О приведенных регулярных непрерывных дробях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Жабицкая, Елена Николаевна

• Жабицкая, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жабицкая, Елена Николаевна

Введение

1 Свойства приведенных регулярных непрерывных дробей

1.1 Свойства подходящих дробей.

1.2 Лемма, характеризующая пару подходящих дробей

1.3 О числе решений системы.

2 Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Теорема 1. Формулировка и начало доказательства

2.3 Случай

2.4 Случай

2.5 Случай

2.6 Случай

2.7 Случай

2.8 Завершение доказательства.

3 О множествах рациональных чисел с ограниченной суммой неполных частных

3.1 Последовательности Штерна-Броко.

3.2 Сингулярные функции Денжуа-Тихого-Уитца

3.3 Функция Минковского.

3.4 Общий вид формулы Салема.

3.5 Теорема 3.

3.6 Вспомогательные результаты.

3.7 Доказательство теоремы 3.

3.8 Непрерывные дроби с минимальными остатками.

3.9 Определение и свойства последовательности множеств Zn

3.10 Предельная функция распределения последовательности Zn.

3.11 Доказательство теоремы 4.

3.12 Сингулярность функции FW(x).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О приведенных регулярных непрерывных дробях»

Одним из инструментов исследования в теории диофантовых приближений является аппарат непрерывных дробей. Статистические свойства разложения действительных чисел в непрерывные дроби исследовались еще Гауссом. В первой половине XX века этим вопросом занимались Кузьмин [7, 8], Хинчин [18, 19], Леви [30] и некоторые другие математики. Систематическое изложение теории цепных дробей есть, например, в книгах Перрона [34] и Хинчина [17].

Статистические свойства конечных цепных дробей исследовали Локс [31] и Хейльброн [27].

В последнее время к этим вопросам вновь проявился интерес. Здесь следует отметить ряд работ Быковского [4], Авдеевой [1, 3], Быковского и Авдеевой [2], Устинова [10, 11, 12, 13, 14].

Настоящая диссертация, в основном, посвящена исследованию статистических свойств конечных приведенных регулярных непрерывных дробей. Приведенной регулярной непрерывной дробью (ein reduziert-regalmaessiger Kettenbruch [34]) называется выражение следующего вида: t0]ti,t2, . . •. •) = ¿о----> (1) 4 где все tn — целые, Ьп ^ 2 при п ^ 1. Всякое действительное число г единственным образом представляется в виде приведенной регулярной непрерывной дроби (¿о; ¿ь ¿2,.,£;,■••)> где ¿о = ГГ1 (верхняя целая часть г), ¿п > 2 при п ^ 1 (такие дроби рассматривались Перроном [34, Глава I], а также Финкелыпнейном [15]). Для рационального числа г представление в виде (1) конечно и однозначно определено. Пусть г = (¿о; ¿1, ¿2, ■ • • Длину I приведенной регулярной непрерывной дроби, представляющей рациональное число г, обозначим через 1(г).

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней доказываются простейшие свойства приведенных регулярных непрерывных дробей. Отметим, что множество подходящих дробей приведенной регулярной непрерывной дроби числа г совпадает со множеством всех подходящих и промежуточных дробей обычной непрерывной дроби числа г, не меньших этого числа (т. е. с множеством всех целых точек, лежащих на верхнем полигоне Клейна).

В первой главе также доказывается лемма, позволяющая свести задачу нахождения суммы длин всех приведенных регулярных непрерывных дробей чисел а/Ь, где а, 6 £ М, а ^ Ь ^ к нахождению числа решений системы неравенств.

Во второй главе диссертации получена трехчленная асимптотика со степенным понижением в остаточном члене для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби чисел а/Ь, где а, Ъ € М, а ^ Ъ ^ /2, Я — действительное число, большее 2.

Обозначим через N(11) сумму ^^ ^^ / (а/6) длин всех таких 5 2 ТУ Я ^ дробей, тогда Е(К) = Гр1/Гг>1 , будет средней длиной. 1)

Длина обычной непрерывной дроби в(а/Ь) числа а/6 есть число шагов в классическом алгоритме Евклида, примененном к числам а и Ъ. Этот алгоритм использует деление с остатком: а = + г, дбй, 0 ^ г < 6.

