Обнаружение скачкообразного изменения в стохастических моделях: наблюдения с разрывной плотностью вероятности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Швемлер Наталья Александровна

• Швемлер Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Швемлер Наталья Александровна

Введение

Глава 1. Стохастические модели с разрывной плотностью

вероятности

1.1 Момент достижения максимума обобщенного процесса Пуассона

с линейным сносом

1.2 Представления для вероятностей ф+ (х,х)

1.3 Представления для вероятностей ф-(х,х)

1.4 Непрерывность функций ф±(х,г)

1.5 Дифференциальные свойства функций ф±(х,г)

1.6 Дифференциальные уравнения для функций ф±(х,г)

1.7 Выводы и комментарии

Глава 2. Основные утверждения

2.1 Нахождение функции распределения С(х)

2.2 Другое представление для функции распределения С (ж)

2.3 Локальные свойства функции распределения С(х)

2.4 Замена неизвестного параметра в задаче об оценке точки

разрыва плотности распределения

2.5 Выводы и комментарии

Глава 3. Обнаружение скачкообразного изменения в

стохастических моделях

3.1 Моделирование выборки с разрывной плотностью

3.2 Численный метод нахождения состоятельной оценки: метод наименьших квадратов

3.3 Ускоренный численный метод нахождения оценок максимального правдоподобия

3.4 Алгоритм построения доверительных интервалов для неизвестной точки разрыва плотности распределения

3.5 Описание комплекса программ

Стр.

3.6 Вычислительный эксперимент: проверка адекватности алгоритма

3.7 Модель обучения рекуррентной нейронной сети

3.8 Выводы и комментарии

Заключение

Список литературы

Приложение А. Копия свидетельства о государственной

регистрации программы для ЭВМ

Приложение Б. Копии документов о практической значимости

результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обнаружение скачкообразного изменения в стохастических моделях: наблюдения с разрывной плотностью вероятности»

Введение

В практической деятельности приходится сталкиваться с процессами (системами), вероятностные характеристики которых могут измениться в случайный момент времени после вмешательства некоторого фактора. В результате воздействия этого фактора происходит сбой нормального режима функционирования процесса, или так называемая разладка, приводящая к изменению вероятностных характеристик исходного процесса.

Впервые задача обнаружения изменения свойств случайной последовательности была поставлена Е. С. Пейджом в 1954 г. [43]. Сам термин «разладка» возник в теории контроля качества продукции. Впервые этот термин появился в докладе А.Н. Колмогорова и А.Н. Ширяева в 1960 г. на VI Всесоюзном совещании по теории вероятностей и математической статистике в Вильнюсе и опубликована в работах [21, 22].

В классической формулировке задача о разладке ставится следующим образом. Пусть дана совокупность наблюдений (Хх,..., Xq,Xq+i, ... ,ХП), первые 6 го которых имеют плотность распределение <?i(x), а остальные - плотность распределение g2(x) = 9i(x)- Требуется по данным наблюдениям определить параметр 6 - момент разладки. Наиболее полное изложение теории и применения многочисленных задач о разладке, опирающихся на методы оптимальной остановки, можно найти в монографии А.Н. Ширяева 2017 г. [24].

Возможен и несколько иной подход в постановке задачи о разладке. Пусть дана выборка из распределения с плотностью

/ ч (fi(x,6), х< 6, f(x,6) = { J 1( , h , (1)

[ h(x,6), x>6,

имеющей разрыв первого рода в неизвестной точке x = 6. Требуется по наблюдениям (Хх,... ,ХП) оценить параметр 6, или, что тоже, разделить упорядоченные наблюдения Х(Х) < • • • < Х(п) на два вариационных ряда: Х(Х) < • • • < X(j(e)) и X(j(e)+i) < • • • < Х(п), относящиеся к условным распределениям и f fc(xe)dx соответственно- В работе A.A. Боровкова 2018 г. [7] показано, что задачу (1) можно трактовать, как версию задачи о разладке (в точке 6) для некоторого эмпирического процесса в условиях известной локализации параметра 6.

Подобного рода задачи по оцениванию неизвестного параметра точки разрыва плотности распределеия возникают в теории обнаружения, обработке данных измерений, статистическом контроле, технической и медицинской диагностике [27, 39, 40, 42, 45, 46]. Например, хорошо известно, что случайное время X ремиссии у пациентов описывается экспоненциальным распределением, параметр а которого характеризует частоту происходящих рецидивов, а величина 1/а - среднее время ремиссии. В реальной ситуации, после начала лечения в случайный момент 6 рецидивы могут продолжать происходить, но уже с другой постоянной частотой |35 т-е. происходит разрыв плотности экспоненциаль-

6

статистические данные о времени ремиссий (Х\,... ,Хп)7 то возникает задача

6

Модель, описываемая разрывной плотностью вероятности, возникает также и при обучении нейронных сетей. Эта задача подробно рассмотрена в главе 3 диссертации.

Существует два подхода к оценке неизвестных параметров: точечный и интервальный. Точечные оценки используются в тех случаях, когда необходимо назвать такое число 6*, точнее функцию 6*(Х) от выборки X = (Х\,... ,Хп)7 которое можно использовать вместо неизвестного параметра. Отметим, что точное определение неизвестного параметра по данной выборке вообще говоря невозможно, но можно указать такой интервал (6-(Х),6+(Х)), который с наперед заданной вероятностью будет накрывать неизвестное истинное значение параметра. Указанный интервал называют доверительным интервалом пара-6

Наиболее известный метод точечного оценивания — метод максимального правдоподобия. Этот широко используемый и наиболее эффективный метод впервые применил Д.Бернулли [36] в 1777г. Опыт показывает, что именно оценки максимального правдоподобия (ОМП) наиболее часто оказываются близкими, в некотором смысле, к оптимальным.

После того как оценка найдена, возникает вопрос о поведении ее распределения с ростом объема выборки. Этой задаче посвящено значительное число работ, причем наиболее часто рассматривается регулярный случай [10, 32, 34, 37], в котором оценка максимального правдоподобия является асимптотически нормальной.

