О геометрии наилучших диофантовых приближений и относительных минимумов решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Герман, Олег Николаевич
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 74
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Герман, Олег Николаевич
Введение
Глава 1. Наилучшие приближения линейных форм
1.1 Наилучшие приближения и односторонние наилучшие приближения линейных форм.
1.2 Асимптотические направления.
1.3 Некоторые свойства освещаемости.
1.4 Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм.
1.5 Вспомогательные утверждения.
1.G Доказательство теорем.
Глава 2. Полиэдры Клейна
2.1 Плохо приближаемые числа и полигоны Клейна.
2.2 Паруса и норменные минимумы.
2.3 Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма.
2.4 Двойственный конус.
2.5 Доказательство теоремы 2.2.
2.G Доказательство теоремы 2.3 в случае п = 3.
2.7 Доказательство теоремы 2.3 для произвольного п.
2.8 Паруса и базисы Гильберта.G
2.9 Доказательства теорем о базисе Гильберта.G
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Геометрия многомерных диофантовых приближений2013 год, кандидат наук Герман, Олег Николаевич
Статистические свойства полиэдров Клейна и локальных минимумов решеток2014 год, кандидат наук Илларионов, Андрей Анатольевич
О многомерных цепных дробях модели Клейна: классификация двумерных граней, алгоритмы, примеры2004 год, кандидат физико-математических наук Карпенков, Олег Николаевич
Оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений2022 год, кандидат наук Басалов Юрий Александрович
Исследование симметрий периодов полиэдров Клейна, соответствующих алгебраическим решеткам2022 год, кандидат наук Тлюстангелов Ибрагим Асланович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрии наилучших диофантовых приближений и относительных минимумов решеток»
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к геометрии чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными: наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г. Минковскому, Г. Ф. Вороному, Ф. Клейну, К. Якоби, и другим классикам. Ими занимались такие известные математики, как Л. Я.Хинчин, К.Л.Роджерс, В.И.Арнольд, А.Д.Брюно, М. Л. Концевич, Дж.Касселс, Г. Суиннертон-Даер.
Исследованию многомерных обобщений понятий цепной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж.Касселса [1], [2], М.Грубера и К.Г.Леккеркеркера [3], П.Эрдеша, М. Грубера и Дж.Хаммера [4], Ж. Лашо [5] и других.
Наилучшие совместные приближения и наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами. Это отражается, например, в различных теоремах переноса (см. [2]). В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К.А.Роджерсом [G], [7], Н.Г.Мощевитиным [8], В.Т.Сош и Г. Секерешем [9].
В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей: так называемые полиэдры Клейна. Теория полиэдров Клейна берет начало в работе [10], опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В.И.Арнольдом [11], [12], X. Цушихаши [13], Ж. Лашо [14], [5], Е.Коркиной [15], [16], [17], А. Д. Брюно и В. И. Парусниковым [18] и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам. Отметим также недавнюю работу М.Л.Концевича и Ю.М.Сухова [19], в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна. В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж.-О. Муссафира [20], а также доказываем многомерный аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества Q на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений этой формы совпадает с П.
Доказана равносильность положительности норменного минимума п-мерной иррациональной решетки А и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой А.
Приведен критерий в размерности п = 3,4 того, что точки решетки А, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек А с неотрицательными координатами.
Методы исследования. В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:
1. Научно-исследовательский семинар но теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,
2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. М. Рай городского,
3. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С. С. Рыш-кова,
4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством Н. П.Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,
5. 'Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,
G. 'Теория функций и се приложения" под руководством С. В. Конягина, а также на международных конференциях
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),
XXIII-rd Journde Arithmdtiques" (Graz, Austria, G-12. VII. 2003),
Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIII. 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21], [22], [23], [24] и [25].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 42 наименования.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Вопросы возвращаемости динамических систем и диофантовы приближения2001 год, доктор физико-математических наук Мощевитин, Николай Германович
Пространство решеток и функции на нем1999 год, кандидат физико-математических наук Реброва, Ирина Юрьевна
Неоднородные диофантовы приближения и выигрышные множества2020 год, кандидат наук Дьякова Наталья Александровна
Комбинаторно-геометрические свойства точечных множеств2001 год, кандидат физико-математических наук Райгородский, Андрей Михайлович
О свойствах функции меры иррациональности вещественного числа2017 год, кандидат наук Шацков, Денис Олегович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Герман, Олег Николаевич, 2004 год
1. КасселсДою. В. С. Введение в геометрию чисел // Москва, "Мир", 1965.
