Нестационарная динамика стержней, пластин и оболочек в задачах упругопластического соударения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Кадомцева, Наталья Игоревна

• Кадомцева, Наталья Игоревна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кадомцева, Наталья Игоревна

ВВЕДЕНИЕ.

1 .МОДЕЛИ МЕСТНОГО СМЯТИЯ В ЗАДАЧАХ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ.

1.1 Модель Герца.

1.2 Модель Штаермана.

1.3 Жесткопластическая модель.

1.4 Модель Кильчевского.

1.5 Упругоплаетическая модель для параболического штампа.

1.6 Модель местного смятия осесимметричных упругопластических тел с неквадратичным зазором.

1.7 Упругоплаетическая модель для конического штампа.

2.УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР МАССИВНОГО ТЕЛА ПО СТЕРЖНЮ КОНЕЧНОЙ

ДЛИНЫ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Построение решения для преобразования Лапласа.

2.3 Обратное преобразование Лапласа.

2.4 Численный метод решения интегрального уравнения.

3.УДАР КОНИЧЕСКОГО ШТАМПА ПО ПЛАСТИНЕ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ВИНКЛЕРОВСКОМ ОСНОВАНИИ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Математическая постановка задачи.

3.3 Случай бесконечной пластины.

3.4 Переход к безразмерным координатам.

3.5 Построение динамической функции влияния.

3.6 Численный эксперимент.

4. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ УДАР КОНИЧЕСКОГО ИНДЕНТОРА ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Решение задачи.

4.3 Схема численной реализации.

5.УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ УДАР КОНУСОМ

ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ.

5.1 Общая постановка задачи.

5.2 Математическая постановка задачи.

5.3 Построение решения задачи динамики для цилиндрической оболочки типа Тимошенко.

5.4 Построение решения задачи динамики для цилиндрической оболочки типа Власова.

5.5 Численный метод решения задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарная динамика стержней, пластин и оболочек в задачах упругопластического соударения»

Изучение ударных процессов относится к числу наиболее актуальных проблем динамики контактного взаимодействия. Это обуславливается их широким практическим применением, например, в фундаментостроении, дефектоскопии, сейсморазведке.

Разработка эффективных математических методов и алгоритмов определения основных параметров удара представляет интерес как с точки зрения дальнейшего развития фундаментальных исследований в области строительной механики, так и в связи с необходимостью теоретического объяснения наблюдаемых экспериментальных результатов.

Определение основных механических характеристик материалов с помощью ударного воздействия широко применяется при оценке состояния различных металлоконструкций, магистральных нефте - и газопроводов, трубопроводов и т.п.

В последние годы в связи с реконструкцией и перепрофилированием предприятий промышленности, газопроводов, жилого фонда проблема определения надежности строительных конструкций приобрела особую актуальность.

Нужно также отметить, что практически любые экспериментальные исследования ударных процессов связаны как с большими материальными затратами, так и с длительным временем обработки экспериментальных данных. Теоретические решения позволяют заметно сократить и материальные затраты, и время расчета, обоснованно определив при этом рациональную программу экспериментов.

Таким образом, разработка математических моделей удара и создание теоретических основ динамики контактного взаимодействия индеторов различной формы с элементами конструкций являются актуальными проблемами и представляют значительный научный и практический интерес.

Многие крупные ученые внесли большой вклад в решение этой проблемы. Первые исследования в этой области принадлежат Галилею, Гюйгенсу, Валлису, Ньютону. Эти исследования опирались на модель абсолютно твердого тела, однако Ньютон видел несовершенность этой модели и ввел понятие коэффициента восстановления, который и сейчас широко используется в работах по удару. Хотя уже Ньютону было ясно, что при изучении ударных процессов необходимо учитывать деформации соударяющихся тел в области контакта, первое исследование на базе модели упругого деформируемого тела было проведено только через два века Герцем. В 1882 году в работе « О контакте упругих тел » им впервые была решена контактная статическая задача теории упругости и в квазистатической постановке исследована задача соударения упругих тел. Построенная теория является квазистатической в том смысле, что волновыми движениями пренебрегают и считается, что для массивных тел деформации сосредоточены в окрестности зоны контакта, а каждое тело движется со скоростью его центра масс.

