О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Прохорова, Татьяна Вячеславовна

• Прохорова, Татьяна Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прохорова, Татьяна Вячеславовна

Введение.

Глава 1. Этальная топология и группы Брауэра.

§ 1. Этальные морфизмы.

§2. Этальная топология

§3. Когомологии пучков.

§4. Группа Пикара.

§5. Когомологическая группа Брауэра

§6. Группа Брауэра локального кольца

§7. Группа Брауэра схемы.

§8. Гипотеза М. Артина.

§9. Классические результаты о группах Брауэра схем.

Глава 2. О конечности /-примарных компонент группы

Брауэра.

§ 1. Некоторые замечания о группе Брауэра алгебраического многообразия.

§2. Основной результат.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем»

Актуальность темы. Вычисление группы Брауэра числового поля является одним из самых важных достижений алгебраической теории чисел. В настоящее время возрос интерес к группам Брауэра схем. Актуальность темы обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в диофантовой геометрии и теории чисел. Так группу Брауэра поля к можно определить как группу классов подобия центральных простых алгебр над к или, что эквивалентно, как группу когомологий

Н2(Сэ1(к3/к), (к3)х) = Н2((Бреск)еЬ^т), где к? - сепарабельное замыкание поля к. Оба эти определения обобщаются на случай схем, но приводят при этом к разным группам. Первая из них Вг(Х) - группа классов подобных алгебр Адзумаи над X, называется группой Брауэра схемы X, а вторая Вг'(Х) = Н2(Хе1,€тт) - когомологической группой Брауэра. Всегда имеется включение Вг(Х) ^ Вг'(Х). Каждый класс когомологий из С^) представим некоторым обратимым пучком. С геометрической точки зрения группа Брауэра классифицирует классы 2-когомологий, не приходящие из алгебраических диви-зориальных циклов, т. е. она классифицирует трансцендентные классы. Первоначально алгебры Адзумаи изучались над локальными кольцами самим Адзумаей [1], над произвольными кольцами их изучали Ауслендер и Голдман [2], а над схемами - А. Гротеидик [3]. А. Гротендик первым дал удовлетворительное когомологическое описание групп Брауэра. Ю. И. Манин использовал группу Брауэра для изучения арифметики и геометрии кубических поверхностей [4]. Одним из самых интересных вопросов, касающихся группы Брауэра, является гипотеза М. Артина о том, что группа Вг(Х) собственной схемы X —> SpecZ конечна [5]. Кроме того, если X - абелево многообразие над конечным полем Fg, то Вг(Х) конечна в силу теоремы Тэйта [6].

Целью настоящей работы является доказательство конечности /-примарной компоненты группы Брауэра арифметической модели гладкого регулярного многообразия над глобальным полем конечной характеристики при условии, что для этого многообразия верна гипотеза Тэйта для дивизоров.

Основные задачи, решаемые в работе.

В дальнейшем С - гладкая проективная кривая над конечным полем Fg, к = Fq(C) - поле рациональных функций на кривой С.

Мы доказываем следующие основные теоремы:

1. Теорема 2.2.1. Пусть тг : X —> С - сюръективиый мор-физм гладких проективных многообразий над F9? общий схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схемные слои морфизма 7г приведены. Предполоэюим, что V{k) ф 0, H\V <g> fc, Оуъъ) = О, NS(V) = NS(V <g> к). Если для простого числа I, не делящего Card([NS(V)]tors) и отличного от характеристики поля Fg; верно соотношение

NS(V) <g> Qi ^ [H2{V 0 ks, Q,(l))]Ga1^ другими словам,и, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на V), то l-примарная компонента группы Вг'(Х) конечна.

2. Теорема 3.1.3. Пусть тг : X —> С - сюръективный мор-физм гладких проективных многообразий над Fg; обгций схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схемные слои морфизма тг приведены. Предположим, что V{k) ф 0, H\V 0 к, Оуъь) = О, NS(V) = NS(V 0 к). Если для простого числа I, не делящего Card([NS(V)]t0rs) и отличного от характеристики поля ¥q} верно соотношение

NS(V) [H2(V 0 ks, Qi(l))]Ga1^) другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на V); т,о для любого простого числа I ф сЬаг(Е5) т. е. гипотеза Тэйта верна для дивизоров на X).

