Динамический подход к расчету геометрически нелинейных стержневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Жиделёв, Андрей Викторович

• Жиделёв, Андрей Викторович
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Жиделёв, Андрей Викторович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Численные методики расчета стержневых ГНС

1.1.1. Метод Ньютона-Рафсона

1.1.2. Метод последовательных нагружений

1.1.3. Комбинированный метод

1.1.4. Построение касательной матрицы жесткости

1.2. Общие замечания к существующим методикам расчета стержневых ГНС

1.3. Особенности поведения систем, имеющих большие перемещения

Выводы по главе

ГЛАВА 2 ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ ГНС

2.1. Постановка задачи

2.2. Стержень рамы малой изгибной жесткости.

2.2.1. Матрица проекций вектора внутренних усилий в узлах стержня

2.2.2. Матрица проекций вектора реакций в поставленных связях

2.2.3. Матрица проекций вектора внешней нагрузки

2.2.4. Деформации элемента. Матрицы уравнений совместности

2.3. Стержень фермы малой продольной жесткости

2.4. Построение глобальных матриц и векторов системы дифференциальных уравнений расчета стержневых ГНС

Выводы по главе

ГЛАВА 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ ГНС

3.1. Численное интегрирование функции перемещений

3.2. Линеаризированный расчет в приращениях

3.3. Производные матрицы проекций вектора внутренних усилий в узлах стержня

3.3.1. Первая производная А.

3.3.2. Вторая производная А

3.4. Производные вектора деформаций системы

3.4.1. Первая производная А

3.4.2. Вторая производная А

3.5. Производные матрицы совместности Г

3.6. Расчет систем с наличием наклонных связей

3.7. Расчет систем с наличием следящих связей

3.8. Расчет систем с наличием следящей нагрузки

Выводы по главе

ГЛАВА 4 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ СТЕРЖНЕВЫХ ГНС

4.1. Расчет фермы Мизеса

4.2. Расчет фермы с резким включением в работу элементов

4.3. Расчет фермы с прощелкиванием

4.4. Расчет фермы с наличием наклонных связей

4.5. Расчет фермы с наличием следящих связей

4.6. Расчет фермы Мизеса при обратносимметричной форме потери устойчивости

4.7. Расчет гибкой консоли с моментом на конце

4.8. Расчет гибкой консоли с силой на конце

4.9. Расчет статически неопределимой балки

4.10.Расчет Г-образной рамы со следящей нагрузкой

4.11.Границы применимости разработанных КЭ

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамический подход к расчету геометрически нелинейных стержневых систем»

В настоящее время развитие вычислительной техники и численных методов открывает перед строительной механикой большие возможности в решении широкого класса новых задач, имеющих не только научный, но и практический интерес. Одной из таких задач является построение расчетной модели для описания напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных систем (далее ГНС) - систем, имеющих значительные перемещения, материал которых работает в зоне упругости и удовлетворяет закону Гука.

Проведенный анализ существующих методик расчета стержневых систем, имеющих нелинейную зависимость перемещений от внешних сил, с использованием линейной или линеаризованной теорий строительной механики, базирующихся на теоремах о взаимности работ и перемещений, свидетельствует о некорректности и ограниченности такого подхода, позволяющего решать лишь частные и зачастую простейшие задачи (консоль, ферма Мизеса и т.п.).

Существует достаточно большой класс задач, которые не могут быть решены в линейной статической постановке: явление «перескока», статически и кинематически неопределимые системы (простейшие механизмы), потеря устойчивости второго рода, связанная с изменением расчетной схемы в результате нагружения, и пр. Используемый в ряде работ метод определения величины нагрузки по заданным перемещениям (решение обратной задачи) не представляет практической ценности, так как в реальных инженерных исследованиях напротив необходимо знать поведение конструкции под заданной нагрузкой с учетом развития процесса во времени.

Общий анализ поведения стержневых ГНС указывает на многообразие возможных задач в зависимости от типа стержней, внешней нагрузки, наложенных связей и т.д. В целях прослеживания кинетики напряженно-деформированного состояния стержневых ГНС в любой момент времени необходимо знать и дополнительно учитывать в расчете кинематические и инерционные характеристики системы.

