Неупругое рассеяние заряда поверхностью твердого тела и принцип "пространственной причинности" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, доктор физико-математических наук Назаров, Владимир Юрьевич

• Назаров, Владимир Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Назаров, Владимир Юрьевич

Содержание

Введение

0.1 Неупругое рассеяние заряженных частиц поверхностью твердого тела:

Вводные замечания

0.1.1 Линейный отклик поляризуемой системы

0.1.2 Объемный плазмон

0.1.3 Поверхностный плазмон

0.1.4 Мультипольный плазмон

0.1.5 Невозможность возбуждения объемных колебаний электронной

плотности на расстоянии в изотропной бездисперсионной модели

1 Сечение неупругого рассеяния заряда при отражении от поверхности вещества, сопровождаемом проникновением в переходный слой

1.1 Диэлектрический формализм в методе искаженных волн

1.2 Асимптотическое приближение

2 Аналитичность функции отклика полуограниченной системы по переменной волновой вектор

2.1 Введение

2.2 Аналитичность диэлектрического отклика по переменной с/ и поверхностная функция потерь

2.3 Обсуждение результатов

2.4 Применение к полуограниченному алюминию

3 Периодические сверхрешетки

3.1 Введение

3.2 Диэлектрический отклик бесконечной сверхрешетки

3.2.1 Область применимости локального приближения в теории линейного отклика сверхрешеток

3.2.2 Матрица диэлектрической проницаемости бесконечной периодической системы в локальном приближении

3.2.3 Обращение матрицы микроскопической диэлектрической проницаемости бесконечной сверхрешетки

3.3 Отклик полуограниченной сверхрешетки

3.3.1 Выделение поверхностного отклика

3.3.2 Макроскопическое рассмотрение

3.3.3 "Микроскопическое" рассмотрение

3.4 Сравнение с известными результатами

3.5 Обсуждение

3.6 Заключение

4 Анизотропные кристаллы

4.1 Введение

4.2 Функция поверхностных потерь в одноосном кристалле

4.3 Обсуждение результатов и применение к ХПЭЭ поверхности графита

4.4 Заключение

5 Возбуждение объемного плазмона на расстоянии от поверхности

5.1 Введение

5.2 Формализм

5.3 Гидродинамическое приближение

5.4 Заключение

6 Общее аналитическое (в интегральной форме) решение задачи ли-

нейного отклика поверхности в модели с резкой границей

6.1 Введение

6.2 Математический формализм

6.2.1 Основные уравнения

6.2.2 Диффузное рассеяние

6.2.3 Зеркальное рассеяние

6.3 Частные случаи

6.3.1 Отсутствие пространственной дисперсии

6.3.2 Гидродинамическое приближение

6.3.3 Диэлектрическая проницаемость Линдхарда и Линдхарда-Мермина105

6.4 Применение к реалистическим моделям

6.5 Обсуждение

6.6 Заключение

7 Интенсивность возбуждения поверхностного, объемного и мульти-польного плазмонов в зависимости от глубины проникновения: квантово-механический расчет

7.1 Основные соотношения

7.2 Результаты и обсуждение

Заключение

Благодарности

Библиография

Список сокращений и обозначений

хпээ - характеристические потери энергии электронами

оп - объемный плазмон

пп - поверхностный плазмон плазмон

МП - мультипольный плазмон

ПХФ,11РА - - приближение хаотических фаз

ПЛП, Ы)А - - приближение локальной плотности

ТВ1ВА - зависящее от времени приближение локальной плотности

е - заряд электрона

т - масса электрона

Ыр - плазменная частота

т - параллельная составляющая волнового вектора

и - поверхностная функция потерь

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неупругое рассеяние заряда поверхностью твердого тела и принцип "пространственной причинности"»

Введение

Интерес к теории неупругого рассеяния заряженных частиц поверхностью твердого тела возник и сохраняется в значительной степени в связи с потребностями электронной и ионной спектроскопии. В настоящее время накоплен большой экспериментальный материал по спектроскопии характеристических потерь энергии электронами (ХПЭЭ) как для чистых поверхностей, так и поверхностей, покрытых ад-сорбатами, в том числе упорядоченными поверхностными фазами. Такие поверхности являются сильно неоднородными в нормальном направлении и периодическими латерально, и данные ХПЭЭ спектроскопии призваны давать информацию об их локальном электронном строении. Однако, как это ни парадоксально, именно вопрос о степени локальности возбуждения различных собственных колебаний и, соответственно, энергетических потерь зондирующим зарядом, являлся до последнего времени совершенно не разработанным, не только на прикладном, но и на фундаментальном уровне. Достаточно сказать, что наивысшее достижение современной теории возбуждения поверхностного (ПП) и мультипольного плазмонов (МП) на поверхности металлов - расчет в рамках зависящего от времени приближения локальной плотности [1, 2, 3] выполнен в предположении об отражении налетающего электрона высоко над поверхностью, в области пренебрежимо малой электронной плотности мишени. Понятно, что этот подход, прекрасно описывая положение и дисперсию ПП и МП, не может дать правильное соотношение амплитуд соответствующих пиков, предсказывая интенсивность МП на два порядка меньшей, чем интенсивность ПП, в то время, как в эксперименте эти два пика можно наблюдать с приблизительно одинаковой интенсивностью.

В данной работе предложен новый подход к решению задач неупругого рассеяния заряженных частиц поверхностью твердого тела. Сущность этого подхода состоит в доказательстве и применении свойств аналитичности функций динамического отклика полу ограниченных систем по комплексной переменной волновой вектор. Подобно хорошо известным свойствам аналитичности диэлектрической проницаемости как функции комплексной частоты, следующим из временного принципа причинности и приводящим к теории Крамерса-Кронига, рассматриваемая аналитичность может быть весьма общим образом получена из предлагаемого в данной работе принципа "пространственной причинности" в задаче линейного отклика полу ограниченных систем.

Указанный подход оказывается весьма плодотворным, как для единообразного построения поверхностных функций энергетических потерь для полуограниченных систем различной природы1, так и для проведения конкретных расчетов, которые часто оказывается возможным выполнить аналитически. Преимуществом предлагаемого подхода по сравнению с традиционным является его большая общность, с его помощью достигается лучшее понимание уже известных результатов и облегчается получение новых.

