Новые детерминировано-вероятностные алгоритмы и модели нелинейной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зульпукаров, Магомед-Герей Меджидович

• Зульпукаров, Магомед-Герей Меджидович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зульпукаров, Магомед-Герей Меджидович

Благодарности.

Введение.

Глава 1. Обратная задача теории бифуркаций в динамической системе с шумом.

1.1 Введение.

1.2 Состояние проблемы.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Экспериментальные данные.

1.5 Теоретическое обоснование.

1.6 Пример решения обратной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые детерминировано-вероятностные алгоритмы и модели нелинейной динамики»

2.2 Русла и джокеры.62

2.3 Сингулярно возмущённые системы.65

2.4 Популяционная динамика.71

2.5 Пример исследования методом русел и джокеров.79

2.6 Заключение.97

Глава 3. Исследование жёсткой турбулентности методом русел и джокеров.100

3.1 Введение.100

3.2 Уравнение Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) и жёсткая турбулентность.101

3.3 Переключающаяся перемежаемость и отображение Ершова.106

3.4 Реконструкция системы Ершова: случай одной переменной.113

3.4.1 Первичный анализ информации о наблюдаемой системе.113

3.4.2 Предварительные соображения по схеме русел и джокеров.118

3.4.3 Русла Ci и С2.118

3.4.4 Джокер J2.119

3.4.5 Джокер J,.124

3.4.6 Построение системы русел и джокеров.129

3.4.7 Результаты моделирования, сравнение.132

3.5 Заключение.135

Основные результаты диссертации.137

Библиография.138

Приложение. Определение точки бифуркации в модели деятельности малого инновационного предприятия.144

Благодарности

Считаю приятным долгом выразить глубокую признательность своим научным руководителям - Георгию Геннадьевичу Малинецкому и Андрею Викторовичу Подлазову, а также всему коллективу Отдела математического моделирования нелинейных процессов и синергетики Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, за помощь и поддержку в работе над диссертацией. Хотелось бы поблагодарить директора Научно-образовательного центра «Прикладная математика» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Николая Алексеевича Митина за конструктивные замечания по содержанию диссертации.

Искренне благодарен Дмитрию Сергеевичу Чернавскому за поддержку и совместную работу в области математической экономики.

Значительную помощь в выполнении работы оказало обсуждение свойств динамических систем с шумом с Олегом Ярославовичем Бутковским и Еленой Дмитриевной Суровяткиной.

Большой интерес к работе был проявлен сотрудниками кафедры биофизики биологического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, сделавшими ряд важных замечаний относительно развития и использования полученных результатов в области математической биологии. Искренняя благодарность Галине Юрьевне Ризниченко, Татьяне Юрьевне Плюсниной, Ладе Джураевне Тёрловой, Полине Викторовне Фурсовой, Анастасии Игоревне Лавровой.

Я весьма признателен Ивану Владимировичу Десятову за совместную работу по применению алгоритма определения положения точки бифуркации к математической модели деятельности малого инновационного предприятия (см. Приложение).

Особая благодарность - Поповой Дине Александровне, за совместную работу и поддержку.

Введение

В последнее десятилетие всё большее внимание в науке уделяется междисциплинарным подходам. В основе таких подходов лежит глубокая аналогия математических моделей, используемых в различных областях исследования. Особый интерес вызывают нелинейные проблемы и соответстсующие нелинейные модели. В литературе всё чаще употребляется словосочетание «нелинейная наука».

Одним из наиболее плодотворных и бурно развивающихся подходов современной науки является теория самоорганизации, или синергетика. Данный термин ввёл в употребление Герман Хакен, выявивший ряд аналогий между неустойчивостями в гидродинамике и динамикой лазеров [1].

Междисциплинарные исследования активно развивались и в СССР, в частности, в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша Академии наук. Следует особо отметить вклад школы С.П. Курдюмова в области исследования режимов с обострением (динамических режимов, характеризующихся неограниченным ростом величины одной или нескольких переменных состояния в течение конечного промежутка времени [2], наблюдающихся в открытых системах с сильной положительной обратной связью).

В истории синергетики традиционно принято выделять два следующих друг за другом периода, соответствующие двум различным парадигмам. Первая из них связана с рассмотрением явления самоорганизации в пространственно распределённых системах (системах, в которых динамические переменные зависят от пространственных переменных). Самоорганизация заключается в выделении небольшого числа переменных, так называемых параметров порядка [1,3], определяющих динамику всей системы, формально обладающей бесконечным числом степеней свободы. Данная парадигма сформировалась после того, как было обнаружено, что многие сложные явления, относящиеся к различным областям знания (колебательные химические реакции, самопроизвольное упорядочивание в гидродинамических системах, явления физики плазмы, нелинейной оптики, популяционной динамики, и т.д.) могут быть описаны с использованием похожих простых математических моделей.

Появление параметров порядка можно пояснить следующим образом. Пусть дана задача для уравнения в частных производных, описывающего некоторую пространственно распределённую систему, например, следующего вида: ut=F{u,ux,uxx,.)

О <х<1 м(х,0) = м0(х) ' где t - время, х - пространственная переменная, и - динамическая переменная, а F- некоторая нелинейная функция. Разложив и в ряд Фурье

UJ k(*>0=Ec«(0cos т=О f ж тх Л и выполнив подстановку, задачу можно свести к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Ст=/т(С0>С\>С2>—)-ГтСт, Ш=0,\, 2, ., где /т - нелинейные функции, а члены утСт обусловлены диссипативными процессами (трением, вязкостью, диффузией, теплопроводностью), О <--<Ут<Ут,х<-'

Может оказаться, что амплитуды гармоник Ст с течением времени убывают тем быстрее, чем выше номер гармоники. Пусть 5- характерное время изменения переменных С0,.,Сти а переменная Ст меняется значительно быстрее, для чего необходимо выполнение неравенства <5>»1jym (это фундаментальное допущение носит название адиабатического приближения). Пусть также выполняется цепочка неравенств ут ym+l ут+2 «., означающая, что процессы, соответствующие первым т +1 гармоникам, идут значительно медленнее остальных.

