Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ощепкова, Софья Николаевна

• Ощепкова, Софья Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ощепкова, Софья Николаевна

Оглавление

Введение

0.1 Введение

1 Сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве

1.1 Основные понятия

1.1.1 Стратифицированные множества

1.1.2 Стратифицированная мера

1.1.3 Определение дивергенции и эллиптического оператора на стратифицированном множестве

1.2 Эллиптический оператор на стратифицированном множестве

1.2.1 Координаты, риманова метрика, оператор Лапласа

- Бельтрами

1.2.2 Формулировка сильного принципа максимума

1.3 Некоторые вспомогательные результаты

1.3.1 Теорема о дивергенции

1.3.2 Теорема о среднем

1.3.3 Необходимое условие экстремума гладкой функции

на стратифицированном множестве

1.4 Доказательство основного утверждения и некоторые следствия

1.4.1 Доказательство сильного принципа максимума

1.4.2 Приложение к задаче Дирихле

1.4.3 Сильный принцип максимума для вырожденного лапласиана

2 Сильный принцип максимума для эллиптического оператора с переменными коэффициентами

2.1 Вспомогательные утверждения

2.1.1 Теорема об интегро-дифференциальном неравенстве

2.1.2 Необходимое условие экстремума гладкой функции

на стратифицированном множестве

2.2 Доказательство основного утверждения и комментарии

2.2.1 Формулировка и доказательство сильного принципа максимума

2.2.2 Заключительные замечания

2.3 Лемма о нормальной производной

2.3.1 Формулировка леммы о нормальной производной

2.3.2 Доказательство леммы о нормальной производной

в трехмерном случае

2.3.3 Доказательство леммы о нормальной производной

в общем случае

2.4 Краткая историческая справка

3 Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах»

0.1 Введение

Актуальность темы. Впервые принцип максимума был доказан в начале 19-го века Гауссом для оператора Лапласа на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения уже в контексте произвольного эллиптического оператора связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений.

Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений - теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы. Реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума даже для уравнения Лапласа оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.

Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пенкин [2]) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е., когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного иссле-

дования.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве и для более общих эллиптических операторов.

Методика исследования. Для решения основной задачи использовались как классические методы качественной теории уравнений с частными производными, так и специально разработанные автором методы. К примеру, для доказательства сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве доказано необходимое условие экстремума гладкой функции на нем в терминах интегралов от нормальной производной по стратифицированным сферам.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации являются новыми, за исключением вспомогательных теорем, формулировки которых приведены для полноты изложения. В числе основных результатов отметим следующие:

• необходимое условие экстремума гладкой функции на стратифицированном множестве,

• сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве, а также для более общего эллиптического оператора,

• лемма о нормальной производной для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, составленном из выпуклых стра-тов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических операторов, определенных как в обычных областях эвклидова пространства, так и на стратифицированных множествах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), в Воронеж-

ской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж, 2005), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2007), на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовни-чего (Москва, 2009 г.), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XXIII" (Воронеж, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах; их список приведен в автореферате. Работы [11],[10],[17] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 85 страниц. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 44 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении дается схематичное описание постановки задачи и методики ее решения на примере классического лапласиана в области эвклидова пространства.

Сильный принцип максимума для оператора Лапласа принято, вслед за Гауссом, доказывать с помощью теоремы о среднем, принадлежащей ему же. В начале двадцатого века благодаря Жиро и Хопфу были разработаны новые подходы, благодаря которым сильный принцип максимума удалось доказать для широкого класса эллиптических операторов второго порядка. Лапласиан на стратифицированном множестве хотя и является точным аналогом классического, но формулы, связанные с ним, как правило, оказываются более сложными, чем это имеет место в классическом случае.

Так, например, теорема о среднем по стратифицированной сфере для субгармонической функции (будем по традиции называть так решения неравенства Аи > 0, в котором теперь речь идет о стратифицированном

лапласиане) включает сумму средних по ее фрагментам различной размерности, что делает ее применение к доказательству сильного принципа максимума для субгармонических функций весьма проблематичным. Попытки действовать с помощью аналога леммы о нормальной производной позволили продвинуть решение вопроса о сильном принципе максимума лишь для случая лапласиана (а также более общих эллиптических операторов второго порядка) на двумерном стратифицированном множестве (Гаврилов A.A., Пенкин О.М. - [2]); сложность геометрии стратифицированного множества не позволили получить доказательство леммы о нормальной производной в больших размерностях даже для лапласиана на полиэдральных стратифицированных множествах (в данной работе это удалось).

