О некоторых свойствах базисов в функциональных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Комиссаров, Андрей Алексеевич

• Комиссаров, Андрей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комиссаров, Андрей Алексеевич

стр.

Введение

§1. О содержании диссертации . 2

§2. Некоторые определения и предварительные сведения

Глава I. Эквивалентность систем Хаара и Франклина в симметричных пространствах. Оценка норм некоторых операторов, действующих в Lp , -/</>< со

§1. в - системы. Основные леммы. 29

§2. Эквивалентность систем Хаара и Франклина в симметричных пространствах . 45

§3. Оценка норм некоторых операторов, действующих в lp } j<р< оо. 59

Глава 2. Некоторые свойства рядов Фурье по системам Хаара и Франклина функций из симметричных пространств

§1. Связь между наилучшими приближениями по системам Хаара и Франклина и модулем непрерывности . 71

§2. Равномерная абсолютная сходимость рядов Фурье-Хаара и

Фурье-Франклина . 87

§3. Одно достаточное условие абсолютной сходимости почти всюду ряда Фурье-Франклина . 122

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых свойствах базисов в функциональных пространствах»

§1. О содержании диссертации

Диссертация посвящена изучению систем Хаара и Франклина. Система Хаара рассматривалась многими авторами и изучена'достаточно полно и всесторонне /см., например, обзорную статью/-^7/. Тем не менее её активное исследование в различных направлениях продолжается. Система Франклина появилась в 1928 году /см. в качестве первого примера ортонормированного базиса в пространстве непрерывных на отрезке функций с равномерной нормой. Однако её систематическое изучение началось значительно позже с работ З.Чисельского. Чисельский обнаружил большое сходство системы Франклина с системой Хаара, например, в вопросах о коэффициентах Фурье и о сходимости рядов Фурье. С точки зрения теории приближения функций система Франклина имеет ряд преимуществ перед системой Хаара. Появившиеся при её изучении методы позволили исследовать более общие системы /все они получаются из системы Хаара с помощью некоторых процедур/, которые дали первые примеры базисов в некоторых известных функциональных пространствах /см.fSJJtJi.

Значительным успехом явилось доказательство С.В.Бочкарёвьш/т^/^того факта, что система Франклина образует безусловный базис в пространствах при 1 << 00. Для системы Хаара это. было установлено ещё Ж.Марцинкевичем Г97. Оказалось /см. f/OJ/) что системы Хаара и Франклина эквивалентны в/у> при / </> < 00 то есть для функций из этих пространств совпадают множества последовательностей коэффициентов Фурье-Хаара и Фурье-%)анклина. В последние годы предметом исследования ряда авторов, изучающих систему Франклина и её обобщения, были вопросы о базисности этих систем в тех или иных функциональных пространствах. В частности, большое значение придавалось вопросу об эквивалентности базисов /см.

Этот вопрос занимает центральное место в первой главе настоящей диссертации. В работе также выясняется, насколько простирается сходство систем Хаара и Франклина в некоторых других аспектах, связанных в той или иной мере с оценками коэффициентов Фурье. В отношении системы Франклина нам почти неизвестно результатов, позволяющих судить о точности таких оценок. Это обстоятельство привело к формулировке ряда задач, рассмотренных во второй главе диссертации.

Нагл представляется естественной постановка некоторых вопросов, которые традиционно ставились в терминах пространств в терминах более общих симметричных пространств, теория которых в последние годы интенсивно развивалась /см. Тем более,что в этих пространствах /за исключением ^ / системы Хаара и Франклина ещё недостаточно изучались./Что касается системы Франклина, то в общих симметричных пространствах она, по-видимому, другими авторш,ш вообще не рассматривалась - во всяком случае, нам такие работы неизвестны./Перейдём к более подробному изложению содержания диссертации. Она состоит из введения, в котором два параграфа, и двух глав.

Второй параграф введения содержит большинство определений, необходимые для изложения сведения о симметричных пространствах, а также доказательства некоторых простых, но важных для нас фактов, которые нам не удалось отыскать в литературе. Кроме того, здесь приведены обозначения, используемые в тексте диссертации.