Тогда можно перейти к системе т +1 дифференциальных и последовательности алгебраических уравнений jCn=-ynCn+fnKCvC2,.,Cm,), п = 0, 1, 2,., т-1

О = ~rpCp+fp{C0,CvC2,.,CmvCm,.), р = т, т +1, т + 2,. строгое обоснование допустимости такого перехода для ряда систем дифференциальных уравнений дано А.Н. Тихоновым [4], что положило начало новому направлению асимптотического анализа), описывающих процессы с характерными временами т»\jym . Выразив амплитуды Ст, Сп1+], . через

С0,.,Ст]5 можно записать систему т дифференциальных уравнений вида jCn=(pn(C,,CvC2,.,Cmx)-ynCn, ц = 0, 1, 2,., т.

Таким образом, задавшись точностью и характерными временами, можно значительно упростить исходную систему.

Ключевая роль в формировании простого поведения сложной системы в данном случае принадлежит диссипативным процессам. В диссипативных системах объём выделенной области фазового пространства уменьшается под действием оператора эволюции, что с течением времени может привести к формированию стационарного, пространственно-неоднородного распределения динамических переменных, не чувствительного или слабо чувствительного к изменению начальных условий задачи в широком диапазоне. Распределения такого рода были названы И.Р. Пригожиным диссипативпыми структурами

5].

Отметим, что интерес представляет асимптотическое поведение системы, и здесь уместно подчеркнуть принципиальное отличие от консервативных систем, в которых объём выделенной области фазового пространства сохраняется, а поведение определяется начальными условиями и не разделяется на переходное и асимптотическое.

Перечислим некоторые, широко известные модели теории диссипативных структур. Прежде всего, к ним относятся системы «реакция-диффузия)) вида дп / ч д2п — = v(n) + K—^ dt W дх ' где п обозначает концентрацию некоторого вещества, первый член соответствует изменению концентрации в результате химической реакции и обычно представляет собой полином, а второй член соответствует диффузии вдоль оси х (к- коэффициент диффузии). Для простоты обозначений приведён вариант системы для одного вещества и одномерного пространства [1,5].

Классическим примером такой системы является введённая Пригожиным модель под названием брюсселятор. Дана следующая цепочка реакций:

А^Х

B + X-^Y + D

2X + Y->3X '

Х^Е где А и В - исходные вещества, D и Е - продукты реакции, а X и Y -промежуточные вещества. Модель представляет собой следующую систему уравнений в частных производных:

L = а - [b +1) л, + п[ п2 + кх —1 2 dt v 7 ' ' ' ' дх дщ . 2 д2щ '

- = Ьп, -п,п7+ к, — dt 1 1 2 2 Эх2 где а и b - концентрации А и В (считаются заданными), а я, и п2 концентрации X и Y. Как правило, используются граничные условия следующего вида: п{ (0,/) = пх [\,t) = a n2($,t) = n2{\,t) = -а

В зависимости от значений параметров, модель брюсселятора допускает решения различных типов - пространственно-однородные, пространственно-неоднородные стационарные, предельные циклы, химические волны.

Из практических примеров самоорганизующихся химических реакций чаще всего упоминается реакция Белоусова-Жаботинского [7]. Реакция обычно протекает при +25°С в смеси, состоящей из бромата калия, малоновой или броммалоновой кислоты и сульфата церия, растворённого в лимонной кислоте, и позволяет наблюдать разнообразные пространственно-временные структуры (в замкнутой системе - в течение ограниченного времени), в частности, спиральные волны (ревербераторы), показанные на рис. 1.

Типичная задача исследования таких диссипативных структур состоит в определении зависимости их типа и конфигурации от параметров системы, или построении бифуркационной диаграммы (термин «бифуркация» обозначает изменение числа или устойчивости решений определённого типа, или, в более широком смысле, качественное изменение топологии фазового портрета системы). Математический аппарат, используемый для решения задач такого рода, включает качественную теорию дифференциальных уравнений [8,9,10,11] и теорию бифуркаций [11,12,13,14,15,16,17].

Другая классическая модель описываемого периода развития нелинейной динамики - модель подогреваемого снизу слоя жидкости. Модель демонстрирует явление конвективной неустойчивости: при достижении температурным градиентом критического значения, в жидкости, до того неподвижной, начинается макроскопическое движение с образованием либо горизонтальных цилиндрических валов, либо вертикальных гексагональных структур (ячеек Бенара). Это, а также прочие явления, характерные для данной модели, играют важную роль, в частности, в гидродинамике и метеорологии

Напоследок (но не в последнюю очередь), отметим приложения теории диссипативных структур в биологии. Из представления клетки в виде системы, регулируемой локальной концентрацией определённых химических веществ, естественным образом вытекает предположение об аналогии самоорганизации химических структур в однородной реакционной смеси и морфогенеза -самоформирования клеточных структур из совокупности одинаковых клеток. На этой аналогии основаны, например, модели Зимана процесса дифференцировки костной и мышечной ткани и развития слизистых грибов [6].

Рис. 1. Спиральные волны в реакции Белоусова-Жаботинского

Химические волны, возникающие в первоначально однородной (взболтанной) реакционной смеси, находящейся в неглубокой кювете, вид сверху (рисунок заимствован из [6]).

Итак, простота описания сложных пространственно распределённых систем методами теории диссипативных структур заключается в следующем. Во-первых, как выяснилось, одни и те же уравнения подходят на роль математических моделей различных процессов. Во-вторых, качественное понимание поведения систем уравнений в частных производных, достижимо посредством использования простейших динамических систем. В-третьих, несколько простейших бифуркаций могут использоваться для описания множества различных нелинейных процессов и неустойчивостей.

Следует, однако, отметить, что число систем, допускающих действительно простое описание средствами теории диссипативных структур, сравнительно невелико. Поиск диссипативных структур в физических системах и прикладных задачах часто требует учёта существенных деталей, сильно усложняющих модель (нелинейных эффектов и т.п.). В процессе углублённого исследования, как правило, выясняется, что явления, аналогичные качественно, различаются в деталях.

Отметим некоторые ожидаемые направления развития и практического применения теории диссипативных структур. Предполагается, что технологии нового поколения, использующие пространственную самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты, могли бы быть использованы для создания нанопроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов, и т.п. Также стоит упомянуть проекты ускорения заряженных частиц с помощью лазера и создания теории мощных вихрей в атмосферах планет-гигантов.

Следующая, вторая парадигма нелинейной динамики, в противоположность первой, связана с рассмотрением сложного, непериодического поведения простейших сосредоточенных (не зависящих от пространственных переменных) детерминированных динамических систем. Данная парадигма обязана своим появлением крупнейшему достижению теории динамических систем - открытию детерминированного хаоса, нерегулярного, напоминающего случайное, движения в нелинейных системах, в которых эволюция состояния системы во времени однозначно определяется предысторией [18]. Отметим, что нелинейность необходима (хотя и не достаточна) для возниктовения хаотического движения: линейные системы дифференциальных или разностных уравнений могут быть решены с помощью преобразования Фурье и не приводят к хаосу.

