Локально конформно почти косимплектические многообразия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Харитонова, Светлана Владимировна

• Харитонова, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харитонова, Светлана Владимировна

Введение.

Глава 1. Почти контактные метрические многообразия

1.1 Почти контактные метрические многообразия.

1.2 Нормальные почти контактные метрические многообразия.

Глава 2. Локально конформно почти косимплектические многообразия.

2.1 Локально конформно почти косимплектические многообразия.

2.2 Структурные уравнения /сДС^-многообразий.

2.3 Эрмитова геометрия интегральных многообразий первого фундаментального распределения ¿сДС^-многообразия.

2.4 Тензор Римана-Кристоффеля /сЖ^-многообразий.

Глава 3. Нормальные локально конформно почти косимплектические многообразия

3.1 Нормальные /сЛС^-многообразия и их структурные уравнения.

3.2 Тензор Римана-Кристоффеля нормальных /сДС^-многообразий.

3.3 Свойства кривизны нормальных ¿сДС^-многообразий.

3.4 Тензор Риччи и скалярная кривизна нормальных ¿сДС^-многообразий.

3.5 Нормальные /сЛС^-многообразия постоянной кривизны.

3.6 Нормальные /сЛС^-многообразия постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

3.7 Тензор Вейля нормального ¿сЖ^-многообразия.

3.8 Локально симметрические нормальные /сЖ^-многообразия.

Глава 4. Почти С(А)-многообразия.

4.1 Нормальные /сДС^-многообразия с дополнительными условиями (С(А)-многообразия)

4.2 Тензор Риччи и скалярная кривизна почти С(А)-многообразий.

4.3 Конформно плоские почти С(А)-многообразия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локально конформно почти косимплектические многообразия»

Актуальность темы. Почти контактные метрические структуры являются одним из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Активное развитие теории контактных структур и их обобщения - почти контактных структур - началось с работ С.Чженя [24], Дж.Грея [31], [32], В.Бутби и Х.Вана [22] в 50-х годах прошлого века. В 1953 году С.Чжень показал, что контактное многообразие допускает С-структуру со структурной группой {е} х 17(п). Многообразие, допускающее такую структуру, Дж.Грей назвал почти контактным многообразием. С.Сасаки [43] отметил, что такая С-структура порождает тройку (т/, Ф), где г\ — ковектор, £ — вектор, Ф — тензор типа (1;1). Эта тройка обладает свойствами:

7(0 = 1, Ф2 = -гс1 + г}®£.

Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии он построил риманову метрику д: д(Х, ¥) = 1г(ФХ, ФУ) + к{Ф2Х, Ф2У) + г](Х)7), дополняющую (77, Ф) до почти контактной метрической (короче, АС-) структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура Я = (г/,£,Ф,д), называется почти контактным метрическим (АС-) многообразием.

Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур. Между этими классами структур существует ряд взаимосвязей.

Важнейшим примером почти контактных метрических структур, в значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, служит структура, индуцируемая на гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой (</, д). В частности, такая структура индуцируется на нечетномерной сфере 52п1, рассматриваемой как гиперповерхность в овеществлении пространства Сп. Это - важнейший и, по-видимому, исторически первый конкретный пример такой структуры. Другой важный тип примеров почти контактных (метрических) структур дают главные расслоения со структурной группой Т1 = 50(2, К) (главные Т1-расслоения) с фиксированной линейной связностью над почти комплексным (соответственно, почти эрмитовым) многообразием [36].

Если (М,Ф,£,г], д) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии М х й канонически индуцируется почти эрмитова структура. С другой стороны, В.Ф.Кириченко [35] было доказано, что косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.