Значительно сложнее обстоит вопрос в нерегулярном случае, когда плотность, как функция от х7 имеет разрыв первого рода в точке, зависящей от неизвестного параметра. В этом случае распределение подходящим образом нормированной ОМП уже не является асимптотически нормальным. Впервые это распределение было найдено в работе [49] в 2016г. Знание предельного распределения нормированной ОМП позволяет находить вероятности отклонения оценки от истинного значения параметра и тем самым дает возможность построения точного асимптотического доверительного интервала.

Проблема обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов, как уже отмечалось выше, возникает при решении многих прикладных задач. По этой тематике опубликовано большое количество работ (см. например [4, 8, 12, 13, 20, 23, 24, 38, 41]). Задачи оценки точки разрыва плотности распределения в различных постановках можно найти в [25, 26, 30, 31, 35, 47].

Введем предварительно некоторые обозначения. Пусть (Х1,... ,Хп) — вещественная выборка состоящая из независимых случайных величин с общей плотностью распределения f (ж,0) (относительно меры Лебега). Параметр 0 предполагается неизвестным, а плотность - непрерывной по х всюду, за исключением точки х = 0, в которой она имеет разрыв первого рода:

0 = q(0) = f (0 — 0,0) = f (0 + 0,0) = р(0) = 0, 0 G 0. (2)

Будем считать истинное значение неизвестного параметра фиксированным и обозначим его через 0О.

Пусть 0* обозначает ОМП параметра 0о, то есть одну из точек, удовлетворяющих уравнению:

( п п п

maJ П f (КМ - 0), П f (КМ + 0)\ = sup П f (Х^)-

[г=1 г=1 J вев i=1

Через = п(0*п — 0О) обозначим нормированные ОМП, в которых достигают максимума случайные процессы равные логарифму отношения правдоподобия от нормированного аргумента:

Yn(t) = ^ ln (f (Хг,0о + t/n)/f (Хг,0о)), п = 1,2,.... (3)

i<n

В монографии [11] доказано, что при п ^ ж и соответствующих предположениях распределения процессов из (3) сходятся в определенном смысле к

распределению процесса

Z(t) = (р(0о) - д(0о)) t - (v+ (р(0o)i) - v- {-(/(9o)i}} ln (p(0c)/g(0o)), (4)

где v±(t) — независимые стандартные пуассоновские процессы при t ^ 0 и доопределенные нулем на отрицательной оси. Процессы вида (4) будем называть обобщенными процессами Пуассона с линейным сносом, которые будут подробнее рассмотрены в параграфе 1.1 главы 1. В [11] также установлен факт сходимости по распределению t* ^ t* где предельная величина t* является моментом достижения максимума процессом (4).

В работе [17] при более жестких условиях, чем в [11, с. 324], была получена оценка скорости сходимости:

sup |Р (t*n <х) -Р (t* <ж)| < cln2n/n, (5)

где константа с не зависит от п. Следует отметить, что сам факт сходимости

С ^ t* и оценка (5) были установлены в [17] без знания явного вида допредель-*n *

тельства существенно затрудняют решение задачи о нахождении оптимальной скорости сходимости (5):

sup |Р (t* <х) -Р (t* <х)1 = 0(1/п).

|ж|<то

В работах [1, 2, 3] исследована скорость сходимости распределений нормированных оценок максимального правдоподобия, построенных по параметрическому семейству разрывных многомерных плотностей в случае векторного параметра. Эти работы обобщают результаты работ [15, 16, 17] на случай многомерной выборки и многомерного параметра.

При обнаружении скачкообразного изменения в стохастических моделях, когда наблюдения имеют разрывную плотность вероятности, в некоторых случаях удается построить несмещенные оценки точки разрыва с дисперсией порядка п-2 (см. например [14]). Первый общий случай был рассмотрен в работе М. Чернова и Г. Рубина [29]. Позднее этому вопросу была посвящена Валь-довская лекция, прочитанная В. Хефдингом в 1967 г. В работе [44] Г. Рубин рассмотрел задачу оценивания многомерного параметра в случае плотностей со скачками; в более общей ситуации эта же задача была рассмотрена М. С. Ермаковым [9].

Целью данной работы является обнаружение момента разладки в стохастических моделях имеющих разрывную плотность вероятности.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. найти предельное распределение нормированной оценки максимального правдоподобия для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

2. разработать «ускоренный» алгоритм нахождения оценки максимального правдоподобия для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

3. построить точный асимптотический доверительный интервал для оцениваемого параметра;

4. создать комплекс программ, реализующий разработанные алгоритмы, и провести серию вычислительных экспериментов.

Научная новизна заключается в следующем:

— впервые разработан метод нахождения функции распределения момента достижения максимума обобщенного процесса Пуассона с линейным сносом;

— впервые найдено предельное распределение последовательности нормированных оценок максимального правдоподобия для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

— построена стохастическая модель, описывающая процесс обучения рекуррентных нейронных сетей с разрывной плотностью вероятности, позволяющая оценить момент перехода от «эффективного» периода обучения к «неэффективному»;

— впервые разработан метод построения асимптотического доверительно-

6

ния и создан комплекс программ для его вычисления.

Теоретическая и практическая значимость. В задачах об оценке неизвестной точки разрыва плотности распределения впервые найдено предельное распределение нормированных оценок максимального правдоподобия. Разработанные в диссертации методы позволяют обнаружить скачкообразные изменения в стохастических моделях прикладных задач, описываемых разрывной плотностью вероятности.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применялись асимптотические методы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов.