Важнейшей особенностью хаотических режимов является чувствительность к начальным данным. Поясним это понятие.

В основе современного математического моделирования лежат обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения в частных производных, лежащие в основе математической физики, можно рассматривать как их обобщение на случай бесконечномерного фазового пространства). Классическая теорема о непрерывности и дифференцируемости решений дифференциальных уравнений по начальным данным [19,20], как прежде считалось, позволяет полагать, что, зная начальное состояние системы и располагая достаточными вычислительными мощностями, можно рассчитать состояние системы в сколь угодно отдалённом прошлом и будущем (данная концепция получила название Лапласовского детерминизма). Действительно, небольшая ошибка в определении начального состояния, согласно теореме, продолжает с течением времени оставаться сравнительно небольшой. Кроме того, в большинстве практических приложений рассматриваются относительно простые решения - стационарные или колебательные.

Однако, в 1963 году, Лоренц, в процессе численного исследования свойств модели конвекционных токов в атмосфере, обнаружил, что, после ввода незначительной ошибки в начальные условия (уменьшения числа верных десятичных знаков), расхождение решений быстро нарастает, вплоть до полной потери аналогии. Обнаруженное у модели Лоренца свойство чувствительности к самой незначительной погрешности начальных данных является обоснованием, в частности, невозможности долгосрочного прогнозирования погоды.

Заметим, что чувствительности к начальным данным формально не противоречит непрерывности и дифференцируемое™ по начальным данным.

Здесь уместна аналогия с функцией вида /(х) = sin(/x), которая при сколь угодно больших / удовлетворяет определениям непрерывности и дифференцируемости, однако, в любом практическом приложении (в физике, в вычислительном эксперименте, и т.п.) существует такое t, начиная с которого использование данной функции в качестве непрерывной (дифференцируемой) невозможно.

Т*и О и

М<е/)

I \

Ы, гО а) (б)

Рис. 2. Пояснение к определению хаотического отображения а) - существенная зависимость от начальных условий. х0, у0 - начальные значения, б) - транзитивность.

Приведём более строгое определение детерминированного хаоса [21].

Пусть дано метрическое пространство (X,d). Отображение f'.Xv-^X является хаотическим, если выполняются следующие условия: 1. / обладает существенной зависимостью от начальных условий. Пусть х s U с X, где U - некоторое открытое множество. Тогда для некоторого

S > О существует такое целое п > О и такая точка y^U, что d (/(п) (*), /(и) (у)) > 8 (рис. 2(a)).

2. / транзитивпо, то есть для любой пары U,V открытых множеств существует такое п > О, что (U) г\ V Ф 0 (рис. 2(6)).

3. Периодические точки/плотны в X. Это означает, что в любой окрестности любой точки в X существует по крайней мере одна периодическая точка. Следует отметить, что приведённое определение избыточно: существенная заависимость от начальных условий следует из выполнения условий транзитивности и плотности периодических точек. При этом, ни транзитивность, ни плотность периодических точек невыводимы из двух остающихся условий [21].

Детерминированный хаос наблюдается как в консервативных (в частности, гамильтоновых) [22,23], так и в диссипативных системах (в последнем случае -только при условии внешнего возбуждения, т.е., система должна быть открытой). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением хаоса в диссипативных системах.

В отличие от классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривающей поведение системы на конечном временном интервале, нелинейная динамика интересуется асимптотическим поведением системы. Для диссипативных систем характерно следующее: при t -»оо решения сосредотачиваются на аттракторе. Аттрактор - суть некоторое подмножество В фазового пространства, удовлетворяющее следующим условиям [24]:

1. В инвариантно относительно потока фазовых траекторий (т.е., под действием оператора эволюции переходит само в себя);

2. существует открытое множество U сжимающееся к В под действием потока (объединение всех таких множеств называется областью притяжения, или бассейном аттрактора);

3. никакая часть В не является переходной (то есть, траектория не уходит из неё при / —> оо);

4. В неразложимо на два непересекающихся инвариантных множества.

Если у динамической системы более одного аттрактора, говорят о мультистабильности (также известны системы, имеющие бесконечно много различных аттракторов). Обычно, аттрактор представляет собой множество меры нуль.

До открытия детерминированного хаоса было известно всего три простейших вида аттракторов и три соответствующих им вида установившихся решений динамических систем:

1. Точка. Соответствует состоянию равновесия.

2. Предельный цикл (замкнутая фазовая траектория). Соответствует периодическому решению.

3. Предельный «-тор (фазовая траектория образует всюду плотную обмотку некоторого тора). Соответствует квазипериодическому решению совокупности периодических движений с иррациональными соотношениями периодов). Аттракторы перечисленных видов называются регулярными.

Первопричина нерегулярности поведения хаотических систем определяется их способностью быстро разводить первоначально близкие траектории (расхождение I при малых / в среднем растёт экспоненциально: l~eXt, Х = const, Л>0). Если траектории аттрактора ведут себя подобным образом, то такой аттрактор называется хаотическим.

Таким образом, динамическая система, работающая в хаотическом режиме, демонстрирует одновременно глобальную устойчивость (траектория не покидает пределов области притяжения аттрактора) с локальной неустойчивостью. Последнее означает неустойчивость по Ляпунову (решение x(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £>0 найдётся £>0, такое, что для любого решения |х(0)-х(0)|<£, выполняется неравенство |х(*)-х(/)| <е, t>0) [24,25,26,27].

В качестве количественной меры неустойчивости траекторий хаотического аттрактора используются ляпуновские характеристические показатели. Пусть дана линеаризованная система й = Аи, где и - вектор возмущения. Пусть v(. - собственные числа матрицы А, пронумерованные в порядке убывания, а г^ - соответствующие им собственные вектора. Любое решение и(/) данной системы можно представить в виде комбинации базисных решений u(. {t) = ev,tr^, отвечающих начальным данным и, (0) = г(,).

Можно показать, что характеристический показатель решения и (?), принимает, в зависимости от начальных данных, одно из значений Я,. = Rev( . Ляпуновские показатели принято нумеровать в порядке убывания. Среди них наиболее важен старший (максимальный) - \. Так как почти все начальные данные имеют ненулевую проекцию на соответствующее ему направление, именно он характеризует скорость нарастания возмущения.