После ряда неудачных попыток была реализована идея использовать не теорему о среднем (для субгармонических функций она формулируется в виде неравенства, связывающего среднее такой функции по сфере со значением ее в центре), а известную формулу для гладких субгармонических функций (далее V - внешняя нормаль к S):

(0-1-1)

S

верную для гладких поверхностей S, ограничивающих объемы расположенные в области (эта формула на стратифицированных множествах выглядит так же).

Покажем, как это работает в случае обычного лапласиана в области. Из формулы дифференцирования средних:

\ Sr / Sr

где |SV| - площадь сферы радиуса г, нетрудно вывести следующее утверждение - интегральное необходимое условие экстремума гладкой функции в области.

Теорема 0.1.1 Пусть £ - точка локального нетривиального максиму-

ма гладкой в области (7 функции, тогда найдутся такие сферы 5Г(£) сколь угодно малого радиуса, что

Мы называем £ точкой локального нетривильного максимума функции и, если это такая точка максимума, что ни в какой ее окрестности функция не является постоянной. Поскольку формулы (0.1.1) и (0.1.2) не могут выполняться одновременно, то субгармоническая функция не может иметь локальных нетривиальных максимумов в области.

Реализации этой идеи, так просто приводящей к сильному принципу максимума для классических субгармонических функций, посвящена вся первая глава. Остановимся на кратком описании содержания этой главы.

Первая глава

Значительная часть главы посвящена описанию основных понятий и вспомогательных результатов. Решению основной задачи - доказательству сильного принципа максимума для лапласиана на стратифицированном множестве - посвящен последний раздел главы. Большая часть используемых понятий была определена О.М. Пенкиным (с ними можно познакомиться в последней главе книги [24]), однако некоторые понятия уточнялись для целей нашей работы.

Для формулировки полученных в главе результатов нам потребуется несколько определений. Ограничимся пока частным случаем для простоты изложения. Общее определение, например, стратифицированного множества можно найти в самой главе.

Под стратифицированным множеством мы понимаем связное подмножество пространства представленное в виде объединения

(0.1.2)

<1(П) п(к)

(0.1.3)

к=0 з=1

открытых многогранников1 разных размерностей (стратов) ащ {к - размерность страта, a j - номер страта), расположенных в пространстве W1 так, что выполняются следующие требования:

a) замыкания двух произвольных стратов либо не пересекаются, либо их пересечение состоит из некоторых стратов объединения (1.1.1),

b) граница страта ащ - множество дищ ~ является объединением стратов меньшей чем к размерности.

Множество fi разбивается на два подмножества - fio и В качестве fio можно взять произвольное связное и открытое2 подмножество fi, составленное из стратов последнего и такое, что fio = fi. В диссертации предполагается, что fio fi, т.е.,что граница <9fio = fi \ fio 0- На fio далее определяется лапласиан А. Если бы граница fio оказалась пустой, то неравенство А и > 0 допускало бы только постоянные решения, а потому вопрос о сильном принципе максимума перестал бы быть актуальным. Для определения дивергенции и лапласиана требуется ввести так называемую стратифицированную меру.

Пусть /Zfc означает к-мерную меру Лебега на страте <7^. Из этих мер мы можем сконструировать меру на всем стратифицированном множестве, полагая для произвольного множества о; С fi

= П akj) (0.1.4)

Очевидно, что это имеет смысл только для множества, пересечение которого с каждым стратом измеримо по Лебегу на этом страте. Интеграл Лебега измеримой функции по введенной мере сводится к сумме интегралов Лебега по отдельным стратам.

Далее определяется оператор дивергенции на касательных векторных полях. Векторное поле F на fio называется касательным, если для каждого страта <Jkj С fio и каждого X 6 а^ вектор F(X) лежит в касатель-

1 Многогранник открыт, как подмножество содержащего его линейного многообразия минимальной размерности, наделенного индуцированной из Rd топологией.

2Множество ÍÍ рассматривается как топологическое пространство, наделенной топологией, индуцированной из Rd.

ном пространстве к а^- Дивергенция V • Р поля ^ в точке X определяется как плотность потока векторного поля относительно введенной выше стратифицированной меры.

