Об абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на фильтрованных вероятностных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Урусов, Михаил Александрович

• Урусов, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Урусов, Михаил Александрович

Введение

1 Разделяющие моменты

§ 1.1 Определение и свойства разделяющих моментов.

§ 1.2 Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер.

2 Вспомогательные сведения из стохастического анализа

§ 2.1 Локальные времена.

§ 2.2 Случайная замена времени.

§ 2.3 Теорема Дамбиса-Дубинса-Шварца.

§ 2.4 Непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах.

3 Разделяющие моменты для решений стохастических дифференциальных уравнений

§ 3.1 Решения стохастических дифференциальных уравнений

§ 3.2 Явный вид разделяющего момента.

§ 3.3 Примеры.

§ 3.4 Доказательство теоремы 3.

4 Разделяющие моменты для процессов Леви и процессов Бесселя

§ 4.1 Разделяющие моменты для процессов Леви

§ 4.2 Разделяющие моменты для процессов Бесселя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на фильтрованных вероятностных пространствах»

1. Вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности двух вероятностных мер, индуцируемых случайными процессами, представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и для приложений к математической статистике. Одними из первых результатов в этом направлении были известные альтернатива Какутани (см. [28]) и альтернатива Гаека-Фельдмана (см. [21], [22]). По мере развития теории мартингалов и стохастического исчисления изучение вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности стало возможным для широкого класса случайных процессов: точечных процессов, диффузионных процессов, процессов с независимыми приращениями (см. [4, Гл. IV, § 4а-§ 4с]) .

Точечные процессы и мультивариантные точечные процессы рассматривались в работах Кабанова, Липцера и Ширяева [24] и [25].

Вопросами абсолютной непрерывности и сингулярности для диффузионных процессов занимались многие авторы: Хитсуда [23], Кадота и Шепп [26], Кайлат [27], Ершов [3], Липцер и Ширяев [6], . Эти результаты просуммированы и дополнены авторами в монографии Липцера и Ширяева [7, Гл. 7] (см., также, монографию Жакода и Ширяева [4, Гл. IV, § 4Ь]).

Процессы с независимыми приращениями также широко исследовались (см. работы Скорохода [8], [9], [10], Кунита и Ватанабе [31], Нью-мана [34], [35], Мемэна и Ширяева [33]). Отметим, что Ньюман [34], [35] установил необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для процессов Леви (о критериях абсолютной непрерывности и сингулярности речь не идет, так как здесь они тривиальны: распределения двух процессов Леви либо совпадают, либо сингулярны). Мемэн и Ширяев [33] установили критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для процессов с независимыми приращениями.

При изучении рассматриваемых вопросов очень полезными оказались интегралы Хеллингера, введенные Хеллингером, и процессы Хеллинге-ра, введенные Липцером и Ширяевым в работе [32]. В диссертации используется другой подход к исследованию абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Этот подход основан на понятии разделяющего момента.

2. Мы рассматриваем пару вероятностных мер Р и Р на измеримом пространстве (О,^) с непрерывной справа фильтрацией • Оказывается, что всегда существует разделяющий момент для Р и Р (см. теорему 1.3 и определение 1.4). Неформально, разделяющий момент — это такой расширенный момент остановки S, "до которого меры Р и Р эквивалентны, а после которого — сингулярны". Здесь расширенный момент остановки — это [0, оо] U {#}-значный момент остановки, где 6 — такая точка, что 6 > оо (см. определение 1.2). Введение дополнительной точки 5 потребовалось потому, что меры "могут никогда не стать сингулярными"; на соответствующих элементарных исходах S = 5.

Разделяющий момент определен однозначно Р,Р-п.н. Для пояснения сказанного выше отметим, что Р ~ Р S = S Р,Р-п.н., а также

Р L Р 5 ^ оо Р, Р-п.н. В качестве версии разделяющего момента можно взять

S = mi{t е [0, оо]: Zt = 0 или = 0}, где "inf" отличается от "inf" лишь тем, что inf 0 = 5, a (^<)<g[0,oo] и {Zt)te[о,оо] —процессы плотности мер Р и Р относительно меры Q = ^^ (при этом Zqq — щ, Zoo — щ )• В терминах разделяющего момента легко выражаются такие свойства, как локальная абсолютная непрерывность, абсолютная непрерывность, а также сингулярность для Р и Р (см. лемму 1.7). Если мы знаем как устроен разделяющий момент, то мы знаем каково взаимное расположение мер Р и Р с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности. Поэтому изучать подобные вопросы, используя разделяющий момент, удобно даже в том случае, когда Р и Р "находятся в общем положении", т.е. для них не выполнено ни свойство локальной абсолютной непрерывности, ни свойство сингулярности.

