Об одном методе приближенного нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Портнов, Михаил Михайлович

• Портнов, Михаил Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Портнов, Михаил Михайлович

Введение.

Общая характеристика работы.

Краткое содержания работы

1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Обзор некоторых методов решения задачи.

2 Скалярные уравнения первого порядка.

2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

2.2 Схема метода.

2.3 Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае.

2.4 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью

Л особого вида.

I 3 Скалярные уравнения произвольного порядка.

3.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

3.2 Схема метода для уравнений р-то порядка. ч 3.3 Сходимость метода в общем случае. 3.4 К вопросу о существовании периодических решений.

3.5 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида.

4 Системы уравнений первого порядка.

4.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

4.2 Схема метода для систем уравнений первого порядка.

4.3 Основные теоремы о применении и сходимости метода. . 86 „ 4.4 О практической реализации метода.

5 Системы дифференциальных уравнений произвольного порядка.

5.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

5.2 Схема метода для уравнений р-го порядка.

5.3 Сходимость метода в общем случае.

5.4 Примеры, иллюстрирующие применение метода.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об одном методе приближенного нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений»

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория нелинейных колебаний представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники [8, 16, 58], с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, теория периодических решений является частью теории краевых задач, что в ряде случаев позволяет использовать полученные результаты при рассмотрении краевых задач. Вопросом построения периодических решений занимались А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов, Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, И.Г. Малкин, Е.А. Гребенников, A.M. Самойленко, Дж. Хейл, JI. Чезари и другие ученые.

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний важно уметь точно или приближенно получать периодические решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. На данный момент существует несколько качественно различных подходов к изучению и построению периодических решений.

Одним из достаточно эффективных средств изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики, разработанные в фундаментальных трудах [26, 5, 28, 29], в дальнейшем развитые их учениками и последователями. Однако асимптотические методы не могут в полном объеме решить проблему изучения даже чисто гармонических колебаний. Поэтому для более полного исследования периодических решений дифференциальных уравнений многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические и численные методы и схемы.

Функционально-аналитические методы [1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 31, 32, 36, 42] широко используют топологические понятия и представляют удобный инструмент качественного исследования периодических решений, позволяя решать вопросы о существовании, числе и устойчивости периодических решений.

Численно-аналитические и численные методы [10, 30, 54, 55, 56, 63, 57, 64, 65] благодаря большим возможностям привлечения ЭВМ становятся в настоящее время универсальным средством выявления и приближенного построения периодических решений.

В работе [59] приведены различные условия типа дефинитной и индефинитной монотонности, гарантирующие существование и единственность периодического решения. Профессор А.И. Перов [39, 40] в ряде работ высказал идею метода приближенного отыскания периодического решения в указанных выше условиях или близких к ним. Этот метод перекликается с различными методами других математиков: А.М. Самойленко, Н.М. Ронто, Л. Чезари, Дж. Хейл. Получение периодического приближения по этому методу состоит из двух шагов: решения элементарной задач нахождения периодической функции с нулевым средним значением по ее первой или рой производной и в нахождении решения системы (конечных) нелинейных уравнений (этот шаг значительно сложнее).

Исследования, включенные в данную диссертацию, выполнены в рамках проекта \^-010-0 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Министерства образования и науки РФ и ОБШЕ (США). Тема исследования напрямую связана с направлением исследования НИР кафедры нелинейных колебаний.

Цель работы. В данной работе рассматривается предложенный А.И. Перовым [39, 40] подход к отысканию периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической по времени правой частью. Данный метод является логическим развитием таких широко известных методов исследования периодических решений, как методы Чезари-Хейла, A.M. Самойленко и других. Основной задачей является рассмотрение схемы метода и определение условий применимости данной схемы для поиска периодических решений.