Итак, сочетание глобальной устойчивости с локальной неустойчивостью хаотического аттрактора означает устойчивость по Ляпунову по одним направлениям и неустойчивость по другим. Таким образом, критерием хаоса является набор ляпуновских показателей, содержащий как положительные, так и отрицательные значения (один из показателей, соответствующий возмущению, направленному точно вдоль траектории, равен нулю).

Часто хаос в диссипативных системах связывают с наличием в фазовом пространстве аттрактора с фрактальным строением - так называемого странного аттрактора. Фрактал представляет собой множество со сложной, тонкой геометрической структурой. Многие, хотя и не все, фракталы отличаются самоподобием, или масштабной инвариантностью, то есть, демонстрируют на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближённом смысле. Наиболее простые и известные примеры самоподобных фракталов - канторово множество, кривая Кох, ковёр Серпиньского [21].

Основной характеристикой фрактала является его размерность - мера степени заполнения пространства (подпространства) фракталом. Существует множество различных определений размерности, используемых при исследовании фракталов. Обычно, в качестве простого и интуитивно понятного примера приводится размерность Минковского, или фрактальная размерность, или ёмкость logA^(g) log Б

Здесь е - диаметр ячейки сетки, a - количество ячеек сетки, покрывающих множество. Одно из определений называет фракталом множество с нецелочисленной фрактальной размерностью.

Более сложное определение, основанное на покрытии множества элементами произвольной формы и размера, имеет размерность Хаусдорфа. Пусть исследуемое множество покрывается множествами Aj} такими, что dianЦ < е . Пусть т(е, р) = inf У7сНатД.)р

Тогда sup m(s, /?)>0 0

Строгое определение, данное Мандельбротом, называет фракталом множество, хаусдорфова размерность которого строго больше его топологической размерности (топологическая размерность определяется индуктивно, она равна нулю для канторова множества и п для «-мерного евклидового пространства R" и локально эквивалентного последнему п-мерного многообразия).

Кроме упомянутых, в теоретических построениях и на практике используются и другие размерности, связанные между собой различным образом -ляпуновская, информационная, корреляционная, поточечная, и т.д.

Отметим, что не любой странный аттрактор является хаотическим, и наоборот [28]. Аттрактор с регулярной геометрической структурой и целочисленной размерностью, но экспоненциально-неустойчивыми фазовыми траекториями, называется хаотическим иестранным. Аттрактор с фрактальной структурой, но устойчивыми по Ляпунову траекториями, называется странным нехаотическим.

Как правило, динамические системы, в зависимости от значений параметров, способны работать как в регулярных, так и в хаотических режимах. Непрерывное изменение параметров системы от значений, соответствующих регулярному режиму, к значениям, соответствующим хаосу, сопровождается последовательностью бифуркаций, усложняющих поведение системы. Такая последовательность бифуркаций называется сценарием перехода к хаосу. В настоящее время известен ряд сценариев, типичных для множества динамических систем. Перечислим наиболее известные из них.

Сценарий Фейгенбаума представляет собой бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, возникновение странного нехаотического аттрактора (цикла бесконечного периода), и возникновение хаоса.

Сценарий Помо-Манневиля представляет собой переход к хаосу через возникающий в окрестности точки бифуркации промежуточный режим перемежаемости - чередования временных интервалов регулярного (связанного с прохождением траектории вблизи неподвижной точки) и хаотического поведения.

Сценарий Рюэля-Такенса представляет собой переход к хаосу через последовательное образование периодических составляющих движения с несоизмеримыми частотами (особая точка - предельный цикл - 2-тор). Ситуация с более длинной цепочкой бифуркаций считается атипичной.

Открытие динамического хаоса повлекло пересмотр методов сравнения теории и эксперимента. Прежде расхождение прогноза, полученного с помощью модели, с наблюдаемым поведением системы рассматривалось как признак неадекватности модели. В настоящее время в практику вошло понятие горизонта прогнозирования - предельного времени предсказуемости поведения системы, по истечении которого траектории системы и модели расходятся в любом случае. Оценить горизонт прогнозирования можно, зная старший ляпуновский показатель.

На временных интервалах, превышающих горизонт прогнозирования, наблюдается эффект перемешивания: при рассмотрении в качестве начальных условий точки совместно со сколь угодно малой окрестностью (вместо отдельной точки) решения распределяются по всему аттрактору. Поскольку начальные условия всегда известны с некоторой погрешностью (определяющей диаметр малой окрестности), в условиях перемешивания можно лишь указать вероятность появления изображающей точки в заданной области аттрактора. Установившаяся плотность распределения в данном случае называется инвариантной мерой.

Таким образом, для оценки адекватности модели вместо того, чтобы сравнивать модельную и наблюдаемую траектории поточечно, имеет смысл сравнивать функционалы на траекториях - инвариантную меру, статистические характеристики, количественные характеристики хаоса (ляпуновские показатели, размерности, корреляционный интеграл и пр.). Характеристики наблюдаемой системы определяются численно, на основе порождаемого системой временного ряда. Характеристики модели могут определяться как численно, так и в общем виде. Для численного определения характеристик разработан ряд широко известных алгоритмов, таких, как алгоритм Грассбергера-Прокаччиа определения фрактальной размерности аттрактора, алгоритм Бенеттина определения ляпуновских показателей, и др.

Классической и наиболее известной математической моделью парадигмы динамического хаоса является система Лоренца [29,30] х = (т(-х + у) у = гх- у- XZ z = -bz + ху где а, г и b - параметры (чаще всего приводится следующий набор значений параметров: <т = -10, г - 28, b = 8/3). Аттрактор Лоренца показан на рис. 3.

Проекция траекторий на плоскость X,Z. Аттрактор соответствует «классическому» набору значений параметров а - -10, г = 28, b = 8/3.

В качестве классического примера хаотической системы с дискретным временем уместно привести - логистическое отображение [31 ] где а - параметр.

Теория динамического хаоса позволила предложить новый подход к некоторым сложным задачам, например, к проблеме турбулентности в гидродинамике. Прежде считалось, что для описания турбулентности нужны модели очень высокой размерности (примерно по два дифференциальных уравнения для каждой гармоники в спектре наблюдаемого сигнала). Достижения нелинейной динамики позволяют рассчитывать, что хотя бы в некоторых случаях сложное временное поведение может быть описано сравнительно простой математической моделью.