Отсутствие такого подхода привело к тому, что в ряде научных статей подвергается сомнению эффективность и корректность использования существующих методик расчета по МКЭ в нелинейном анализе конструкций с использованием программного обеспечения типа ANSYS, NASTRAN, Cosmos, Lira и пр. Так, в качестве доказательства Д.И. Назаров [53,54] рассматривает простые с точки зрения формализации «контрольные примеры», для которых приводит точные аналитические решения. По результатам сравнения аналитических решений, отличающихся от результатов расчета по выше указанным программам, автор делается заключение о принципиальной неприменимости МКЭ в расчете геометрически нелинейных систем

Поскольку ранее расчет стержневых ГНС с точки зрения динамического поведения не разрабатывался, то целью диссертационной работы является:

• разработка математической модели и составление системы разрешающих уравнений, описывающих поведение стержневых ГНС с учетом ее кинематических и инерционных характеристик;

• разработка методики численного расчета системы дифференциальных уравнений расчета ГНС;

• получение выражений производных матриц системы разрешающих уравнений;

• разработка и реализация алгоритма расчета стержневых ГНС.

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

• предложен динамический подход к расчету стержневых ГНС, учитывающий кинетостатический характер работы системы на рассматриваемом интервале времени;

• разработана матричная форма системы дифференциальных уравнений динамического равновесия стержневых ГНС общего вида, учитывающая произвольный характер действия нагрузок и схем закрепления;

• получены выражения матриц разрешающих уравнений и их производных, являющиеся функциями параметра времени, вместо используемого в статическом подходе вектора перемещений;

• разработаны алгоритмы численного решения системы дифференциальных уравнений расчета стержневых ГНС с применением методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений и теории сплайнов;

• приведены расчеты широкого класса стержневых ГНС, в том числе и нерешаемых в статической постановке.

Достоверность основных научных положений и результатов работы обеспечивается корректностью постановок задач в рамках общепринятых допущений строительной механики и теории упругости, сравнением полученных результатов с известными решениями.

Практическая ценность. Выполненное исследование позволяет с достаточной степенью точности выполнять расчеты стержневых ГНС на всех стадиях их работы (действие нагрузок, зависящих от перемещений системы; колебательные процессы; потеря устойчивости и пр.). Разработанные в диссертации методика и алгоритмы могут быть рекомендованы для применения в проектных и научно-исследовательских организациях и эффективно использоваться при определении НДС гибких стержней и рам, гибких и жестких нитей, ферменных конструкций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры строительной механики и САПР ВолгГАСА под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора Игнатьева В.А.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в трех научных статьях.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 100 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 97 наименований и содержит 47 рисунков и 7 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Жиделёв, Андрей Викторович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Сравнивая классический, используемый в расчетах стержневых ГНС, статический подход и предложенный автором динамический, можно сделать вывод, что последний обладает рядом преимуществ:

• динамический подход более полно описывает работу ГНС на всех стадиях с учетом ее кинематических и инерционных характеристик, позволяет решать задачи, не рассматриваемые или некорректно решаемые в статической постановке;

• матрицы разрешающих уравнений являются функциями независимой переменной - времени, тогда как в статическом методе -функциями вектора перемещений. Это приводит к четкой формализации и облегчению получения производных матриц разрешающих уравнений;

• составление уравнений движения в дифференциальной форме позволяет применить для решения разрешающей системы нелинейных уравнений прямые методы численного интегрирования.

2. Разработанный алгоритм позволяет полностью формализовать и автоматизировать расчет стержневых ГНС с наличием различного вида внешних нагрузок и связей.

3. Разработанная методика расчета стержневых ГНС в форме МКЭ в динамической постановке задачи, основанная на фундаментальных принципах строительной механики и теории упругости, подтвердила свою применимость и эффективность для расчета стержневых ГНС (гибких стержней и рам, гибких и жестких нитей, ферменных конструкций).

