнению МКР

2.2 Об обобщенных уравнениях МКР, аппроксимирующих оператор Лапласа в полярных координатах

2.3 Применение оператор Лапласа к обобщенным уравнениям МКР для расчёт круглых пластин

2.3.1 Подходы решения проблем круглых пластин

2.3.2 Алгоритм расчёта круглых изотропных пластин постоянной жесткости на изгиб при действии радиальных и распределённых нагрузок

2.3.3 Иллюстративный пример расчёта

2.3.4 Оценка разработанного алгоритма расчёта

2.4 Выводы по главе №

Глава 3. Разработка численного Алгоритма расчёта круглых пластин на динамические нагрузки

3.1. О динамическом расчёте круглых пластин

3.2. Дифференциальное уравнение поперечного колебания пластин

3.3. Свободные колебания

3.4. Аппроксимация бигармонического дифференциального оператора Лапласа произвольной форме обобщенным уравнением МКР в полярных координатах

3.5. Разработка алгоритма получения собственных частот (форм) колебаний с помощью обобщенного МКР

3.5.1. Решение разрешающего дифференциального уравнения движения свободной колебании обобщённым МКР

3.5.2. Определение собственных векторов колеблющей пластины

3.5.3. Иллюстративный пример расчёта

3.5.4. Оценка результатов

3.6. Вынужденные колебания

3.7. Разработка алгоритма расчёта на вынужденные колебания с помощью обобщенного МКР

3.7.4. Расчёт круглых пластин на гармонические нагрузки разрывных форм на

основании собственными частотами с помощью, обобщённого МКР

3.7.5. Иллюстративный пример расчёта

3.7.6. Оценка результатов

3.8. Выводы по главе №

Глава 4. Решение задач по расчётах кругл пластин

Задача №1: Решение не осесимметричной задачи схемой нагрузок, изменяющейся циклический

Задача №2: Решение задачи пластин криволинейного очертания, с комбинированной системой координат расчётной сетки

Задача №3: Решение задачи круглой пластины под гармонические динамические нагрузки

Заключение

Используемые обозначения

Список литературы

Статья

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

ПРИЛОЖЕНИЕ №3

299

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод расчёта изгибаемых круглых пластин на статические и динамические нагрузки»

Введение

Большинство природных явлений, в том числе конструкции и как ведут себя под различными нагрузками и воздействием (регулируются физическими отношениями), интерпретируемыми математическими дифференциальными уравнениями. Соответственно, многие задачи строительной механики и теории упругости сводятся к решению дифференциальных уравнений при известных начальных или краевых условиях. Решение этих уравнений не всегда возможно в замкнутом виде. Поэтому, большинство инженерных задач приходится решать приближенными численными методами.

Сеточные методы являются основным средством решения дифференциальных уравнений и основаны на приближениях производных от функций непрерывного аргумента конечно-разностными выражениями и применении квадратурных формул. В философском смысле, их применение является отражением всеобщего круговорота в природе, так как дифференциальное и интегральное исчисления сами возникли из асимптотического анализа малых величин, а уравнения математической физики — главный объект внимания таких методов.

Дискретизация таких дифференциальных уравнений или подготовки к программированию их решения в значительной степени ответственна за всплеск интереса к конечной математике (Finite mathematics) в которой идет замена этих дифференциальных уравнении, в частности, к линейной алгебре как математической связи между непрерывной постановкой, и изучаемой системой и то, что могут учёные и инженеры программировать и решать на ЭВМ.

К числу методов, ставших особенно популярными, относятся сеточные методы (методы конечных разностей), метод конечных элементов, метод граничных элементов и другие. Все эти методы, по существу, идентичны и тем или иным приемом сводят решение континуальной задачи к решению систем алгебраических уравнений или к раскрытию определителей.

Решение задач математической физики этим путём (путем конечной математики) на ЭВМ обычно сводится к составлению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - также употребляется аббревиатуры (СЛУ) - или вычислить определитель, той или иной структуры и их последующему решению [7], [31]. При построении алгебраических уравнений необходимо знать, к какому классу функций принадлежит решение задачи, свойства операторов задачи, свойства входных данных и т.д. Свойства операторов дифференциальных уравнений должны быть, по возможности, сохранены при переходе от функций непрерывных аргументов к дискретным. Именно так, например, осуществляется переход от уравнений с частными производными к системе алгебраических уравнений.

Как будет показано в дальнейшем, огромные усилия были вложены в разработку методов численного решения дифференциальных уравнений и их анализ путем конечной математики.

Актуальность темы: При решении инженерных задач, связанных с пластинами, в частности при расчете сложных или большеразмерных конструкций проектировщику приходится прибегать к численным методам. Аналитические методы решения задач, несомненно обладают высокой точностью, однако являются весьма трудоёмкими при расчёте сложных конструкций. Поэтому такие задачи, приходится решать численными методами. В настоящее время широко используются методы как:

1. Метод граничных элементов {{Boundary elements method», в этом методе происходит разбиение трехмерных тел на пластинчатые только по их граням, а в двумерной модели, области разбиваются на линейные элементы и точки этих граничных элементов, численно интегрируются между собой интегральными уравнениями. Из недостатков метода можно пометить:

• Математика, используемая в этом методе, во виде несимметричных матриц для инженерной практики представляют значительную трудности в решении.

• Высокая трудоёмкость и длительности процедур их решения.

• Метод позволяет решить только двумерные и трехмерные задачи.

2. Метод конечных элементов МКЭ «Finite elements method». Идея метода заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых (треугольных и прямоугольных) элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Метод является самым популярным и перекрывает все недостатки предыдущих методов за исключением:

• Относительной трудоёмкости процедур решения.

• Высокой геометрической погрешности решения в полярных координатах конструкции криволинейной формы.