Цели и задачи исследования. Главными целями данной работы являются изучение механизмов возбуждения собственных мод электронной плазмы поверхности твердого тела в зависимости от внешних условий возбуждения и исследование вопроса о степени локальности информации об электронном строении приповерхностной области, извлекаемой из соответствующих ХПЭЭ спектров. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать теоретический формализм, описывающий неупругое рассеяние в спектроскопическом эксперименте "на отражение" при проникновении заряда

на произвольную глубину в приповерхностный слой;

1В данной работе рассматриваются различные модели поверхности металлов, нано-масштабные сверхрешетки и анизотропные кристаллы

2. Выяснить необходимые условия возбуждения объемного плазмона (ОП), ПП и МП налетающим зарядом, (не)проникающим в область приповерхностной электронной плотности мишени;

3. Построить модели, описывающие процесс неупругого рассеяния заряда поверхностью в геометрии "на отражение", допускающие аналитические решения и определяющие степень локальности возбуждения коллективных колебаний вблизи поверхности;

4. Изучить роль анизотропии объема в возбуждении поверхностных коллективных колебаний;

5. Провести квантово-механические расчеты вероятности возбуждения собственных мод при изменении глубины проникновения зондирующего заряда в приповерхностную область простых металлов.

Защищаемые положения. На защиту выносятся следующие положения:

1. Для полуограниченной системы (каковой может считаться практически произвольное макроскопическое тело с поверхностью), граничащей с вакуумом, справедливо утверждение: внешние поля, не проникающее в вещество, не вызывают отклика последнего. Следствием этого утверждения, которое мы называем принципом "пространственный причинности", является аналитичность нелокальной обратной диэлектрической проницаемости е-1 (qz,kz, <?ц, ш) как функции волновых векторов qz и kz в соответствующих комплексных полуплоскостях.

2. Для сечения неупругого рассеяния заряда в эксперименте "на отражение" справедливо выражение, в котором факторизовано сечение упругого рассеяния на атомных остовах, ответственное за отражение заряда от поверхности. Принципиальным преимуществом этого выражения, справедливого как для диполь-ного, так и для ударного (impact) рассеяния, является то, что оно избавляет от необходимости вычисления сечения упругого рассеяния, поскольку последнее

фигурирует в неупругом сечении как нормировочный множитель. В случае ди-польного рассеяния отсюда вытекает общий способ построения поверхностной функции потерь энергии в терминах обратной диэлектрической проницаемости полу ограниченной системы.

3. Развитый формализм позволил получить общее решение задачи в модели диффузного рассеяния для вещества с произвольной зависящей от частоты и волнового вектора диэлектрической проницаемостью е(и>, д).

4. Получено аналитическое решение, описывающее возбуждение ОП на расстоянии - без проникновения зондирующего заряда в область объемной электронной концентрации мишени. Соответствующая особенность в функции потерь имеет тип точки ветвления, в отличие от традиционного контактного механизма возбуждения ОП, проявляющегося в функции потерь как полюс. В данной связи поставлен и в ряде случаев решен вопрос о роли нелокальности в возбуждении плазменных колебаний в электронной спектроскопии.

5. В анизотропных системах (периодических нано-масштабных сверхрешетках и анизотропных кристаллах) обнаружен новый канал возбуждения объемных колебаний электронной плотности, связанный исключительно с неэквивалентностью различных направлений. В отличие от однородного электронного газа, для этих систем не запрещено возбуждение на расстоянии объемных колебаний электронной плотности даже в длинноволновом пределе.

6. Учет проникновения зондирующего заряда в переходную область вблизи поверхности простых металлов, выполненный в приближении хаотических фаз (ПХФ) для модели желе, дает резкое возрастание вероятности возбуждения МП, что позволяет привести теорию в соответствие с экспериментом в отношении интенсивности пиков ПП, МП и ОП.

Новизна полученных в данной диссертационной работе результатов, состоит в том, что в ней впервые

- рассмотрены свойства аналитичности нелокальной функции отклика полуограниченной системы по переменной волновой вектор и на этой основе введена функция поверхностных потерь в терминах обратной нелокальной диэлектрической проницаемости;

- получено выражение для неупругого сечения рассеяния заряда, проникающего на произвольную глубину в приповерхностный слой и испытывающего упругое рассеяние в заднюю полусферу за счет столкновения с атомным остовом;

- получено аналитическое решение задачи о диффузном рассеянии заряда на поверхности твердого тела в полуклассической модели с бесконечным барьером и произвольной зависящей от частоты и волнового вектора объемной диэлектрической проницаемостью е(ш, д);

- получена аналитическая функция потерь, описывающая возбуждение объемного плазмона на расстоянии- без проникновения зондирующего заряда в область заметной электронной концентрации образца и проанализирована аналитическая структура соответствующей особенности в этой функции;

- показано, что в анизотропных системах (периодических сверхрешетках и одноосных кристаллах) реализуется особый механизм колебаний электронной плотности, связанный исключительно с неэквивалентностью различных направлений и запрещенный в изотропных системах;

- проведен квантово-механический расчет вероятности возбуждения ПП, МП и ОП в зависимости от глубины проникновения зондирующего заряда в эксперименте "на отражение", что позволило преодолеть расхождение теории и эксперимента в вопросе относительных интенсивностей соответствующих пиков.

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН в соответствии с планами научно-исследовательских работ по научному направлению "Исследование физических явлений и процессов в низкоразмерных структурах на основе кремния", а также в рамках программы Министерства науки РФ "Поверхностные атомные структуры" проект "Создание новых п/п материалов и приборов с поверхностными фазами на основе кремниевой матрицы" № 95-1.16 и гранта Рос-

сийского фонда фундаментальных исследований "Исследование формирования, стабильности, электрофизических и оптических характеристик трехкомпонентных поверхностных фаз на поверхности кремния" № 96-02-16038-а.

Практическая ценность данной диссертационной работы определяется тем, что в ней исследована степень локальности возбуждения собственных мод при неупругом рассеянии заряда поверхностью твердого тела, что имеет важное значение для извлечение информации о локальном электронном строении и в целом интерпретации результатов ХПЭЭ спектроскопии поверхности. В частности, в данной работе удалось привести в соответствие теорию и эксперимент в вопросе относительных ин-тенсивностей ПП, МП и ОП в ХПЭЭ спектроскопии высокого разрешения простых металлов с угловым разрешением.

Апробация работы. Полученные в данной работе результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XIX Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике (Ташкент, 1984); XX Всесоюзная конференция по эмиссионной электронике (Киев, 1987); XXI Всесоюзной конференции по эмиссионной электронике (Ленинград, 1991); 1st Russian-Japanese Seminar on Semiconductor Surfaces (Vladivostok, 1993); 14th European Conference on Surface Science (ECOSS-14) (Leipzig, Germany, 1994); 13th International Vacuum Congress/ 9th International Conference on Solid Surfaces (Yokohama, Japan, 1995); International Symposium on Surfaces and Thin Films of Electronic Materials (Hamamatsu, Japan, 1995); 2nd Russian-Japanese Seminar on Semiconductor Surfaces (Osaka, Japan, 1995); 18th International Seminar on Surface Physics (Wroclaw, Poland, 1996); 16th European Conference on Surface Science (ECOSS-16) (Genova, Italy, 1996); 7th International Conference on Electron Spectroscopy (Chiba, Japan, 1997); XV Научная школа-семинар "Рентгеновские и электронные спектры и химическая связь" (Екатеринбург, 1997).

