Приближенные методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Канищева, Олеся Ивановна

• Канищева, Олеся Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Канищева, Олеся Ивановна

Введение

Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений

1.2 Обзор некоторых методов приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений

1.2.1 Аналитический метод для построения периодических решений систем дифференциальных уравнений JI. Чезари и Дж. Хейла

1.2.2 Численно-аналитический метод исследования нелинейных Т-систем (метод A.M. Самойленко)

1.2.3 Численно-аналитический метод поиска периодических решений систем дифференциальных уравнений (метод А.И. Перова)

1.3 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

1.4 Гистерезисные преобразователи

1.4.1 Обобщенный люфт

1.4.2 Многомерный люфт

1.4.3 Неидеальное реле

1.4.4 Преобразователь Прейсаха-Гилтая

Глава 2 Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1 Основные теоремы существования и единственности решения для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1.1 Задача Коши для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1.2 Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2 Скалярные дифференциальные уравнения первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2.1 Постановка задачи о приближенном построении периодических решений скалярных дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2.2 Схема метода построения периодических решений и основные теоремы о применимости и сходимости метода для скалярных дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезсными нелинейностями

2.3 Системы дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.3.1 Постановка задачи о приближенном построении периодических решений систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.3.2 Схема метода построения периодических решений и основные теоремы о применимости и сходимости метода для систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.4 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода Самойленко-Перова построения периодических решений дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

Глава 3 Системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.1 Линейное звено

3.2 Замкнутые системы

3.3 Регулярные линейные системы

3.4 Постановка задачи и алгоритм нахождения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.5 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 103 Заключение 108 Список литературы 109 Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистере-зисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их поведения под влиянием внешнего периодического воздействия. В частности, важную практическую роль играют периодические решения того же периода, что и у внешнего воздействия.

Вопросу существования периодических решений систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, В.А. Плисс, М.А. Красносельский, E.H. Розенвассер, P.A. Нелепин и многие другие). Приближенному построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в условиях, когда они заведомо существуют) посвящены работы JI. Чезари, Дж. Хейла, A.M. Самойленко, А.И. Перова, A.M. Красносельского, В.Я. Стеценко и ряда других ученых.

Первые работы, в которых изучались системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, появились в 1946 г. (A.A. Андронов). В 1960-х годах результаты A.A. Андронова были существенно обобщены P.A. Нелепиным на основе новой в то время методологии, разработанной с использованием бесконечнолистных поверхностей Римана. Основное внимание в этих работах уделялось построению зон устойчивости в пространстве параметров систем. Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Возможность создания таких методов основывается на развитой М.А. Красносельским, A.B. Покровским и их учениками операторной трактовке гистерезисных нелинейностей. Поэтому является актуальной задача создания и анализа приближенных методов построения периодических решений широких классов систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии -«Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- выделение класса моделей систем, представленных дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющих условиям существования и единственности решений;

- синтез алгоритмов приближенного построения периодических решений систем с гистерезисными нелинейностями;

- доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование поведения моделей;

- апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

-доказана теорема существования и единственности выделенного класса моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями;

- предложена модификация метода Самойленко-Перова для приближенного построения периодических решений одного класса систем дифференциальных уравнений, отличающихся учетом в них гистерезисных свойств;

- предложен новый метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования, отличающихся учетом возможных гистерезисных нелинейностей в обратной связи;

- доказана реализуемость обоих методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению;

-доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи.

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения периодических решений систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями. В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2005 г., март 2006 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2006 г.), VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г.Кисловодск, май 2006 г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягин5 ские чтения - XVII» (г.Воронеж, май 2006 г.), XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Йошкар-Ола, декабрь 2006 г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры дифференциальных уравнений ВГУ за 2005,2006 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты работы опубликованы в работах [37], [72]-[81], список которых приведен в конце диссертации. Из них две - статьи в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук" [37], [77] и восемь - тезисы докладов на научных конференциях [72]-[76], [78]-[81].

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями роответст-вующих дифференциальных уравнений.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из .введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 135 страницах и включает 14 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе, которая носит вводный характер, приведены примеры моделей систем, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, формулируется задача нахождения периодических решений и приведен краткий обзор известных методов исследования периодических решений, изучение и анализ которых привели к появлению данных методов. Описаны известные модели гистерезисных преобразователей - обобщенного люфта, многомерного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха-Гилтая. Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения: вход-состояние и состояние-выход.

Во второй главе работы выделяется класс моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказывается существование и единственность решения задачи Коши для выделенного класса, приводится схема построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказываются основные теоремы об условиях применимости и условиях сходимости метода.

Третья глава посвящена приближенному построению периодических решений систем операторно-дифференциальных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья. Для таких систем предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость. Получены оценки точности. Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

В приложениях приведен пакет прикладных программ численного построения приближенных периодических решений дифференциальных уравнений и систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями.

1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Канищева, Олеся Ивановна

Заключение

В работе рассмотрены модифицированный метод Самойленко-Перова построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гис-терезисными нелинейностями и метод построения вынужденных периодических режимов систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья. Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Приведены условия, обеспечивающие существование и единственность решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

2. Предложен алгоритм приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений общего вида с гистерезисными нелинейностями.

3. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость последовательности приближений к точному периодическому решению. Получены оценки близости приближений к точному решении.

