Порождающие мультиплеты инволюций линейных групп над кольцом целых чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Тимофеенко Иван Алексеевич

• Тимофеенко Иван Алексеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Тимофеенко Иван Алексеевич

над кольцом целых чисел Ъ

1.3. Линейные группы размерности

над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + Ъг

2. Группы Шевалле исключительных типов над кольцом целых чисел

2.1. Обозначения и предварительные результаты

2.2. Порождаемость группы Шевалле С2(Ъ) тремя инволюциями,

две из которых перестановочны

2.3. Порождаемость групп Шевалле Е/(Ъ) тремя инволюциями,

две из которых перестановочны

3. Группы БЬб(Ъ) и БЬю(р)

3.1. Обозначения и известные результаты

3.2. Порождаемость группы БЬ6(Ъ) тремя инволюциями

3.3. Порождаемость группы SLlo(p) тремя инволюциями

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программа для Е/(Ъ)

Введение

Постановка задачи и актуальность темы исследования

Диссертация посвящена нахождению порождающих множеств инволюций с различными свойствами для матричных групп и групп Шевале над кольцом целых чисел и кольцом целых гаусовых чисел.

Вопрос о минимальном количестве и порядках порождающих элементов группы постоянно вызывал большой интерес и изучался для разнообразных классов групп: конечных и бесконечных, абстрактных, групп подстановок, матричных групп и других. Порождающие тройки инволюций конечных групп используются при нахождении гамильтоновых циклов в графах Кели [27], при описании групп автоморфизмов карт на плоскости [22], а также при решении обратной задачи Галуа [2].

Еще в 1890 году Ф. Клейн и Р. Фрике доказали [21], что гомоморфные образы модулярной группы PSL2(Ъ), за исключением трех циклических групп Ъ1, Ъ2, Ъз, — это в точности (2,3)-порожденные группы (то есть группы порожденные двумя элементами порядка 2 и 3). Этим в определенной степени объясняется важность изучения (2, 3)-порожденных групп.

Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами. Например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами (см. [5, 6, 19, 23]). В обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств.

Л. Диксон в 1901 г. доказал, что для любого нечетного д = 9, являющегося степенью простого числа, группа SL2(q) порождается двумя матрицами

если Ь порождает основное поле [20].

В XX веке вопрос о (2,3)-порождении удалось положительно решить

для многих конечных простых групп и классических матричных групп над конечно порожденными коммутативными кольцами.

Еще в 1901г. Дж. Миллер доказал в работе [25], что знакопеременные группы Ап, за исключением Л\, А2, А3, Аб, А7, А8, могут быть порождены инволюцией а и элементом в порядка 3 . Для простых знакопеременных групп, то есть групп Ап при п > 5, из (2,3) — следует и порождаемость тремя инволюциями так как (а,ав ,ав) < (а, в). В действительности, этот факт справедлив для любой конечной неабелевой простой группы.

Вопрос о (2,3)-порождаемости групп ОЬп(Ъ), БЬп(Ъ) и их фактор-групп активно исследовался М. Всемирновым [34, 35, 36] и М. Тамбурини [29, 30, 31]. В результате удалось показать [33], что среди вышеупомянутых групп (2, 3)-порожденными группами являются только группы

• РБЬ2(Ъ))

• РБЬп(Ж), РОЬп(Ж), БЬп(Ъ), GLn(Z), если п >

Отметим, что в общем случае из (2, 3)-порождаемости конкретной группы не следует ее порождаемость тремя инволюциями.

В 1980 году В.Д. Мазуров поставил следующий вопрос [10, в. 7.30]

Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос 7.30 дал Я. Н. Нужин [12],[13],[14], [15], [26]. Спорадические группы рассматривались рядом авторов различными методами см. работу В.Д. Мазурова [9], где единообразно методами теории характеров получен ответ на вопрос 7.30 для всех спорадических групп. Ниже приведен ответ на вопрос

Конечная простая группа С порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, тогда и только тогда, когда она отлична от следующих групп:

1) знакопеременные группы:

Аб, Ат, А8;

2) группы лиева типа над полем характеристики 2:

РБЬзЫ), РБиз(д), РБЫя), РБи4(д), РЗД>(22);

3) группы лиева типа над полем нечетной характеристики: PSL3(q), PSU(q), PSL2(7), PSL2(9), PSp4(3), PSU4(32) ;

4) спорадические группы:

M11, M22, M23, McL.

В 1999 году Я.Н. Нужин записал в Коуровскую тетрадь следующий вопрос вопрос [10, в. 14.69].

Для каждой простой неабелевой группы G найти минимум числа (сопряженных) порождающих инволюций n(G) (соответственно nc(G)) таких, что их произведение равно

В диссертации Дж. М. Уорда 2009 года [37] (см. так же [10, примечания к вопросу 14.69]) число nc(G) найдено для знакопеременных, спорадических групп и для групп PSLn(q) при нечетном q, а для n > 4 при дополнительном ограничении q = 9, кроме того, для n = 6 при q ф 3 (mod 4).

Сформулируем результаты Уорда.

Число nc равно 6 для групп Мц, М12, M22, M23, McL, для остальных спорадических групп оно равно

Число nc равно 6 для групп A7, A8, A12, для остальных знакопеременных групп An при n > 5 оно равно

Число n(G) среди знакопеременных и спорадических групп количество групп, для которых число nc(G) равно 6, увеличилось на два; это группы A12 и МУ2.

Число nc равно 5 для групп PSLn(q) при n > 4, n = 6 и нечетном

q =

Если q нечетно, то nc(PSL3(q)) = 5 при n ф 1 (mod 3) и nc(PSL3(q)) = 6 при n ф 0 или 2 (mod 3).

В группах PSL2(q) один класс сопряженных инволюций, поэтому для них n(G) = nc(G) = 5 при q = 7, 9, а если q = 7, 9, то n(G) = nc(G) = 6 в силу изоморфизмов PSL2(7) ~ PSL3(2), PSL2(9) ~ A6 и указанных выше результатов.

В 2001 г. Т.В. Моисеенкова доказала [4]: если С = РБЬз(2т), РБиг(22™), то п(С) = пс(С) = 6. В работе [11] Т.В. Моисеенкова также нашла число п(С) для групп РБЬп(Ъ), БЬп(Ъ). Позже Я.Н. Нужин поставил вопрос [10, в. 15.67]

Какие присоединённые группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

Для групп Шевалле классических типов по вопросу 15.67 ранее были получены следующие результаты.

В работе [32] М. С. Тамбурини и П. Цукка установлено, что специальная линейная группа БЬп(Ъ) над кольцом целых чисел Ъ при п > 14 порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Следовательно, и проективная специальная линейная группа РБЬп(Ъ) при п > 14 обладает такой тройкой порождающих инволюций. Более того, Я. Н. Нужин доказал, что РБЬп(Ъ) порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, тогда и только тогда, когда п > 5 [16]. На самом деле, в этой работе при п = 4к + 2 порождающие тройки инволюций выбирались из БЬп(Ъ), поэтому для группы БЬп(Ъ) ответ на аналог вопроса 15.67 неизвестен только для п = 6,10.

В силу гомоморфизма РБрп(Ъ) ^ РБрп(Ър) из непорождаемости тремя инволюциями, две из которых перестановочны, проективной симплекти-ческой группы РБр4(Ъ3) [15] следует непорождаемость тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для группы РБр4(Ъ), которая изоморфна присоединенной группе Шевалле В2(Ъ). Отметим также, что в работах [8, 24] установлена (2, 2 х 2)-порождаемость групп РБЬп(Ъ + Ъг), при п >

Основные результаты диссертации

а) Решены задачи о порождаемости тремя инволюциями и тремя инволюциями, две из которых перестановочны, для линейных групп степени два СЬ2, БЬ2, РСЬ2, РБЬ2 над кольцами целых чисел Ъ и целых гауссовых чисел Ъ+Ъг, исключая группу РБЬ2(Ъ+Ш). Для групп СЬ2(Ъ), РСЬ2(Ъ) найдено минимальное число п(С) порождающих группы С инволюций, произведение которых равно

б) Доказана порождаемость тремя инволюциями, две из которых перестановочны, групп Шевалле типа G2, Еб, Е7, Eg над кольцом целых чисел. Все инволюции найдены в явном виде.

Методы исследования

В работе используются методы линейной алгебры, методы теории групп. Для проверки выкладок, вычисляемых в группах Шевалле применялась программа, составленная автором в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Новизна и научная значимость работы

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами. Результаты работы [40] (Теоремы 1) получены в неразделимом соавторстве с научным руководителем Я. Н. Ну-жиным.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], две из которых [38, 39], входят в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порождающие мультиплеты инволюций линейных групп над кольцом целых чисел»

Апробация работы

Результаты работы докладывались на:

• 43-й Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики и ее приложений" (Екатеринбург, 2012)

• Второй ежегодной конференции для обмена математическими идеями (Iowa, USA, 2013)

• Международной научной конференции "Алгебра и Логика, Теория и Приложения" (Красноярск, 2013)

• 45-ой Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики и ее приложений" (Екатеринбург, 2014)

• Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казань, 2016)

• Международной конференции, посвященной 70-летию со дня рождения В.М. Левчука "Алгебра и логика: теория и приложения" (Красноярск, 2016)

• Международной конференции серии "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2016)

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Я. Н. Нужину за поставленные задачи, неоценимую помощь в работе и всестороннюю поддержку. Автор благодарен всему коллективу кафедры алгебры и математической логики ИМиФИ СФУ за сотрудничество и атмосферу, в которой была выполнена данная работа.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Она изложена на 108 страницах, включает 8 таблиц и 4 рисунка. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Основные результаты сформулированы в виде теорем и имеют сквозную нумерацию. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения) имеют тройную нумерацию: первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа в главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Формулы имеют двойную нумерацию: номер главы и номер формулы внутри главы. Список литературы содержит 47 наименований. Работы автора по теме диссертации приведены отдельным списком.