Публикации. По материалам диссертации выполнена 31 публикация, основные из которых приводятся в конце этой главы.

Личный вклад автора. Выбор общего направления исследований и определение задач на концептуальном уровне происходило в тесном сотрудничестве профессора

В. Г. Лифшица и автора. Автор самостоятельно разработал математический формализм (эксплуатация аналитических свойств функции отклика, вывод выражения для сечения неупругого рассеяния с произвольной глубиной проникновения в переходный слой), поставил и получил решения модельных задач. В работе, связанной с изучением одноосных кристаллов, принимала участие Н.С.Карпинская. Автор поставил задачу расчета возбуждения ПП, МП и ОП с учетом проникновения пучка на произвольную глубину в приповерхностный слой мишени, разработал соответствующие компьютерные программы и провел машинные расчеты. В расчетах участвовал Ю.В.Луняков. Автор интерпретировал результаты расчетов и провел сравнение с экспериментом.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитированной литературы.

0.1 Неупругое рассеяние заряженных частиц поверхностью твердого тела: Вводные замечания

Интерес к теории неупругого рассеяния заряженных частиц поверхностью возник и сохраняется в значительной степени в связи с потребностями электронной и ионной спектроскопии. Потери энергии рассеивающейся частицей в веществе, регистрируемые в эксперименте, могут происходить в результате возбуждения как одно-частичных, так и коллективных процессов. В борновском приближении этот процесс можно описать при помощи функции линейного отклика рассеивающей системы. В данном пункте мы дадим определение основных понятий и величин, с которыми будем иметь дело в дальнейшем, а также кратко опишем современное состояние теории и эксперимента спектроскопии характеристических потерь энергии электронами.

0.1.1 Линейный отклик поляризуемой системы

Рассмотрим произвольную систему, находящуюся под действием внешнего, переменного во времени и пространстве, электрического поля частоты и). Тогда в первом порядке теории возмущений по внешнему полю можно записать

где О - вектор электрической индукции, Е - вектор электрического поля и е - нелокальный тензор диэлектрической проницаемости системы. Выражение (0.1) имеет самый общий характер и применимо как для ограниченных, так и неограниченных (полуограниченных) систем. Часто оказывается удобным записывать это соотношение в пространстве волновых векторов

получающемся из (0.1) преобразованием Фурье. В частном случае однородной и изотропной системы (например, для однородного электронного газа) соотношение (0.2) принимает алгебраический вид

где е^, ш) - обычная диэлектрическая проницаемость.

Между потенциалом внешнего электрического поля, приложенного к системе, и потенциалом полного электрического поля, действующего в системе, в общем случае имеет место аналогичная (0.2), но скалярная, связь

(0.1)

(0.2)

(0.3)

(0.4)

Воспользовавшись законом Гауса и уравнением Пуассона [4], легко показать, что диэлектрические проницаемости, входящие в равенства (0.2) и (0.4), связаны соотношением

(0.5)

В формуле (0.4) внешний скалярный потенциал выражен через полный. В приложениях, однако, известен внешний, приложенный к системе потенциал, и требуется найти полный потенциал, в ней индуцированный. Это достигается обращением соотношения (0.2) (или (0.1)), приводящим к определению обратной диэлектрической проницаемости

В случае произвольной неоднородной системы волновой вектор не является сохраняющейся величиной и б-1 (я, определяет отклик системы на волновом векторе q на внешнее возмущение, приложенное на волновом векторе 9'. Для однородной изотропной системы

где, как следствие сохранения волнового вектора, отклик происходит только на том волновом векторе, на котором приложено внешнее возмущение. В случае периодических структур (кристаллы, сверхрешетки) волновой вектор внешнего возмущения сохраняется с точностью до вектора обратной решетки и связь между внешним и полным потенциалом принимает вид

(0.6)

(0.7)

(0.8)

с

где обратная диэлектрическая проницаемость превращается в матрицу, пронумерованную векторами обратной решетки [5, б, 7].

Знания обратной диэлектрической проницаемости достаточно для описания процесса неупругого рассеяния заряда на произвольной неоднородной системе. В частности отметим, что в этой величине содержится информация и об объемном, и о поверхностном рассеянии. Поскольку прямая диэлектрическая проницаемость является величиной, реально вычисляемой в приложениях, ее обращение всегда является частью решения задачи об отклике поляризуемой среды.

В случае кристаллических тел (без учета поверхности) эта процедура сводится к обращению матрицы микроскопической диэлектрической проницаемости еео'(ч?а7)-При этом макроскопическая диэлектрическая проницаемость, связывающая длинноволновые составляющие внешнего и полного полей

= ем(ч,и)<Кч,ш), (0.9)

оказывается равной [5, 6]

емМ = -г/ г (0.10)

еоо(Ч^)

Выражение (0.10) учитывает влияние коротковолновых составляющих поля в кристалле на коэффициент пропорциональности между длинноволновыми составляющими полного и внешнего поля, что носит название эффектов локального поля. Без учета этих эффектов макроскопическая диэлектрическая проницаемость равна [8]

бм(ч,^) « €оо(ч,о>). (0.11)

Через обратную диэлектрическую проницаемость выражается сечение неупругого рассеяния заряда на произвольной, вообще говоря неоднородной, системе в эксперименте "на прострел", когда не учитывается упругое рассеяние на решеточной подсистеме [9]

¿<7 гп

¿Мш

(р' Р) =

8тг е2т2р'

1т е

(0.12)

РЧ2

где рир'- импульс заряда до и после рассеяния соответственно, я = р — р' - переданный волновой вектор. В главе 1 мы приведем вывод аналогичного соотношения, справедливого в случае неудругого рассеяния в геометрии "на отражение".

0.1.2 Объемный п л гомон

Объемный плазмон представляет собой самоподдерживающееся (собственное), вообще говоря, затухающее, колебание твердотельной электронной плазмы, распространяющееся в безграничной среде. Тогда, согласно соотношению (0.7), в отсутствии внешнего воздействия ненулевое поле возможно лишь при частоте, когда

где я волновой вектор рассматриваемого колебания, в случае безграничной однородной среды являющийся сохраняющейся величиной. Простейшим приближением для диэлектрической проницаемости простых металлов, не учитывающим пространственной дисперсии, является формула Друде

где ей т - это заряд и масса электрона, п - число электронов в единице объема. В этом случае из уравнения (0.13) следует формула Лэнгмюра для частоты объемного плазмона [10]

Если в уравнении (0.13) воспользоваться более реалистическим квантово-механическим расчетом для диэлектрической проницаемости, то соответствующий корень - объемная плазменная частота - обнаружит зависимость от волнового вектора, то есть

(0.13)

(0.14)

(0.15)

пространственную дисперсию, которая при малых д независимо от конкретного приближения описывающаяся квадратичным законом

из = ир + (0.16)

где а - не зависящий от ц коэффициент. В случае использования диэлектрической проницаемости Линдхарда [11], являющейся квантовомеханическим результатом в приближении хаотических фаз (ПХФ), а = [12].

