Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Лыков Константин Владимирович

• Лыков Константин Владимирович
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Лыков Константин Владимирович

Содержание

Обозначения

Введение

1 Основные обозначения и предварительные сведения

1.1 Симметричные пространства

1.2 Теория интерполяции

2 Абстрактная теория экстраполяции пространств и операторов

2.1 Теория экстраполяции Бьёрна Яверса и Марио Мильмана

2.2 Результаты С.В. Асташкина

3 Экстраполяционное описание симметричных пространств

3.1 Определение, примеры и общие свойства ^-экстраполяционных относительно шкалы {Ьр} пространств

3.1.1 Е-метод экстраполяции

3.1.2 Критерий сепарабельности пространств Е-метода

3.1.3 Критерий максимальности пространств Е-метода

3.2 Сильно экстраполяционные пространства

3.2.1 Характеризация сильно экстраполяционных пространств

3.2.2 Примеры симметричных сильно экстраполяционных пространств

3.2.3 Аналог понятия сильно экстраполяционного пространства для шкалы {£р} и классов Шаттена-фон Неймана

3.2.4 Сильно экстраполяционные пространства для произвольных интерполяционных шкал

3.3 Экстраполяционное описание пространств Орлича

3.3.1 Лемма о пересечении пространств Орлича

3.3.2 Представление экспоненциальных пространств Орлича в виде пересечения пространств Ьр

3.3.3 Примеры Д-экстраполяционных пространств Орлича

3.3.4 Пересечение счетного семейства пространств Ьр

3.3.5 Весовое пространство Лебега переменной степени как параметр экстраполяции

3.4 Устойчивость экстраполяционных конструкций

3.4.1 Пересечение пространств {Ьро}р<о

3.4.2 Пересечение пространств {Ьр}р<о

3.4.3 Устойчивость Е-метода к дискретизации шкалы {Ьр}р<о

4 Экстраполяция операторов за пределы шкалы {Ьр}1<р<о

4.1 Экстраполяционные теоремы для операторов в шкале {Ьр}р<о,

с растущими нормами при р ^ о

4.2 Экстраполяция сублинейных операторов, действующих в квазибанаховы пространства

4.2.1 Квазибанаховы пространства

4.2.2 Абстрактные экстраполяционные теоремы

4.2.3 Взвешенные суммы пространств Ьр и Ьр,1

4.2.4 Обобщение теоремы Яно на случай квазинормирован-ного образа

4.2.5 Экстраполяция операторов, действующих в логарифмически выпуклое пространство

4.2.6 Примеры операторов и сравнение с известными результатами

4.2.7 Экстремальное свойство оператора Харди-Литлвуда

5 Приложения теории экстраполяции к некоторым вопросам

анализа

5.1 Приложения к ортогональным системам

5.1.1 Сходимость ортогональных рядов

5.1.2 Симметричность пространства

мультипликаторов Радемахера

5.1.3 Операторы проектирования на подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями

5.2 Вероятностная проблема моментов

5.2.1 Классическая проблема моментов, известные результаты и постановка задачи

5.2.2 Совпадение всех целых моментов не влечет неравенств между полуцелыми моментами

5.2.3 Единственность в континуальной проблеме моментов

5.2.4 Неравенства между всеми моментами не гарантируют неравенства между распределениями

5.2.5 Отсутствие Ьр-делимости

5.2.6 Суммы случайных величин из класса Карлемана

5.2.7 Симметричные пространства с определенной проблемой моментов

5.2.8 Новые условия единственности в проблеме моментов 334 5.3 Хаосы Радемахера в симметричных пространствах

5.3.1 Предварительные сведения о функциях и хаосах Радемахера

5.3.2 Вспомогательные дополнительные результаты о симметричных пространствах

5.3.3 Базисность хаоса независимых функций в симметричных пространствах

5.3.4 О безусловности прореженного хаоса Радемахера

5.3.5 О предельной комбинаторной размерности подмножеств N

5.3.6 Критерий безусловности плотного хаоса Радемахера

Заключение

Список литературы

Обозначения

N — множество натуральных чисел

Z — множество целых чисел

Z+ — множество неотрицательных целых чисел

R — множество вещественных чисел

R+ — множество неотрицательных вещественных чисел

log u — натуральный логарифм

д — мера Лебега на [0,1]

S — множество всех измеримых и почти всюду конечных функций на [0,1] S — множество всех измеримых функций, допускающих значения S + — множество всех измеримых неотрицательных функций, допускающих значения

x* — невозрастающая перестановка модуля измеримой функции x x** — функция 1 Jo x*(s) ds

Lp[0,1] — пространство Лебега функций на [0,1], интегрируемых в p-ой степени

фх (t) или (х (t) — фундаментальная функция симметричного пространства X

X0 — сепарабельная часть симметричного пространства X

) — пространство Марцинкевича c фундаментальной функцией (

А(^) — пространство Лоренца с фундаментальной функцией Лг(<р) — степенное пространство Лоренца

1

Ьрл — степенное пространство Лоренца с фундаментальной функцией £р Ьф — пространство Орлича, построенное по выпуклой функции Ф ЕхрЬа — пространство Орлича, построенное по функции Ф(и), совпадпа-ющей с ехр(иа) при достаточно больших и (пространство Зигмунда) Ь(^Ь)в — пространство Орлича, построенное по функции Ф(и), совпад-пающей с и logв и) при достаточно больших и Лм— пространство Орлича-Лоренца

£р — пространство Лебега односторонних числовых последовательностей, суммируемых со степенью р при р € [1, то)

— пространство ограниченных числовых последовательностей Sp — класс Шаттена-фон Неймана, соответствующий степени р Ср — симметричное пространство, получаемой применением Е-метода экстраполяции к шкале пространств {Ьр[0,1]}1^р<то

Ср — симметричное пространство, получаемой применением Е-метода экстраполяции к шкале пространств {Ьр,то [0,1]}1^р<то

Е^ — совокупность всех ^-экстраполяционных пространств по отношению к шкале пространств {Ьр[0,1]}1^р<то

Е'т — совокупность всех ^-экстраполяционных пространств по отношению к шкале пространств {Ьр,то[0,1]}1^р<то

БЕ — совокупность всех сильно экстраполяционных пространств А — экстраполяционный функтор пересечения 2 — экстраполяционный функтор суммы

$ — класс непрерывных возрастающих вогнутых функций на [0,1], равных в нуле нулю и положительных на (0,1]

О — класс всех возрастающих выпуклых функций на [0, о), равных в нуле нулю и положительных на (0, о)

Д2 — специальные классы функций из $ или О: для функции ф € (Д2 П $) с некоторой константой С выполняется условие ф(£) ^ Сф(£2); для функции М € Д2 ПО с некоторой константой С выполняется условие М(и)2 ^ М(Си) для достаточно больших значений и

ф — обозначение для двойственной функции к квазивогнутой функции ф:

Ф(г) := г/ф(г)

~ — знак используется для обозначения эквивалентности двух функций в смысле Ж-функций: М1(и) ~ М2(и) означает выполнение неравенств М1 (и) ^ М2(Си) и М2(и) ^ М1(Си) для некоторого С > 0 и достаточно больших и

N — функция, сопряженная по Лежандру к N: Ж*(х) := вирД^х — N(£)) х — знак означает наличие двусторонних оценок с константой, не зависящей от переменных х, у,...: / х д ^ С—1f ^ д ^ С/ х — наличие двусторонних оценок с константами, не зависящими от основных аргументов, если из контекста ясно, о каких аргументах идет речь (например, если рассматривается эквивалентность норм, предполагается независимость от элементов пространства)

X С У — непрерывное вложение пространства X в пространство У с

X С У — вложение пространства X в пространство У с константой вложения, не превосходящей С

X = У — совпадение банаховых пространств X и У по составу элементов и изоморфизм норм

X = У — изометрическое совпадение банаховых пространств X и У А — банахова пара (А0, А1)

К(£, х; А) — К-функционал Петре элемента х € А0 + А1 Авл — пространство вещественного метода интерполяции Петре с параметрами в € (0,1) и д € [1, то]

\\х\\в — норма пространства Лионса-Петре: (/0+то(в-0К(в,х; А))4^)1/д \\х\\0 — модифицированная норма пространства Лионса-Петре: (дв(1 - в))1/«(/0+то(в-0К(в, х; аА

X V л 00 V

х = ¿^2=1 х^ — ряд х^ сходится к х в топологии пространства X Е — теоретико-множественное пересечение всех пространств Ьр при р < то ЕХ — математическое ожидание случайной величины X V — класс функций (или случайных величин) с определенной проблемой моментов Гамбургера

С — класс функций (или случайных величин), удовлетворяющих условию Карлемана определенности проблемы моментов Гамбургера гп — п-ая функция Радемахера на [0,1]: гп(£) := sign(sin(2nпí)) Гг1г2..лй — произведение функций Радемахера г,1х (^ • г¿2 (^ • ... • г^(£) ^ — мультииндекс (71,32,... ,3 а)

г0 — произведение функций Радемахера г^ (£) • г22 (£) • ... • (£), соответствующих мультииндексу ]

Введение

Настоящая диссертация посвящена изучению экстраполяционных свойств некоторых шкал банаховых пространств. В большей части работы используется шкала пространств Ьр[0,1]. Кроме этой шкалы рассматриваются шкалы пространств Ьрл[0,1], £р, а также абстрактных пространств Лионса-Петре Ав,д.

В работе представлены экстраполяционные описания симметричных пространств функций на [0,1], приведены доказательства полученных автором новых экстраполяционных теорем для линейных, сублинейных и произвольных операторов, а также описаны применения построенной теории в некоторых разделах анализа. Существенная часть результатов, полученных для шкалы пространств Ьр[0,1], обобщается на произвольные интерполяционные шкалы. Но некоторые результаты используют специфические свойства рассматриваемой шкалы и не могут быть перенесены на произвольные шкалы. По этой причине, а также с целью сделать изложение более ясным и конкретным, автором и было принято решение при изложении настоящей работы придерживаться в основном шкалы пространств Ьр[0,1]. С целью иллюстрации некоторых понятий (в частности, понятия сильно экстраполяционного пространства) и выявления их фундаментальной основы, автором приведены некоторые результаты для других шкал.

Отметим также, что шкала пространств Ьр[0,1] является, на наш взгляд, одной из наиболее важных и часто используемых в приложениях шкал. Альтернативой могло бы быть изложение результатов для произвольных шкал с детальной иллюстрацией на примере шкалы Ьр[0,1], но это существенно увеличило бы объем работы.

