О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Денисов, Василий Николаевич

• Денисов, Василий Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Денисов, Василий Николаевич

Введение

1 Постановка задач и обзор известных результатов.

2 Основное содержание работы.

1 Условия стабилизации для дивергентного уравнения

1.1 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в одномерном и двумерном случаях.

1.2 Доказательство теоремы 1.2.

1.3 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в М^ при N >

1.4 Доказательство теоремы 1.3.

1.5 О неулучшаемости условий теорем 1.2 и 1.3.

1.6 О решениях эллиптических уравнений в Кд7 со степенным ростом на бесконечности.

1.7 Принцип максимума для обобщенных решений задачи Коши в классах растущих функций

1.8 Доказательство теоремы 1.7.

1.9 Доказательство теоремы 1.9.

1.10 О неулучшаемости условий на младшие коэффициенты в теоремах 1. и 1.9.

1.11 Доказательство теоремы 1.10.

1.12 О точности условий в теореме 1.

2 Стабилизация в недивергентном случае

2.1 Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для уравнения с радиальным потенциалом.

2.2 Некоторые свойства суперрешений эллиптических уравнений в N ^

2.3 Доказательство теоремы 2.2.

2.4 О растущих суперрешениях для эллиптических недивергентных уравнений в N > 3.

2.5 О стабилизации суперрешений параболических уравнений.

2.6 Доказательство теоремы 2.3.

2.7 Доказательство теоремы 2.4.

2.8 Доказательство теоремы 2.5.

2.9 О точности условий теоремы 2.4.

2.10 Точность условий теоремы 2.5.

3 Условия стабилизации первой краевой задачи

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Лемма о возрастании.

3.3 Итерационное неравенство и его следствия.

3.4 Оценка снизу тепловой емкости цилиндра через винеровскую емкость основания.

3.5 Доказательства теорем 3.1 и 3.2.

3.6 Свойства тепловых потенциалов и параболических емкостей для параболического уравнения.

3.7 Доказательство достаточности теоремы 3.

3.8 Доказательство необходимости теоремы 3.3.

3.9 Доказательство следствия 3.1 теоремы 3.3 о стабилизации решения краевой задачи в конусе.

3.10 Доказательство теоремы 3.4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений»

1 Постановка задач и обзор известных результатов

Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с нелокальным поведением (при большом времени) решений задач Коши и первой краевой задачи для параболических уравнений второго порядка.

Систематическое исследование по качественной теории уравнений параболического типа стало возможным благодаря фундаментальным работам, посвященным обоснованию вопросов разрешимости задачи Коши и смешанных задач для таких уравнений.

Из огромного числа работ по корректности постановки упомянутых выше задач отметим работы В.А. Ильина [1], A.M. Ильина, A.C. Калашникова, O.A. Олейник [2], O.A. Ладыженской ,В.А Солонникова , H.H. Уральцевой [3], Е.М. Ландиса [57]. Среди зарубежных ученых отметим фундаментальные работы Д. Аронсона [4], Фридмана [5], Г. Либермана [6]. Работа А.Н.Тихонова [7] явилась первой работой, в которой изучалась стабилизация решений уравнения теплопроводности. Эта работа открыла новое направление в теории уравнений в частных производных, которое интенсивно развивается в настоящее время.

В данной работе изучается стабилизация решений задач Коши для параболических уравнений второго порядка, как дивергентного, так и недивергептного типа в зависимости от поведения на бесконечности младших коэффициентов уравнений для различных классов начальных функций, включающих в том числе и растущие функции .

Мы изучим также необходимые и достаточные условия на неограниченную область в M.N, при которых решение первой краевой задачи для параболического уравнения без младших членов стабилизируется к нулю для любой ограниченной начальной функции.

Приведем список применяемых далее обозначений и определений (см. [2]-[4]).

D = Rn х (0, оо) = {х, t : х е R*. t > 0}, D = M.N x [0, oo) = {x, t : x G RN, t > 0}. Щь.ь] = {x,t-.xe Rn, к <t<t2}— слой в R+,

С¡) — ограниченная область в М^, {х £ Ж1* : \х—х'о| < й} открытый шар в с центром в точке Хо, радиуса Я, ВК — замкнутый шар в частности

Я = Я(0,т], VT>0, х G MN : \х - х0\ < R}, BR = В\ о я

Объем шара Вхг?: где лг площадь сферы единичного радиуса в а(х) = Ог/к(ж), а(х, = £) — квадратные матрицы размера N х N с вещественными коэффициентами. n n о = ЪкСх)^, (а(х, ОС, 0 = ^^ ~~ г, к=1 квадратичные формы, порожденные матрицами а(х) и а(х, ¿) соответственно. Всегда будем предполагать симметричность матриц а{х) и а{х, £), т.е. ащ(х) = акг(х), сцк(х, ¿) = (*, & =