Содержание диссертации

Глава 1 содержит исследование следующих задач для линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел Ъ:

А) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями?

Б) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

В) Каково минимальное число п(С) порождающих инволюций группы С, произведение которых равно 1.

Кроме того, исследованы вопросы А), Б) для линейных групп размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + Ш. В параграфе 1.1 приведены предварительные сведения, известные результаты и используемые обозначения. Далее в параграфе 1.2 представлено решение задач А), Б), В) для групп БЬ2, РБЬ2, СЬ2, РСЬ2 над кольцом целых чисел Ъ.

Теорема 1. Группа СЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями, но не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, и(СЬ2 (Ъ)) = 6. Группа РСЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, п(РСЬ2(Ъ)) = 5. Группы БЬ2(Ъ) и РБЬ2(Ъ) не порождаются никаким множеством инволюций.

Результаты теоремы 1 представлены в таблице 1, где + (—) означает положительное (отрицательное) решение соответствующей задачи. В случае положительного ответа инволюции найдены явно.

Таблица 1 — Ответы А), Б), В)

БЬ2 (Ъ) РБЬ2(Ъ) СР2(Ъ) РСР2 (Ъ)

А) (2, 2, 2) — — + +

Б) (2 х 2,2) — — — +

В) п(С) 0 0 6 5

Теорема 1 получена в неразделимом соавторстве с научным руководителем. Её доказательство существенно опирается на следующую лемму, которая представляет и самостоятельный интерес

Лемма 1.2.7. Любая подгруппа М, порожденная тремя нецентральными инволюциями из группы СЬ2(С) над полем комплексных чисел С, две из которых перестановочны, имеет следующую структуру:

М = {^,6) • {а, в),

где

а2 = в2 = 72 = 62 = (ав )2 = а^аб = в!в6 = 1.

Более того, группа М либо конечна, либо М = X (а, в).

В разделе 1.3 решены задачи А) и Б) для линейных групп размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел. Решения задачи А) для групп БЬ2(Ъ + Ъг), СЬ2(Ъ + Ъг), РСЬ2(Ъ + Ъг) представлены соответственно предложениями 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3. Задача Б) решена для групп БЬ2(Ъ + Ъг), РБЬ2(Ъ + Ъг), СЬ2(Ъ + Ъг), РСЬ2(Ъ + Ъг) в предложениях 1.3.1, 1.3.7, 1.3.2, 1.3.6 соответственно. В предложении 1.3.8 показано, что группа БЬ±(Ъ + Ъг) порождается тремя инволюциями.

Доказательство этих результатов опирается на аналог леммы 1.2.7 для группы РСЬ2(Ъ + Ъг) — лемму 1.3.5.

Глава 2 содержит решение следующего вопроса для групп Шевалле исключительных типов С2(Ъ), Еб(Ъ), Е7(Ъ), Е8(Ъ).

Г) Какие присоединённые группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

В параграфе 2.1 представлены необходимые определения и вспомогательные результаты. Раздел 2.2 содержит доказательство факта, который устанавливает

Теорема 2. Группа Шевалле С2(Ъ) над кольцом целых чисел Ъ порождается инволюциями

а = ха(1)Нь(—1), в = Х—ь(1)На( — 1), 7 = папза+2Ь^ь( —1),

первые две из которых перестановочны. В разделе 2.3 доказана

Теорема 3. Присоединенные группы Шевалле типа Е/ над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Порождающие инволюции групп Е/ (Ъ) над кольцом целых чисел представлены в таблице 3, а1 и а2 перестановочны.

Таблица 3 — Инволюции в Ei (Z)

Группа a1 «2 аз

Eo (Z) Xn (1) xr 1+Г2 (1) hr'2 Пг2 Пг^ rn,rQ ^^Гз 'П^г i ^^гЗ Пг5 hr2 hr4 h'rQ

Ej (Z) Xn (1) xr 1+Г2 (1) hr'2 Пг2 Пг^ 'n'rQ hr3 hr5 hr7 r^hr i ^^гЗ 'r5 'г7 hrQ

Eg (Z) Xn (1) xr 1+Г2 (1) hr'2 nr2 nr4 nrQ nr8 hr5 hr i 'П^П ^^гз 'г5 'г7 hrQ h'r2

Для выбора инволюций в теоремах 2 и 3 используется метод, разработанный Я. Н. Нужиным для нахождения порождающих троек инволюций в простых группах лиева типа над конечными полями [12].

В главе 3 исследован вопрос А) для групп SLo (Z) и SL10(p), где p — простое число. Предложения 3.2.1 и 3.3.1 указывают явно порождающие тройки инволюций групп SL6 (Z) и соответственно SLio(p).

В приложении содержится с комментариями код программы на языке Wolfram Mathematica. Данная программа использовалась для проверки доказательства теоремы 3.

1. Линейные группы малых размерностей над

кольцами

Эта глава содержит исследование следующих задач для линейных групп размерности 2 над кольцом целых чисел Ъ.

A) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями?

Б) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

B) Каково минимальное число порождающих инволюций п(С) группы С, произведение которых равно 1?

Кроме того, исследованы вопросы А), Б) для линейных групп размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + Ъг. В разделе 1.1 приведены предварительные сведения, известные результаты и используемые обозначения. Далее в разделе 1.2 представлено решение задач А), Б), В) для групп БЬ2, РБЬ2, СЬ2, РСЬ2 над кольцом целых чисел Ъ.

§ 1.1. Обозначения и известные результаты

Пусть С - группа. Элемент а € С такой, что а = 1 и а2 = 1 будем называть инволюцией.

Будем писать С = {М), где М С С, когда группа С порождается элементами множества М:

С = [а^ ... ат|аг € М, ег = ±1,т = 1, 2,...}.

Пусть п(С) - минимальное число порождающих группу С инволюций, произведение которых равно 1.

За пс(С) обозначим минимальное число сопряженных в С и порождающих С инволюций, произведение которых равно 1.

Очевидно, п(С) < пс(С) и если группа порождается тремя (сопряженными) инволюциями, то п(С) < 6 (соответственно пс(С) < 6). С другой

стороны, из простоты группы С легко следует, что п(С) > 5. Известно, что любая конечная простая группа, за исключением РБЬ3(9) порождается тремя инволюциями. Таким образом, для любой конечной простой неабелевой группы С

5 < п(С) < 6, при С = РОД (9).

Действительно, если группа С порождается тремя (сопряженными) инволюциями а, в, 7, такими, что ав = ва, то в качестве пятерки порождающих инволюций, произведение которых равно 1, можно взять следующие ав,7,7,в,а, и тогда п(С) = 5 (соответственно пс(С) = 5).

Пусть К - коммутативное кольцо с единицей. Далее, как обычно, СЬп(К) — группа обратимых (п х п)-матриц над кольцом К, БЬп(К) — ее подгруппа матриц с определителем, равным 1, РСЬп(К) и РБЬп(К) — соответственно их фактор-группы по подгруппам скалярных матриц. При К = СЕ(д), указанные выше группы обозначаются более компактно, а именно СЬп(д),БЬп(д) и т.д.

Группу С будем называть (2, 2, 2)-порожденной ((2х2, 2)-порожденной), если она порождается тремя инволюциями (соответственно тремя инволюциями, две из которых перестановочны).

Через (к), к € Ъ, г = 3, будем обозначать трансвекции, т. е. матрицы Еп + квц, где Еп — единичная (п х п)-матрица, а ег^ — матричные единицы.

Следующая лемма хорошо известна (см., например, [17, с. 107]).

Лемма 1.1.1. Группа БЬп(Ъ) порождается трансвекциями (1) г = 3, г,3 = 1 2,...п.

М. Тамбурини и П. Цука [32] показали, что группа БЬп(Ъ) при п > 14 является (2 х 2, 2)-порожденной. Я. Н. Нужин [16] доказал, что группа РБЬп(Ъ) тогда и только тогда (2 х 2, 2)-порождена, когда п > 5. В [1] методом работы [16] установлен аналогичный результат и для группы СЬп(Ъ). Порождающие множества инволюций линейных групп размерности 3 и 4 рассматривались в работе [11].

§ 1.2. Линейные группы размерности 2 над кольцом целых чисел Ж

В данном разделе для каждой группы БЬ2, РБЬ2, СЬ2, РСЬ2 над кольцом целых чисел Ж рассматриваются следующие задачи.

A) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями?

Б) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

B) Каково минимальное число порождающих инволюций п(С) группы С, произведение которых равно 1?

В группе БЬ2(Ъ) единственная инволюция, а группа РБЬ2(Ъ) является свободным произведением двух циклических групп порядка 2 и 3 [21]. Поэтому эти группы не порождаются никаким множеством инволюций и для них вопросы А), Б), В) закрыты.

Для группы С = РСЬ2(Ъ) получен положительный ответ на вопрос В) и доказано, что п(С) = 5.