В настоящее время перед нелинейной динамикой ставятся задачи, связанные с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы в физических, химических, биологических, социальных и прочих сложных системах. Однако, попытка осмыслить этот круг задач показала существенный пробел в методах анализа сложных нелинейных систем и в соответствующих теоретических представлениях.

Количество случаев эффективного использования на практике аппарата нелинейной динамики, разработанного в процессе развития двух описанных выше парадигм, сравнительно невелико. К таким случаям относятся эксперименты с исследованием простых электронных схем, хаотических колебаний в некоторых лазерах, некоторых простых сигналов в физиологии, отдельные, специальным образом организованные эксперименты в гидродинамике, и т.п. Попытки применения классических алгоритмов нелинейной динамики для исследования произвольно взятых временных рядов (например, результатов метеорологических наблюдений, сейсмограмм, экономических показателей) редко оказываются успешными.

Причина этого, по-видимому, заключается в следующем. Классические алгоритмы рассчитаны на использование совместно с традиционными разновидностями математических моделей (такими, как системы дифференциальных уравнений). В случае рассмотрения реально существующей сложной, необратимо развивающейся системы, требуется использование модели высокой размерности (десять и более).

Объём выборки, требуемой большинством алгоритмов, можно оценить как

N = N0x\Od, где d - размерность модели. Проблема заключается не только и не столько в экспоненциальном росте требований к объёму памяти и быстродействию вычислительных машин (объёмы памяти растут также экспоненциально [32], проблему быстродействия иногда удаётся решить за счёт распараллеливания вычислений), сколько в том, что в процессе эксперимента не всегда возможно накопить необходимое количество данных. Данный факт получил название «проклятия размерности».

Таким образом, возникла необходимость формирования новой, третьей по счёту парадигмы, которую можно определить как парадигму сложности [33]. На данном направлении требуется решить ряд задач, относящихся к области моделирования сложных систем. Перечислим задачи, рассмотренные в диссертации:

- разработка методов упрощённого описания сложных систем. Подобные методы ориентированы не столько на получение практических результатов (прогнозов, рассчётов и т.п.), сколько на достижение качественного понимания поведения системы (модели высокой размерности не обладают наглядностью).

- разработка методов моделирования систем, не имеющих удовлетворительного математического описания. Подобная ситуация имеет место, например, когда данные наблюдений неполны или не вполне достоверны.

- разработка алгоритмов численного моделирования сложных систем и решения базовых задач, а также простых моделей, на которых они могут быть апробированы.

Среди возможных областей приложения нового раздела нелинейной динамики особое место занимают описание и прогноз природных и техногенных катастроф, объяснение их природы, обеспечение устойчивости функционирования и развития крупных технических, социальных и экономических систем. Работы в этом направлении тесно связаны с концепцией управления риском (теорией риска и безопасности) [33,34,35], имеющей принципиальное значение для страны в её нынешнем состоянии.

Новизна проблемы и её междисциплинарный характер обусловлены тем, что техногенная цивилизация оказалась в новой для себя области параметров (к примеру, объёмы потребления ряда природных ресурсов сравнимы с их запасами, время, необходимое для изоляции некоторых видов отходов, сравнимо с продолжительностью геологических периодов, а экономический ущерб от техногенных катастроф сравним с бюджетом страны).

Здесь в гораздо более жёсткой постановке, чем в других областях, встаёт проблема выделения параметров порядка и управления сложной системой. Трудность заключается в том, что традиционные методы поиска параметров порядка подразумевают, что набор последних остаётся неизменным в течение всего времени рассмотрения системы. Однако, событие считается катастрофическим или опасным, если оно является непредсказуемым и/или экстраординарным (выделяющимся из ряда себе подобных), так что системы, «склонные к катастрофам», в «штатных» и «кризисных» режимах могут демонстрировать разный состав параметров порядка.

В диссертации рассматриваются задачи в рамках двух возможных подходов к упрощённому описанию сложных систем. Первый из них связан с использованием того факта, что сложная система, как правило, представляет собой иерархическую структуру. Зачастую, с точки зрения конкретной задачи интерес представляет происходящее на каком-то одном уровней иерархии. Влияние элементов других уровней может учитываться в виде слабого шума -флуктуаций. В частности, при рассмотрении экономической ситуации на предприятии флуктуациями могут считаться колебания курса валюты (пример влияния высших уровней иерархии) или производительности труда отдельных сотрудников (пример влияния нижних уровней). Отметим, что подобное описание приемлемо в случае, если подробности происходящего на других уровнях иерархии неизвестны.

Один из возможных классов задач, возникающих при рассмотрении нелинейных систем с шумом, связан с изучением бифуркаций в таких системах. В первой главе диссертации рассматриваются две подобные задачи. Первая состоит в определении зависимости статистических характеристик порождаемого системой временного ряда от степени близости к точке бифуркации. Вторая, обратная первой, заключается в определении положения точки бифуркации и проверке гипотезы о типе бифуркации по изменению статистических характеристик временного ряда.

Второй из рассматриваемых подходов к упрощённому описанию сложных систем основан на сочетании динамических и статистических методов и использовании неоднородности фазового пространства сложной динамической системы [33,36,37].

Основная идея данного подхода заключается в поиске областей фазового пространства, называемых руслами, в пределах которых существенные аспекты динамики системы могут быть описаны с применением меньшего количества переменных, чем требуется в общем случае или необходимо для полного, глобального описания. Отличие от традиционных методов выделения параметров порядка состоит в том, что маломодовое описание используется не на всём фазовом пространстве, а только в отдельных его областях. Кроме того, в каждом русле может (хотя и не обязан) быть свой набор параметров порядка.

В продолжение географических аналогий, истоком называется область входа фазовых траекторий в русло («начало» русла), а. устьем - область выхода («конец»).

Использование русел даёт возможность делать прогнозы для некоторых систем большой размерности, оказывающихся вне пределов применимости методов маломодовой нелинейной динамики. Однако, срок такого прогноза ограничивается размерами русла, а его точность - не только ошибками исходных данных и хаотичностью системы, но и ошибками, являющимися следствием упрощения системы.

Помимо русел, в фазовом пространстве выделяются так называемые области дэ/сокеров, в пределах которых либо адекватное маломодовое описание не представляется возможным вследствие сложности поведения системы, либо недостаточности данных для восстановления сложной многомерной динамики по причине редкого посещения области изображающей точкой. Для описания поведения системы в пределах областей джокеров более предпочтительно использование простых приближённых алгоритмов -вероятностных и/или эмпирических, определяемых из общих соображений. Такие алгоритмы называются джокерами.