УС/ = (С/Ж1, ., ихы)— градиент скалярной функции 17(ж),

С/. = = дХг' Х*Х"! дХгдХк

Для вектора = (Ьх(ж), ., Ъ^{х)) полагаем n

Ь(х) ■ Vи = (6(х), УС/(а;)) = ^ ^ (ж) , 1 а для вектора ¿) = (Ь](х, - - -, ЬлК®» £)) полагаем N ь(®, о • Vи = (Ь(х, г), чи(х)) = 1 г = |ж| — расстояние в евклидовом пространстве от точки ж до О, Г = Г (г) — функция, зависящая от г,

Пусть £1 — произвольная область в Мдг+1, под пространством И/21'°(П) будем понимать (см. [3]) пополнение множества финитных бесконечно дифференцируемых функций Со°(П) по норме

I а2(х, г) + (V/, V/)) ¿гЛ .п

1/2 где как обычно (V/, V/) — скалярный квадрат вектора (/^ . (х, у) — скалярное произведение в аналогично И/21,1(0) — есть пополнение множества функций Со°(Г£) по норме

Н/Ни^сп) = п

1/2

Пусть ал) дивергентный оператор второго порядка, где х — ., х^) € М", Щк(х) — ограниченные и измеримые функции в М^. Аналогично определим оператор

1.2) с ограниченными и измеримыми коэффициентами в £) = М^ х (0, оо). При этом мы всегда предполагаем, что для (1.1) выполняются условия: (*(*)*, 0 < или, соответственно для (1.2), условия

1.3)

1.4) где Л0 > 0, Аг > 0, Мх е К* Уt > О, е

Будем рассматривать и недивергентные операторы вида: n

А(х) = £

1,к=1 n д2

А(х, 4) = £ ^ г, к=1

1.5)

1.6) где для матриц а(х) = ац^х), а(х, Ь) — щк(х, ¿) выполнены условия (1.3) (соответственно (1.4)).

В х (0, оо) будут рассмотрены обобщенные решения и(х, £) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от х: Ь(х) = (^(я), ., Ь^(х)), с(х), с дивергентным огь-ератором (1.1):

Ь(х)и + (Ь(х), V«) + с(х)и — щ = О,

1.7) удовлетворяющее условию и(х, 0) = uq(x), х е RN, (1.8) где щ(х) — заданная функция. Точные условия на (1.7) и (1.8) даны ниже.

В х (0, оо) будут изучены обобщенные решения и(х, t) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от (ж, t): агь{х, t), b(x, t) = (Ъх{х, i), ., t)), c(x, t), с дивергентным оператором (1.2):

L(x, t)u + (b(x, t), Vu) + c(x, t)u - щ = 0, (1.9) удовлетворяющее условию u(x, 0) = u0(x), x e (1.10)

Коэффициенты (1.7) (соответственно (1.9)) являются ограниченными и измеримыми в M.N (в D), функция щ(х) — непрерывна в M.N и удовлетворяет определенному условию роста на бесконечности (например ограничена |и0(ж)| < М или |и0(ж)| < М( 1 + l^l)"1 и т. д.), при этом предполагается, что решения и(х, t) удовлетворяют аналогичному условию роста^ И,

Под обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10)) в DT = RjV х (0, Т), Т > 0 будем понимать (см. [3], [4]) функцию и(х, t), которая при всех R > 0 принадлежит пространству И^'^Дк х (0, Т)) и удовлетворяет интегральному тождеству

J [(aVii, Vr]) — [т)(Ь, Vu) + curj\ — щи] dxdt =

RjV +1 J ио(х)т)(х, 0)dx, (1-11) для всех функций rj(x. t) из WI'1{Dt) с ограниченным носителем, удовлетворяющих условию г)(х, Т) = 0. Будем говорить, что функция и(х, t) является обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8), (1.9), (1.10) в области D, если при каждом Т > 0 она является обобщенным решением в области Др. Известно (см., например, [3] — [5]), что если функция щ(х) является ограниченной (точнее, если щ(х) G L°°(mN)) и если ее норму обозначить через ||^o||l=°(mw)! т0 ограниченное решение задачи Коши (1.7), (1.8) ((1.9), (1.10)) существует, единственно, принадлежит классу С(М++1) и где С не зависит от щ.

