О последовательностях Штерна-Броко и функции Минковского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Душистова, Анна Александровна
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 79
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Душистова, Анна Александровна
Введение
Благодарности.
1 О производной функции Минковского ?(ж)
1.1 Основные определения и существующие результаты.
1.2 Формулировка основных результатов.
1.3 Вспомогательные обозначения и леммы.
1.4 Доказательства основных результатов.
1.4.1 Доказательство теоремы 1.1.
1.4.2 Доказательство теоремы 1.2.
1.4.3 Доказательство теоремы 1.3.
2 О разбиении отрезка [0,1] , порожденном последовательностями Броко
2.1 Основные определения и формулировки.
2.2 Некоторые обозначения и формулировка вспомогательного результата.
2.3 Вспомогательные утверждения.
2.4 Основная лемма и завершение доказательства теоремы 2.2.
2.5 Доказательство основного результата.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Геометрия многомерных диофантовых приближений2013 год, кандидат наук Герман, Олег Николаевич
Статистические свойства полиэдров Клейна и локальных минимумов решеток2014 год, кандидат наук Илларионов, Андрей Анатольевич
О приведенных регулярных непрерывных дробях2010 год, кандидат физико-математических наук Жабицкая, Елена Николаевна
Средние значения чисел Фробениуса, длин алгоритмов Евклида и характеров Дирихле2013 год, кандидат наук Фроленков, Дмитрий Андреевич
Неоднородные диофантовы приближения и выигрышные множества2020 год, кандидат наук Дьякова Наталья Александровна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О последовательностях Штерна-Броко и функции Минковского»
Одним из важнейших инструментов анализа в теории диофантовых приближений является аппарат цепных дробей. Многие вопросы, связанные со свойствами разложений в цепные дроби вещественных чисел, являются классическими. Основы современной теории цепных дробей восходят к трудам таких математиков, как JI. Эйлер, Дж. J1. Лагранж, А. Лежандр, К.Ф. Гаусс. Систематическое изложение теории цепных дробей имеется, например, в книгах О. Перрона [1] и А.Я. Хинчина [2]. Другим классическим объектом теории чисел, естественным образом связанным с цепными дробями, являются ряды Фарея. Они появились в 1816 году в работах самого Дж. Фарея [3], а в начале XX века были обнаружены связи вопросов о распределении дробей Фарея со сложными задачами аналитической теории чисел (см., например, [4]). Несколько менее известным объектом являются так называемые последовательности Штерпа-Броко, появившиеся в работах М. Штерна [5] и А. Броко
6] соответственно в 1858 и 1862 годах. Эти последовательности, естественным образом связанные с рядами Фарея, имеют также отношение к широко известной функции Г. Минковского ?(ж), рассмотренной им в 1904 году (см.
7]). Отметим, что функция Минковского ?(х) была переоткрыта А. Данжуа в 1932 году (см.[8]). Позднее функция Минковского была переоткрыта еще несколькими математиками.
Рассмотрим следующий способ построения всех неотрицательных несократимых дробей, носящий название дерева Штерна-Броко. Начнем с двух соседних дробей j и На каждом шаге между двумя соседними дробями 2 ' и ^ будем записывать их медианту
1>Р' Р + Р' ^ "7 , г q q' q + q'
Например, первый шаг добавляет одну дробь между у и
Рис. 1: Дерево Штерна-Броко. второй - ещё две дроби:
0 112 1
1' 2' 1'1' 0' и так далее.
Всю совокупность добавлений можно представить в виде бинарного дерева (см. рис. 1). В этом дереве каждая несократимая дробь встречается ровно один раз. Поддерево дерева Штерна-Броко, содержащее только рациональные числа из отрезка [0,1], называется деревом Фарея. Последнее время дерево Фарея широко используется в теории динамических систем (см., например, [9] и библиографию оттуда).
Последовательность (ряд) Фаре я J~n порядка п — это возрастающий набор рациональных чисел со знаменателями, не превосходящими п, из отрезка [0,1]. Запишем ее в виде {0 = т = 1}
Перечислим некоторые свойства последовательностей Фарея.
