О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Макосий, Алексей Иванович

• Макосий, Алексей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макосий, Алексей Иванович

Введение

Глава 1. О порождении конечных простых групп инволюциями

1.1. О порождении конечных простых групп тремя инволюциями

1.2. О порождении простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны

1.3. Гамильтоновы циклы графа Кэли.

1.4. О порождении простых групп инволюциями с условием, что их произведение равно единице

1.5. Группы типа Коксетера.

1.6. Гезультаты вычислений.

Глава 2. Пересечения силовских 2-подгрупп и представление каждого элемента группы произведением двух сопряженных элементов в некоторых конечных простых группах.

2.1. О представлении элементов группы произведением двух сопряженных элементов.

2.2. О пересечениях силовских 2-подгрупп.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы»

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Многие задачи теории групп и ее приложений сводятся к проблеме нахождения множества порождающих элементов, удовлетворяющих ряду определенных свойств. Для конечных простых групп и близких к ним наибольший интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности, в которых особую роль играют инволюции.

Всякая конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряженных), порождающих конечную простую неабелеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая неабелева группа, исключая группу £/з(3) [1].

С другой стороны, были описаны группы, порожденные тремя инволюциями, порядки произведений каждых двух из которых невелики. Например, если эти порядки равны 2, 3, 5, то соответствующая группа является либо знакопеременной группой либо ее инволютивным расширением. Несколько лет назад было выяснено [2-7] какие конечные простые неабелевы группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Такие тройки инволюций, если они существуют в группе, называются далее мазу-ровскими тройками инволюций этой группы.

Я. Н. Нужин [2-6] доказал, что в некоторых линейных группах размерностей, не превосходящих 4, и в знакопеременных группах AQ,A>7:Ag мазу-ровских троек инволюций не существует, а в других знакопеременных группах и простых группах лиева типа указал явно по мазуровской тройке. Ясно, что если (г,к) — мазуровская тройка инволюций, причем Ц = ^'г, то тройки инволюций вида (¿7, г, к) и {13,], к) также являются мазуровскими.

В работе [7] показано, что среди спорадических групп, только группы Матье Мц, М22, М23 и группа Маклафлина МсЬ не обладают мазуровскими тройками инволюций. Вместе с тем, несколько ранее отсутствие мазуровских троек инволюций в этих группах было показано в работе [8], положившей начало циклу работ по следующей задаче:

В1. (А. В. Тимофеенко). Указать алгоритмы поиска мазуровских троек инволюций в конечных простых группах и создать электронный атлас таких троек.

Если (г, к) — мазуровская тройка инволюций конечной простой группы С? и \гЛ = 2, \1к\ — р, Ук\ = д, то определим С2(С) как множество всех таких упорядоченных пар чисел (р, д). Мы не различаем две мазуровские тройки инволюций, если соответствующие числа р и д равны.

Группу типа Коксетера со следующим графом Коксетера прир, д > 3, р . " . а с Ь

Д. Докович предложил называть ТС{р^)~группой. Вопрос, какие конечные простые неабелевы группы являются ТС(р, д)-группами, равносилен вопросу о существовании мазуровских троек инволюций в конечных простых группах. В работе [8] поставлен более сильный вопрос.

В2. (Я. Н. Нужин). Какие конечные простые группы являютсяТС{р) д)-группами при фиксированныхр ид?

Особый интерес представляют частные случаи для малыхр и д, а именно, когда (р, д) = (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Известно, что линейная группа ¿2(11) является ТС(5, 5)-группой и ТС{5, 6)-группой, а знакопеременная группа А5 — ТС{5, 5)-группой. Известно [9] также, что если (р, д) е {(3,3), (3,4), (3,6), (4,4)}, то ТС(р, д)-группа не проста. Построив (под)множество

С2(С), мы получаем ответ на вопрос о принадлежности группы (У классу

ТС(р,д).

Если группа порождена тремя инволюциями г, к, то, очевидно, что произведение элементов Цккуг = 1, а если ц = то единице равно произведение пяти инволюций (г; — одна из них), порождающих эту группу. И тогда возникает следующий вопрос («Коуровская тетрадь», вопрос 14.69):

ВЗ. (Я. Н. Нужин). Для каэюдой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.

1) Произведение порождающих инволюций равно 1.

2) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Все порооюдающие инволюции сопряжены.

3) (Ма11е-Зах1-Шегде1) Выполняются одновременно свойства 1) и 2).

4) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.

С точки зрения строения порождающего множества конечной простой группы нужно выделить гипотезу Дж. Томпсона, занесенную В. Д. Мазуровым в «Коуровскую тетрадь» как вопрос 9.24.