Для группы С = СЬ2(Ъ) на вопрос А) получен положительный ответ, а на вопрос Б) — отрицательный и доказано, что п(С) = 6.

Из леммы 1.1.1 следует, что БЬ2(Ъ) порождается двумя матрицами

В действительности лемма 1.1.1 справедлива для любого евклидова кольца. Из леммы 1.1.1 легко следует

Лемма 1.2.1. Группа СЬп(Ж) порождается трансвекциями (1), г = ], г,] = 1, 2,.. .п и любой другой матрицей с определителем -1.

Предложение 1.2.2. Группа СЬ2(Ж) порождается тремя инволюциями

Доказательство. Так как определитель матрицы а равен —1 (как впрочем

и двух других) и

в7

11 0 1

, ав^а

10 11

то по лемме 1.2.1 инволюции а, в, 7 порождают группу СЬ2(Ъ).

□

Конечно, группа РСЬ2(Ъ) порождается образами инволюций а, в, 7 из предложения 1.2.2 при естественном гомоморфизме СЬ2(Ъ) ^ РСЬ2(Ъ), поэтому справедливо

Предложение 1.2.3. Группа РСЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями.

В группе БЬ2(Ъ) всего лишь одна инволюция, поэтому справедливо

Предложение 1.2.4. Группа БЬ2(Ъ) не порождается никаким множеством инволюций.

В 1890 г. Р.Фрике и Ф.Клейн [21] доказали, что группа РБЬ2(Ъ) является свободным произведением групп порядка 2 и 3. В действительности, они установили равенство

Следовательно, справедливо

Предложение 1.2.5. Группа РБЬ2(Ъ) не порождается никаким множеством инволюций.

В следующем предложении для элементов группы РСЬ2(Ъ) используется матричная запись, при этом два элемента считаются равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу.

Предложение 1.2.6. Группа РСЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями

причем первые две из них перестановочны.

Доказательство. Заметим, что инволюции а, в, 7 такие же, как и в предложении 1.2.2 , поэтому они порождают РСЬ2(Ъ). Отличие лишь в том, что в группе РСЬ2(Ъ) инволюции а, в перестановочны, так как квадрат их произведения является скалярной матрицей. □

Лемма 1.2.7. Любая подгруппа М, порожденная тремя нецентральными инволюциями из группы СЬ2(С) над полем комплексных чисел С, две из которых перестановочны, имеет следующую структуру:

М = {у, 5) • {а, в), (1.1)

где

а2 = в2 = 72 = 52 = (ав )2 = ауа5 = в^в5 = 1. (1.2)

Более того, группа М либо конечна, либо М = {у, 5) X {а, в).

Доказательство. Пусть три различные нецентральные инволюции а, в, 1 из группы СЬ2(С) порождают подгруппу М, причем инволюции а, в перестановочны. С точностью до сопряжения в СЬ2(С) можно считать, что

а = ( -1 0 1 , в = ( а Ь У 0 1 ) \е (I

Так как инволюции а, в перестановочны, то

ав =( -а = (-а ^ = ва.

V с (1 I у -с ( I

Отсюда Ь = с = 0 и, следовательно, а1 = -1, а так как инволюции а, в различны, то а =1, Ь = -1. Таким образом,

в = ( 1 0 У 0 -1

Пусть для некоторых а, Ь, с, ( € С

аЬ с(

Положим

5 = ауа = ( а Ь | = вув. с(

Тогда равенства 1.2 выполняются, и любое слово из подгруппы М имеет один из четырех следующих видов:

аб ... абе, аб ... абае, баб ... абе, баб . . . абае,

где е = 1, а, в, ав. Следовательно, выполняется и равенство 1.1 и, более того, подгруппа

(7, б) = (1б) X (7>

нормальна в М. Покажем, что группа М либо конечна, либо М = ('у, б) X (а, в).

Любой элемент из подгруппы (у, б) имеет вид (уб)к или (уб)к7. Если (уб)к Е (а, в), то (уб)2к = 1, и, следовательно, группа М конечна. Пусть (уб)к7 Е (а, в). Тогда (уб)ку = а, в, ав или 1. Если (уб)ку = а, то в силу тождества б = ауа получаем равенство (бу)кб = а. Отсюда (уб)2к+1 = 1 и, следовательно, группа М конечна. Случай (уб)ку = в подобен.

Определитель матрицы (уб)ку равен —1, поэтому матрица (уб)ку не может совпадать с матрицами ав или 1, так как определитель последних двух равен 1. □

Предложение 1.2.8. Группа СЬ2(Ж) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Доказательство. Ясно, что в любой порождающей тройке инволюций группы СЬ2(Ъ) не может быть центральной инволюции, поэтому в силу леммы 1.2.7 она не может порождаться тремя инволюциями, две из которых перестановочны. □

Для группы С через п(С) обозначим минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Ясно, что если С' — гомоморфный образ группы С, то п(С') < п(С). Доказательство следующей леммы является легким упражнением.

Лемма 1.2.9. Если п(С) = 4, то в С найдется нетривиальная циклическая нормальная подгруппа.

Лемма 1.2.10. п(РСЬ2(Ъ)) = 5.

Доказательство. В силу предложения 1.2.6 группа РСЬ2(Ъ) порождается некоторыми тремя инволюциями а, в, 7, первые две из которых перестановочны. Тогда, очевидно, она порождается и пятью инволюциями а, в, 1, 1, ва, произведение которых равно 1. Таким образом, п(РСЬ2(Ъ)) < 5. Для любого простого числа р существует гомоморфизм РСЬ2(Ъ) ^ РСЬ2(р) и при р > 5 в группе РСЬ2(р) нет нетривиальных циклических нормальных подгрупп, поэтому по лемме 1.2.9 справедливо п(РСЬ2(Ъ)) = 5. □

Лемма 1.2.11. п(СЬ2(Ъ)) = 6.

Доказательство. В силу предложения 1.2.2 группа СЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями, поэтому п(СЬ2(Ъ)) < 6.

Предположим, что п(СЬ2(Ъ)) = 5 и а1,...,а5 — порождающие инволюции, произведение которых равно 1. В группе СЬ2(Ъ) определитель любой нецентральной инволюции равен -1. Поэтому среди инволюций а1... а5 найдется центральная инволюция (иначе получим равенство (-1)5 = 1). Но тогда п(РСЬ2(Ъ)) = 4, и мы получаем противоречие с предложением 1.2.10. □

Ответы на вопросы А), Б), В) дает

Теорема 1. Группа СЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями, но не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, число п(СЬ2(Ъ)) = 6. Группа РСЬ2(Ъ) порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, п(РСЬ2(Ъ)) = 5. Группы БЬ2(Ъ) и РБЬ2(Ъ) не порождаются никаким множеством инволюций.

Результаты теоремы 1 представлены в таблице 1, где + (-) означает положительное (отрицательное) решение соответствующей задачи. В случае положительного ответа инволюции найдены явно.

Таблица 1. Ответы А), Б), В)

5^2 (Ъ) Р^Ъ) СР2(Ъ) РСР2(Ъ)

(2, 2, 2) — — + +

(2 х 2, 2) — — — +

п(С) 0 0 6 5

§ 1.3. Линейные группы размерности 2 над кольцом целых гауссовых чисел Ж + Ъг

В данном разделе рассматриваются вопросы А) и Б) для групп БЬп, РБЬп, СЬп, РОЬп над кольцом целых гауссовых чисел Ъ + Ъг:

А) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями?

Б) Порождается ли данная группа С тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

В группе БЬ2(Ъ + Ъг) единственная инволюция, поэтому справедливо

Предложение 1.3.1. Группа БЬ2(Ъ + Ъг) не порождается никаким множеством инволюций.

В группе СЬ2(Ъ + Ъг) у любой инволюции определитель может быть равен только ±1. Но в СЬ2(Ъ + Ъг) есть матрица, определитель которой равен

г, например, ^ ^ ^ ^ . Значит, справедливо

Предложение 1.3.2. Группа СЬ2(Ъ + Ъг) не порождается никаким множеством инволюций.

В следующих предложениях для элементов группы РСЬ2(Ъ + Ъг) используется матричная запись, при этом два элемента считаются равными, если они различаются лишь умножением на скалярную матрицу, (а нескалярная матрица является инволюцией, если её квадрат равен скалярной матрице).

Предложение 1.3.3. Группа РСЬ2(Ъ + Ъг) порождается тремя инволюциями

■-1) - () - - (1.1

Доказательство. Элементы

ав =

10 0 г

ва =

г0 01

(ав)2 =

(ва)2 =

10 0 -1

-10 01

порождают диаганальную подгруппу РСЬ2(Ъ + Ъг), а элементы

7 (ав )2 =

10 11

ау (ав )2а =

11 01

(ва)-17ва(ав )2 =

10 г1

а(ва) 17ва(ав )2а =

1г 01

порождают все трансвекции. Осталось заметить, что РСЬ2 дается своими трансвекциями и диагональными элементами.