Отправной точкой теории экстраполяции принято считать работу японского математика Шигеки Яно [213], опубликованную в 1951 году. В этой работе была доказана следующая экстраполяционная теорема, связывающая Ьр-оценки на оператор при р > 1 с оценками в более широких пространствах (специальный случай этого результата рассматривался ранее Титчмаршем и Марцинкевичем [180,211]).

Теорема Яно. Предположим, что оператор Т определен на пространстве Ь\[0,1] и принимает значения в множестве измеримых функций на [0,1], и пусть Т удовлетворяет условию сублинейности: для некоторого В > 0 и любых х3 € ^[0,1] таких, что ряд ^х3 сходится в ^[0,1] справедливо неравенство

то

хз

3=1 3=1

то то

Т^^^хз^ ^ В \Тхз(£)\ почти всюду на [0,1].

Предположим также, что оператор Т ограничен в Ьр[0,1] для каждого р € (1,ро), ро > 1, и

ЦТИьр^ ^ С(р - 1)-в, р € (1,ро), (1)

для некоторых в > 0 и С > 0, не зависящих от р. Тогда

Т : Ь)в ^ Ь\,

где пространство Зигмунда Ь)в состоит из всех измеримых на [0,1]

функций х(^) таких, что

х

¿(^ь)в = I (е/£)х*(£) ^ < то

0

(х* (£) означает непрерывную слева невозрастающую перестановку функции |х(£)|).

В своей работе Яно показал, что оценки для многих важных операторов анализа (таких, как максимальный оператор Харди-Литлвуда, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе и др., см. примеры операторов в [143]) в пространствах, близких к (логарифмических пространствах Лоренца) могут быть получены из Ьр-неравенств для этих операторов, в то время как до работы Яно оценки в шкале {Ьр} и в пространствах получались независимо. Теорема Яно может также рассматриваться как обратное утверждение к хорошо теперь известным интерполяционным теоремам: оценки на нормы оператора в пространствах Ьр влекут оценки в соответствующих предельных для этой шкалы пространствах. Поэтому теорема Яно называется экстраполяционной теоремой. Отметим, что из ограниченности линейного оператора из пространства Зигмунда L(log в и ограниченности в Ьро, вообще говоря, не следует ограниченность в Ьр, p € (1,р0), с оценкой на норму вида О(р — 1)-в, но обращение теоремы Яно верно, например, для трансляционно-инвариантных операторов [207]. В классической монографии А.Зигмунда [26] представлена как теорема Яно, так и двойственный к ней результат, также иногда называмый теоремой Яно.

Теорема Зигмунда. Если оператор Т ограничен в Ьр[0,1] для всех р > р0 и

\\Т\\ьр^ьр < Ор1/в, р € (р0, то), (2)

12

для некоторого в > 0 с константой C > 0, не зависящей от p, то

T : Lo ^ Exp Le,

где пространство Зигмунда Exp Le состоит из всех измеримых функций x(t) таких, что

IMIexp= SUP log-1/e(e/t)x*(t) < oo.

P 0<t^1

Позже эти результаты неоднократно переоткрывались (см., например, работы И.Б. Симоненко [88, 89] и В.И. Юдовича [95, 96]), доказывались некоторые обобщения и уточнения (см., например, [139, 160]), но общей теории не было (ср. с развитием теории интерполяции от теорем Рисса-Торина и Марцинкевича до абстрактной теории). В конце 80-х - начале 90-х годов в серии работ Б. Яверса и М. Мильмана были заложены основы общей (абстрактной) теории экстраполяции [148-152,181], которая изучает естественные предельные пространства, ассоциированные с различными интерполяционными шкалами, и допускающих распространение оценок на нормы соответствующих операторов. Их работа дала много новых идей, перспективных связей с другими разделами анализа и интересных приложений. Следует сказать, что работы эти, имея фундаментальный характер, написаны "широкими мазками" и являются скорее программой для действий, чем законченным исследованием. В связи с этим "потребители" экстраполяционной теории зачастую вынуждены сами получать нужные им конкретные результаты. Отметим здесь результаты новосибирского математика А.Е. Мамонтова [74-81], построившего на основе интегральных преобразований теорию экстраполяции пространств Орлича относительно шкалы Lp для нужд дифференциальных уравнений гидродинамики, а

также моментные пространства израильского математика Е.И. Островского [33,85,186-189], используемые им и другими авторами [163] в задачах случайных полей и математической статистики. Кроме того, работы Б. Яверса и М. Мильмана написаны на языке абстрактной теории интерполяции, доказательства не всегда полны, интерпретация для конкретных шкал представлена только в редких случаях. Последнее обстоятельство побудило некоторых математиков дать независимые формулировки и доказательства результатов Яверса и Мильмана для специальных шкал, в основном для шкалы пространств Lp. В качестве примера отметим работы ярославского математика Е.И. Бережного [12-15], получившего простые доказательства точных экстраполяционных теорем для классических пространств Лоренца и Марцинкевича. Наконец, в работах Яверса и Мильмана исследованы только самые простые экстраполяционные функторы суммы и пересечения, предложенные ранее Н. Ароншайном и Э. Гальярдо в теории интерполяции [100]. Эти функторы, а также их прямые обобщения, появившиеся в работе [159], не исчерпывают все экстраполяционные конструкции и не всегда удобны. Они легко вычисляются на крайних интерполяционных шкалах степенного типа, но обладают устойчивостью к замене шкалы только при некоторых ограничительных условиях на веса конструкции. С.В. Асташкиным было введено новое семейство экстраполяционных функторов, названных позже F-методом [1,2,4], и совместно с автором настоящей работы начато их детальное изучение [42,44,170,172]. В настоящей работе теория экстраполяции развивается преимущественно на основе этих функторов.

Кратко опишем теперь конструкции Б. Яверса и М. Мильмана.

В теории экстраполяции рассматривается семейство банаховых про-

странств {Ло}оЕе, индексированное с помощью некоторого множества индексов в. Эти пространства предполагаются совместимыми, т.е. предполагается наличие некоторого хаусдорфова топологического векторного пространства 7л такого, что имеют место непрерывные вложения Ло С 7л, в Е в. Будем писать Т : {Ло}оЕ© -— {Во}оЕ©, если Т — непрерывный линейный оператор из 7л в 7в, а его сужения на Ло отображают Ло в Во с нормой ^ 1 для каждого в Е в. Будем говорить, что банаховы пространства Л и В являются экстраполяционными пространствами по отношению к семействам {Ло}оЕ© и {Во}оЕ© совместимых пространств, если из условия Т : {Ло}оЕ© -— {Во}оЕ© следует, что Т : Л — В. Экстрапо-ляционный метод Е означает функтор, определенный на наборе Бош(Е) семейств совместимых пространств, и такой, что Е({Ло}оЕе) и Е({Во}оЕе) будут экстраполяционными пространствами для любых {Ло}оЕ© и {Во}оЕ© из Бош(Е). Данные определения немного более гибкие и более нам подо-ходящие, чем определения из [151,152,181], основаные на более ограничительной концепции семейства строго совместимых пространств.

Простейшими, но, в то же время, достаточно важными экстраполяционными методами являются функторы суммы и пересечения семейства банаховых пространств. Предположим, что {Ло}оЕ© — такое семейство совместимых пространств, что для некоторого банахова пространства 2 имеют место непрерывные вложения Ло С в Е в, с равномерно ограниченными нормами. Тогда множество

2(Ло) = |а = ^^ ао т 2 : ао Е Ло для некоторого в и ^^ ||ао||а < то |,

оо

с нормой ||а|^(Ае) = |аоЦлв, где инфимум берется по всем представ-

о

лениям а Е 2(Ло) в виде а = ^о ао, является банаховым пространством.

Заметим, что пространство 2(Ло) не зависит от объемлющего пространства Аналогично, если имеют место равномерно ограниченные вложения А с Ло, в Е в, для некоторого банахова пространства А, мы можем определить пересечение А(Ло) семейства {Ло}оЕе, которое состоит из всех а Е Р|оее Ло таких, что

la|U(Ae) = suP Mao <

Be ©

Пусть теперь {Aq}qg© и {Во}qg© — два семейства банаховых пространств такие, что для некоторых банаховых пространств Ел и Ев имеют место равномерные вложения Aq с Ел и Bq с Ев, и, следовательно, корректно определены пространства E(Aq) и E(Bq). Если T — непрерывный линейный оператор из 7л в 7B такой, что T : {Aq}qg© {Во}qg©, то из определения конструкции суммы Е следует, что T ограничен из E(Aq) в E(Bq). Таким образом функтор Е действительно является экстраполяционным методом. Аналогичное утверждение верно для функтора А, при этом линейность оператора T уже не нужна, так как

||Ta|L(B) = suP llTahe < suP ||a|U = !Hh(Ae).

0G© 0G©

В частности, используя шкалу пространств {Lp} на отрезке [0,1], несложно получить следующие соотношения:

Ei<p<po ((p - 1)-eLp) = L(logL)e, Ei<p<p0 (Lp) = Li,

и

Ap>p0 (Lp) = Lo, Ap>p0 {p 1/вLp) = Exp L.

Поэтому теоремы Яно и Зигмунда являются простым следствием теории экстраполяции Яверса и Мильмана. Привлечение новых экстраполяцион-

ных функторов дает, естественно, больше возможностей. В работе [159] подробно рассмотрены функторы Д(г) и 2(г), являющиеся обобщением функторов А и 2. Авторы рассматривают совместимую пару квазибанаховых пространств (Ло,Л1) и шкалу пространств Ло , г вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в Д(г) определяется следующим образом:

1/r

1 r |

f 11д(г)(М(0)Ав,г ) = \ I M (e)||fILe,r

r

de

где M(в) — положительная непрерывная функция, параметр функтора A(r). В частном случае r = то получаем функтор A. В [159] рассмотрены также различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно. Еще больше возможностей для этого возникает, если Lr-норму в рассмотренной конструкции заменить произвольным банаховым пространством F. Соответствующая экстраполяционная конструкция, называемая F-методом, была предложена С.В. Асташкиным. Опишем F-метод точнее.

Пусть F — банахово идеальное пространство функций на множестве индексов О, снабженном структурой измеримого пространства. Для заданного семейства совместимых банаховых пространств {A}$G©, индексированного множеством О, определим банахово пространство F({A#}$G©) всех таких a G Ta, что функция в G О ^ IMIa принадлежит F, и снабдим это пространство нормой

||a||F({Ae }ее0) := ||||a|U II F •

Ясно, что F-метод обобщает экстраполяционный функтор A, который получается при F = LTO. В настоящей работе F-метод применяется к шкалам

{Ьр[0,1]}р<то, {Ьр,д[0,1]}р<то, {Ьр,ж[0,1]}р<то, в которых роль в играет параметр р, а в = [1, то), а также к шкалам {£р}р>1, {^р}р>1 и {А0л}оЕ(о,1). Мы описываем результирующие пространства (которые мы называем экстраполяционными), решая как прямые, так и обратные задачи экстра-поляционного описания, формулируем и доказываем соответствующие экс-траполяционные теоремы, а также применяем полученные результаты к некоторым классическим проблемам анализа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория экстраполяции для шкал типа Лебега и ее приложения»

Актуальность темы.

