О геометрии характеристического вектора почти контактных метрических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Терпстра, Мария Александровна

• Терпстра, Мария Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Терпстра, Мария Александровна

1 Введение.

1 Основные понятия и определения

1 Почти контактные метрические структуры.

2 Основные классы АС-структур.

2 Геометрия характеристического вектора /сфй'-многообразия

1 Характеристический вектор как торсообразующее векторное поле

2 Характеристический вектор как конформное векторное поле

3 Торсообразующий характеристический вектор как конформное векторное поле.

4 Торсообразующий характеристический вектор как аффинное векторное поле.

3 Инвариантность ЛС-структуры относительно характеристического вектора

1 Ф-инварпаптпость структуры относительно характеристического вектора.

2 ^-инвариантность структуры относительно характеристического вектора.

3 Инвариантность ЛС-структуры относительного характеристического вектора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрии характеристического вектора почти контактных метрических структур»

Актуальность работы. Данная работа посвящена исследованию почти контактных метрических структур. Это специальные дифференциально-геометрические структуры возникающие на печетиомерпом римаповом многообразии п порождаемые дифференциальными 1-формамп максимального ранга.

Изучение контактных структур и их обобщения - почти контактных структур началось в 50-х годах прошлого века. В 1953 году С. Черн [17] показал, что многообразие М2п+1 с фиксированной контактной формой г) : Г]А (с?г/)" ^ 0 допускает С-структуру со структурной группой II(п) х {е}.

В 1960 году С. Сасаки в работе [32] показал, что многообразие, допускающее С-структуру со структурной группой II (п) х {е}. внутренним образом определяет тройку тензоров (Ф,£,г)). названную Дж. Греем [23] почти контактной структурой, которые обладают свойствами г/(£) = 1, Ф(£) = 0, г/ о Ф = 0, Ф2 = —1(1 + г/ СЕ) Более того. С. Сасаки показал, что па таком многообразии М всегда существует положительно определенная метрика 9 = {•-•)• такая что (ФХ. ФУ) = (X. У) - г}(Х)г}(У): X. У е Х(М) и г}(Х) = дополняющая почти контактную структуру (Ф, ^, 77) до метрической почти контактной структуры. Здесь векторное поле £ называется характеристическим вектором. Ф - эндоморфизм модуля Х(М) называемый структурным эндоморфизмом, а 1-форма 7/ - контактной формой структуры.

Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались не только зарубежными авторами, такими как Д. Блэр [15], С. Таппо [40]. И. Исихара [24]. по и отечественными, например [3]. [4].

Классификация почти контактных метрических структур была проведена впервые в работах Д. Чппья и Дж. Марреро [18]. Д. Чииья и С. Гоизалес [21]. В. Ф. Кириченко [4]. Были определены 2048 различных классов почти контактных метрических структур. На сегодняшний день изучается небольшое число этих классов, вызывающих интерес по тем или иным соображениям.

Почти контактные метрические структуры кроме того являются /структурами [4] и тесно связаны с почти эрмитовыми структурами [31].

Важным примером почти контактных метрических структур, в значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, служит структура, индуцируемая па гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой (</,#). В частности, такая структура индуцируется па нечетпомерпой сфере б*2"-1, рассматриваемой как гиперповерхность в овеществлении пространства Сп. Это один из самых интересных примеров и. более того, он является исторически важным, так как был первым конкретным примером такой структуры. Другой интересный тип примеров почти контактных (метрических) структур дают главные расслоения со структурной группой X1 = 50(2, В) (главные Т1-расслоепия) с фиксированной линейной связностью над почти комплексным (соответственно, почти эрмитовым) многообразием [5]. [29].

В дальнейшем исследования почти контактных метрических многообразий были представлены многочисленными работами разными по методам и подходам. Несмотря на полную классификацию почти контактных метрических многообразий, исследованию подвергались лишь некоторые из них. Так, наиболее изученными и интересными для нас являются такие подклассы почти контактных метрических многообразий, как квази-сасакпевы, косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу.