Нужно отметить, что теория соударения упругих тел до появления работ Сирса о продольном ударе стержней и работ С.П.Тимошенко о поперечном ударе упругого тела о балку, содержала исследование двух сравнительно обособленных групп задач.

К первой группе принадлежала теория продольного соударения стержней, получившая, благодаря работам Навье, Буссинеска и Сен-Венана, законченное математическое решение. Теория продольного удара, принадлежащая Буссинеску и Сен-Венану, пренебрегала местными эффектами, возникающими в сталкивающихся концах стержней, предполагая, что эти явления не оказывают серьёзного влияния на процесс удара.

Основное значение упомянутая теория придавала волнам смещений, деформаций и напряжений, распространяющихся вдоль стержня, находившегося под действием ударной нагрузки, приложенной к его концу.

В противоположность волновой теории удара Сен-Венана Г.Герц предложил теорию, основанную, главным образом, на рассмотрении местных деформаций, возникающих при ударе.

Согласно теории Герца зависимость между местным смятием а и силой контактного взаимодействия Р в статической контактной задаче имеет вид

1/ а = кР/з где константа к определяется физическими и геометрическими параметрами тел в области контакта. Герц принял, что эта зависимость сохраняет свой вид и в динамической задаче, если скорость соударения меньше скорости распространения упругих волн в телах. Эта гипотеза равносильна тому, что пренебрегается силами инерции местного смятия в области контакта. С помощью теории Герца впервые были раскрыты некоторые внутренние закономерности процесса удара [7,17,46,84,123,212]: определены наибольшие значения силы контактного взаимодействия, продолжительность удара и максимальные значения местного смятия. Теоретические результаты сравнивались с экспериментальными. Как самим Герцем, так и другими экспериментаторами было показано хорошее совпадение теории и эксперимента для малых скоростей соударения. В 1909 году А.Н.Динник [48] получил хорошее совпадение экспериментальных и теоретических данных для стальных шаров, несколько худшее для цинковых и совсем неудовлетворительное - для свинцовых. Уже тогда было высказано предположение, что выявленное расхождение связано с пластическими деформациями, которые совершенно не отражены в упругой модели Герца. Дальнейшее развитие квазистатического удара продолжил Сире [201], одновременно учитывая местную деформацию и возникающие при ударе волны. Он соединил подход Герца при учете контактных деформаций и теорию Сен-Венана в расчете продольного удара стержней и получил результаты, хорошо совпадающие с экспериментом. С.П.Тимошенко перенес подход Сирса к расчету поперечного удара тела по балке [17,152]. История этого вопроса подробно изложена в [46]. Полученное нелинейное интегральное уравнение относительно силы контактного взаимодействия между телом и балкой пришлось решать утомительным по тем временам методом численного интегрирования, что в значительной мере лишило предложенное решение широкого практического применения. Одним из интересных результатов этого решения было выявление возможности многократных соударений, из которых складывается процесс удара, пока не изменится знак скорости движения тела; этот характер удара впоследствии был подтвержден экспериментально.

В последующие годы появился ряд работ, посвященных этой же задаче, но в которых делается попытка дать для нее аналитическое решение. Во всех этих работах в том или ином виде использовалось решение С.П.Тимошенко, но с помощью различных упрощений и ограничений получали уравнения, допускающие решение в общем виде. В.Н.Вернигор исследовал удар тела о балку на основе элементарной теории [27], а в работе [28] при помощи механического импеданса системы рассмотрел механические модели, которые с достаточной точностью аппроксимируют поперечные колебания свободной и шарнирно опертой балок. Полученные результаты хорошо согласуются с точным решением этой задачи, построенным С.П.Тимошенко. Простейшая, но во многих случаях достаточно эффективная модель упругой системы в виде массивного тела на пружине использовалась для исследования удара по балке [17,44] и поперечного удара в произвольной точке пластины [186].

В рамках различных теорий удара рассматривается решение определенного класса задач. Каждая из теорий накладывает определенные ограничения на размеры тел, скорость соударения и другие величины. Сложность конструкций, подверженных удару, требует разработки новых и уточнения существующих теорий, необходим их глубокий качественный анализ и экспериментальная проверка, то есть подтверждение на практике результатов аналитического и численного исследований.