В первой главе три параграфа. В первом параграфе доказываются три основные в этой главе леммы. Ключевой является Лемма 1Д, которую №i называем леммой о норме ядра. В ней даётся равномерная по / оценка нормыспециального вида ядра интегрального оператора уАл: ' fx* очерез норму самого оператора, действующего из симметричного пространства /с.п./ (г^ в симметричное пространство :/к г*, щ * r^i iCPS f^S/Здесь Л > Л & - натуральное число, а - фундаментальнаяфункция с.п. (П£ /.

Идея такой оценки содержится в работе С.М.Лозинского /У-//,рассмотревшего действующий в пространствах Орлича интегральныйоператор типа свёртки с тригонометрическим полиномом степени /2.в качестве ядра. В связи с леммой о норме ядра вводится понятиеS - системы которое в несколько ином варианте встречается вкниге Ж.-П.Кахана "Случайные функциональные рядыnfS47. В лемме1.1л./С ^22 м где функции из£ - системы произвольные измеримые по «Лебегу и ограниченные на fojj функции.

Доказательство леммы натолкнуло на мысль выяснить связьп& -свойства"с неравенствами разных метрик. Эта связь оказывается довольно тесной. Именно, в предложении I.I доказано, что линейно независимая система измеримых и ограниченных функций является S - системой тогда и только тогда, когда для неё справедливо обобщённое неравенство Джексона:/Здесь Л?л - полином степени /г 2/?о по системе - произвольное симметричное пространство./ Для систем Хаара и Франклина£ - свойство очевидно. Для тригонометрической системы его легко вывести /см. /*-/£// из неравенства Бернштейна. Обобщённое неравенство Джексона было впервые отмечено В.А.Родиным /V^/именно для тригонометрической системы. Родин получил его другим путём, но тоже с привлечением неравенства Бернштейна. Его точность для систем Хаара и Франклина легко проверяется.

Во втором параграфе рассматривается вопрос об эквивалентности систем Хаара и Франклина в симметричных пространствах.

Для систем Хаара и Франклина принимаем на протяжении всего текста соответственно обозначения /У=/J^ и //л. Их определения см. в §2 введения.

В 1976 г. в работе З.Чисельского, П.Шимона и П.Шёлина было доказано следующее утверждениеТеорема 0.1 Системы Хаара и Франклина эквивалентны в 1/> при j/<f><oo t т0 естьЭтот результат дал основание рассмотреть задачу об эквивалентности систем Хаара и Франклина в других функциональных пространствах. В 1977 г. П.Шелинf/SJустановил, чтоДля симметричного пространства (г мы ищем решение более широкой задачи о вложениях A/-/(<г) ) и АcA/ff^J в терминах индексов растяжения симметричного пространства /индексов Бойда/ <^6- и и индексов растяжения фундаментальной функции - К* и /см. §2 введения/. Индексы Бойда'(гвозникают во многих интерполяционных теоремах для симметричных пространств. Поэтому достаточное условие естественно выражать через них, интерполируя операторы , переводящие функции Хаара и %)анклина друг в друга:Легко доказываетсяТеорема I.I Если с.п. (г имеет невырожденные индексы Бойда:0< < * \ то AfifaJ, то есть системы ^ и fi эквивалентныВ (г.

Эти оценки обобщают результаты П.Л.Ульяноваa9h з.Чисельского для пространств Ьр. Обратные неравенства устанавливаются в следующих теоремахТеорема 2.3 Пусть (г - произвольное с.п. и Тогда для любого /? - У,. верно неравенство/Здесь - оператор растяжения - см. §2 введения/.

Теорема 2.4 Пусть tr - произвольное с.п. иftCr,Тогдадля любого л У,. верно неравенство/г=оТеорема 2.3 обобщает результат Б.И.Голубова прост/ранств 1 < 00 поскольку //б^//^ ^ = 2" f. Голубов показал, что эта оценка в определённом смысле неулучшаема. Теорема 2.4 обобщает результат З.Чисельскогоустановленный для пространств f и при её доказательстве мы придерживались той же схемы. Ясно, что для - полиномов оба выражения в (0.3) одного порядка, так что оценка (0*3) также в общем случае неулучшаема.