Д. Блэр в работе [15] ввел понятие квази-сасакиевых структур, которые составляют большой класс почти контактных метрических структур. Он же доказал. что характеристический вектор квази-сасакиева многообразия является векторным полем Киллипга. что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, а с точностью до гомотетии квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является сасакиевым или косимплектическим многообразием. Также были найдены условия, при которых квази-сасакиево многообразие является прямым произведением сасакиева и келерова многообразий. Позднее, изучением этого класса структур занимался так же С. Канемаки [25]. В свою очередь, наиболее полное исследование упомянутого вопроса было проведено В. Ф. Кириченко и А. Р. Рустановым [7] в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римаиовой кривизны квази-сасакиевых многообразий. Ими же были выделены и изучены некоторые интересные классы квази-сасакиевых многообразий.

Класс квази-сасакиевых многообразий включает в себя классы сасакиевых и косимплектпческих многообразий. Это наиболее изученные классы почти контактных метрических структур, которые в эрмитовой геометрии являются контактными аналогами келеровых многообразий. При этом известно, что косимплектические и сасакиевы структуры характеризуются для любых гладких векторных полей X и У тождествами Ух(Ф)У = 0 и (Ф)У = (.X, — г/(У)Х соответственно.

В 1972 г. в работе К. Кенмоцу [26] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур характеризующийся тождеством:

ЧХ(Ф)У = (ФХ - у(У)ФХ, где У-риманова связность. Позже эти структуры были названы структурами Кеимоцу. К. Кенмоцу же показал [26]. что эти структуры наделены рядом интересных свойств, в частности, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными и, тем более, сасакневыми. Позднее Б. Сииха и А. Шри-ваштава [35]. [36] изучали многообразия Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Кобаяши Минору [28] определил свойства контактных нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу. Полное описание структур Кенмоцу дал Кириченко В. Ф. Он исследовал их локальное строение и получил полную классификацию данных многообразий точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, указав случай глобального постоянства этой кривизны на рассматриваемых многообразиях.

Кроме изучения самих классов почти контактных метрических структур современная геометрия занимается и изучением преобразований этих структур.

Так, большой интерес вызывают конформные преобразования почти контактных метрических структур. Исследованием этих преобразований занимались Д. Чиней п Дж. Марреро [19]. [20]. Под конформным преобразованием почти контактной метрической структуры (Ф,£,г),д) они понимали преобразование вида: ф = ф; ту = е-^г/; ¿ = д = е"2*7д , где а - гладкая функция на многообразии.

Изучение нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально-конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, было начато в работах В. А. Левковца [8]. Он выделил подклассы нормальных почти контактных метрических многообразий, названных Ь-миогообразиямн и локально конформно квази-сасакиевыми (короче. ¡сС^Б-) многообразиями, соответственно. Локачьно конформно квази-сасакиевы многообразия были исследованы в работе В. Ф. Кириченко и Н. С. Баклашовой [6]. Ими было введено понятие контактной формы Ли и показано, что примерами таких структур являются структуры Кенмоцу, причем доказано, что 1сС}Б структура является структурой Кенмоцу тогда п только тогда, когда ее контактная форма Ли совпадает с контактной формой.

Кроме структур Кенмоцу, класс локально конформно квази-сасакиевых структур включает в себя квази-сасакиевы структуры, в том числе структуры Сасаки и ко с и м п л е к т ич е с к и е структуры. Поэтому изучение такого обобщения действительно представляет питерес. В связи с этим, в данной работе все результаты полученные для почти контактных метрических структур будут рассматриваться и для /^¿'-структур в частности.

В 1940 году К. Япо [42] нашел условие, при котором конформное отображение переводит любую геодезическую окружность в геодезическую окружность. Такое отображение он назвал копцпркулярпым, а векторное поле, порождающее в -окрестности и каждой точки р 6 М локальную 1-параметрическую группу локальных преобразований, являющихся концирку-лярпыми движениями, было названо им копциркулярным векторным полем. Так же К. Япо. в работе [43], вводит понятие торсообразующего векторного поля, обобщающее понятие конциркулярное векторное поле.

В рамках общей теории относительности конциркулярные векторные поля рассматривал Такено [38]. В дальнейшем, изучением копциркулярных векторных нолей занимались И. Г. Шандра [10] , Й. Микеш [30], А. В. Амипова [1] и другие.

Кроме копциркулярных векторных полей, также рассматривались их частные случаи: рекуррентные и спецконциркулярные векторные поля [27].