На рисунке 2 (см. с. 16) показано как можно наглядно представлять себе взаимное расположение пары мер на измеримом пространстве с фильтрацией. Там же поясняется как "определить" разделяющий момент по этому рисунку.

Разделяющие моменты вводятся в главе 1. В этой главе также приводится доказательство сингулярности некоторых гауссовских мер, использующее разделяющие моменты (см. теорему 1.8). Этот результат известен, однако метод доказательства может быть использован и в других задачах.

В главе 3 мы рассматриваем одномерные однородные стохастические дифференциальные уравнения (ниже просто СДУ) вида dXt = b(Xt)dt + a(Xt)dBu Х0 = х0. (0.1)

Будут рассматриваться не только решения в классическом смысле, но и решения, которые могут взрываться. Всюду под решением (0.1) мы будем понимать вероятностную меру на пространстве Сд([0,оо)) траекторий, которые могут взрываться, являющуюся решением соответствующей мартингальной проблемы (см. определение 3.4). Единственность мы будем понимать как единственность этой меры, т.е. всегда будет рассматриваться слабая единственность.

Для одномерных однородных СДУ вида (0.1) весьма слабые достаточные условия существования и единственности решения установлены

Энгельбертом и Шмидтом в работах [18]—[20]. Именно: если а{х) ф 0 \/х £ IR, (0.2) € LlM) (0.3) т.е. функция (1 + \Ь\)/а2 локально интегрируема на Е), то для любого начального условия х0 £ М существует единственное решение уравнения (0.1). Заметим, что если функция b локально ограничена, а функция а2 отделена от нуля, то условия (0.2) и (0.3) заведомо выполнены.

Для доказательства приведенного результата Энгельберт и Шмидт использовали метод преобразования фазового пространства и случайной замены времени. (К сожалению, этот метод неприменим в многомерном или неоднородном случае.) Суть этого метода состоит в следующем. Определим функции s и к по формулам (3.9) и (3.12). Тогда X — процесс-решение уравнения (0.1) в том и только том случае, когда Y = s(X) — процесс-решение следующего уравнения без сноса: dXt = x(Xt)dBt, X0 = s{x0).

В виде исключения сейчас нам было удобнее использовать процессы-решения, а не меры-решения.) В свою очередь, решение уравнения без сноса строится из броуновского движения посредством замены времени. В связи с вышесказанным отметим, что если бы мы устраняли снос не преобразованием фазового пространства, а заменой меры и применением теоремы Гирсанова, то пришлось бы потребовать более жесткие условия, чем (0.2) и (0.3).

Основной результат главы 3 — явный вид разделяющего момента для мер Р и Р, являющихся решениями двух СДУ вида (0.1), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (0.2) и (0.3) (см. теорему 3.10). Как следствие, отсюда получены критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для Р и Р (см. следствия 3.11, 3.12 и 3.13). Подобные результаты для более общих

СДУ содержатся в [4, Гл. IV, § 4Ь] (см., также, [7, Гл. 7]). Мы же рассматриваем более частный случай (лишь однородные СДУ), однако в этом случае получаем более полные результаты.

Теорема 3.10 утверждает, что разделяющий момент S для Р и Р равен расширенному моменту остановки г, где, неформально, г есть "нечто вроде" момента первого касания каноническим процессом X множества плохих точек А С [—оо, оо] (однако на некоторых траекториях г может быть равен 6). Доказательство занимает значительный объем. Суть его заключается в следующем.

Сначала доказывается, что S ^ т. Для этого надо установить, что меры Р и Р "эквивалентны до наступления момента т ". Рассматриваем некоторую предвещающую последовательность моментов остановки для момента г Л оо, затем для каждого момента остановки из этой последовательности вводим меру Q = Z • Р, где Z — строго положительная случайная величина (это экспонента Гирсанова); далее доказываем, что меры Q и Р "совпадают до этого момента остановки" (для этого используется описанный выше метод преобразования фазового пространства и случайной замены времени).

Так мы устанавливаем, что 5 ^ г Л оо. Остается доказать, что меры Р и Р эквивалентны на множестве {г = (тогда получим, что S ^ г). Поскольку, по доказанному, S ^ оо на множестве {т = 5} , то локальная эквивалентность уже установлена. Чтобы получить эквивалентность, достаточно доказать, что предел процессов плотности строго положителен по нижней мере и конечен по верхней мере. Последнее сводится к исследованию сходимости некоторых интегралов, проведенному в лемме 3.39.

