О механических системах с односторонними неголономными связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Березинская, Светлана Николаевна

• Березинская, Светлана Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Березинская, Светлана Николаевна

Введение.

1 Уравнения с мерами для систем с односторонними связями

1.1 Типы связей.

1.2 Пространство траекторий.

1.3 Припцип Даламбера-Лагранжа в интегральной форме для систем с двухсторонними связями.

1.4 Принцип Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа первого рода для систем с односторонними связями

1.5 Условия на скачке.

1.6 Основные законы динамики.

1.7 Уравнения Лагранжа 2-го рода.

1.8 Теорема Аппеля

1.9 Циклические интегралы и теорема Рауса.

2 Лагранжева теория удара для систем с односторонними связями

2.1 Возможные перемещения.

2.2 Основные положения теории удара.

2.3 Основное уравнение идеального удара в лагранжевых координатах.

2.4 Основные законы динамики удара.

2.5 Теорема Аппеля

2.6 Циклические интегралы и метод Рауса в теории удара

2.7 Безударность неголономных односторонних связей общего вида.

3 Примеры механических систем с неголономными односторонними связями

3.1 Плоское тело с каналом.

3.2 Шероховатый диск.

3.3 Двусторонний конек Чаплыгина.

3.4 Односторонний конек Чаплыгина

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О механических системах с односторонними неголономными связями»

1. Предметная область. Диссертация посвящена исследованию механических систем с односторонними связями. Исследование таких систем имеет большую историю.

Можно выделить два подхода к рассмотрению таких систем классический (дискретный), в котором считается, что движение внутри области, допустимой односторонними связями прерывается ударами о связь (т.е. мгновенными выходами на границу области и сходами с нее) и отрезками движения по границе области. Все эти перерывы образуют во времени дискретиую последовательность, чаще всего конечную. Движение описывается обычными уравнениями, например, уравнениями Лагранжа, а в моменты удара, выхода на связь и схода с нее решается задача определения того, как меняется скорость движения. непрерывный (уравнения с мерами), в котором моменты движения внутри области допустимой односторонними связями и движения по ее границе не разделяются. Движение описывается аппаратом специальных функций (функций ограниченного изменения). Уравнения движения при этом представляют собой уравнения связывающие между собой некоторые функции ограниченного изменения (меры Лебега-Стилтьеса).

Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки.

В системах с гладкими идеальными удерживающими связями траектории движения — это гладкие кривые по крайней мере второго порядка гладкости. Уравнения движения — это обыкновенные дифференциальные уравнения. У систем с односторонними связями помимо гладких движений мы можем наблюдать ещё движения по крайней мере двух видов. Во-первых — это одиночный удар, когда траектория движется внутри допустимой области, затем в какой-то момент времени ударяется о границу односторонних связей, и потом (отскочив от границы) снова продолжает двигаться внутри допустимой области. В момент удара скорость движения мгновенно меняется. Вторым примером является скольжение по границе допустимой области на некотором отрезке времени. В обоих случаях движение можно описать добавив в правую часть уравнений движения реакцию односторонних связей. При этом реакция не равна нулю только в моменты нахождения на границе односторонних связей. В первом случае реакция имеет импульсный вид и ее часто описывают, используя обобщенные функции, а во втором случае она представляет собой кусочно-непрерывную функцию.

В качестве аппарата, пригодного для описания движения систем с односторонними связями на любых участках траектории, можно использовать теорию функций с ограниченной вариацией (или, говоря иначе, мер Лебега-Стилтьеса). Есть несколько причин такого выбора. В классической механике систем с идеальными удерживающими связями движение механической системы представляет собой достаточно гладкую кривую в конфигурационном пространстве. При наложении односторонних связей скорость движения может уже претерпевать скачки. В большинстве случаев её представляют в виде гладкой функции, к которой добавляется кусочно-постоянная функция. Таким образом, реальное движение систем с односторонними связями можно было бы описывать в пространстве функций, которые представимы в виде такой суммы. Однако такое пространство не является удобным для исследования свойств движения аналитическими средствами. Например, в нем затруднительно решать вопрос о корректности систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение. Удачным пространством было бы, например, какое-либо банахово, т.е. полное метрическое пространство функций. В самом деле, когда (при исследовании систем с удерживающими связями) мы берем в качестве пространства возможных скоростей движения банахово пространство непрерывных функций с естественной метрикой, то оказывается, что решения дифференциальных уравнений (т.е. траектории) существуют и, даже, являются гладкими.