+ Ъг) порож-

□

Лемма 1.3.4. Пусть а, в, 1 — три любых нецентральных элемента из СЬ2(Ъ + Ъг), которые удовлетворяют условиям

1) ав = ва,

2) элементы а2, в2, 72 лежат в центре СЬ2(Ъ + Ъг). Тогда справедливо

равенство

а 1уа = в 11в

1

(1.3)

Доказательство. Из теоремы о жордановой нормальной форме следует, что (юбая матрица из группы СЬ2(Ъ + Ъг) с точностью до сопряжения либо вида

|, либо ( |, где Ь,п £ Ъ + Ъг. Заметим, что групповой порядок

0 п I у 0 Ь I

матрицы ^ ^ 1 ^ бесконечен, а любой элемент из центра СЬ2(Ъ + Ъг) имеет конечный порядок. Поэтому с точностью до сопряжения в СЬ2(Ъ + Ъг) можно считать, что

« = (Ь 01 ,в = (а Ь

0 п с (

где а,Ь,с,1 £ Ъ + Ъг, причем Ь = п в силу нецентральности элемента а. Причем, в силу перестановочности первых двух элементов,

ав =

аЬ ЬЬ сп (п

аЬ Ьп сЬ 1п

= ва.

То есть

ЬЬ = Ьп, сп = сЬ,

-ФФ-

Ь(Ь - п) = 0, с(Ь - п) = 0.

Возможны два варианта:

1)Ь = п,

2)Ь = с = 0.

Вариант 1) не подходит, т.к. элемент а нецентральный (Ь = п). Следователь-а0

но, в = , а = ( . Из условия 2) леммы следует, что

0(

а2 =

Ь2 0

0 п2

V 0 0 V

, V £ Ъ + Ъг.

Отсюда Ь2 = п2, значит, Ь = -п, поэтому

а=

Ь 0

0 —Ь

Аналогично в —

-1

а уа —

а 0 \ / и х

. Пусть у — | , тогда

0 ~а \ У г

0

о И)

-1

а

-1

0

0 (-а)

-1

и х У г

и х У г

г о о -г

а0 0а

и —х

У г

— в-11в-

□

Лемма 1.3.5. Любая подгруппа М, порожденная тремя инволюциями из группы РСЬ2(Ъ + Ъг) над кольцом целых гаусовых чисел Ъ + Ъг, две из которых перестановочны, имеет следующую структуру:

М — (у, 5) • (а, в),

(1.4)

где

(1.5)

а2 — в2 — у2 — 52 — (ав )2 — ауа5 — в^в5 — 1.

Более того, подгруппа (у, 5) < М и группа М либо конечна, либо М — (у, 5) X (а, в).

Доказательство. Рассмотрим три инволюции а, в, У группы РСЬ2(Ъ + Ъг), первые две из которых перестановочны. Тогда их прообразы при гомоморфизме 0 : СЬ2(Ъ + Ъг) ^ РСЬ2(Ъ + Ъг) удовлетворяют условиям из леммы 1.3.4. Следовательно, верно равенство 1.3, которое при гомоморфизме 0 переходит в равенство ауа — в!в. Положив 5 — а7а, получим равенства 1.5.

В силу равенств ау — 5а, а5 — уа,ву — 5в,в5 — У в любое слово из подгруппы М имеет один из следующих четырех видов:

у5 ... у5г,

у5 5у5 5у5

У5У£, У5£,

у5уг,

где £ — 1, а, в, ав. Следовательно, выполняется и равенство 1.4 и, более того, подгруппа

(7,5) — (у5) X (у)

нормальна в M. Покажем, что группа M либо конечна, либо M = {y,S) X {а, в). Любой элемент из подгруппы {y,S) имеет вид (yS)k или (yS)k у .

Если (yS)k G {а, в), то (yS)2k = 1 и, следовательно, группа M конечна. Пусть (yS)ky G {а, в). Тогда (yS)ky = а, в, ав или 1. Если (yS)ky = а, то в силу тождества S = ауа получаем равенство

(Sy)kS = (i(y8)kуа = а. Отсюда (yS)2k+1 = (yS)ky(Sy)kS = аа = 1 и, следовательно, группа M конечна. Случай (yS)kу = в подобен. Если (yS)kу = ав, то (yS)k = аву ^ (yS)2k = авуаву = вауаву = вSвУ = ввувву = YY = 1, следовательно, группа M конечна. □

Предложение 1.3.6. Группа PGL2(Z + Zi) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Доказательство. Для любого простого p = 3 (mod 4) существует гомоморфизм Z + Zi ^ GF(p2). Этот гомоморфизм индуцирует групповой гомоморфизм GL2(Z + Zi) ^ GL2(p2). Известно, что PSL2(9) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, так как существует гомоморфизм PGL2(Z + Zi) ^ PSL2 (9), то PGL2(Z + Zi) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. □

Предложение 1.3.7. Группа PSL2(Z + Zi) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны.

Доказательство. В силу существования гомоморфизма

PSL2(Z + Zi) ^ PSL2(9),

группа PSL2(Z + Zi) не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. □

Пусть SL±(Z + Zi) - подгруппа матриц с определителем ±1 группы GL2(Z + Zi).

Предложение 1.3.8. Группа SL±(Z + Zi) порождается тремя следующими инволюциями:

а —I 0 1 в — -1 М .7 — -1 0

1 1 0 / \ 1 + г 1 / \ г 1

Доказательство. Так как

1в — | 1 0 1 ,а1ва — ( 1 1 I и (ег(а) — -1,

то (а, в, У) ^ (а,ув,аува) — СЬ2(Ъ). Следовательно,

10

(а, в, 7) Э 5 — ,

01

а так как

5у — | | и а5уа — |

' Vг Ч 1 \0 1

■±

то (а, в, У) — 5Ь±(Ъ + Ъг). □

2. Группы Шевалле исключительных типов над кольцом целых чисел

Данная глава содержит решение следующего вопроса для групп Шевалле исключительных типов С2(Ъ), Е6 (Ъ), Е7(Ъ), Е8(Ъ).

Г) Какие присоединённые группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны?

Пусть Ф — приведенная неразложимая система корней. Через Ф(К) обозначим присоединенную группу Шевалле над полем К. Она порождается корневыми подгруппами Хг = {хг(Ь) | Ь £ К}, г £ Ф. Далее БЬ2(К) — специальная линейная группа над полем К и (Ы) — подгруппа, порожденная подмножеством Ы.

Лемма 2.1.1. [18, теорема 6.3.1., с. 88] Существует гомоморфизм группы БЬ2(К) на группу (Хг,Х-Г), при котором

Придерживаясь обозначений из книги Р. Картера [18], определим моно-миальные и диагональные элементы соответственно

Нг(Ь) = пг(Ь)пг(-1), г £ Ф, Ь £ К*,

где К * — мультипликативная группа поля К. Далее Н — диагональная подгруппа группы Ф(К), порожденная элементами Нг(Ь), г £ Ф, Ь £ К*, а N

§ 2.1. Обозначения и предварительные результаты

пг (Ь) = хг (Ь)х-Г (-Ь 1)хг (Ь),

— её мономиальная подгруппа, порожденная Н и элементами пг (1), г Е Ф. Положим также для сокращения записи

пг — пг (1),

кг — кг (-1) и отметим часто используемое далее свойство

(пг(г))2 — кг, г Е ф, г Е К*. (2.6)

Диагональные элементы действуют на корневых элементах сопряжениями следующим образом

кг(г)-1х3(п)кг(г) — х3(гЛг*и), г,в е ф, г е К*, (2.7)

где Агз — 2(г, в)/(г, г), а (х,у) — скалярное произведение векторов х,у. [18, п. 7.1]. Из (2.7) в силу билинейности скалярного произведения вытекает свойство

кг+3(г) — кг(г)к3(г), г е К*, в, г, в + г е ф. (2.8)

Действие сопряжением мономиальными элементами на корневых подгруппах эквивалентно действию группы Вейля W на корнях в силу следующего равенства

пшХап-1 — Хш{з), в Е Ф, (2.9)

где — прообраз элемента и Е W при гомоморфизме N на W, ядром которого является диагональная подгруппа Н. Более того, если иг — отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной вектору г, то

пх3(г)п-1 — хШг(3)(пг,зг), г, в е ф, г е к, (2.10)

где константы равны ±1 [18, 7.2.1] .

Если г — -в, то коммутаторная формула Шевалле в группе Е1 (Ъ) принимает следующий вид

, 1, если г + в / Ф;

[хг (г), х8 (и)] — 4 Е ' (2.11)

хг+а(±ги), если г + в Е Ф, г, в Е Ф,

где [a, b] = aba lb l.

Лемма 2.1.2. Группа Шевалле Ф(Ж) над кольцом целых чисел Z порождается корневыми элементами xr (1), r € ±П, где П — фундаментальная система корней для Ф.

Доказательство. Пусть G = (xr(1) | r € ±П), тогда nr € G для r € ±П. Фундаментальные отражения wr, r € ±П, являются образами элементов nr, r € ±П, при гомоморфизме N на W. В силу [18, Предложения 2.1.8, с.17] элементы wr, r € ±П, порождают всю группу W. Значит ns € G для всех s € Ф. Так как

n.sXr (t)n—1 = XWg(r)(±t)

и группа W действует транзитивно на корнях одинаковой длины, то xr(1) € G, для всех r € Ф. В силу следствия 3 из [17, с. 107] группа Ф(К) порождается корневыми элементами xr(1), r € Ф, значит G = Ф(К). □

Пусть П = {r\,r2,... ,ri} — фундаментальная система корней для Ф, причем, если Ф типа Ei, то r¡ + rj ,i < j, является корнем тогда и только тогда, когда (i,j) = (l — 3, l) или (i,i + 1), 1 < i < l — 2. Тогда на графе Кокстера корни будут расположены как на рисунке 1.

r1

r2

Г1_з ri—2 ri-1

о

-о

о

-о

о

ri

Рис. 1. Граф Кокстера системы корей типа Е1

В [28] указаны порождающие множества для группы Вейля W типа Ф, один из элементов которых является элемент Кокстера

wc = wriwr2 .. .wri.