Экспериментально возбуждение объемного плазмона наблюдалось в огромном числе экспериментов над металлами, полупроводниками и даже диэлектриками (см., например, работы [13, 12, 7]). В двух последних случаях успех простейшей теории, базирующейся на формуле Друде (0.14), являющейся удовлетворительным приближением лишь в случае простых металлов, объясняется большой величиной плазменной энергии по сравнению с шириной запрещенной зоны, которая не "замечается" плазменным колебанием.

Учет кристаллического потенциала в расчетах диэлектрической проницаемости и частоты объемного плазмона металлов и полупроводников производился путем расчета и обращения матрицы микроскопической диэлектрической проницаемости есс(Ч Впервые это было сделано численно в работе [14] для кремния. В работах [15, 16, 17, 7] был развит метод аналитического решения этой задачи в приближении почти свободных электронов. Для макроскопической диэлектрической проницаемости кристалла в этих работах был получен следующий результат

щ

I '

где €1 - диэлектрическая проницаемость Линдхарда, Уа - фурье-составляющая кристаллического потенциала.

Учет вклада поляризации атомных остовов в динамический отклик металлов был

выполнен в работах [18, 19]. В результате в случае точечных поляризуемых диполей, погруженных в однородный электронный газ, было получено выражение

(0.18)

Одновременный учет периодического кристаллического потенциала и поляризации атомных остовов позволил привести в согласие теоретическое и экспериментальное значение объемной плазменной частоты для ряда поливалентных простых металлов (Сс1, 1п, 8п) [19]. Сохранилось, однако, существенное расхождение для алюминия.

0.1.3 Поверхностный плазмон

В простейшей модели пространственно бездисперсионного однородного и изотропного вещества с диэлектрической проницаемостью б(а>), равенство (0.3) можно переписать в прямом пространстве

Взяв дивергенцию левой и правой части, выразив электрическое поле через скалярный потенциал и воспользовавшись законом Гаусса для внешнего заряда, получим

Случай е(и?) соответствует распространению объемного плазмона и был рассмотрен выше. Другая возможность удовлетворить уравнению (0.19) есть выполнение уравнения Лапласа для скалярного потенциала

В(г,ш) = б(и/)Е(г,ы).

е(ш)Аф(г,ш) = -Ажрех1(т,ш).

Отсюда в отсутствии внешнего заряда имеем

е(и)Аф(г,и;) = 0.

(0.19)

Аф(г, ш) = 0. (0.20)

Решение уравнения (0.20), являющееся плоской волной в плоскости ху, есть е±?цг+г<1||1'||, где с^л - двумерный волновой вектор. В безграничной среде оба этих решения неограниченно возрастают и физически невозможны. Ситуация меняется в присутствии поверхности: тогда решением е-9и'г'+!Ч11ги можно одновременно удовлетворить уравнению (0.20) и стандартным граничным условиям непрерывности Д, и Е\\, если

е(ш) + 1 = 0. (0.21)

Уравнение (0.21) определяет частоту поверхностного плазмона и было получено в работе [20] в пятидесятые годы. Для простого металла, когда применимо приближение Друде для диэлектрической проницаемости (0.14), собственная частота этого колебания равна

= (0.22)

Соответствующая соотношению (0.21) поверхностная функция потерь энергии есть [21, 22]

Выражение (0.23) описывает потери энергии без учета подробностей строения поверхности при условии, что длина волны, соответствующая переданному волновому вектору велика по сравнению с шириной переходной области.

Сделаем два замечания относительно результата (0.21). Во-первых, полученное уравнение для частоты поверхностного плазмона, а следовательно и сама эта частота, являются чисто объемным свойством. Это остается справедливым как точное утверждение в длинноволновом пределе при произвольном строении приповерхностной области [23], Во-вторых, бессмысленно пытаться учесть пространственную дисперсию поверхностного плазмона, вводя зависимость от волнового вектора в диэлектрическую проницаемость в уравнении (0.21), подобно тому, как это правильно

было сделать в уравнении (0.13). Даже в модели с резкой границей (см. гл. 6) дисперсионное соотношение для поверхностного плазмона выглядит гораздо сложнее, чем уравнение (0.21) и включает в качестве главного член линейный по дц, тогда как разложение е(д, и) по степеням д начинается с квадратичного члена. Кроме того, и это обстоятельство имеет первостепенное значение, пространственная дисперсия поверхностного плазмона существенно зависит от конкретной модели строения приповерхностной области и не может быть выражена через такую характеристику как объемная, хоть и включающая дисперсию, диэлектрическая проницаемость.

Экспериментально дисперсия поверхностного плазмона может изучаться в ХПЭЭ спектроскопии с угловым разрешением (см., например, [24]). При этом, благодаря сохранению параллельной поверхности составляющей волнового вектора, которая перераспределяется между налетающим электроном и возбуждаемым в системе плазменным колебанием, можно записать

где и вгу5 - энергия и угол с нормалью налетающего и рассеянного электрона соответственно.

Изучение пространственной дисперсии поверхностного плазмона в модели желе было выполнено впервые в работах [25, 26, 27, 23]. Основное состояние описывалось в приближении локальной плотности, а динамический отклик - в ПХФ. В этих работах и в работе [28] было доказано, что в первом порядке по дц

где е!|] - центр тяжести колебания электронной плотности в длинноволновом пределе

(0.24)

(0.25)

(0.26)

В работах [1, 2, 3] был выполнен расчет дисперсии поверхностного плазмона для простых металлов К, Ха, С,ч, А1 в широкой области изменения дц. Использовалось зависящее от времени приближение локальной плотности. Полученные дисперсионные зависимости оказались в хорошем согласии с данными ХПЭЭ экспериментов высокого разрешения.

0.1.4 Мультипольный плазмон

В работе [29] впервые было показано, что, если профиль электронной концентрации вблизи поверхности имеет непрерывный спад, то, помимо объемного и поверхностного плазмонов, в системе присутствует набор других собственных частот, названных впоследствии мультипольными модами. Природу этих собственных частот можно понять, если записать разложение при малых q\\ для поверхностной функции потерь [23]

где ¿(ш) - центр тяжести колебания электронной плотности (0.25). В случае, когда знаменатель в (0.25) обращается в нуль, то есть, когда интегральная по оси г плотность заряда обращается в нуль, с?(ш) и следовательно (0.27) имеют особенность. С равенством нулю знаменателя в (0.25) и связано название "мультипольный плазмон". В случае поверхностного плазмона, особенность в функции потерь связана с выполнением равенства (0.21), а не с нулевым значением интегрального заряда, поэтому поверхностный плазмон еще называется "монопольным поверхностным плазмоном".