Здесь уместно поставить вопрос о том, каково минимальное пространство функций, которое объемлет гладкие функции и функции скачков и при этом является банаховым. Естественной метрикой в пространстве кусочно-постоянных функций является полная вариация. И минимальным подходящим для нас банаховым пространством с этой метрикой является пространство функций с ограниченной вариацией. Именно поэтому удобным представляется выбор пространства возможных траекторий систем с односторонними связями в виде пространства таких функций, производная (скорость) которых является функцией с ограниченной вариацией. Сами траектории при этом, по крайней мере, являются абсолютно непрерывными функциями.

При таком описании движения реакции связей также описываются как меры Лебега-Стилтьеса. Уравнения движения в этом случае представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие импульсные члены в правой части. В современной терминологии принято такие уравнения называть "уравнениями с мерами". Символически такие уравнения записываются следующим образом: dx = f(x, t)dt + h(t)dfi (1) где x, /, h G Л", причем f(x:t) и h(t) — непрерывные вектор-функции, a /i(t) — функция ограниченной вариации {dfi(t) — одномерная мера Лебега- Стилтьеса).

Пусть на отрезке £0 < t < t\ задана вектор-функция x(t) с ограниченной вариацией. Она является решением уравнения (1) с начальными условиями xq, если x(t$ — 0) — xq и для любой непрерывной вектор-функции v(t), заданной на отрезке t0 <t <t\ выполнено t1 t\ <i

J v{t)dx{t) = J v{t)f(x{t),t)dt + J v(t)h{t)dfi{t) to to to

Это условие эквивалентно выполнению для каждого t следующего уравнения t t x{t)=xо + J f{x{t),t)dt + J h(t)dfi(t) to to

Интеграл здесь понимается как интеграл Римаиа-Стилтьеса на отрезке [£о>£]

В первой главе диссертации дается описание систем с неудержи-вающими связями на основе уравнений с мерами. Однако в работе [49] показано, что в случае достаточной гладкости функций, описывающих уравнения и неравенства связей, траектория движения механической системы представляет собой последовательность отрезков безударного движения, разделенных не более чем счетным множеством точек удара о связи. Это означает, что при исследовании основной массы реальных механических систем можно ограничиться классической теорией удара. Поэтому основные результаты диссертации сосредоточены во второй и третьей главах, где развивается классическая теория удара для неголономных односторонних связей и на ее основе рассматриваются примеры конкретных механических систем.

Неформально говоря, односторонними неголономными связями мы называем такие ограничения, типа неравенства накладываемые на движение системы, которые не представлены (и, может быть, непредставимы) в виде задания какой-либо области в конфигурационном пространстве.

Простейший вид таких ограничений — это линейные ограничения задаваемые неравенствами вида с(х)х + d{x) < О

Именно они возникают при описании движения одностороннего конька Чаплыгина, рассмотренного в третьей главе.

Другой вид подобных ограничений, который мы называем условными связями, возникает, например, при соударении тел с абсолютно шероховатыми поверхностями. Связь состоит в том, что в моменты контакта эти поверхности прокатываются друг по другу без проскальзывания. Формально подобные ограничения можно описать системой соотношений, имеющих следующий вид: д{х) < 0, всегда, и а(х)х + Ь(х) = 0 при д(х) = О

Первое условие запрещает взаимное проникновение тел, а второе описывает качение без проскальзывания при их соприкосновении.

2. Обзор работ по теме.

Динамика систем с односторонними связями является классическим разделом теоретической механики. Ее основы формировались одновременно с развитием теории механических систем с удерживающими (двухсторонними) связями. Одна из основных задач, которая изучается в динамике систем с односторонними связями — это задача об ударе об одностороннюю связь. Классическое определение идеальности односторонних связей и описание лагранжевой теории удара можно найти в классических книгах [2], [20], [47] и [53]. Современное изложение общих вопросов лагранжевой теории удара дано в [15], [19], и [42]. Более углубленное изучение принципов описания систем с односторонними связями дано в монографиях [13], [24] [28], [41], [43] и статьях [23], [30], [29], [26]. В статьях [38], [45] и монографии [41] рассматриваются вопросы обоснования принципов механики систем с односторонними связями с точки зрения реализации таких связей в предельных моделях.