Нам потребуется следующий частный случай этого результата для типов Е1. Лемма 2.1.3. [28] Если Ф = Ег, то W = (и)Г1 ,'шс

Лемма 2.1.4. [3, таблицы У1-УШ] Пусть п — 9 или 15, если Ф типа Е7 или Е8 соответственно. Тогда и'П(г) — -г для любого г Е Ф.

Далее Ф(Ъ) — присоединенная группа Шевалле типа Ф над кольцом целых чисел Ъ. Она состоит из элементов группы Шевалле Ф(0) над полем рациональных чисел Q, коэффициенты которых относительно решетки корней Ъ(Ф) лежат в Ъ. Через Н(Ъ) обозначим диагональную подгруппу группы Ф(Ъ). Подгруппа Н(Ъ) порождается элементами кг — кг (-1), г Е Ф.

Лемма 2.1.5. [17, с. 107]. Группа Ф(Ъ) порождается элементами хг(1), г Е

Ф.

Мультипликативная группа кольца целых чисел Ъ* — {1, -1}, поэтому диагональная подгруппа Н < Ф(Ъ) порождается элементами кг — кг (-1), г Е Ф.

Лемма 2.1.6. Пусть ц — пГ1 пГ2 .. .пГ1 к для некоторого диагонального элемента к Е Н < Ф(Ъ). Тогда:

а) Ф(Ъ) — (ц,хГ1 (1)), если Ф типа Е7 или Е8;

б) Ф(Ъ) — (ц,хГ1 (1),х-Г1 (1)), если Ф типа Е6.

Доказательство. Положим М — (ц,хГ1 (1),х-Г1 (1)), если Ф типа Е6 и М — (ц,хГ1 (1)), если Ф типа Е7 или Е8. Для Ф типа Е7,Е8, элемент х-Г1 (1) лежит в М по лемме 2.1.4. Для Ф типа Е6, по определению х-Г1 (1) Е М. Таким образом, в любом случае пГ1 — хГ1 (1)х-Г1 (-1)хГ1 (1) Е М. Отсюда и в силу леммы 2.1.3 все мономиальные элементы пг, г Е Ф, лежат в М, а так как группа Вейля действует транзитивно на корнях одинаковой длины, то в силу (2.10) получаем включения хг(1) Е М для всех г Е Ф. Сейчас по лемме 2.1.5 получаем равенство Ф(Ъ) — М. □

Для любой системы корней множество её фундаментальных корней П можно единственным образом разбить на два непересекающихся подмножества П1 и П2 попарно ортогональных корней. Далее всегда г\ Е Щ, а ип есть произведение всех , г^ Е П^, г — 1, 2. Заметим, что элементы ип определены однозначно и имеют порядок 2, так как являются произведением отражений относительно попарно ортогональных корней.

Произведение всех фундаментальных отражений в некотором порядке называется элементом Кокстера. Хорошо известно, что элементы Кокстера

сопряжены в группе Вейля. Следующая лемма является частным случаем леммы 1 из [12] для типов Е1 и дает явный вид сопрягающего элемента с определенными свойствами для двух конкретных элементов Кокстера:

Ма = Wп2 .

Лемма 2.1.7. Пусть Ф типа Е1. Тогда существует такой элемент м из группы W типа Ф, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимофеенко Иван Алексеевич, 2017 год

тера

Wc = W 1 W2 W3W4W5 W6W7W8

на заданный корень.

in[io]:= mu[{t1_,{r1_,r2_,r3_,r4_,r5_,r6_,r7_,r8_},k1_}]: = {t1,nr1[nr2[nr3[nr4[nr5[nr6[nr7[nr8[ {r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8}]]]]]]]],k1}

Функция Index получает запись корня данного корневого или диагонального элемента в виде линейной комбинации фундаментальных корней. Она служит для удобства восприятия человеком получаемых элементов группы и корней.

in[ii]:= Index[{t1_,{r1_,r2_,r3_,r4_,r5_,r6_,r7_,r8_},k1_}]: = (d="";

If [r1>0&&r1=0, d=d<>" + "; If [Abs [r1]>1, d=d<>ToString[Abs[r1]]];d=d<>"r1", If [r1<0&&r1=0,d=d<>"-";If [Abs [r1]>1, d=d<>ToString[Abs[r1]]]; d=d<>"r1"

]

];

If [r2>0&&r2=0, d=d<>" + "; If [Abs [r2]>1, d=d<>ToString[Abs[r2]]];d=d<>"r2", If [r2<0&&r2=0, d=d<>"-";If [Abs [r2] >1, d=d<>ToString[Abs[r2]]]; d=d<>"r2"

]

If [r3>0&&r3=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r3] >1, d=d<>ToString[Abs[r3]]];d=d<>"r3 ", If [r3<0&&r3=0,d=d<>"-";If [Abs [r3] >1, d=d<>ToString[Abs[r3]]]; d=d<>"r3"

]

];

If [r4>0&&r4=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r4] >1, d=d<>ToString[Abs[r4]]];d=d<>"r4", If [r4<0&&r4=0,d=d<>"-";If [Abs [r4]>1, d=d<>ToString[Abs[r4]]]; d=d<>"r4"

]

];

If [r5>0&&r5=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r5] >1, d=d<>ToString[Abs[r5]]];d=d<>"r5", If [r5<0&&r5=0,d=d<>"-";If [Abs [r5]>1, d=d<>ToString[Abs[r5]]]; d=d<>"r5"

]

];

If [r6>0&&r6=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r6] >1, d=d<>ToString[Abs[r6]]];d=d<>"r6", If [r6<0&&r6=0,d=d<>"-";If [Abs [r6]>1, d=d<>ToString[Abs[r6]]]; d=d<>"r6"

]

];

If [r7>0&&r7=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r7] >1, d=d<>ToString[Abs[r7]]];d=d<>"r7", If [r7<0&&r7=0,d=d<>"-";If [Abs [r7]>1, d=d<>ToString[Abs[r7]]]; d=d<>"r7"

]

];

If [r8>0&&r8=0, d=d<>" + " ; If [Abs [r8] >1, d=d<>ToString[Abs[r8]]];d=d<>"r8", If [r8<0&&r8=0,d=d<>"-";If [Abs [r8]>1,

d=d<>ToString[Abs[r8]]]; d=d<>"r8"

]

];

If [StringTake [d,1]==" + ",d=StringDrop [d,1]]; Return[d]; )

Пример использования функции Index. in[i2]:= Index [{"x",{1,0,0,0,3,0,0,1},1}] Out[12]= ri+3r5+r8

Функция Orbit находит половину орбиты данного корня при действии на него элементом Кокстера wc.

in[i3]:= Orbit [{t1_ ,{r1_, r2_, r3_, r4_, r5_, r6_, r7_, r8_}, k1_}]: = MatrixForm[Thread[List[Range[0,15,1], Map[Index,NestList[mu,{t1,{r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8}, k1},15]]]]]

Пример действия функции Orbit на корень r 1 + r2 + r3 + r4 + r5.

in[i4]:= Orbit [{"x",{1,1,1,1,1,0,0,0},!}]

Out[14]= (0 1 2

3

4

5

6

7

8 9

г1+г2+гЗ+г4+г5

ri+2r2+2гЗ+2г4+2г5+г6+г8 ri+2r2+3r3+3r4+3r5+2r6+r7+r8 r!+2r2+3r3+4r4+4r5+2r6+r7+2r8 r!+2r2+3r3+4r4+5r5+3r6+r7+2r8 2r 1+3r2+4r3+5r4+6r5+4r6+2r7+3r8 r!+3r2+4r3+5r4+6r5+4r6+2r7+3r8 r!+2r2+4r3+5r4+6r5+4r6+2r7+3r8 r!+2r2+3r3+5r4+6r5+4r6+2r7+3r8 r!+2r2+3r3+4r4+6r5+4r6+2r7+3r8

10 Г!+2г2+3г3+4г4+5г5+4г6+2г7+3г8

11 г2+2г3+зг4+4г5+зг6+2г7+2г8

12 г3+2г4+Зг5+2г6+г7+2г8

13 г4+2г5+2г6+г7+г8

14 Г5+Г6+Г7+Г8

15 -Г1-Г2-Г3-Г4-Г5)

Функция Textt переводит элемент группы в текстовый, привычный для человека формат.