I. Количество элементов в последовательности Фарея Тп есть п
Fn = 1 + £>(*)> k=1 где ip(k) - функция Эйлера.
II. Для предельной функции распределения последовательностей Фарея очевидно равенство lim ---- = х. п->+оо
III. Известная теорема Дж. Франеля [10] гласит, что знаменитая гипотеза Б. Римана о нулях дзета-функции эквивалентна утверждению о том, что и 2
ELi Ф)
1/2
Ое(гГ1/2+£) (Ve>0).
Этот результат обобщался многими математиками. Здесь мы упомянем ставшую классической работу Э. Ландау [11], а также недавнюю работу С.Б. Стечкина [12].
IV. Упомянем теоремы Р. Холла [13] об асимптотиках для моментов разбиений отрезка [0,1] дробями Фарея. Пусть 0 = Хо;П < Х\^п < • • • < х^(п),п = 1 - некоторые точки в [ОД], pi>n = Xi,n — xi-i,n, i = 1,. ■, N (п) - длины интервалов [xi-itn, XitJl) . Для фиксированного [3 положим
N(n) хо,п, Xhn, . . . , XN{n)jTl) = pinг=1
Очевидно, что
Cl {х0,п, х1,п, • • ■ , XN{n),n) = СТО (х0,п, х1,п, . , xN(n),n) = N (п) для любого разбиения Xq;TI, Xi)7l,., х^(п),п- В 1970 году Р. Холл в своей работе [13] получил следующие асимптотические формулы для величины ар для последовательностей Фарея: Теорема А. . 12 1 (У2 К-Гп) = —2~2
1 , . С'(2) log п + - + 7 —
2 ' С(2) о log п где 7 - константа Эйлера, ((s) - функция Римана. Теорема В.
Для любого целого (3 > 3 о"/? = Кр—з + О log п пР \ п^1 где в — 0 при (3 > 3 и в = 1 при j3 = 3, и к о^-1)
Теорема С.
Для любого целого (3 > О
СТ-Р {Гп) = К-рп2^2 + О logn) , где к 6/i т —
7Г2 \(Р+1)2 (2(3 + 2)! J '
Отметим, что этот результат многократно обобщался и усиливался в работах самого Р. Холла [14], Р. Холла и Ж. Тененбаума [15], С. Канемицу [16], С. Канемицу, Р. Сита Рама Чандра Рао, А. Сива Рама Сарма [17] и других.
Теперь мы дадим определение последовательностей Штерна-Броко и перечислим их некоторые свойства, подобные свойствам последовательностей Фарея из пунктов I - IV выше.
Последовательностью Штерна-Броко порядка п называется возрастающий набор Fn рациональных дробей из [0,1], определяемый индуктивным образом. Пусть и
Fn+i — Fn U Qn+ъ где Qn+i - возрастающая последовательность медиант соседних дробей в Fn.
Хорошо известно, что для последовательностей Штерна-Броко порядка п сумма неполных частных в представлении в виде цепной дроби не превосходит п.
I. Количество элементов в го-ой последовательности Штерна-Броко есть
Fn = 2п~1 + 1.
II. Предельной функцией распределения последовательностей Штерна-Броко является известная функция Минковского ?(х)
Определение функции Минковского состоит в следующем:
0) = 0,?(1) = 1; зд
Рис. 2: Функция Минковского. если значение функции определено для соседних дробей в какой-либо последовательности Штерна-Броко Fn порядка п, то далее на отрезке [0,1] функция Минковского определяется по непрерывности. Как уже отмечалось, эта функция была введена Г. Минковским в [7]. Обозначение ?(х) принадлежит Минковскому. Согласно результату А. Дан-жуа [8], если известно разложение иррационального ж € [0,1] в регулярную цепную дробь х — [0; а\,., at,.], то
1 1 f-l)n+1
7(х) — —--h + V ;u 2ai1 2ai+a2"~1 2ai+-+a»1
Функция Минковского является монотонной и непрерывной на отрезке [0,1]. Согласно теореме А. Лебега она почти всюду дифференцируема. Более того, известно [18], что ее производная почти всюду равна нулю и что она мо-же принимать (в несобственном смысле) только два значения - 0 или +оо. Функция Минковского удовлетворяет условию Липшица [19].