После того, как в 1980 году вышла работа А.Грея и Л.Хервеллы [30] о классификации почти эрмитовых структур, перед геометрами возникла естественная задача о систематизации классов почти контактных метрических структур. По этой тематике вышло несколько работ разных авторов, наиболее интересной оказалась совместная работа Д.Чинея и Х.Марреро [25]. Для классификации данных структур они изучили представление группы {е} х II(п) на некотором специальном пространстве тензоров с определенными свойствами симметрии. Более прозрачным решением проблемы систематизации почти контактных метрических структур стала классификация, предложенная В.Ф.Кириченко [11], которая является "контактным" аналогом классификации Грея-Хервеллы. Автор получил удобный аналитический критерий принадлежности структур соответствующему классу. Число таких классов оказалось практически необозримым (211 = 2048).

Наиболее полная картина диапазона исследований контактных и почти контактных многообразий представлена в работах [4], [11], [18], [19].

В последнее время внимание исследователей в области контактной геометрии привлекает изучение конформных отображений и (локального) строения многообразий, допускающих конформные преобразования специальных типов. Конформные отображения и конформные структуры нашли свое применение не только в геометрии, но и в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики. Большую практическую роль играют конформные отображения плоских и лежащих на гладких поверхностях двумерных областей. Конформные отображения широко применяются в картографии (стереографическая проекция и проекция Меркатора). Следует заметить, что постановка в общем виде задачи конформного отображения привела в свое время к возникновению и развитию теории поверхностей.

Данная работа посвящена исследованию локально конформно почти косимплектических многообразий.

ДС-многообразие М (и соответственно ДС-структуру в = (77, Ф, д), заданную на нем) И.Вайсман [45] называет локально конформно почти косимплектической (далее 1сАСв), если на М существует открытое покрытие {[/{}, для каждого элемента которого гладкая функция <ть задает отображение сг4 : Щ —> Я, так, что на каждом [7 почти контактная метрическая структура {щ^и определенная следующим образом: гц = е-^гу, 6 = Ф, = Ф, & = е"2^, является почти косимплектической. Так же И.Вайсман в этой работе получил необходимые и достаточные условия того, что почти контактное метрическое многообразие является 1сАС$- А именно, почти контактное метрическое многообразие М является локально конформно почти ко-симплектическим, тогда и только тогда, когда существует 1-форма а на М, такая, что:

Ю, = 2а А с1г] — а А 77, &а — О, где 0,(Х, У) = д(Х, ФУ) - фундаментальная форма почти контактной структуры.

Далее изучением /сЖ^-многообразий занимались З.Олчек и Р.Роска [42], Д.Чинея и Дж.С.Марреро [26], К.Мацумото и И.Михай [38] и другие.

В своих работах [41], [42] З.Олчек и Р.Роска изучают свойства кривизны, рассматривают некоторые свойства и аналитические характеристики /сЖ^-многообразий. Нормальные ¿сЛС^-миогообразия называются ими /-Кенмоцу многообразиями. Описывается локальная структура таких многообразий и дается геометрическая интерпретация их структурных особенностей. В частности, конструируется пример многообразия, являющегося нормальным /сЛС^. Пусть Я - вещественная прямая с координатой й. Фиксируем функцию а на В, и рассмотрим римано-ву метрику е~2ас1з ® на В,. Пусть N - келерово многообразие, 3 -его почти комплексная структура, а О - его келерова метрика. Определим косимплектическую структуру (77, Ф,д) найх]У через Ф^ = О, 7

ФХ = JX, если X - касательный вектор к iV, ( = t; = e~ads и пусть g есть произведение римановых метрик e~2ads <S> ds и G. Теперь рассмотрим конформное преобразование структуры (Ф, 77, д), заданное посредством

V = fie£ = £е~а, Ф = Ф, g = де2а.

Структура (Ф,!;,г],д) является нормальной IcACs на R х N [42].

Д.Чинея и Дж.С.Марреро в своей работе [26] изучают конформные преобразования почти косимплектических многообразий. Ими получены некоторые характеристики для локально конформно почти косимплектических и локально конформно косимплектических многообразий. Доказано, что если M является /сЖ^-многообразием, то на листах голоном-ного распределения г] = О индуцируется локально конформно почти ке-лерова структура. Приводится несколько примеров локально конформно почти косимплектических и локально конформно косимплектических многообразий.