In[i5]:= Textt [{t1_ ,{г1_, г2_ , гЗ_ , г4_ , г5_ , г6_ , г7_ , г8_}, k1_}]: = Return[StringJoin[ToString[t1,StandardForm],"_",

ToString[Index[{t1,{r1,r2,r3,г4,г5,г6,г7,r8},k1}], StandardForm], "(",ToString[k1,StandardForm],")"]]

Пример использования функции Textt.

in[i6]:= Textt [{"x",{1,1,0,0,3,0,0,1},-1}]

0ut[i6]= x_r1+r2+3r5+r8 (-1)

Функция Km определяет коммутируют ли данные 2 корневых или диагональных или корневой и диагональный элементы группы и возвращает значение True, если не коммутируют.

in[i7]:= Km [{tl_ ,{l1_, l2_, l3_, l4_, l5_, l6_, l7_, l8_}, kl_}, {tr_,{r1_,r2_,r3_,r4_,r5_,r6_,г7_,г8_},kr_}]:= Switch[ {tl,tr}, {"x","x"},

MemberQ[E8,{l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8}+ {г1,г2,гЗ,г4,г5,г6,г7,r8}], {"x","h"},

MemberQ[E8,{l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8}+

{г1,г2,гЗ,г4,г5,г6,г7,г8}]|| MemberQ[E8,{l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8}-

{г1,г2,г3,г4,г5,гб,г7,г8}], {"И","х"},

ИешЬегд[Е8,{11,12,13,14,15,16,17,18}+

{г1,г2,г3,г4,г5,гб,г7,г8}]|| ИешЬегд[Е8,{11,12,13,14,15,16,17,18}-{г1,г2,г3,г4,г5,гб,г7,г8}]

]

Функция находит коммутатор двух элементов, используется толь-

ко в функциях Кш£ЗЗ, Кш£З2, Кш£З!.

1п[18]:= ЯоогБ [Ш_ ,{11_, 12_, 13_, 14_, 15_, 1б_, 17_, 18_}, к1_}, {гг_,{г1_,г2_,г3_,г4_,г5_,гб_,г7_,г8_},кг_}]:= {"х",{11,12,13,14,15,16,17,18}+ {г1,г2,г3,г4,г5,гб,г7,г8},к1 кг}

Функции нахождения коммутатора в программе реализованы только для элементов, каждый из корней которых лежит в положительной системе относительно некоторой фундаментальной системы.

Функция Кш^ЗЗ находит коммутатор двух элементов, каждый из которых является произведением ровно трех корневых, диагональных элементов или их комбинаций. Групповое произведение корневых или диагональных элементов группы представляется в программе в виде списка. Например, произведение жг(£)^(к) будет иметь вид

{{х, {г!, г2, гЗ, г4, г5, гб, г7, г8},¿}, {й!, й2, йз, й4, й5, й6, й7, й8}, к}}.

1п[19]:= КлЛ33[{{-Ь11_,{111_,112_,113_,114_,115_,11б_,117_,118_}, к11_},

Ш2_,{121_,122_,123_,124_,125_,12б_,127_,128_},к12_}, Ш3_,{131_,132_,133_,134_,135_,13б_,137_,138_},к13_}}, {{гг1_,{г11_,г12_,г13_,г14_,г15_,г1б_,г17_,г18_},кг1_}, {гг2_,{г21_,г22_,г23_,г24_,г25_,г2б_,г27_,г28_},кг2_}, {гг3_,{г31_,г32_,г33_,г34_,г35_,г3б_,г37_,г38_},кг3_}}]:= (

кг=<|11 —^{^11,{111,112,113,114,115,11б,117,118},к11},

12 ^{tl2,{l21,122,123,124,125,126,127,128},kl2},

13 ^{tl3,{131,132,133,134,135,136,137,138},kl3}, r1 ^{tr1,{r11,r12,r13,r14,r15,r16,r17,r18},kr1}, r2 ^{tr2,{r21,r22,r23,r24,r25,r26,r27,r28},kr2}, r3^{tr3 ,{r31, r32, r33, r34, r35, r36, r37, r38}, kr3}|>;

s :={};

If[Km[kt[l1],kt[r3]], s=AppendTo[s,

{tl1,{l11,l12,l13,l14,l15,l16,l17,l18},2kl1}],0

];

If [Km [kt [12], kt [r3] ], s=AppendTo[s,

{tl2,{121,122,123,124,125,126,127,l28},2kl2}],0

];

If [Km [kt [r1], kt [13] ], s=AppendTo[s,

{tr1,{r11,r12,r13,r14,r15,r16,r17,r18},2kr1}],0

];

If [Km [kt [r2], kt [13] ], s=AppendTo[s,

{tr2,{r21,r22,r23,r24,r25,r26,r27,r28},2kr2}],0

];

If[Km[kt[r1],kt[l1]],

(a:=RootS[kt[r1],kt[l1]]; s=AppendTo [s,a]),0

];

If [Km [kt [r1], kt [12] ],

(а:=Яоог8[кг[г1],кг[12]]; з=Арреп^о [Б,а]),0

];

If[Kш[kt[11],kt[г2]],

(а:=Яоог8[кг[11],кг[г2]]; s=AppendTo [э,а]),0

];

If[Kш[kt[г2],kt[12]],

(а:=Яоог8[кг[г2],кг[12]]; s=AppendTo [s,a]),0

];

Retuгn[s];

)

Пример действия функции Кш^ЗЗ на элементах а и Ь. Сперва задаем элементы.

1п[20]:= а:={{"х" ,{1,0,0,0,0,0,0,0},1},{"х",{1,1,1,1,1,1,1,1},1}, {"И",{0,1,1,1,1,1,1,1},-1}} Ь:={{"х",{0,0,1,0,0,0,0,0},1},{"х",{0,-1,0,0,0,0,0,0},1}, {"И",{0,-1,-1,0,0,0,0,0},-1}}

Выводим элемент а в текстовом виде.

1п[21]:= Textt /@ а

Out[21]= {х_г1 (1),х_г1+г2+гз+г4+г5+гв+г7+г8(1), Ь_г2+гз+г4+г5+гв+г7+г8(-1)}

Выводим элемент Ь в текстовом виде.

1п[22]:= Textt /@ Ь

Out[22]= {х_гз(1),х_-г2 (1),И_-г2-гз(-1)}

Вычисляем коммутатор и результат записываем в переменную с.

1п[2з]:= с:=ЮтЬ33[а,Ь]

Выводим результат в текстовом виде.

1п[24]:= Textt /@ с

Out[24]= {х_Г1 (2),Х_-Г2 (2)}

Функция позволяет находить коммутатор двух элементов, один

из которых является произведением ровно трех, а другой ровно двух корневых, диагональных элементов групп или их комбинаций.

1п[25]:= Ктг32[{{г11_,{111_,112_,113_,114_,115_,116_,117_,118_}, к11_},

Ш2_ ,{121_, 122_, 123_, 124_, 125_, 126_, 127_, 128_}, к12_}, Ш3_,{131_,132_,133_,134_,135_,136_,137_,138_},к13_}}, Шг1_,{г11_,г12_,г13_,г14_,г15_,г16_,г17_,г18_},кг1_}, {гг2_,{г21_,г22_,г23_,г24_,г25_,г26_,г27_,г28_},кг2_}}]:= (

кг=<|11 —^{^11,{111,112,113,114,115,116,117,118},к11},

12 —Ш2,{121,122,123,124,125,126,127,128},к12},

13 —Ш3,{131,132,133,134,135,136,137,138},к13}, г1 —{"Ьг1,{г11,г12,г13,г14,г15,г16,г17,г18},кг1}, г2 —{гг2,{г21,г22,г23,г24,г25,г26,г27,г28},кг2}|>;

в:={};

If[Km[kt[г1],kt[13]], Б=Арреп^о [б ,

{"Ьг1,{г11,г12,г13,г14,г15,г16,г17,г18},2кг1}],0

];

If[Km[kt[г2],kt[13]], Б=Арреп^о [б ,

{tr2,{r21,r22,r23,r24,r25,r26,r27,r28},2kr2}],0

];

If[Km[kt[r1],kt[l1]], (a:=RootS [kt [r1],kt [11]];

s=AppendTo [s,a]),0 ];

If [Km [kt [r1], kt [12] ], (a:=RootS [kt [r1],kt [12]];

s=AppendTo [s,a]),0 ];

If[Km[kt[11],kt[r2]], (a:=RootS [kt [11],kt [r2]];

s=AppendTo [s,a]),0 ];

If [Km [kt [r2], kt [12] ], (a:=RootS [kt [r2],kt [12]];

s=AppendTo [s,a]),0 ];

Return [s];)

Функция Kmt31 вычисляет коммутатор двух элементов, один из которых является произведением ровно трех корневых, диагональных элементов или их комбинации, а другой является корневым или диагональным.

in[26]:= Kmt31 [{{t11_ ,{111_, 112_, 113_, 114_ ,115_,116_, 117_, 118_}, k11_},

{t12_,{121_,122_,123_,124_,125_,126_,127_,128_},k12_}, {t13_,{131_,132_,133_,134_,135_,136_,137_,138_},k13_}}, {{tr1_,{r11_,r12_,r13_,r14_,r15_,r16_,r17_,r18_}, kr1_}}]: =

(kt=<|11 ^{t11,{111,112,113,114,115,116,117,118},k11},

12 ^{t12,{121,122,123,124,125,126,127,128},k12},

13 ^{t13,{131,132,133,134,135,136,137,138},k13}, r1 ^{tr1,{r11,r12,r13,r14,r15,r16,r17,r18},kr1}|>;

s:={};

If [Km [kt [r1], kt [13]] , s=AppendTo[s,

{tr1,{r11,r12,r13,r14,r15,r16,r17,r18},2kr1}],0

];

If[Km[kt[r1],kt[11]] ,

(a:=RootS [kt [r1],kt [11]]; s=AppendTo [s,a]),0

];

If [Km [kt [r1], kt [12]] ,

(a:=RootS [kt [r1],kt [12]]; s=AppendTo [s,a]),0

];

Return [s];)

Проверка доказательства теоремы 3 для группы

Для дальнейших расчетов очень удобно видеть все половины орбит. Ниже получаем их.