В том же первом параграфе приводятся следствия об оценках коэффициентов Фурье-Хаара и %рье-Франклина функции из симметричного пространства tr е О '/В неравенстве (0*^) можно вместо писатьс, /.

Теорема 2.6 Пусть (г - с.п., для которого О < Если COCSJ - такой модуль непрерывности, что не выполнено (О* f), то в классе найдётся такая непрерывная функция длякоторой оба ряда в (0>6) расходятся при *Теоремы 2.5 и 2.6 обобщают на симметричные пространства и распространяют на систему Франклина установленные для системы Хаара и пространств гу? результаты П.Л.Ульянова /3////а также С.Г.При-бегинауточнившего один результат Ульянова/. Отметим, что в этом и в следующем параграфах мы во многом руководствовались идеями П.Л.Ульянова из работfJIJ JJ3Jt f /.

Отдельно скажем о случае I оо. Здесь естественно формулировать утверждения для обычных классовнепрерывных на отрезке функций. Мы получили полную аналогию с результатом П.Л.Ульянова из /V// для системы Хаара. Именно, условие% coCyf)< GOявляется необходимым и достаточным для того, чтобы ряд (О. б б,/) равномерно сходился на f О, У/ для всякой функции /В экстремальном примере ряд (О- 6 б./J расходится при 2/. Построенные в теоремах 2.6 и 2.7 экстремальные примеры позволяют показать неусиляемость в общем случае оценок (О. J ), ( О-.

Рассмотрение условия (0.5) в случае 6 // приводит к задаче построения функции ограниченной вариации с расходящимся рядом Фурье-Франклина. Для системы Хаара такой пример, приводится в f/SJ. В теореме 2.9 мы строим функцию ограниченной вариации,И и F - ряды Фурье которой расходятся в заданном конечном числе точек. Наш пример показывает, в частности, неусиляемость неравенства %сельского из для коэффициентов Фурье-Франклина функции ограниченной вариации.

Третий параграф второй главы посвящён изучению одного достаточного условия абсолютной сходимости почти всюду /п.в./ ряда Фурье-Франклина:/Это условие указано З.Чисельским в ftyJ /.

Результаты, полученные здесь, совпадают с аналогичными результатами для системы Хаара, установленными П.Л.Ульяновым вСледует отметить, что условия абсолютной сходимости п.в. ряда Фурье-Хаара изучались позднее С.В.Бочкарёвым в других терминах /см. /"</7/. При этом Бочкарёв существенно использовал такие свойства системы Хаара, которыми система Франклина не обладает /тесная связь с системой Радемахера, дизъюнктность функций одной пачки/. По всей видимости, в вопросе абсолютной сходимости п.в. полной аналогии-между системами Хаара и Франклина трудно ожидать.

С помощью теоремы 0.1 доказываетсяТеорема 2.10 Пусть е О причём S^ < I. Если модульнепрерывности CoCS) удовлетворяет условию00< сото для всякой функции <f & /-/$. вьшолнено .

В теореме 2.II мы показываем окончательность в некотором смысле этого утверждения. Для пространства // вопрос решается полностью следующей теоремой.

Теорема 2.12 Для того, чтобы условие (О. ¥ J выполнялось для всякой функции /е , необходимо и достаточно, чтобымодуль непрерывности CoCS) удовлетворял условию< оо/г/1=1В диссертации применяется двойная нумерация для формул и высказываний. Первая цифра указывает на номер главы или на введение / 0 /. Через точку после неё указывается номер внутри соответствующего раздела. Определения, замечания, леммы, предложения, теоремы и следствия нумеруются независимо друг от друга. По теме диссертации опубликованы статьи Автор выражает глубокую признательность П.Л.Ульянову и А.В.Ефимову за постоянное внимание и поддержу в работе.§2. Некоторые определения и предварительные сведенияМы рассматриваем функциональные классы и пространства, элементы которых принадлежат О, /У- множеству всех вещественных функций, заданных на отрезкеfojj и измеримых относительно меры -Лебега. Для неотрицательной функции fro, U обозначим через её функцию распределения:/у fzj = /не* ft £ fo, // > Я /Две неотрицательные функции /М и A&J равноизмеримы, если их функции распределения тождественно равны: = /г^ fzj.