В последнее время изучением ¿сЖ^-многообразий и их подмногообразий, удовлетворяющих различным дополнительным условиям, также занимаются Д.В.Юн, К.С. Чо и С.Г.Хан [47], М.Т.Калапсо и Ф.Дефевер [23] и другие.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий и их нормального подкласса.

Основные задачи диссертационного исследования:

1. Получить полную группу структурных уравнений локально конформно почти косимплектических многообразий и на ее основе изучить строение компонент тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры.

2. Применить полученные результаты к более подробному изучению нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.

3. Получить условия постоянства кривизны нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.

4. Изучить нормальные локально конформно почти косимплектиче-ские многообразия постоянной Ф голоморфной секционной (далее ФНБ-) кривизны.

5. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий.

6. Исследовать нормальные локально конформно почти косимплекти-ческие многообразия являющиеся С(А)-многообразиями.

Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. На пространстве присоединенной С-структуры получена полная группа структурных уравнений локально конформно почти косимплектических многообразий и изучено строение компонент тензора Римана-Кристоффеля.

2. Определен класс почти эрмитовой структуры, индуцированной на многообразиях максимальной размерности первого фундаментального распределения локально конформно почти косимплектического многообразия.

3. На пространстве присоединенной С-структуры получена полная группа структурных уравнений нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий и изучено строение компонент тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и скалярной кривизны.

4. Найдены условия принадлежности нормальных локально конформно почти косимплектических многообразий классам кривизны

СЯх, СИ'2, С.

5. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых нормальное локально конформно почти косимплектическое многообразие является многообразием постоянной кривизны.

6. Получен критерий точечного постоянства ФЯЙ'-кривизны нормального локально конформно почти косимплектического многообразия. А также получены необходимые условия глобального постоянства ФНв-кривизны нормального локально конформно почти косимплектического многообразия.

7. Получено необходимое и достаточное условие, при котором нормальное локально конформно почти косимплектическое многообразие является конформно плоским многообразием.

8. На пространстве присоединенной С-структуры изучено строение компонент тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, тензора Вейля и скалярной кривизны почти С(А)-многообразий.

Методы исследования. Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием тензорного исчисления в сочетании с методом присоединенных (7-структур. Суть данного метода заключается в том, что исследование геометрии самого многообразия М с фиксированной на нем геометрической структурой, сводится к исследованию пространства расслоения реперов над многообразием М, или подрасслоений этого расслоения, известных под названием С-структур.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения локально конформно почти косимплектических структур. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МПГУ; на международных конференциях "Геометрия в Астрахани -2008", (Астрахань, 2008), "Международные Колмогоровские чтения -VII", (Ярославль, 2009), "Геометрия в Одессе - 2009", (Одесса, 2009), "Лаптевские чтения - 2009", (Тверь, 2009).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [48] — [51].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 47 наименований. Общий объем рукописи — 94 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харитонова, Светлана Владимировна, 2009 год

1. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна Текст] : в 2 т. / А.Бессе. - М.: Мир, - 1990.

2. Бишоп, Р. Геометрия многообразий Текст] / Р.Бишоп, Р.Дж.Криттенден. М.: Мир, - 1967. - 335с.

3. Волкова, Е.С. Тождества кривизны нормальных многообразий кил-лингова типа Текст] / Е.С.Волкова // Математические заметки. -1997. Т.62. - Вып.З. - С.351-362.

4. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст] / Л.Е.Евтушик, Ю.Г.Лумисте, Н.М.Остиану, А.П.Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ. -1979. - Т.9. - С.3-246.

5. Картан, Э. Риманова геометрия в ортогональном репере Текст] / Э.Картан. М.: МГУ. - 1960. - 94с.

6. Кириченко, В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии Текст] / В.Ф.Кириченко // Изв. АН СССР. -1984. Т.48. - N4. - С.711-739.

7. Кириченко, В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий Текст] / В.Ф.Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ. - 1986. -Т.18. - С.25-71.