Основные положения, выносимые на защиту:

— метод нахождения функции распределения момента достижения максимума обобщенного процесса Пуассона с линейным сносом;

— предельное распределение последовательности нормированных оценок максимального правдоподобия для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

— стохастическая модель, описывающая процесс обучения рекуррентных нейронных сетей с разрывной плотностью распределения, позволяющая оценить момент перехода от «эффективного» периода обучения к «неэффективному»;

— численный алгоритм нахождения состоятельной оценки и оценки максимального правдоподобия для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

— метод нахождения точного асимптотического доверительного интервала для неизвестной точки разрыва плотности распределения;

— комплекс проблемно-ориентированных программ для моделирования и обнаружения момента изменения свойств стохастических систем, имеющих разрывную плотность вероятности.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами и проведенными численными экспериментами на тестовых моделях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. VI International Conference, Modern Problems in Theoretical and Applied Probability (г. Новосибирск, РИЦ НГУ 22-25 августа 2016 г.);

2. Всероссийская конференция молодых ученых Математическое и информационное моделирование (г. Тюмень, ТюмГУ, апрель 2017 г.);

3. Международная конференция, посвященная 60-летию Института математики им. С. Л. Соболева, Математика в современном мире (г. Новосибирск, НГУ, 14-19 августа 2017);

4. Международная конференция «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования» (г. Барнаул, АлтГУ, 14 17 ноября 2017);

5. 155 Городской научный семинар «Интеллектуальные информационные системы» (г. Тюмень, 15 января 2018);

6. Международная (49-я, 50-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (г. Екатеринбург, ИМиМ УрО РАН, 4-10 февраля 2018, 3-9 февраля 2019);

7. Объединенный семинар ИВМиМГ СО РАН (г. Новосибирск, 15 января 2019);

8. Семинар отдела "Математическое моделирование экономических систем "ВЦ РАН ФИЦ НУ РАН (г. Москва, 10 апреля 2019);

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 работах [48] - [58], 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук (3 индексировании! в базе данных Web of Science), 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (РОСПАТЕНТ), 6 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые в общей сложности разбиты на двадцать параграфов, заключения, списка литературы и приложений. В работе доказано 17 лемм и 9 теорем. Все теоремы, леммы и замечания пронумерованы сквозным образом. Нумерация формул в работе двойная и сквозная внутри каждой главы: первая цифра указывает на номер главы, а вторая - на порядковый номер формулы в этой главе. Окончание доказательств отмечено значком □. Полный объём диссертации составляет 77 страниц, включая 12 рисунков, 3 таблицы. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и английскому, и содержит 58 наименований. Работы автора помещены в конце списка.

и

Глава 1. Стохастические модели с разрывной плотностью

вероятности

Стохастическая модель - это математическая модель реального процесса, учитывающая факторы случайной природы. Характеристики состояния в таких моделях определяются через законы вероятностных распределений. В первой главе будет дано математическое описание стохастических моделей с наблюдениями, имеющими разрывную плотность вероятности в неизвестной точке, которую требуется оценить по результатам наблюдений. Ранее во введении было отмечено, что подобного рода задачи возникают в теории обнаружения, обработке данных измерений, статистическом контроле, при обучении нейронных сетей, технической и медицинской диагностике.

Пусть (Хх,... ,Хп) — вещественная выборка состоящая из независимых случайных величин с общей плотностью распределения

{ А(х,в), х< е, /(х,е) = {л( , ) , {¡2(х,е), х> е.

Параметр е предполагается неизвестным, а плотность - непрерывной пох всюду, за исключением точки х = е, в которой она имеет разрыв первого рода:

о = д(е) = де - о,е) = де + о,е) = Р(е) = о, е е в.

Будем предполагать, что плотность /(х,е) удовлетворяет условиям из монографии И.А. Ибрагимова, Р.З. Хасьминского [11, с. 324]. Для более общей постановки задачи эти условия будут изложены во второй главе. В монографии [11] был установлен факт сходимости по распределению нормированных отклонений оценок максимального правдоподобия от истинного значения параметра к точке максимума процесса (4). Следующий параграф посвящен более подробному изучению данного случайного процесса.

1.1 Момент достижения максимума обобщенного процесса

Пуассона с линейным сносом

Пусть и у+^) — независимые стандартные пуассоновские процес-

сы определенные при £ ^ 0 и доопределенные нулем на отрицательной оси. Рассмотрим случайный процесс (4) из введения:

я(1) = г(1,0) = (Р(0) - д(0)) г-(у+ (рт - V- (-4(0)г)) 1п (р(0)/ч(0)). (1.1)

Следуя условию (2) из введения, будем для определенности считать, что

р(0) > я(0), 0 е в. (1.2)

Это позволит избегать ненужных повторений в ходе доказательств утверждений.

Определим случайный процесс

у « = у ((,0> = л ■ (1'3)

Если ввести упрощающие обозначения:

р = р(0), (¡ = (¡(0), а = (р - (¡)/ 1п (р/д), то процесс У (£) запишется в виде

у(г) = аг - у+(рг) + v-(-^), ¿е (-ю,ю), (1.4)

траектория которого изображена на Рис. 1.1.

Процессы вида (1.4) будем называть обобщенными процессами Пуассона с линейным сносом. Так как при выполнении условия (1.2) верно соотношение

1 1п р — 1п а 1

- < —-- ^ -,

р р - д д

а

р > а > д, (1.5)

обеспечивающие процессу (1.4) отрицательный средний снос: ЕУ(£) < 0. Последнее обстоятельство, как известно [19], гарантирует выполнение условия:

р ^зирУ(¿) < ^ = 1,

Рисунок 1.1 — Траектория случайного процесса У (t) которое делает возможным определение собственной случайной величины

t* = t*(Q) = argsupy (t ,0), (1.6)

явный вид которой не определяется из процесса (1.4). Отметим, что в силу определения (1.3) момент t* достижения максимума процессом У (t) является также моментом достижения максимума процессом Z(t). Следовательно, последовательность t*n = п(0*п — 0о) нормированных оценок максимального правдоподобия, предназначенных для оценки точки разрыва плотности (1), сходится по

*

Определим функцию распределения случайной величины (1.6):

G(x) = G(x,0) = Р (t * <х) = ¥ (sup У (t) > supy (t)j . (1.7)

\t<x t^x J

Содержание глав 1 2 нацелено на нахождение аналитического вида функции распределения (1.7). Основная трудность получения явной формулы для G(x) состоит в том, что случайная величина/;* соотношением (1.6) определяется неявно.