Закладывая фундамент абстрактной теории экстраполяции в конце 80-х годов прошлого века, Б. Яверс и М. Мильман, по-видимому, предполагали, что их идеи привлекут новые молодые силы, и вскоре на этой основе будет построено полноценное здание. Однако известный кризис математической науки, спад интереса к абстрактной математике, компьютерная революция и соответствующее смещение приоритетов в сторону дискретной математики, не позволили осуществиться их планам. Автор настоящей диссертационной работы рассчитывает, что его исследования позволят придать теории экстраполяции новый импульс. Следует отметить также, что наибольший спрос у потребителей теории экстраполяции имеет именно шкала пространств Ьр, экстраполяционные свойства которой преимущественно и рассматриваются в настоящей работе, в то время как абстрактная теория не во всех вопросах позволяет продвинуться достаточно глубоко при изучении специальных шкал. Автор считает, что ему удалось придать некоторым разделам теории экстраполяции в шкале пространств Ьр ив близких шкалах завершенную форму. Кроме того, результаты диссертации делают теорию более ясной и, одновременно, более доступной специалистам из

других областей математики. Анализ работ по дифференциальным уравнениям, математической физике, теории вероятностей и др. разделам математики, в которых используются различные варианты экстраполяционных теорем, а также личные вопросы автору на международных конференциях и получаемые по электронной почте, показывает, что имеется назревшая необходимость в более точных и более конкретных результатах, чем имеющиеся в абстрактной теории. Все отмеченное, несомненно, доказывает актуальность выбранного в работе направления исследований и полученных результатов.

Цели и задачи диссертационной работы.

Основной целью диссертационной работы является построение теории экстраполяции для шкалы пространств {Ьр[0,1]}р<то и близких шкал, учитывающей особенности этих шкал, и получение как специальных для этих шкал результатов, не вытекающих из общей теории экстраполяции, так и результатов, которые могут быть полезны и для развития общей теории. Под теорией экстраполяции мы понимаем структурированный набор понятий, определений, строго доказанных утверждений и свойств изучаемых объектов, каковыми являются экстраполяционные функторы и экстрапо-ляционные пространства, с обозначенными внутренними связями, позволяющий эффективно использовать свои компоненты для приложений в различных разделах математики. Для достижения этой цели в диссертации рассматриваются следующие основные задачи.

1. Изучить свойства ^-экстраполяционных пространств.

2. Описать симметричные пространства, которые можно получить Е-методом экстраполяции.

3. Получить соотношения, позволяющие по симметричному пространству восстанавливать параметр экстраполяции.

4. Установить связь между экстраполяционным и интерполяционным описанием симметричного пространства.

5. Охарактеризовать ^-экстраполяционные пространства из специальных классов симметричных пространств с помощью условий на параметры, идентифицирующие конкретное пространство в классе.

6. Исследовать свойство устойчивости Е-метода по отношению к замене шкалы {Ьр[0,1]}р<то на шкалу , д[0,1]}р<то,

7. Получить экстраполяционные теоремы для линейных и сублинейных операторов.

8. Получить эффективные приложения построенной теории к некоторым классическим задачам анализа.

Следует отметить также, что некоторые специальные конструкции, первоначально использованные автором для работы со шкалой пространств {Ьр[0,1]}р<го, удалось перенести и на общие интерполяционные шкалы, что также отражено в настоящей работе.

Методология и методы исследования.

В работе используются общие методы теории функций, функционального анализа и теории вероятностей, а также специальные методы теории интерполяции и теории симметричных пространств. Новые результаты получены благодаря эффективной комбинации общеизвестных и авторских методов, среди которых отметим оценки Ьр-норм через суммы значений К-функционала в специальных точках, использование равномерных взаимных вложений пространств из двух различных шкал, а также оптималь-

ную дискретизацию экстраполяционных функторов. В некоторых местах используются комбинаторные и неконструктивные вероятностные методы.

Научная новизна.

Все выносимые на защиту диссертации результаты являются новыми. Приведем здесь основные из них.

1. Доказана теорема о характеризации сильно экстраполяционных пространств. В теореме доказана равносильность различных условий, среди которых сильная экстраполяционность, а также условие на параметр интерполяции, условие на параметр экстраполяции, условие на само симметричное пространство, сформулированные в терминах ограниченности специальных операторов. Как следствие получена характеризация сильно экс-траполяционных пространств Орлича, Лоренца, Марцинкевича, Орлича-Лоренца в терминах условий на параметры этих пространств.

2. Понятие сильно экстраполяционного пространства перенесено на абстрактные интерполяционные шкалы. Доказана теорема, характеризующая абстрактные сильно экстраполяционные пространства в терминах параметра интерполяции.

3. Доказаны новые экстраполяционные теоремы для операторов, действующих в пространствах Ьр при р Е (р0, то).

4. Доказаны теоремы об устойчивости экстраполяционных конструкций по отношению к замене шкалы пространств {Ьр} на шкалу пространств Ьрл, позволяющие во многих случаях вычислять явно значения специальных экстраполяционных функторов.

5. Доказаны экстраполяционные теоремы о линейных и сублинейных операторах, действующих из шкалы {Ьр} в фиксированное квазинормиро-

ванное полное пространство с операторной нормой, растущей при р ^ 1.

6. Получено экстраполяционное по отношению к шкале {5Р}Р>1 идеалов Шаттена-фон Неймана описание широкого класса симметрично-нормированных идеалов. Доказана новая теорема о связи между попаданием действительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора в соответствующие операторные идеалы, аналогичная оригинальной теореме В. И. Мацаева для £р, и обобщающая теорему Гохберга-Крейна для идеала, сопряженного к идеалу Мацаева.

7. На основе экстраполяционного описания симметричных пространств получены новые условия единственности в классических степенных проблемах моментов Стильтьеса и Гамбургера.

8. С привлечением экстраполяционной техники доказана теорема, характеризующая симметричные пространства, в которых разреженный хаос Радемахера образует безусловную базисную последовательность.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [24,26,33,37,37,38,76,77,81, 84, 85, 88, 89, 95, 96,126,129,140,151,152,159,163,169,170,172,181,182,186188,203,213]. В диссертации получила существенное развитие теория экстраполяции для шкалы пространств на отрезке, что нашло отражение в эффективных приложениях теории, найденных автором, и также представленных в работе. Среди этих приложений особенно отметим новые условия определенности в классической проблеме моментов, важные для теории вероятностей и математической статистики. Ожидается, что результаты ра-

боты найдут и другие полезные применения в теории вероятностей, так как позволяют получать из моментных оценок случайных величин более важные оценки для распределений. Доказанные в работе теоремы об описании пространств и экстраполяции операторов могут быть использованы также в теории функций, гармоническом анализе, математической физике, дифференциальных уравнениях, так как в этих разделах анализа традиционно использование Ьр-оценок на нормы функций и специальных операторов. Следует отметить также, что построенные в работе разделы теории экстраполяции хорошо дополняют теорию интерполяции, предоставляют последней новые методы и позволяют обозначить границы применения и обратимости соответствующих интерполяционных конструкций.

Степень достоверности и апробация результатов.

Все результаты работы представлены в виде математических утверждений (леммы, теоремы, предложения и следствия из них) вместе со строгими математическими доказательствами. Используемые в доказательствах методы и вспомогательные утверждения взяты автором из известных книг или ведущих математических журналов. Все выносимые на защиту результаты опубликованы в рецензируемых научных изданиях.

Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на всероссийских и международных конференциях и математических школах: Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (2006 г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2015, 2017 гг.), Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (2005, 2007, 2011, 2015 гг.), Крымской осенней математической

школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (2014, 2015 гг), Международной конференций "Математическая физика и ее приложения" в г.Самара (2008, 2010 гг.), Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Самара (2009, 2011 гг.), Международной конференции "Harmonic Analysis and Approximations" в г. Цахкадзор, Армения (2008 г.), Международной конференции "The Jozef Marcinkiewicz Centenary Conference" в г. Познань, Польша (2010 г.), Международной конференции "Banach Spaces Geometry" в г. Санкт-Петербург (2010 г.), Международной научной конференции "Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования" в г. Архангельск (2014 г.), Международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" в г. Ростов-на-Дону (2015 г.), Международной конференции Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их прило-жения"(2018 г.) и др.

Основные положения изложенной в работе теории представлялись автором на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН (Семинар С.М. Никольского, руководитель семинара член-корреспондент РАН О.В. Бесов, 2007, 2016 гг.), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (руководитель семинара академик С.В. Кисляков, 2017, 2018 гг.), на семинаре по теории функций действительного переменного МГУ (руководитель семинара академик Б.С. Кашин, 2017 г.), на семинаре кафедры Математического анализа и теории функций РУДН (руководитель семинара профессор В.И. Буренков, 2017 г.), на семинаре Математического института

им. С.М. Никольского РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель семинара профессор А.Л. Скубачевский, 2018 г.).

О приложениях к проблеме моментов автор рассказывал на семинаре Лаборатории Чебышева СПбГУ "Теория вероятностей"(2015 г.) и на Большом семинаре кафедры Теории вероятностей МГУ им М.В. Ломоносова (руководитель семинара академик РАН А.Н. Ширяев, 2017 г.).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры Функционального анализа и теории функций Самарского университета (руководитель семинара профессор С.В. Асташ-кин).

Работа автора по теме диссертации была поддержана в разные годы грантами РФФИ 07-01-96603-р_поволжье_а, 10-01-00077-а, 12-01-00198-а, 14-01-31452-мол-а, 16-41-630676-р_а, 17-01-00138-а, 18-01-00414-a, а также Министерством образования и науки РФ в рамках проекта 5-100.

Публикации автора по теме диссертации.

Основные результаты диссертации содержатся в работах [39—50,52—72,170— 176]. Работы [39-42,44-50,170-172] опубликованы в изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования. При этом работы [42,44-50,171,172] (или их переводы) включены в базу данных Web of Science Core Collection. Отметим еще, что работы [170,172] являются обзорными статьями к книгах, и написаны по заказу редколлегий соответствующих изданий.

Личный вклад автора.

Научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Для полноты изложения и лучшей иллюстрации важных положений работы в текст диссертации включены некоторые результаты, полученные С.В. Асташкиным в совместных работах, а также результаты, в которых точно выделить роль каждого из соавторов не представляется возможным. Во всех таких местах автором сделаны соответствующие пояснения.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы глав 3, 4 и 5 разбиты над подпараграфы, именуемые в работе разделами. Результаты автора изложены в главах 3, 4 и 5. Общий объем диссертации составляет 404 страницы. Библиография включает 213 наименований.

В первой главе собраны основные обозначения, определения и предварительные сведения, касающиеся симметричных пространств и теории интерполяции.

Во второй главе изложены результаты теории экстраполяции, полученные Бьёрном Яверсом, Марио Мильманом и Сергеем Владимировичем Асташкиным. В параграфе 2.1 изложены базовые идеи и результаты абстрактной теории экстраполяции, полученные Б. Яверсом и М. Мильманом. Цель этого параграфа в освещении идеологии и задач теории, а также в обозначении границ результатов, которые можно получить с помощью экстраполяционных функторов А и 2, рассматриваемых указанными ав-

торами. Более общий метод построения экстраполяционных пространств предложен С.В. Асташкиным, он рассматривается в параграфе 2.2. Изложение в настоящей диссертации результатов С.В. Асташкина имеет следующую основную цель: показать, насколько далеко можно продвинуться с помощью Е-метода, работая с общими интерполяционными шкалами и не используя их специальных свойств. Кроме того, из результатов автора настоящей работы, изложенных в последующих главах, следует, что даже те результаты для шкалы пространств {Ьр[0,1]}р<то и некоторых других специальных шкал, которые можно получить с помощью подхода Яверса-Мильмана или Асташкина, можно получить существенно проще, используя, во-первых, другие идеи, а во-вторых, специальные свойства конкретных шкалы. Наконец, развитые автором идеи и методы показывают, что и некоторые общие результаты абстрактной теории экстраполяции, полученные в работах обозначенных авторов, могут быть получены более простым путем.

В третьей главе диссертации излагаются результаты автора об экстраполяционных свойствах шкалы пространств {Ьр[0,1]}р<то и близких шкал. В этой главе с помощью различных подходов найдено экстраполяционное описание широкого класса симметричных пространств. Для симметричных пространств конкретных классов (пространств Орлича, Лоренца, Марцин-кевича, ультрасимметричных пространств и др.) в терминах параметров этих пространств найдены необходимые и достаточные условия, при которых они допускают экстраполяционное описание определенного вида.

В параграфе 3.1 исследуются общие свойства симметричных пространств, получаемых Е-методом, а также изучаются вопросы соответствия свойств сепарабельности и максимальности симметричного пространства

специальным свойствам параметра экстраполяции К. Эти результаты, в основном, были получены еще в кандидатской диссертации автора [51] и приводятся в настоящей работе с целью полноты изложения и удобства ссылок.

Пусть К — банахово идеальной пространство функций, определенных на [1, и С К. Рассмотрим множество функций ж(£) на [0,1]

таких, что

£ = £(р) := 1М1р е к.

Теорема 3.1.1. — симметричное пространство с нормой

:= 11£11^.

Симметричное пространство X будем назвать F-экстраполяционным, если X = Lf для некоторого банахова идеального пространства F. В терминах описанного выше F-метода С.В. Асташкина, равенство X = Lf можно записать также в виде X = F({Lp}i^p<TO).

В разделах 3.1.2 и 3.1.3 доказаны следующие критерии.

Теорема 3.1.15. F-экстраполяционное пространство X сепарабельно тогда и только тогда, когда X = LF для некоторого банахова идеального пространства F, удовлетворяющего условию

f е F ^ lim ||/ • X[N,то)||F = 0.

N ^то

Теорема 3.1.21. F-экстраполяционное пространство X максимально тогда и только тогда, когда X = LF для некоторого банахова идеального

пространства F, удовлетворяющего условию

f • X[1,N] e F и sup || / • X[1,N]\\f < то ^ f e F.

N

Параграф 3.2 посвящен сильно экстраполяционным пространствам: их свойствам, характеризации и некоторым применениям. Понятие сильно экстраполяционного пространства введено автором в работе [39]. Для симметричного пространства X на [0,1] через XX обозначим банахову пространство всех измеримых на [1, то) функций / таких, что /(^(б/£)) Е X и

|f ||x := ||f (log(e/t))

Определение 3.2.2. Будем говорить, что симметричное пространство X сильно экстраполяционно по отношению к шкале пространств Lp (X e SE), если X = Lx (с эквивалентностью норм).

Таким образом, норма каждой функции в любом сильно экстраполяци-онном симметричном пространстве X эквивалентна норме в X функции t e [0, 1] ^ ||x||log(e/t), т.е. ||x|x - \\ ||x|log(e/t) \\X.

Сразу отметим, что класс SE достаточно широк. В частности, все пространства Зигмунда Exp Le, в > 0, фигурирующие в представленной выше экстраполяционной теореме Зигмунда, принадлежат классу SE.

Для формулировки основной теоремы параграфа 3.2 нам понадобится следующее определение, обобщающее понятие умеренного веса, использованного Б. Яверсом и М. Мильманом при изучении экстраполяционных функторов Е и А.

Определение 3.2.3. Банахово идеальное пространство F на [1, то) называется умеренным, если оператор Df (p) := f (2p) ограничен в F.

В контексте Е-метода экстраполяции мы будем говорить об умеренном параметре экстраполяции. Свойство умеренности отвечает за устойчивость Е-метода по отношению к определенной смене интерполяционной шкалы, что поясняется следующей теоремой.

Теорема 3.2.4. Для любого умеренного параметра экстраполяции К и любых двух измеримых функций ^ = ^(р) и д2 = ^2(р) таких, что д«(р) е [1, то] при всех г е {0,1} и р е [1, то), справедливо

91 (р)

В терминах Е-метода это означает, что

Е ({¿^ }) = Е ({¿^}).

Следующая теорема, являющаяся одной из самых важных в работе, характеризует сильно экстраполяционные пространства с различных точек зрения.

Теорема 3.2.5. Для любого симметричного пространства X на [0,1] следующие условия эквивалентны:

(1) X е ££;

(2) оператор £х(£) = х(£2) ограничен в X;

(3) X = с некоторым умеренным параметром экстраполяции К;

(4) с константами, не зависящими от х е X и £ > 0 выполняется соотношение

х;X, ¿то) ^ Нх||^(в/о;X, ¿то),

где ||х|1оё(е/5) обозначает Ьр-норму функции х с р = ^(б/й), й е (0,1];

(5) существуют 1 ^ р = д < то и банахово идеальное пространство С на

[0, то), промежуточное между Ьто и £то(1/£) такие, что

Х = (LP, = ,

(6) существует банахово идеальное пространство С на [0, то), промежуточное между Ьто и Ьто(1/Ь) такая, что для каждого р ^ 1

Х = (^р, ^то)С;

(7) существует банахово идеальное пространство С на [0, то), промежуточное между Ьто и Ьто(1/{) такая, что оператор Т/(£) := /(£2)/£ ограничен в С и

х = (Lí, Ьто)^;

(8) с константами, не зависящими от х, имеет место следующая эквивалентность (дискретный вариант экстраполяционного соотношения)

то

'X||X Х \\ ^^ ||x||kX(e-k,e-k+1] k=l

X

s^ C x v;

XX

(9) для некоторого C > 0 и всех x e X

то

| ^ |x*X(e-2k,e-2k+1)|kX(e-k,e-k+1) k=l

(10) для любого q e [1, то]

||x||X X \ ||x|log e/t,q \ \ x ,

где через ||x||loge/t q обозначена норма функции x в пространстве Lp,q при p = log e/t, и эта Lp,q-норма рассматривается как функция от t;

(11) существует такое q e [1, то], что

||x||X — \\ ||x||log e/t,q \\x .

31

Для некоторых конкретных классов симметричных пространств можно получить более удобные критерии сильной экстраполяционности.

Определение 3.2.14 Для квазивогнутой функции ^ = ^>(£) на отрезке [0,1] будем говорить, что она удовлетворяет Д2-условию и писать ^ е А2, если для некоторой константы С > 0 и всех £ е [0,1] выполняется неравенство

^ С^(£2).

Для удобства изложения используем также следующее определение, введенное Е.И. Пустыльником в работе [194].

Определение. Симметричное пространство называется ультрасимметричным, если оно является интерполяционным относительно банаховой пары (Л(р), М(р)).

Теорема 3.2.25. Ультрасимметричное пространство X сильно экс-траполяционно тогда и только тогда, когда его фундаментальная функция удовлетворяет А2-условию.

Следующая теорема описывает сильно экстраполяционные пространства Орлича-Лоренца.

Теорема 3.2.36. (г) Если ^ е А2, то Лме ££ и Лм= , где К — пространство Орлича (¿ш) на полуоси [1, то) с мерой ¿ш = ^(б-р)б-рф.

(гг) Если же функция М удовлетворяет Д2-условию

М (2и) < СМ (и)

для всех и > и0, то верно и обратное: из Лм(^>) е ££ следует ^ е А2.

Конструкция сильно экстраполяционного пространства включает широкий класс симметричных пространств, часто встречающихся в приложениях. Она охватывает пространства из работ Яверса и Мильмана, получаемые функтором пересечения А с умеренным весом, а также обобщает результаты работ [135,185], в которых экстраполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции в виде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В последних работах, в частности, показано, что условия

sup-- < то и sup-- < то

p p

эквивалентны, что, конечно, вытекает как очень частный случай из теоремы 3.2.5. По поводу декомпозиционной техники смотрите также [123,138].

Понятие сильно экстраполяционного пространства переносится и на другие шкалы пространств. В диссертации доказаны соответствующие теоремы для шкалы пространств числовых последовательностей {^p}1<p<TO и шкалы пространств {A^}$€(од) вещественного метода интерполяции, построенных по вложенной банаховой паре (A0, A1).

Теорема 3.2.43. Пусть X — симметричное пространство односторонних числовых последовательностей, и норма в X имеет следующее интерполяционное представление:

lx||X

n j=1

£

где ^ — некоторое банахово идеальное пространство последовательностей. Предположим также, что в ^ действует ограниченно оператор & : {/п} ^ {/п}. Тогда пространство X — сильно экстраполяционно,

33

т.е.

Е

3=1

х

х

^р(п)

где р(п) = ^оп—-, п ^ 3, а р(1) = р(2) = то.

