О покрытиях выпуклыми множествами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Карасёв, Роман Николаевич

• Карасёв, Роман Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карасёв, Роман Николаевич

Введение

Некоторые обозначения

1 О трансверсалях семейства транслятов двумерного выпуклого компакта

1.1 Формулировка результата

1.2 Вспомогательные факты.

1.3 Доказательство основной теоремы.

2 М-сильная выпуклость и порождающие множества

2.1 Введение

2.2 Вспомогательные факты.

2.3 Доказательство теоремы 2.3.

2.4 Применение теоремы 2.

2.5 Эквивалентность М-сильноЙ выпуклости и М-выпуклости

2.6 Доказательство аналога теоремы Каратеодори

2.6.1 Сведение доказательства к лемме 2.23.

2.6.2 Доказательство леммы 2.

2.7 Тела постоянной ширины.

2.7.1 Основные понятия и результаты.

2.7.2 Доказательства

3 О назначении точек гиперграням многогранника

3.1 Введение

3.2 Формулировка основных результатов.

3.3 Вспомогательные утверждения.

3.4 Доказательства основных результатов.

3.5 Следствия доказанных теорем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О покрытиях выпуклыми множествами»

Интерес к исследованиям в области дискретной геометрии и выпуклого анализа в последние десятилетия вызван значительным прогрессом в развитии вычислительной техники, который сделал возможным решение разнообразных задач геометрической оптимизации и управления и привел к постановке многих новых задач в этой области. Классическими задачами оптимизации в дискретной геометрии являются покрытия, упаковки и выпуклые разбиения, несколько результатов в этой области приведены в данной работе.

Задачи управляемости и наблюдаемости в математической теории оптимального управления сводятся к изучению "множеств достижимости", которые для некоторых классов задач являются выпуклыми множествами. В частности, некоторые задачи математической теории оптимального управления и теории дифференциальных игр требуют изучения свойств выпуклых множеств (выпуклый анализ) и возможных усилений понятия выпуклого множества. Последнему вопросу посвящена глава 2 данной работы.

Одним из фундаментальных результатов выпуклого анализа является теорема Хелли (см. [2]). Она утверждает, что конечное семейство выпуклых множеств в имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда любое подсемейство из не более чем п + 1 множества имеет непустое пересечение. В книге Л. Данцера, Б. Грюнбаума и В. Кли [2] содержатся разные приложения теоремы Хелли и ее обобщения, в частности, топологическая теорема Хелли, которая утверждает, что в теореме Хелли достаточно вместо выпуклости требовать гомологической тривиальности всех множеств семейства и всех их непустых пересечений.

Один из путей обобщения теоремы Хелли связан с понятием к-транс-версали семейства множеств — такого множества из к точек, которое пересекается с любым множеством семейства. Теорема Хелли утверждает, что конечное семейство выпуклых множеств имеет 1-трансвер-саль тогда и только тогда, когда 1-трансверсаль имеет любое подсемейство из не более чем п 1 элемента.

Однако, для /с-трансверсалей при к > 2 аналог теоремы Хелли не верен ни при какой константе вместо п +1. Тем не менее (см. обзор [4]) при рассмотрении других классов семейств аналогичные результаты могут быть установлены. Кроме того, в аналогах теоремы Хелли можно требовать выполнение более сильных условий, чем существование к-трансверсали достаточно малых подсемейств. В частности, Б. Грюнбау-мом была сформулирована гипотеза о том, что семейство транслятов выпуклого компакта на плоскости имеет 3-трансверсаль, если любые два множества из этого семейства пересекаются.

Ранее в литературе приводились частичные доказательства этой гипотезы в случае евклидовых кругов [5, 6], треугольников [7], центрально симметричных множеств [8] или множеств постоянной ширины [9].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карасёв, Роман Николаевич, 2003 год

1. Danzer, L., В. Griinbaum, V. Klee. Helly's theorem and its relatives // Convexity, Proc. of Symposia in Pure Math. Amer. Math. Soc. — Providence, R1. 1963. — V. 7. — P. 101-180.

2. Данцер Л., В. Грюнбаум, В. Кли. Теорема Хелли и ее применения.М.: Мир, 1968.

3. Грюнбаум В. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.

4. Хадвигер Г., Г. Дебруннер. Комбинаторная геометрия на плоскости. — М.: Наука, 1965.

5. Chakerian, G.D., S.K. Stein. Some intersection properties of convex bodies // Proc. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 18. — P. 109-112.

6. Griinbaum, B. On intersection of similar sets // Portugal Math. — 1959. — V. 18. — P. 155-164.

7. Chakerian, G.D., G.T. Sallee. An intersection theorem for sets of constant width // Duke Math. — 1969. — V. 36. — P. 165-170.

8. Болтянский В.Г., И.Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части. — М.: Наука, 1971.

9. Maehara, Н. A remark on certain completition of a convex set j j Math. Japonica. — 1991. — No. 1. — P. 47-49.

10. Иванов Г.Е., Е.С. Половинки». Сильно выпуклые дифференциальные игры // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31.С. 1641-1648.

11. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Математический сборник. — 1996. — Т. 187, No. 2. — С. 103-130.

12. Балашов М.В. Некоторые вопросы сильно выпуклого анализа. Дисс. на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. по спец. 01.01.09. — М.: МФТИ, 1998.

13. Половинкин Е.С., М.В. Балашов. М-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества j j Математический сборник.2000. — Т. 191, No. 1. — С. 27-64.

14. Frankowska Н., С. Olech. й-convexity of the integral of the set-valued functions // Contributions to analysis and geometry. — Baltimore, MD: John Hopkins Univ. Press, 1981. — P. 117-129.

15. Wieacker, J.A. Helly-type decomposition theorems for convex sets // Arch. Math. — 1988. — V. 50. — P. 59-67.

16. Geivaerts, M. Enkele eigenschappen van de relatie "homothetisch aanpasselijk" in de ruimte der konvexelichamen // Med. Konink. Acad. Wetensch. — Ве1^ё, 1972. — V. 34. — P. 3-19.

17. McMullen, P., R. Schneider, G.C. Shepherd. Monotypic polytopes and their intersection properties // Geom. Dedicata. — 1974. — V. 3. — P. 99-129.

18. Рудин У. Функциональный анализ. — M.: Мир, 1975.

19. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

20. Chakerian, G.D., Н. Groemer. Convex Bodies of Constant Width // Convexity and its Applications, ed. by P.M. Gruber and J.M. Wills. — Basel-Boston-Stuttgart: Birkhauser, 1983.

21. Bonnesen, Т., W. Fenchel. Theorie der konvexen Korper // Ergebn. d. Math. u. ihrer Grenzgeb. — Berlin: Springer Verl., 1934. — V. 8, No. 3. — P. 77.

22. Eggleston, H.G. Sets of constant width in finite dimensional Banach spaces // Israel J. Math. — 1965. — V. 3. — P. 163-172.

23. Meissner, E. Uber Punktmengen konstanter Breite // Vierteljahresschr. naturforsch. Ges. — Zurich, 1911. — V. 56.P. 42-50.

24. Фоменко А. Т., Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии.—М.: Наука, 1989.