In[27]:= Orbit [{"x",{1,0,0,0,0,0,0,0},1}]

Out[27]= 0 ri

1 r2

2 гз

3 r4

4 r5

5 г1+г2+гз+г4+г 5+r6+r8

6 г2+гз+г4+г5+г 6+г7

7 гЗ+г4+г5+г8 В r4+r5+r6

9 г1+г2+гЗ+г4+2г5+г6+г7+г8

10 г2+гЗ+г4+г5+г6+г8

11 гЗ+г4+г5+г6+г7

12 r4+r5+r8

13 r5+r6

14 г1+г2+гЗ+г4+г5+г6+г7+г8

15 -ri)

In[28]:= Orbit [{"x",{0,0,0,0,0,0,0,1},1}]

Out[28]= 0 r6

1 r7

2 -ri-r2-гЗ-г4-г5-г6-г7

3 -г2-гЗ-r4-r5-r8

4 -гЗ-г4-r5-r6

5 -ri-r2-гЗ-2г4-2г5-г6-г7-г8

6 -г2-гЗ-r4-2r5-r6-r8

7 -ri-r2-2гЗ-2г4-2г5-2г6-г7-r8 В -г2-гЗ-2r4-2r5-r6-r7-r8

9 -гЗ-г4-2r5-r6-r8

10 -ri-r2-гЗ-2г4-2г5-2г6-г7-г8

11 -г2-гЗ-r4-2r5-r6-r7-r8

12 -гЗ-г4-r5-r6-r8

13 -r4-r5-r6-r7

14 -r5-r8

15 -r6)

In[29]:= Orbit [{"x",{0,0,0,0,0,1,0,0},1}]

0ut[29]= 0 Г8

1 -Г1-Г2-Г3-Г4-Г5-Г8

2 -Г2-Г3-Г4-Г5-Г6

3 -Г1-Г2-2Г3-2Г4-2Г5-Г6-Г7-Г8

4 -Г2-Г3-2Г4-2Г5-Г6-Г8

5 -Г1-Г2-2Г3-2Г4-ЗГ5-2Г6-Г7-Г8

6 -Г1-2Г2-2Г3-ЗГ4-ЗГ5-2Г6-Г7-2Г8

7 -Г2-2Г3-2Г4-ЗГ5-2Г6-Г7-Г8

В -Г1-Г2-2Г3-ЗГ4-ЗГ5-2Г6-Г7-2Г8

9 -Г2-Г3-2Г4-ЗГ5-2Г6-Г7-Г8

10 -Г1-Г2-2Г3-2Г4-ЗГ5-2Г6-Г7-2Г8

11 -Г2-Г3-2Г4-2Г5-2Г6-Г7-Г8

12 -Г3-Г4-2Г5-Г6-Г7-Г8

13 -Г4-Г5-Г6-Г8

14 -Г5-Г6-Г7

15 -Г8)

in[30]:= Ortit [{"x",{l,l,0,0,0,0,0,0},1}]

0ut[30]= (0 Г1+Г2

1 Г2+Г3

2 Г3+Г4

3 Г4+Г5

4 Г1+Г2+Г3+Г4+2Г5+Г6+Г8

5 г1+2г2+2гз+2г4+2г5+2г6+г7+г8

6 Г2+2Г3+2Г4+2Г5+Г6+Г7+Г8

7 Г3+2Г4+2Г5+Г6+Г8

В г1+г2+гз+2г4+3г5+2г6+г7+г8

9 г1+2г2+2гз+2г4+3г5+2г6+г7+2г8

10 г2+2гз+2г4+2г5+2г6+г7+г8

11 Г3+2Г4+2Г5+Г6+Г7+Г8

12 Г4+2Г5+Г6+Г8

13 г1+г2+гз+г4+2г5+2г6+г7+г8

14 Г2+Г3+Г4+Г5+Г6+Г7+Г8

15 -г1-г2)

In[3i]:= Orbit [{MxM,{1,1,1,0,0,0,0,0},1}]

Out[31]= 0 ri+r2 + r3

1 r2+r3+r4

2 r3+r4+r5

3 ri+r2+r3+2r4+2r5+re+r8

4 r!+2r2+2r3+2r4+3r5+2r6+r7+r8

5 r!+2r2+3r3+3r4+3r5+2r6+r7+2r8

6 r2+2r3+3r4+3r5+2r6+r7+r8

7 ri+r2+2r3+3r4+4r5+2r6+r7+2r8

8 r!+2r2+2r3+3r4+4r5+3r6+r7+2r8

9 r!+2r2+3r3+3r4+4r5+3r6+2r7+2r8

10 r2+2r3+3r4+3r5+2r6+r7+2r8

11 r3+2r4+3r5+2r6+r7+r8

12 ri+r2+r3+2r4+3r5+2r6+r7+2r8

13 r2+r3+r4+2r5+2r6+r7+r8

14 r3+r4+r5+r6+r7+r8

15 -ri-r2-r3)

In[32]:= Orbit [{"x",{1,1,1,1,0,0,0,0},1}]

Out[32]= 0 r1+r2 + r3+r4

1 r2+r3+r4+r5

2 ri+r2+2r3+2r4+2r5+r6+r8

3 r1+2r2+2r3+3r4+3r5+2r6+r7+r8

4 r1+2r2+3r3+3r4+4r5+2r6+r7+2r8

5 r1+2r2+3r3+4r4+4r5+3r6+r7+2r8

6 r1+2r2+3r3+4r4+5r5+3r6+2r7+2r8

7 r1+2r2+3r3+4r4+5r5+3r6+r7+3r8

8 r1+2r2+3r3+4r4+5r5+4r6+2r7+2r8

9 r1+2r2+3r3+4r4+5r5+3r6+2r7+3r8

10 r2+2r3+3r4+4r5+3r6+r7+2r8

11 r1+r2+2r3+3r4+4r5+3r6+2r7+2r8

12 r2+r3+2r4+3r5+2r6+r7+2r8

13 r3+r4+2r5+2r6+r7+r8

14 Г4+Г5+Г6+Г7+Г8

15 -Г1-Г2-Г3-Г4)

In[33]:= Oгbit [{"x",{l,l,l,l,1,0,0,0},1}]

0ut[33]= 0 г1+г2 + гз+г4 + г5

1 Г1+2Г2+2Г3+2Г4+2Г5+Г6+Г8

2 г1+2г2+3гз+3г4+3г5+2г6+г7+г8

3 г1+2г2+3гз+4г4+4г5+2г6+г7+2г8

4 г1+2г2+3гз+4г4+5г5+3г6+г7+2г8

5 2г1+3г2+4гз+5г4+бг5+4г6+2г7+3г8

6 г1+3г2+4гз+5г4+бг5+4г6+2г7+3г8

7 г1+2г2+4гз+5г4+бг5+4г6+2г7+3г8 В г1+2г2+3гз+5г4+бг5+4г6+2г7+3г8

9 г1+2г2+3гз+4г4+бг5+4г6+2г7+3г8

10 г1+2г2+3гз+4г4+5г5+4г6+2г7+3г8

11 г2+2гз+3г4+4г5+3г6+2г7+2г8

12 гз+2г4+3г5+2г6+г7+2г8

13 г4+2г5+2г6+г7+г8

14 Г5+Г6+Г7+Г8

15 -Г1-Г2-Г3-Г4-Г5)

In[34]:= Oгbit [{"x\{l,l,l,l,l,l,0,0},l}]

0ut[34]= (0 г1+г2+гз+г4+г5+г6

1 г1+2г2+2гз+2г4+2г5+г6+г7+г8

2 Г2+2Гз+2Г4+2Г5+Г6+Г8

3 г1+г2+2гз+3г4+3г5+2г6+г7+г8

4 г1+2г2+2гз+3г4+4г5+2г6+г7+2г8

5 г1+2г2+3гз+3г4+4г5+3г6+г7+2г8

6 г1+2г2+3гз+4г4+4г5+3г6+2г7+2г8

7 г2+2гз+3г4+4г5+2г6+г7+2г8

В г1+г2+2гз+3г4+4г5+3г6+г7+2г8

9 г1+2г2+2гз+3г4+4г5+3г6+2г7+2г8

10 г2+2гз+2г4+3г5+2г6+г7+2г8

11 г3+2г4+2г5+2г6+г7+г8

12 Г4+2Г5+Г6+Г7+Г8

13 Г5+Г6+Г8

14 Г6+Г7

15 -Г1-Г2-Г3-Г4-Г5-Г6)

In[35]:= AlphaMu:={{{"x" ,{1,0,0,0,0,0,0,0},1},

{"x\{1,1,1,1,1,1,1,1>,1>,{"h\{0,1,1,1,1,1,1,1>,-1>>>;

Найдем половину орбиты элемента а.