Таким образом, приведенный обзор исследований показывает насколько эти вопросы интересны для современной геометрии.

Целью диссертационной работы является исследование геометрии характеристического вектора почти контактных метрических структур. В частности. когда характеристический вектор является торсообразующим, концир-кулярпым. рекуррентным или спецконциркулярным векторным нолем. Результаты. полученные для ЛС-мпогообразий, были также рассмотрены, в частности, для структур.

Для достижения поставленной цели определены следующие основные задачи:

1. Найти условия, когда характеристический вектор нормального 1с(^8-многообразия будет торсообразующим. или, более того, локально-конциркулярпым. рекуррентным или спецкоицнркулярпым векторным полем. Найти вид его определяющих элементов.

2. Найти условия, когда характеристический вектор ЛС-многообразия является конформным векторным полем или векторным полем Киллипга. Определить эти условия в случае, когда характеристический вектор является торсообразующим. в частности сцеицконциркулярным. конциркулярным, или ре-курреитпым векторным полем.

3. Найти условия, при которых торсообразующий, в частности концирку-лярпый, спецкопциркулярный или рекуррентный характеристический вектор АС-структуры является аффинным векторным полем. Найти вид этих условий для /с(5¿'-многообразий.

4. Определить условия инвариантности почти контактных метрических структур относительно действия локальной одпопараметрической группы диффеоморфизмов, порожденной характеристическим вектором. Определить эти условия для /с<55"-структур и нормальных АС-структур и в случае тор-сообразующего и рекуррентного характеристического векторного поля.

Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования. являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Получены условия, при которых характеристический вектор нормального ¿-многообразия является торсообразующим, локально-копциркуляриым, рекуррентным или спецконциркулярным векторным полем. Найдены его определяющие элементы.

2. Показано, что нормальная к^в-структура с торсообразующим характеристическим векторным нолем локально конформно косимплектична и имеет замкнутую контактную форму.

3. Показано, что если характеристический вектор нормального ¿сС^Б-многообразия является конформным векторным полем, то это квази-сасакиево многообразие, а его характеристический вектор является векторным полем Кпллинга.

4.Доказано, что торсообразующий характеристический вектор £ является конформным векторным полем с определяющей функцией а тогда и только тогда, когда £ спецкопциркулярное векторное поле с определяющим элементом

5. Найдено условие того, что торсообразующий, копциркулярпый, рекуррентный или спецконциркулярный характеристический вектор АС-структуры является аффинным векторным полем. Также найден вид условий. при которых торсообразующий характеристический вектор многообразий Кепмоцу и нормальных локально конформно коспмплектических многообразий является аффинным векторным полем.

6. Найдены условия инвариантности почти контактных метрических структур относительно действия локальной одпопараметрической группы диффеоморфизмов. порожденной характеристическим вектором, торсообразующим характеристического вектором и рекуррентным характеристическим вектором. Определено когда характеристический вектор сохраняет нормальную ЛС-структуру и ¿с(55-структуру.

Метод исследования. В настоящей работе в качестве метода исследования используется инвариантное исчисление Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в пей результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут пайти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, например в Московском педагогическом государственном университете и Казанском государственном университете.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на второй Российской школе-конференции для молодых ученых с междуиародиым участием "Математика и информатика, их приложения и роль в образовании"2010 г. международном геометрическом семинаре имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские чтеиия-2011 на научном семинаре кафедры геометрии под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора В. В. Шурыгина в Казанском государственном университете, на геометрическом семинаре кафедры функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета. рук. А. М. Шелехов, на научном семинаре кафедры геометрии под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора В. Ф. Кириченко в Московском педагогическом государственном университете, международной конференции «Геометрия в Одессе — 2011».

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [44] - [48].

Структура диссертации. Основное содержание диссертации изложено па 83 страницах. Диссертация состоит из введения, трёх глав, состоящих из 9 параграфов, заключения и списка литературы содержащего 48 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Терпстра, Мария Александровна, 2012 год

1. Аминова, A.B. Проективные преобразования псевдоримаповых многообразий 'A.B. Амииова /7 М.: Янус-К, №5. 2003, С. 46 172.