1.2 Представления для вероятностей ф+(х,х) Лемма 1. При х ^ 0 справедливо представление

со

а{х)=1 - )е* (1-8)

0

где

Ф+(х, z) = P[supY (t) < z + Y (х)) , (1.9)

\í<x /

а константа в > 0 является единственным положительным корнем уравне-

ния

(1 - е-в) /в = а/р. (1.10)

Доказательство. На положительной полуоси процесс Y(t) = at — v+(pt). Следовательно, в силу его однородности при х, z ^ 0

Р (sup (Y (t) — Y (х)) <z ) = P (sup Y (t) <z ) =1 — e—ez. (1.11)

Последнее равенство доказано в [19, с. 165]. Используя независимость приращений У(£) и (1.7), находим

G(x) = Р (sup Y (t) — Y (х) > sup (Y (t) — Y (x))j

\t<x t^x J

00

= 1 — P (supY(t) < z + Y(x) ) dP (supY(t) < z) J \t<x J J

0

oo

= 1 — J ф+ (x,z)ee—ezdz. 0

□

Лемма 2. Пусть ty(z) = P ( sup Y (t) ^ z). Тогда при z ^ 0

<0

^(z) = (1 — q/a) (—1? (l)k (Z —]k)еФ—k)/a. (L12)

k=0 '

Функция г) непрерывна и удовлетворяет, дифференциальным уравнениям,:

^>'(х) = 1 Шг) — Мг — 1)), 2 ^ 1. а

(1.13)

^>'(х) = г). 0 < ^ < 1. а

с граничными условиями: "ф(0) = 1 — q/а. = 1.

Доказательство леммы приведено в [19, с. 167]. В частности, из (1.12) находим

^(х) = (1 — д/а) еяг/а. 0 < 2 < 1.

^(г) = (1 — д/а) (1 — (г — 1)е—<1/ад/а) едг/а.

1 < г < 2.

Подобным образом можно кусочно достраивать функцию "ф( г) на интервалах

п ^ г < п + 1. п = 0.1.____

На Рис. 1.2 представлен график функции распределения "ф(г) (1.12) при а = 1, д = 0.5.

Рисунок 1.2 — Функция распределения "ф(г)

Следующее утверждение можно извлечь из [19, с. 164], однако здесь будет представление несколько иное доказательство.

Лемма 3. Если в - решение уравнения (1.10), то

со

Í z)e-ezdz = ,(а - Фп , (1.14)

J ) (Р - д)ав К )

о

где функция ^(z) определена в (1.12).

Доказательство. При интегрировании по частям воспользуемся результатами леммы 2 и равенства (1.10).

с»

J z)ee-ezdz = -J ^(z)de= -ф(0) + J e-pV(z)dz 0 0 0

= 1 + 1 í e~ez z) - - 1)) dz

a a 0

= 1 — 1 + ^ e—ezMz) dz — -е—в e—e(z—1)"(z — 1) d(z — 1) a a J a J

оо

» »

= 1 — 1 + i^(Z)ee—ezdz = a—- + 1 iф(*)рe—ezdz.

a в a J a p J

оо

Сравнение крайних частей этих соотношений приводит к равенству

С С

УЧМРe—ezdz = + ^ J^(z)ee—ezdz,

оо

откуда получаем (1.14). □

Лемма 4. Пусть x,z ^ 0. Тогда для функции ср+(х,z) из (1.9) справедливо представление:

[z+ax]

ср+(х,z) = ^^ ф ( z + ax — k) Pk(х,z), где

к=о (1.15)

Pk(х,z) = Р ( sup У(t) ^ z + ax — k; v+(px) = к I .

\0^t<x J

z

Кроме того, для вероятностей Pk(х,z) имеют место представления: Ро(х, z) = е -рх,

У1 У2 Ук

Pk (х, z) = e ~px{^yjdt if dt2 •• j dtk, к = 1,2,...\z + ах], ' ' '

0 ti tk-i

в которых t0 = 0, z + ах ^ 1,

yi = (z + ах - к) Л ах, у2 = (z + ах — к + 1) Л ах,..., yk = (z + ах — 1) Л ах, где использовано обозначение а Л b = min {а,b}.

Доказательство. При х = 0 из (1.9) и леммы 2 находим ф+(0,z) = что

соответствует (1.15-1.16), так как Р0(0,z) = 1, Pk(0,z) = 0,к = 1,2,....

Если х > 0, то Y(х) = ах — у+(рх) ж z + Y(х) = z + ах — к на множестве у+(рх) = к. Отсюда и из неотрицательности супремума процессаY(t) при t < х получаем представление (1.15):

ф+(х,z) = Р (supY(t) < z + Y(х))

\t<x )

[z+ах] , ч

= ^^ Р ( sup Y(t) ^ z + ах — к; v+ (рх) = к j k=o ^f<x '

[z+ах] , ч

= V^ Р ( sup Y (t) ^ z + ах — к; sup Y (t) ^ z + ах — к; у+(рх) = к I k=0 \t<0 o^t <x )

[z+ах] , ч

= V^ ^ (z + ах — к) P I sup Y(t) ^ z + ах — к; у+(рх) = к I . k=0 ^<х /

Последнее равенство здесь является следствием независимости процессов v—(t), v+(t) и определения функции При к = 0

Р0(х,z) = Р ( вир У(1) < z + ах; У+(рх) = 0 ) = Р (у+(рх) = 0) = е рх,

<х )

так как вир У(Ъ) = ах ^ 2; + ах на множестве {у+(рх) = 0}. Отсюда и из (1.15)

0^ <х

следует, что при [ ^ + ах] = 0

ф+(х, г) = е + ах), (1.17)

что соответствует первым представлениям в (1.15-1.16) при z + ax < 1.

Пусть z + ax ^ 1. Для нахождения вероятностей Pk (x,z) при к = 1,2,..., [z + ax] обозначим через Si5 S2,... — последовательные моменты скачков процесса У(t) = at — v+(pt),t ^ 0. Так как супремум этого процесса достигается в одной из точек Sk7 то

Pk(x,z) = Р ^aSi S z + ax — к; aS2 — 1 S z + ax — к;...

; aSk — 1 S z + ax — k;Sk S x; Sk+i > x I ( J (1-18) = P ( aSi S z + ax — к; aS2 S z + ax — к + 1;...

; aSk S z + ax — 1; aSk S ax; aSk+i > ax

.