Далее проверяются все коммутирования и сопряжения, которые описаны в доказательстве теоремы 3 для типа Eg.

in[36]:= For[i=1, i<30,i++, AlphaMu=

Append[AlphaMu,mu/@AlphaMu[[i]]]

];

in[37]:= MatrixForm [Map [Textt, AlphaMu ,{2>]]

in[38]:= Textt/@(KmAAm2=Kmt33 [AlphaMu [[1]],AlphaMu [[3]]]) 0ut[38]= {x_r1 (2),x_-r2 (2)>

in[39]:= Textt/@(KmAAm4=Kmt33 [AlphaMu [[1]],AlphaMu [[5]]])

0ut[39]= {x_ri+r2+r3+r4+Г5+Г6+Г7+Г8 (2),x_r5 (2), x_ri+r2+r3+r4+2r5+r6+r7+r8(1)>

in[40]:= Textt/@(gamma={{"x" ,{-1,0,0,0,0,0,0,0>,2>, {"x",{0,0,-1,0,0,0,0,0>,2>>)

Out[40]= {x_-ri (2),x_-r3(2)>

in[4i]:= Textt [Nest [mu,gamma[ [1]],15]]

0ut[4i]= x_r1(2)

х П{1) х ггШ х г3 (1) х (1)

X { 1) X Е]. »гг Из <Г1 И5 »С6 Не ( 1} x ег»е31г(»е5*г6»г- ; 1) X Г!Т1»Г51Ге < 1-) х г4»г5 + г6; 1) x е! »гг 1г3 <г| »2е5 1г7 <г8 { i) x ег из 1г( »е5 *г6 »ее ; 1) x е3 «е5 + е6 (i) х г4»г5 + ге; 1) х е5 + е6 ;1) х Г1+Г2+Г3+Г1+Г5+Г(+г7+га (1) х п (1> х гг {1} х Ез {1) X Г4(1) х Ез{М X Г1 гг г3 г5-г6 ге ¡1] x ег е3 г, е5 е6 е7 (1) x е3 е5 гв { 1)

X Е^ Ез Е6 ( 1) X Е: Г; Гз Е- 2г5 Е6 Е- Ев!1! x ег Ез г, г5 е6 Ее ¡1) X Ез Е., Ез Е6 Е7 ¡1) X Е^ Ез Ев !1)

x ез е6 ¡1} x е: ег ез г, г5 г6 г7 е^ { 1)

x е!»ег*е3»е4»е5+е6«е-»ее(1} X п!1] х г2 (1) X Ез(1) x е., ¡1] х е5<1)

X Е1 Ег Ез Е., Ез Е6 Ее ¡1) X Ег Ез Е^ Ез Е6 ■ Е7 { 1.) X Ез Е., Ез ЕВ ¡1} X Еа Ез Ер { 1 )

X Г, Ег Ез Е., 2 Ез Е6 Е- ! 1} X Ег Ез Е^ Ез Е6- Ее ¡1.) X Ез Е( Е5 Е6 Е7(1) X Еа Ез Ев (I) X Е5 Г6 { 1 } X Е; Ег Е3 Е а Ез Г6 Г7 Ее (1)

X Е!<1> х Ег(1} X Ез(1}

X Е4 ( 1) X Гд (1) X Г1»Гг«Гз»Г1»Г5»Е6«Ге(1) X Ег *Е3 »Е4 »Е5 + Е6 «Е- { 1) X Е3 «Е5 + Ев ¡1] X Ец *Е5 + Е6 (I) X Е! »Ег »Ез + Е! »2Ез »Е7 >Ге ( 1] X Ег*Ез»Е4»Е5 + Е6»Ее{1) X Г]»Г1»Г5<С[»Г7 (1) X Ец»Е5«Ев {1)

х (1)

Ь Ег»Ез»Е.|*Ез»Е6«Е7 + Ев ( 1)

ь ег (■ 1)

Ь Ег Ез (■ 1) Ь г3 г,(1) Ь г, Ез (■ 1) Ь Е: Ег Ез г, 2Г5 ЕЕ. Ев (- 1) Ь Е! 2 Ег 2ез 2ГЦ 2г5 2гб г- Ее{-1} ь ег 2е3-2е^ 2ез е6 е7 гв;-1)

Ь Ез 2Е„ 2 Ез Е6 Ев { 1] Ь Е]. Ег Ез 2г} Зез-2е6 е7 ев { 1] Ь Г! 2 Ег 2ЕЗ 2г1 ЗЕ5 2Е6 Е- 2ЕВ{ 1] Ь Ег 2 Е3 2Е„ 2ЕЗ 2Е6 Е7 ЕВ(-1.) Ь Ез 2Ей 2 Ез Е6 Е7 ЕВ ; 1) Ь Е ^ 2 Ез Е6 Ее{ 1) ь г! Ег Ез Е( 2е5 2 Еб е7 Ев { 1] Ь Ег Ез Е<] Ез Е6 Е7 ЕВ (- I)

Ь Е^ »Ег ( - 1)

Ь Ег»Ез (- 1} Ь Ез»Ел (- I) Ь г, *г5 (- 1}

ь е!»ег»е3*ец»2е5*е6»ев (- 1) Ь Е].»2Ег»2Ез»2Е1»2Е5«2Ее»Е7«ЕВ (-1)

ь ег »2ез »2е4 »2ез »е6 »е7 + ев ; 1) Ь Ез 1 2е^ »2е5 + е6 »Ее {■ 1] Ь Е!»Ег»Е3»ЗЕц»ЗЕ5»2Е6»Е7«Ее { ' 1) Ь Е1 »2Е; »2Е3 »2Еа »ЗЕ5»2Е6 »Е7 «2ЕВ {- 1} Ь Ег »2ЕЗ »2ЕЛ »2Е5 + 2Е6 *Е7 »ЕВ ; I) Ь Ез»2Е4»2ЕЗ»Е6»Е7»Ее(- 1) Ь е4»2ез»е6*ее{- 1} Н Е]. «Ег »Ез »Е4 »2Е5 »2Е6 »Е7 «Ее (-1)

Рис. 3. Ои1[37]: Орбита элемента а при действии на него сопряжением элементом д

1п[42]:= Textt/@(gammaeta={Nest[mu,gamma[[1]],15], Nest[mu,gamma[[2]],15]})

0ut[42]= {х_Г1 (2),х_гз(2)}

1п[43]:= Textt/@(xг14=Kmt32[AlphaMu[[1]],gammaeta]) 0ut[43]= {х_Гх(4)}

1п[44]:= Textt/@(KmAm4Gamma=Kmt32 [AlphaMu [[5]], gamma])

0ut[44]= {x_-Гз(4),x_-Гз-Г4(2)}

1п[45]:= Textt/@(xmг3г42={{ мxм,{0,0,-1,-1,0,0,0,0},2}}) 0и^45]= {x_-Гз -Г4 (2)}

!п[4б]:= Textt/@(xmг32=Kmt31 [AlphaMu [[4]], xmг3г42])

0ut[46]= {х_-Гз (2)}

in[47]:= Textt/@(xr1r82={Nest [mu,xmr32 [[1]],27]})

0ut[47]= {х_Г1+Г2+Гз+Г4+Г5+Гв+Г7+Г8 (2)}

in[48]:= Textt/@(xг52={Nest [ти,хтГ32 [[1]],17]})

0ut[48]= {x_Г5 (2)}

in[49]:= Textt [(xг12г5г8={"x" ,{1,1,1,1,2,1,1,1},1})]

0ut[49]= X_Г1+Г2+Г3+Г4+2Г5+Г6+Г7+Г8 (1)

in[50]:= Textt [Nest ^^12^8,21]]

0ut[50]= x_^(1)

Проверка доказательства теоремы 3 для группы E6(Z)

В программе для группы E6(Z) применяются функции аналогичные тем, которые используются в программе Eg(Z). Опустим их перечисление. Элемент группы xr(t) задается списком {"ж", {0,0, r1, r2, r3, r4, r5, r6}, k}, где r1, r2, r3, r4, r5, r6 — коэффициенты разложения корня по фундаментальной системе корней.

Для удобства проверки рассчитаем все орбиты, образующиеся при действии элементом Кокстера на корни системы корней E6.

In[51]:= O^it [{"x",{0,0,1,0,0,0,0,0},1}]

0ut[51]= (0

Г1

1

2

3

4

5

6

Г2

Гз

г1+г2+г3+г4+г 6

Г2+Г3+Г4+Г5

Г3+Г6

Г4

Т Г5

а -Г1-Г2-Г3-Г4- Г5

9 -Г2-Г3-Г6

10 -Г3-Г4

11 -Г1-Г2-Г3-Г4- Г5-Г6

12 Г1)

0гbit [{ "х",{0,0,1,1,0,0,0,0

(0 Г1+Г2

1 Г2+Г3

2 Г1+Г2+2Г3+Г4+Г6

З Г1+2Г2+2Гз+2Г4+Г5+Г6

4 Г2+2Г3+Г4+Г5+Г6

Б Г3+Г4+Г6

б Г4+Г5

Т -Г1-Г2-Г3-Г4

а -Г1-2Г2-2Г3-Г4-Г5-Г6

9 -Г2-2Г3-Г4-Г6

10 -Г1-Г2-2Г3-2Г4-Г5-Г6

11 -Г2-Г3-Г4-Г5-Г6

12 Г1+Г2)

in[53]:= 0гьгь[{"х",{0,0,0,0,0,0,0,1},1}]

Out[53]= (0 1 2

3

4 Б б Т

а

9

Г6

-Г1-Г2-Г3-Г6 -Г2-Г3-Г4

-Г1-Г2-2Г3-Г4-Г5-Г6 -Г2-Г3-Г4-Г6 -Г3-Г4-Г5 -Г6

Г1+Г2+Г3+Г6 Г2+Г3+Г4

Г1+Г2+2Г3+Г4+Г5+Г6

1G 11 12

Г2+Г3+Г4+Г6

Г3+Г4+Г5

Гб)

in[54]:= Ortit [{"x",{G,G,-1,G,G,G,G,G},1}]

(G -Г1

1 -Г2

2 -Гз

З -Г1-Г2-Г3-Г4-Г6