В особый раздел механики и математики — математические биллиарды (или биллиарды Биркгофа), выделилось изучение простейших систем с односторонними связями — материальная точка, движущаяся по инерции в ограниченной области на горизонтальной плоскости или в многомерном евклидовом пространстве. Удары о границу области считаются абсолютно упругими. Классические результаты в этой теории были получены в [12]. Современное результаты изложены в [41]. Вопросы изучения математических биллиардов с позиции общей теории динамических систем можно найти в [31].

Более общий класс систем с односторонними связями рассматривается в теории динамических биллардов. Это консервативные натуральные механические системы с односторонними связями и абсолютно упругими соударениями, движение которых изучается при фиксированной энергии системы. При заданном значении уровня энергии движение такой системы можно рассматривать как движение материальной точки в римановом пространстве по геодезическим метрики Якоби. Простейшим примером здесь является математический биллиард, на который наложено потенциальное силовое поле. По всей видимости в работах [3], [4] впервые такие системы были названы "динамическими биллиардами" . Обзор современного состояния теории динамических биллиардов проведен в [6]. В работах [5] и [48] изучается геометрические свойства простейших динамических биллиардов и наличие у них периодических движений.

Особую задачу представляет собой изучение неголономпых механических систем с односторонними связями. Анализ развития идей неголономной механики можно найти в [51], [52]. Импульсивное движение неголономпых систем изучается в классической монографии [44]. Здесь, в частности, рассмотрена задача об импульсивном воздействии на сани Чаплыгина. Последовательное изложение динамики неголономных систем с односторонними связями дано в [25]. Отметим также работы по т.н. вакономной механике неголономных систем, движение которых подчиняется интегральным вариационным принципам [33] - [37]. Такие системы в данной диссертационной работе не изучаются.

При исследовании механических систем с односторонними связями и импульсными воздействиями с успехом используется аппарат обобщенных функций и функций ограниченного изменения. Уравнения движения приобретают при этом форму уравнений с мерами введенными в работе [54]. Для натуральных механических систем с односторонними связями методом штрафных функций в работе [14] были выведены уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа второго рода. Систематическое описание техники уравнений с мерами и обзор работ с ее использованием найти в [13], [16], [46], [50]. В диссертации уравнения движения с мерами предлагается способ вывода уравнений движения механических систем общего вида основанный на общепринятом в механике аппарате возможных перемещений и принципе Даламбера-Лагранжа, сформулированных в интегральной форме подобно тому, как это делалось в [39], [40]. Это позволяет для систем с идеальными двухсторонними и односторонними связями получить уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа первого рода. Такие уравнения пригодны как для голономных, так и для неголономных систем. Из них выводятся основные законы механики таких систем, а также уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Односторонние неголономиые связи, т.е. односторонние ограничения на движение системы, которые не могут быть сведены к ограничениям на движение по конфигурационному пространству, впервые были введены в [9], [10]. Для их изучения использовался аппарат уравнений с мерами. Как уже говорилось, общая идея этого подхода состоит в описании импульсных или ударных воздействий при помощи аппарата мер Лебега-Стилтьеса. Уравнения движения систем с такими связями были выведены там же в форме уравнений Лагранжа первого рода с мерами. Однако при рассмотрении конкретных задач более удобным оказалось использовать обычную технику принципа Даламбера-Лагранжа и возможных перемещений в точке удара о связь. Формулировку этой техники для голономных односторонних связей можно найти, например, в классических трудах [2], [53]. Обзор современного состояния теории удара (для roлономных односторонних связей) можно найти в монографии [28]. В работах [7], [8] эта техника была распространена и на неголоном-иые односторонние связи. В работе [17] системы с односторонними неголономными связями рассматриваются как предельный случай систем с анизотропным трением. В таких системах величина силы трения зависит от обобщенных скоростей.

В работе [11] были рассмотрены системы с т.н. условными связями. Это двухсторонние связи, которые накладываются па движение системы при выполнении каких-то заданных условий на положение системы. Например, это могут быть дополнительные связи, возникающие на границе односторонних связей. В диссертации приводится пример системы с условной односторонней связью — удар однородного диска о шероховатую прямую. Отметим, что похожая задача была рассмотрена П. Аппелем [2]. Она состояла в определении скорости диска после удара о горизонтальную ось, если он продолжает катиться по ней.