Пусть теперь Н — сепарабельное гильбертово пространство. Напомним, что класс Шаттена-фон Неймана Sp состоит из компактных операторов Т : Н ^ Н, для которых конечна норма

00

|Т|| :=

I Ир

Е^р

3=1

где {в3-}то=1 — невозрастающая последовательность в-чисел оператора Т, определяемая разложением Шмидта. С помощью теоремы 3.2.43 в диссертации получен следующий результат об экстраполяционном описании симметрично-нормированных идеалов компактных операторов, действующих в Н.

Теорема 3.2.46. Предположим, что банахово идеальное пространство Ь удовлетворяет условию теоремы 3.2.43, а X — симметрично-нормированный идеал компактных операторов в гильбертовом пространстве Н, определяемый условием конечности нормы

|ТII* :=

Е

3=1

в 3

где {вз}то=1 — невозрастающая последовательность в-чисел оператора Т. Тогда

х = г({5р(п)}то=1),

где р(п) = 1, п ^ 3, и р(1) = р(2) := то. Кроме того,

Т

А7

Т

р(п)

где ||T||p(n) — норма Шаттена-фон Неймана оператора T при p(n) =

log n

n ^ 3, и HTIU^ = llTlLoN := IITI

logn-P " ^ " ^ ^(1) _ ^ Np(2) NH^H-

В качестве примера приложения теоремы 3.2.46 получен результат о связи между попаданием действительной и мнимой компоненты вольтерро-ва оператора в определенные симметрично-нормированные идеалы. Напомним, что компактный оператор называется вольтерровым, если его спектр состоит из одной точки {0}. Обозначим через

Tr := 2(T + T*) и Tj (T - T*),

соответственно, действительную и мнимую компоненту оператора T. Напомним, что согласно результату В.И. Мацаева (см. [82, теорема 1]), для вольтеррова оператора T из условия Tj £ Sp, 1 < p < то, следует TR £ Sp. Кроме того, если Aj £ S1, то £ Sb (см. [19, теорема 3]), где симметрично-нормированный идеал S^ состоит из операторов, для которых конечна норма

л .ц ЕП=1 (A)

MIL :=sup '

ln -1)-1'

Обобщением последнего результата является следующая теорема, доказанная в автором в [50] и представленная в настоящей диссертации.

Теорема 3.2.48. Предположим, что симметрично-нормированный идеал X удовлетворяет условиям теоремы 3.2.46. Если T — вольтерров оператор, и Tj £ X, то TR £ X(log-1), где идеал X(log-1) определяется условием конечности нормы

lT|X(log-1) : =

1n

1 У"

log(en) ^ j j=1

F

Завершает параграф 3.2 раздел 3.2.4, посвященный пространствам, интерполяционным относительно вложенной банаховой пары (А0, А1). В этом разделе доказана следующая теорема.

Теорема 3.2.50. Пусть А = (Ао, А1) — банахова пара, А0 с А1, а X — пространство К-метода:

IIхИх : — И^К(г, х; А_) ||^ .

Предположим, что в банаховом идеальном пространстве Ь действует ограниченно оператор

S: !(г) ^ !(г2).

Тогда для любого д Е [1, +то]

1х||х

\хИв(г),д • Х(в,+то) (г)

где в (г) = г, а

\хЦ'вл :=(дв(1 - в))1 ( / (в"'К(в,х; А)) ^

Следующие параграфы главы 3 посвящены экстраполяционному описанию широких классов пространств Орлича и Марцинкевича, включающих сильно экстраполяционные пространства Орлича и Марцинкевича как относительно узкий подкласс.

Параграф 3.3 посвящен экстраполяционному описанию пространств Орлича Ьм, построенным по функции вида

М(и) = вж(1оёи), и ^ ио, (3.37)

где N (г) — выпуклая функция, удовлетворяющая условию Нш^то N (г)/г = то. Такое пространство Орлича будет сильно экстраполяционным лишь в

случае, когда 2N(г) ^ N (а + г) для некоторого а > 0 и всех г > 0, однако явное экстраполяционное описание можно получить и при существенно более слабых ограничениях.

Теорема 3.3.8. Пусть функция М имеет вид (3.37). Если пространство Орлича Ьм есть одновременно пространство Марцинкевича, то

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Лыков Константин Владимирович, 2018 год

Список литературы

[1] Асташкин С. В. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Ер-пространств / С.В. Асташкин // Функцион. анализ и его прил. - 2003.

- Т. 37. - N0. 3. - С. 73-77.

[2] Асташкин С. В. Об экстраполяционных свойствах шкалы Ер-пространств / С.В. Асташкин // Матем. сборник. - 2003. - Т. 194.

- N0. 6. - С. 23-42.

[3] Асташкин С. В. О пространстве мультипликаторов, порожденном системой Радемахера / С.В. Асташкин // Матем. заметки. - 2004. -Т. 75. - N0. 2. - Р. 173-181.

[4] Асташкин С. В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции /С.В. Асташкин // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46. - N0. 2. - С. 264-289.

[5] Асташкин С. В. Функции Радемахера в симметричных пространствах / С.В. Асташкин // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 32. - С. 3-161.

[6] Асташкин С. В. Независимые функции и геометрия банаховых про-

странств / С.В. Асташкин, Ф.А. Сукочев // УМН. - 2010. - Т. 65. -N0. 6 (396). - С. 3-86.

[7] Асташкин С. В. О некоторых свойствах хаоса Радемахера /С.В. Асташкин, Р.С. Суханов // Матем. заметки. - 2012.- Т. 91. - N0. 5. -С. 654-666.

[8] Асташкин С. В. Система Радемахера в функциональных пространствах / С.В. Асташкин. - М.: Физматлит, 2017. - 550 с.

[9] Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов / Н.И. Ахиезер. -М.: ГИ ФМЛ, 1961. - 312 с.

[10] Балло М. Бесконечные пересечения пространств Ьр / М. Балло, Е.М. Семенов // Тезисы докладов XV Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах (5-12 сентября 1990 г.). -Ульяновск: УГПИ, 1990. - С. 26.

[11] Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. - М.: Мир, 1980. - 264 с.

[12] Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для операторов / Е.И. Бережной, А.А. Перфильев // Функц. анализ и его прил. - 2000. -Т. 34. - N0. 3. - С. 66-68.

[13] Бережной Е. И. Простое доказательсво теоремы экстраполяции для пространств Марцинкевича / Е.И. Бережной // Матем. заметки. -2013. - Т. 93. - N0. 6. - С. 939-943.

[14] Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для пространств Ло-

ренца / Е.И. Бережной // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т. 54. - N0. 3.

- С. 520-535.

[15] Бережной Е. И. Можно ли усилить экстраполяционную теорему Яно? / Е.И. Бережной // Функц. анализ и его прил. - 2015. - Т. 49. - N0. 2.

- С. 82-85.

[16] Бухвалов А. В. Нормированные решетки / А.В. Бухвалов, А.И. Векслер, В.А. Гейлер // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. ВИНИТИ. - 1980. - Т. 18. - С. 125-184.

[17] Бухвалов А. В. Банаховы решетки - некоторые банаховы аспекты теории /А.В. Бухвалов, А.И. Векслер, Г.Я. Лозановский // УМН. -1979. - Т. 34. - N0. 2 (206). - С. 137-183.

[18] Голубов Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов. - М.: изд-во ЛКИ, 2008.

- 352 с.

[19] Гохберг И. Ц. К теории треугольных представлений несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. -1961. - Т. 137. - № 5. - С. 1034-1037.

[20] Гохберг И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1965.

[21] Гохберг И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1967.

[22] Дмитриев В. И. Основы теории интерполяции линейных операторов / В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // в книге: Геометрия линейных пространств и теория операторов. — Ярославль: издательство Ярославского государственного университета, 1977. - С. 31-74.

[23] Дмитриев А. А. Об операторах слабого типа (1,1) / А.А. Дмитриев, Е.М. Семенов // Сиб. матем. журн. - 1979. - Т. 20. - № 3. - С. 656-658.

[24] Емельянов Е. Ф. О коэффициентах Фурье функций, представимых лакунарными рядами / Е.Ф. Емельянов, С.Ф. Лукомский // Дифференциальные уравнения и теория функций. - Саратов: СГУ, 1977. -Выпуск 7. - С. 112-134.

[25] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1 / А. Зигмунд. - М.: Мир, 1965.

[26] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2 / А.Зигмунд. - М.: Мир, 1965. - 538 с.

[27] Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П.Акилов. - С.-Пб.: Невский диалект, 2004. - 816 с.

[28] Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды / Ж.П. Кахан. - М.: Мир, 1973. - 302 с.

[29] Кашин Б. С. Ортогональные ряды. / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. - М.: АФЦ, 1999. - 550 с.

[30] Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. - М.: Физматгиз, 1958. - 272 с.

[31] Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова / М.Г. Крейн // Доклады Академии наук СССР. - 1944. - Т. 46. - N0. 8. - С. 339-342.

[32] Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

[33] Козаченко Ю. В., Островский Е. И. Банаховы пространства случайных величин типа субгауссовских / Ю.В. Козаченко, Е.М. Островский // Теория вероятн. и матем. стат. (Киев). - 1985. - Т. 32. -С. 42-53.

[34] Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. - М.: Наука, 1966. - 500 с.

[35] Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах / Г.Я. Лоза-новский // Сиб. матем. журн. - 1973. - Т. 14. - № 1. - С. 140-155.

[36] Лозановский Г. Я. Преобразования банаховых идеальных пространств с помощью вогнутых функций / Г.Я. Лозановский // Качеств. и приближ. методы исслед. операторн. уравнений, 3, Ярославль, 1978, 122-148.

[37] Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к / С.Ф. Лукомский // Матем. заметки. - 2001. - Т. 70. -N0. 6. - С. 882-889.

[38] Лукомский С. Ф. О подпоследовательностях частичных сумм рядов

Фурье-Уолша в пространствах Лоренца / С.Ф. Лукомский // Изв. вузов. Матем. - 2006. - N0. 6. - С. 48-55.

[39] Лыков К. В. Экстраполяция в шкале ^р-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К.В. Лыков // Вестник СамГУ. - 2006. - № 2 (42). - С. 28-43.

[40] Лыков К. В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства / К.В. Лыков // Вестник СамГУ. - 2006. - № 4 (44). -С. 5-12.

[41] Лыков К. В. О дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями / К.В. Лыков // Вестник СамГУ. - 2006. - № 6/1 (46). - С. 47-63.

[42] Лыков К. В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. журн. - 2006. - Т. 47. - № 5. - С. 974-992.

[43] Лыков К. В. Структура непрерывных функций в линейной оболочке хаосов Радемахера / К.В. Лыков, Т.А. Морозова, Р.С. Суханов // Вестник СамГУ. - 2008. - № 6. - С. 123-138.