Далее доказывается, что S ^ т. Сначала это делается в частном случае, когда т — 0 (см. лемму 3.43). Отсюда и из строго марковского свойства получаем, что и в общем случае S ^ т там, где канонический процесс X в момент т попадает в конечную плохую точку, т.е.

Хт Е А П М. (напомним, что т — "нечто вроде" момента касания процессом X множества А С [—оо,оо]). Остается доказать, что S ^ т на остальных траекториях (там либо X уходит на оо или —оо в момент г, либо limXt = оо, limXf = —оо). Для этого используются результаты т t^T лемм 3.39 и 3.40 о сходимости некоторых интегралов.

В § 4.1 мы находим явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения процессов Леви (см. теорему 4.1). Следствие 4.2 содержит, в частности, критерии локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для Р и Р . Этот результат известен (см. [34], [35]) и приведен лишь для полноты изложения.

В § 4.2 мы находим явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения процессов Бесселя (см. теорему 4.5). Отметим, что процесс Бесселя является решением некоторого СДУ, однако результаты главы 3 неприменимы, поскольку для коэффициентов этого СДУ не выполнены условия (0.2), (0.3). Как обычно, приводится следствие о возможных типах взаимного расположения Р и Р с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности (см. следствие 4.6). Оно обобщает результат, доказанный в [11, теорема 4.1].

3. Диссертация построена следующим образом.

В главе 1 дается определение разделяющего момента для пары мер и формулируются в его терминах необходимые и достаточные условия для различных типов взаимного расположения мер с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности. В этой главе также приводится доказательство сингулярности некоторых гауссовских мер, использующее разделяющие моменты.

В главе 2 приводятся некоторые сведения из стохастического анализа. Они используются, в основном, в доказательствах главы 3.

В главе 3 найден явный вид разделяющего момента для решений одномерных однородных СДУ. В качестве следствия получены необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для решений СДУ.

В главе 4 решены аналогичные задачи для процессов Леви и для процессов Бесселя.

Цитируемые утверждения носят название "предложение". Собственные результаты автора названы "теоремами" (вспомогательные утверждения называются "леммами"). Эти результаты содержатся в главах 1, 3 и 4.

Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 4.1 указывает на первую теорему в четвертой главе. То же самое относится и к нумерации формул.

4. Автор выступал с докладами на следующих конференциях, где излагались также и результаты, относящиеся к диссертации.

1. Summer School on Stochastics and Finance. Испания, Барселона, сентябрь 2001 г. Название доклада: Stopping Brownian motion and its exponential the most close to their ultimate maxima.

2. Second World Congress of the Вachelier Finance Society. Греция, Крит, июнь 2002 г. Название доклада: Some optimal stopping problems concerning maximum processes.

3. Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Россия, Москва, июнь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

4. The 13th European Young Statisticians Meeting. Швейцария, Оврон-наз, сентябрь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

Кроме того, по теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

Текст диссертации насчитывает 99 страниц. Общий список литературы состоит из 48 наименований. Непосредственно к теме диссертации относятся следующие статьи: [46], [47], [48].

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А.Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Автор очень благодарен к.ф.-м.н. А.С. Черному за помощь и дружескую поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Урусов, Михаил Александрович, 2003 год

1. И.В. Гирсанов. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. — Теория вероятностей и ее применения, 5 (1.60), вып. 3, с. 314-330.

2. Л.Е. Дубине, JI.A. Шепп, А.Н. Ширяев. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя. — Теория вероятностей и ее применения, 38 (1993), вып. 2, с. 288-330.

3. М.П. Ершов. Об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам диффузионного типа. — Теория вероятностей и ее применения, 17 (1972), вып. 1, с. 173-178.

4. Ж. Жаков, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

5. К. Ито, Г. Маккин. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

6. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Об абсолютной непрерывности мер, соответствующих процессам диффузионного типа, относительно ви-неровской. — Известия АН СССР, серия математики, 36 (1972), вып. 4, с. 874-889.

7. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

8. А.В. Скороход. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам. I. Процессы с независимыми приращениями. — Теория вероятностей и ее применения, 2 (1957), вып. 4, с. 417-443.

9. А.В. Скороход. Исследования по теории случайных процессов. Киев, издательство Киевского университета, 1961.

10. А.В. Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

11. А.С. Черный. Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Бесселя. — Теория вероятностей и ее применения, 45 (2000), вып. 2, с. 251-267.

12. А.Н. Ширяев. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.

13. А.Н. Ширяев. Вероятность. М.: Наука, 1989.

14. А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

15. J. Bertoin. Levy processes. Cambridge University Press, 1996.

16. A.S. Cherny. On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes. — Stochastics and Stochastics Reports, 70 (2000), p. 213-219.