В заключение обзора отметим метод регуляризации (или метод отражения) при изучении систем с односторонними связями, развитый в работах [21], [22], [23]. При помощи специального преобразования координат в окрестности точки удара об одностороннюю связь Кинетическая энергия натуральной механической системы приводится к симметричному виду, а связь к ограничению движения в полупространстве. Это позволяет рассмотреть движение системы во всем пространстве без односторонней связи (регуляризованная система). И ее траектории в новой части пространства будут зеркальными отражениями траекторий исходной системы. В работе [27] при помощи метода регуляризации исследована задача об ударе тяжелой частицы о шероховатую плоскость. Полученные здесь уравнения были применены к задаче о падении шара на шероховатую плоскость [28].

3. Содержание.

Диссертация состоит из трех глав. Коротко ее структуру можно описать следующим образом. В первой главе формулируются основные определения, относящиеся к неголоиомным односторонним связям и рассматриваются свойства систем с таким связями на основе аппарата уравнений с мерами. Во второй главе закономерности движения систем с неголономными односторонними связями формулируются и выводятся на основе классической лагранжевой теории удара. Третья глава посвящена описанию примеров систем с неголономными односторонними связями. Их свойства изучаются с использованием результатов полученных во второй главе.

Перейдем теперь к более детальному описанию содержания.

В первой главе вводятся рассматриваемые типы связей — односторонние неголономные и условные.

Далее обсуждается вопрос о том, какую форму должны иметь уравнения движения механических систем с такими типами связей, и каково должно быть пространство траекторий. Оказывается, что траектории движения таковы, что скорости движения являются функциями ограниченной вариации. При этом сами траектории, естественно, являются по крайней мере абсолютно непрерывными функциями.

Предлагается способ вывода уравнений движения механических систем общего вида, основанный на общепринятом в механике аппарате возможных перемещений и принципе Даламбера-Лагранжа, сформулированных в интегральной форме подобно тому, как это делалось в [39]. Это позволяет для систем с идеальными двухсторонними и односторонними связями получить уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа первого рода. Такие уравнения пригодны как для голономных, так и для неголономных систем. Из них выводятся известные основные законы механики (закон изменения импульса и момента количества движения и теорема Аппеля о сохранении составляющих импульса, касательных к поверхности удара, а также уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода).

Показывается что из принцип Даламбера-Лагранжа в интегральной форме для гладких систем в терминах мер следует обычный классический принцип.

В заключение главы формулируется и доказывается для всех типов связей метод Рауса понижения порядка системы.

Во второй главе для введенных типов связей рассматриваются уравнения движения в рамках классической лагранжевой теории удара. Данные уравнения имеют больший практический смысл по сравнению с уравнениями с мерами. Исследования конкретных систем, произведенные в третьей главе, опираются именно на эти уравнения. В диссертации они называются "основные уравнения теории удара". Переход от уравнений с мерами к уравнениям теории удара можно произвести, если функции, описывающие связи, имеют второй класс гладкости. Тогда скорость движения имеет только две составляющие — абсолютно непрерывную функцию и функцию скачков.

Известные положения теории систем с односторонними связями распространяются на случай неголономных и условных связей. Рассмотрение также производится на языке возможных перемещений. Рассматриваются законы изменения импульса и момента количества движения, теорема Аппеля.

Далее рассматривается метод Рауса игнорирования циклических переменных, обоснованный в первой главе. Здесь он обосновывается в терминах лагранжевой теории удара.

В заключение главы доказывается, что в системах с односторонними линейными неголономными связями в общем случае движение носит безударный характер, т.е. при выходе на границу ограничений скачка скорости не происходит.

Третья глава посвящена рассмотрению примеров конкретных механических систем с неголономными (и условными) односторонними связями на основе теории, развитой во второй главе.

В первом разделе главы рассматривается задача о плоском теле с каналом. Это плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости, внутри которого вырезан тонкий канал. Выводятся уравнения движения, находится общий характер движения, а именно периодическое вращение по углу и периодические движения с ударами в канале.

Во втором разделе приводится пример системы с условной связью. Рассматривается однородный диск на горизонтальной плоскости, движение которого ограничено абсолютно шероховатой прямой. Находятся условия, при которых отскок диска от прямой происходит в заданном направлении (в том числе и в направлении обратном исходному движению).

Задача дополняется моделью удара для нахождения однозначного решения движения системы — задается степень "шероховатости "прямой, о которую ударяется диск.