Мультипольный плазмон был зарегистрирован экспериментально в ХПЭЭ спектроскопии высокого разрешения [3].

(0.27)

0.1.5 Невозможность возбуждения объемных колебаний электронной плотности на расстоянии в изотропной бездисперсионной модели

Покажем, что в простейшей модели поверхности изотропного твердого тела- пространственно бездисперсионной модели с резкой поверхностью - заряд, не проникающий в объем, не может возбудить трехмерные колебания зарядовой плотности в последнем. Запишем для этого закон Гаусса

При действительной частоте и> диэлектрическая проницаемость имеет ненулевую (возможно инфинитезимальную) положительную мнимую часть и не может быть равной нулю. Равенство (0.29) показывает, что в случае пространственно бездисперсионной диэлектрической проницаемости и изотропного объема, в объеме (где е постоянна) полная плотность заряда равна нулю, если равна нулю внешняя плотность. Это и доказывает сделанное нами утверждение. В главах 4 и 5 мы покажем, что в отсутствие изотропии или в присутствии пространственной дисперсии это утверждение теряет справедливость.

УБ(г^) = Уе(и;)Е(г,и>) =

(0.28)

Из (0.28) следует, что

(0.29)

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Назаров, Владимир Юрьевич

Заключение

Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие основные выводы:

1. Для полуограниченных систем общей природы сформулировано утверждение о независимости динамического отклика от распределения возмущающих полей в вакууме, на основе чего доказаны аналитические свойства обратной нелокальной диэлектрической проницаемости как функции комплексных волновых векторов. В следствие очевидной аналогии с временным принципом причинности и теорией Крамерса-Кронига, предложен термин "принцип пространственной причинности".

2. Получено представление сечения неупругого рассеяния заряда поверхностью твердого тела с учетом проникновения в сильно неоднородную приповерхностную область. Указанное неупругое сечение 1) выражено через обратную нелокальную диэлектрическую проницаемость и 2) сечение упругого рассеяния, ответственное за отражение заряда от поверхности, входит в неупругое сечение в качестве множителя, что значительно облегчает расчеты спектров неупругих потерь.

3. Получено общее аналитическое (в интегральной форме) решение задачи о динамическом отклике полуограниченного вещества в модели с резкой границей и диффузным рассеянием при произвольной, зависящей от частоты и волнового вектора диэлектрической проницаемости объема е(ш, д). Достигнутая при этом цель состояла в определении отклика поверхности при помощи аналитической формулы приблизительно того же уровня сложности, что и известная формула Ритчи-Марусака, справедливая в случае зеркального рассеяния, при том, что диффузная модель оказывается в гораздо лучшем согласием с как с ab initio вычислениями, так и с данными ХПЭЭ спектроскопии.

4. Показано, что, если принимается во внимание пространственная дисперсия объемной диэлектрической проницаемости, то снимается запрет с возбуждения объемного плазмона на расстоянии зарядом, не проникающим в область объемной электронной концентрации мишени. Аналитическое вычисление в рамках гидродинамической модели продемонстрировало как наличие колебаний электронной плотности, подчиняющееся закону дисперсии объемного плазмона, так и наличие пика на спектре энергетических потерь, описываемых поверхностной функцией потерь, приходящегося на энергию объемного плазмона. Рассматриваемый эффект описывается поверхностной, а не объемной (—Im l/e(q,u;)) функцией потерь, в то время как последняя описывает процесс, когда налетающие электроны проникают в объем. Выполненные вычисления и сопоставление с экспериментом позволяют заключить, что эффект достаточно силен и должен приниматься во внимание при интерпретации данных ХПЭЭ спектроскопии поверхности

5. Рассмотрена сверхрешетка, образованная слоями с диэлектрической проницаемостью е(а?, z), являющейся произвольной периодической функцией одной координаты гг. В длинноволновом пределе, с использованием локальной теории, получено общее аналитическое решение для линейного отклика и спектра возбуждений этой системы в неограниченном и полу ограниченном случаях. Объемный и поверхностный отклик определяются двумя объемными величинами: средними по периоду от функций е(иz) и l/c(cu, z). Получено и обсуждено особое затухание поверхностных и объемных коллективных возбуждений, присущее только сверхрешетке с непрерывно меняющейся диэлектрической проницаемостью, и отсутствующее в сверхрешетках со слоями с резкими границами.

Предложенный подход применим и к сверхрешеткам со ступенчатой диэлектрической проницаемостью, давая в этом случае результаты, согласующиеся с литературными.

6. Показано, что анизотропия одноосного кристалла служит механизмом, посредством которого внешние электроны, не проникающие в объем кристалла, могут возбуждать трехмерные колебания электронной плотности в приповерхностной области. Этот эффект запрещен в кубических кристаллах и изотропном веществе при тех же предположениях. Показано, что важно использовать корректно полученную функцию поверхностных потерь (4.2), а не ее изотропный вариант (4.1), для интерпретации неупругих потерь энергии заряженными частицами в одноосных кристаллах.

7. Проведены квантово-механические расчеты неупругого рассеяния электронов поверхностью простых металлов с учетом проникновения электронов в приповерхностный слой. Показано, что ненулевая электронная концентрация в области отражения падающих электронов играет решающую роль для объяснения наблюдающейся экспериментально значительной интенсивности МП.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору В.Г.Лифшицу за поставленную хорошую задачу и многолетнюю терпеливую поддержку в работе по ее решению. Автор хочет принести профессору В.Г.Лифшицу свои искренние извинения за то, что он (автор) часто вынужден был отвлекаться на рассмотрение более простых, чем хотелось бы, моделей поверхности, что было вызвано неразработанностью в данной науке ряда фундаментальных теоретических вопросов, препятствовавшей правильной интерпретации более сложных, и, возможно, экспериментально более интересных, случаев.

Автор хочет поблагодарить весь Научно-технологический центр полупроводниковой микроэлектроники ЙАПУ ДВО РАН за здоровую и стимулирующую атмосферу, в которой автору посчастливилось работать.

Автор благодарит профессора П.Апелля (Р. Apell) за серию полезных обсуждений вошедших в эту работу публикаций и профессора Н.Д.Ланга (N.D.Lang) за предоставление результатов самосогласованных расчетов статических электронных профилей в модели желе.

Автор благодарит НТЦ полупроводниковой микроэлектронники, Международный научный фонд, Российский фонд фундаментальных исследований и Владивостокский государственный университет экономики и сервиса за предоставленные возможности участия в международных конференциях.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Назаров, Владимир Юрьевич, 1998 год

Библиография

[1] K.-D. Tsuei, E. W. Plummer, P. J. Feibelman. Surface plasmon dispersion in simple metals // Phys. Rev. Lett.- 1989. - 63,- P. 2256-2259.

[2] K.-D. Tsuei, E. W. Plummer, A. Liebsch, K. Kempa, P. Bakshi. Multipole Plasmon Modes at a Metal Surface // Phys. Rev. Lett. - 1990. - 64, - P. 44 -47.