Здесь последние два события под знаком вероятности равносильны событию v+(px) = к. Если обозначить

у1 = (z + ax — к) Л ax, у2 = (z + ax — к + 1) Л ax,..., yk = (z + ax — 1) Л ax,

то ^ S y2 S • • • S yk sS ax и, следовательно, для вероятностей из (1.18) получаем интегральные представления (1.16):

У1 У2 Ук со

к+1

Pk (x, z)= dti dtr- dtk (a) e—(p/a)tk+1 dtk+i

a

0 ti tk—1 ax

У1 У2 Ук

р\к

e—px( dti dt 2- dt к.

0 11 tk-1

□

Следующее утверждение уточняет лемму 5. Теорема 1. Пусть х ^ 0. 0 ^ 1. Тогда

+ / \ -рх I / , 1\(Р\к((х + ах)к ^ + ах)к—1\

Ф+(х.Х) = е*х\1 ф (г+ах — [к\ — (к — 1)\ ) . ( 9)

к=0

В частности, при, z = 0

«,+Ш = е- g ф (ax — к) (a^ —

Доказательство. В лемме 5 при х, х ^ 0 было получено выражение (1.15) для функции ф+(х,х)7 в котором вероятности Рк(х,х) имели представления (1.16). При 0 ^ ^ < 1 верхние пределы интегралов в формуле (1.16) равны:

у\ = х + ах — к, у2 = х + ах — к + 1,..., ук = х + ах — 1.

Если ввести обозначение у = х + ах, то при у ^ 1

у—к у—к+1 у— 1

Рк (х, х) = е—рх( £) (Иг (Иг- Мк, к = 1,2,..., [у].

tk-1

0=0

Покажем, что при любом £ 0 ^ 0 и любом у ^ 1

у—к у—к+1 у—1

j ! (И(Ик

to ^ 1

(у — и)к (у — и)

1

к!

(к — 1)! '

(1.21)

= 1,2, . . . ,[ ].

При к = 1 равенство очевидно. Если (1.22) верно при некотором к, то при к := к + 1

у—к—1 у—к

/ сИ\ / (И2

у—1

& к+1 =

у—к—1 /(

(у — г 1)к (у — г О

к!

(к — 1)!

к— )!

(у — ь)к+1 (у — иу (к + 1)!

!

0=0

ству:

у—к у—к+1 у—1

0 11 1

к1

к

к! (к — 1)!

(1.23)

= + а х

х + ах ^ 1. Если х + ах < 1 ([х + ах] = 0), то справедливость формулы (1.19) следует из (1.17). □

Замечание 1. Если к-мерный интеграл (1.23) умножить на дробь к!/ук, то для к порядковых статистик Х(1) ^ Х(2) ^ • • • ^ Х(к) из равномерного

распределения на интервале [0; у] получим простое выражение для вероятности:

Замечание 2. Выражение (1.19) из теоремы 1 определяет функцию ф+(х,г) в области х ^ 0, 0 ^ 1, а этого не достаточно для нахождения функции распределения С(х), х ^ 0 по формуле (1.8). Ниже в теореме 3 будет найдено другое представление для С(х), в котором участвует только функция Ф+(ж,0) из (1.20).

Замечание 3. Несмотря на сложность аналитического выражения (1.20), функцию ф+(ж,0) можно находить последовательно на интервалах п ^ ах < п + 1, п = 0,1,____

Р(Х(1) ^ у - к; Х{2) < У - к + 1;...; Х{к) ^ у - 1)

01

0.5

0.4

0.3

02

Рисунок 1.3 — График функции ф+(ж,0)

Например,

ф+(ж,0) = (1 — д/а) е ч)х, если 0 ^ ах < 1,

ф+(ж,0) = (1 - д/а)[1 + (ах - 1) —-е~9/а ) е"если 1 < ах < 2,

(1.24)

и так далее...

На (Рис. 1.3) представлен график функции р+(х.0) на интервале 0 ^ ах < 3, при р = 3 а = 2^ = 1.

В лемме 9 параграфа 1.5 будет доказано, что траектории р+(х.г) п. в. дифференцируемы.

1.3 Представления для вероятностей ф (x,z)

x < 0

С

G(x) = J ф—(x,z)d"(z), (1.25)

о

гйе t \

ф (x,z) = P sup У (t) < z + У (x) ,

\t>x J

ф( )

Доказательство. Из однородности процесса У(t) = at + v_ (—qt), t S 0 при

x < 0

P (sup (У(t) — У(x)) Sz ) = P (supУ(t) Sz ) = "(z).

\t<x J \t<0 J

У( )

находим

G( x) = sup У( ) У( x) < sup ( У( ) У( x))

t<x J

С» СС

= p(supУ(t) — У(x) <z)d"(z)= Ф—(x,z) d"(z).

J \t^x J J

0 0

□

Лемма 6. Пусть x S 0,z ^ 0. Тогда, для функции ф—(x,z) из леммы, 3 справедливо представление:

(x,z) = ^ (l — e~e(z—alxl+k)^ Qk(x,z). (1.26)

k>a\x\—z

Здесь

I sup Y(t) < z; v-(qlx\] = к I , yo^i^jxj J

Qk (x,z) = P\ sup Y(t) <z; V-iqjxj) = k), (1.27)

а процесс У(£) = at — v—(qt), t ^ 0. Суммирование в (1.26) распространяется no целым неотрицательным числам к > а\х\ — z.

Доказательство. Если х = 0, то из леммы 3 и (1.11) находим

ф-(0,2) = 1 — e—pz, z ^ 0,

что соответствует равенству (1.26), так как при z > 0

Qo(0,z) = 1,

Qk (0,z) = 0, k = 1,2,..., Qk (0,0) = 0, k = 0,1,2,...