Общая методика исследования. Рассматриваемый метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений состоит в построении периодических по времени вектор-функций, принадлежащих вполне определенному множеству, содержащему периодические решения данной системы. С этой целью строится соответствующий системе оператор, действующий в указанном множестве. Отметим, что получаемый оператор может быть выписан в явном виде лишь в частных случаях задачи. При исследовании оператора решаются задачи о существовании и единственности последовательности приближений для системы уравнений. Затем рассматриваются условия, при которых оператор является сжимающим на указанном множестве. В обосновании сходимости метода и в получении оценок в различных метриках важную роль играют неравенства Бора-Фавара и Виртингера [61]. При обосновании сходимости метода для систем уравнений удобным оказался обобщенный принцип сжимающих отображений, сформулированный и доказанный А.И. Перовым еще в 1964 г. [34].

Научная новизна. В работе рассмотрен способ построения периодического решения систем неавтономных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. Получены условия существования последовательности приближений и условия сходимости данной последовательности. Кроме того, полученные результаты могут рассматриваться как достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты относятся к теории нелинейных колебаний. Рассмотренный метод может быть использован в прикладных задачах при поиске периодических решений. Кроме того, в прикладных задачах могут быть полезны легко проверяемые достаточные условия существования периодических решений.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на заседаниях научного семинара кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета (руководитель - профессор Перов А.И.), на международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы."(Воронеж, 26-30 мая 2003 г.) [43]. Также результаты послужили основой для докладов на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.) [46], Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-Х1У" (Воронеж, 3-9 мая 2003 г.) [47], Воронежской зимней математической школы - 2004 (Воронеж, 24-29 января 2004 г.) [50, 51].

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати печатных работах. Из них семь - тезисы докладов на научных конференциях [43, 44, 45, 46, 47, 50, 51] и пять - статьи [38, 48, 49, 52, 53].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих девятнадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации 137 страниц. Библиографический список содержит 66 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Портнов, Михаил Михайлович

Заключение.

В данной работе рассмотрен предложенный А.И. Перовым метод поиска периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод является численно-аналитическим методом последовательных приближений. Показано отличие схемы предложенного способа построения приближений от схем широко известных аналогичных методов.

В работе исследуется применение метода к уравнениям и системам, разрешенным относительно старшей производной. Отдельно рассмотрены случаи скалярных уравнений первого порядка, скалярных уравнений более высоких порядков, систем первого порядка и систем произвольного порядка. Для каждого из этих случаев приведена схема построения последовательности периодических приближений, получены достаточные условия, при которых возможно применять схему построения последовательности периодических функций и условия, при которых построенная последовательность является равномерно сходящейся к решению периодической задачи. Показано, как приведенные в данной работе утверждения могут рассматриваться как теоремы существования периодических решений. С целью иллюстрации предложенного метода приведено несколько примеров применения метода при поиске периодических решения широко известных видов обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве возможных направлений дальнейшего исследования можно указать рассмотрение метода для систем обыкновенных дифференциальных уравнений более сложного вида и модификацию метода с целью поиска решений краевых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Портнов, Михаил Михайлович, 2005 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965. - 407 с.

4. Бсллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М. : Наука, 1976. - 352 с.

5. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М. : Физматгиз, 1963. - 503 с.

6. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М. : Наука, 1967. - 416 с.

7. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. М. : ГИФМЛит, 1961. - 408 с.

8. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001. - 395 с.

9. Говорухин В.Н. Введение в Maple / В.Н. Говурхин, В.Г. Цибулин. М. : Мир, 1997. - 208 с.

10. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971. - 432 с.

11. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Деми-дович, И.А. Марон. М. : Наука, 1966. - 664 с.

12. Жук В.В. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. J1. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. - 188 с.

13. КалиткинН.Н. Численные методы/Н.Н. Калиткин. М. : Наука, 1978.- 512 с.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

15. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : ИЛ, 1958. - 476 с.

16. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

17. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений М.А. Красносельский // "УМН".- 1966. 21, №3 - С. 53-74 .

18. Красносельский, М.А. О применении методов нелинейного функци-* опального анализа в задачах о периодических решениях уравненийнелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР", 1956. -Т. 111, №2 - С. 283-286.

19. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. - 332 с.

20. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - 2 - С. 202-211.