1. Запись означает просто непрерывное вложение:/как тожества/ и/■//д, * .

2. Запись ^ £ &j означает нормальное вложение:3. Запись означает изометричное вложение:4. Запись означает совпадение и эквивалентность норм:и Sj <+>.

5. Запись £х означает изометрию: £i 3,1 иBj.

Из максимальных симметричных пространств назовём ещё классические пространства Орлича /см.

Лоренца и Марцинкевича. Два последних играют важную роль в теории симметричных пространств, и поэтому чуть позже мы приведём их определения.

Справедливы следующие соотношения двойственности f f^f;.

Если tfc- C£J О то 0 ** £со а еслиtПусть (г ф /оо. Тогда имеют место вложения /см.f/JJ/ЩZt » 1и м '5 {г S Mf%J где ЪМ'фй ' (М*)Все три пространства в (0./6J имеют одну и ту же фундаментальную функцию - ££ C£J.

Для конечной строго положительной функции заданной наполуинтервале 7 О, У/, определил её функцию растяжения формулой; УШ -ес™которую можно записать и TainВ литературе обычно встречается функция растяжения для определённой на полуоси и строго положительной функции вычисляемая по формуле /см.Известные для свойства /см. mi справедливы и дляОднако доказательства этих свойств для А^^ТУ не переносятся тривиальным образом на fyfti. Скажем, при доказательстве неравенства полумультипликативности (0.4?) приходится разбирать несколько случаев /см. для сравнения fl<?J, стр.76/. Не найдя в литературе нужных нам доказательств, мы решили привести их здесь.

Мы- называем полумультипликативной всюду конечную на С о, оо) функцию с неравенством полумультипликативности.

3. Пусть Г* > У. ТогдаО < $ £ S/t /4. Пусть t<f с* £ I г , . Тогда^ V-CfrtJ (/сыWD Oct s I Г Г5. Пусть 2V Т/ ^I С/ tfS/, Случал аналогичен предыдущему.

А используя (f.JtO) при б>< < имеем:/V ^ £ & J - h Ct*J >и замечание доказано.

Отметим, что индексы растяжения фундаментальной функции для случая симметричного, пространства на полуоси Со? <*>) /через/^^V/ впервые рассмотрел М.Зиппин в а для случая отрезка ониупомянались, например, в f J.

Замечание 0.5 Пусть ^(tJ всюду конечна. Тогда равносильны условия a./ /Ту > О и б./ ^^ fy CfrJ - О а также условия в./ </V<r/ и г./ - О.

130]!(ft (Skf))(■&) = ХГ01ъТШ(6\<?)М и внося небольшие поправки в изложенные на стр.131-133 книги доказательства для операторов J^t мы находим, что функция //6t flf-bfr. обладает теми же свойствами, что и //J^t, то " ' есть,она полумультипликативна, квазивогнута на У & > Оtи для неё справедливы неравенства:Замечание 0.6 Верно неравенствоС?) £ /6? (MS).

Приведём в несколько упрощённой редакции определение интерполяционного пространства.

Определение 0.7 Назовём банахово пространство S интерполяционным между банаховыми пространствами и 5 если& G В^ и если любой линейный оператор г непрерывно действующий как в так и в ^ будет непрерывно действовать в S причёмТеорема 0.2 /см. ff^Jl Если с.п. 6 максимально или сепара-бельно, то оно является интерполяционным между lo-o ж 11 причём интерполяционная константа С С (г, loo, ) i. Теорема 0.3 /см. ГМ7/ Если для с.п. (г0< £ < с*6. -Zjt- < £ < * то является интерполяционным между Ify и-.

Приведём определения систем Хаара и %>анклина /И и Система Хаара Н /1.

1. f0 CHs / // ^ tfTY^.«2. Если /? и Р у> 1 $ t? < J то^ /гУ-непрерывная кусочно-линейная функция, точки излома которой вычисляются по формулет!/л> = 1 / <p.si)/гСправедливы следующие неравенства /см.

Обозначим через и г соответственно линеиные пространства полиномов Хаара / н - полиномов/ и полиномов Франклина / А - полиномов/ степени, не превосходящей Л.