4. Для систем дифференциально-операторных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость. Получены оценки точности.

5. Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Канищева, Олеся Ивановна, 2007 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В .И. Арнольд. М.: Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". -2003. С. 9-22.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976. -352 с.

6. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Физматгиз, 1963. -503 с.

7. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейно-стями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. Душанбе, 2001. - 29 с.

8. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / A.A. Воронов. М.: Наука, 1979. - 335 с.

9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1967.-416 с.

10. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. М.: Наука, 1984. -150 с.

11. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001.-395 с.

12. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. -М.: Наука, 1971. 432 с.

13. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 664 с.

14. Жук B.B. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. -188 с.

15. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М. : Наука, 1978. -512 с.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

17. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

18. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

19. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542с.

20. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

21. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, A.B. Покровский -М.: Наука, 1983. 271с.

22. Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963.-248 с.

23. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

24. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. -т. 111, № 2. -С. 283-286.

25. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. -332 с.

26. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений /128

27. М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". -1963. № 2 - С. 202-211.

28. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений I М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР".-1958.-т. 123, №2.-С. 235-238.

29. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, №5.-С. 1022-1024.

30. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР".- 1963. -т. 152, № 3.-С. 540-543.

31. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, A.B. Соболев-М.: Наука, 1985.-256 с.

32. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. -М.: Наука, 1986. 166 с.

33. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями / М.А. Красносельский, A.B. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. -1992. -№ 11.- С. 65-71.

34. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом I A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3.-С. 314-319.

35. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5,№1-2.-С. 143-151.

36. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. /В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М.: Наука, 1976. - 400 с.

37. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Наука, 1965. - 520 с.

38. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1966. - 305 с.

39. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1964. - 431 с.

40. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием I Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского унта, 1969.-309 с.

41. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний I Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1972. - 471 с.

42. Нелепин P.A. Об исследовании точными методами систем с двумя нелинейными элементами / P.A. Нелепин. Изв. вузов, Радиофизика, 1965. -№3.

43. Нелепин P.A. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами / P.A. Нелепин // Докл. АН СССР.-1965.-т. 161.-№ 4.

44. Нелепин P.A. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем / P.A. Нелепин. Л.: Судостроение, 1967. - 447 с.

45. Нелепин P.A. Динамика одного класса систем автоматического управления при учете типовых нелинейностей / P.A. Нелепин // сб. трудов ЛВВМИУ. -1969. Вып. 32.

46. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления I под ред. P.A. Нелепина. М.: Наука, 1975. - 448 с.

47. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления / под ред. P.A. Нелепина. JI.: Изд-во ЛГУ, 1990.-235 с.

48. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. -560 с.

49. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 Киев : Наукова думка, 1964. -С. 115-134.

50. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, A.B. Кибенко. Воронеж : ВГУ, 1969. -52 с.

51. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж : ВГУ, -1973.-50 с.

52. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. -196 с.

53. Перов А.И. Периодическая функция Грина и многочлены Бернулли / А.И. Перов // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000. т. 4, М-2. - Самара, 2000.-С. 199-213.

54. К условию сходимости метода A.M. Самойленко / А.И. Перов и др. // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика. 2001. -Вып. 1. - С. 111-119.

55. Перов А.И. Об одном методе приближенного отыскания периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

56. Перов А.И. Об одном методе приближенного нахождения периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Доклады РАН, 2003. т. 392, № 1. - С. 12-16.

57. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М.: Наука, 1964. - 272 с.

58. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. М.; JI.: Наука, 1964.-368 с.

59. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейно-стями I A.B. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. с. 1037-1040.

60. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. -№ 2. С. 31-37.

61. Портнов М.М. Об одном методе построения приближенных периодических решений / М.М. Портнов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. -Вып. 4.-С. 108-124.

62. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1968.-№ 6. - С. 5-36.

63. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, № 4. - С. 82-93.

64. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976.-180 с.

65. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук, думка, 1992.-208 с.

66. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. -№ 8. С. 82-86.

67. Семенов М.Е. О континуумах периодических режимов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 8. -С. 95-97.

68. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гисте-резисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. унта, Естеств. Науки. -1998. -№2. С. 71-77.

69. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: сб. науч. тр.-Воронеж, 1999.-Вып. 1.-С. 73-78.

70. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов. -Воронеж.: Воронеж, гос. технол. акад., 2002. -104 с.

71. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: сб. трудов семинара НОЦ ВГУ. Воронеж, - 2003. - С. 356-369.

72. Семенов М.Е. О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, М.Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2005. -Т. 12.-Вып. 3.-С. 752-753.

73. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М. -2006. -Т. 13. -Вып. 3. -С. 718-719.

74. Синицкий JI. А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей I Л.А. Синицкий. Львов : Вища школа, 1978. - 138 с.

75. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейно-стями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. -199 с.

76. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М.: Наука, 1969. 576 с.

77. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. : ГИИЛ,-1948.-456 с.

78. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -М.: Мир, -1970. -720 с.

79. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. М. : Мир, 1966.-234 с.

80. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М. : ГИ-ИЛ, 1964. -480 с.

81. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР".-1963.-т. 149, №2.

82. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962.-V. 12, p. 112-126.

83. Ronto M. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

84. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.