О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Денисов Петр Васильевич

• Денисов Петр Васильевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Денисов Петр Васильевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор известных результатов. Постановка задачи

2 Определения и основные результаты

ГЛАВА 1. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПО И. Г. ПЕТРОВСКОМУ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. ВОПРОСЫ СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ПО

ВРЕМЕНИ

1.1 Основные оценки фундаментального решения. О средних Чезаро

от решения системы (1), (2)

1.2 Формулировка результатов для случая параболической по И. Г. Петровскому системы уравнений с постоянными коэффициентами

1.3 Доказательство теорем

1.4 Параболические по И. Г. Петровскому системы дифферециаль-ных уравнений с непрерывными по £ ^

ГЛАВА 2. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯ ИТЕРИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1 Обобщенная формула Пуассона. Теорема об асимптотической близости. Теорема 1 и теорема

2.2 О задаче Коши для итерированного уравнения теплопроводности

2.3 Доказательство леммы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Список использованных источников

Список публикаций соискателя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени»

ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор известных результатов. Постановка задачи

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вопросов о нелокальном поведении (при больших значениях временив) решения задачи Коши для параболических по И. Г. Петровскому систем уравнений в частных производных и поведения при больших £ решения обобщенной задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности.

В качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными (в частности, уравнений и систем параболического типа) имеется множество направлений и известно великое количество фундаментальных публикаций. Остановимся, в применение к тематике диссертационной работы, на некоторых из них.

Из числа публикаций по качественной теории и постановок задач об асимптотике параболических уравнений прежде всего отметим работы А. Н. Тихонова [ ], [ ], В. А. Ильина [ ], А. М. Ильина, А. С. Калашникова, О. А. Олейник [ ], В. К. Гущина, В. П. Михайлова [ ].

Особую (в том числе и для предлагаемой диссертации) важность для случая систем параболических по И. Г. Петровскому уравнений представляют собой работы С. Д. Эйдельмана [ ], [ ], С. Д. Эйдельмана и Ф. О. Пор-пера [ ], С. Д. Эйдельмана [ ]. Первой же работой, в которых изучалась асимптотика решений обобщенной задачи Коши для так называемого ультрапараболического уравнения, была работа Ю. Н. Дрожжинова [ ].

Из авторов последнего времени отметим В. В. Городецкого [ ], а также В. А. Литовченко и И. М. Довжицкой [ ], где стабилизация изучалась в классах обобщенных функций.

С подробными обзорами по качественным свойствам решений параболических уравнений можно ознакомиться в статьях: А. К. Гущина, В. П. Михайлова и Л. А. Муравья [ ], В. Н. Денисова и В. Д. Репникова [ ], В. Н. Денисова [ ].

Глубокие результаты по асимптотике решений параболических функционально-дифференциальных уравнений получены в работе А. Б. Муравника [ ]■

Тем не менее, необходимо отметить, что обзорные статьи [ ], [ ], [ .5] сейчас не могут претендовать на достаточную полноту, ибо с тех пор появилось немало работ, которые существенно дополняют известные до этого сведения

по параболическим уравнениям.

Предел средних по £ от решения задачи Коши для параболических уравнений, допускающих существование усредненных параболических уравнений

с постоянными коэффициентами, изучен у В. Н. Денисова и В. В. Жикова [ ]■

В данном небольшом обзоре мы приводим только те публикации, появление которых стимулировало возникновение новых работ по асимптотике решений параболических уравнений.

Начало исследований асимптотического поведения решений уравнений параболического типа было положено работой А. Н. Колгоморова, И. Г. Петровского и Н. С. Писку нова [ ].

Первой работой по стабилизации решения уравнения теплопроводности является работа А. Н. Тихонова [ ]. Важную роль в вопросах единственности

решения параболических уравнений сыграла другая работа А. Н. Тихонова [ ]■

В работе М. Кржижанского [ ] началось изучение поведения при £ ^ решения задачи Коши для уравнения теплопроводности, в которой построена ограниченная начальная функция, такая, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с этой начальной функцией не стабилизируется ни в одной точке х € Е^.

У В. Д. Репникова и С. Д. Эйдельмана [ ] получено необходимое и достаточное условие поточечной стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Основным инструментом доказательства служит тау-берова теорема Н. Винера ([ ]).

В. М. Полякова [ ] впервые исследовала вопросы стабилизации параболического уравнения с переменными коэффициентами.