[44] Лыков К. В. Сильно экстраполяционные пространства и интерполяция / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. журн. - 2009. -Т. 50. - № 2. - С. 250-266.

[45] Лыков К. В. Некоторые замечания к проблеме моментов и ее связи с теорией экстраполяции пространств / К.В. Лыков // Матем. заметки. - 2012. - Т. 91. - N0. 1. - С. 79-92.

[46] Лыков К. В. Новые условия единственности в классической проблеме моментов / К.В. Лыков // Матем. заметки. - 2012. - Т. 92. - No. 6. -893-903.

[47] Лыков К. В. Экстраполяция операторов, действующих в квазибанаховы пространства / К.В. Лыков // Матем. сборник. - 2016. - Т. 207.

- No. 1. - C. 93-122.

[48] Лыков К. В. Разреженный хаос Радемахера в симметричных пространствах / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Алгебра и Анализ. -2016. - Т. 28. - No. 1. - C. 3-31.

[49] Лыков К. В. Любая случайная величина с конечными моментами есть сумма двух величин с определенной проблемой моментов / К.В. Лыков // Теория вероятностей и ее применения. - 2017. - Т. 62. - No. 4.

- C. 787-797.

[50] Лыков К. В. Об экстраполяционных свойствах классов Шаттена-фон Ноймана /К.В. Лыков // Функциональный анализ и его приложения.

- 2018. - Т. 52. - No. 1. - С. 70-75.

[51] Лыков К. В. Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы: диссертация канд. физ.-мат. наук. Самарский государственный университет, Самара, 2006. - 107 с.

[52] Лыков К. В. Экстраполяционное описание некоторых симметричных пространств / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Материалы VII международной Казанской летней научн. школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 27 июня - 4

июля 2005 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 30. -Казань: Казанское математическое общество, 2005. - С. 12-13.

[53] Лыков К. В. Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича и сходимость ортогональных рядов / К.В. Лыков // Материалы IV молод. научн. школы-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 16-18 декабря 2005 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. -Т. 31. - Казань: Казанское математическое общество, 2005. - С. 93-95.

[54] Лыков К. В. О некоторых новых соотношениях между нормами в классе симметричных пространств / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна — 2006. Тезисы докладов. - Воронеж, 2006. - С. 13.

[55] Лыков К. В. Устойчивость экстраполяционных конструкций / К.В. Лыков // Материалы VIII международной Казанской летней научн. школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 27 июня - 4 июля 2007 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 35. - Казань: Казанское математическое общество, 2007. - С. 163-164.

[56] Лыков К. В. Структура непрерывных функций в оболочке хаосов Радемахера / К.В. Лыков, Т.А. Морозова, Р.С. Суханов // Международная конференция по математической физике и ее приложениям. Тезисы докладов. - Самара, 2008. - С. 122-123.

[57] Лыков К. В. О границах применимости экстраполяционных методов / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. - Воронеж, 2009. - С. 14-15.

[58] Лыков К. В. О пересечении пространств Ер[0,1] / К.В. Лыков // Тезисы докладов конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 2009. - С. 36-37.

[59] Лыков К. В. О проблеме моментов в симметричных пространствах / К.В.Лыков // Вторая международная конференция Математическая физика и ее приложения. Материалы конференции. - Самара, 2010. - С. 204-205.

[60] Лыков К. В. О проблеме моментов в пространствах Орлича / К.В. Лыков // Материалы X международной Казанской летней научн. школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 1-7 июля 2011 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 43. - Казань: Казанское математическое общество, 2011. - С. 241-243.

[61] Лыков К. В. О сумме пространств Ер[0,1] / К.В. Лыков // Тезисы докладов конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 2011. - С. 70-71.

[62] Лыков К. В. Об экстраполяции операторов, действующих в квази-нормированные пространства / К.В. Лыков // Тезисы докладов международной конференции «XXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». - Судак, 2014. - С. 6-7.

[63] Лыков К. В. Базисные свойства разреженных хаосов Радемахера в симметричных пространствах / К.В. Лыков // Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа

«Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж, 2015. - С. 79-80.

[64] Лыков К. В. Пространства случайных величин с определенной проблемой моментов / К.В. Лыков // Тезисы докладов Пятой Международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения V». -Ростов-на-Дону, 2015. - С. 188-189.

[65] Лыков К. В. Обобщение экстраполяционной теоремы Яно на случай квазинормированного образа / К.В. Лыков // Материалы XII международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 27 июня - 4 июля 2015 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 51. -Казань: Казанское математическое общество, 2015. - С. 299-301.

[66] Лыков К. В. Об операторах, действующих в ненормируемые пространства / К.В. Лыков // Тезисы докладов международной конференции «XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». - Севастополь, 2015. - С. 9-10.

[67] Лыков К. В. О нелинейности условия Карлемана определенности проблемы моментов / К.В. Лыков // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крей-на - 2016» / под ред. В. А. Костина. - Воронеж : Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2016. - 464 с. - С. 286-289.

[68] Лыков К. В. Теория экстраполяции для интерполяционных шкал /

К.В. Лыков // Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж, 2017. - С. 144-146.

[69] Лыков К. В. Экстраполяционное описание симметрично-нормированных идеалов / К.В. Лыков // Тезисы докладов Седьмой Международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII». - Ростов-на-Дону, 2017. - С. 36-37.

[70] Лыков К. В. Экстраполяционные свойства интерполяционных шкал / К.В. Лыков // Материалы XIII международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 21-27 августа 2017 г.). Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 54. - Казань: Казанское математическое общество, 2017. - С. 237-241.

[71] Лыков К. В. Новое экстраполяционное описание пространств Орлича / К.В. Лыков // Сборник материалов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Г. Крейна (Воронеж, 1319 ноября 2017 г.). - Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2017. - С. 134135.

[72] Лыков К. В. Дробный хаос Радемахера в пространствах Орлича / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Материалов XIX Международной Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 29 января - 2 февраля 2018 г.). - Саратов: ООО Издательство "Научная книга", 2018. - С. 38-41.

[73] Магарил-Ильяев Г. Г. Выпуклый анализ и его приложения / Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. - М.: УРСС, 2003. - 176 с.

[74] Мамонтов А. E. Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями / А.Е. Мамонтов // Актуальные проблемы современной математики, Новосибирск, НГУ, 2. - 1996. - С. 95-103.

[75] Мамонтов А. E. Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича / А.Е. Мамонтов // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ.

- 2006. - Т. 6. - В. 2. - С. 33-56.

[76] Мамонтов А. E. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости, I / А.Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. - 1999. - Т. 40. № 2. - С. 408-420.

[77] Мамонтов А. E. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости, II / А.Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. - 1999. - Т. 40. - № 3. - С. 635-649.

[78] Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования N-функций, I / А.Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. - 2006. - Т. 47. - № 1.

- С. 123-145.

[79] Мамонтов А. E. Интегральные представления и преобразования N-функций, II / А.Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. - 2006. - Т. 47. - № 4.

- С. 811-830.

[80] Мамонтов А. E. Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в простран-

ствах Орлича: диссертация д-ра физ.-мат. наук. Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 2008. - 334 с.

[81] Мамонтов А. E. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича / А.Е. Мамонтов // Сиб. электрон. матем. изв. - 2009. - Т. 6. - C. 120-165.

[82] Мацаев В. И. О вольтерровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных / В.И. Мацаев // Доклады АН СССР. - 1961. -Т. 138. - № 4. - С. 810-813.

[83] Натансон И. П. Теория функций действительного переменного / И.П. Натансон. - М.: Наука, 1974.

[84] Орлов Е. В. О коэффициентах рядов Фурье по множествам Сидона / Е.В. Орлов // Analysis Mathematica. - 1982. - V. 8. - No. 4. - P. 277285.

[85] Островский Е. И. Экспоненциальные оценки для случайных полей и их применения / Е.И. Островский. - Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики, 1999. - 350 с.

[86] Пешкир Г. Неравенства Хинчина и мартингальное расширение сферы их действия / Г. Пешкир, А.Н. Ширяев // УМН. - 1995. - Т. 50. -№ 5(305). - С. 3-62.

[87] Рутицкий Я. Б. О некоторых классах измеримых функций / Я.Б.Рутицкий // Успехи мат. наук. - 1965. - Т. 20. - № 4. - C. 205-208.

[88] Симоненко И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б.Симоненко // ДАН СССР - 1963.

- Т. 151. - № 6. - С. 1288-1291.

[89] Симоненко И. Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б.Симоненко // Матем. сб. - 1964.

- Т. 63 (105). - № 4. - С. 536-553.

[90] Торин Г. О. Теоремы выпуклости / Г.О. Торин // Математика (сборник переводов). - 1957. Т. 1. - № 3. - С. 43-78.

[91] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2 / В. Феллер. - М.: МИР, 1984. - 752 с.

[92] Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу / А.Я. Хе-лемский. - М.: МЦНМО, 2014. - 560 с.

[93] Шестаков В. А. Преобразования банаховых идеальных пространств и интерполяция линейных операторов / В.А. Шестаков // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. - 1981. - Т. 29. - № 11-12. - C. 569-577.

[94] Ширяев А. Н. Вероятность, кн. 1 / А.Н. Ширяев. - М.: МЦНМО, 2004. - 520 с.

[95] Юдович В. И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений / В.И. Юдович // ДАН СССР. - 1961. - Т. 138. - No. 4. - С. 805-803.

[96] Юдович В. И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений / В.И. Юдович // Матем. сб. - 1962. - Т. 59 (101). - С. 229-244.

[97] Antonov N. Yu. Convergence of Fourier series / N.Yu. Antonov // East Journal of Approximation. - 1996. - V. 2. - No. 2. - P. 187-196.

[98] Arias-De-Reyna J. Pointwise Convergence of Fourier Series / J. Arias de Reyna // J. of London Math. Soc. - 2002. - V. 65. - No. 1. - P. 139-153.

[99] Arias de Reyna J. Pointwise Convergence of Fourier Series / J. Arias de Reyna. - Springer-Verlag, Berlin, 2002.

[100] Aronszajn N. Interpolation spaces and interpolation methods / N. Aronszajn, E. Gagliardo // Ann. Mat. Pura Appl. - 1965. - V. 68. -No. 1. - P. 51-118.

[101] Astashkin S. V. Rademacher chaos in symmetric spaces / S.V. Astashkin // East J. Approx. - 1998. - V. 4. - No. 3. - P. 311-336.

[102] Astashkin S. V. Rademacher chaos in symmetric spaces, II / S.V. Astashkin // East J. Approx. - 2000. - V. 6. - No. 1. - P. 71-86.