2. Баклашова. Н. С. Некоторые свойства кривизны lcQS-многообразий/Н. С. Баклашова // -М.: Научи.тр. МПГУ. Серия: Естественные науки. Сб.статей. ГНО Изд-во "Прометей"МПГУ. -2006.-С. 25-30.

3. Евтушик, JI. Е. Дифференциально геометрические структуры на многообразиях /Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиаиу, А. П. Широков 7 М : Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ, -Т. 9. -1979.

4. Кириченко, В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях/В. Ф. Кириченко //М.: Типография МПГУ.-2003. С. 440468.

5. Кириченко. В. Ф. Дифференциальная геометрия главных тороидальных расслоений /В. Ф. Кириченко //' Фундамент, и прикл. матем-2000. -С. 1095-1120.

6. Кириченко, В. Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты/ В. Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // М.: Математические заметки. -Т. 82. вып. 3. -2007, С. 347-360.

7. Кириченко, В. Ф. Дифференциальная геометрия квази-еасакиевых многообразий/ В. Ф. Кириченко, А. Р. Рустанов// Матем. сб. -2002.C. 71-100

8. Левковец, В. А. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий/В. А. Левковец //М.: Текст.: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. -2004. -11 е. -С. 75-77.

9. Спеньер. Э. Алгебраическая топология/ Э. Спеиьер// М.: Мир. -1971, -С. 512.

10. Шаидра. И. Г. О конциркулярных тензорных полях и геодезических отображениях псевдориманновых пространств /И. Г. Шандра// Изв. вузов. Математика. -2001. -М.-С. 75-86.

11. Широков. П. А. Симметрические конформно-евклидовы пространства/]!. А. Широков //' Изв. физ.-мат. о-ва при Казаиск. ун-те,-1938. -Т. 11.-№3.-С. 77-78

12. Blair. D.E., Reiriiaiiiiiaii Geometry of Contact and Syniplectic Manifolds,/'D. E. Blair //Boston: Birkhuser. -1993, -P. 260.

13. Blair, D. E. Nhe theory of quasi-Sasakian structures / D. E. Blair// J.Diff.Geom. -1967,- C. 333-345.

14. Blair, D. E., Contact manifold in Riemannian geometry/ D. E. Blair //' Lect. Notes Math. -1976. -P. 146.

15. Blair. D. E. Two remarks on contact metric structures'' D. E. Blair // Tlioku Math. J., 1977. 3. -P. 319-324.

16. Bolotov, D.V. Contact Geometry.Introduce/D. V. Bolotov, V.V. Kruglov //' Electromagnetic Phenomena, -V.4. -No.l. -2004. -P. 3-4.

17. Cliern, S. Pseudo-groups continus infinis/ S. Chern //Strasbourg. Colloq. Ihternat. Centre nat. rech. scient. 52. -1953. -P. 119 136.

18. Chinea. D. Classification of almost contact metric structures/D. Chinea, J. C. Morrero //' Rev. roum de math, pures et appl. 37. -No 3. -1992. -P. 199-211.

19. Chinea. D. Confornial changes of almost contact metric structures ,/D. Chinea, J.C. Morrero ,/,/ Riv. mat. Univ. Parma. 1992. -1. - P. 19-31.

20. Chinea, D. Confornial changes of almost cosymplectic manifolds ,/D. Chinea. J. C. Morrero '7 Rend. mat. appl. -1992. -12. P. 849-867.

21. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures/D. Chinea, C. Gonzalez /,/ Annali di Matematica pura ed applicata (IV).V. CLVI. -1990. -P. 15-36.

22. Goldberg, S. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds/'S. Goldberg/// Pacific J.Math. 27.-No 2. -1968.-P. 275-281.

23. Gray. J. Some global properties of contact structures/ J. Gray//' Ann. Math. -1959. 69. -№2. -P. 412-450.

24. Ichihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasaki space form/ I. Ichihara // Kodai Match. J. -1979. -V. 2,- P 171-186.

25. Kanemaki, Sh. Quasi-Sasakian manifolds/Sli. Kanemaki// Tôlioku Math. J.(2).-1977.-V. 298.-P. 227-233.

26. Kenmotsu, K. A class of almost contact Riemaimian manifolds/A. Kenmotsu // Tôhoku Math. J. (24) -1972. P. 93-103.

27. Kirn, I.-B. Special concircular vector fields in Rieniannian nianifolds/'I.-B. Kim // Hiroshima Math.J. -1982.-V.12.-M.-P. 77-91.