При некоторых естественных предположениях о гладкости поля можно дать выражение для дивергенции в привычных терминах. А именно,

—*

предположим, что поле ^ имеет дифференцируемые сужения на страты из По . Пусть, кроме того, его сужение на каждый страт <7к+1,{ допускает продолжение по непрерывности на любой страт а^ -< сгк+1,г (запись вида &кз -< 07с+1,г означает примыкание страта а^ к страту Ой+гД Обозначим значение этого продолжения в точке X Е ащ через ^(Х+О-Д); оно никак не связано со значением Р(Х) поля F в этой же точке. В обозначении Р(Х + 0 • щ) вектор щ - единичный вектор в точке X, направленный в Здесь он нужен лишь для того, чтобы указать с какого страта

берется продолжение.

Обозначим через проекцию вектора Р(Х + 0 • й) на направление щ. Тогда выражение для дивергенции представляется в виде:

Ч-Р(Х) = Чк'Р(Х)+ ]Г РЩ{Х\ (0.1.5)

где через Vк обозначен обычный оператор дивергенции на страте а^,

действующий на сужение Р на этот страт.

Множество векторных полей, для которых дивергенция существует

и является интегрируемой функцией, обозначается через С1 (По)- Пусть

теперь на задана скалярная функция, дифференцируемая на каждом

страте. Обозначим через Уи - градиент этой функции в том смысле, что

на каждом страте Х7и определяется как градиент сужения функции и

_ —».

на этот страт. Если поле Уи принадлежит классу С (Г2о), то мы можем

определить лапласиан А и функции и, как дивергенцию ее градиента.

Соответствующая формула имеет вид:

Аи(Х) = Чк-(Чи)(Х)+ (^МХ) = (0-1-6)

<■Тк+г^УРкэ

где через Д/с обозначен обычный лапласиан, действующий на сужение и на страт а^- Хотя формально непрерывность функции и здесь не требуется (она может претерпевать разрывы при переходе со страта на страт), она нужна для доказательства сильного принципа максимума. Поэтому она включена в определение класса С2(По)> на котором и рассматривается лапласиан. В этот класс включаются непрерывные функции, градиент которых принадлежит С1 (По)-

Основной результат главы - сильный принцип максимума - формулируется следующим образом:

Теорема 0.1.2 Пусть и € С2(По) - решение неравенства Аи > 0. Тогда и не может иметь в По точек локального нетривиального максимума.

Доказательство этой теоремы проводится по схеме, приведенной выше для случая классического оператора Лапласа. А именно сначала доказывается необходимое условие экстремума в форме неравенств для интегралов по некоторым сферам достаточно маленького радиуса от нормальной производной рассматриваемой функции. Речь идет о следующем утверждении:

Теорема 0.1.3 Пусть X е По - точка нетривиального локального максимума функции и € С1 (По). Тогда найдутся сколь угодно малые допустимые г > 0 такие, что

Здесь 5Г(Х) - так называемая стратифицированная сфера с центром в точке X. Под этим мы понимаем пересечение обычной сферы с центром в рассматриваемой точке со стратифицированным множеством. Доказательство основывается на том, что неравенство (0.1.2) может быть переписано в виде:

(0.1.7)

¿у

< 0, (0.1.8)

(через Б™(Х) обозначено объединение пересечений сферы 3Г(Х) с (т + 1)-мерными стратами) которое, в свою очередь, легко вытекает (рассуждение от противного) из следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес:

Лемма 0.1.1 Пусть /о,..., /п - непрерывные на [0; а] и непрерывно дифференцируемые на (0;а] функции такие, что /¿(0) = 0 (г — 0, ...,п). Тогда из неположительности функций и'неравенства

следует /¿(г) = 0 при всех г.

Из формулы Грина на стратифицированном множестве получаем, что неравенство А и > 0 влечет

Но тогда, наличие локального нетривильного максимума у решения неравенства Аи > 0 приводило бы к одновременному выполнению (0.1.8) и (1.3.2), что очевидно невозможно.

Вторая глава.

Вторая глава посвящена обобщению сильного принципа максимума на эллиптические операторы с переменными коэффициентами. А именно, вместо оператора Лапласа рассматривается оператор Ари = V • (р^и) (требования, предъявляемые к р, описаны ниже). Вместо неравенства А и > 0 теперь рассматривается неравенство Ари — ци > 0, в котором д предполагается неотрицательной и непрерывной в каждом страте (вновь не предполагается, что д непрерывна в целом на По)-

(0.1.9)

(0.1.10)

Кроме того, в этой главе получено существенное продвижение в доказательстве леммы о нормальной производной. Она доказана для неравенств только что указанного вида в предположении, что страты являются выпуклыми многогранниками. Напомним, что ранее подобный результат был доказан (Гаврилов A.A., Пенкин О.М.) лишь для двумерных стратифицированных множеств (правда, страты при этом были произвольными многообразиями).