Особо отметим, что недавно Дж. Парадиз, П. Виадер и Л. Бибилони доказали следующую теорему [20]: Теорема D.
1. Если для вещественного иррационального х £ (0,1) в разложении в цепную дробь х — [0; а\,., at,.] с кi = 1.388+ выполнено неравенство ai + . + at iim sup-< к\ t—>oo t и производная ?'(ж) существует, то = +оо.
2. Пусть /сз = 5.319+ есть корень уравнения 2^g^ — х = 0. Если для вещественного иррационального х € (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; ai,., at,.] выполнено неравенство а± + . + at 11 m mi-г ^ «з, t—>оо t и производная существует, то V(x) = 0.
Следует отметить, что согласно теореме А. Я. Хинчина [2], для почти всех вещественных чисел выполнено а\ + . + ап lim ——--= +00,
71—>0О П так что первая часть упомянутой теоремы трех авторов касается поведения производной функции Минковского на множестве меры нуль.
III. Если обозначить за т(х) функцию, обратную к функции Минковского ?(ж), и положить д(х) = (:т{х) - х)2, / g(x)dx, Jo то будет выполнено
Е(йп-^У = 2 "-Л + 0П, |<9„|<4. з=1 ^ ' где £j>n(j = 0,1,.,2П) - последовательность Штерна-Броко. Этот результат непосредственно вытекает из неравенства Коксмы ([21], стр. 157) и того факта, что полная вариация функции д(х) не превосходит 4:
IV. Н.Г. Мощевитин и А. Жиглявский в 2004 году в работе [22] для моментов разбиений отрезка [0,1] последовательностями Штерна-Броко получили следующее асимптотическое равенство: Теорема Е.
Для любого j3 > 1 (F)- 2 С(2/?~1) , п( bgn \ р { п) пР С Ш \nU3+i)W-i)/W)) ' где С (s) ~ ('-функция Римана.
Отметим, что в работе [23] доказано, что для любого /3 < 1 при достаточно больших п имеет место неравенство
Fn) > Cejn, где С и 7 - некоторые положительные константы. Многомерные обобщения имеются у Н.Г. Мощевитина и М. Виелхабера [24, 25].
В настоящей диссертации исследуются свойства функции Минковского ?(ж) и последовательностей Штерна-Броко. Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе мы уточняем процитированную выше теорему D и доказываем следующий неулучшаемый результат.
Для j € N обозначим
Aj - ---, Lj = In Aj - j • j + Vf+4 r x . In2 2
Здесь j < Xj < j + 1. Отметим, что
L2> L3> LI> L4 > 0 > L5 > L6> . (1)
Нам понадобятся константы
21nAi< „ 4L5 — ЬЬл м , , .
KI = -ьГ = ш ' К2 = = 4'401 (2)
Теорема 1.1.
1. Если для вещественного иррационального х G (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; а\,., at,.] с определенным выше, выполнено неравенство а\ + . + at limsup-< t->0О t то ?'(ж) существует и ?'(х) = +оо.
2. Для любого положительного е найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее ai + . + at Jim-^ к\ + е
0о t
U ?{х) = 0. Теорема 1.2.
1. Если для вещественного иррационального х £ (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; а\,., at,.] с определенным выше, выполнено неравенство liminf 1 ^-——- > К2, (3) t—>00 t то ?'(х) существует и ?'(ж) = 0.
2. Для любого положительного е найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее ах + . + at lim-^ к2 — £ f—юо t и ?'(ж) = +00.
Кроме этого, мы доказываем следующий результат. Теорема 1.3.
