Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Полькина, Елена Александровна

• Полькина, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полькина, Елена Александровна

Введение.

Глава 1. Почти контактные метрические многообразия.

1.1 Почти контактные метрические структуры.

1.2 Квази-сасакиевы (С^-) структуры.

1.3 Локально конформно квази-сасакиевы (1с(}8-) структуры.

Глава 2. Контактно-геодезические преобразования некоторых классов АС-структур.

2.1 Геодезические преобразования.

2.2 Об инвариантах геодезических преобразований.

2.3 Контактно-геодезические преобразования.

2.4 Контактно-геодезические преобразования (^-структур.

2.5 Контактно-геодезические преобразования 1с()8-структур.

Глава 3. Локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия.

3.1 Локально конциркулярно квази-сасакиевы (1г()8-) структуры.

3.2 ЬгСЭБ-критерий.

3.3 Тождества кривизны для кС^-многообразий.

3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий.

3.3.1 Критерий конциркулярной подвижности косимплектических многообразий.

3.3.2 Критерий конциркулярной подвижности многообразий Сасаки.

3.3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий.

3.4 ЬгС^-многообразия постоянной кривизны.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразий»

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

Интересно отметить, что понятие преобразования встречается еще в трудах древнегреческого математика Аполлония Пергского. Именно, в работе "Конические сечения" он рассматривал инверсии, причем не только относительно окружности, но также эллипса, параболы и гиперболы. Тем самым истоки теории преобразований имеются в "Конических сечениях" Аполлония [2]. Построение классической теории геодезических отображений, по существу, берет свое начало в середине 19 века в трудах итальянского геометра Э. Бельтрами [24], рассмотревшего отображение поверхности на плоскость при котором геодезические переходят в прямые, то есть в геодезические на плоскости. Базовые теоретические результаты теории геодезических отображений римановых пространств были получены в работах Т. Леви-Чивита [29], который вывел основные уравнения теории геодезических отображений, а также Т. Томаса [31] и Г. Вейля [32], получивших основные инварианты геодезических отображений: проективные параметры Томаса и тензор Вейля проективной кривизны. С тех пор многие исследователи обращались к этой проблематике, изучая геодезические отображения псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой. Теория наполнялась новым содержанием. Так, в середине 20 века Уэстлейком и Яно [33] было доказано, что келеровы структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру Весомый вклад в формирование теории внесли одесские математики — Н.С. Синюков [22], [23] и его последователи Й. Микеш [20], С.Г. Лейко [19] и другие [17], [б]. Они также исследовали отображения и преобразования римановых, эрмитовых и других структур на многообразиях. Об актуальности таких исследований говорит в своей монографии Н.С. Синюков [22]: "Теория геодезических отображений римановых пространств, а также ее обобщения представляют интерес с прикладной точки зрения. Известно, что на основании принципа наименьшего действия Якоби траектории движения консервативной склерономной го-лономной системы являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется кинетической энергией системы [29]. Далее, в соответствии с первым законом Ньютона траектории свободных частиц, движущихся в гравитационном поле, и линии тока в некогерентной жидкости являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется обобщенными ньютоновскими потенциалами гравитационного поля. Поэтому, два риманова пространства, допускающие геодезическое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же "траекториям", но при различных энергетических режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим".

Сейчас вопросами проективных преобразований занимается, в частности, В.Ф. Кириченко [12] и его ученики Х.М. Абоуд [1], A.B. Никифорова [14] и другие. Более того, на сегодняшний день ведется активное изучение многообразий с фиксированными на них контактными структурами. Поэтому естественно продолжить изучение геодезических преобразований применительно к контактным структурам. Так, в работе В.Ф. Кириченко и H.H. Дондуковой [11] вводится понятие контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры как геодезического преобразования, сохраняющего почти контактную структуру. Там же авторами доказывается, что косимплектические и сасакиевы структуры, а также структуры Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики. В продолжение обозначенной тематики нами рассматриваются контактно-геодезические преобразования квази-сасакиевых и локально конформно квази-сасакиевых структур.