Случай неограниченных начальных функций рассмотрен, например, в [2], [4], [5]. В области х (0, оо) рассмотрим классические решения параболиче, ского уравнения с недивергентным оператором (1-5):

Lи = А(х)и + (b{x), Vu) + с(х)и — ut = 0, (1-12) удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) = гю(а:), х € (1.13) Аналогично рассматривается задача Коши с оператором (1.6)

Lu = А(х, t)u + (b(x, t), V«) + c(x, t)u - ut = 0, (1.14) u{x, 0) = Uq{x), x e RN. (1.15)

Под классическим решением задачи (1.12), (1.13) (или (1.14), (1.15)) мы понимаем (см. [2], [5]) такую функцию и(х, t), которая непрерывна в D, имеет непрерывные производные, входящие в (1.12) (или (1.14)), удовлетворяет в D уравнению (1.12) (или (1.14)) и соответствующему начальному условию при t = 0. Ради краткости рассмотрим случай (1.14), (1.15).

Будем предполагать в дальнейшем, что оператор (1.6) является равномерно параболическим, т.е. выполненяются неравенства (1.4), коэффициенты уравнения (1.14) непрерывны и ограничены в D, и, кроме того, удовлетворяют условиям Гельдера: aik(x, t) - aik(x0, t0)\ < А[\х - х0р + 11- ¿о|7/2], (а)

Ibifo t) - bi{x0, i)| < A\x - хор, (Ь) c(œ, t) - c(xo, £)| < A\x - ar0p, (c) для (x, I) € D, (х'п, ¿o) € -D и некотором 7 : 0 < 7 < 1. Аналогичные условия накладываются и на коэффициенты уравнения (1.12).

Если решение и(х, t) удовлетворяет условию роста и(х, t)I < Сгес*Ы\ (1.16) в слое Я[0>г] для Т > 0, т.е. и{х, t) из тихоновского класса, то задача Коши (1.14), (1.15) имеет единственное решение (см., например [2], [5]). Мы далее будем считать, что начальная функция и0(х) и соответствующее ему решение и(х, t) удовлетворяют условию (1.16), и что коэффициент с(х, t) удовлетворяет неравенству с(х, t) < 0, [с(гг) < 0]. (1.17)

Определение. Пусть и(х, t) — решение задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10), (1.12), (1.13), (1.14), (1.15)). Будем говорить, что решение и(х, t) стабилизируется в точке x Е , если существует конечный предел lim и(х, t) = А(х). (1.18) t—>00

Если предел (1.18) существует равномерно по х на каждом компакте К в Шм (равномерно по х во всем Rw), то будем говорить, что решение стабилизируется равномерно по х на любом компакте К в R-^ (равномерно по х во всем R-^).

В главах 1 и 2 настоящей работы мы будем изучать условия на коэффициенты параболического уравнения (1.14) (или соответственно (1.7), (1.9), (1-12)) при которых решение соответствующей задачи Коши стабилизируется к нулю lim и(х, t) = 0, (1.19) t—уоо равномерно относительно х на любом компакте К в ~RN, при любой начальной функции щ(х) из некоторого класса единственности решения этой задачи Коши.

Отметим, что изучение задачи о стабилизации решения задачи Коши идет в основном по двум линиям: изучение влияния на стабилизацию младших коэффициентов уравнений, при любой начальной функции щ(х) из заданного класса; и строения начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения, когда младшие коэффициенты не оказывают влияния на явление стабилизации.

В ряде работ других авторов (см. обзоры [8], [9], [10]) изучались условия, которые гарантируют существование равномерного во всем M.N предела (1.19). В настоящей работе, в отличие от упомянутых работ, мы отказываемся от равномерности во всем Шм предела (1.19), и это приводит, как будет видно из результатов нашей работы, к расширению классов коэффициентов и начальных функций, для которых существует предел (1.19), равномерно относительно х на каждом компакте К в R^.

В настоящей работе мы приведем обзор некоторых результатов о стабилизации, в которых изучается влияние младших коэффициентов уравнений. Обзоры работ по другим проблемам стабилизации задачи Коши и краевых задач содержится в работах [81, [9], [10].

Первой работой по стабилизации является работа А.Н. Тихонова [7]. В 1938 году А.Н. Тихонов в [7] установил следующие результаты.

Пусть Q — ограниченная область в Шм и пусть D = Q х (0, оо) — прямой цилиндр с основанием Q С RN, и(х, t) — непрерывная в D функция, удовлетворяющая уравнению теплопроводности: г) ff

Au-—- =0 в D, (1.20) ot и условиям и{х, t) = (f(X, l), х е S = dQ x (0, oo), t > 0, (1.21) и(х, 0) = ф{х\ xeQ, (1.22) где ф(х), (ß(x, t) непрерывные функции, удовлетворяющие условию ф(х) = !р(х, 0), х G Q.