Аналогично можно рассматривать длину приведенной регулярной непрерывной дроби 1{а/Ь) числа а/Ъ как число шагов в алгоритме Евклида с «делением по избытку», т. е. а = Ьд + г, д € — Ь < г < 0.

Таким образом, величина Е(Я) является математическим ожиданием числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», примененного к числам а и Ь, меняющимся в пределах

Вопрос о поведении средней длины для обычных непрерывных дробей был впервые исследован Хейльбронном в работе [27]. Он выделил главный член асимптотики для средней длины, где усреднение ведется по числителям: щ £ = 1оёа+° 0°ё41оё <0 ■

Статистикам конечных непрерывных дробей посвящены также работы Локса [31], Кнута [29], Попова [9]. Позднее Портер [35] для того же среднего получил асимптотическую формулу с двумя значащими членами: с?<0 = 1 где е — любое положительное и число

1 2 носит название константы Портера.

При усреднении по числителям и знаменателям вероятностными и эргодическими методами ряд результатов был получен Диксоном [22], Хенсли [23], Балле и Балади [41]. В 2000 году Балле [39] была доказана, асимптотическая формула для средней длины со степенным понижением в остаточном члене. Последний результат в этой области принадлежит Устинову [10], который получил асимптотическую формулу с лучшим, чем можно получить из результата Портера, понижением в остаточном члене:

Что же касается приведенных регулярных непрерывных дробей, то в 2003 году Балле, исследуя статистические свойства различных видов алгоритмов Евклида в работе [40], с использованием вероятностных и эргодических методов получила, в частности, главный член асимптотической формулы для математического ожидания числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», а следовательно, и для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби.

В настоящей диссертационной работе на основе подхода, предложенного Устиновым в работе [12], получен более сильный результат, чем у Балле [40, Теорема 5]. £ зШ = ^ 1о6 я+В + О (Л-11оЕ6 Я) , где 7

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 1. Для действительного Я —> сю справедлива следующая асимптотическая формула: дзета-функция Римапа, 7 — константа Эйлера. Можно также рассматривать сумму длин приведенных регулярных непрерывных дробей только по взаимно простым числам а, Ь, и, соответственно, среднюю длину таких дробей Е*(Я). Тогда каждая приведенная регулярная непрерывная дробь рационального числа, не превосходящего 1, со знаменателем, не превосходящим Я, будет учтена ровно один раз.

Е{В) = С21оё2 Я + Сг 1оё Я + С0 + О (Я'11оё5 Я) где 8

Следствие 1. Для действительного R —» оо справедлива следующая асимптотическая формула:

Е*(R) = С2 log2 R + C1 log R + Cq + O (R~l log6 R) , (2) где

С - 1 Г - 1 (Vv 3 9С'(2Л

Cl " 02) I 7 " 2 2 cWy ' с(2) I27 ~37+г2?й" 127 V +-?(2)-)

Третья глава диссертации посвящена исследованию предельной функции распределения последовательности множеств рациональных чисел, у которых сумма неполных частных приведенной регулярной непрерывной дроби не превосходит фиксированного числа, а также аналогичной функции, связанной с разложением в непрерывную дробь «с минимальными остатками».

Остановимся подробнее на сравнении различных видов алгоритмов Евклида. Обычный алгоритм Евклида, примененный к числам а и Ь, приводит к разложению действительного числа х в непрерывную дробь классического вида: х = [а0; аь а2,. . ., а8,.] = а0 Ч----, (3) ах Н-а2 + . . + а, + ■ • • где ао 6 Ъ, а, 6 N при Для ж 6 представление в виде (3) является конечным, и, для однозначности разложения рационального числа, будем считать, что последнее неполное частное а8 ^ 2. 9

Если обозначить сумму ао + а\ + . + as неполных частных разложения (3) числа х через S^\a(b) и.положить

Тп ■■= {х е Q,ж 6 [0,1] : S[%г) < П + l} , то окажется, что множества Тп — это так называемые последовательности Штерна-Броко.

Назовем F{x) предельной функцией распределения последовательности Мп конечных подмножеств отрезка [0,1], если lim Fn(x) = F(x), п—»oo

Предельная функция распределения последовательности JFn, совпадает с известной функцией Минковского введенной Г. Минковским [32]. Свойства функции ?(х) подробно исследуются в работах [21], [42], [43], а также [28].