4. Разработанные алгоритмы могут быть рекомендованы для практического использования в расчетах стержневых ГНС и включены в программные комплексы расчета ГНС по МКЭ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Жиделёв, Андрей Викторович, 2003 год

1. Абовский Н.П., Енджиевский A.B. Некоторые аспекты развития численных методов расчета конструкций. // Изд. вузов: Стр-во и арх-ра. - 1981, №6. - с.30-47.

2. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983. - 488с.

3. Алешинский Ю.Н. Об учете больших перемещений в задаче об устойчивости упруго-пластического внецентренно сжатого стержня. / Инженерный журнал. Т. 2, вып. 1, 1962. 104с.

4. Ананян В.В. Расчет геометрически и физически нелинейных стержневых систем методом конечного элемента. Исследования по расчету элементов пространственных систем. Сб. тр. Университет дружбы народов. -М., 1987. с.116-122.

5. Аргирос Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 208с.

6. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций.// Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем./ Сб. переводов под ред. А.П. Филина Л.: Судпромгиз, 1961. -с.37-256.

7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов/ Пер. с англ. -М.: Стройиздат, 1982. 447с.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 432с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 632с.

10. Вениаминов Д.М. О смешанном методе строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений №5, 1973. с.34-37.

11. Вениаминов Д.М. Уравнения смешанного метода в теории упругости // Строительная механика и расчет сооружений №5,1975. с.43-46.

12. Бернштейн С.А. Очерки по истории строительной механики. М.: Госстройиздат, 1957.-464с.

13. Бобков В.В., Городецкий JI.M. Избранные численные методы решения на ЭВМ инженерных и научных задач. Минск.: Изд-во Университетское, 1985. 175с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956.-600с.

15. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и методы конечных элементов в инженерных расчетах. М. Машиностроение, 1988; - 254с.

16. Бурман Я.З., Салахов P.P. О реализации МКЭ на персональных ЭВМ. Прикладные проблемы информатики, № 1,1989. 251 с.

17. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-301с.

18. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М. Наука, 1967. 548с.

20. Гвоздев A.A. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. МИИТ, 1927. - 86с.

21. Гольдштейн Ю.Б. О регуляризации неустойчивых решений линейных задач механики стержневых конструкций // Механика стержневых систем и сплошных сред. Вып. 11. Л.: Изд-во ЛИСИ, 1978.

22. Гребень Е.С. Вопросы матричного расчета многократно статически неопределимых систем // Прочность и колебания конструкций. Л.: Изд-во ЛИИЖТ, 1960.

23. Данилин А., Зуев Н., Снеговский Д., Шалашилин В. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000, №4.

24. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика: Учебник для строит, спец. вузов. М.: Высшая школа, 1986. 607с.

25. Демидович Б.П., Марон H.A. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 659с.

26. Демидович Б.П., Марон H.A., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368с.

27. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1991. -272с.

28. Жиделёв A.B. Динамический подход к расчету геометрически нелинейных стержневых систем. Информ. Листок № 51-099-03 /Волгогр. ЦНТИ. Волгоград, 2003. - 3 с.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -543с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.-318с.

31. Зылев В.Б. Статика, динамика и устойчивость нелинейных нитевых систем. Дисс. докт. техн. наук. - М.: 1987. - 313с.

32. Зылев В.Б., Соловьев Г.П. Алгоритм расчета плоской стержневой системы в случае больших перемещений. Строительная механика и расчет сооружений №5, 1980. с.35-38.

33. Зылев В.Б., Штейн A.B. Результаты исследования устойчивости арок при учете конечных перемещений. Вычислительные методы в исследованиях строительных конструкций. Сборник трудов ЦНИИСК.-М.: 1987. - с.101-106.

34. Зылев В.Б., Штейн A.B. Численное решение задачи о нелинейных колебаниях системы нитей // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №6 - с.58-61.

35. Игнатьев A.B., Жиделёв A.B. Смешанная форма МКЭ в расчетах линейных стержневых систем. Вестник ВолгГАСА. Техническиенауки. Выпуск 1, 2001. с.20-28.

36. Игнатьев В.А. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. Учебное пособие для студентов строительных специальностей./ Саратов: Изд-во Сарат. политехи, инст-та, 1980. -83с.