3. Метод конечных разностей МКР «Finite differences method», иначе «сеточный метод». Этот метод подобен МКЭ. Однако, классические версии МКР, позволяют рассчитывать различные конструкции без разрывных параметров функций нагрузок, что ограничивает их распространение в инженерной практике. При этом, в отличие от него, метод считается самым простым среди подобных, не такой трудоёмкий и учитывает геометрическую криво-линейность.

Все выше указаны методы, реализуются решениям дифференциальных уравнений описывающие поведения конструкции при различных статических воздействиях. одним из эффективных численных подходов решения этих дифференциальных уравнений производится путём замено их на системе линейных алгебраических уравнений (СЛА У) разностных обобщённого вида, предложенных Р.Ф.Габбасовым [18].

Также в классическом МКР, при решении конструкции по деформации, не учитываются разрывные параметры в функции нагрузок как при статических, так при динамических воздействием.

В численных решениях конструкций на динамические воздействии, переход к динамическим расчётам идёт итерационным процессом от статического расчёта,

учитывая влияние инерционной силы, сгенерированной из-за изменения скорости и ускорения массы тела пластин в каждой расчётной точке со временем, соответственно следует перейти к расчету под разрывными динамическими нагрузками.

Поэтому, разработка численных алгоритмов расчёт пластин криволинейной очертания, с учётов разрывные параметров на основе обобщённого МКР, получают преимущества перед другими в трудоемкости, скорости решения задач, точности, стабильности работы и сходимости, является актуальной задачи.

Степень разработанности темы.

Рассмотрены научные работы, посвященные вопросам расчёта пластин, таких отечественных российских ученых как: Б. Г. Галеркина, И.М Бабаков, С. П. Тимошенко, Ю. А. Шиманского, П. Ф. Папковича, В. Новацкий, В. В. Власова, Дарков А.В, А. С. Вольмира, П. М. Варвака, Д. В. Вайнберга, Н.В. Колкунов, Н. И. Безухов, Б. Г. Коренева, А.И. Громовик, К. А. Китовера, А. С. Калманок, С.Г Лехницкий, В.А Киселёв и др. Также, в работах зарубежных ученых: М. Бахум, Клаф Р., Пензиен Дж., Рудольф Сцилард, Редди,Дж. Н., Угураль А., Анил К. Чопра, Роберт Д. Блевинс, Артур В. Лейсса, Хиббелер и др.

Подводя итоги изучения литературы по данной теме, отметим, что к настоящему моменту опубликовано не так много работ, базирующихся на расчётах пластин численными методами, поэтому очевидным является тот факт, что многие формы и виды воздействия освещены недостаточно, либо вовсе не были рассмотрены. В частности, вопросам расчёта пластин криволинейного очертания на статические и динамические воздействия разрывного характера посвящено очень мало работ.

С этой точки зрения, выбранная автором тема исследования может послужить в качестве дальнейшего развития методики расчёта круглых пластин на статические и динамические нагрузки учитывая разрывных параметрах функции нагрузок и геометрию изучаемой пластин.

Целью диссертационной работы является развитие МКР для расчёта пластин криволинейного очертания при разрывных параметрах через разработку эффективного численного алгоритма расчета круглых пластин с различными краевыми условиями на поперечные разрывные статические и динамические нагрузки.

Задачи диссертационной работы

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Используя обобщённые уравнения МКР получить математические отношения, описывающие поведение круглых пластин под нагрузками, включая учет разрывных параметров;

• На основании полученных уравнений построить алгоритм расчёта круглых пластин с различными краевыми условиями, под действием различных статических нагрузках в целях определения перемещений и внутренних усилий.

• Построить подобный алгоритм расчёта круглых пластин под действием динамических нагрузок, учитывая свободные поперечные колебания (с учётом разрывы в геометрии пластин) и вынужденные поперечные колебания от линейных гармонических нагрузок.

• Разработать инженерную методику расчёта на основе созданных алгоритмов, для использования не только на ЭВМ, но и для расчёта «вручную».

• Верифицировать реализованные методики, сравнивая полученные результаты тестовых задач с известными аналитическими и численными решениями;

• Решить задачи по расчету круглых пластин.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

• Модернизировано алгебраическое аппроксимации оператор Лапласа 2-ого и 4-ого порядка в полярных координатах с учётом разрывных параметров в геометрию и функций нагрузок над изучаемой пластин.

• Представлено математическая модель расчёта пластин криволинейного очертания при статических или динамических воздействиях разрывных функции поперечных нагрузок.

• Разработка численных алгоритмов расчёта пластин криволинейных очертания, с учётом разрывных функций нагрузок и геометрии по обобщённым уравнениям МКР, расширяя область применения метода и позволения использовать в инженерной практике не только с помощью расчетных программ на ЭВМ, но и «вручную».

Теоретическая значимость работы заключается в следующем

• Усовершенствовано математический модель обобщённого уравнения МКР, учитывающие разрывной характер функции нагрузок и геометрию плоскости пластин.

• Предложены численные методики расчёта пластин криволинейного очертания под действием:

o Статических нагрузок с влиянием разрывных параметров для линейных радиальных нагрузок и изгибающих моментов в двух полярных координатах - радиальных и кольцевых. o Динамических нагрузок, с влиянием разрывных параметров для линейных гармонических сил и геометрии пластин.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные методики могут быть использованы не только для расчёта на ЭВМ (путём создания самостоятельной программы расчёта либо с помощью расчётных макросов и таблиц математических решателей «Mathcad» и «MS EXCEL» созданные автором, по которым выполнены все расчёты, приведённые в диссертационной работе), но и для расчёта «вручную». Так как в разработанных алгоритмах и при относительно небольшом числе разбиений изучаемой области, можно рассчитывать вручную - далее приведены примеры с высокой точностью, что позволяет рекомендовать разработанные алгоритмы расчёта для распространения в учебном процессе и использовать как проектировщиками строительных сооружений, так и исследовательскими и обучающими организациями.