[103] Astashkin S. V. Symmetric kernel of Rademacher multiplicator spaces / S.V. Astashkin and G.P. Curbera //J. Funct. Anal. - 2005. - V. 226. -P. 173-192.

[104] Astashkin S. V. Rademacher multiplicator spaces equal to / S.V. Astashkin and G.P. Curbera // Proc. Amer. Math. Soc. - 2008. - V. 136. - No. 10. - P. 3493-3501.

[105] Astashkin S. V. Rearrangement invariance of Rademacher multiplicator spaces / S.V. Astashkin and G.P. Curbera //J. Funct. Anal. - 2009. -V. 256. - P. 4071-4094.

[106] Astashkin S. V. Limiting interpolation spaces via extrapolation / S.V. Astashkin, K.V. Lykov, M. Milman // Electronic Publ., arXiv:1803.10659v1 [math.FA] 28 Mar 2018.

[107] Banuelos R. On the £p-norm of the discrete Hilbert transform / R. Banuelos, M. Kwasnicki // Electronic Publ., arXiv:1709.07427v2 [math.CA] 18 Oct 2017.

[108] Bennett C. Interpolation of Operators / C. Bennett and R. Sharpley. -Academic Press, Boston, 1988.

[109] Berg C. On the preservation of determinacy under convolution / C. Berg // Proc. Amer. Math. Soc. - 1985. - V. 93. - No. 2. - P. 351-357.

[110] Berg C. The Cube of a Normal Distribution is Indeterminate / C. Berg // Annals of Probability. - 1988. - V. 16. - No. 2. - P. 910-913.

[111] Blei R. Fractional Cartesian products of sets / R. Blei // Annales de l'institut Fourier. - 1979. - V. 29. - No. 2. - P. 79-105.

[112] Blei R. Combinatorial dimension and certain norms in harmonic analysis / R. Blei // Amer. J. of Math. - 1984. - V. 106. - No. 4. - P. 847-887.

[113] Blei R. Analysis in Integer and Fractional Dimensions / R. Blei. -Cambridge Studies in Advanced Mathematics 71, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2001. - 577 p.

[114] Blei R. Rademacher chaos: tail estimates versus limit theorem / R. Blei, S. Janson // Ark. Mat. - 2004. - V. 42. - No. 1. - P. 13-29.

[115] Blei R. Relationships between combinatorial measurements and Orlicz norms / R. Blei, L. Ge // J. Funct. Anal. - 2009. - V. 257. - No. 3. -P. 683-720.

[116] Blei R. Relationships between combinatorial measurements and Orlicz norms, II / R. Blei, L. Ge // J. Funct. Anal. - 2009. - V. 257. - No. 12.

- P. 3949-3967.

[117] Blei R. Measurements of interdependence / R. Blei // Lithuanian Mathematical Journal. - 2011. - V. 51. - No. 2. - P. 141-154.

[118] Bonami A. Ensembles A(p) dans de dual de / A. Bonami // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1968. - V. 18. - P. 193-204.

[119] Bonami A. Etude des coefficients de Fourier des fonctions de L^(G) / A. Bonami // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1970. - V. 20. - P. 335-402.

[120] Braverman M. Sh. Independent Random Variables and Rearrangement Invariant Spaces / M.Sh. Braverman. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 116 p.

[121] Brudnyi Yu. A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Yu.A.Brudnyi, N.Ya.Krugliak. - North Holland Publish., Amsterdam, 1991.

[122] Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method / A.P. Calderon // Studia Mathematica. - 1964. - V. 24. - No. 2.

- P. 113-190.

[123] Capone C. On extrapolation blowups in the Lp-scale / C. Capone, A.

Fiorenza, M. Krbec // J. of Ineq. And Applicat. - 2006. - V. 2006. -P. 1-15.

[124] Carro M. J. From restricted weak type to strong type estimates / M.J. Carro // J. of London Math. Soc. - 2004. - V. 70. - No. 2. - P. 750-762.

[125] Carro M. J. From restricted type to strong type estimates on quasi-Banach rearrangement invariant spaces / M. Carro, L. Colzani, G. Sinnamon // Studia Mathematica. - 2007. - V. 182. - No. 1. - P. 127.

[126] Carro M. J. Extrapolation theory for the real interpolation method / M.J. Carro, J. Martin // Collectanea Mathematica. - 2002. - V. 53. - No. 2.

- P. 165-186.

[127] Carro M. J. Endpoint estimates from restricted rearrangement inequalities / M.J. Carro, J. Martin // Rev. Mat. Iberoamericana. - 2004.

- V. 20. - No. 1. - P. 131-150.

[128] Carro M. J. Almost everywhere convergent Fourier series / M.J. Carro, M. Mastylo, L. Rodriguez-Piazza //J. of Fourier Analysis and Applications.

- 2012. - V. 18. - No. 2. - P. 266-286.

[129] Carro M. J. Extrapolation on / M. J. Carro, P. Tradacete //J. of Funct. Anal. - 2013. - V. 265. - No. 9. - P. 1840-1869.

[130] Curbera G. P. A note on function spaces generated by Rademacher series / G.P. Curbera // Proc. Edinburgh. Math. Soc. - 1997. - V. 40. - No. 1.

- P. 119-126.

[131] Cwikel M. K-divisibility of the K-functional and Calderon couples / M. Cwikel, B. Jawerth, M. Milman // Ark. Mat. - 1984. - V. 22. - No. 1. -P. 39-62.

[132] Cwikel M. On the fundamental lemma of interpolation theory / M. Cwikel, B. Jawerth, M. Milman //J. Approx. Theory. - 1990. - V. 60. -No. 1. - P. 70-82.

[133] Cwikel M. Interpolation of Marcinkiewicz Spaces / M. Cwikel, P. Nilsson // Math. Scand. - 1985. - V. 56. - No. 1. - P. 29-42.

[134] Devinatz A. On a theorem of Levy-Raikov / A. Devinatz // Ann. Math. Statist. - 1959. - V. 30. - No. 2. - P. 583-586.

[135] Edmunds D. E. On decomposition in exponential Orlicz spaces / D.E. Edmunds, M. Krbec // Math. Nachr. - 2000. - V. 213. - P. 77-88.

[136] Erdos P. On extremal problem of graphs and generalized graphs / P. Erdos // Israel Journal of Mathematics. - 1964. - V. 2. - No. 3. - P. 183190.

[137] Fiorenza A. Grand and Small Lebesgue Spaces and Their Analogs / A. Fiorenza, G.E. Karadzhov // Journal for Analysis and its Applications.

- 2004. - V. 23, No. 6. - P. 657-681.

[138] Fiorenza A. On an optimal decomposition in Zygmund spaces / A. Fiorenza, M. Krbec // Georjian Math. Jour. - 2002. - V. 9. - No. 2.

- P. 271-286.

[139] Flett T. M. A note on some inequalities / T.M. Flett // Glasgow Mathematical Journal. - 1958. - V. 4. - No. 1. - P. 7-15.

[140] Gayral V. Dixmier traces and extrapolation description of noncommutative Lorentz spaces / V.Gayral, F.A. Sukochev // — Journal of Functional Analysis. - V. 266. - No. 10. -P. 6256-6317.

[141] Hagelstein P. A. On restricted weak type (1,1): the continuous case / P.A. Hagelstein, R.L. Jones // Proceeding of the AMS. - 2004. - V. 133.

- No. 1. - P. 185-190.

[142] Hagelstein P. A. Problems in Interpolation Theory Related to the Almost Everywhere Convergence of Fourier Series / P.A. Hagelstein // Topics in Harmonic Analysis and Ergodic Theory, Contemporary mathematics, AMS, 2007. - P. 175-183.

[143] Hardy G. H. A maximal theorem with function-theoretic applications / G.H. Hardy and J.E. Littlewood // Acta Mathematica. - 1930. - V. 48.

- P. 81-116.

[144] Hernandez F. L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L. Hernandez, E.M. Semenov //J. Func. Anal. -1999. - V. 169. - No. 1. - P. 52-80.

[145] Heyde C. C. Some remarks on the moment problem (I) / C.C. Heyde // The Quarterly Journal of Mathematics. - 1963. - V. 14. - No. 1. -P. 91-96.

[146] Holmstedt T. Interpolation of quasi-normed spaces / T. Holmstedt // Math. Scand. - 1970. - V. 26. - P. 177-199.

[147] Iwaniec T. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses

/ T. Iwaniec, C. Sbordone // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1992. - V. 119, No. 2. - P. 129-143.

[148] Jawerth B. Extrapolation theory and applications / B. Jawerth //in Conference at Special Year in Harmonic Analysis, MSRI, Berkeley, 1987.

[149] Jawerth B. A theory of extrapolation spaces. First applications / B. Jawerth, M. Milman // C. R. Acad. Sci. Paris, Series I. - 1989. - V. 308.

- P. 175-179.

[150] Jawerth B. A theory of extrapolation spaces. Further applications / B. Jawerth, M. Milman // C. R. Acad. Sci. Paris, Series I. - 1989. - V. 309.

- P. 225-229.

[151] Jawerth B. Extrapolation Spaces with applications / B. Jawerth, M. Milman // Mem. of the Amer. Math. Soc. - 1991. - V. 89. - No. 440. -IV+82 pp.

[152] Jawerth B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B. Jawerth, M. Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math. Conference Proc., 5. - 1992. - P. 81-105.

[153] Janson S. Minimal and maximal methods of interpolation / S. Janson // J. Funct. Anal. - 1981. - V. 44. - No. 1. - P. 50-73.

[154] De Jeu M. Determinate multidimensional measures, the extended Carleman theorem and quasi-analytic weights / M. De Jeu // Annals of Probability. - 2003. - V. 31. - No. 3. - P. 1205-1227.

[155] De Jeu M. Subspaces with Equal Closure / M. De Jeu // Constructive Approximation. - 2004. - V. 20. - No. 1. - P. 93-157.

[156] Kalton N. J. Convexity, type and the three space problem / N.J. Kalton // Studia Mathematica. - 1981. - V. 69. - No. 3. - P. 247-287.

[157] Kalton N. J. Calderon couples of rearrangement invariant spaces / N.J. Kalton // Studia Mathematica. - 1983. - V. 106. - No. 3. - P. 233-277.

[158] Kaminska A. Some remarks on Orlicz-Lorentz spaces / A. Kaminska // Math. Nachr. - 1990. - V. 147. - No. 1. - P. 29-38.

[159] Karadzhov G. Extrapolation theory: New results and applications / G. Karadzhov, M. Milman // J. Approx. Theory. - 2005. - V. 133. - No. 1. - P. 38-99.