Если в разложении иррационального числа х = [0; а\,., at, ■•■] в непрерывную дробь все неполные частные dj не превосходят 4, то ?'(ж) = оо.
Отметим, что доказательство использует результат И.Д. Кана [26] о сравнении континуантов.
Во второй главе диссертации мы уточняем асимптотическое равенство Мощевитина-Жиглявского для моментов разбиения, порожденного последовательностями Броко, и доказываем следующий результат. Теорема 2.1.
Для любого /3 > 1 выполнено где Ck (/5), 1 ^ к ^ 2/? — 2 ; С*к{Р), 0 ^ к ^ Р — 2 ~ некоторые положительные константы, зависящие от (5 .
Доказательство теоремы 2.1 опирается на вспомогательный результат, который может иметь самостоятельный интерес.
Пусть А - множество всех целых векторов а — (ai,., a^), t ^ 1, a* ^ 2 и
Ai = {a = (ai,., at) е A\ai -\-----\-at = n}.
Каждому a = (a\,., at) £ А сопоставим цепную дробь [0; a\,., at] (так как целая часть всегда равна нулю, для краткости будем ее обозначать [а\,., at])
7/3 Ш = n2/3+k + I п3Р~2
1 f log^ п aj > 1, j = 1,. ,t - 1. Пусть и соответствующий континуант (а\,. , at), пустой континуант равен 1, -1-й континуант равен 0. Рассмотрим сумму с фиксированным /3 > 1 . Теорема 2.2.
Для любого (3 > 1 с некоторыми эффективными константами С'к, зависящими от (3, выполнено неравенство
1 (((20-1) 0/С(2/?-1)У\ , ^ 1 ^/log4"^
Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:
1. XIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (МГУ, 2006),
2. «Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry» (МГУ, 2006),
3. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством А.А. Карацубы, Н.Г. Мощевитина, Ю.В. Нестеренко в 2006, 2007 гг.,
4. Научно-исследовательский семинар «Тригонометрические суммы и их приложения» под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова в 2005, 2006, 2007 гг.,
5. Научно-исследовательский семинар «Математические вопросы кибернетики» под руководством О.М. Касим-Заде в 2007 г.
Благодарности
Автор хочет поблагодарить научного руководителя проф. Н.Г. Мощевитина за неоценимую помощь в подготовке диссертации, а также коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ во главе с член корр. РАН Ю.В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Проблемы теории чисел, связанные с цепными дробями или с континуантами2023 год, доктор наук Кан Игорь Давидович
Исследование симметрий периодов полиэдров Клейна, соответствующих алгебраическим решеткам2022 год, кандидат наук Тлюстангелов Ибрагим Асланович
Оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений2022 год, кандидат наук Басалов Юрий Александрович
Приложения оценок сумм Клостермана к некоторым задачам метрической и аналитической теории чисел2008 год, доктор физико-математических наук Устинов, Алексей Владимирович
О свойствах функции меры иррациональности вещественного числа2017 год, кандидат наук Шацков, Денис Олегович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Душистова, Анна Александровна, 2008 год
1. О. Perron, "Die Lehre von den Kettenbruechen."// Stuttgart (1957).
2. А.Я. Хинчин, "Цепные дроби."// M.: Физматлит (I960).
3. J. Farey, "On a Curious Property of Vulgar Fractions."// London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 47, p. 385 (1816).
4. E. Landau, "Primzahlen"// Zwei Bd., Ilnd ed., with an Appendix by Dr. Paul T. Bateman, Chelsea, New York (1953).
5. M.A. Stern, "Uber eine zahlentheoretische Funktion."// J. reine angew. Math. 55, pp. 193 220 (1858).
6. A. Brocot, "Calcul des Rouages par Approximations"// Nouvelles Methodes., Paris (1892).
7. H. Minkowski, "Zur Geometrie der Zahlen."// Gesammelte Abhandlungen vol.2 (1911), pp. 50 51.
8. A. Denjoy, "Sur quelques points de la theorie des fonctions."// CR Acad. Sci. Paris, 194 (1932), pp. 44 46.
9. J.C. Lagarias, C.P. Tresser, "A walk along the branches of the extended Farey tree."// IBM Journal of Research and Development, Vol. 39 , No.3, pp. 283 -294 (1995).