I. Если функция и(х, t) непрерывна в D и удовлетворяет в D уравнению (1.20) и условию и(х, t) = 0, х Е S, t > t0 > 0, (1.23)

1.24) то lim и(х, t) = 0 t—Voo равномерно по х € Q, каковы бы ни были значения и(х, t) при t < toll. Если ip(x, t) — ip(x) — т.е. граничная функция не зависит от t, то решение удовлетворяющее (1.20)—(1.22) имеет предел lim и{х, t) = V(x), (1.25) t—Voo равномерно по х G Q, где V(x) — решение задачи

AV = 0, в Q, V\s = v{x). (1.26)

В дальнейшем сформулированные выше результаты А.Н. Тихонова из [7] обобщались во многих работах (см., например, [11]-[14]). А. Фридман доказал в [12], {13] теоремы о равномерном стремлении к нулю при t —> оо решений краевых задач в полуцилиндре и в расширяющейся области, неоднородных параболических уравнений второго порядка вида (1.14) (содержащих "слабые" нелинейности) при условии, что граничные функции стремятся к нулю при t —¥ оо. Там же сформулированы и доказаны теоремы, обобщающие результаты А.Н. Тихонова на общие неоднородные линейные уравнения, заданные в полуцилиндре D = Q х (0, оо).

Результаты работ [12], [13] и ряда других работ систематизировали в главе 6 монографии [5].

Хорошо известно ([14]), что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

А и — щ = 0, в D, u\t=o = и0(х), х € М^ с начальной функцией щ(х), которая стремится к нулю при [х| —> оо, само стремится к нулю при t —> оо.

Тот же результат имеет место и для уравнений с постоянными коэффициентами n n у^ aikuXtXk + ЪгиХ1 +си — щ = 0, г, к—1 г=1 при условии, что с < 0. Это легко следует из явной формулы для решения. Однако, как было установлено в работе A.M. Ильина ]15], подобное утверждение о существовании предела lim и(х, t) = 0 решения задачи Коши уже не имеет места для параt—yoo болического уравнения (1.14) с переменными коэффициентами, зависящими от х и t, даже если выполнено условие с(х, t) < 0.

A.M. Ильину принадлежит следующая теорема (см. [15], с. 117). Если и(х, t) является решением уравнения (1.14), удовлетворяющим условиям

1. и(х, 1) = lio(x) —^ 0 при |ж| —> оо,

2. уравнение (1.14) является равномерно параболическим (т.е. выполнены неравенства (1-4)),

3. коэффициенты bi(x, t) ограничены в полосе H[i,t], VT > 1, \bi(x, i)| < M при М < г0, г0 > 0, n ай(х, t) + Ьг(х, t)xi) > 5 > О i= 1 для любого t > 1 и |а;| > 5q > О,

5. с(ж, t) < 0, (ж, t) е D, то lim и(х, t) = 0 равномерно по i в В [15] на примерах показано, что при невыt—>оо полнении хотя бы одного из условий 1) — 5) теоремы, утверждение может оказаться неверным.

В §12 работы [2] получен ряд результатов о стабилизации решений краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений вида (1.14). Так как мы обобщим некоторые результаты из [2], то для удобства читателя приведем обзор ряда результатов из §12 работы [2].

Предположим, если не оговорено противное, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены, а коэффициент с(х, 1.) удовлетворяет неравенству с(х, t) < 0, и что рассматриваемые решения и ио(ж) ограничены |п(ж, ¿)| < М, |uo(x)| < М.

Теорема 1. ([2], §12). Пусть и(х, t) является решением задачи Коши (1.14), (1-15) или решением уравнения (1.14) в цилиндре D = Q х (0, оо), где Q — ограниченная область в M.N, удовлетворяющим начальному условию и(х, 0) = щ(х), х е Q и одному из краевых условий u\s = 0, t > 0 или i{u) = ^ + аи^ =0, t > 0, где S = dQ х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра D, а(х, t) < 0, v — направление в МЛ', составляющее острый угол с направлением внутренней нормали к границе области Q. Пусть с(х, t) < -со < 0, (х, t) 6 D, (1.27) где со — постоянная. Тогда lim и(х, t) = 0, (1.28) t—foo равномерно по х Е Q.

В теореме 2 §12 [2] установлено, что условие (1-27) может быть отброшено и заменено на с(х, t) < 0 в случае первой краевой задачи. Тогда существует предел (1.28).