Если x < 0, то как и в доказательстве леммы 5 y-(x,z) = Р ( supY(t) < z + Y(x) )

= У^ P ( sup Y (t) < z + Y (x); y—(q\xl) = k; sup Y (t) < z + Y (x)) .

i>0 J

Так как при x < 0 значение процесса Y(х) = ах + к = —a|x| + к на множестве {y—(q\x\) = к}, то

Ф (x,z )= ^ Р I sup У (£) <z — а|ж| + к) ^ _ \i>o /

&>аЫ—z

х Р ( sup Y(t) <z + Y(x); V—^) = k) . (1.28)

Заметим, что

sup (Y(t) — Y(x)) = sup Y(t — x) = sup Y(t),

где обозначение £ = п означает равенство случайных величин по распределению. Отсюда, а также из (1.11) и (1.28) приходим к (1.26). □

Теорема 2. При х ^ 0.x > 0 выражение (1.26) для функции р (х.х) приводится к виду:

р-

— (х. г) = 1 — еР(1—^Р^ЬР^

\а|ж—] , , /(„ X и\к („ , 1Лк-1

+ Р-ч(г+к)/а (рв(1— я/р )(а|х|— г—к) _ Л ( V ( г + к) _ (х + к) \

+ е ч Ы V к]- (к —1)4.

к—0

(1.29)

Доказательство. Если а|х| < х, то из (1.26) получаем равенство:

р—(х.г) = ^ Qk(х.г) — е~в(я—а|ж|) ^ (е~ву Як(хх.г). к—0 к—0

Из (1.27) находим

Q0(х.г) = Р I вир У(Ь) < г; у—(д|х|) = 0 I у0<к|ж| у

= Р (а|х| < г; V _(д|х|) = 0) = Р (у_(я|х|) = 0) = е

а при к ^ 1 (а|х| < г): Qk (х. г)

= Р (аЗ1 < г; аБ2 < г + 1;...; аБк < г + к — 1; ^ а|х|; аБк+1 > а|х|)

(а\т\)к е

= Р (аЗк < а^аЗ^ > а|х|) = Р (у—(д|х|) = к) = ^^-.

К!

Здесь через З1.З2.... обозначены моменты скачков процесса

У (г) = аЪ — У—(яЪ), г ^ 0. Подставляя вероятности Qk(х.г) в выражение для р—(х.г) получаем:

р—(х.г) = £ --е—в(> —^ ■ ■ .. - в

_q|x|

к! ~ ^ к! '

к—0 к—0

= 1 — ехр ||х| ^а — 1 в Р) — Р*} = 1 — ев(1—ФЖ—Р"

где последнее равенство имеет место в силу (1.10). Итак, при а|ж| < z формула (1.29) доказана.

Пусть п ^ a\xl — z < п + 1,п = 0,1,2,... . Тогда из формулы (1.26) получаем

то то

ф-(x,z)= ^ Qk(x,z) — е-3(z—'^ ^ (е—в)к Qk(x,z)

k=n+i k=n+i

то то

= £ ^(x,z) — e—р(г—а|ж|) £ (e—e)n+k Qn+k(x,z). k=i k=i

Если для последних рядов ввести общее обозначение:

то

5 (b) = £ Ъп+к Qn+k (x,z), к=1

ТО

ф—(х^) = 5 (1) — e—e(z—alxl )S (е—в). (1.30)

Как и в начале доказательства теоремы, вероятности (1.27) представляем в виде:

Qn+k(x,z) = P(aSi < z; aS2 < z + 1;...; aSn+i < z + n;

[aSn+2 < z + n + 1;...; aSn+k < z + n + к — 1; aSn+k < «-M} ;

aSn+k+i > a\x\),

атак как при рассматриваемых ограничениях z+п ^ а|ж| < z+п+1 следующие события равны:

[aSn+2 < z + п + 1;...; aSn+k < z + п + к — 1; aSn+k < «-М}

= {а5'п+2 < а|ж|;...; aSn+k < а|ж|} ,

то

^ г +1 г+п а, ^

Qn+k (х.г) = ! J ЛЬ2 ••• J (йп+2

0 tl 1п+1

(Ип+к I (аУ+к+1 е—(<1/а)^к+Ч1п+к+1

г г+1 г+п

='-•'"( а гььч (а -.....

0 и и

Здесь мы воспользовались результатом вычисления интегралов:

а ^ а ^ со

/ ^п+2 • • • / Мп+к ( (аУ+к+1 е—(<?/а)П+к+1 ^п+к+1

а|ж| а|ж|

¿п+1 ¿п+к-1

Из последнего выражения для вероятностей Qn+k(х.х) выводим формулу:

с

З (Ь) = ^ Ъп+^п+к (х. г)

к—1

+1 ^ г+1 г+п—1 г+п ^ 1

=е—"и(а) /Л 1!л2 •• / л-/^(ФУА — лп+1

0 ¿1 1 ¿И

, г г+1 г+п— 1 г+п

п+1

= e-^|(1-Ь)(^У 1 ^ (М>2 • • • I аи ! е—(^а)и-+1<Ип+1.

0 tl ^-1

Занесение знака ряда под интеграл оправдано ввиду неотрицательности подынтегральной функции. Последнее выражение для З(Ь) после введения обозначе-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Швемлер Наталья Александровна, 2020 год

Список литературы

[1] Борисов И. С. Асимптотическое представление отношения правдоподобия для многомерных выборок с разрывными плотностяти / И. С. Борисов, Д. В. Миронов// Теория вероятностей и ее применения. -2000. - Т.45. №2. -С. 345 - 356.

[2] Борисов И. С. Асимптотическое представление отношения правдоподобия для нерегулярных семейств распределений в многомерном случае / И. С. Борисов, Д. В. Миронов// Сибирский математический журнал. -2001. - Т.42. №2. - С. 232 - 244.

[3] Борисов И. С. Скорость сходимости распределений нормированных оценок максимального правдоподобия для нерегулярных параметрических семейств / И. С. Борисов, Д. В. Миронов// Сибирский математический журнал. -2003. - Т.44. №3. - С. 521 - 541.

[4] Боровков А. А. Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке / А. А. Боровков // Теория вероятностей и ее применения. - 1998. - Т.43. №4. -С. 625 - 654.

[5] Боровков А. А. Оценки момента разладки по большим выборкам при неизвестных распределениях / А. А. Боровков // Теория вероятностей и ее применения. - 2008. - Т.53. №3. - С. 437 - 457.

[6] Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. - М.: Наука, 1984. -472 с.