Замечание 0.9 Так как /У^и fic/i> - конечномерные подпространства банахова пространства то низшие грани в (0.3S) и [0.16) всегда достигаются на каких-то М и ^ полиномах /см. ГЩ.

Мы будем употреблять также следующие обозначения.if f У\У' ф - соответственно множества вещественных, целых, натуральных чисел и пустое множество, AVС^/Ь/ }X декартово произведение множеств и /с соответствующей мерой, еслиизмеримы/.

Говоря о возрастании /убывании/ функции или последовательности, мы подразумеваем нестрогое возрастание /убывание/.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Комиссаров, Андрей Алексеевич, 1984 год

1. Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара. - В кн.: Итоги науки. Математический анализ 1970. -М., 1971, с. 109-146.

2. Pra/iJr&'/t /V. /} 1 г 7е oif/teposiaZ ft* л е fro/it.- /У*//. Алл. //// к /00 * SZS-SJP./ * *

3. С'се^е&бе Z. P2t>peviie<s с>р cnt/tefc/ia£ Рылб&лем . -Muotta A/a-t/i ^ /96S^ У. У/ />. /4/-/S?.4. fte^/e^s/г/ Z. Р? срегА/е-) op 7/е Pza/iA<f//i-у* ten. Л. -JVuo/ia /У^ V.J?t ^S^.J/9-SZS.

4. Z.j Pe^-ifa £ ч 7'o/uftuc 7tc>/i of a si ott/юi/i С^ПЩалЫ VCff 1Ы). -S^a/caAfait., К 4/, p. J/Z-JJ^.

5. С testers At Z. A ee/ijttbciie/L op a ia C*/!4).- сWuoficL /W, к 33, л//, J^S-J^?.

6. Бочкарёв С.В. Существование базиса в пространстве аналитических функций на диске и некоторые свойства системы Франклина. Матем. сб., 1974, т.95 /137/, ЖГ, с.3-18.

7. Бочкарёв С.В. Метод усреднений в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы теории базисов./Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова, т.146. -М.: Наука, 1978, 86 с.

8. Маъесл Jcieifricz . 7/eoie/vj тг /е* Ittecs оУРбо^олаба. Ann. foe. Ро&л. MaiA., /93?, К /6, Р*

9. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

10. Lozc/itki S/, О/г cpsi^e't^ence а по/ of Fouicet scttes а по/ /л. /etf>o6a /с on осе ties . Мат ем.сб., 1944, т.14, вып.З, с.175-268.

11. Кахан Ж.- П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. - 304 с.

12. Sjd'&n Р. ТАе А/ааг ало/ ftan£6t/i аге до/ epucrafen/ 4ам in /у. ~Леао/. Роб кГе/. Set. ice. wa/6., as/гоп . ег1 /9??, K/f />. /С99--//00.

13. Былинкина О.П. Индексы Бойда, верхние и нижние оценки симметричных пространств. Воронеж, 1983. - 16 с. - Рукопись представлена Воронежским ун-том. Деп. в ВИНИТИ I дек. 1983, JS6439-83.

14. Рио/с/г Ttij>ono/^e/Zi'e set се? -^сьгнаб О/ А/а//,. а по/ А/ее А. ? /96 С>, И 9, /К/ , />. J03-JS?.

15. Ульянов П.Л. 0 рядах по системе Хаара. Матем. сб., 1964, т.63 /105/, №3, с.356-391.

16. Голубов Б.И. Наилучшие приближения в метрике полиномами Хаара и Уолша. Матем. сб., 1972, т.87 /129/, Ш, с.254-274.

17. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье. Матем. сб., 1967, т.72 /114/, Ш, с.193-225.

18. Прибегни С.Г. Об абсолютной сходимости рядов Фурье-Хаара. -Изв. вузов. Математика, 1981, Ш, с.77-82.

19. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций //со

20. Ульянов П.Л. О некоторых свойствах рядов по системе Хаара. -Матем. зам., 1967, т.1, Щ, с.17-23.

21. Семёнов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций. Докл. АН СССР, 1964, т.156, с.1292-1295.

22. Семёнов Е.М. Одна новая интерполяционная теорема. Функц. анализ и его приложения, 1968, т.2, №2, с.68-80.