Методология и методы исследования. Проведение исследований выполняется с использованием российских и зарубежных материалов по расчёту пластин, и

анализ современных численных методов в строительной механике, включая моделирования посредством ЭВМ.

Положения, выносимые на защиту.

• Обоснование применения обобщенных уравнения МКР к расчёту пластин криволинейного очертания с учётом разрывных функций нагрузок и геометрии.

• Рассмотрено развитие решение размещающих уравнения, МКР применительно к расчёту пластин криволинейного очертания на изгибной деформации (без учёта сдвига) под различенными видами статических и динамических нагрузок.

• Верифицированные численные методики пластин криволинейного очертания на действия разрывных статических и динамических нагрузок, с учетом (радиальных и кольцевых) усилий и изгибающих моментов, подкрепленные иллюстрированными примерами с необходимой визуализацией;

• Исследование и анализ сходимости разработанных методик с аналитическими решениями, задач с разрывными нагрузками с учётом краевых условий пластин и их аппроксимацией в виде алгебраических уравнений;

• Решение задач пластин криволинейного очертания под радиальными и кольцевыми нагрузками.

Степень достоверности и апробацию полученных результатов

Вывод полученных автором решений и методик статического и динамического расчёта пластин криволинейного очертания показал хорошую стабильность и сходимость, подтвержден апробации результатов тестовых задач с известными аналитическими решениями в известных работах, и численными методами, что доказало корректность поставленных задач и их полученных результатов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• XXV Polish - Russian - Slovak Seminar 2016 «Theoretical Foundation of Civil Engineering» (Москва, МГСУ, 2016 г.),

• XXVI R-S-P SEMINAR 2017, «Theoretical Foundation of Civil Engineering (Москва, МГСУ, 2017 г.),

• Международная научно-практическая конференция 2017 «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. аналитические и численные методы» (Москва, МГСУ, 2017 г.),

• XXI International Scientific Conference «Construction the formation of living environment» (FORM 2018) (Москва, МГСУ, April 25-27 - 2018 г.).

Публикации. по теме диссертации опубликовано 8 статей в рецензируемых журналах, в том числе 2 статьи, входящие в рецензируемые научные издания, рекомендованные ВАК РФ. Для публикации результатов по кандидатским диссертациям, и 5 статей, проиндексированные в международной базе «Scopus». все наименования статей приведены в списке литературы под номерами [112-119].

Структура диссертации: Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, состоящей из четырёх глав, заключения, списка литературы и три приложения.

Работа изложена на 324 страницах машинописного текста, включая список литературы из 119 трудов российских и зарубежных учёных, 70 рисунков, 22 таблиц.

Глава 1. Обзор работ по расчёту круглых пластин

Проблемы пластины в основном решаются с помощью различных аналитических подходов, но из-за присущих им математических трудностей и такие аналитические решения ограничены простой геометрией пластины, нагрузкой и граничными условиями. Для многих задач с пластинами, представляющих значительный практический интерес, аналитические решения определяющих дифференциальных уравнений не могут быть найдены; Таким образом, численные методы должны быть использованы для получения приближенных решений.

Чтобы готовиться к расчёту круглых пластин вычислительным математикам, необходимо ознакомиться с конструкцией пластинок, их свойствами, их известными аналитическими методами решения; так как известные численные методы решение, их тактики, философия и методология каждого из них, преимущества и недостатки.

Особое внимание должно быть уделено МКР в расчёте пластин, их этапы, их развитие.

1.1 О круглых пластинах:

В соответствии с [52-53, 100], Пластиной или плитой называют упругое тело призматической или цилиндрической формы, Круглы пластины представляют собой плоские, двухмерные конструктивные элементы, одно измерение которых, называемое толщиной (0, которого значительно меньше других измерений (радиус иначе диаметр) и геометрически; связаны изогнутыми линиями.

Как объяснено в [44, 69]. В двумерная конструктивная схема действия пластин приводит к более легким конструкциям и, следовательно, дает экономические преимущества.

Следовательно, плиты и конструкции пластинчатого типа приобрели особое значение и заметно расширились области применения в последние годы.

Пластины, особенно круглой формы; также необходимы в судостроении и авиакосмической промышленности. Пластины также часто являются частями машин и других механических устройств.

С точки зрения характера напряженного состояния и методов расчета принята следующая классификация пластин: толстые пластины; тонкие плиты или жесткие пластины согласно [58, 67-68, 72, 100]. Толстые пластины испытывают трехмерное напряженное состояние, которое описывается полной системой дифференциальных уравнений пространственной теории упругости по [61-62, 64]. Толстыми считают такие пластины, у которых отношение толщины к наименьшему размеру в плане больше (1_Ц_> 1:5) в соответствии с [15, 81, 87]. В настоящей диссертационной работе, толстые пластины не рассматриваются.

С практической точки зрения, пластины можно считать тонкими при условии, в котором их толщина не превышает одной пятой пролета, а прогиб к половине толщины пластины не превосходит одной половины (А / / <1:0.5) так как зафиксировано в [15, 80].

Исходя из гипотезы плоских сечений, расчёт тонких пластин производится на основе классической теории изгиба пластин и аналогичной технической теории расчета балок по [100, 102]. Наибольшие напряжения в пластинах конечной жесткости сравнительно мало зависят от отношения пролета (/) пластины к ее толщине (?), особенно при больших значениях этого отношения (//? > 100). В этом случае уменьшение толщины пластины в два ~ три раза весьма незначительно сказывается на величине полных нормальных напряжений, причем в некоторых случаях (при больших значениях - //?) уменьшение толщины пластины может даже повести к снижению в ней напряжений как заявлено в [93, 95, 98], что приводит к экономии материалов и трудозатрат. Это объясняется тем, что при отношении, превышающем (//? > 100), одновременно с ростом цепных напряжений уменьшаются напряжения от изгиба, причем суммарное напряжение остается почти постоянным [108, 110].