В качестве пояснения можно привести следующий простой пример -элементарную модель процесса подъема-спада котировок акций на фондовом рынке [38]. Допустим, участники рыночного процесса в некоторый момент определяют положительный тренд чистой прибыли на акцию, что сказывается на ожиданиях и, как следствие, на котировках (цены акций повышаются).

Изменение котировок, в свою очередь, может увеличить тренд. В этом случае имеет место процесс с положительной обратной связью - взаимная прямая зависимость тренда и котировок усиливается (типичное движение вдоль русла). Далее, в некоторый момент, исчерпываются ресурсы развития и/или происходит осознание завышенности спекулятивных ожиданий (прогноз роста прибыли на акцию превышает реальный рост). Это приводит к снижению котировок, и положительная обратная связь может начать работать в противоположном направлении, то есть, происходит обвал. Наконец, при благоприятном развитии событий, рынок стабилизируется, и далее наблюдаются флуктуации котировок вблизи некоторого установившегося значения.

Другими словами, и в случае ситуации с нормальным, и с кризисным функционированием фондового рынка, ключевую роль играют такие параметры, как уровень ожиданий, уровень доверия [38]. В случае кризиса эти переменные могут меняться скачком, что и может быть описано с помощью джокера.

Таким образом, описание системы с помощью русел и джокеров представляет своего рода компромисс между динамическими и статистическими методами, наследуя, по возможности, точность первых и простоту вторых. С другой стороны, рассмотрение объекта в терминах русел и джокеров можно рассматривать как своеобразное применение техники асимптотического анализа. Именно асимптотические методы оказываются естественным аппаратом для синергетики и других междисциплинарных подходов [39].

Подход к описанию сложного поведения с помощью русел и джокеров приводит к двум следствиям. Первое из них - отказ от некоторых ключевых понятий нелинейной динамики. Например, для кусочного описания становятся неприменимы понятия аттрактора, его размерности, ляпуновских показателей и т.п. (впрочем, во второй главе диссертации показано, что это не всегда так).

Второе следствие - изменение взгляда на модели сложных систем вообще. Становится ясно, что для некоторых систем можно вместо единой модели использовать комплекс моделей, в зависимости от ситуации.

Кроме того, возникает ряд вопросов: например, вопрос оценки адекватности построенной вероятностно-динамической модели исходной системе, вопрос определения предсказательных возможностей модели, оценки точности и горизонта прогнозирования. Кроме того, можно поставить вопрос о возможности решения обратной задачи - задачи построения вероятностно-динамической модели на основе наблюдаемого поведения системы.

Во второй главе диссертации демонстрируется пример построения упрощённого, но адекватного описания системы со сложной динамикой методом русел и джокеров. В качестве объекта исследования используется сингулярно возмущённая система дифференциальных уравнений, представляющая собой одну из моделей популяционной динамики - модель Розенцвейга-Макартура трёхзвенной пищевой цепи. Кроме того, предлагается метод описания сингулярно возмущённых систем с помощью русел и джокеров.

Особую роль в теории риска и безопасности играет исследование явлений, связанных с редкими катастрофическими событиями. Один из классов подобных явлений связан с жёсткой турбулентностью - возникновением редких пространственно-локализованных пиков гигантской амплитуды на турбулентном фоне [34,40,41].

Для систем с жёсткой турбулентностью типично поведение по следующей схеме. Большую часть времени система демонстрирует наличие небольшого набора параметров порядка, эффективно описывающих её эволюцию. Однако, время от времени поведение системы резко усложняется: возникновение пика невозможно предсказать, отслеживая параметры порядка фоновой динамики. Состав набора параметров порядка меняется со сменой стадий (фоновая динамика, рост пика, распад пика).

Жёсткая турбулентность характерна для многомерных задач, рассматривающих среды с кубической нелинейностью. Однако, повысив степень нелинейности, её можно наблюдать и в одномерных задачах. Подобное упрощение используется для достижения качественного понимания явления и уменьшения объёма вычислений в численных экспериментах.

Принципиально важный уровень понимания жёсткой турбулентности удалось достичь благодаря появлению предложенной Ершовым простой конечномерной модели, представляющей собой трёхмерное отображение [34,40,41]. Главной особенностью этой модели является возможность её детального аналитического исследования.

В третьей главе диссертации рассматривается проблема построения простой модельной системы, воспроизводящей качественные особенности поведения системы Ершова, работающей в режиме жёсткой турбулентности (внутреннее устройство системы скрыто), по результатам наблюдения только одного из трёх временных рядов.

В перечисленных условиях (неоднородность фазового пространства, неполнота доступной информации, изменение состава параметров порядка) невозможно построить динамическую модель, в точности воспроизводящую поведение исходной системы, но метод русел и джокеров выглядит естественным инструментом для решения поставленной задачи. Построенная с его использованием система по своим динамическим и статистическим характеристикам соответствует исходной.

Таким образом, показано, что метод русел и джокеров может успешно использоваться для моделирования редких катастрофических событий и способен стать эффективным инструментом теории риска и безопасности.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зульпукаров, Магомед-Герей Меджидович

Основные результаты диссертации

1. Разработан метод решения обратной задачи - задачи определения положения точки бифуркации и типа бифуркации на основе временного ряда, порождаемого динамической системой с малым шумом и медленно меняющимся бифуркационным параметром. Для надкритической бифуркации типа «вилка» получена точная зависимость плотности распределения временного ряда и его дисперсии от бифуркационного параметра и характеристик шума.

2. Предложен метод построения упрощённой (модельной) системы пониженной размерности, воспроизводящей основные черты поведения сингулярно возмущённой системы нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением (модели Розенцвейга-Макартура), на основе теории русел и джокеров. Введён новый тип джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики динамического хаоса.

3. Показана возможность применения метода русел и джокеров для решения обратной задачи - построения модели наблюдаемой системы с жёсткой турбулентностью в условиях неполноты доступной информации. Представлена простая система русел и джокеров, воспроизводящая поведение отображения Ершова.

3.5 Заключение

В данной главе рассмотрен пример построения модели системы с жёсткой турбулентностью в условиях неполноты доступной информации. Задача решена с применением метода русел и джокеров.