В4. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая неабелева группа (7 представима в виде (? = СС, где С — некоторый класс сопряженных элементов группы

Возможности вычислительных методов были эффективно использованы в данной работе при изучении парных силовских пересечений в конечных почти простых группах. Важным инструментом в такого рода исследованиях является параметр Пусть — конечная группа с силовскойр-подгруппой Р и условием ОДС) = 1, где 0Р(0) обозначает наибольшую нормальную ^-подгруппу группы Р. Если X — {Р9 | Р9 П Р = 1 ,д Е С?}, то, очевидно, что подгруппа Р действует сопряжениями на множестве X. Через lp(G) обозначим число орбит при этом действии.

В5. (В. И. Зенков). Чему равно значение l2(Aut(G)) для групп Шевалле малых рангов над полем порядка не превосходящего 9 ?

Как заметил В. И. Зенков изучение групп над полями порядков не более 9 является базисным при рассмотрении общего случая. Он же предложил автору использовать компьютерные вычисления для решения данного вопроса.

Основные результаты. Основные результаты диссертации связаны с решением вопросов В1, В2, В5 и состоят в следующем: указан явный вид некоторых мазуровских троек инволюций спорадической группы Бэби В; создан комбинаторный алгоритм поиска мазуровских троек инволюций в группе, позволяющий, с точностью до сопряженности, указать все такие тройки. Этот алгоритм реализован для последовательного и параллельного варианта компьютерных вычислений; получено точное значение, либо нижняя оценка числа орбит при действии силовской 2-подгруппы сопряжениями на множестве силовских 2-подгрупп, тривиально пересекающихся с ней в группах автоморфизмов ряда групп лиева типа.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Диссертационная работа носит теоретический характер.

Методы исследования. Основным инструментом изучения групп в представляемой работе являются компьютерные вычисления с помощью системы компьютерной алгебры GAP [10]. Применяются методы параллельного программирования. Специфика инструментария позволяет конструктивно отвечать на поставленные вопросы, что весьма важно для приложений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по математике и механике, посвященной 125-летию ТГУ и 55-летию ММФ (Томск, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конI ференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов, 2004 г.), Межрегиональной школе-семинаре «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2004 и 2005 гг.), Международной алгебраической конференции по теории групп (Екатеринбург, 2005 г.), посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеври-на, Международном российско-китайском семинаре «Алгебра и логика» (Иркутск, 2007 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 2009 г.), Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010 г.), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009 и 2010 гг.), Красноярском алгебраическом семинаре.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [11-25], в том числе в статье [20], входящей в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы (43 наименования). Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе. Объем диссертации 83 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Макосий, Алексей Иванович

Заключение

Немногим более пятидесяти лет назад в исследовании по теории групп были использованы компьютеры. С этого момента, когда впервые была продемонстрирована мощь компьютеров в алгебраических исследованиях, компьютерная индустрия существенно поменяла свой облик и возможности. Наряду с метаморфозой в технологии, аналогичная параллельно имела место и в алгебре. Произошла разительная перемена в способах и методах исследования. С одной стороны компьютерные вычисления облегчают математическое открытие, а с другой стороны они могут являться неотъемлемой частью доказательства теорем.

И если вначале опыт применения вычислений в каждом случае был уникальным, то сейчас этот процесс «индустриализирован» компьютерными системами GAP и MAGMA. Их широкое использование как инструментов исследования алгебраических и комбинаторных структур в свою очередь поставило множество алгоритмических и иных вопросов. Успех этих систем основан частично на принятии алгебраистами новых «алгебраических» компьютерных языков, на которых они были написаны. Развитие этих языков происходит в том числе и под воздействием практических исследований.

Представляется несомненным, что в ближайшее время роль компьютерных вычислений в алгебраических исследованиях будет возрастать. Экстраполируя ситуацию по аналогии с развитием самой теории групп следует ожидать ярких проявлений такого роста и становления этого направления.

Компьютерные вычисления применяются чаще всего для проверки выполнения каких-либо условий на определенном множестве объектов группы. Природа этих условий и проверок определяется общими рассуждениями и не сводится к использованию нескольких стандартных операторов системы компьютерной алгебры. И здесь важно, что мы стремимся получить легко реализуемый в смысле создания программы и ее выполнения алгоритм. Тем не менее, в исследуемых в данной работе задачах применяются методы параллельного программирования и вычисления на суперкомпьютерах. Использовались суперкомпьютеры Института вычислительного моделирования (г.Красноярск), ИММ Уро РАН (г.Екатеринбург) и самый мощный в России кластер ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (г.Москва). Общее время расчетов могло достигать нескольких месяцев непрерывной работы сотен машинных процессоров.