Ю. Н. Дрожжинов [ ] изучил асимптотическое поведение решений для ультрапараболического уравнения.

А вот в работах В. Н. Денисова [ ], [ ] показано, что даже для решений уравнения теплопроводности в классе неограниченных функций теряется связь между усреднениями (предел которых существует и наступает стабилизация и(х,£) с характеристиками роста начальных функций). В дальнейшем, в статье В. Н. Денисова [ ] в классе степенным образом ограниченных функций доказано, что такая связь существует, если предположить, что решение и(х, £) стабилизируется равно мерно в Е^.

Для получения необходимых и достаточных условий стабилизации реше-

ний параболического уравнения с переменным коэффициентом при du/dt А. К. Гущин и В. П. Михайлов предложили в [ ], [ ] усреднять этот коэффициент в метрике пространства Li, начальная функция, при этом ограничена в En

Новый подход к решению вопросов о стабилизации решений параболических уравнений предложен В. В. Жиковым в [ ], [ ]. Предложенным им методом удалось решить задачу о стабилизации в классе ограниченных функций в тех случаях, когда семейство операторов, порождаемое изучаемым оператором, допускает существование усредненного оператора с постоянными коэ ф ф и ци ентам и.

Отметим статью В. Н. Денисова и В. В. Жикова [ ]. В ней методом усреднения решена задача о необходимых и достаточных условиях стабили-

t

уравнения второго порядка с ограниченной начальной функциейuo(ж):

г

Нш - и(х,т)<т = 0,

г^+ж £ У 1 У о

где предел является поточечным по х в Е^.

В работе С. Д. Эйдельмана [ ] изучены вопросы о стабилизации, т.е. существования предела решения

lim u(x, t) = 0

задачи Коши для параболической по И. Г. Петровскому системы уравнений с коэффициентами, зависящими от Здесь предполагается, что начальная вектор функция и0(х) является ограниченной в пространстве Е^. Ответ записывается в виде предела [61 ] угловых предельных средних вектор функции и0(х), либо в терминах центрально симметрических среди их равномерно пох в Е^, а также в виде предельных средних по кубам К|> со сторонами, равными 2Я, и с центром в точке х. Доказывается в [ ], что условие существования равномерного по х в Е^ предела при Я ^ + ж средних по кубам К|> влечет за собой стабилизацию решения системы параболических по И. Г. Петровскому уравнений, коэффициенты которых либо постоянны, либо зависят от £

В работе [ ] изучаются процессы с обострением для решений квазилинейных уравнений параболического типа.

В [ ] приводятся определения обобщенных решений для ряда задач математической физики и обосновываются методы их решения.

Книга [ ] посвящена систематическому изучению решения задач Коши и краевых задач методами решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Книга [ ] представляет собой подробное руководство по решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Учебник [ ] является современным учебником по теории уравнений в частных производных. Книга же [ ] является самым известным пособием по уравнениям в частных производных и математической физике.

Отметим также пособие [ ], которое является конспектом лекции по уравнениям математической физики (УМФ), читавшихся на физическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Книга [ ] является основным руководством по преподаванию УМФ, использующим обобщенные решения. Книга же [ ] служит основным учебником по решению УМФ с использованием специальной техники решений. Учебники [ ], [ ] служат основным руководством по решениям УМФ.

Особо отметим учебник [ ] В. А. Стеклова, который является основным руководством по классическим методам УМФ. Учебник [ ] дает решения основных задач УМФ. Также классический учебник [ ] дает развернутое представление о методах решения УМФ классическими методами.

В книге [ ] приведены подробные сведения о решениях уравнений Воль-терра и Фредгольма классическими методами.

Перечислим также несколько классических пособий, тесно связанных с используемыми методами. Так книга [ ] является современным учебником по функциональному анализу. В книге [ ] Дж. Голдстейна даются методы решения линейных уравнений с помощью теории групп. Пособие [ ] является очень подробным учебником по теории линейных дифференциальных уравнений.

Отметим также книгу [ ] Ф.Трикоми, которая является учебным пособием по уравнениям в частных производных. Книга [ ] является современным учебником по теории уравнений в частных производных. А вот [ ] и [ ] одни из первых статей по асимптотике при £ ^ то решений задачи Коши для параболических уравнений. Более того, в работе [ ] изучено эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов.