В основном, статические и динамические нагрузки, переносимые пластинами, перпендикулярны поверхности пластины, на которой основана текущая диссертационная работа.

Эти внешние нагрузки переносятся внутренними изгибающими и крутящими моментами и поперечными усилиями, что необходимо определить, зная действия двумерной конструктивной схемы чтобы проектировать пластины. Это только возможно если фактическое двумерное поведение пластин будет учтено аналитическим путём, что очень сложно и не всегда возможно.

В следствии этого, двумерное действие пластин в некоторой степени напоминает, что область пластин может быть аппроксимирована сеточными методами (подробно продемонстрировано §1.2).

Такое приближение, произвольно нарушает непрерывность конструкции и обычно приводит к неточным результатам (иначе результатам с погрешность)

Основные результаты по расчету пластин изложены в работах российских ученых: Б. Г. Галеркина [24], И.М Бабаков [6] С. П. Тимошенко [106], [107], Ю. А. Шиманского, П. Ф. Папковича [41], В. Новацкий [96], В. В. Власова [13], Дарков А.В [25], А. С. Вольмира [17], П. М. Варвака [14], Д. В. Вайнберга [15], [16], Н.В. Колкунов, Н. И. Безухов [5], Б. Г. Коренева [28], А.И. Громовик [19], К. А. Китовера, А. С. Калманок [32], С.Г Лехницкий [34], В.А Киселёв [29] и др.

Также, в работах зарубежных ученых:

М. Бахум [55], Клаф Р., Пензиен Дж. [60], Рудольф Сцилард [100], Редди, Дж. Н. [101], Угураль А. [108], Анил К. Чопра [51], Роберт Д. Блевинс [70], Артур В. Лейсса [54], Хиббелер [79] и др.

1.2 Численные методы расчёта тонких пластин [27,73]

Конструкционные плиты имеют множество применений в самых разных областях промышленности. Следовательно, экономичный и надежный анализ различных типов пластинчатых конструкций представляет большой интерес для инженеров-строителей, архитекторов, инженеров-механиков и авиационных инженеров, и военно-морских архитекторов.

Философия дифференциального решения путём сеточных методов при всем многообразии сеточных алгоритмов их методология едина и включает выполнение следующих ключевых этапов:

• Дискретизацию расчетной области, в которой определено решение исходной задачи, заключающуюся в построении сетки — конечного множества точек (узлов «nodes»), расположенных достаточно близко друг от друга внутри области, на ее границе и, может быть, за ее пределами;

• Аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений или интегральных соотношений с учетом граничных условий, результатом чего является система алгебраических уравнений относительно искомого сеточного решения, определенного в узлах сетки;

• Исследование свойств сеточных решений: существование, единственность, устойчивость, сходимость приближенного решения к точному решению исходной задачи и оценки погрешности;

• Построение и обоснование численных методов решения алгебраических сеточных уравнений.

Среди множества численных и полу-численных методов для решения различных, часто сложных, пластинчатых задач, можно выделить следующие:

(A) Метод стержневой сетки, «Grid work method (GWM)»

(Б) Метод конечных полос (МКП), «Finite strip method (FSM)»

(B) Метод граничных элементов (МГЭ), «Boundary elements method (BEM)» (Г) Метод конечных элементов (МКЭ), «Finite elements method (FEM)»

(Д) Методы конечных разностей (МКР), «Finite difference methods (FDM)»

Как подробно разъяснено далее, первый из этих пяти методов, обоснован на физической дискретизации области применении. В отличии от остальных методов, использующие различных тип математической дискретизации области пластины или его границы.

1.2.1 Метод стержневой сетки, «Grid work method (GWM)» [26]

Этот мощный полу вычисленный метод для анализа конструкций поверхностного типа, таких как пластины и оболочки, был предшественником более популярной в настоящее время МКЭ. Используя этот метод, мы заменяем неразрезных пластинах эквивалентной сетки стержневых элементов (РИС 1.1).

РИС. 1.1 - Расчетная схема представляется как совокупность стержневых элементов.

Таким образом, этот подход основан на физической, а не математической дискретизации. Возникающие сложности в том методе можно заключит в следующим:

• Метод только предложен простыми двух и трёх мерных проблем (где можно чётко предполагать форму и количество стержни заменяющего стержневого механизма, описывающего работу моделируемой конструкции относительно направления силовых линий - РИС 1.2).

• Всегда увеличиться погрешность решение из-за того, что 2д и 3д элементы представляются одномерным стержнем.

гх

Horizontal S vertical components

components

РИС. 1.2 - Определению форму заменяющего стержневого механизма относительно направления силовых линий.

1.2.2 Метод конечных полос (МКП) «Finite strip method (FSM)» [63]

Этот метод представляет собой полуаналитический, полу вычисленный. Метод был первоначально представлен как расширение МКЭ для изгиба прямоугольной пластины, в котором два противоположных конца в одном (обычно в продольном) направлении предполагается, просто опёртая (однопролетная) балка, в то время как другие два края могут иметь произвольные граничные условия. Как показывает (РИС 1.3), разобьем пластину на небольшое количество полосок, каждая из которых имеет постоянную толщину. Эти полосы представляют собой двумерные конечные элементы, имеющие простые полиномиальные функции в одном направлении и непрерывно дифференцируемый гладкий ряд функций в другом направлении, так что отдельную конечную полосу можно рассматривать как частный случай МКЭ.

3 4

РИС. 1.3 - Пластины делятся на продольные полосы постоянного сечения и геометрии.