Исходные данные представляют собой один из трёх временных рядов, порождаемых трёхмерным отображением Ершова (3.5). Характерной особенностью наблюдаемого временного ряда является наличие длительных промежутков хаотической динамики, чередующихся с сильными выбросами (экспоненциальный рост, сменяющийся экспоненциальным спадом). В качестве главного показателя соответствия системы русел и джокеров исходной системе выбрано сходство распределений максимумов пиков и длительностей межпиковых интервалов порождаемых временных рядов.

Предложена схема, включающая два русла, Q и С2, и два джокера, Ji и J2. Уравнения русел описывают экспоненциальный рост и спад. Области русел совпадают, поэтому оговаривается, какое из русел в данный момент считается действующим.

Джокер Ji отвечает за моделирование фоновой динамики и за переключение между различными типами динамики. Фоновая динамика моделируется путём случайного отображения области джокера на себя (используется равномерно распределённая случайная величина). Выброс начинается в результате перевода джокером изображающей точки в исток русла Ci (после этого русло Q считается действующим). Спад заканчивается после достижения изображающей точкой, следующей в русле С2, области джокера Ji. Область джокера смежна с областью русел.

Джокер J2 представляет собой вероятностное правило определения момента перехода от роста к спаду, то есть, в результате его срабатывания русло Ci перестаёт, а русло С2 начинает считаться действующим. Для формирования требуемого вида распределения максимумов пиков оказалось достаточно задаться постоянной вероятностью срабатывания джокера на каждой итерации. Область джокера совпадает с областью русел.

Следует подчеркнуть две особенности предложенной схемы. Во-первых, она предусматривает совпадение областей русел и джокеров, и в этом смысле представляет собой дальнейшее развитие схемы, предложенной в [94]. Во-вторых, в отличие от предлагавшихся ранее схем, наибольшую часть времени изображающая точка проводит не в области русел, а в области джокера.

В дальнейшем возможна доработка джокера Ji с целью более точного моделирования фоновой динамики - воспроизведение распределения значений наблюдаемой величины и её функции автокорреляции. Также возможно рассмотрение более сложной задачи, когда для наблюдения доступны две переменные из трёх, х и у. В данной ситуации требуется не только обеспечение заданного вида распределения для каждой переменной, но и соблюдение соотношения между параметрами распределений. Также возникает необходимость учёта распределения запаздывания выбросов по переменной у относительно выбросов по переменной * и, возможно, функции кросс-корреляции переменных в межпиковой фазе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зульпукаров, Магомед-Герей Меджидович, 2007 год

1. Хакен Г. Синергетика. -М.: Мир, 1980. - 406 с.

2. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур : сб. науч. тр. / отв. ред. акад. И.М. Макаров. -М.: Наука, 1998. -255 с.

3. Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. -М.: Мир, 1991. 240 с.

4. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Избранные труды А.Н. Тихонова: сб. науч. тр. / отв. ред. A.M. Денисов, В.И. Дмитриев. -М.: МАКС Пресс, 2001. 485 с.

5. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. -М.: Наука, 1985. 327 с.

6. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985.-254 с.1: Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. -М.: Наука, 1974. -179 с.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. -М.: Наука, 1966. 568 с.

8. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1974. 320 с.

9. ЭрроусмитД., ПлейсК. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. -М.: Мир, 1986. 243 с.

10. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.JI. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976. 384 с.

11. ЙоссЖ., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983.-300 с.

12. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. Динамические системы. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986. №5. - С. 5-219.

13. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. -М.: Мир, 1991. 368 с.

14. ХолодниокМ., КличА., КубичекМ., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. -М.: Мир, 1991. 366 с.

15. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. -М.: Мир, 1980. 368 с.

16. ХэссардБ., КазариновН., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985. 280 с.

17. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. -М.: Мир, 1988. 253 с.

18. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974.-331 с.

19. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1980. 231 с.

20. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. -М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

21. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров.-М.: Мир, 1990.-311 с.

22. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. -М.: Мир, 1991. 237 с.

23. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Меркурий-Пресс, 2000. 536 с.

24. Малкин И.Г. Теория устойчивости и движения. -М.: Наука, 1966. 530 с.

25. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука, 1987.- 305 с.

26. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: Мир, 1964. 168 с.

27. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

28. Странные аттракторы : сб. ст. / ред. Я.Г. Синай, Л.П. Шильников. -М.: Мир, 1981.-253 с.

29. Sparrow С. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. -New York: Springer-Verlag, 1982. 269 p.

30. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1. Описание процессов в живых системах во времени. -Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 232 с.

31. Moore G.E. Cramming more components onto integrated circuits // Electronics.- 1965, 19 April.-Vol. 38.-№8.-P. 114-117.

32. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза// Вестник Российской академии наук. 2001. - Т. 71. - №3. - С. 210-232.

33. Малинецкий Г.Г. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. -М.: Наука, 2000.

34. Будущее России в зеркале синергетики : сб. ст. / ред. Г.Г. Малинецкий. -М: КомКнига, 2006. 272 с.

35. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Русла и джокеры: о новых методах прогноза поведения сложных систем. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 1998. - №32.

36. Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогноз // Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей / под ред. Г.Г. Малинецкого. -М.: УРСС, 2005. С. 374.

37. Сорос Дж. Алхимия финансов.-М.: Инфра-М, 1996.-415 с.

38. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. -М.: УРСС, 2004. -304 с.

39. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: УРСС, 2002. 360 с.

40. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. -М.: УРСС, 2006. 280 с.

41. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. -М., Наука, 1997. 255 с.

42. Кузнецов С.П. Динамический хаос. -М.: Физматгиз, 2001.

43. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. -М.: УРСС, 2006. 240 с.

44. Кравцов Ю.А., Бильчинская С.Г., Бутковский О.Я., Рычка И.А., Суровяткина Е.Д. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. -Т. 120.-Вып. 6(12).-С. 1527-1534.

45. Kravtsov Yu.A, Bilchinskaya S.G., Butkovskii O.Ya., Rychka I.A., Surovyatkina E.D. Prebifurcational Noise Rise in Nonlinear Systems // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2001. - Vol. 93. - №. 6. - P. 13231329.

46. Малинецкий Г.Г., Подлазов A.B., Кузнецов И.В. О национальной системе научного мониторинга. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2004. - №47. - 33 с.

47. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.-512 с.

48. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. -М.: Прогресс, 1986. 432 с.

49. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.: УРСС, 2003. 283 с.