10. J. Franel, "Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers"// Gottinger Nachrichten (1924)
11. E. Landau, "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel."// Gottinger Nachrichten, pp. 202 206 (1924)
12. С.Б. Стечкин, "Ряды Фарея"// Матем. заметки, том 61, вып.1 (1997) стр. 91-113
13. R.R. Hall, "A note on Farey series."// J.London Math Soc.(2) 2 (1970), pp. 139 148.
14. R.R. Hall, "On consecutive Farey arcs II"// Acta Arith. 66 (1994), pp. 1 9.
15. R.R. Hall and G. Tenenbaum, "On consecutive Farey arcs"// Acta Arith. 44 (1984), pp. 397 405.
16. S. Kanemitsu, "On some sums involving Farey Fractions."// Math. J. Okayama Univ. 20, pp. 101 113. (1978)
17. S. Kanemitsu, R. Sita Rama Chandra Rao and A. Siva Rama Sarma, "On some sums involving Farey Fractions I."// J. Math. Soc. Japan 34 (1982), pp. 125 142
18. A. Denjoy, "Sur une fonction r elle de Minkowski"// J. Math. Pures Appl. vol. 17 (1938) pp. 105 155.
19. J.R. Kinney, "Note on a singular function of Minkowski."// Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), pp. 788 789.
20. J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni, "The derivative of Minkowski's ?(x) function."// J. Math. Anal, and Appl. 253 (2001), pp. 107 125.
21. JI. Кейперс, Г. Нидеррейтер., "Равномерное распределение последовательностей."// М.: Наука(1985)
22. N. Moshevitin, A. Zhigljavsky, "Entropies of the partitions of the unit interval generated by the Farey tree."// Acta Arithmetica 115.1 (2004), pp. 47-58.
23. M. Kessebohmer, В. O. Stratmann, "Stern-Brocot pressure and multifractional spectra in ergodic theory of numbers."// Stochastics and Dynamics, Vol.4, No. 1, (2004), pp. 77-84
24. M. Виелхабер, H. Г. Мощевитин, "Асимптотики для двумерных сетей Фарея-Броко."//Доклады Академии Наук, том 416, N1, (2007) стр. 11-14.
25. N. Moshchevitin, M. Vielhaber, "Moments for generalized Farey-Brocot partitions."// Functiones Et Approximatio, XXXVIII, Vol. 2, (2008) pp. 7-33.
26. И.Д. Кап, "Уточнение правила сравнения континуантов."// Дискретная математика, 2000, Т. 12, Вып. 3. стр. 72 75.
27. R. Salem, "On some singular monotone functions which are strictly increasing."// Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), pp. 427 439.
28. J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni, "A new light on Minkowski's ?(rc) function."// J. Number Theory., 73 (1998), pp. 212 -227.
29. O. Jenkinson, "On the density of Hausdorff dimension of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture."// Stochastics and Dynamics (2004), 4, pp. 63 76.
30. T.S. Motzkin, E.G. Straus, "Some combinatorial extremum problems."// Proc. Amer. Math. Soc. (1956), 7, pp. 1014 1021.
31. E. Lucas, "Theorie des Nombres."// Gauthiers-Villars, Paris, vol. 1 (1892), pp. 467 475, pp. 508 - 510.
32. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, "Конкретная математика. Основание информатики."// М.: Мир, (1998).Работы по теме диссертации:
33. Душистова А.А. О разбиении отрезка 0,1], порожденном последовательностями Броко. // Математический сборник, 2007, № 5, Том 198, стр. 65-94.
34. Душистова А.А., Мощевитин Н.Г. О производной функции Минковского ? (ж). // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 02.11.07 № 1018-В2007, 14 с.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.