Сильный принцип максимума для рассматриваемого случая содержится в следующем утверждении:

Теорема 0.1.4 Пусть q € CCT(fio) ~ неотрицательная функция, а и G C2(fiо) ~ решение неравенства Ари — qu> 0. Тогда и не может иметь в fio точек положительного локального нетривиального максимума.

Здесь через Ca{ßо) обозначен класс функций, непрерывных в каждом страте (не обязательно в целом на fio).

Это утверждение доказано в предположении, что функция р регулярна. Будем говорить, что р регулярна в точке X, если найдется функция р, зависящая только от расстояния до X, определенная и положительная в некоторой окрестности и такая, что рр в этой окрестности убывает по любому направлению, выходящему из X. Доказательство проводится по схеме, разработанной в первой главе. Однако, вместо леммы 2.3.2 приходится использовать следующее необходимое условие локального максимума.

Теорема 0.1.5 Пусть X € fio - точка локального нетривиального максимума функции и € С2(fio). Пусть далее р G Са(fio) - регулярна в X и строго положительна. Тогда найдутся такие сколь угодно малые г > 0, что

J р dfir < О,

Sr(X)

где и - внешняя нормаль к стратифицированной сфере Sr{X).

В заключительной части главы доказывается аналог леммы Хопфа о нормальной производной. Здесь предполагается, что страты являются выпуклыми многогранниками.

Теорема 0.1.6 (лемма о нормальной производной) Пусть функция

иеС1(П0)Г)С(П):П->Ж удовлетворяет на неравенству

А и > 0.

Пусть она достигает своего максимума в точке Хо £ а^ С и(Хо) > и(Х) при всех X £ 0(ь и существует производная по нормали к <7/у, направленной внутрь симплекса &к+ц С Оо, примыкающего к стщ. Тогда эта нормальная производная меньше нуля.

В конце главы дается обобщение этой леммы обобщение на эллиптические операторы с переменными коэффициентами.

Доказательство основывается на традиционной барьерной технике, однако построение барьеров в случае стратифицированного множества долгое время вызывало большие затруднения из-за сложной его геометрии. Нам удалось преодолеть эти трудности сначала в случае, когда все страты являются симплексами. Такое сужение класса стратифицированных множеств позволило воспользоваться барицентрическими координатами, что в свою очередь дало возможность геометрические построения заменить построениями аналитическими.

Лемма о нормальной производной позволила получить еще один вариант сильного принципа максимума для одного достаточно широкого класса недивергентных эллиптических операторов.

В конце главы дается историческая справка, в которой приводится хронологическое развитие рассматриваемой в диссертации тематики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ощепкова, Софья Николаевна, 2013 год

Литература

[1] Берс Д., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1966

[2] Гаврилов A.A., Пенкин О.М., Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве, Дифференц. уравн., 2000, Т.36, №2, С.226-232

[3] Гилбарг Д., Трудингер Н., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.:Наука, 1989

[4] Жиков В.В., Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах, Известия РАН., 2002, Т.66, №2, С.81-148

[5] Зорин В.А., Математический анализ. 4.1, М.: МЦНМО, 2002

[6] Коллатц JL, Численные методы решения дифференциальных уравнений, М.: ИЛ, 1953

[7] Мизохата К., Теория уравнений с частными производными, М.:Мир, 1977

[8] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, М.:ИЛ, 1957

[9] Олейник O.A., О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа, Матем. сб. (н. сер.), 1952, 30, 3, 695-702

[10] Огцепкова С.Н., Пенкин О.М., Об одном необходимом условии экстремума на стратифицированном множестве, ДАН, 2007, Т.416, №1, С.22-25

[11] Ощепкова С.Н., Пенкин О.М., Теорема о среднем для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, Матем. заметки, 2007, Т.81, вып.З, С.417-426

[12] Ощепкова С.Н., Об одном необходимом условии экстремума, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы.- Воронеж: ВГУ, 2005.- С. 173-174.