Упомянем также статью [ ], в которой доказывается критерий стабилизации задачи Коши для параболического уравнения без младших членов. В [ ] изучается асимптотика при большом времени £ ^ +то решений параболических уравнений второго порядка с младшими коэффициентами.

В статье [ ] получен критерий равномерной стабилизации задачи Коши

для параболических уравнений. Статья [ ] впервые посвящена асимптотике при большом времени £ решения задачи Коши для параболических систем с растущими коэффициентами.

В [ ], [ ] установлена гельдеровость фундаментальных решений параболических уравнений. Впервые изучены в статье [ ] параболические уравнения второго порядка с диссипативными коэффициентами.

В статье [ ] получено условие о равномерной стабилизации решения первой смешанной задачи для параболического уравнения. В [ ] получено условие о равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения.

Широко известная книга [ ] является учебником по эллиптическим дифференциальным уравнениям второго порядка, а [ >8] учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Популярный курс [ ] изучает уравнения в частных производных эллиптического и параболического типов.

Итак, напомним, что настоящая диссертация посвящена изучению вопросов о нелокальном поведении (при больших значениях времени £) решения задачи Коши для параболических по И. Г. Петровскому систем уравнений в частных производных и поведения при больших £ решения обобщенной задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Денисов Петр Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертационной работы автора, выдвигаемые па защиту, являются новыми и состоят в следующем:

• Получен критерий существования равномерного во всем пространстве предела средних по времени от решения параболической по И. Г. Петровскому системы уравнений без младших коэффициентов.

• Впервые также получен критерий существования равномерного во всем пространстве предела средних Чезаро порядка а ^ 0 по времени от решения параболической по И. Г. Петровскому системы уравнений с младшими коэффициентами.

• Получены критерии существования пределов средних по времени и средних Чезаро порядка а ^ 0 по времени в терминах существования средних по кубам, а также в терминах существования предела средних по шарам равно-

х

• Если выполнены некоторые условия роста и а(£) = £т+р-1 — порядок средних, то установлено утверждение о равностабилизации предела разности решения итерированного уравнения и некоторой специально построенной

х

пакте со скоростью не менее, чем £-т/2 (т.е. установлена степенная оценка указанной разности).

• Получено утверждение о равностабилизации при больших значениях времени средних типа Рисса по времени от соответствующей функции и построенного решения.

Результаты работы могут быть использованы специалистами, работающими в области качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Благодарности. Автор выражает икреннюю благодарность своим научным руководителям, а именно, доктору физико-математических наук, профессору Шамолину Максиму Владимировичу и кандидату физико-математических наук, доценту Заплетину Максиму Петровичу за постановку интересной и важной задачи, а также внимание и ценные советы по работе с диссертацией.

Автор выражает глубокую благодарность заведующему кафедрой общих проблем управления механико-математического факультета, доктору физико-математических наук, профессору Фурсикову Андрею Владимировичу и всем сотрудникам кафедры за плодотворное обсуждение работы.

Автор также благодарит профессорско-преподавательский состав факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В.Ломоносова за полученное ранее математическое образование.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Денисов Петр Васильевич, 2024 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Список использованных источников

1. Бедмаы Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 2003, 215 с. 6

2. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М., Наука, 1982, 336 с. 6

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М, Наука, 1971, 512 с. 6

4. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., Наука, 1976, 280 с. 6

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М., Наука, 1989. 7

6. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.

Киев, Высш. школа, 1989, 347 с. 6

7. Городецкий В.В. Некоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических по Шилову систем в классах обобщенных функций // Укр. матем. журн., 1988, т. 40, № 1, с. 43 48. 3

8. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сборник, 1982, т. 119, № 4, с. 451 507. 7

9. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // ДАН СССР, 1970, т. 194, № 3, с. 492 495. 5

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для одномерного параболического уравнения // ДАН СССР, 1971, т. 197, № 2, с. 257 266. 5, 48

11. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 2, с. 297 311. 3

12. Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей Л.А. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Сибирское отдел. АН СССР. Институт гидромеханики. Динамика сплошной среды, вып. 23, 1975, с. 57 89. 3

13. Денисов В.Н. К вопросу о необходимых условиях стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности во всем пространстве

и на любом его компакте // ДАН СССР, 1981, т. 260, № 4, с. 780-783.