В третьем разделе рассматривается пример системы с двусторонними неголономными связями. Это "двусторонний коиск Чаплыгина" — механическая система, представляющая собой симметричный конек, скользящий по гладкой поверхности. Центр масс тела совпадает с коньком. Исследуется удар двустороннего конька о голо-номиую связь. При наличии угловой скорости движение конька носит периодический характер. Результаты движения двухстороннего конька используются при исследования другой системы, описанной в следующем разделе.

В четвертом разделе приводится пример системы с односторонней неголономной связью. Это "односторонний конек Чаплыгина" — симметричное твердое тело с полукруглым лезвием в центре масс. Лезвие копька, как у рубанка, является гладким с одной из своих сторон. В любом направлении в сторону гладкой части конька тело может двигаться свободно.

Закон движения симметричного двустороннего конька, найденный в предыдущей главе, можно применить для изучения одностороннего конька. Движение последнего раскладывается в суперпозицию прямолинейных движений и движений по окружности. Показывается, что оно всегда выходит на периодический или условно периодический режим.

Для исследования удара одностороннего конька о прямую предлагается т.н. метод отложенных связей. Он применяется в случае, когда удар о границу является кратным, и для однозначного определения скорости после удара необходимы дополнительные предположения. Здесь они состоят в том, что конек считается прикрепленным к телу с некоторым люфтом. В результате вместо одного двукратного удара происходят последовательно два однократных удара о разные связи. Величина люфта считается бесконечно малой. При ее стремлении к нулю мы получаем некую предельную скорость системы после ударов, которая и берется в качестве скорости после двукратного удара.

4. Апробация работы.

Результаты работы докладывались на

1. Научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроиики механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством: академика В.В.Козлова, чл.-корр. РАН Д.В.Трещева, проф. С.В.Болотина, академика В.В.Румянцева, чл.-корр. РАН В.В.Белецкого, проф. А.В.Карапетяна, чл.-корр. РАН В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева;

2. Конференции-конкурсе молодых ученых института Механики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003 г.;

3. Семинаре отдела механики ВЦ РАН под рук. проф. А.В.Карапетяна и проф. С.Я.Степанова, 2004 г.;

4. Пятом международном симпозиуме по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Березинская, Светлана Николаевна

Заключение.

Рассмотрены два подхода к исследованию движения механических систем с неголономными односторонними и условными связями: на основе уравнений с мерами, и на основе классической лагран-жевой теории удара.

На системы с этими типами связей распространены известные положения теории систем с односторонними голономными связями: условия идеальности связей, принцип Даламбера-Лагранжа, условия на скачке, теорема Аппеля, теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы.

Метод Рауса исключения циклических координат распространен на системы с односторонними связями.

Для систем с неголономными односторонними связями доказано общее свойство безударного выхода на связь.

Рассмотрены примеры механических систем, иллюстрирующие выведенные утверждения.

Система с односторонними связями — плоское твердое тело с каналом при помощи метода Рауса сведена к системе с одной степенью свободы.

Система с условной связью — однородный диск на горизонтальной плоскости, движение которого ограничено абсолютно шероховатой прямой. При помощи метода Рауса система сведена к системе с одной степенью свободы. Показана возможность обратных движений после удара.

Исследован удар симметричного конька Чаплыгина о прямую. Получены периодические движения.

Изучено движение симметричного конька с односторонней неголономной связью. Оно раскладывается в композицию прямолинейных движений центра масс с равномерным вращением и движений по окружности. Проведено исследования удара симметричного одностороннего конька Чаплыгина о прямую. Для анализа случая кратного удара предложен метод отложенных связей.

Результаты диссертации опубликованы в [7], [8], [9], [10], [11], [48].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Березинская, Светлана Николаевна, 2007 год

1. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979, 432 с.

2. Аппель П. Теоретическая механика, т. 2, М., Физматгиз, 1960, 487 с.

3. Белецкий В.В., Панкова Д.В. Система двух тел на орбите, как динамический биллиард. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 7, 1995, 32с.

4. Beletsky V.V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The Pendulum as a Dinarnical Billiard. // Chaos, Solutions & Fractals, v. 7, N 8 1995, pp. 1145-1178.

5. Beletsky, V.V., Kugushev, E.I., Starostin, E.L. Free manifolds of dynamic billiards. // Regular and Chaotic Dynamics, 2, No. 3/4, 1997, pp. 62-71.