50. Wiesenfeld К. Virtual Hopf phenomenon: A new precursor of period-doubling bifurcations// Physical Review A. 1985, September. - Vol. 32. - №3. - P. 1744-1751.

51. Kravtsov Yu.A., Surovyatkina E.D. Nonlinear saturation of prebifurcation noise amplification // Physics Letters A. 2003, 8 December. - Vol. 319. - Issues 3-4.-P. 348-351.

52. Surovyatkina E. Prebifurcation noise amplification and noise-dependent hysteresis as indicators of bifurcations in nonlinear geophysical systems// Nonlinear Processes in Geophysics. 2005, 13 January. - Vol. 12. - №1. - P. 25-29.

53. Juel A., Darbyshire A.G., Mullin T. The effect of noise on pitchfork and Hopf bifurcations// Proceedings of the Royal Society of London A. 1997, 8 December. - Vol. 453. - №1967. - P. 2627-2647.

54. Surovyatkina E.D. Rise and saturation of the correlation time near bifurcation threshold// Physics Letters A. 2004, 23 August. - Vol. 329. - Issue 3. - P. 169-172.

55. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. -М.: Мир, 1980. 607 с.

56. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука, 1996. 398 с.

57. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. -М.: Наука, 1976. 496 с.

58. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

59. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Бином, 2003. 632 с.

60. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. -М.: Наука, 1973. 352 с.

61. Федорюк М.В. Метод перевала. -М.: Наука, 1977. 368 с.

62. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-286 с.

63. ISO/IEC 19501:2005. Information technology Open Distributed Processing -Unified Modeling Language (UML) Version 1.4.2. - 2005, 13 April. - 432 p.

64. Unified Modeling Language Specification: Version 1.4.2: formal/05-04-01 электронный ресурс. / Object Management Group. 2005, January. - Режим доступа: http://www.omq.orq/cqi-bin/apps/doc7formal/Q5-04-01.pdf. свободный.

65. Фаулер М., Скотт К. UML в кратком изложении. Применение стандартного языка объектного моделирования. -М.: Мир, 1999. 191 с.

66. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьёв С.А., Зайцев С.В. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление «скрытого» банкротства. Препринт/ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2001. - №82.

67. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. -М.: Высшая школа, 1990. 207 с.

68. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. -М.: Наука, 1975. 248 с.

69. Deng В. Food chain chaos due to junction-fold point// Chaos. 2001, September. - Vol. 11. - №3. - P. 514-525.

70. Deng В., Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov's orbit// Chaos. 2002, September. - Vol. 12. - №3. - P. 533-538.

71. Deng В., Hines G. Food chain chaos due to transcritical point// Chaos. 2003, June.-Vol. 13.-№2.-P. 578-585.

72. Deng B. Food chain chaos with canard explosion // Chaos. 2004, December. -Vol. 14.-№4.-P. 1083-1092.

73. Шильников Л.П. Об одном случае существования счётного множества периодических движений// Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т. 160.-№3. - С. 558-561.

74. Шильников Л.П. О существовании счётного множества периодических движений в четырёхмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // Доклады Академии наук СССР. 1967. - Т. 172. - №1. - С. 54-57.

75. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус// Математический сборник. -1970. Т. 81. -№1. - С. 92-103.

76. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 559 с.

77. Белайчук JI.B., Малинецкий Г.Г. Проделки джокеров на одномерных отображениях. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 1997. - №24. - 29 с.

78. Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). -М.: УРСС, 2004. 288 с.

79. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. 456 с.

80. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. I. 4-е изд. -М.: Наука, 1990.-528 с.

81. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.-398 с.

82. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. -М.: Наука, 1981.-487 с.

83. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. -М.: УРСС, 2004.-235 с.

84. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985.- 181 с.86. de Roos A.M. Modeling Population Dynamics. -Amsterdam: Institute for Biodiversity and Ecosystem Dynamics (University of Amsterdam), 2004. 164 P

85. Одум Ю.П. Экология. В 2 т. Т. 1. -M.: Мир, 1986. 326 с.

86. IzhikevichЕ.М. Neural Excitability, Spiking and Bursting// International Journal of Bifurcation and Chaos.-2000.-Vol. 10.-№6.-P. 1171-1266.

87. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. -М.: Мир, 1986. -148 с.

88. Rossetto В., Ginoux J.-M. Singular Manifolds and Attractors Structure in Predator-Prey models электронный ресурс. / Universite du Sud Toulon-Var, France.- Режим доступа: http://rossetto.univ-tln.fr/Recents/5inqular%20Manifolds.pdf. свободный.

89. Rossetto В., Lenzini Т., Ramdani S., Suchey G. Slow-Fast Autonomous Dynamical Systems// International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. -Vol. 8.-№11.-P. 2135-2145.

90. Ramdani S., Rossetto В., Chua L.O., Lozi R. Slow Manifolds of Some Chaotic Systems with Applications to Laser Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. - Vol. 10. - №12. - P. 2729-2744.

91. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. -1957.-Т. 21.-С. 605-626.

92. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга-Макартура.

93. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2006. -№21. -32 с.

94. Taylor K.J., Deng В. Chaotic attractors in one-dimension generated by a singular Shilnikov orbit// International Journal of Bifurcation and Chaos. -2001. Vol. 11. - №12. - P. 3059-3083.

95. АхромееваТ.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992. 544 с.

96. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. -Berlin: Springer-Verlag, 1984.- 156 p.

97. Aranson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Reviews of modern physics. 2002, January. - Vol. 74. - P. 99-143.

98. Thejappa G., MacDowall R.J. Evidence for Strong and Weak Turbulence Processes in the Source Region of a Local Type III Radio Burst// The Astrophysical Journal. 1998, 1 May. - Vol. 498. -№1. - Part 1. - P. 465-478.

99. Thejappa G., MacDowall R.J. Ulysses Observations of Nonlinear Wave-wave Interactions in the Source Regions of Type III Solar Radio Bursts // Journal of Astrophysics and Astronomy. 2000, September, December. - Vol. 21. - №3, 4.-P. 447-450.

100. Сухарев Ю.И., Кострюкова A.M. Жесткая турбулентность в гелевых оксигидратных системах циркония// Известия Челябинского научного центра. 2006, январь-март. -№1(31). - С. 71-74.

101. Iwasaki Н., Toh S. Statistics and structures of strong turbulence in a complex Ginzburg-Landau equation// Progress of Theoretical Physics. 1992, May. -Vol. 87. - №5. - P. 1127-1137.

102. Пугачёв B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.-496 с.