14. Денисов В.Н. О необходимых условиях равномерной во всем пространстве стабилизации решения задачи Коши в классах функций, имеющих степенной рост // ДАН СССР, 1982, т. 262, № 4, с. 785 786. 4

15. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени // Успехи матем. наук, 2005, т. 60, № 4, с. 145 212. 3

16. Денисов В.Н. О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений // СМФН., 2020, т. 66, № 1, с. 1 155. 4, 66

17. Денисов В.Н., Жиков В.В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Матем. заметки, 1985, т. 37, № 6, с. 834 850. 4, 5

18. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1984, т. 20, № 1, с. 20 41. 3, 16, 54, 62, 65, 66

19. Денисов В.Н., Шелепова Е.В. О скорости стабилизации решения параболического уравнения // Проблемы матем. анализа, 2020, т.ЮЗ, с. 85 90. 59, 64

20. Денисов П.В. Об асимптотике средних от решения задачи Коши для системы параболических уравнений // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, 2018, т. 145, с. 110 113. 8, 9, 10, И, 13, 24

21. Денисов П.В. Об асимптотических свойствах решений итерированного уравнения теплопроводности // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, 2021, т. 192, с. 155 160. 17, 24

22. Денисов П.В. О стабилизации средних по времени от решения параболической по 14. Г. Петровскому системы уравнений // Дифференциальные уравнения, 2022, т. 58, № 11, с. 1557 1561. 17

23. Денисов П.В. О стабилизации средних Рисса по времени решения задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика, 2022, № 2, с. 13 16. 26

24. Дрожжинов Ю.Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения // Известия АН СССР, серия матем., 1969, т. 33, № 2, с. 368 378. 3, 4

25. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений // Минск, Наука и техника, 1979, 743 с. 6

26. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем.сборник, 1977, т. 104, № 4, с. 597 616. 5, 6

27. Жиков В.В. Критерий поточечной стабилизации для параболических уравнений с почти - пертодическими коэффициентами // Матем. сб., 1979, т. 110, № 2, с. 304 318. 5

28. Жиков B.B. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами // Труды ММО, 1983, т. 46, с. 69 98. 6

29. Житомирский Я.14. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в часных производных с растущими коэффициентами // Изв. вузов, матем., 1959, № 1, с. 55 74. 7

30. Ильин А.М. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени // УМН, 1961, т. 16, №

2, с. 115 121. 6

31. Ильин А.М.., Калашников A.C., Оленик O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук, 1962, т. 17, №

3, с. 3 146. 3

32. Ильин А.М., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных дифузи-онных процессов // Матем. сборник, 1963, т. 60, № 3, с. 368 392. 6

33. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97 154. 3

34. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сеидов Бл.Х. Математический анализ.

М., МГУ, т. 1, т. 2, 2004. 68

35. Колгоморов А.И., Петровский 14.П., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической задаче // Бюлл. Моск. Гос. Ун-та, сек. Математ. и механ., 1937, т. 1, № 6, с. 1 26. 4

36. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., Наука, 1971. 7

37. Литовченко В.А., Довжицкая И.М. Стабилизация решений параболических систем типа Шилова с неотрицательным родом // Сибирский матем. жури., 2014, т. 55, № 2, с. 341 349. 3

38. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983, 423 с. 6, 48

39. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М., 1952, 216 с. 6

40. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М., Высшая школа, 1977, 431 с. 6

41. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сборник, 1990, т. 131, № 11, с. 1486 1509. 7

42. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // СМФН, 2014, т. 52, с. 3 141. 3

43. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1969, 526 с. 6

44. Петровский 14.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Физ.-мат. литература, 2009, 400 с. 7

45. Полякова В.М. О стабилизации уравнения теплопроводности // ДАН СССР, 1959, т. 129, № 6. 4

46. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // ДАН СССР, 1964, т. 157, № 3, с. 532 535. 6

47. Репников В.Д., Эйдедьмаы С.Д. Необходимые и достаточные условия установления задачи Коши // ДАН СССР, 1966, т. 167, № 2, с. 298 301. 4, 62

48. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975, 443 с. 6

49. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюлов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением для квазилинейных параболических уравнений. М., Наука, 1987, 480 с. 5

50. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., Наука, 1988, 333 с. 6

51. Стеклов В.А. Основные задачи Математической физики. М., Наука, 1983, 432 с. 6

52. Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных // Бюллетень МГУ, математика и механика, 1938, секция Al, № 9, с. 1 45. 3, 4, 30, 47

53. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М., 14. Л., 1957, 443 с. 6

54. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М., 14. Л., 1960, 299 с. 6

55. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М., 2003, 351 с. 6

56. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М., Наука, т. 1, 1963, 343 с. 6

57. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М., Наука, т.2, 1968, 515 с. 6

58. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1983. 7

59. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды. Изд. 2-е стереотипное. М., Ком. Книга, 2006, 504 с. 4, 9, 22, 23, 26, 62

60. Черемных Ю.Н. Об асимптотике решений параболических уравнений // Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, № 6, с. 913 924. 6

61. Шишмарев 14.А. Введение в термоэллиптических уравнений. М., МГУ, 1979, 183 с. 6

62. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их приложений // Матем. сб. 1953, т. 33, № 2, с.359 382. 3, 5, 10, 21

63. Эйдельман С.Д. Лиувиллевы теоремы и теоремы об устойчивости для решений параболических систем // Матем. сб., 1958, т.44, № 4, с. 481 508. 3, 10, 51

64. Эйдельман С.Д. Параболические системы. Наука, 1964, 443 с. 3, 5, 22, 30, 51

65. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболических систем // Известия вузов матем., 1960, № 4, с. 210 217. 3, 5, 10, И, 38, 48, 50

66. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией // Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 9, с. 1684 1695. 7

67. Aronson D.G.Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations. Bnll.Amer. Math. Soc., 1967, v. 73, No. 6, pp. 890 896. 7

68. Denisov P.V. On the asymptotics of averages values of solutions to the Cauchy problem for a system of parabolic equations. Journal of Mathematical Sciences, 2020, V. 245, No. 4, pp. 524-527. 21

69. Krzyzanski M. Sur Failure asymptotique des o potentials de chaleur et de Pintegrall de Fourier-Poisson. Annal. Polonici, Math., 1957, v. Ill, No. 2, pp. 288 299. 4

70. Nash J. Continuity of sjlutions of parabolic and elliptic equations. Amer. J. Math., 1958, v. 80, No. 4, pp. 531 954.

71. Nicolesccu Miron. Ecuatia iterata a caldurii Studii Si-Cercetari Matematicl. Academia Republii Populare Romine, 1954, V. 5, No. 3 4, pp. 243 333. 15, 17, 18, 53, 54, 61

72. Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divirgence forms. J. Math. Kyoto Univ., 1987, v. 72, pp. 597 619. 7

73. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary, Journal of Mathematical Sciences, V. 189, No. 2 (2013), pp. 274 283.

74. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Studying the interphase zone in a certain singular-limit problem, Journal of Mathematical Sciences, V. 189, No. 2 (2013), pp. 284 293.

75. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of the Capillary problem, Journal of Mathematical Sciences, V. 189, No. 2 (2013), pp. 294 300.

76. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Quasi-stationary Stefan problem with values on the front depending on its geometry, Journal of Mathematical Sciences, V. 189, No. 2 (2013), pp. 301 310.

77. Tychonoff A.N. Theoremes f unicite pour l'equatim de la chaleur. Mat. Sb., 1935, v. 45, No. 2, pp. 199 216. 3, 4, 15, 53, 61

Список публикаций соискателя

1-А. Денисов П.В. Об асимптотике средних от решения задачи Коши для системы параболических уравнений // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, 2018, т. 145, с. 110-113; Denisov P.V. On the asymptotics of averages values of solutions to the Cauchy problem for a system of parabolic equations. Journal of Mathematical Sciences, 2020, V. 245, No. 4, pp. 524-527, DOI: 10.1007/sl0958-020-04708-l [Scopus, SJR-0,21].

2-A. Денисов П.В. О стабилизации средних по времени от решения параболической по И. Г. Петровскому системы уравнений // Дифференц. уравнения, 2022, т. 58, № И, с. 1557-1561, DOI: 10.31857/S0374064122110115 [WoS, JCI-0,51],

3-А. Денисов П.В. О стабилизации средних Рисса по времени решения задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика, 2022, № 2, с. 13-16, DOI: 10.31857/S0374064122110115 [RSCI, ИФ РИНЦ-0,224].

Иные публикации по теме диссертации

4-А. Денисов П.В. Об асимптотических свойствах решений ите- рирован-ного уравнения теплопроводности // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения., 2021, т. 192, с. 155-160, DOI: 10.36535/02336723-2021-192-155-160.