Теория квазистатического удара С.П.Тимошенко развивалась по двум направлениям:

1. уточнялось решение статической контактной задачи;

2. расширялась область применения теории, т.е. исследовался удар по различным балкам, пластинам и оболочкам, в том числе неизотропным и лежащим на основаниях различных видов.

И.Я. .Штаерман существенно обобщил теорию Герца, решив ряд контактных задач, также и для случаев плотного касания.

Теория Герца применима только к идеально упругим телам в отсутствии трения по поверхности контакта. Прогресс механики контактного взаимодействия [6,46,47,123] связан главным образом с отказом от этих ограничений.

В монографии Н.А.Кильчевского [80] не только систематизированы некоторые материалы, относящиеся к теории соударения упругих тел, но и предложена упруго гшасти ческая модель контактной задачи, на базе которой исследуется удар. В [80] рассмотрены различные обобщения теории Герца, Сирса и С.П.Тимошенко. Главное направление этих обобщений связано с применением интегрального преобразования Лапласа к уравнениям динамики упругой среды. Основным недостатком предложенного метода обращения преобразования Лапласа при помощи степенных рядов является медленная сходимость полученных разложений, однако, в некоторых случаях удалось сравнить полученные результаты теорий С.П.Тимошенко и Сирса с результатами элементарных теорий.

При расчете удара по теории С.П.Тимошенко зависимость сил контактного взаимодействия Р(1;) определяется из нелинейного в общем случае интегрального уравнения г

Ъ0: - т)Р(г)(1т + а[Р(0] = у0г о

Здесь У0 - скорость сближения тел в момент соударения; С = 0-[ + 02, где в, С2~ функции Грина динамических задач для первого и второго тела, т.е.

А, перемещения тел в точке приложения сосредоточенного единичного импульса. В некоторых работах О называется импульсной переходной функцией системы. Сосредоточенный импульсный удар по линейной деформируемой системе рассматривался многими исследователями. Полученные волновые решения базируются на использовании законов механики сплошной среды или технических теорий и при известных ограничениях достаточно хорошо отражают реальные процессы. Построению, исследованию и применению в задачах удара функций влияния линейных деформируемых систем посвящены работы М.И.Гусейн-Заде, С.А.Зегжды, А.И.Лурье, Н.А.Николаенко, С.П.Тимошенко, Д.Е.Хейсина, А.П.Филиппова и других авторов.

Решение задачи удара по бесконечной пластине впервые было дано А.И.Лурье [100]. Им получены функции Грина для свободной пластины, лежащей на упругом основании Винклера. В работе М.И.Гусейн-Заде [43] рассматривается действие сосредоточенного импульса на бесконечную пластину, лежащую на жидком полупространстве. Строится решение для заданного распределенного импульса, а в пределе получается функция влияния для сосредоточенного импульса. В монографии Д.Е.Хейсина [135] строится функция влияния для пластины, лежащей на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. В работах С.А.Зегжды [59,60] используется функция влияния для кольца, приведенная в книге С.П.Тимошенко. В [61] рассматривается задача о соударении цилиндров. Используемая неявно приближенная функция влияния для цилиндров может быть выражена через дельта - функцию Дирака. Предполагается, что любое усилие передается боковой поверхности цилиндра через жесткую плоскую поверхность. При этом деформация цилиндра в процессе его движения пропорциональна прикладываемой силе.

В работе [111] приведены решения двух задач о вертикальных колебаниях тонкой бесконечной плиты, лежащей на упругом весомом и невесомом полупространстве. Процесс удара тела рассматривается как движение упругой поверхности плиты с присоединенной массой. Решение первой задачи строится приближенно, а второй - точно. Если рассматривать основание как безинерционное полупространство, то решение значительно упрощается. Аналогичный подход использовал А.П.Филиппов для расчета удара массивного тела по шарнирно опертой и по свободной пластине, лежащей на упругом винклеровском основании [134].

В [160] изучены динамические реакции части бесконечно длинной толстой пластины, закрепленной по краям и свободно лежащей на вязкоупругом основании, при импульсном нагружении.

В [211] сформулирована и решена задача о динамическом отклике на внешнюю (импульсную и динамическую) нагрузку квадратной пластины, расположенной на упругом полупространстве, в предположении об отсутствии трения между ними. Учитывается гибкость и трехмерность пластины.