17. A.S. Cherny, H.-J. Engelbert. Singular stochastic differential equations. Preprint, 2003.

18. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On one-dimensional stochastic differential equations with generalized drift. — Lecture Notes in Control and Information Sciences, 69 (1985), p. 143-155.

19. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On solutions of one-dimensional stochastic differential equations without drift. — Probability Theory and Related Fields, 68 (1985), p. 287-314.

20. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations, I, II, III. — Math. Nachr., 143 (1989), p. 167-184; 144 (1989), p. 241281; 151 (1991), p. 149-197.

21. J. Feldman. Equivalence and perpendicularity of Gaussian measures. — Pacific Mathematical Journal, 8 (1958), p. 699-708.

22. J. Hajek. On a property of normal distribution of an arbitrary stochastic process. — Czech Mathematical Journal, 8 (1958), p. 610-618.

23. M. Hitsuda. Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener processes. — Osaka Mathematical Journal, 5 (1968), p. 299-312.

24. Yu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Martingale methods in the theory of point processes. — Proc. School-Seminar (Druskininkai) Ac. Sci. Lit. SSR, Vilnius, 1975, II, p. 269-354.

25. Yu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Criteria of absolute continuity of measures corresponding to multivariate point processes. — Proc. 3rd Japan-USSR symp., Lecture Notes in Mathematics, 550 (1976), p. 232-252.

26. T.T. Kadota, L.A. Shepp. Conditions for the absolute continuity between a certain pair of probability measures. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 16 (1970), No. 3, p. 250-260.

27. T. Kailath. The structure of Radon-Nykodym derivatives with respect to Wiener and related measures. — Bulletin of American Mathematical Society, 42 (1971), p. 1054-1067.

28. S. Kakutani. On equivalence of infinite product measures. — Annals of Mathematics, 49 (1948), p. 214-224.29. 0. Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer, 1997.

29. H. Kunita. Absolute continuity of Markov processes. — Lecture Notes in Mathematics, 511 (1976), p. 44-77.

30. H. Kunita, S Watanabe. On square integrable martingales. — Nagoya Mathematical Journal, 30 (1967), p. 209-245.

31. R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. On the problem of "predictable" criteria of contiguity. — Proc. 5th Japan-USSR symp., Lecture Notes in Mathematics, 1021 (1983), p. 384-418.

32. J. Memin, A.N. Shiryaev. Distance de Hellinger-Kakutani des lois cor-respondant a deux processus a accroissements independants. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 70 (1985), p. 67-90.

33. C.M. Newman. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. — Bulletin of American Mathematical Society, 78 (1972), p. 268-271.

34. C.M. Newman. On the orthogonality of independent increment processes. In: Topics in Probability Theory. Eds. D.W. Stroock, S.R.S. Varad-han, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1973, p. 93-111.

35. J. W. Pitman, M. Yor. Bessel processes and infinitely divisible laws. — Lecture Notes in Mathematics, 851 (1981), p. 285-370.

36. D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion. Springer, 1994.

37. K.-I. Sato. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press, 1999.

38. К.-I. Sato. Density transformation in Levy processes. — Lecture Notes of the Centre for Mathematical Physics and Stochastics, University of Aarhus, 2000, No. 7.

39. D. W. Stroock. Probability theory, an analytic view. Cambridge University Press, 2000.

40. D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Diffusion processes with continuous coefficients, I, II. — Communications in Pure and Applied Mathematics, 22 (1969), p. 345-400; 22 (1969), p. 479-530.

41. J.H. Van Schuppen, E. Wong. Transformations of local martingales under a change of law. — Annals of Probability, 2 (1974), p. 879-888.

42. D. Williams. Path decomposition and continuity of local time for one-dimensional diffusions, I. — Proc. London Mathematical Society (3), 28 (1974), p. 738-768.

43. М.А. Урусов. Условия отсутствия арбитража в дискретных финансовых моделях. — Успехи математических наук, 54 (1999), вып. 5, с. 179-180.

44. М.А. Урусов. Об оптимальном прогнозе момента достижения максимума броуновским движением. — Успехи математических наук, 57 (2002), вып. 1, с. 165-166.Работы автора по теме диссертации

45. М.А. Урусов. Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер. — Успехи математических наук, 58 (2003), вып. 4, с. 163-164.

46. М.А. Урусов, А.С. Черный. Разделяющие моменты для мер на пространствах с фильтрацией. — Теория вероятностей и ее применения, 48 (2003), вып. 2, с. 416-427.Вклады соавторов одинаковы.