В теореме 4 §12 [2] доказано, что если и(х, t) — решение задачи Коши (1.14), (1-15) с ограниченной начальной функцией щ(х) и если существует такая положительная в M.N функция V(x), что x,t)V + (b(x,l),W) + c(x,t)V-Vt< 0 в D, (1.29) lim V(x) = +oo, (1.30) ъ то lim и(х, t) = 0, (1.31) i->oo ъ n равномерно по х на каждом компакте К в

Теорема 4 носит условный характер, в том смысле, что требуется еще указать условия, гарантирующие существование функции V(x), обладающей свойствами (1.29), (1.30).

В §12 [2] установлена теорема 5, которая утверждает, что если

1. и(х, t) — ограниченное решение задачи Коши (1.14Л (1-15) с ограниченной начальной функцией щ(х)

2. коэффициент с(х, t) удовлетворяет, неравенству (1.27) для х G Q\, где Q\ — ограниченная область в M.N,

3. в M.N существует функция V(x), удовлетворяющая (1.29) при |а;| > R, t > 0, и такая, что выполнено (1.30), то решение задачи (1.14), (1.15) имеет предел (1.31), равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Легко видеть, что достаточным условием существования функции V(x) в теореме 5, обладающей свойствами (1.29), (1.30) является расходимость следующего интеграла оо / г \

J г ехр | - J J dr = +oo, (1-32) r \ r ) где N

J2 ац(х, t) + bi(x, t)xi q{y) = sup -, o,t>o E aik{^ t)Sp i, k=1 при этом в качестве функции V(x) в теореме 5 следует взять функцию

N /г \

V(|®|) = J г ехр I - J ^dy J dr. (1.33)

R \ R )

В работе Р.З. Хасьминского [16] дана классификация дифференциальных операторов с коэффициентами, зависящими только от х, вида

N „

Ai^AOzO + ^b^) —, (1.34)

1 1 относительно принадлежности оператора Ai(a;) одному из классов (Л2), (Лз) определения классов Ait i = 1, ., 3, мы приведем ниже), и устанавлена связь между стабилизацией решения задачи Коши (1.12), (1.13) и принадлежностью оператора Ai(x) одному из классов (^4i), г = 1, 2, 3.

Пусть Q — некоторая ограниченная область в с достаточно гладкой границей QQ.

Определение. Будем говорить, что оператор (1.34) принадлежит классу (Ai), если в области Q существует не менее двух различных ограниченных решений внешней задачи Дирихле для эллиптического уравнения

Ai(a?)u = О, 16»ЛГ\(3.

Определение. Оператор К\{х) принадлежит классу (А2), если Ai(a;) ^ и уравнение

Ai(®)u = -1, xzRN\Q не имеет положительного решения.

Определение. Оператор Ai(a;) принадлежит классу (Л3), если Ai(rr) ^ (А\) и Ai(s) £ (Л2).

Оператор Лапласа в пространстве размерности 2 дает пример оператора класса (yli), оператор Лапласа в R3 дает пример оператора класса (Л2)- Примером оператора из класса (Аз) может служить одномерный оператор

92 , г ^ 9

В работе [16] установлены следующие результаты. Пусть и(х, 0) = и0(х) и функция и0(х) финитна в JRn. Тогда справедливы теоремы: оо

1. Если hi(x) € то lim и(х, t) = 0 и f \и(х, t)\dt < со.

4—>оо q оо

2. Если Ki{x) G (А2), то lim и(х, t) = 0, но при с(х) = 0 и щ(х) > 0, I и(х, t)dt = t—ЮО Q

00.

3. Пусть начальная функция щ(х) ограничена (но может быть не финитна).

Тогда, если Ai(a;) € (Л3) и с(х) = 0, то lim и(х, t) = I u0(x)p(x)dx, t—foo J

RN где р{х) > 0 — единственное решение сопряженного уравнения А\р{х) = 0 такое, что / p(x)dx = 1.

4. Пусть начальная функция щ(х) ограничена (но может быть не финитна). Тогда, если Ai(:r) € (А2) или Ai(x) G (А3) и с{х) < 0, и с(х) О, то lim и(х, t) =

00

О.

Если коэффициенты уравнения (1.14) зависят от ж и от t, то картина зависимости поведения решения задачи Коши (1.14), (1.15) от поведения коэффициентов уравнения (1.14) оказывается более сложной. Это видно из цитируемых ниже результатов работы [17].

Рассмотрим дифференциальный оператор а

Лх(ж, t) = А(х, + Чх, (1.35)

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены в D и выполнено условие (1.4).