Решен целый ряд задач расчета конструкций при распределенном импульсном воздействии. Методы, используемые при этом, и полученные результаты могут быть применены для решения задач удара. В [128] изложен энергетический метод расчета неупругого прогиба круговой пластины, нагруженной импульсным давлением в центральной круговой области. Результаты расчета удовлетворительно согласуются с опубликованными экспериментальными данными. Поведение гибкой упругопластической и круговой пластины под действием ударной нагрузки, приложенной по нормали к ее срединной поверхности, рассмотрено в [133]. Исследованы две формы кривой деформирования (с линейным и нелинейным упрочнением). В [81] решается нестационарная краевая задача о локальном импульсном неосесимметричном деформировании бесконечно длинной замкнутой упругой цилиндрической оболочки. Исследование поведения оболочки проводится на основе уравнения с большим показателем изменяемости (уравнение Доннела -Власова). Получено решение для начального периода деформирования оболочки под действием внезапно приложенной сосредоточенной и распределенной по круговой площадке нагрузок. Обзор англоязычной литературы, посвященной экспериментальным исследованиям деформирования тонких металлических пластин при взрывном и ударном нагружении, дан в [189].

Большое число работ посвящено исследованию поведения различных конструкций при заданной кратковременной нагрузке (распределенной в области конструкции с заданным изменением во времени).

В [190] дан вывод упрощенной аналитической формулы вычисления нестационарных откликов для волн скоростей и ускорений в бесконечной упругой плите в случае поперечного удара. Решение соответствующего уравнения классической теории динамического изгиба с правой частью, имеющей вид распределения Гаусса по времени и радиальной координате, найдено приближенно путем использования метода интегральных преобразований Фурье и Ганке ля. В результате анализа экспериментальных данных, полученных для случая удара стальным шариком по поверхности акриловой плиты, показано, что вычисления по приближенной формуле дают удовлетворительное совпадение волновых форм откликов. В [110] на основе соотношений теории предельного равновесия и энергетического метода найдены приближенные оценки для разрушающих значений квазистатической и идеальной импульсивной нагрузок для прямоугольной и круглой пластинок. Полученные оценки дают возможность построить для прямоугольной и круглой пластин кривые критических (разрушающих) импульсных нагрузок, изменяющихся в широких пределах по форме, амплитуде и длительности. В [169] описан метод восстановления силы удара из свертки с импульсной функцией отклика, задающей деформацию в точке приложения силы. Обращение свертки производится в пространстве изображений для преобразования Лапласа. При этом изображение неизвестной функции отклика заменяется некоторым соотношением из калибровочного эксперимента, после чего выполняется обратное преобразование, приводящее к формуле для профиля силы. Для демонстрации эффективности данного метода приводится пример использования данных эксперимента для случая круглой, опертой по краю пластинки, подверженной в центре удару телом, падающим с заданной высоты. В [116] излагается методика расчета слоистой плиты, расположенной на упругом слоистом основании, на действие сосредоточенного удара. Приводятся результаты сопоставления расчетов с данными экспериментов для двух типов автомобильных дорог.

Двумерная задача поведения шарнирно опертой цилиндрической оболочки при действии несимметричной нагрузки рассмотрена в [99]. В работе [120] определены поправки к безмоментному решению для сферических куполов различной кривизны при импульсном нагружении с учетом сжимаемости материала за пределами упругости. В безмоментной постановке для сферических и цилиндрических оболочек получено точное решение. Решение исходной задачи строится численно на основе неявной конечноразностной аппроксимации 2-го порядка точности. Влияние нелинейности упругого основания на отклик защемленной или свободно опертой прямоугольной оболочки двоякой кривизны при приложении точечной центральной ступенчатой и периодической (синусоидальной) нагрузки исследовано в [181].

Вопросы, связанные с математическим моделированием продольного соударения твердых деформируемых тел, находятся в центре внимания многих российских и зарубежных ученых.

Краткий обзор, посвященный этому вопросу, дан в [66]. Динамическое нагружение стержней исследовалось рядом авторов, например, в [34,195]. В отличие от упомянутых работ в [53] учитывается податливость основания, на которое опирается искривленный стержень, закон изменения силы удара во времени не задается, а определяется при ударе по стержню абсолютно жестким телом.