[7] Боровков А. А. Об оценивании параметров в случае рызрывных плотностей / А. А. Боровков // Теория вероятностей и ее применения. - 2018. -Т.63. №2. - С. 211 - 239.

[8] Гальчук Л. И. Задача о "разладке"для пуассоновского процесса / Л. И. Галичу к. Б. Л. Разовский // Теория вероятностей и ее применения. - 1971. - Т.16. №4. С. 729 734.

[9] Ермаков М. С. Ассимптотическое поведение статистических оценок параметров многомерной разрывной плотности / М. С. Ермаков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1977. - Т.74. С. 83 107.

[10] Ибрагимов И. А. Ассимптотическое поведение некоторых статистических оценок в гладком случае / И. А. Ибрагимов, Р. 3. Хасьминский // Теория вероятностей и ее применения. - 1972. - Т.17. №3. - С. 469 - 486.

[11] Ибрагимов И. А. Ассимптотическая теория оценивания / И. А. Ибрагимов, Р. 3. Хасьминский. - М.: Наука, 1979. -528 с.

[12] Клигене С. Н. Оценка момента изменения параметров распределения и случайных последовательностей / С. Н. Клигене // Резюме докладов, сделанных на заседаниях семинара по теории вероятностей и математической статистике в Математическом институте АН СССР, Теория вероятностей и ее применения. - 1973. - Т.18, В.З, С. 677 - 678.

[13] Клигене С. Н. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов /С. Н. Клигене, Л. Телькснис // Автоматика и телемеханики. - 1983. - В.10. С. 5 - 56.

[14] Крамер Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. М.: Мир, 1975. -648 с.

[15] Мосягин В. Е. Оценка скорости сходимости распределения процесса максимального правдоподобия в нерегулярном случае / В. Е. Мосягин// Сибирский математический журнал. -1991. - Т.32. №4. - С. 96 - 103.

[16] Мосягин В. Е. Асимптотическое представление для процесса отношения правдоподобия в случае разрыывной плотности / В. Е. Мосягин// Сибирский математический журнал. -1994. - Т.35. №2. - С. 416 - 423.

[17] Мосягин В. Е. Оценка скорости сходимости распределений нормированных оценок максимального правдоподобия в случае разрывной плотности /

B. Е. Мосягин// Сибирский математический журнал. -1996. - Т.37. №4. -

C. 895 - 903.

[18] Прудников А. П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука, 1981. -800 с.

[19] Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями / А. В. Скороход. -М.: Наука, 1964. -280 с.

[20] Тихов М. С. О предельных распределениях оценок по двусторонне цензу-рированным выборкам с разрывной плотностью /М. С. Тихов // Теория вероятностей и ее применения. - 1984. - Т.29, В.2. С. 354 - 360.

[21] Ширяев А. Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов / А. Н. Ширяев // Докл. АН СССР. - 1961. - Т.138. № 4, С. 799 - 801.

[22] Ширяев А. Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима / А. Н. Ширяев // Докл. АН СССР. - 1961. - Т.138. № 5, С. 1039 - 1042.

[23] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ / А. Н. Ширяев. -М.: Наука, 1976. -272 с.

[24] Ширяев А. Н. Стохастические задачи о разладке / А. Н. Ширяев. М.: МЦНМО, 2017. -391 с.

[25] Abdel-Aty Y., Estimation of the jump-point in hazard function / Y. Abdel-Aty, D. Ferger // Economic Quality Control, - 2003. - v. 18, №2. P. 251 — 261.

[26] Ait-Sahalia Y., Testing for jumps in a discretely observed process / Y. Ait-Sahalia, J. Jacod // The Annals of Statistics, - 2009. - v.37, №1. P. 184 - 222.

[27] Anderson J. A., A two step regression model for the hazard rate function / J.A. Anderson, A. Senthilselvan // Appl. Statist, - 1982. - v.31, P. 44 — 51.

[28] Borovkov A. A., Change-point problem for large samples and incomplete information on distribution / A.A. Borovkov, Yu.Yu. Linke // Math. Methods of Statistics, - 2005. - v. 14 №4. P. 404 - 430.

[29] Chernoff M., Estimation of the location of a discontinuity in density / M. Chernoff, H. Rubin // Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Probab., 1965. v.l. P. 19 - 38.

[30] Chu C.K. Estimation of jump points and jump values of a density function / С. K. Chu, P. E. Cheng // Statistica sinica. - 1996. - V.6, P. 79 - 95.

[31] Eubank R.L. Nonparametric estimation of functions with jump discontinuities / R. L. Eubank, P. L. Speckman // IMS Lecture Notes - Monograph Series. -1994. - V.23, P. 130 - 144.

[32] Fisher R. On the mathematical foundations of theoretical statistics / R. Fisher // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. - 1922. - v.222. - P. 309 - 368.

[33] Hawkins D. L. A simple least squares method for estimating a change in mean / D. L. Hawkins // Comm. Statist. Simulation - 1986. - v. 15. - P. 655 - 679.

[34] Huber P. The behavior of maximum likelihood estimates under nonstandard conditions / P. Huber // Proc. fifth. Berkeley symp. Math. Statist, and Prob. -1967. - v. 1. - P. 221 - 234.

[35] Johnstone I. M. Testing for jumps in a discretely observed process / I. M. Johnstone, B. W. Silverman // The Annals of Statistics, - 1990. - v.18, №1. P. 251 - 280.

[36] Kendall M. Daniel Bernoulli on maximum likelihood / M. Kendall // Biometrica. - 1961. - v.48, N1. - P. 1 - 2.

[37] Le Cam L. On some asymptotic properties of maximum likelihood estimates and related Bayes estimates / L. Le Cam // Univ. of Calif Publ. in Statist. -1953.-v.l.-P. 277 - 330.

[38] Lorden G., Procedures for reacting to a change in distribution / G. Lorden // The Annals of Mathematical Statistics, - 1971. - v.42, №6. P. 1897 - 1908.

[39] Matthews D. E., On testing for a constant hazard against a change point alternative / D. E. Matthews, V. T. Farewell // Biometrics, - 1982. - v.38. P. 463 - 468.

[40] Matthews D. E., Asymptotic score-statistic processes and tests for constant hazard against a change point alternative / D. E. Matthews, V. T. Farewell // Ann. Statist, - 1985. - v.13. P. 583 - 591.