Метод был значительно улучшен после его первоначального внедрения в 1968 году. Теперь можно использовать граничные условия, отличные от простых опор в продольном направлении. Кроме того, метод был также расширен, чтобы охватить анализ вибрации и устойчивости тонких и даже умеренно толстых пластин, так как может быть преимущественно использован при статическом, динамическом анализе и анализе устойчивости различных конструкций, таких как перекрытие зданий и мостовые плиты. К недостаткам метод, можно отнести

• Его специфику использования, поскольку наиболее результативно данный метод может быть применен к задачам, объекты исследования которых имеют постоянные геометрические и физические характеристики вдоль одной из координат конструкций;

• Трудоёмкости процедур его решения.

1.2.3 Метод граничных элементов (МГЭ) «Boundary element method (BEM)»

В последние годы МГЭ стал мощной альтернативой МКР и МКЭ. Против ранее обсуждаемых полу вычисленных методов, требующих дискретизации всей области пластин, МГЭ применяет дискретизацию только на границе области пластины.

В этом методе, происходит разбиение трёхмерных тел на пластинчатые только по их граням (РИС 1.4), а в двумерной модели, области разбиваются на линейные элементы и точки по периметру. этих граничных элементов интегрируются между собой.

РИС. 1.4 - тело трехмерной пластины разбивается на пластинчатые граничные элементы.

Методы граничных элементов обычно делятся на две категории: прямые и непрямые МГЭ.

Прямая МГЭ формулирует проблему в терминах переменных, которые имеют определенные физические значения, такие как перемещения граничных узлов пластины.

Напротив, непрямая МГЭ использует переменные, физические значения которых не всегда могут быть четко определены (как расширение, например).

Следовательно, прямая МГЭ более проста и понятна. По этой причине прямой МГЭ предпочитают инженеры, и, таким образом, непрямая МГЭ все еще остается областью прикладных математиков. Процедуру решения можно показать следующем образом:

1.2.3.1 Существенной особенностью этого метода является то, что разрешающее дифференциальное уравнение пластины преобразуется в систему интегральных уравнений на границе пластина с помощью вариационного подхода Галеркина.

1.2.3.2 Полученные интегральные уравнения затем дискретизируются с помощью фундаментальных решений уравнения соответствующего поля, создавая тем самым конечное число элементов вокруг внешней границы пластины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мансур Алаа Эльдин Мохамед Абдельгафар Ибрагим, 2020 год

Список литературы

1. Александров В.М., Сметанин Б.И., СОБОЛЬ Б.В. Тонкие Консерваторы напряжений в упругих телах - Издательство: физ. И мат. литературы во наука 1993 - 221 с.

2. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука. Главная редакция Физико-математической литературы, 1987. - 160 с.

3. Араманович И.Г, Левин В.И. «Уравнения математической физики» 2-е изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с

4. Авдонин А.С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций - М.: Машиностроение, 1969. - 402 с.

5. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах, Учеб. пособие для строит, спец. вузов. 3-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1987. — 264 с.: ил.

6. Бабаков И.М, Теория Колебаний. - М. Наука, 1968.

7. Вержбицский В.М. Основы численных методов. - М.: ВШ, 2002. - 840 с.

8. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. - 2-е изд., исп.-М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит. 1987. - 248с.

9. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий А.С., Пискунов В.Г. Метод конечных элементов Учебное пособие для вузов, Киев: Вища школа, 1981, 176 с.

10.Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М., Стройиздат, 1977, 154 с.

11. Варвак П.М. новые методы решение задач сопротивления материалов -Вища школа Киев, 1977 - 158с.

12.Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластин. -Тр. ин-та строит механики АН УССР, 1949, ч. 1-136 с

13. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М., Стройиздат, 1975 - 223 с.

14.Варвак П.М., Рябова А.Ф. Справочник по теории упругости (для инжеренров строителей). будiвельник Киев, 1971 - 418 с.

15.Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин 2-е изд., перераб. и доп. Будiвельник Киев 1970-435с.

16.Вайнберг, Д. В. Пластины, диски, балки-стенки. - Киев, 1959.

17.Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. Гос. изд. технико-теоретической литературы, М., 1956, 419 с.

18.Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. Изд. АСВ, М., 2008, 280 с.

19.Громовик. А.И. Расчет круглых пластин: Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности ДВС. Сост. Омск: Изд-во Си-бАДИ, 2011. - 33 с.

20.Гошин, Г. Г. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей: Методические указания к компьютерной лабораторной работе [Электронный ресурс]. — Томск: ТУСУР, 2011. — 13 с.

21.Гутер Р.С., Резниковский П.Т. Программирование и вычислительная математика. Вып.2 М.1971 г., 264 с.

22.Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений - М.: Наука, 1971. - 248 с.

23.Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Ч.1 ,1936. 176 с.

24.Галеркин Б. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат 1933

25.Драков А.В., Шапошинков Н.Н., Строительная Механика - Издательство: вышая школа 1986 - 606 с.

26. Длугач М.И., Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости -издательство: «Наукова Думка», Киев 1964. - 259 с.

27.Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. - 345 с.

28.Коренев Б.Г., Рабинович И.М. Динамический расчет зданий и сооружений М.: Стройиздат, 1984. — 303 с.

29.Киселёв В.А. Расчёт пластин - М: Стройиздат, 1973. — 151 с.

30. Коренев Б.Г., Рабинович И.М. Справочник по динамике сооружений М., Стройиздат, 1972 г. - 511 с.

31.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б. и др. Уравнения математической физики в частных производных. - М: ВШ, 1970. - 712с.

32.Калманок, А.С. Расчет пластинок. Издательство: М.; ГИЗ литературы по строительству и архитектуре 1959. - 212 с.

33.Ляшенко И.Н. Задачи на собственные значения для уравнений второго порядка в частных конечных разностях, 1970, 205 с.

34.Лехницкий С.Г, Анизотропные пластинки. - ОГИЗ. Гостехиздат, 1947 -348с.

35.Мяченков В.И. и др. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник Авт.: В. И. Мяченков, В. П. Мальцев, В. П. Майборода и др.; - М.: Машиностроение, 1989. — 520 с.