[3] K.-D. Tsuei, E. W. Plummer, A. Liebsch, E. Pehlke, K. Kempa, P. Bakshi. The normal modes at the surface of simple metals // Surf. Sci. - 1991. - 247, - P. 302-326,

[4] Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля. - M.: Наука, 1988. - 509 с.

[5] S.L. Adler. Quantum Theory of the Dielectric Constant in Real Solids // Phys. Rev. - 1962,- 126,- P. 413.

[6] N. Wiser. Dielectric Constant with Local Field Effects Included // Phys. Rev.-1963,- 129, - P. 62-69.

[7] K. Sturm. Electron energy loss in simple metals and semiconductors // Advances in Physics. - 1982.- 31,- P. 1-64.

[8] H. Ehrenreich and M. H. Cohen. Phys. Rev.- 1959.- 115, P. 786.

[9] Достижения электронной теории металлов. Под ред. П. Цише и Г. Леманна. -Т. 2, М.: Мир, 1984. - 602 с.

[10] L. Tonks and I. Langmuir. Phys. Rev. -1929.- 33,- P. 195.

[11] J. Lindhard, Kgl. Dan. Vidensk. Selsk. Mat.- Fys. Medd.- 1954.- 28,- No. 8.

[12] Ф. Платсман, П. Вольф. Волны и взаимодействия в твердом теле. - 3VL: Мир, 1975.- 436 с.

[13] Н. Raether. Excitation of Plasmons and Interband Transitions by Electrons. Vol. 88 of Springer Tracts in Modern Physics (Springer, Berlin, 1980).

[14] S. G. Louie, J. R. Chelikowsky, and M. L. Kohen. Local-field effects in the optical spectrum of silicon // Phys. Rev. Lett.- 1975,- 34. P. 155-158.

[15] K. Sturm and L. E. Oliveira. High - Frequency Dielectric Properties of Covalent Semiconductors within the Nearly - Free - Electron Approximation. I. // Phys. Rev. В.- 1980.-22, N 12. - P. 6268-6282.

[16] K. Sturm and L. E. Oliveira. / Wave-vector-dependent plasmon linewidth in the alkali metals // Phys. Rev. В.- 1981.-24, N 6.- P. 3054-3062.

[17] L. E. Oliveira and K. Sturm. High - Frequency Dielectric Properties of Covalent Semiconductors within the Nearly - Free - Electron Approximation. II. // Phys. Rev. B. - 1980. - 22, N 12,- P. 6283-6293.

[18] K. Sturm. Core Polarization in the Dielectric Response of Simple Metals // Solid State Communications.- 1983.- 48, N 1.- P.29-32.

[19] K. Sturm, E. Zaremba, and K. Nuroh. Core polarization and the dielectric response of simple metals // Phys. Rev. В.- 1990.-42, N 11.- P. 6973-6992.

[20] R.H.Ritchie. Plasma losses by fast electrons in thin films // Phys. Rev - 1957.106, N 5.- P. 874-881.

[21] D. L. Mills. The Scattering of Low Energy Electrons by Electric Field Fluctuation // Surf. Sei.- 1975.- 48,- P. 59-79.

[22] H. Ibach and D. L. Mills. Electron Energy Loss Spectroscopy and Surface Vibrations (Academic, New York, 1982).- 366 p.

[23] P. Feibelman. Surface electromagnetic fields // Progr. Surf. Sci.-1982.- 12, N 4P. 287-407.

[24] M. Rocca. / Low-energy EELS investigation of surface electronic excitations on metals // Surf. Sci. Rep. - 1995.- 22.- P. 1-71.

[25] P. J. Feibelman. Exact microscopic theory of surface contributions to the reflectivity of a jellium solid // Phys. Rev. B. - 1976.- 14, N 2,- P. 762-771.

[26] P. Feibelman. Microscopic calculation of surface-plasmon dispersion and damping // Phys. Rev. B.- 1974,- 9, N 12.- P. 5077.

[27] P. J. Feibelman. Surface-electronic-structure information from bulk plasmon photoexcitation in free-electron metal film // Phys. Rev. B.-1975.- 12.- P. 4282-4301.

[28] F. Flores and F. Garcia-Moliner. Solid St. Commun. -1972.- 11. - P. 1295.

[29] A. J. Bennett. Influence of the electron charge distribution on surface-plasmon distribution on surface-plasmon dispersion // Phys. Rev. B.- 1970.- 1, N 1.- P. 203-207.

[30] J. A. Gaspar, A. G. Eguiluz, K.-D. Tsuei, and E. W. Plummer. Elementary excitations in alkali-metal overlayers probed by electron -energy-loss spectroscopy: quantum-mechanical effects // Phys. Rev. Lett.-1991.- 67,- P. 2854-2857.

[31] F. Moresco, M. Rocca, V. Zielasek, and M. Henzler. Evidence for the presence of the multipole plasmon mode on Ag surfaces // Phys. Rev. B.-1996.- 54.- P. 1433314336.

[32] F. Moresco, M. Rocca, V. Zielasek, T. Hildebrandt, and M. Henzler. ELS-LEED study of electronic excitations on Ag(110) and Ag(lll) // Surf. Sci. -1997.- 388.-P. 24-32.

[33} F. Moresco, M. Rocca, V. Zielasek, T. Hildebrandt, and M. Henzler. ELS-LEED study of the surface plasmon dispersion on Ag surfaces // Surf. Sci. -1997.- 388.-P. 1-4.

[34] D. M. Newns. Phys. Rev. В.- 1970.- 1.- P. 3304.

[35] D. E. Beck. Quantum-Mechanical Random-Phase-Approximation Calculation of the Surface-Plasmon Dispersion Relation for a Semi-Infinite Electron Gas // Phys. Rev. В.- 1971.- 4. P. 1555.

[36] J. E. Inglesfield and E. Wikborg. J. Phys.-1973.- Сб.- P. L158.

[37] B. Gumhalter and D. M. Newns. Phys. Lett.-1975.- 53A.- P. 137.

[38] B. Gumhalter. J. Phys. (Paris).-1977.- 38,- P. 1117.

[39] B. N. J. Persson and E. Zaremba. Reference-plane position for the atom-surface van der Waals interaction // Phys. Rev. В.- 1984.- 30.- P. 5669-5679.

[40] A. Liebsch. Screening properties of a metal surface at low frequencies and finit wave vectors // Phys. Rev. Lett.-1985. - 54, N 1,- P. 67-70.

[41] S. Lundqvist - In: Theory of the Inhomogeneous Electron Gas.- Ed. S. Lundqvist and N. H. March (Plenum, 1983).

[42] В.Ф.Кулешов, Ю.А.Кухаренко, С.А.Фридрихов, В.И.Запорожченко, В.И.Раховский, А.Г.Наумовец и А.Е.Городецкий. Спектроскопия и дифракция электронов при исследовании поверхности твердых тел. М.: Наука.- 1985.