23. SPemcga^c /. Р /wie с>л aoi/h-? о/ ce^/fte-mie/i 0/>ега{огз ол fund ten ccs. ~ Ргас. ^а/>ал. Peao/.t Y&ZO, К , />. /ЗР-J^J.

24. Павлов Е.А. 0 теоремах вложения для симметричных пространств. В кн.: Линейные операторы в функциональных пространствах. -Воронеж, 198I, с.78-80.

25. Mif/uan М. Рл* Рео/о/сл^ 0р tea Ita i-с'/ггаtea/it sfiace-f Apbentz <s/>ac€4. Plata PtaiA. Pcaof: Sei. tiunj. f к 30, /l/3-Ь, p. /P3-/Sj>.

26. Mifman Pf. An б'лгфмаСс^ fob ^eiela Pseeot moc/ufc of com iinuciy. /Pata-f Mai/. > /$PPj A/9 /> P.

27. Лапин С.В. Соотношения между модулями непрерывности функций в различных симметричных пространствах и некоторые теоремы вложения. Докл. АН СССР, 1981, т.257, №5, с.1060-1064.

28. Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов в симметричных пространствах. -Дис. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -170 с.

29. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. -936 с.

30. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. 2-е изд., пе-рераб. и доп. - М.: Наука, 1965. - 407 с.

31. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, I960. - 624 с.

32. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. - 464 с.

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

34. УАс/исра 77 A zVdf cc>'M/>i?6T?e con и/спы'т^ of Ofteta^ctf с л an ini/e^yotfa tc'on f/Zeote/v. J^^-bna^ cf fac. Se/. A/e££ato/<? (At* JV I. //a /Ш, r.JO, />. /M-fft.

35. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 507 с.

36. Алексич Д. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Иностранная литература, 1963. - 359 с.

37. Полещук С.Н. 0 множителях Вейля для ортогональных рядов. -Изв. вузов. Математика, 1983, )Ю, с.26-32.

38. Ctt*tc-6f£e Z. А ^оило/ео/ сгт?Ас>л^-sie/n о/- SVbO/ta AfdM., ffccf, к Sf/ SSP-J</<f.

39. Байбородов С.П. Константы Лебега и приближение функций прямоугольными суммами Фурье в Матем. зам., 1983,т.34, ЖЕ, с.77-90.

40. Новиков И.Я. Ортогональные ряды в симметричных пространствах. : Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1984. - 15 с.

41. Ефимов А.В. Линейные методы приближения непрерывных функций.- Матем. сб., 1961, т.54 /96/, М, с.51-90.

42. Бёрг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение.- М.: Мир, 1980. 264 с.

43. Голубов Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Ха-ара. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964, т.28, J&6, с.1271-1296.

44. Комиссаров А.А. Об эквивалентности систем Хаара и Франклина в некоторых пространствах функции. Сибирский матем. журнал, 1982, т.23, В5, с.115-126.

45. Комиссаров А.А. Об эквивалентности систем Хаара и Франклина в симметричных пространствах. Успехи матем. наук, 1982, т.37, вып.2, с.203-204.

46. Комиссаров А.А. Об эквивалентности систем Хаара и Франклина в симметричных пространствах. В кн.: Теория функций и приближений. 4.2: Труды Саратовской зимней школы. 24 янв. - 5 февр.1982 года. Межвуз. научн. сб. Саратов, 1983, с.65-68.

47. Комиссаров А.А. Оценка норм ядер интегральных операторов и некоторые свойства функциональных систем. В кн.: Международная конференция по теории приближения функций. Киев, 30 мая - 6 июня1983 года.: Тез. докл. Киев, 1983, с.98.

48. Комиссаров А.А. 0 некоторых свойствах функциональных систем.- М., 1983. 28 с. - Рукопись представлена Моск. ин-том электронной техники. Деп. в ВИНИТИ 25 окт. 1983, Ш 5827-83.

49. Комиссаров А.А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье-Франклина. М., 1983. - 46 с. - Рукопись представлена Моск. ин-том электронной техники. Деп. в ВИНИТИ 3 мая 1984, Jfc 2822-84.