В §1 работы [17] доказан аналог теоремы 1 из [16] для случая коэффициентов, зависящих от х и от t. В теореме 1 работы [17] установлено, что если существует функция V = V(|a:|) > 0, такая, что

Аг(х, t)V(N) < 0, при |ж| > R > 0, t > 0 (1.36) lim V(|z|)=0, (1.37) х|—>00 U lim и0(х) = 0, (1.38) х|—ЮО то решение задачи (1.14), (1-15) имеет предел lim и(х, t) = 0 (1.39) t-юо равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Замечание. Достаточным условием существования функции V(x), обладающей свойствами (1.36), (1.37), является сходимость следующего интеграла оо / г \

Jг exp 9i(p)dp I dr < оо, (1-40) го \ го / где n

J2 ац(х, t) + bi(x, t)xi й(г) = Г inf г=1 i, fc=l при этом в качестве функции в теореме 1 из [17] следует взять функцию

9i(fi)dp^ dr.

Предполагая, что для некоторых ограниченных областей Q и Qi в Ж7^, Q С Qi справедливы соотношения с(х, t) < —со < 0, при х е Q, с(ж, t) = 0, при xeRN\Qu авторы работы [17] устанавливают теорему 2, в которой утверждается, что решение задачи (1.14), (1-15) имеет предел lim и(х, t) > О, t—>оо если существует функция У(|а;|), для которой выполнены условия (1.36), (1.37) и, кроме того, inf щ(х) > 0.

Если же и(х, t) — решение задачи Коши (1.12), (1.13), с(х) < 0, и существует предел lim «о(ж) = к, то lim и(х, t) = w(x), где w(x) — единственное решение х|->оо t-юо уравнения

Ki{x)w + c(x)w = 0, для которого существует предел lim w(x) = k. х\—>оо

Отметим интересные результаты работы В.В. Жикова [19], в которой были получены достаточные условия на коэффициенты уравнения (1-14) для любого начального значения щ{х) G Lco(RN), гарантирующие справедливость теоремы о "равностабилизации" , т.е. существование предела lim (и(х, t) - v(x, t)) = 0, (1.41) где v(x, t) — решение задачи с постоянными коэффициентами n n aikvXiXk + ^ \vx. -Vt = 0, (1.42) i,k=1 i= 1 v(x, 0) = p(x)u0(x), (1.43) p(x) — периодическая с периодом 1 функция по каждому аргументу (xi, ., xN).

Предполагая, что коэффициенты параболического уравнения (1.14) являются гладкими и периодическими функциями периода 1 по каждому аргументу (х1}., х^), с(х, t) ~ 0, и что вектор b — (bi, ., bn) мало отличается от постоянного вектора Ь1, оо / г ж|) = J г ехр | - J ы го т.е. имеет вид Ь = Ъ1 + е, где Ъ1 = (Ь\, ., Ь]^) — постоянный вектор. Тогда найдется параболический оператор вида (1.42) с постоянными коэффициентами и гладкая периодическая функция р(х) такая, что если и(х, ¿) — решение задачи Коши а у(х, I) — решение задачи (1.42), (1.43), то для любой функции щ(х) Е существует предел (1.41).

Теорема о равностабилизации позволяет получить критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения с младшими членами, выражающийся в терминах существования соответствующих данному уравнению пределов средних от начальной функции. В самом общем случае критерий поточечной (равномерной) стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка без младших коэффициентов в классе ограниченных начальных функций был получен в работе В.В. Жикова [18].

В работе [20] был впервые получен критерий стабилизации рашения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией. В [21] результаты [20] перенесены на некоторые параболические уравнения с постоянными и переменными младшими коэффициентами.

Более подробный обзор работ, когда изучается строение начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения задачи Коши, когда младшие члены не оказывают влияния на явление стабилизации см. в [9].

Замечание. Согласно терминологии, введеной Н. Мейерсом и Дж. Серринном [22] функцию у(х) > 0, удовлетворяющую условиям (1.36), (1-37) называют барьером, отвечающим оператору Ах (ж, 1,).

Если функция ь(х) > 0 удовлетворяет условиям то функция у(х) называют антибарьером, отвечающим оператору А^ж, ¿) на бесконечности [22].

Хорошо известно ([22]), что если оператор Лх имеет барьер, то он не может иметь антибарьер. Явные условия на коэффициенты, гарантирующие существования барьера или антибарьера даны в работе [22]. В случае оператора Лапласа барьер существует при N > 3, а антибарьер при N <2.

Используя концепцию барьера (антибарьера) для уравнения (1.14), мы можем дать другую, эквивалентную, формулировку результатов, цитированных выше работ [2], [16], [17] в терминах существования антибарьера (барьера) для уравнения (1.14).

В главе 1 настоящей работы мы перенесем концепцию антибарьера с классических решений суперпараболических неравенств на случай обобщенных решений соответствующих суперпараболических неравенств с дивергентным эллиптическим оператором (1.1), имеющим независящие от £ коэффициенты. На этом пути мы получим ос

А^ж, £)и — щ = 0, = щ(х),

Аг{х, £)^<0, |а;|>Д, £>0, Нт у(х) — +сю,

1.44)

1.45) новные результаты главы 1 в классах ограниченных или степенным образом растущих на бесконечности начальных функций.