3. Теорема 3.2.3. Пусть 7г : X —> С - сюръективный мор-физм гладких проективных многообразий над конечным полем ^ характеристики р ф 2, общий слой которого является поверхностью Куммера V = Кт(А) для некоторой абелевой поверхности А над полем к, а все схемные слои морфизмл 7г приведены. Предположим, что N3(1^) = N8(1^ ® к). Тогда для всех I ф сЬаг(^) группа Вт'(Х)(1) конечна и для X верна гипотеза Тэйта:

Научная новизна работы заключается в том, что впервые исследованы взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на регулярном общем схемном слое V проективного мор-физма 7г ; X —> С на проективную гладкую кривую С над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на X. В частности, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на регулярном гладком проективном многообразии V над глобальным полем положительной характеристики, то /-примарная компонента группы Вг'(Х) конечна и верна гипотеза Тэйта для дивизоров на X, где X -гладкая проективная модель V над конечным полем ¥д.

Аналогичные результаты о конечности /-примарных компонент групп Брауэра арифметических схем, проективных и плоских над спектром кольца целых числового поля, доказаны С. Г. Танкее-вым в работах [7] - [9].

Основными методами исследования являются методы теории этальных когомологий, с использованием классических результатов теории групп Брауэра схем в стиле А. Гротендика.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение в диофантовой геометрии и теории чисел. Могут быть полезны при чтении специальных курсов студентам математических факультетов университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-технической конференции факультета информатики и прикладной математики (Владимир, 2003 г.), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007г.), а так же неоднократно обсуждались на научных семинарах по алгебраической геометрии ВлГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора С.Г. Танкеева.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство конечности ¿-примарной компоненты группы Брауэра арифметической модели гладкого регулярного многообразия над глобальным полем конечной характеристики при условии, что для этого многообразия верна гипотеза Тэйта для дивизоров.

2. Доказательство теоремы о взаимоотношении гипотезы Тэйта для дивизоров на общем регулярном слое и на объемлющем многообразии над конечным полем.

Краткое содержание работы.

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам. Нумерация приведенных ниже утверждений соответствует принятой в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прохорова, Татьяна Вячеславовна, 2008 год

1. Azumaya G. On maximally central algebras // Nagoya, Math. -1951. - V. 2. - P. 119-150.

2. Auslander M., Goldman О. The Bra,uer group of a commutative ring // Trans. Amer. Math. Soc. I960. - V. 97. - P. 367-409.

3. Grothendieck A. Le groupe de Brauer. I. Algébres d'A zum,ay a, et interprétations diverses, II. Théorie cohomologique, III. Exemples et compléments j/ In: Dix Exposés sur la Cohomologie de Schémas, North Holland, Amsterdam. - 1968. - P. 46-188.

4. Манин Ю.И. Кубические формы: Алгебра, геометрия, ариф-мет,и,ка. М.: Наука, 1972.

5. Милн Дж. Этальпые когомологии. М.: Мир, 1983.

6. Tate J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields // Invent. Math. 1966. - V. 2. - P. 134-144.

7. Танкеев С.Г. О группе Брауэра // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. - №4. - С. 141-162.

8. Танкеев С.Г. О группе Брауэра арифметической схем,ы // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. - Т. 65. - №2. - С. 155-186.

9. Танкеев С.Г. О группе Брауэра арифметической схемы. II // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67. - №5. - С. 155-176.

10. Mumford D. Picard groups of modular problems // Arithmetical Algebraic Geometry. New York: Harper and Row. 1965. - P. 33-81. // Русский перев.: "Математика", 13:2, 1969.

11. Tate J. Algebraic cycles and poles of zeta functions // Arithmetical Algebraic Geometry. N.Y.: Harper and Row. 1965. - P. 93-110.

12. Tate J. Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology // Proc. Symposia in Pure Math. 1994. - V. 55. - Part 1. - P. 71-83.

13. Фукс JI. Бесконечные' абелевы группы. T. I. - М: Мир, 1974.

14. Tate J. On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog // Séminaire Bourbaki 1965/66. - Exposé 306. - P. 1-26.

15. Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968.

16. Кох X. Теория Галуа р-расширений. М.: Мир, 1973.

17. Касселс Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969./

18. Grothendieck A. Eléments de géométrie algébrique. IV. Etudelocale des schémas et des morphismes des schémas // Publ. Math. IHES. 1967. - V. 32.

19. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. M.: Мир, 1981.

20. Атья M., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972.

21. Milne J.S. Values of zêta, functions of varieties over finite fields. // Amer. J. Math. 1986. - V. 108. - P. 297-360.

22. Зархин Ю.Г. Абелевы многообразия в характеристике р // Математические заметки. 1976. - Т. 19. - №. - С. 393-400.Публикации по теме диссертации

23. Засорина Т. В. О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. -Т. 69 2. - С. 111-124.

24. Прохорова Т. В. О группе Брауэра // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 22-27 июня 2007: тез. докл. Владимир: РИО ВлГУ, 2007. - С. 50-52.Прохорова Т.В. (фамилия изменена в связи с регистрацией бр