2. КассслсДж. В. С. Введение в теорию Диофантовых приближений // Москва, изд-во иностр. лит., 19G1.
3. GruberM., Lckkerkcrker С. G. Geometry of Numbers // Amsterdam, 1987.
4. ErdosP., GruberM., Hammer J. Lattice Points // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 39. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the US with John Wiley Sz Sons, Inc., NY, 1989.
5. Rogers C. A. The signatures of the errors of simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. Ser.2. 1951. Vol.52. p.l8G-190.
6. МощевитииH. Г. Наилучшие совместные приближения: нормы, сигнатуры и асимптотические направления // Матем. заметки. 2000. T.G7. Вып.5. с.730-737.
7. Sos V. Т, Szekeres G. Rational approximation vectors // Acta Arith. 1988. Vol.49. No.3. p.255-261.
8. Klein F. Uber cine geometrische Auffassung der gewohnlichen Ketten-bruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 3, p. 357-359, 1895.
9. Arnold V. I. A-graded algebras and continued fractions // Comm. on Pure and Appl. Math., 1989, v. 42, p. 993-1000.
10. Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics, v. 3, JY* 3, 1998.
11. Tsuehihashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tolioku Math. Journal, 35,1983, p. 607-639.
12. Laehaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics, Volume 210, 1998, p. 373-385.
13. KorkinaE. Classification of A-graded algebras with 3 generators // Indag. Mathem., NS, 3, (1), 1992, p.27-40.10} KorkinaE. La pdriodecitd des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319, 1994, Sdrie I, p. 777-780.
14. КоркинаЕ. И. Двумерные цепные дроби // Самые простые примеры. Труды МИРАН, 1995. Т. 209.
15. БрюноА.Д., Парусников В. И. Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта // Матем. заметки. 1994, т. 5G, вып. 4, с. 9-27.
16. KontscvichM. L., Suhov Yu. М. Statistics of Klein Polyhedra and Multidimensional Continued Fractions // Amer. Math. Soc. Transl. (2) vol. 197, 1999.
17. МуссафирЖ.-О. Паруса и базисы Гильберта // Функ. анализ и его приложения. 2000, т. 34, вып. 2, с. 43-49.
18. Герман О. Н. Асимптотические направления для наилучших приближений п-мерной линейной формы // Матем. заметки. 2004. Т.75. Выи.1. с.55-70.
19. Герман О. Н. Паруса и базисы Гильберта. // Труды МИРАН, 2002, Т. 239, с. 98-105.
20. German О. N. Sails and norm minima of lattices. // The Proceedings of the Institute of Mathematics NAN Belarus. 2005, v. 13, p. 98-105.
21. Герман О. H. Паруса и базисы Гильберта. // Тезисы докл. V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003, с. 75.
22. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в трех томах // Киев, изд-во АН УССР, т.1, 1952.
23. Minkowski Н. Generalisation de la thdorie des fractions continues // Ann. Sci. de l'Ecole Normale Supdrieure, vol.13, -Y«2, p. 41-GO.
24. Быковский В. А. Локальные минимумы решеток и вершины многогранников Клейна // Функ. анализ и его приложения, (в печати)
25. CassclsJ. IV. S., Swinncrion-DyerH. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Phil. Trans. Royal Soc. London, 1955, vol. A 248, p. 73-9G.
26. СкубепкоБ. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 112, 1981 г.
27. Акрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 185, 1990 г.
28. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 168, 1988 г.
29. Скубепко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени п от п переменных при n ^ 3 // Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 183, 1990 г.
30. Болтянский В. Г., ГохбергИ. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии // Наука. 1965г.
31. МощевитинН. Г. О наилучших совместных приближениях // Успехи мат. наук. 199G. 51. No.G(312). С.213-214.
32. D. R. Heath-Brown, C.Jia The distribution of ар modulo one // Proc. London Math. Soc. Ser.3. 2002. Vol.84, p.79-101.
33. Glyn Harman Simultaneous Diophantine approximations with primes // J. London Math. Soc. (2) 1989. Vol.39, p.405-413.
34. Виноградов И. M. Особые варианты метода тригонометрических сумм // М. Наука. 1970г.
35. Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Зап. научных семинаров ПОМП, т. 25G, 2000 г.
36. БоревичЗ. П., ШафаревичИ. Р. Теория чисел // Москва, "Наука", 19G4.
37. White G. К. Lattice tetrahedra // Canadian J. of Math. 16(1964), p. 389396.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.