Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Маслова, Наталья Владимировна

• Маслова, Наталья Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маслова, Наталья Владимировна

Введение

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.1. Предварительные сведения

§ 1.2. Теоретико-числовые определения, обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.3. Теоретико-групповые вспомогательные результаты

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах

§ 2.1.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых линейных группах

§ 2.2.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых унитарных группах

§ 2.3.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых симплекти-ческих группах

§ 2.4. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах нечетной степени

§ 2.5. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах четной степени

Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах

§ 3.1. Случай конечного простого линейного, унитарного или сим-плектического цоколя

§ 3.2. Случай конечного простого ортогонального цоколя

§ 3.3. Случай знакопеременного цоколя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах»

В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа и 26 спорадических групп (см., например, [3]).

Пусть С? — конечная группа, р — простое число и [С|р — наибольшая степень числа р, делящая |С?]. Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа С содержит подгруппу порядка, равного |С|Р, и все такие подгруппы сопряжены в С. Такие подгруппы называются силовскими р-подгруппами группы С. В 1963 г. Фейт и Томпсон |17| доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда. Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.

Подгруппа конечной группы С, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы С и обозначается через ¿¡ос(Сг). Конечная группа С называется почти простой, если ее цоколь Ь есть неабелева простая группа, т.е. Ь < С < АЫ(Ь) при отождествлении Ь с 1пп(Ь).

В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению и представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью се ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация ие даст ответа.

Максимальные подгруппы играю']' большую роль в теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).

К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].

Пусть С одна из групп Ап или Зп. действующих естественно на множестве I = {1,. . ,п}, где п > 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О'Нэна-Скотта [32] у тверждает, что для любой подгруппы Н из С, не содержащей Ап, либо Н содержится в некотором члене определенного семейства Л{С) подгрупп из О (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо Н принадлежит множеству 5 всех почти простых подгрупп из С, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13] и М. Либека, Ч. Прэ-гер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была иснользована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в С: если II е А(С) и то либо Н максимальна в АпН, либо Н < К < АпН, где (Н, К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из максимальны в

Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О'Нэна-Скотта.

Пусть Ь — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем Р^ порядка (/, где д — степень простого числа р. Пусть X = РГЬ(У) — полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая Ь. Тогда Ь < X < АиЬ(Ь), причем X = АиЬ(Ь), за исключением случаев, когда Ь = Р5ЬП((?), Р8щ(д) (д четно) или РГ^ (</). В случае, когда Ь < С < X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство С(С) естественных геометрически определенных подгрупп группы С, которое было разбито им па восемь классов Сг(С) (1 < г < 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если Ь < (3 < X, то для любой подгруппы II из С, не содержащей Ь, либо Н содержится в некотором члене семейства С (С), либо Н е ¿>, где 5 — множество всех почти простых подгрупп К из С таких, что (проективное) представление подгруппы яос(К) на V абсолютно неприводи-мо и не реализуется над собственным подполом поля Рч. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда Ь < (7 < Аи1{Ь) и С % X. Для групп Ь = Р8Ьп{д) или Р5/;4((7) (д четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах С с цоколем, изоморфным Р^8ь(д). П. Клейдман и М. Либек |23|, используя ККПГ, дли каждой почти простой классической группы С определили: теоретико-групповое строение каждого члена семейства С (С): сопряженность в С членов семейства С(С)\ при степени ,чос((7), большей 12, максимальные элементы семейства С (С) и для немаксимальных элементов Н Е С{С) их максимальные надгруппы в (?.

Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева но подгруппам конечных групп Шевалле [5]).

Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдмапом (см. [23, теор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше И был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. |19|), такой список еегь и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых иод руководством Д. Холта заканчивает ревичшо результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.

Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как Сг{(¡),

2С?2((?); ^ОДд), "^(д)', ^(2), Еъ{2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. |5,1С, 21, 22, 24, 29, 30, 33|). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зсйца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева тина.

Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, [4,6,8,9,15]). Такими иод-группами являются сами силовские 2-подгруппы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы пееди-пичных 2-подгрупп, нормальных в некоторой силовской 2-подгруппе, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.

М. Либском и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18| был получен одни из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. |12ДС|). Для каждой конечной почти простой группы G, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [18,27] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в G. Однако в случае, когда цоколь группы G классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе G. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.

Если цоколь L конечной группы G является конечной простой классической группой, то подгруппы L П Н, соответствующие подгруппам Н, возникающим в теореме Либека-Саксла-Кантора (см. гл. 1, §1), как правило, содержатся в классах Ашбахсра С\, С<>, группы L. Подгруппы нечетного индекса в знакопеременных и симметрических группах, возникающие в теореме Либека-Саксла-Кан тора, за несколькими исключениями, интрапзитивны или импримитивны.

В теореме Либека-Саксла-Кантора если характеристика поля четна и Н — максимальная подгруппа нечетного индекса в такой группе G, то L П Н — параболическая подгруппа в soc(G) (см. [18,27]). Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. |5[). Поэтому для классических групп мы можем рассматривать 'только случай нечетной характеристики поля.

В теореме Либека-Саксла-Кантора в случае классического цоколя L также возможен случай, когда L П Я = L, но для описания всех таких подгрупп Н достаточно рассмотреть группу Out(L) , которая хорошо изучена (см., например, [14]), поэтому далее можно предполагать, что Lfl Н < L.

В настоящий диссертации завершена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах |31|.

Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы ■теории чисел.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [36-50].

Результаты диссертации в период с 2007 по 2010 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007 и Нальчик, 2009), Международных пгколах-копферепциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции " Группы Сент-Эндрюс - 2009" (Великобритания, г. Бат, 2009), Международной школс-копферепции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей" (Новосибирск, 2010), Международной конференции "Группы и их действия - 2010" (Польша, г. Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [40-50].

Результаты работы докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), на городском алгебраическом семинаре "Алгебраические системы" (Екатеринбург, 2008 и 2009) и па алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 - 2010).

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 50 наименований. Работа изложена на 63 страницах. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Основные результаты диссертации сформулированы в виде теорем 1-3. Вспомогательные утверждения (леммы) имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — помер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Более важные утверждения сформулированы в виде предложений. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — помер предложения в главе.