В главе 2 построим классические антибарьеры для уравнения (1.14) с точным порядком роста на бесконечности, обусловленным соответствующим поведением на бесконечности младших коэффициентов этого уравнения (1.14). Начальные функции при этом будем брать из классов функций, порядок роста которых согласован с порядком роста соответствующих антибарьеров. На этом пути будут получены основные результаты о стабилизации решения задачи Коши (1.14), (1.15) в классах экспоненциально растущих начальных функций.

Глава 3 посвящена вопросу о влиянии неограниченной области <2 на свойство стабилизации к нулю решения первой краевой задачи для параболического уравнения где оператор Ь(х) определен в (1-1), и0(х) — непрерывная и ограниченная в ф функция, Б = 9(3 х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра П.

В работе [23] доказано, что если решение и(х, £) уравнения (1.14) в нециллиндри-ческой области

Отметим, что область Zt в каждом сечении t = t0 является ограниченной. Из условия ip(t)\"ip'(t)\ < /3 следует, что возможно логарифмическое расширение области Zt при i —У оо. Окончательный результат получен A.M. Ильиным в [24], который доказал, что ф(Ь) должно расти не быстрее, чем логарифм. Точным классам единственности для параболических уравнений и систем посвящена работа [25]. Достаточные условия на область Q, при которых решение первой краевой задачи стабилизируется к нулю, посвящена работа Ф.Х. Мукминова [26]. Эта тематика получила значительное развитие в работах JI.M. Кожевниковой (см. [27] и имеющиеся там ссылки).

В главе 3 мы установим, что если область M.N\Q имеет бесконечную емкость, [28], то решение смешанной задачи (1.46) стабилизируется к нулю при t —> оо. Установлена также необходимость этого условия на емкость M.N \ Q.

L(x)u — ut = 0, в D = Q х (0, оо), < «|s = 0, jAt=o = Ио(х), х G Q,

1.46)

Zt = {х, t : t > 0, |z| < ф(1)}, ФШ'(г)\ < Р, ф{£) е СЧО, оо], удовлетворяющее условиям и\агг = 0, и|4=0 = и0(х), где ь.о(х) — непрерывная и ограниченная в Zo функция. Тогда

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Денисов, Василий Николаевич, 2011 год

1. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. // УМЫ, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97-154

2. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // УМН, 1962, т.17, вып. 3, с. 3-146.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. // Москва, Наука, 1967.

4. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1968, v. 22, N 4, p. 607-694

5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. // Москва, Мир, 1968

6. Lieberman G.M. Second order parabolic differential equations. // World science, 2005

7. Тихонов A.H. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. // Бюллютень МГУ, математика и механика, 1938, т.1, N 9, с. 1 49

8. Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей A.JI. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Динамика сплошной среды. 1975, N 23, с. 57-90

9. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. // УМН, 2005, т. 60, N 4, с. 145-212

10. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, N 1, с. 20-41

11. Fulks W. A note on the steady state solutions of the heat equations. // Proc. Amer. Math. Soc., 1956, v. 7, N 5, p. 766-771

12. Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state. // J. Math and Mech, 1956, v. 8, N 1, p. 57-76

13. Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order. // Acta Mathem, 1961, v 106, N 1-2, p. 1-43

14. Krzyzanski M. Scer l'allure asymptotique des solutions d'équation de type parabolique. // Bull Acad. Polon. Sei., 1956, Sei cl III, N 4, p. 247-251

15. Ильин A.M. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени. // УМН, 1961, т. 16, N 2, с. 115-121

16. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных дифузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений. // Теория вероятностей и ее прилож. 1960, т. 5, N 2, с. 196-214

17. Ильин A.M., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных дифузионных процессов. // Матем. сборник, 1963, т. 60, N 3, с. 368-392

18. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений. // Матем. сборник, 1977, т. 104, N 4, с. 597-616

19. Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами. // Труды ММО, 1983, т. 46, с. 69-98

20. Решшков В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // ДАН СССР, 1964, т. 157, N 3, с. 532-535

21. Репииков В .Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши. // ДАН СССР, 1966, т. 167, N 2, с. 298-301

22. Meyers N., Serrin J., The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equations. // J. Math and Mech, 1960, v. 9, N 4, p. 513-538

23. Черемных Ю.Н. Об асимптотике решений параболических уравнений. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, N 6, с. 913-924