[13] Ощепкова С.Н., О принципе максимума для гармонической функции на стратифицированном множестве , Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы „Понтрягинские чтения XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005.-С.119-120.

[14] Ощепкова С.Н., О принципе максимума на стратифицированном множестве, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы-Воронеж: ВГУ, 2007.- С. 174.

[15] Ощепкова С.Н., Сильный принцип максимума для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве, Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2007 - С.223.

[16] Ощепкова С.Н., Строгий принцип максимума для субгармонических функций на стратифицированных множествах, Международная конференция „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовничего: Материалы конференции. - М.: Изд-во „Университетская книга", 2009 - С. 187-188.

[17] Ощепкова С.H., Пенкин О.M., Савастеев Д.В., Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, Матем. заметки, 2012, Т.92, вып.2, С.276-290

[18] Павлов B.C., Фаддеев М.Д., Модель свободных электронов и задача рассеяния, ТМФ, 1983, Т.55, №2, С.257-269

[19] Пенкин О.М., О принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе, ДАН, 1997, Т.352, №4, С.462-465

[20] Пенкин О.М., О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе, Дифференц. уравн.,

1997, Т.ЗЗ, №10, С. 1404-1409

[21] Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова E.H., Об одной векторной краевой задаче, Краевые задачи, 1983, Пермь, изд. Пермского политехнического института, С.64-70

[22] Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах, Дифференц. уравн., 1998, Т.34, №8, С. 1107-1113

[23] Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О дифференциальных неравенствах для эллиптических операторов на сложных многообразиях, ДАН,

1998, Т.360, №4, С.456-458

[24] Покорный Ю.В., и др., Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Физматлит, Москва, 2004

[25] Понтрягин J1.C., Основы комбинатороной топологии, Наука, Москва, 1986

[26] Яно К., Бохнер С., Кривизна и числа Бетти, М.: ИЛ, 1957

[27] Courant R., Uber die anwendung der Variationsrechnung in der theorie der eigenschwingungen und über neue blassen von funktionalgleichungen, Acta Math., 40

[28] Evans L., Partial Differetial Equations, Amer. Math. Soc., 1998

[29] Freidlin M.I., Wentzell A.D., Diffusion processes on an open book and the averaging principle, Stochastic Processes and their Applications, 2004, 113, 101-126

[30] Gavrilov A., Nicaise S., Penkin O., Poincare's inequality on stratified sets and applications, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 2003, 55, 195-213

[31] Hopf E., A remark on linear elliptic differential equation of second order, Proc. Amer. Math. Soc, 1952, 3, 791-793

[32] John F., Partial differential equations, Springer-Verlag, 1986

[33] Kuehment P., Quantum graphs: an introduction and a brief survey, analysis on graphs and its applications, Proc. Sympos. Pure Math., Amer.Math.Soc, 2008, 77, 291-312

[34] Lumer, G., Connecting of local operators and evolution equation on network, L.N. in Math, 1980, 787, Springer Verlag, 219-234

[35] Lumer, G., Espaces ramifiés et diffusions sur les réseaux topologiques, C.R. Acad. Se. Paris, 1980, 291, Série A, 627-630

[36] Nazarov S.A., Junctions of singularly degenerationg domains with different limit dimensions 1, Journal of Mathematical Sciences, 2006, 80, 5, 1989-2034

[37] Nicaise, S., Boundary exact controllability of interface problems with singularities I: Addition of the coefficients of singularities, SIAM J. Control and Optimization, 1996, 34, 5, 1512-1532

[38] Nicaise S., Penkin O., Poincare - perron's method for dirichlet problem on stratified sets, J. Math. Anal. Appl., 2004, 296, 504-520

[39] Nicaise S., Penkin O., Solvability of the dirichlet problem on stratified sets, Journal of Mathematical Sciences, 2004, 123, 5, 4404-4427

[40] Oshchepkova S.N., Penkin O.M., Maximum principle for subharmonic functions on stratified set, Journal of Mathematical Sciences, 2011, Vol. 175, No.l, p. 33-38

[41] Penkin O.M., About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, 2001, 219, 183-191

[42] Pham F., Introduction a l'étude topologique des singularités de Landau, Gauthier-Villars Éditeur, Paris, 1967

[43] Pucci P., Serrin J., The maximum principle, Birkhàuser, Basel-BostonBerlin, 2007

[44] Schechter M., A generalization of the problem of transmission, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1960, (3) 14, 207-236