36.Маквецов Е.Н. Модели из кубиков М.: Советское радио, 1978. — 192 с.

37.Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений - М.: Наука, 1965. - 384 с.

38. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2, учебное пособие для втузов. —13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математические литературы, 1985. —560 с.

39.Панов Д.Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных, Издание 5-ое, 1951,-184 с.

40.Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев, В.М. Макушин, Н.Н. Расчёт на прочность в машиностроении Малинин, (Том 3: Инерционные нагрузки. Колебания и ударные нагрузки. Выносливость. Устойчивость) М.: Машгиз, 1959. — 1118 с.

41.Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Ч.2. Учебное пособие для кораблестроительных втузов. Ленинград Изд-во судостроительной промышленности 1941г. - 960 с.

42. Рукавишников А.В Метод конечных разностей: учеб. Пособие - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2012. - 83 с.

43.Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб. Пособие: Для Вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1994. - 336 с.

44.Рекач В. Г., Расчет пластин и оболочек, Инженерно-строительной институт, кафедра строительной механикой,) Translated from Russian (Design of Plates and Shells), под общи. Редакции Москва-1963.

45. Самарский А.А., Разностные схемы для Дифференциальных уравнений с обобщенными решениями Изд.-Высшая школа, 1987, 296с.

46.Самарский А.А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1978 — 532 с.

47. Самарский А.А., «Введение в теорию разностных схем», главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1971

48.Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. Пособие. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1987. - 320 с.

49.Чернов Ю.Т. Вибрации строительных конструкций «Аналитические методы расчета. Основы проектирования и нормирования вибраций строительных конструкций, подвергающихся эксплуатационным динамическим воздействиям»: Научное издание. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство АСВ, 2011. -384с.

50.Чуватов В.В. Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток, Учеб. пособие. - Свердловск: УПИ, 1972. -107 с.

51.Anil K. Chopra, "Dynamics of Structures (Theory and Applications to Earthquake Engineering)", 4th Ed., Prentice Hal - Berkeley, 2012.

52.AALAMI, B., and WILLIAMS, D. G., Thin Plate Design for Transverse Loading, John Wiley & Sons, New York, 1975.

53.ANDERMANN, F., Plaques rectangulaires chargrees dans leur plan, analyse statique, Dunod,Paris, 1969.

54.Arthur W. Leissa, "Vibration of Plates" - (NASA) Ohio, 1969.

55.Bakhoum M, Structural Mechanics (vol 1&2), Cairo, 1992.

56.Bathe Klaus-Jürgen, Finite element procedures in engineering analysis, Prentice-Hall - New jersey 1982

57.Bathe Klaus-Jürgen, EDWARD L. WILSON, NUMERICAL METHODS IN FINITE ELEMENT ANALYSIS, PRENTICE-HALL, INC., Englewood Cliffs, New Jersey - 1976.

58.BULSON, P. S., the Stability of Flat Plates, American Elsevier Publication Company, New York, 1969.

59.Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers: With Programming and Software Applications McGraw-Hill Companies, Canada, 1998.

60.Clough Ray W.,Penzien Joseph, "Dynamics of Structures" 3rd ed., Computers & Structures, Inc. - Berkeley, 1993.

61.CHIA, CH.-Y., Nonlinear Analysis of Plates, McGraw-Hill International Book, New York, 1980.

62.CHANG, F.-V., Elastic Thin Plates (in Chinese), Science Press, Beijing, 1978.

63. Cheung, Y.K. "Finite strip method in structural analysis", Pergamon Press, 1976.

64.CUSENS, A. R., and PAMA, R. P., Bridge Deck Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1975.

65.COLLATZ, L., The Numerical Treatment of Differential Equations, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1968.

66.COURANT, R., FRIEDRICHS, K., and LEWY, H., "Ш ber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik,"- about the partial difference equations of mathematical physics, Math. Ann., - перевод с немецкого - Berlin, 1928.

67.DURBAN, D. (Ed.), Advances in Mechanics of Plates and Shells, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2001.

68.J. Douglas Faires, Richard L. Burden M, Numerical Methods, PWS Publishing Company, Boston, 1993.

69.DING, D., Calculations of Thin Slabs Following Elastic and Plastic Theories (in Chinese), Southeast University Press, Nanjing, 1991.

70.Robert D. Blevins, "Formulas for Natural Frequency and Mode Shape" - Canada, 1979.

71.Den Hartog J. P., ADVANCED STRENGTH OF MATERIALS, DOVER PUBLICATIONS, INC. New York - 1952.

72.FLORIN, G., Slabs and Plates, Trans. Tech. S. A., Aedermannsdorf, Switzerland, 1979.

73.Fried Isaac. Numerical solution of differential equations, Academic Press, Inc., New York, 1979

74.FORSYTH, G. E., and WASOW, W. R., Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, New York, 1960

75.Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах - перевод с Английского - М.: Мир, 1990. — 303 с

76.GIENCKE, E., "The Mechanical Interpretation of High Accuracy Multipoint Difference Methods for Plates and Shells," in Proceedings of IUTAM Symposium on High Speed Computing of Elastic Structures, Vol. 2, held in Liege, Aug. 23-28, 1970, University Lieg'e, 1971,pp. 809-836.

77.GIENCKE, E., "Ein einfaches und genaues finites Verfahren von orthotropen Scheiben und Platten," - A simple and accurate finite method of orthotropic discs and plates, Stahlbau - перевод с немецкого - Germany, 1967

78.Годунов С. К., "М. Дж. Сальвадори, "Численные методы в технике" (рецензия)", УМН, 11:5(71) - перевод с Английского - (1956)

79.HIBBELER R. C., "Dynamics", 12th Ed. - Prentice Hall, New Jersey, 2010.

80.HUSSEIN, R. M., Composite Panels/Plates: Analysis and Design, Techonomic Publishing Company, Lancaster, Pennsylvania, 1986.