24. Ильин A.M. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения. // Мат. заметки, 1985, т. 37, с. 851-856

25. Житомирский Я.И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами. // Изв. вузов, матем., 1959, N 1, с. 55-74

26. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. // Матем. сборник, 1980, т. Ill, N 4, с. 503-521

27. Кожевникова JI.M. Классы единственности решений первой смешанной задачи для параболического уравнения щ = Au с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях. // Матем. сборник, 2007, т. 198, N 1, с. 59-101

28. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. // Москва, Наука, 1966

29. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. // Amer. J. Math., 1958, v. 80, N 4, p. 531-954

30. Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations. // Bull. Amer. Math. Soc., 1967, v. 73, N. 6, p. 890-896

31. Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divirgence forms. // J. Math. Kyoto Univ., 1987, v. 72, p. 597-619

32. Zang Qi. S. Gaussian bounds for the fundamental solutions of V(AVu) + BVu — щ = 0.// Manuscripta Math., 1997, v. 93, p. 381-390

33. Смирнова Г.Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности. // Матем. сборник, 1966, т. 70, N 4, с. 591-604

34. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией. // Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, N 9, с. 1684-1695

35. Pinchover Y. On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients. // Math. Zeitsh., 1996, bd. 223, p. 566-586 •

36. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. // Москва, Наука, 1973

37. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1990, т. 131, N 11, с. 1486-1509

38. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1982, т. 119, N 4, с. 451-507

39. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. // Москва, Наука, 1989

40. Гарнетт Б. Ограниченные аналитические функции. // Москва, Мир, 1987

41. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations // J. Anal. Math. 1954/56, v. 4, p. 309-340

42. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ ч. 1, 2. // Изд. МГУ, 2005

43. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. // Москва, Наука, 1973

44. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous. // Ann. Inst. Fourier, 1965, v. 15, N 1, p. 189-258

45. Крейн М.Г., Рутман M.A. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // УМН, 1948, т. 3, N 1, с. 3-95

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. // Москва, Наука, 1971

47. Красносельский М.А., Соболевский П.Е. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения. // УМН, 1961, т. 16, N 1, с. 197-199

48. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. // Новосибирск, 2003

49. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности. // Дифференциальные уравнения, 1988, т.34, N 2, с. 246-255

50. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. // Москва, ИЛ. 1949

51. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Наука, 1983

52. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. // Москва, ИЛ. 1954

53. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. // Москва, ИЛ. 1948

54. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Факториал Пресс, 2005

55. Харди Г. Расходящиеся ряды. // Москва, Факториал Пресс, 2006

56. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ в евклидовых пространствах. // Москва, Мир, 1974

57. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. // Москва, Наука, 1971

58. Watson N.A. Thermal capacity. // Proc. London Math. Soc., 1978, v.37, p. 372-662

59. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН СССР, 1969, т. 185, N 3, с. 517-520

60. Кайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности. // Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1973, N 5, с. 26-32

61. Lanconelli Е. Sur problema di Dirichlet per l'equasione del calore. // Ann. Mat. Pura ed Amol, 1973, v. 77, p.83-114

62. Алхутов Ю.А. Устранимые особенности решений параболических уравнений второго порядка. // Математические заметки, 1991, т. 50, N. 5, с. 9-17

63. Gariepy R., Ziemer W.P. Thermal capacity and boundary regularity. // J. Diff. Equations, 1982, v. 45, p. 374-388

64. Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quazilinear parabolic equations. // J. Diff. Equations, 1980, v. 35, p. 291-305

65. Evans L.C., Gariepy R.F., Wiener criterion for the heat equation. // Arch. Ration. Mech and Anal., 1982, v. 78, N 4, p.193-194

66. Littman W., Stampacchia G., Wainberger N.F. Regular points for elliptic equations with discontinious coefficients. // Ann. Scoula Norm. Sup. Piza, 1963, v. 17, p.43-77

67. Денисов B.H. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 4, с. 506-515

68. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентом и растущей начальной функцией. // ДАН РАН, 2004, т. 397, N 4, с. 439-441

69. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 2003, т. 23, с. 125-148

70. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, N 4, с. 79-97

71. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с экспоненциально растущей начальной функцией. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 2008, т. 261, с. 97-106

72. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций. // ДАН РАН, 2010, т. 430, N 5, с. 586-588

73. Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 2010, т. 270, с. 97-109

74. Денисов В.Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций. // Труды конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология Москва, 2008, с. 118-32

75. Денисов В.Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами. // Современнная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 36, с. 61-71

76. Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами. // ДАН РАН, 2010, т. 433, N 4, с. 452-454

77. Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН РАН, 2006, т. 407, N 2, с. 163166