Еще один интересный класс преобразований римановых пространств образуют конформные преобразования. Доказано [22], что конформное преобразование метрики является геодезическим только в тривиальном случае. При этом в классе конформных преобразований метрики псевдори-манова многообразия выделяют нетривиальные конформные преобразования, которые сохраняют так называемые геодезические окружности или геодезические циклы — кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю. Такие преобразования называются кои-циркуляриыми. Основоположником данной теории является К. Яно [33]. Он получил критерий, позволяющий выделить конциркулярпые преобразования из класса конформных, а также основные инварианты таких преобразований. Изучение конциркулярно-инвариантных свойств структур, является отдельной актуальной задачей современной дифференциальной (см. например, работы А. Фиалкова [26], Н.С. Синюкова [22], С.Г. Лейко [18]) и, в частности, контактной [15] геометрии. Наличие конциркулярпых преобразований позволяет ввести в рассмотрение особый класс почти контактных метрических структур, а именно, допускающих локально конциркулярное преобразование в квази-сасакиеву структуру. Такие структуры мы назвали локально конциркулярно квази-сасакиевыми и посвятили изучению их свойств вторую часть нашего исследования.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических и конциркулярных преобразований локально конформно квази-сасакиевых структур на многообразиях.

Основные задачи диссертационного исследования:

1. Выяснить, допускают ли квази-сасакиевы и локально конформно квази-сасакиевы структуры нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики.

2. Найти условия, при которых локально конформно квази-сасакиево многообразие является локально конциркулярно квази-сасакиевым.

3. Выделить дополнительные свойства симметрии тензора кривизны локально конциркулярно квази-сасакиевых многообразий.

4. Найти условия конциркулярной подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий.

Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Доказано, что квази-сасакиевы структуры не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики.

2. Доказано, что регулярные локально конформно квази-сасакиевы структуры, допускающие нетривиальные контактно-геодезические преобразования метрики, нормальны.

3. Получен критерий локальной конциркулярности локально конформно квази-сасакиевых многообразий.

4. Доказано, что локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия являются многообразиями классов СЯ2 и СЯ3.

5. Получены критерии конциркуляриой подвижности основных подклассов квази-сасакиевых многообразий.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием аппарата классического тензорного анализа, а также метода присоединенных в-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геодезических и конциркулярных преобразований почти контактных метрических структур. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МПГУ; на региональной научной конференции "Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела" (Чебоксары, 2006); на международной конференции "Геометрия в 0дессе-2007" (Одесса, 2007).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 публикациях [34] — [37].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 наименований. Общий объем рукописи — 80 страниц, объем основного текста — 75 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полькина, Елена Александровна, 2007 год

1. Абоуд, Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий Текст]: дис. . канд. физ.-мат. наук / Абоуд Хабееб Муташар. - М., 2002. - 75 с. - Библиогр.: с. 71-75.

2. Атагаррыев, М. Конформные преобразования плоскости в "Конических сечениях" Аполлония Текст] / М. Атагаррыев, Б.А. Розенфельд // Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. н. 1990. -N3.-0. 97-99.

3. Баклашова, Н.С. Некоторые свойства кривизны УсС^-многообразий Текст] / Н.С. Баклашова // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: "Прометей" МПГУ, 2006. - С. 25-30.

4. Баклашова, Н.С. Структурные уравнения ЬСС^Б-структур и их приложения Текст] / Н.С. Баклашова // Моск.пед.гос.ун-т. М., 2005. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.2005. N 935-В2005 - 34 с.

5. Волкова, Е.С. О геометрии нормальных многообразий киллингова типа Текст] / Е.С. Волкова // Моск.пед.гос.ун-т. М., 1996. - Деп. в ВИНИТИ N 2111-В96 - 25 с.

6. Григорьева, Т.И. Почти геодезическое отображение специальных рима-новых пространств Текст] / Т.И. Григорьева // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2006". Одесса, 2006. -С. 56-58.

7. Кириченко, В.Ф. Аксиома Ф-голоморфпых плоскостей в контактной метрической геометрии Текст] / В.Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. 1984. - Т. 48. - N 4. - С. 711-739.

8. Кириченко, В.Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты Текст] / В.Ф. Кириченко, Н.С. Баклашова // Ма-тем. заметки. 2007. - Т. 82. - Вын.З. - N 4. - С. 347-360.

9. Кириченко, В.Ф. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, Л.И. Власова // Матем. сборник. 2002. - Т. 193. -N5.-C. 53-76.

10. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст] / В.Ф. Кириченко. М.: МПГУ, 2003. - 495 с.

11. Кириченко, В.Ф. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур Текст] / В.Ф. Кириченко, H.H. Допду-кова // Матем. заметки. 2006. - Т. 80. -N 2. - С. 209-220.