8. Кириченко, В.Ф. О постоянстве типа почти эрмитовых многообразий Текст] / В.Ф.Кириченко, И.В.Третьякова // Математические заметки. 2000. - Т.68. - Вып.5. - С.668-676.

9. Кириченко, В.Ф., О геометрии многообразий Кенмоцу Текст] /B.Ф.Кириченко // Доклады РАН. 2001. - Т.380. - N5. - С.585-587.

10. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий Текст] / В.Ф.Кириченко, А.Р.Рустанов // Математический сборник. 2002. - Т.8. - N193. - С.1173-1201.

11. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст] / В.Ф.Кириченко. М.: МПГУ. - 2003. - 495с.

12. Кириченко, В.Ф., Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур Текст] / В.Ф.Кириченко // Известия РАН. -2005. Т.9. - №. - С.107-132.

13. Кириченко, В.Ф. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур Текст] / В.Ф.Кириченко, Н.Н.Дондукова // Математические заметки. 2006. - Т.80. - N2.C.209-220.

14. Кириченко, В.Ф. Геометрия контактной формы Ли и контактный аналог теоремы Икуты Текст] / В.Ф.Кириченко, Н.С.Баклашова // Математические заметки. 2007. - Т.82. - Вып.З. - N4. - С.347-360.

15. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ Текст] / П.К.Рашевский. М.: Наука. - 1964. - 664с.

16. Умнова, C.B. О точечном постоянстве Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий Кенмоцу Текст] / С.В.Умнова; МПГУ .М. 2002. - 16 с. - Библиогр.: с. 16. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.02. -JV514-B2002.

17. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства Текст] / С.Хелгасон. М.: Мир. - 1964. - 536с.

18. Широков, А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст] / А.П.Широков // Итоги науки. Алгебра, топология, геометрия. М: ВИНИТИ. - 1967. - Т.7. - С. 127-188.

19. Широков, А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях Текст] / А.П.Широков // Итоги науки. Алгебра, топология, геометрия. М: ВИНИТИ. - 1974. - Т.П. - С.153-207.

20. Blair, D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry Text] / D.E.Blair // Lect. Notes Math. 1976. - Vol.509. - P.l-146.

21. Blair, D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds Text] / D.E.Blair // Progr. in Math. Birkhauser Bostch, Basil, Berlin. -2003. - V.203. - P.105.

22. Boothby, W. On contact manifolds Text] / W.Boothby, H.C.Wang // Ann.Math. 1958. - Vol.68. - №. - P.721-734.

23. Calapso, M.T. Pfaffian transformations Text] / M.T.Calapso, F.Defever, R. Rosea // Studia Univ. "BABES.-BOLYAI". Mathematica. - 2006. -Vol.51. - N2. - P.29-38.

24. Chern, S.S. Pseudo-groups Continus infinis Text] / S.S.Chern // Colloq. Internat. Centre nat. Rech, scient. Strasbourg. - 1953. - Vol.52. - P. 119136.

25. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures Text] / D.Chinea, J.C.Marrero // Rev. roum de math, pures et aPL. 1992. -Vol.37. - №. - P.199-211.

26. Chinea, D. Conformal changes of almost cosymplectic manifolds Text] / D.Chinea, J.C.Marrero // Demonstratio Mathematica. 1992. - Vol.25. -N3. - P.641-656.

27. Goldberg, S. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds Text] / S.Goldberg // Pacific J. Math. 1968. - Vol.27. - N2. - P.275-281.

28. Goldberg, S. Integrability of almost cosymplectic structures Text] / S.Goldberg, K.Yano // Pacific J. Math. 1969. - Vol.31. - N2. - P.373-382.

29. Gray, A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds Text] / A.Gray // Tohoku Math. J. 1976. - Vol.28. - N4. -P.601-812.

30. Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants Text] / A.Gray, L.M.Hervella // Ann. Math, pure ed aPl. 1980. - Vol.123. - P.35-58.

31. Gray, J.W. Contact structures Text] / J.W.Gray // Abst. short communs Internat. Congress Math, in Edinburgh. Edinburgh: Univ. Edinburgh. - 1958. - P.113.