Алгоритм Евклида с делением «по избытку» приводит к разложению действительного числа х в приведенную регулярную непрерывную дробь (1). Обозначим сумму clq + cli -К. неполных частных разложения (1) рационального числа х через и введем множества

Hn = [х е Q, Ж G [0,1] : SM(x) < п + 2} , аналогичные множествам Тп. Предельную функцию распределения последовательности множеств обозначим через .рШ(ж).

Наконец, алгоритм Евклида, в котором при делении выбирается минимальный по модулю остаток:

Ь ь а — bq + г, ~2<г^2' ^

1U приводит к разложению в непрерывную дробь с минимальными остатками х

- £I о; —5 ■ • • 5 — 5 • • а\ щ а0 Ч--, (5) 2 ах Н-I а2 + . + щ + . где а0 е = ± 1 и а^ ^ 2, а^ + £-,-+1 > 2 при ^ ^ 1. В этой дроби присутствуют как знаки «+», так и «-». Такие дроби имеются в книге О. Перрона [34], а также в работе Ригера [33]. Для х € (0? представление в виде (5) является конечным, и, для однозначности этого представления, в случае когда последнее неполное частное щ — 2 полагаем е/ = 1.

Устинов в работе [11] доказал следующие асимптотические формулы для средней длины дроби с минимальными остатками: о1б) = 1 где 1'{а/Ъ) — число неполных частных в разложении (5) числа а/Ь, <р = а Сз, С а — некоторые указанные постоянные.

Сумму ао + а\ + . + а\ неполных частных дроби (5) рационального числа х обозначим через ¿^(я) и рассмотрим последовательность множеств {х е О, х € [0,1] : 5[21(х) < п + 1} .

Предельную функцию распределения последовательности множеств 2п обозначим через

11

В 1938 году Денжуа в работе [21] ввел в рассмотрение функции к(х, а), а 6 (0,1), х € [0, оо), обобщающие функцию Мин-ковского ?(х). А 1995 году, в работе [38] Тихий и Уитц рассмотрели однопараметрическое семейство сингулярных функций дх, А £ (0,1), аналогичных функциям к(х,а) (определение функций к(х, о;), д\ приведено на с. 74). Для х е [0,1] функции к(х,а) и дх связаны соотношением к(х, а) = 1 - (1 - а)д^а(х).

Функция ?(х) является членом семейства дх(х) с А = 1/2. Одним из основных результатов третьей главы диссертации является следующая теорема.

Теорема 3. Функция дт2, где г2 = т = совпадает с функцией распределения последовательности то есть хе [0,1].

Что же касается функции .р[21(.т), то она не является членом семейства дх{х), но обладает похожими свойствами. В главе 3 показано, что при х £ [0,1/2] выполняется функциональное уравнение а также доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Справедлива следующая формула, выраэюающая значение Е^{х); х € [0,1], через неполные частные разложения (5) числа х:

12 где

Ез = П (-*)> =

Л — единственный действительный корень уравнения

А3 - Л2 - Л - 1 = О, ас — 1 / (Л — 1). Для рациональных х сумма в выражении для будет конечной.

Теорема 5. Если в точке х € (0,1) у функции существует производная, то либо .РИ (х) — 0, либо (х) — оо.

Из теоремы 5 следует, что функция как и функции из семейства д\, является сингулярной (т. е. (х) существует и равна 0 почти всюду в смысле меры Лебега).

Автор выражает благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. А. В. Устинову и д.ф.-м.н., профессору Н. Г. Мо-щевитину за постановку задачи и помощь в работе. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой теории чисел чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и всему коллективу кафедры теории чисел. Автор благодарит к.ф.-м.н. И. Д. Кана за постоянное внимание к работе. Данная диссертационная работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-00371-а).

13

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жабицкая, Елена Николаевна, 2010 год

1. М. О. Авдеева. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях. — Владивосток : ИПМ ДВО РАН, 2000, с. 19.

2. М.О.Авдеева, В., А. Быковский. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина. — Препринт ДВО РАН №08, Дальнаука, Владивосток, 2002.

3. М. О. Авдеева. О статистиках неполных частных конечных цепных дробей. — Функц. анализ и его прил. т. 38, Я2 2, 2004, с. 1-11.