81.JAWAD, M. H., Theory and Design of Plate and Shell Structures, Chapman & Hall, London, 1994.

82.JONES, L. L., and WOOD, R. H., Yield Line Analysis of Slabs, American Elsevier Publishing Company, New York, 1967.

83.JAEGER, L. G., Elementary Theory of Elastic Plates, the Macmillan Company, New York, 1964.

84.Jorge M. Souza , BOUNDARY CONDITIONS IN THE FINITE-DIFFERENCE METHOD, Se?ao de Engenharia Mecanica, Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro - Brasil.

85.Камке Эрих. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - перевод с немецкого - М: Наука - 1966-260с.

86. Камке Эрих. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям - перевод с немецкого - М: Наука - 1951 - 576с.

87.LOWE, P. G., Basic Principles of Plate Theory, Surrey University Press, London, 1982.

88. Ливсли Р. Матричные методы строительной механики - перевод с Английского - М.: Стройиздат, 1980, 224 с.

89.LEISSA, A. W., Vibration of Plates, National Aeronautics and Space Administration, NASA SP-160. Washington, D.C., 1969.

90. Brent Maxfield,"Engmeermg With Mathcad" - England, 2006.

91.Mansour, A.E., Generalized finite difference approach verification on circular plates, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 365 (2018) 042030 - 2018.

92.Madhujit Mukhopadhyay, Structural Dynamics (Vibrations & Systems), Ane Books India - Kharagpur, 2000.

93.MANSFIELD, E. H., The Bending and Stretching of Plates, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

94. MARGUERRE, K., and WOERNLE, H.-T., Elastic Plates, Ginn Blaisdell,Waltham, Massachusetts, 1969.

95.NEGRUTIU, R., Elastic Analysis of Slab Structures, M. Nijhoff, the Netherlands, 1988.

96.Новацкий В. Теория упругости - перевод с польского - Б. Е. Победри. - М.: Мир, 1975. — 256 с

97.PAPAKALIATAKIS, G., and SIMOS, T. E., "A Finite Difference Method for the Numerical Solution of Fourth-Order Differential Equations with Engineering Applications," Comp. Struct.,65, Texas,1997

98.PANC, V., Theories of Elastic Plates, Noorhoff International Publishing, Leyden, the Netherlands, 1975.

99.Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Differential Equations, University of Washington - 2005.

100. Rudolph Szilard, Theories and Applications of Plate Analysis: Classical, Numerical and Engineering Methods, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2004.

101. REDDY, J. N., Theory and Analysis of Elastic Plates, Taylor and Francis, London, 1999.

102. REISMANN, H., Elastic Plates: Theory and Application, John Wiley & Sons, New York, 1988.

103. REDDY, J. N., and GERA, R., "An Improved Finite-Difference Analysis of Bending of Thin Rectangular Elastic Plates," Comp. Struct., Texas, 1979.

104. Smith G.D., Finite Difference Methods ,Clarendon Press , OXFORD - 1985

105. Thein Wah M, Structural analysis by finite difference calculus, Van Nostrand Reinhold, 1970.

106. TIMOSHENKO, S., and WOINOWSKY-KRIEGER, S., Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1959.

107. TIMOSHENKO S., "Vibration Problems in Engineering" 2nd Ed., D. Van Nostrand Company, Inc. - Stanford, 1937.

108. UGURAL, A., Stresses in Plates and Shells, McGraw-Hill Book Company, New York, 1999.

109. USMANI, R. A. "An O(h6) Finite Difference Analogue for the Solution of Some Differential Equations Occurring in Plate Deflection Theory," J. Inst. Math. Appl. Bradford, Yorkshire - England, 1977.

110. WHITNEY, J. M., Structural Analysis of Laminated Anisotropic Plates, Technomic Publishing Company, Lancaster, Pennsylvania, 1987.

111. WAH, T. (Ed.), A Guide for the Analysis of Ship Structures, U.S. Department of Commerce, OTS, P.B. 181168 - Washington, D.C., 1960.

Статья

• В периодических изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК РФ:

112. Мансур А.Э. Динамический анализ симметричной круглой пластины при силовом воздействии, изменяющемся по гармоническому закону с помощью обобщенного метода конечных разностей //Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2019. №2. С.23-27.

113. Мансур А.Э. Модальный анализ круглых симметрических пластин с помощью обобщённого метода конечных разностей. Мир транспорта. 2019. Том 17, №3. С.88-98.

• Статьи, опубликованные в изданиях, цитируемых международными базами «Scopus» и «Web of Science»:

114. Alaa El-Din Mansour. Generalized finite difference approach verification on

circular plates //IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. -IOP Publishing, 2018. - Т. 365. - №. 4. - С. 042030.

115. Alaa. M. Mansour, Radek Gabbasov, Vladimir Filatov. A numerical solution for geometrically nonlinear bending plates problems subjected to local-loads //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2017. - Т. 117. - С. 00115.

116. A.M.Mansour, R.F. Gabbasov, V.V.Filatov, N.B.Ovarova. Dissection Method Applications for Complex Shaped Membranes and Plates //Procedia Engineering. - 2016. - Т. 153. - С. 444-449.

117. Alaa El-Din Mansour, Radik Gabbasov, Michael Gandzhuntsev, Vladimir Filatov, Dzhurakulov Muniev. A numerical solution for plain problems of theory of elasticity //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2017. - Т. 106. -С.04015.

118. Alaa El-Din Mansour, Vladimir Filatov, Michael Gandzhuntsev and Nikita Ryasny. Numerical verification of composite rods theory on multi-story

buildings analysis //E3S Web of Conférences. - EDP Sciences, 2018. - Т. 33. -С.02077.