[160] Kerman R. A. An integral extrapolation theorem with applications / R.A. Kerman // Studia Mathematica. - 1983. - V. 76. - No. 3. - P. 183-195.

[161] Khintchine A. Uber dyadische Briiche / A. Khintchine // Mathematische Zeitschrift. - 1923. - V. 18. - P. 109-116.

[162] Kovari T. On a problem of K. Zarankiewicz / T. Kovari, V.T. Sos, P. Turan // Colloq. Math. - 1954. - V. 3. - No. 1. - P. 50-57.

[163] Kozachenko Yu. V. The Banach spaces F^ of random variables / Yu.V. Kozachenko, Yu.Yu. Mlavets' // Theor. Probability and Math.Statist. -2013. - No. 86. - P. 105-121.

[164] Kwapien S. Random Series and Stochastic Integrals. Single and Multiple / S. Kwapien, W.A. Woyczijnski. - Boston: Birkhauser, 1992.

[165] Lin G. D. Characterizations of Distributions via Moments / G.D. Lin // Sankhya: The Indian Journal of Statistics, Series A. - 1992. - V. 54. -No. 1. - P. 128-132.

[166] Lindenstrauss J. Classical Banach spaces 2, Function spaces / J. Lin-denstrauss, L. Tzafriri. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1979. - 244 p.

[167] Lopez-Abad J. Bases of random unconditional convergence in Banach spaces / J. Lopez-Abad, P. Tradacete // Transactions of the AMS. -2016. - V. 368. - No. 12. - P. 9001-9032.

[168] Lorentz G. G. Relation between function spaces / G.G. Lorentz // Proc. of the AMS. - 1961. - V. 12. - No. 1. - P. 127-132.

[169] Lukomskii S. F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces / S.F.Lukomskii // East J. on Approx. - 2003. - V. 9. - No. 2. - P. 229-238.

[170] Lykov K. Extrapolation description of rearrangement invariant spaces and related problems / S. Astashkin, K. Lykov // Banach and function spaces III (ISBFS 2009) (Kitakyushu, Japan, 2009). - Yokohama: Yokohama Publisher, 2011. - P. 1-52.

[171] Lykov K. V. On extrapolation of rearrangement invariant spaces / S.V. Astashkin, K.V. Lykov, M. Mastylo // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 2012. - V. 45. - No. 5. - P. 2735-2749.

[172] Lykov K. V. Jawerth-Milman extrapolation theory: some recent developments with applications / S.V. Astashkin, K.V. Lykov // Functional Analysis, Harmonic Analysis, and Image Processing: A Collection of Papers in Honor of Björn Jawerth, Contemporary Mathematics, 693, eds. Michael Cwikel, Mario Milman. - Providence, Rhode Island: AMS, 2017. - P. 7-53.

[173] Lykov K. V. Strong extrapolation spaces / K.V.Lykov, S.V.Astashkin // International Conference Harmonic Analysis and Approximations, IV. Abstracts. - Tsaghkadzor, Armenia, 2008. - P. 86-87.

[174] Lykov K. Extrapolation description of Marcinkiewicz spaces / K.Lykov // The Jozef Marcinkiewicz Centenary Conference. Abstracts. - Poznan, 2010. - P. 46-47.

[175] Lykov K. V. On Lorentz-Orlicz extrapolation spaces / K.V.Lykov // International Conference Banach Spaces Geometry. - St.Peterburg, 2010. - P. 23-24.

[176] Lykov K. V. The moment problem for a mixture of two distributions / K.V.Lykov // Материалы международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VI". - Ростов-на-Дону, 2016. - С. 133-134.

[177] Maligranda L. The K-functional for symmetric spaces / L. Maligranda // Proc. Conf. "Interpolation spaces and Allied Topics in Analysis Lund, Aug. 29 - Sept. 1, 1983. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1984. - P. 169-182. (Lect. Notes in Math., V. 1070)

[178] Maligranda L. Type, cotype and convexity properties of quasi-Banach spaces / L. Maligranda // Proceedings of the International Symposium on Banach and Function Spaces, Kitakyushu, Japan, 2003. - P. 83-120.

[179] Mamontov A. E. Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions / A.E. Mamontov // Journal of Analysis and Applications. - 2006. - V. 4. - No. 42. - P. 77-118.

[180] Marcinkiewicz J. Sur l'interpolation II / J. Marcinkiewicz // Studia Mathematica. - 1936. - V. 6. - No. 1. - P. 67-81.

[181] Milman M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis / M. Milman. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 162 pp. (Lecture Notes in Math., V. 1580)

[182] Milman M. Extrapolation spaces and a.e. convergence of Fourier series / M. Milman // J. of Approx. Theory. - 1995. - V. 80. - No. 1. - P. 10-24.

[183] Milman M. A note on extrapolation theory / M. Milman //J. Math. Anal. Appl. - 2003. - V. 282. - No. 1. - P. 26-47.

[184] Moon K. H. On restricted weak type (1,1) / K.H. Moon // Proceeding of the AMS. - 1974. - V. 42. - No. 1. - P. 148-152.

[185] Neves J. On decompositions in generalized Lorentz-Zygmund spaces / J.Neves // Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. - 2001. - V. 4-B. - No. 1. - P. 239-267.

[186] Ostrovsky E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications / E. Ostrovsky // Electronic Publ., arXiv:math/0406534v1 [math.FA], 25 Jun 2004.

[187] Ostrovsky E. A remark on the inequalities of Bernstein-Markov type in exponential Orlicz and Lorentz spaces / E. Ostrovsky // Electronic Publ., arXiv:math/0411617v1 [math.FA], 27 Nov 2004.

[188] Ostrovsky E. Some new moment rearrangement invariant spaces; theory and applications / E. Ostrovsky, L. Sirota // Electronic Publ., arXiv:math/0605732v1 [math.FA], 29 May 2006.

[189] Ostrovsky E. Moment Banach spaces: Theory and applications / E. Ostrovsky, L. Sirota // HAIT Journal of Science and Engineering C.

- 2007. - V. 4. - No. 1-2. - P. 233-262.

[190] Ovchinnikov V. I. The method of orbits in interpolation theory / V.I. Ovchinnikov // Math. Rep. - 1984. - V. 1. - No. 2. - P. 349-515.

[191] Pakes A. G. Remarks on converse Carleman and Krein criteria for the classical moment problem / A.G. Pakes // Journal of the Australian Mathematical Society. - 2001. - V. 71. - No. 1. - P. 81-104.

[192] Pedersen H. L. On Krein's Theorem for Indeterminacy of the Classical Moment Problem / H.L. Pedersen // Journal of Approximation Theory.

- 1998. - V. 95. - No. 1. - P. 90-100.

[193] Pichorides S.K. On the best values of the constants in the theorem of M. Riesz, Zygmund and Kolmogorov / S.K. Picoridies // Studia Mathematica. - 1972. - V. 44. - No. 2. - P. 165-179.

[194] Pustylnic E. Ultrasymmetric spaces / E. Pustylnic // Journal of the London Mathematical Society. - 2003. - V. 68. - No. 1. - P. 165-182.

[195] Riesz M. Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineaires / M. Riesz // Acta Mathematica. - 1927. - V. 49. No. 3-4. -P. 465-497.

[196] Rodin V. A. Rademacher series in symmetric spaces / E.M. Semyonov, V.A. Rodin // Anal. Math. - 1975. - V. 1. - No. 3. - P. 207-222.

[197] Rubshtein B.-Z. A. Foundations of Symmetric Spaces of Measurable Functions. Lorentz, Marcinkiewicz and Orlicz Spaces / B.-Z.A. Rubshtein,

G.Ya. Grabarnik, M.A. Muratov, Yu.S. Pashkova. - Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, 2016. - xvii+259 pp.

[198] Szarek S. J. On the best constant in the Khinchin inequality / S.J. Szarek // Studia Mathematica. - 1976. - V. 58. - No. 2. - P. 197-208.

[199] San Juan R. Sur le probleme de Watson dans la theorie des series asymptotiques et solution d'un probleme de Carleman de la theorie des fonctions quasianalytiques / R. San Juan // Acta Mathematica. - 1942.

- V. 75. - No. 1. - P. 247-254.

[200] Simons S. Minimax and Monotonicity / S. Simon. - Berlin: SpringerVerlag, 1998. - 172+XI pp. (Lecture Notes in Math., V. 1693)

[201] Slud E. V. The Moment Problem for Polynomial Forms in Normal Random Variables / E.V. Slud // Annals of Probability. - 1993. - V. 21.

- No. 4. - P. 2200-2214.

[202] Simon B. The Classical Moment Problem as a Self-Adjoint Finite Difference Operator / B. Simon // Advances in Mathematics. - 1998.

- V. 137. - P. 82-203.

[203] Sjolin P. Remarks on theorem by N. Yu. Antonov / P. Sjolin and F. Soria // Studia Mathematica. - 2003. - V. 158. - No. 1. - P. 79-97.

[204] Stein E. M. On the Convergence of Poisson Integrals / E.M. Stein, N.J. Weiss // Transactions of the AMS. - 1969. - V. 140. - P. 35-54.

[205] Stoyanov J. Krein condition in probabilistic moment problems / J. Stoyanov // Bernoulli. - 2000. - V. 6. - No. 5. - P. 939-949.

[206] Stoyanov J. M. Counterexamples in Probability, Third edition / J.M. Stoyanov. - New York: Dover Publications, 2013. - 368 pp.

[207] Tao T. A Converce Extrapolation Theorem for Translation-Invariant Operators / T. Tao // Journal of Functional Analysis. - 2001. - V. 10. -No. 1. - P. 1-10.

[208] Thorin G. O. An extension of a convexity theorem due to M. Riesz / G.O. Thorin // Kungl. Fys. Sallskapets i Lund Forh. - 1938. - V. 8. - No. 14. - P. 166-170.

[209] Thorin G. O. Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications / G.O. Thorin // Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] - 1948. - V. 9. - P. 1-58.

[210] Thorin G. O. Convexity theorems / G.O. Thorin. These, University of Lund, 1948. - 57 pp.

[211] Titchmarsh E. C. Additional note on conjugate functions / E.C. Titchmarsh //J. London Math. Soc. - 1929. - V. 4. - No. 3 - P. 204-206.

[212] Wiener N. The homogeneous chaos / N. Wiener // Amer. J. Math. -1941. - V. 60. - No. 4. - P. 897-936.

[213] Yano S. Notes on Fourier Analysis (XXIX): An extrapolation theorem / S.Yano // J. Math. Soc. Japan. - 1951. - V. 3. - No. 2. - P. 296-305.