12. Кириченко, В.Ф. Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур Текст] / В.Ф. Кириченко // Известия РАН. 2005. - Т. 69. - N 5. -С. 107-132.

13. Кириченко, В.Ф. О геометрии L-многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, В.А. Левковец // Матем. заметки. 2006. - Т. 79.-N6.-C. 854-869.

14. Кириченко, В.Ф. О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур Текст] / В.Ф. Кириченко, A.B. Никифорова // Успехи мат. наук. 2001. -T.56.-N 6 (342). - С. 149-150.

15. Кириченко, В.Ф. О геометрии многообразий Кепмоцу Текст] / В.Ф. Кириченко // Доклады академии наук. 2001. - Т. 380. - N Ь.- С. 585-587.

16. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустапов // Матем. сборник. 2002. -T.8.-N 193. - С. 1173-1201.

17. Кармазина, A.B. О некоторых вопросах геодезических отображений почти эрмитовых пространств Текст] / A.B. Кармазина, И.Н. Курбатова // Одес. гос. пед. ин-т. Деп. в Укр. НИИНТИ 12.03.1990. N 458-Ук90.

18. Лейко, С.Г. Р-геодезические преобразования и их группы в касактель-ных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия Текст] / С.Г. Лейко // Известия вузов. Математика. 1998. -N6.-C. 35-45.

19. Лейко, С.Г. Р-геодезические сечения касательного расслоения Текст] / С.Г. Лейко // Известия вузов. Математика. 1994. - N 3. - С. 32-42.

20. Микеш, Й. Геодезические отображения на полусимметрические пространства Текст] / Й. Микеш // Известия вузов. Математика. 1994.- N 2. С. 37-43.

21. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ Текст] / П.К. Рашевский. М.: Гос. изд. технико-теоретич. лит-ры, 1953. - 635 с.

22. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств Текст] / Н.С. Синюков. М.: Наука, 1979. - 256 с.

23. Синюков, Н.С. Некоторые актуальные аспекты развития теории геодезических отображений римановых пространств и их обобщений Текст]Н.С. Синюков, E.H. Сишокова, Ю.А. Мовчан // Известия вузов. Математика. 1994. - N 3. - С. 76-80.

24. Beltrami, Е. Risoluzione del problema i riportari i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodeche vengano rappresentate da linee rette Текст] / E. Beltrami // Annli di Matematica. 1865. - 1, N7.

25. Blair, D.E. The theory of quasi-Sasakian structures Текст] / D.E. Blair // J. Diff.Geom. 1 (1967), 333-345.

26. Fialkow, A. Conformals geodesies Текст] / A. Fialkow // Trans. Amer. Math. Soc. 1939. - V. 45. - P. 443-473.

27. Ishihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian spase form Текст] / I. Ishihara // Kodai Math. J., 1976. 2. P.171-186.

28. Kenmotsu, K. A class of almost contact Riemannian manifolds Текст] / К. Kenmotsu // Tohoku Math. J. 24, 1972. P.93-103.

29. Levi-Civita, T. Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche Текст] / Т. Levi-Civita // Ann. di Mat. 1896, ser. 2, 24, p.255-300.

30. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II Текст] / S. Sasaki, Y. Hatakeyama // Tohoku Math. J. 13, (1961), 281-294.

31. Thomas, T. On the projretive and equiprojective Geometries of paths Текст] / Т. Thomas // Proc. Nat. Acad. Sei., USA, 1925, 11, p. 198-203.

32. Weyl, H. Zur infmitesimalgeometrie Einordnung der projektiven und der Konformen Auffassung Текст] / H. Weyl // Gottinger Nachrichten, 1921, s. 99-119.

33. Yano, К. Concircular geometry Текст] / К. Yano // I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokio. - 1940. - V. 16. - P. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511.Публикации автора

34. Полькина, E.A. Тождества кривизны для почти контактных метрических многообразий Текст] / Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. 2007. - N 7. - С. 57-60.

35. Кириченко, В.Ф. Геодезическая жесткость некоторых классов почти контактных метрических многообразий Текст] / В.Ф. Кириченко, Е.А. Полькина // Известия вузов. Математика. 2007. -N 9. - С. 42-49.

36. Полькина, Е.А. Конциркулярная геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий Текст] / Е.А. Полькина // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2007". -Одесса, 2007. С. 88-90.