[41] Moustakides G. V., Optimal stopping times for detecting changes in distributions / G. V. Moustakides // The Annals of Statistics, - 1986. - v.14, №4. P. 1379 - 1387.

[42] Nguyen H. Т., Estimation in change point hazard rate models / H. T. Nguyen, G. S. Rogers, E. A. Walker // Biometrica, - 1984. - v.71. P. 299 - 304.

[43] Page E. S., Continuous inspection schemes / E. S. Page // Biometrika Trust, -1954. - v.41, №1/2. P. 100 — 115.

[44] Rubin H., The estimation of discontinuities in multivariate densities, and related problems in stochastic processes / H. Rubin // Proc. Fourth Berkeley Symp. Math. Statist. Probab., 1961. v.l. P. 563 - 574.

[45] Yao Y. C., Maximum likelihood estimation in hazard rate model with a change point / Y. C. Yao // Сотр. Statist. Theory Methods, - 1986. - v.15. P. 2455 — 2466.

[46] Yao Y. C., A note on testing for constant hazard against a change point alternative / Y. C. Yao // Ann. Inst. Statist. Math., - 1987. - v.39. P. 377 - 383.

[47] Yin Y. A., Detection of the number locations and magnitudes of jumps /

Y. A. Yin // Commun. Statist-Stochastic models, - 1988. - v.4, №3. p. 445 __ 455.

[48] Швемлер H. А. Вероятностный прием преобразования кратных интегралов к интегралам меньшей размерности / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Вестник ТюмГУ. -2014. №7. Физико-математические науки. Информатика. С. 192 - 198.

[49] Швемлер И. А. Распределение момента максимума разности двух пуас-соновских процессов с отрицательным линейным сносом / В. Е. Мосягин, И. А. Швемлер // Сибирские электронные математические известия. -2016. - Т.13. - С. 1229 - 1248.

[50] Shvemler N. A. Distribution on the time of attaining the maximum for a Poisson process with negative drift /V. E. Mosyagin, N. A. Shvemler // Modern Problems in Theoretical and Applied Probability, Novosibirsk, VI International Conference, Новосибирск, РИД НГУ - 2016. - P. 41 - 42.

[51] Швемлер H. А. Локальные свойства предельного распределения статистической оценки точки разрыва плотности / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Сибирские электронные математические известия. -2017. - Т. 14. -С. 1307 - 1316.

[52] Швемлер Н. А. Преобразование Лапласа момента достижения максимума процессом Ибрагимова Хасьм и некого / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Тюмень: Изд. ТюмГУ -2017. - Вып.15. - С. 282 - 284.

[53] Швемлер Н. А. Метод усредненного минимума для нахождения состоятельной оценки точки разрыва плотности распределения / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Международная конференция «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», секция «Математическое моделирование объектов науки и техники». Барнаул: Изд. Алт-ГУ -2017. - С. 453 - 455.

[54] Shvemler N. A. Integro-local estimates for the time of attaining the máximum by the Poisson process with linear drift /V. E. Mosyagin, N. A. Shvemler // Математика в современном мире. Международная конференция, посвященная 60-летию Института математики им. С.Л. Соболева, Новосибирск, Россия, 2017 г. - С. 370.

[55] Швемлер Н. А. Статистическое оценивание точки разрыва плотности распределения / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2018. - С. 53

[56] Швемлер Н. А. Асимптотический доверительный интервал для точки разрыва плотности распределения /В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2018. - Т.24. №2- С. 194 - 199.

[57] Швемлер Н. А. Стохастическая модель обучения рекуррентных нейронных сетей / В. Е. Мосягин, Н. А. Швемлер // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы Международной (50-я Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2019. - С. 123.

[58] Швемлер Н.А. Программа для оценки неизвестного параметра точки разрыва плотности распределения /Н.А. Швемлер, В. Е. Мосягин // Федеральная служба по интеллектуальной собственности РОСПАТЕНТ. Свидетельство №2017660490 от 22.09.2017.

Приложение А

Копия свидетельства о государственной регистрации программы

для ЭВМ

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о госудаоственной оегистоапии пвогоаммы для ЭВМ

Рисунок А.1 — Свидетельство о государственной регистрации программы для

ЭВМ в Роспатент

Приложение Б

Копии документов о практической значимости результатов

диссертационной работы

Рисунок Б.1 — Справка о практическом применении диссертационного

исследования в ООО «ОКАС»,

ГАЗПРОМБАНК

«Газпромбанк» (Акционерное общество) Банк ГПБ (АО)

Ф-л Банка ГПБ (АО) «Уральский»

Для представления в диссертационный совет

ОКПО53377727 БИК 046577411

ИНН/КПП 7744001497/668543001

620075, г.Екатеринбург, ул.Луначарского, д. 134-в ТЕЛЕФОН:[phone] ФАКС:[phone] www.gazprombank.ru

2 1, 05. 2018 №

На №

СПРАВКА

о практической значимости результатов диссертационной работы Швемлер Натальи Александровны «Обнаружение момента скачкообразного изменения в стохастической модели: наблюдения с разрывной плотностью вероятности»

Результаты диссертационного исследования Н. А. Швемлер на тему «Обнаружение момента скачкообразного изменения в стохастической модели: наблюдения с разрывной плотностью вероятности» обладают актуальностью и представляют практический интерес.

Разработанные в диссертационной работе методы (метод нахождения состоятельной оценки, оценки максимального правдоподобия, построения асимптотического доверительного интервала) позволяют с заданной надежностью оценить точку разрыва плотности распределения по данным наблюдениям (выборке) и имеют практическое применение. В частности, предложенная стохастическая модель может быть использована в качестве дополнительного инструментария с целью прогнозирования динамики курса валют, а также для оценки изменения интенсивности возможного сбоя в сроках предоставления банковской отчетности.

Директор Тюменской Дирекции по развити^йиш^са Филиал «Газпромбанк»

(Акцио к. э. н,

о) «Уральский»,

В.В. Давыдов

Рисунок Б.2 — Справка о практической значимости из АО «Газпромбанк»