[43] Дж. Тейлор. Теория рассеяния. М.: Мир.- 1975.

[44] M.Taut, in: Ergebnisse in der Electronentheorie der Metalle. Vol. 2 (AkademieVerlag, Berlin, 1983).

[45] T.Maniv and P.Gies. A microscopic theory of electron energy loss spectroscopy for a simple metal // Surf. Sci.- 1989.- 211/212. P. 242-248.

[46] JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, М.: Наука,-

1982.

[47] А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М: Наука. 1967.

[48] V. U. Nazarov. Surface Energy Loss Function of Semi-Infinite Spatially Dispersive Solid // Phys. Rev. B. -1994.- 49.- P. 10663-10667.

[49] F. Garcia-Moliner and F. Flores. Introduction to the Theory of Solid Surfaces (Cambridge University Press, 1979).

[50] A. Bagchi and С. B. Duke. Determination of the Surface-Plasmon Dispersion Relation in Aluminum by Inelastic Electron Diffraction // Phys. Rev. В.- 1972.- 5, N 8.- P. 2784-2799.

[51] P. C. Gibbons, S. E. Schnatterly, J. J. Ritsko and J. R. Fields. Line Shape of the Plasmon Resonance in Simple Metals // Phys. Rev. В.- 1976.-26, N 6.- P. 2451-2469.

[52] A. L. Fetter. Electrodynamics of a layered electron gas. 2. Periodic array // Ann. Phys. (N.Y.).- 1974,- 88.- P. 1-25.

[53] G. F. Giuliani and J. J. Quinn. Charge Density Excitations at the Surface of a Semiconductor Superlattice: a New Type of Surface Polariton // Phys. Rev. Lett.-

1983,- 51.- P. 919-922.

[54] G. F. Giuliani, J. J. Quinn and R. F. Wallis. Surface and Bulk Plasmon-Polaritons in Periodic Metallic Heterostructures // J. Physique.-1984.- 45.- P C5-285 -C5-289.

[55] R. E. Camley and D. L. Mills. Collective excitation of semi-infinite superlattice structures: surface plasmons, bulk plasmons,and the electron energy loss spectra // Phys. Rev. В.-1984.- 29, N 4.- P. 1695-1706.

[56] B. L. Johnson, J. T. Weiler and R. E. Camley. Bulk and surface plasmons and localization effects infinite superlattices // Phys. Rev. В.- 1985.- 32.- P. 6544-6553.

[57] R. Haupt, L. Wendler. Dispersion and Damping Properties of Plasmon Polaritons in Superlat.tice Structures // phys. stat. sol. (b).-1987. - 142.- P. 125.

[58] W. L. Bloss. Interface Plasmon Modes of Coupled Semi-Infinite Superlattices // Phys. Rev. B. - 1991.- 44, N 3,- P. 1105-1112.

[59] J.J. Quinn and J.S. Carberry. Bulk and surface plasmons in artificially structured materials // IEEE Trans. Plasma Sei.- 1987,- PS 15, N 4,- P. 394-410.

[60] M. L. Bah, A. Akjouj and L. Dobrzynski. Response Function in Layered Dielectric Media // Surf. Sei. Rep.- 1992.- 16, N 3.- P. 95-131.

[61] V. U. Nazarov. Analytical Inversion of the Dielectric Matrix of a Metallic Superlattice of Varying Charge Density: the Angular Dependence in the Long-Wave Limit // Superlattices and Microstructures. -1992.- 11, N 1.- P. 11-16.

[62] V. U. Nazarov. Analytical inversion of dielectric matrix of electron gas with one-dimensional inhomogeneity // Solid State Communications. -1986.- 60, N 2.- P. 115- 117.

[63] F. Bechstedt and R. Enderlein. Inverse Dielectric Function of A Superlattice Including Local Field // Superlattices and Microsrtructures - 1986.- 2, N 6.- P. 543-549.

[64] И. О. Кулик. - ЖЭТФ - 1962.-15,- С. 380.

[65] E. A. Taft and H. R. Philipp. Optical Properties of Graphite // Phys. Rev. A.-1965.- 138,- P. 197-202.

[66] D. L. Greenaway, G. Harbeke, F. Bassani, and E. Tosatti. Anisotropy of the Optical Constants and the Band Structure of Graphite // Phys. Rev.-1969.- 178, N 3 - P. 1340-1348.

[67] E. A. Tosatti and F. Bassani. Nuovo Cimento В.- 1970.- 65,- P.161.

[68] C. H. Chen and J. Silcox. Detection of Optical Surface Guided Modes in Thin Graphite Films by High-Energy Electron Scattering // Phys. Rev. Lett.~1975.- 35, N 6.- P. 390-393.

[69] H. Venghaus. Redetermination of the Dielectric Function of Graphite // Phys. Stat. Sol. (b).-1975.- 71, N 2.- P. 609-614.

[70] D. Gramari and J. Cazaux. Excitations of plasmons in electron energy-loss spectroscopy at grazing incidence on graphite crystal //J. Phys. C.-1976.- 9.- P. L421-426.

[71] C. H. Chen and J. Silcox. Calulations of the Electron-Energy-Loss Probability in Thin Uniaxial Crystals at Oblique Incidence // Phys. Rev. B.-1979.- 20, N 9.- P. 3605-3614.

[72] L. S. Caputi, G. Chiarello, A. Santaniello, E. Colavita, and L. Papagno. Secondary-electron emission and electron-energy-loss results on graphite single crystals // Phys. Rev. B.- 1986,- 34.- P. 6080-6084.

[73] U. Diebold, A. Preisinger, P. Schattschneider, and P. Varga. Angle resolved electron energy loss spectroscopy on graftte // Surf. Sci.- 1988.- 197.- P. 430-443.

[74] P. Laitenberger and R.E. Palmer. Surface plasmon dispersion and damping in graphite // Phys. Rev. Lett.- 1996.- 76,- P. 1952.

[75] A. A. Lucas and J. P. Vigneron. Theory of electron energy loss spectroscopy from surfaces of anisotropic materials // Solid State Commun.- 1984.- 49, N 4.- P. 327330.

[76] V. U. Nazarov. Bulk and surface dielectric response of a superlattice with arbitrary varying dielectric function: A general analytical solution in local theory in long-wave limit // Phys. Rev. B. -1994,- 49.- P. 17342-17350.

[77] V. U. Nazarov and N. S. Karpinskaya. Surface dielectric response of uniaxial crystals: Application to graphite // Phys. Rev. B. -1994.- 50.- P. 11151-11155.

[78] J. A. Gaspar, A. G. Eguiluz, and D. L. Mills. Theory of ion-stimulated electron emission from simple metals: Explicit calculation // Phys. Rev. B.- 1995.- 51, N 4P. 14604-14611.