37. Игнатьев В.А. Некоторые задачи устойчивости плоских и пространственных ферм. Автореферат кандидатской диссертации. Саратов, 1966 г. -26с.

38. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем./ Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. 295с.

39. Игнатьев В.А., Жиделёв A.B. Смешанная форма МКЭ в расчетах геометрически нелинейных стержневых систем. Вестник ВолгГАСА. Технические науки. Выпуск 1, 2001. с.47-54.

40. Кирсанов Н.М. Висячие конструкции. М.: Стройиздат, 1984. -158с.

41. Кирсанов Н.М. Висячие системы повышенной жесткости. М.: Стройиздат, 1973. 116с.

42. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. М: Стройиздат, 1980. - 616с.

43. Клемперт Ю.З., Филин А.П. О связи между сетевым и матричным подходом в строительной механике// Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л.: Стройиздат, 1973.

44. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1978. 831с.

45. Кульбах В.Р. Вопросы статического расчета висячих систем. -Таллин, Стройиздат, 1970.

46. Ливсли С. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980. 284с.

47. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 208с.

48. Масленников A.M. Метод конечных элементов// Справочник по теории упругости/ Под ред. П.М. Варвака, А.Ф. Рябова. Киев, 1971. - с.239-260.

49. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций методом конечных элементов.: Учебное пособие. Л.: ЛИСН, 1987. - 78с.

50. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами: Учебное пособие. JL: 1987. - 224с.

51. Метод конечных элементов в механике твердых тел. (под общ. ред. Сахарова A.C. и Альтенбаха И.) Киев: Вища Школа, 1982. -480с.

52. Метод конечных элементов в строительной механике и механике сплошных сред. Реферативный обзор зарубежной литературы за период 1966-1970. Составитель: Барскова H.A., Л., 1971.

53. Методика расчета пространственных стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейности/ Ф.В. Рекач; Унив. Дружбы народов. -М., 1988.

54. Методы решения нелинейных задач прочности на основе МКЭ. Обзоры ЦАГИ, № 623, 1968-1980 г.г. Составители: Г.Н. Замула, А.И. Иванов, K.M. Иерусалимский, Г.В. Жебракова. М., 1983.182с.

55. Москалев Н.С. Конструкции висячих покрытий. М.: Стройиздат, 1980.-335с.

56. Мюллер Г., Буркхардт Г., Егер В. Расчет плоских и пространственных стержневых систем на ЭВМ в линейной и нелинейной постановках. // Некоторые вопросы расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1983. - с.84-93.

57. Назаров Д.И Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. 2000, №2.

58. Назаров Д.И. Современное состояние геометрически нелинейного конечно-элементного анализа конструкций. //Информационные исоциально-экономические аспекты создания современных технологий. 1999, №3.

59. Немчинов Ю.И. Метод конечных элементов в механике тонкостенных пространственных и стержневых конструкций: Автореферат докт. дис. JI: Ленингр. инж.-строит. ин-т., 1983.

60. Определение конечных перемещений изгибаемых стержней методом конечного элемента// В.В. Ананян; ЦНИИСК Госстроя СССР, 1985.-9с.

61. Покровский A.A. Геометрические соотношения конечного элемента и их применение к расчету гибких стержней и стержневых систем.// Прикладная механика, том XIV, №7, 1987. -с. 104-107.

62. Покровский A.A. Метод конечных элементов в расчетах гибких стержней на упругом основании.// Известия вузов. Стр-во и арх-ра, №4, 1987. с.35-38.

63. Покровский A.A. Расчет кинематической цепи смешанным методом. В сб. «Материалы XXVIII научно-технич. конференц.» Часть II. Тезисы доклад. Пенза, 1995. 186с.

64. Покровский A.A. Смешанный метод расчета стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей. В сб. «Научно-технический прогресс в строительстве». Часть I./ Тезисы докл. XXVII научно-техн. конференц. Пенза, 1993. 53с.

65. Покровский A.A. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем и сплошной среды: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук/ ПГАСА, Пенза, 2000. 308с.

66. Покровский A.A. Численный метод расчета дважды нелинейных стержневых систем различного назначения// Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1980. с.36-40.

67. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.: Гостехиздат, 1948.-210с.

68. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.-294с.

69. Резников P.A. Решение задач строительной механики на ЭЦМ. М.: Стройиздат, 1971. 311 с.

70. Рекач Ф.В. Методика расчета пространственных стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей.// Строительная механика и расчет сооружений, 1987. с.6-14.

71. Рекомендации по проектированию висячих конструкций. ЦНИИСК.-М.: Стройиздат, 1974.

72. Ржаницын А.Р. Строительная механика. -М., 1982. -400с.

73. РозинЛ.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. М. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. - 232с.

74. Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 276с.

75. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

76. Смирнов А.Ф., Александров A.B. Лащеников Б.Я. Шапошников Н. Н., Строительная механика (стержневые системы). М.: Стройиздат, 1981. 512с.

77. Смирнов А.Ф., Александров A.B. Лащеников Б.Я. Шапошников Н. Н., Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. -416с.

78. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Шапошников H.H., Лащеников Б.Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Стройиздат, 1964. -380с.

79. Строительная механика в СССР. 1917-1967./ Под ред. И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1969. 424с.

80. Тананайко О.Д. Независимая аппроксимация усилий и перемещений в методе конечных элементов// Тр. ЛИИЖТ, вып. 326. JL: Транспорт, 1977.

81. Тананайко О.Д., Шварц М.А. О смешанном методе расчета стержневых систем на прочность, колебания и устойчивость// Тр. ЛИИЖТ, вып. 401, Л.: Транспорт, 1976.

82. Филин А.П. Матричная форма методов строительной механики. Вып. I-IV Л.: Изд-во ЛИИЖТа, 1965. 120с.

83. Филин А.П., Тананайко О.Д., Чернева Н.М., Шварц М.А. Алгоритм построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. -М.: Стройиздат, 1983.

84. Хечумов P.A., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994.-353с.

85. Хечумов P.A., Покровский A.A. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейности.// Строительная механика и расчет сооружений №2, 1991. с.5-11.

86. Хечумов P.A., Покровский A.A. Численный способ описания геометрической оси стержня по заданным деформациям в расчетных сечениях.// Известия вузов. Стр-во и арх-ра., № 7, 1991. с.128-130.

87. Шмельтер Я., Дацко М. и др. Метод конечных элементов в статике сооружений. Перевод М.В.Предтеченского. М.: Стройиздат, 1986.-234с.

88. Cheng S.Y., Hau T.R., Too J.J.M. An integrated load increment method for finite elasto-plastic stress analysis. «Internat. J. for Numerical Methods in Engineering», v. 15, № 6 , 1980. c.833-842.

89. Chung T.J. Convergence and stability of nonlinear finite element equations. «А1АА J.», v. 13, № 7, 1975. Русск. пер. журн. «Ракетная техника и космонавтика», том. 13, № 3, 1975. — с.151-154.

90. Gill S.S. Large deflection rigid plastic analysis of a built-in semicircular arch.// «Int. J. Mech. Eng. Educ.» v. 4, № 4, 1976. -c.339-355.

91. Gisejowski M.A. Geometrically and physically non-linear analysis of plane frames sensitive to imperfections// Lect. Notes Eng. v. 26, 1987. c.290-298.

92. Heisler W.E., Striclin J.A. & Stebbin F.J. Development and evolution of solution procedures for geometrically nonlinear structural analysis by the direct stiffness method. New-York, 1971. - c.264-272.

93. Kohnke P.C. Large deflection analysis of frame structures by fictions forces.// Int. J. Numer. Meth. Eng. v. 12, № 8, 1978. c.1279-1294.

94. Masset D.A., Striclin J.A. Self-correcting incremental approach in nonlinear structural mechanics. «А1АА J», v. 9., № 12, 1971. c.201-203.

95. Mohr G.A., Milner H.R. Finite element analysis of large displacement in flexural systems.// Comput. And Struct., 13, 1981. c.533-536.

96. Striclin J.A., Heisler W.E. & von Reisemann W.A. Self-correcting initial value formulation in nonlinear structural mechanics. «А1АА J», v. 9.,№ 10, 1971. c.213-215.