Очень важным и интересным аспектом компьютерных доказательств является то, что после получения результата часто его можно проверить без использования компьютеров или переформулировать результат, обойдясь при его доказательстве, без вычислений или минимизируя их использование. В любом случае автор, в своих исследованиях придерживался того, что тексты программ и результаты вычислений, если их невозможно (по соображениям объема) разместить в тексте публикации, должны быть доступны через Интернет. Это позволяет достичь прозрачности доказательства и предоставляет научному сообществу не только результаты, но и методы, технологию их получения. В продолжение этого можно сказать, что приведенные в приложении тексты программ при необходимости легко могут быть интегрированы в систему GAP.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макосий, Алексей Иванович, 2011 год

1. Di Martino L., Tamburini M. C. 2-generation of finite simple groups and some related topics // Generators and Relations in Groups and Geometries, Ed. by A. B. et al. Netherlands: Kluver Academic Publishers, 1991.

2. Нужин Я. H. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки. 1990. Т. 51, № 4. С. 91-95.

3. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 192-206.

4. Нужин Я. Н. Порождающие элементы простых групп и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Красноярский государственный технический университет. Красноярск, 1996. — октябрь.

5. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 77-96.

6. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 4. С. 422-440.

7. Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн. 2003. № 1. С. 193-198.

8. Нужин Я. Н., Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических групп. Красноярск: ИВМ СО РАН. 20 с. препринт №13-99.

9. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Д. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.

10. The GAP Group. The GAP Group, GAP Groups, Algorithms, and Programming, Version 4-4-1 fy 2008. URL: http://www.gap-system.org.

11. Макосий А. И. К вопросу о нахождении мазуровских троек инволюций в спорадических группах // Распределённые и кластерные вычисления. Избранные материалы второй школы-семинара. Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2003. С. 167-172.

12. Макосий А. И. Порождающие четверки инволюций группы PSU3(9) // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике. Томск: ТГУ,2003. С. 28-30.

13. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. Мазуровские тройки группы Бэби Монстр // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». Иркутск: Иркут. гос. пед. ун-та, 2007. С. 70-72.

14. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. 2008. Т. 20. С. 87-93.

15. Makosii A. I., Timofeenko A. V. On Mazurov triples of the sporadic group В and Hamiltonian cycles of the Cayley graph // Discrete Mathematics and Applications. 2008. T. 18, № 2. C. 199-205.

16. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в конечных группах, I // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11, № 4. С. 16-21.

17. Зенков В. И., Макосий А. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе Aiii(£4(9)) // Алгебра, логика и приложения. Тез. докл., 19-25 июля 2010 г. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2010. С. 41-42.

18. Conway J. Н., Curtis R. Т., Norton S. P. et al. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 pp.

19. Wilson R., Parker R. A., Bray J. N. ATLAS of Group Representations. http://web.mat.bham.ac.Uk/atlas/v2.0.

20. Ward J. M. Generation of simple groups by conjugate involutions: Thesis submitted to The University of London for the degree of Doctor of Philosophy / Queen Mary college, University of London. London, 2009. — May.

21. Cameron P. J. Permutation Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. 232 pp.

22. Passman D. Permutation Groups. Mathematics lecture note series. W. A. Benjamin: Cambridge University Press, 1968. 310 pp.

23. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.

24. Wilson R. A. The maximal subgroups of the Baby Monster.I // Journal of Algebra. 1999. Vol. 211, no. 1. P. 1-14.

25. Pak I., Radoicic R. Hamiltonian paths in Cayley graphs // Discrete Mathematics and Applications. 2009. Vol. 309. Pp. 5501-5508.

26. Нужин Я. H., Тимофеенко И. А. Порождающие тройки инволюций линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11, № 4. С. 59-62.

27. Тимофеенко А. В. Простые конечные спорадические группы, порождённые тремя инволюциями. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860.

28. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций в спорадических группах. 2001. —март. Рукопись деп. ред. Сиб.матем.журн. в ВИНИТИ 19.03.01 №693-В2001.

29. Timofeenko А. V. Generating triples of involutions of large sporadic groups // Discrete Mathematics and Applications. 2003. Vol. 13, no. 3. P. 291-300.

30. Arad Z., Herzog M. Products of conjugacy classes in groups. Lecture notes in math. Berlin: Springer-Verlag, 1985.

31. Neubuser J., Pahlings H., Cleuvers E. Each sporadic finasigG has a class С such that CC = G // Abstracts AMS. 1984. Vol. 34, no. 6.

32. Kolesnikov S. G., Nuzhin J. N. On strong reality of finite simple groups // Acta Appl. Math. 2005. Vol. 85, no. 1-3. P. 195-203.

33. Ellers E. W., Gordeev N. On the conjectures of J. Thompson and O. Ore // Transactions of the american mathematical society. 1998. no. 9. P. 3657-3671.

34. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 1. С. 1-92.

35. Зенков В. И., Мазуров В. Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424-432.