[79] V. U. Nazarov. Analytical properties of dielectric response of semi-infinite systems and the surface electron-energy loss function // Surf. Sci. -1995.- 331/333.- P. 1157-1162.

[80] B. N. J. Persson and J. E. Demuth. Inelastic scattering of slow electrons from Si(lll) surfaces // Phys. Rev. B.-1984. - 30, N 10.- P. 5968-5986.

[81] R. H. Ritchie and A. L. Marusak. Surf. Sci.~1966.- 4,- P. 234.

[82] G. Barton. Some surface effects in the hydrodynamic model of metals // Repts. Prog. Phys.-1979.- 42.- P. 963.

[83] A. G. Eguiluz. Screening near a metal surface: Plasmon effects // Phys. Rev. B.-1981.- 23, N 4.- P. 1542-1558.

[84] A. G. Eguiluz. Dynamical density response function of a metal film in the random-phase approximation // Phys. Rev. Lett.-1983.- 51.- P. 1907-1910.

[85] A. G. Eguiluz and D. A. Campbell. Surface energy-loss function for the inelastic scattering of electrons from a metal substrate with an overlayer of adsorbed alkali-metal atoms // Phys. Rev. B.-1985.- 31,- P. 7572-7579.

[86] C. B. Duke and V. Landman. Surface-plasmon dispersion in Al(lll) films // Phys. Rev. B.-1973.- 8, N 2,- P. 505-514.

[87] J. E. Inglesfield and E. Wikborg. Surface plasmon in a free-electron metal // Solid State Commun.- 1974.- 14.- P. 661-664 ().

[88] A. Liebsch, Density functional calculation of the dynamic image plane at a metal surface: Reference-plane position of He- and H2-metal van der-Vaals force // Phys. Rev. B.-1986.- 33, N 10.- P. 7249-7251.

[89] D. L. Mills. Theory of electron emission stimulated by charged particle reflection from simple metals; glancing incidence // Surf. Sci.- 1993.- 294.- P. 161-183.

[90] V. U. Nazarov and Yu. V. Luniakov. Indirect bulk plasmon generation by electrons reflected above the solid surface // Phys. Rev. В.- 1995.- 52.- P. 12414-12418.

[91] V. U. Nazarov. Exact surface-plasmon dispersion relation for spatially dispersive solid with an abrupt surface // Vacuum. -1997.- 48, N. 3-4.- P. 249-251.

[92] V. U. Nazarov. Surface dielectric response: Exact solution in the Semi-Classical Infinite Barrier model with diffuse scattering // Phys. Rev. B. -1997.- 56, N. 4.- P. 2198-2207.

[93] F. J. Garcia de Abajo and P. M. Echenique. Surface wake in the random-phase approximation // Phys. Rev. B.-1993.- 48.- P. 13399-13407.

[94] J. I. Juaristi, F. J. Garcia de Abajo, and P. M. Echenique. Energy loss of MeV protons specularly reflected from metal surfaces // Phys. Rev. В.- 1996.- 53.- P. 13839-13850.

[95] P. Apell. Effects of non-locality and surface diffuseness on the electromagnetic response of a vacuum metal interface // Solid St. Commun.- 1983.- 47.- P. 619-622.

[96] P. Apell, R. Monreal, and F. Flores. Effective relaxation time in small spheres: diffuse surface scattering // Solid St. Commun.- 1984.- 52, N 12.- P. 971-973.

[97] A. A. Maradudin. A surface plasmon dispersion relation in the presence of spatial dispersion // Surf. Sci.- 1979.- 81,- P. 13-27.

[98] N. Wiener and E. Hopf. Sitz. Acad. Wiss.- 1931.- P. 696.

[99] Ф.Д.Гахов и Ю.И.Черский. Уравнения типа свертки. М.: Наука.- 1978.

[100] A. J. Glick and R. A. Ferrell. Ann. Phys. (N.Y.).-1960.- 11.- P. 359.

[101] N. D. Lang and W. Kohn. Phys. Rev. В.- 1970.- 1.- P. 4555.

[102] P. J. Feibelman. Microscopic calculation of electromagnetic fields in refraction at a jellium-vacuum interface // Phys. Rev. В.- 1975.- 12, N 4.- P. 1319-1336.

[103] J. R. Chelikowsky, M. Schlüter, S. G. Louie, and M. L. Cohen. Solid St. Commun.-1975.- 17- P. 1103.

[104] R. Monnier and J. P. Perdew. Surfaces of real metals by the variational self-consistent method // Phys. Rev. В.- 1978.- 17,- P. 2595-2611.

[105] C. J. Powell. Phys. Rev.- 1968.- 175,- P. 972.

[106] I. Lindau and W. E. Spicer. The Probing Depth in Photoemission and Auger-Electron Spectroscopy //J. Electron Spectrosc.-1974.- 3.- P. 409-413.

[107] S. Tanuma, C. J, Powell, and D. R. Penn. Calculations of electron inelastic mean free paths // Surf. Interface Anal.- 1991.- 17,- P. 911-926.

[108] K. D. Tsuei, PhD Thesis, University of Pennsylvania.- 1990.

[109] A.A.Lucas, M.Sunjic. Fast-electron spectroscopy of surface exitations // Phys. Rev. Lett.- 1971.- 26, N 5,- P. 229-232.

[110] G.Chiarello, L.S.Caputi, S.Plutino, G.Paolucci, E.Colavita, M.Decrescenzi, L.Papagno. Aluminum collective exitations: reflection electron energy loss results // Surf. Sci.-1984.- 146 P. 241-255.

[111] В. Г. Лифшиц. Электронная спектроскопия и атомные процессы на поверхности кремния. М.: Наука.- 1985.

[112] V. G. Lifshits, A. A. Saranin and А. V. Zotov. Surface Phases on Silicon // John Wiley.- 1994.

[113] Ю.Н. Кринко, П.В. Мелник, Н.Г. Находкин. Влияние возбуждения поверхностных плазмонов на интенсивность пиков спектра неупруго отраженных электронов // ФТТ.- 1980.- 22, вып. 5.- С. 1294-1301.

[114] D. E. Beck and V. Celli. Phys. Rev. В.- 1970.- 2. P. 2955.

[115] M. Nakayama, T. Kato, and K. Ohtomi. Theory of the intersurfaceband plasmon // Solid State Commun-1984.- 50, N 5.- P. 409-412.

[116] V. U. Nazarov and Yu. V. Luniakov. Multipole surface plasmon excitation enhancement in metals // 7th International Conference on Electron Spectroscopy, Chiba, Japan, 1997, P. 35.

[117] В.Ю.Назаров, Ю.В.Луняков. Проблема локальности возбуждения плазменных колебаний в ХПЭЭ спектроскопии поверхности // XV научная школа-семинар "Рентгеновские и электронные спектры и химическая связь", Екатеринбург, 1997.