4. В. А. Быковский. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. ФПМ, t. И, №6, 2005, с. 15-26.

5. Галочкин А. П., Нестереико Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

6. А. А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М., Наука, 1983.

7. Р. О. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса. ДАН ССР, 1928, с. 375-380.

8. Р. О. Кузьмин. К метрической теории непрерывных дробей. — Ученые записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 15, 1948, с. 163-173.111

9. В.Н.Попов. Асимптотика суммы сумм элементов непрерывных дробей чисел вида а/р. — Аналитическая теория чисел и теория функций. 2, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 91, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1979, с. 81-93

10. А.В.Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго м.оментов для числа шагов в алгоритме Евклида. — Известия РАН, т. 72, №5, 2008, с. 86-216.

11. А.В.Устинов. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка. — Матем. заметки, т. 85, №1, 2009, с. 153-156.

12. А. В. Устинов. О статистических свойствах конечных цепных дробей. — Труды по теории чисел, Зап. научн. сем. ПОМИ, 322, ПОМИ, СПб., 2005, с. 186-211.

13. А. В. Устинов. О статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей. — Фунд. и прикл. математика, т. 11, 2005, с. 195-208.

14. А.В.Устинов. Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей. — Мат. сборник, т. 198, № 6, 2007, с. 139-158.

15. Ю. Ю. Финкелынтейн. Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби. — Успехи мат. наук, 1993, т. 48, Вып. 3, с. 205-206.

16. А. Я. Хинчин. Избранные труды по теории чисел. — М., МЦНМО, 2006.

17. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М., Наука, 1978.112

18. A. H. Xhhhhh. Metrische Kettenbruechproblem. — Compos. Math. 1935, Bd. 1, pp. 361-382

19. A. R. Xhhhhh. Zur metrischen Kettenbruechtheorie. — Compos. Math. 1936, Bd.3, №2, pp. 276-285

20. J.C.Alexander, D. B.Zagier. The entropy of certain infitely convolved Bernoulli measures. — J. London Math. Soc., v. 44, 1991, pp. 121-134.

21. A. Denjoy. Sur une fonction reele de Minkowski. — J. Math. Pures Appl. v. 17, 1938, pp. 105-151.

22. J. D. Dixon. The number of steps in the Euclidean algorithm. — J. Number Theory, v. 2, 1970, pp. 414-422.

23. D. Hensley. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. — J. of Number Theory, v. 49, 1994, pp. 142-182.

24. S. R. Finch. Mathematical constants. ~ Encyclopedia Math. Appl., 94, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

25. J. P. Graber, P. Kirschenhofer, R. F. Tichy. Combinatorial and arithmetical properties of linear numeration systems. — Combinatorica v. 22, №2, 2002, pp. 245-267.

26. G.H.Hardy, E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — Oxford University Press, Oxford, 1980.

27. H. Heilbronn. On the average length of a class of finite continued fractions. — in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89-96.

28. B.Vallee. A unifying framework for the analysis of a class of Euclidean algorithms. — Proceedings of LATIN'2000, Lecture Notes in Computer Science 1776, Springer, pp. 343-354.

29. B. Vallee. Dynamical analysis of a class of Euclidean algorithms. — Theoretical computer science, v. 297, 2003, pp. 447-486.

30. B.Vallee, V. Baladi. Euclidean algorithms are gaussian. — J. Number Theory, v. 110, 2005, pp. 331-386.

31. P. Viader, J.Paradis, L. Bibiloni. A new light of Minkowski's ?(x) function. — J. Number Theory., v. 73, 1998, pp. 212 -227.

32. P. Viader, J. Paradis, L. Bibiloni. The derivative of Minkowski's ?(x) function. — J. Math. Anal, and Appl. v. 253, 2001, pp.107 125.Работы автора по теме диссертации:

33. Жабицкая Е. Н. Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби. — Матем. сб., т. 200, №8, 2009, с. 79-110.

34. Жабицкая Е. Н. On arithmetical nature of Tichy-Uitz's function. — Functiones et Approximate, Vol. 43.1 (2010), pp. 1-8.

35. Жабицкая E. H. О непрерывных дробях с минимальными остатками. — Депонирована в ВИНИТИ, №47-В2010, 24 с.