• Статьи, опубликованные в других научных журналах и изданиях:

119. Габбасов Р.Ф., Мансур А. Э. М. Определение бигармонического коэффициента обобщённым методом конечных разностей //Сборник докладов и тезисов Международной научно - практической конференции

«Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные

ПРИЛОЖЕНИЕ №1 РАЗРАБОТНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ

ПРОГРАММОЙ «Microsoft EXCEL»

А. Вычислитель слагаемы классического уравнения МКР

*1000 1 26/49 -3 33/49 2 1/7

1/653 М, - 1/272 М2 2/933 М3

0.00153061 -0.00367347 0.00214286

-0 - 1/272 hinged

*1000 - 30/49 -3 33/49

1/272 - 1/272 Fixed

0.003673469 -0.003673469

*1000 3 33/49 -3 33/49

For Internal Node(s) 1

R:= 5 \

Node 3 1- 4

h := 1

e° := 36 ,, n IRMfl&gK

0.25 g (rad) _ 0.314285714 wv C--1 V | ;•> K:—* •.—£>----R

20.99091592 0 Vl 11 ' IV '

n~ 1.25 0WÈÈÊ^mÊsË vin r'

r, := 2.25 wq W„ wP

58.96198347 -16.9747968 1.271870217

<

W5 wk W| W, w,

4.2 -123.5239669 35.59075352 -4.943740435 0.466666667

w0 wm Wr

58.96198347 -16.9747968 1.271870217

wu

20.99091592

4.2 w„ -5.6 Wj 43.62299175 w2 -2.4 w3 0.466667 w4

4 1/5 -5 3/5 43 504/809 -2 2/5 7/15

For Boundary Node |

4.2 -5.6 43.15632508 hinged

43 131/838

4.2 -5.6 ' 44.08965842 Fixed

44 13/145

ForCentral & Near-Central Node |

n := 10 w„ W„ W|ntl|

48 -48 -2

Central

48 -48 -2

w„ Wj W|ntl| W|2ntl|

Near -5 7.125 -6 1.875

Central

-5 7 1/8 -6 1 7/8

•.. _ y ......................

......... ^

1 1 m 1 1 1

tö

tö

E £

S rs ta S H fD

ta errs ta

M

M fD

o\ S

M |Ö

o

a

s £

fD

rs

X ©

o o

a

fD

lo

M H o te

M ^

M

a

ta m rs M

Г. Вычислитель слагаемы бигармонического оператора Лапласа обобщённым МКР (для симметричных круглых пластин)

ПРИЛОЖЕНИЕ №2 АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ В

ГЛАВЕ №2

Расчёт примера § 2.3.3

Расчёт схемы №1 § 2.3.4 по [15]

E-.= l.5 Ю5 i/:=0 6:= 12 D-.=

E-5:t

12 (l-i/2)

- 4 -~r О О

(22.5) (22.5) 80 -1 2

81000 0

0

0

0

0

0

0

-I

1)

0 0 0 0 0 0 0 0

0

253 675

I -1 I 675 253 405 I -1 607 253 434

1 -1 I

0 0 0 0 0 0

0

-1

~D 0

0

0

0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 —--:--— О 0

579 253 450

0 0 — —--— 0

562 253 460

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 -1

0 J— - J- о

552 253 467

2

1 -I

545 253 945

0 — — 540 253

ООО

= 2.16.107

0 0 0 0 0 0 0 0

0

-4

(22.5)2 (22.5)2

D 0

0 0 0 0 -1

D 0 0

0 0 -1

D 0

0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

и

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

-1 ~D

0

0

I

0

о 0

-I

D

D

80 81000

0 0 0 0 0 0 0

-1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

о о о 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

о о о 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2

0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

о 0

0 0 0 0 0

о о о 0

о о 0

о 0

253 675 1 -1 1 675 253 405

1 -1 1 607 253 434

I -I I 579 253 450

1 -1 1

0 0 —-----— 0

562 253 160

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 -1 1

552 253 467 1 -1

545 253 I

253

22.5 0

0

0

0

0

0

0

0

0

Материал: Железобетон E = 1.5xl05

Кг/см2 » = 0 6= 12 см 1/2=a= 180 см P=0.15 кг/см2

ы

-0.1500 MO

-0.1500 Ml

-0.1500 M2

-0.1500 Ш

-0.1500 Ail

-0.1500 M5

-0.1500 MS

-0.1500 M7

-0.1125 MS

0 wo

0 Wl

0 W2

0 W'3

0 WA

0 ИТ)

0 w;

0 W7

0 R

==л-'.в=

608.111 589.127 532.562 138.294 305.978 136.088 -72.013 -318.107 -602.535 -0.116 -0.113 -0.103 -0.086 -0.066 -0.044 -0.023 -0.007 -42.862

W0 = —0.1165

W2 = —0.1026 Л = —42.862 W\ = -0.0662 W6 =-0.0232

PacweT MK3 [h= (//8), 0= (n/4)]

Y Nodal displacement in global Z in mm, Loadcase 1 Loadcase 1 , with factor 0.100 (Min=-0.119) (Max=0) M 1 : 24

i-x

о4=180 ¡/;=0 ¿¡=12

Расчёт схемы №2 § 2.3.4 по [15] Аналитический Расчёт

12 (1-^)

5 2. Пластина, свободно опертая по контуру

и. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности ИлЛИтИВЫ (рпс. 1,2).

Обозначения

й мг

м —радиальное нормально!? напряжение, и крилннд во-

локтса л м^ридттотсальпого сечетнтя пласпшт.1,

= ^--окружное нор малики; напряжение а крайниА долок-

нал цилиндртпсского ссчпния пласттгш, к¡¡Ы1. Расчетные формулы [8,9,10,11]

04£>

I1 —Р-^А

а/

[Нт-'У- м

I ^

№<¡23

+ • И: "^ЩР^ 1 ^ „ №

и

/Л - ; 0Г= — 0,5рйр;

ца1

п

.1Г}

= X л

Х[3"И — О Н- £.5)