32. Gray, J.W. Some global properties of contact structures Text] / J.W.Gray // Ann. Math. 1959. - Vol.69. - N2. - P.421-450.

33. Janssen, D. Almost contact structures and curvature tensors Text] / D.Janssen, L.Vanhecke 11 Kodai Math. J. 1981. - Vol.4. - P. 1-27.

34. Kenmotsu, К. A class of almost contact Riemannian manifolds Text] / K.Kenmotsu // Tôhoku Math. J. 1972. - Vol.24. - P.93-103.

35. Kirichenko, V.F. Sur la gemetrie des variétés aProximativement cosymplectiques Text] / V.F.Kirichenko // C.R. Acad.Sc. Paris. 1982. -Vol.295. - Serie 1. - P.673-676.

36. Kobayashi, S. Principal fibre bundles with 1-demensional toroidal group Text] / S.Kobayashi // Tôhoku Math. J. 1956. - Vol.8. - P.29-45.

37. Kobayashi, M. Submanifolds in Kenmotsu manifolds Text] / M.Kobayashi // Rev. Math. Univ. completense. Madrid. - Vol.4. -N1. - P. 73-95.

38. Matsumoto, K. A certain locally conformai almost cosymplectic manifolds and its submanifolds Text] / K.Matsumoto, I.Mihai, R.Rosea // Tensor (N.S.). 1992. - Vol.51. - P.91-102.

39. Matsumoto, K. Locally conformai almost cosymplectic manifolds endowed with a skew-symmetric Killing vector field Text] / K.Matsumoto, A.Mihai, D.Naitza // Bull, of Yarnagata Univ. Nat. Sei. -2004. - Vol.15. - N4. - P.105-111.

40. Mocanu, R. Gray curvature identities for almost contact metric manifolds Text] / R.Mocanu, M.I.Munteanu. (препринт).

41. Olszak, Z. Locally conformai almost cosymplectic manifolds Text] / Z.Olszak // Colloq. math. 1989. - Vol.57. - iVl. - P.73-87.

42. Olszak, Z. Normal locally conformai almost cosymplectic manifolds Text] / Z.Olszak, R.Rosca // Publ. Math. Debrecen. 1991. - Vol.39. -3-4. - P.315-323.

43. Sasaki, S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II Text] / S.Sasaki, Y.Hatakeyama // Tohoku Math. J. 1961. - Vol.13. - P.281-294.

44. Sinha, B.B. Curvatures on Kenmotsu manifolds Text] / B.B.Sinha, A.K.Strivastava // Indian J. Pure and API. Math. 1991. - Vol.22. -N1. - P.23-28.

45. Vaisman, I. Conformal changes of almost contact metric manifolds Text] / I.Vaisman // Lecture Notes in Math. Berlin-Heidelberg-New-York. - 1980. Vol.792. - P.435-443.

46. Vaisman, I. Generalized Hopf manifolds Text] / I.Vaisman // Geom. dedic. 1982. - Vol.13. - P.231-255.

47. Yoon, D.W. Some inequalities for warped product in locally conformal almost cosymplectic manifolds Text] / D.W.Yoon, K.S.Cho, S.G.Han // Note di Matematica. 2004. Vol.23. - N1. - P.51-60.Публикации автора по теме диссертационной работы

48. Харитонова, С.В. О геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий Текст] / С.В.Харитонова // Математические заметки. — 2009. -Т.86. Вып.1. - С.126-138.

49. Харитонова, C.B., Нормальные локально конформно почти косим-плектические многообразия Текст] / С.В.Харитонова // Тезисы докладов Международной конференции „Геометрия в Одессе 2009", 18-24 мая 2009г. - Одесса: Фонд "Наука", 2009. - С. 106.

50. Харитонова, C.B. Структурные уравнения локально конформно почти косимплектических многообразий и их приложения Текст] / С.В.Харитонова; МПГУ. М., 2009. - 23с., - Библиогр.: С.23. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.09, N 340-В2009.