28. Kobayashi, M. Snbmanifolds in Kenmotsu manifolds/ M. Kobayashi // Rev. Math. Univ. completense. Madrid-1991. №1, -P. 73-95.

29. Kobayashi, S. Principal firbe bundles with 1-dimensional toroidal group/ S. Kobayashi // Tohoku Math. J. 8. -1956.-P. 29-45.

30. Mikesh, J. Geodesic mappings of special Rieniannian spaces/ J. Mikesh // Top. Differ. Geom.: Collog, Debrecen, 26 Aug.-Sept. 1, -1984., Vol. 2. Amsterdam etc. -1988. -P. 793-813.

31. Ogiue, K. On fibering of almost contact manifolds/ K. Ogiue // Kodai Math. Semin Repts. 17.- No 1. -1965. -P. 53-62.

32. Sasaki, S. On the integrability of almost contact structures / S. Sasaki, G. J. Hsu/ / Tôhoku Math. J.14. -1962. -P. 167-176.

33. Sasaki S. On differetiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures/ S. Sasaki //' Tôhoku Math. J., 12. -1960,3. -P. 459-476.

34. Sasaki, S. Almost contact manifolds -1. Lect. Notes. // Tôhoku Univ. -1965. -P. 1-250.

35. Sinha. В. В. Curvatures on Kenmotsu manifolds / В. B. Sinha, A. K. Srivastava // Indian J. Pure and Appl. Math. 22. -1991. -M, -P. 23-28.

36. Sinha. B.B. Senii-invariant submanifolds of a Kenmotsu manifold with constant ф-holomorphic sectional curvature II/В. B. Sinha. A. K. Srivastava // Indian J. Pure and Appl. Math. 23. -1992. -Ml. -P. 783-789.

37. Schouten. J. A. Ricci-Calculus/ A. J.Schouten // Springer-Verlag, Berlin. -1954.

38. Takeno, H. Concircular scalar field in spherically symmetric space-times/ H. Takeno// Tensor. 1967.- 20, № 2, -P. 167-176.

39. Tarmo. S., On fibering of some non-contact manifolds/ S. Taririo// Tohoku Math. J. 15. No 3 (1963), P. 289-297.

40. Tanno. S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+l/ S. Tanno// J.Differential Geom. -1971. -V. 5. P. 317-324.

41. Tanno. S., The automorphisus groups of almost contact Riemarmian manifolds/ S. Tanno// Tohoku Math. J., 21. -1969, P. 21-38.

42. Yano, K. Concirculai geometry' K. Yano ( I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokio. -1940. V. 16. - P. 195-200, 354-360, P. 442-448, 505-511.

43. Yano, K. On torse-forming directions in Riemannian space/К. Yano // Proc. Imp. Acad. Tokyo. -1944.-V. 20.P. P. 340-345.Список публикаций автора по теме диссертации

44. Терпстра. М.А. Инвариантность АС-структуры относительно торсооб-разующего вектора Риба / М.А. Терпстра // Известия пензенского гос.пед. университета им. В.Г.Белинского. Типография ПГПУ, Пенза: № 26. -2011. -С. 248-254.

45. Терпстра. М. А. О геометрии характеристического вектора 1с(}3 многообразия/ М.А. Терпстра. В. Ф. Кириченко// Математические заметки (принята к печати).

46. Терпстра М.А. Инвариантность АС-структуры относительно характеристического вектора/ МА. Терпстра// Труды международного геометрического цента ¿со, Одесса: т.4. № 3, -2011. С. 40-50.

47. Терпстра. М. А. О геометрии характеристического вектора 1с(^8-многообразия/ М.А. Терпстра// Труды матем. центра имени Н.И.Лобачевского, Казань: т.44, -2011. -С. 275-277.

48. Терпстра, М.А. Вектор де Риба 1сРЗ-многообразия / М.А. Терпстра, В. Ф. Кириченко// Тезисы докладов международной конференции Геометрия в 0дессе-2011. -С. 42.