6. Белецкий В.В. Прикладные задачи динамических биллиардов. В сб. Нелинейная механика. Ред. В.М. Матросов, В.В. Румянцев, А.В. Карапетян. М. Физматлит, 2001, с. 204-239.

7. Березинская С.Н. Несколько задач на системы с односторонними неголономными связями. // Сборник трудов конференцииконкурса молодых ученых, Москва, 12.10-14.10.2004г., под ред. Г.Г. Черного и В.А. Самсонова, М., МГУ, 2004 г. с. 63-71.

8. Березннская С.Н. О механических системах с односторонними неголономными связями.// Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Август 2004, Великие Луки, Тезисы докладов, М., ВЦ РАН 2004, с. 45-46.

9. С.Н. Березинская, О.В. Сорокина, Е.И. Кугушев Об односторонних неголономных связях. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2003, N 16, 20 с.

10. Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями. // Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2005, N3, 18-24с.

11. И. Березинская С. Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2002, N 16, 32 с.

12. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск, 1999, 407 с.

13. Brogliato В. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited 1996, 400 p.

14. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on Riemanian manifolds. // Journal of Differential equations, 1983, 47, pp. 227-275.

15. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М., МГУ, 1998, 272 с.

16. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997.

17. Вильке В.Г. Динамика систем с анизотропным трением. // Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2007, N4.

18. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970, 118 с.

19. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000, 719 с.

20. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, 1947, 811 с.

21. Журавлев В.Ф. Метод анализа виброударных систем при помощи специальных функций. // Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1976, N 2, с. 43-46.

22. Журавлев В.Ф. Исследование некоторых виброударных систем методом негладких преобразований. // Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1977, N 6, с. 24-28.

23. Журавлев В.Ф. Уравнения движеняи механических систем с идеальными одностороннми связями. // ПММ, 1978, т. 42, N 5, с. 781-788.

24. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М., Физмат-лит, 2001, 320 с.

25. Журавлев В.Ф., Фуфаев Н.А, Механика систем с неуднржива-ющими связями. М., Наука, 1993, 240 с.

26. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. // ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.

27. Иванов А.П. Единая форма уравнений движения тяжелого твердого тела на горизонтальной опоре. // Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1993, N 3, с. 73-79.

28. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., "Международная программа образования 1997, 336 с.

29. Иванов А.П. Устойчивость движений с соудареиями. В сб. Нелинейная механика. Ред. В.М. Матросов, В.В. Румянцев, А.В. Ка-рапетян. М. Физматлит, 2001, с. 240-256.

30. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями. // ПММ, 1984, т. 48, N 4, с. 632-636.

31. Каток А.В., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал, 1999, 767 с.

32. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972, 496 с.

33. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями I. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1982, N 3, с.92-100.

34. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями II. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1982, N 4, с.70-76.

35. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями III. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1983, N 3, с.102-111.

36. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями IV. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1987, N 5, с.76-83.

37. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями V. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех.,, 1988, N 6, с.51-54.

38. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями. // ПММ, 1988, т. 52, N 6, с. 883894.

39. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. // Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66.

40. Kozlov V.V. Integral analogue of the Gauss principle. // Facta Universitatis, ser. Mechanics, et al., 2000, v. 2, N 10, pp 1055-1060.

41. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991, 168 с.

42. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика 569 с.

43. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М., Наука, 1992, 336 с.

44. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М., Наука, 1967, 520 с.

45. Попова Т.В. О реализации неудерживающих связей в механических системах с вырождением кинетической энергии. // ПММ, 2006, т. 70, N 1, с. 20-34.

46. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986.

47. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. I—II. М., Наука, 1983.

48. О.В. Сорокина, С.Н. Березинская, В.В. Белецкий, Е.И. Кугу-шев О периодических движениях динамических биллиардов. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2003, N 14, с. 32.

49. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2002, N 14, с. 32.

50. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 15, 2002, с. 28.

51. Sumbatov A.S. Nonholonomic systems. // Reg. & Chaot Dyn. 2002, v. 7, N 2, pp 221-238.

52. Сумбатов А.С. Неголономные системы. В сб. Неголономные динамические системы. Ред. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. М., Ижевск, 2002, с. 20-48.

53. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, 1946, 655 с.

54. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential equations containing measures. // SI AM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp. 231 280.