21. Красносельский М.А.06 одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский,

22. A.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - 123, № - С. 235-238.

23. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - Т.156, №5 - С. 1022-1024.

24. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР", 1963. 152, №3 - С. 540-543.

25. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том I. / В.И. Крылов,

26. B.В. Бобков ,П.И. Монастырный. М : Наука, 1976. - 304 с.

27. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. / В.И. Крылов, В.В. Бобков ,П.И. Монастырный. М: Наука, 1976. - 400 с.

28. Крылов Н.М. Новые методы нелинейной механики / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов. Киев : ГТТИ, 1934. - 364 с.

29. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

30. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1966. - 305 с.

31. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.

32. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского ун-та, 1969. - 309 с.

33. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. М. : Наука, 1975. - 274 с.

34. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 471 с.

35. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем ура-вений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М. : Мир, 1975. - 560 с.

36. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений . А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 Киев : Наукова думка , 1964. - С. 115-134.

37. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1973. - 50 с.

38. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

39. Перов А.И. Периодическая функция Грина и многочлены Бернулли / А.И. Перов // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000. т. 4, №1-2. -Самара, 2000. - С. 199 - 213.

40. К условию сходимости метода A.M. Самойленко / А.И. Перов и др. // Вестник ВГУ , Сер. Физика, математика. 2001. - Вып. 1. - С. 111119.

41. Перов А.И. Об одном методе приближенного отыскания периодических решений систем нелинейных диференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

42. Перов А.И. Об одном методе приблио!сенного нахождения периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Доклады РАН, 2003. т. 392, №1. - С. 12-16.

43. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М. : Наука, 1964 - 272 с.

44. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. -M.;J1. : Наука, 1964. 368 с.

45. Портнов М.М. О условиях сходимости метода A.M. Самойленко / М.М. Портнов // Современные методы в теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, 2002. - С. 123.

46. Портнов М.М. К условию сходимости метода A.M. Самойленко для уравнений второго порядка / М.М. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 189-190.

47. Портнов М.М. Об одном методе отыскания периодических решений / М.М. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 188-189.

48. Портнов М.М. Об условиях сходимости одного метода отыскания периодических решений I М.М. Портнов // Современные методы теории краевых залач. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 118-119.

49. Портнов М.М. О применении метода A.M. Самойленко к исследованию уравнений высших порядков / М.М. Портнов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 3.- С. 54-67.

50. Портнов М.М. Об одном методе построения приближенных периодических решений / М.М. Портнов // Вестник факультета ПММ. -Воронеж, 2003. Вып. 4. - С. 108-124.

51. Портнов М.М. О применении одного метода поиска периодических решений к системам дифференциальных уравнений первого порядка / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004- Воронеж, 2004. С. 91-92.

52. Портнов М.М. О предложенном А.И. Перовым методе поиска периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004- Воронеж, 2004. С. 92-93.

53. Портнов М.М. Об одном методе приближенного построения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений р-го порядка / М.М. Портнов // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика.- 2004. Вып. 1. - С. 139-145.

54. Портнов М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений / М.М. Портнов; ВГУ -Воронеж, 2004. 30с. - Деп. в ВИНИТИ. 06.08.2004, № 1374-В2004.

55. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений. I. / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, №4. - С. 82-93.

56. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений. II. /A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1966. т. 18, №2. - С. 50-59.

57. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976. - 180 с.

58. Синицкий JI.A. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / JI.A. Синицкий. Львов : Вища школа, 1978. - 138 с.

59. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М. : ИЛ, 1953. - 256 с.

60. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. - 199 с.

61. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем / E.H. Розенвассер. М. : Наука, 1969. - 576 с.

62. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полиа. М. : ГИИЛ, - 1948. - 456 с.

63. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. : Мир, - 1970. - 720 с.

64. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. / Дж. Хейл. М. : Мир, 1966. - 234 с.

65. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М. : ГИ-ИЛ, 1964. - 480 с.

66. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами / И.З. Штокало. Киев : Изд-во АН УССР, 1960. - 78 с.

67. Ronto М. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001. - 456 c.