Продольный удар по цилиндрическому стержню и по стержню со ступенчато изменяющимся диаметром рассматривался в [157]. В [107] дается описание экспериментального исследования по определению изгибных напряжений в контуре поперечного сечения стержня П- образного профиля, вызванных ударом массивного тела. Рассматривались также вопросы динамического выпучивания при продольном ударе по цилиндрическим оболочкам [11-14,92] и ортотропным панелям [97]. Задача удара упругопластического стержня торцом и частью боковой поверхности по недеформированной преграде численно решена в [89]. Динамика стержня конечной длины переменного поперечного сечения при ударе по абсолютно жесткой плоскости исследовалась в [125,151]. Рассматривалась задача о соударении стержней [68,149,171,175,178], нормального удара стержня по круглой пластине [29] .Удар составной цилиндрической оболочки по упругой преграде, моделируемой основанием Винклера, исследовался в [23]. Решались задачи о соударении пьезокерамических [98] стержней и об ударе стержня по термоупругопластической плите с полостями [113].

В большинстве работ по квазистатическому удару считается, что величина местной контактной деформации определяется из решения Г.Герца или И.Я.Штаермана. Решению различных задач удара массивного тела по упругим системам при упругом местном смятии посвящены работы В.В.Багреева [10], В.Б.Запорожца [55,56], Р.Штройбела [204,205] и других авторов.

В [27] рассмотрен упругий удар по бесконечной балке. Методом линеаризации получено приближенное аналитическое решение задачи. Случай прямого удара по бесконечной плите и косого удара по бесконечной балке, лежащих на упругом винклеровском основании рассматривались в работе В.В.Багреева [10]. Для местного смятия принималось статическое решение И.Я.Штаермана или Герца. Продольный удар твердого тела по системе, состоящей из стержня конечной длины, сосредоточенной массы и полубесконечного стержня, исследуется в [106].

В [183] теоретически и экспериментально исследуется зависимость динамической нагрузки на консольную балку от места удара стального бруска или шара. Теоретический анализ основывается на классической балочной теории и законе Герца о давлении между упругими телами. Показано, что результаты теоретических исследований хорошо согласуются с экспериментальными данными. Сопоставление анализа и эксперимента при ударе с малой скоростью по балкам конечных размеров проведено в [196]. Аналитическое решение задачи об ударе жесткого снаряда о балку, закрепленную по краям. Проведен сравнительный анализ экспериментальных и теоретических значений центральных смещений и продолжительности удара. В работе [197] того же автора исследуется низкоскоростной удар по конечным балкам в случае большой площади контакта. В статье [198] представлены результаты решения задачи о поперечном соударении жесткого цилиндрического ударника с шарнирно закрепленной балкой или пластиной. Решение получено путем использования статического решения и учета динамических эффектов. В [193]на основе метода конечных разностей исследовано ударное нагружение балок и прямоугольных пластин в упругой области. Разработан ряд алгоритмов для расчета напряженнодеформированного состояния. Дано сравнение результатов расчета прогибов и удлинений указанными методами с решением Бубнова-Галеркина.

В [209] предложен приближенный метод анализа напряжений в стеклянной пластине, подверженной ударному воздействию падающего стального шарика. Получено аналитическое решение задачи определения во времени контактных усилий для случая бесконечной пластинки, при этом используется решение статической задачи теории Герца. Полученное решение использовалось для исследования удара по круглой пластине. Эксперименты проводились для свободно опертой и жестко заделанной круговой пластинок. Отмечено хорошее совпадение экспериментальных и теоретических результатов. В [184] аналитически исследуется задача поперечного удара по упругой толстой пластине. Для пластины используются уравнения Миндлина и принимается решение Герца. В [55,56] рассмотрен прямой и косой удар тела по свободной прямоугольной пластине и по пластине, лежащей на однослойном основании В.З.Власова. В уравнениях движения учтены деформации поперечного сдвига и инерция вращения пластины. Контактная деформация определяется из решения Герца и И.Я.Штаермана.

М.Л.Коллер [176] исследовал упругую реакцию при ударе по слоистой пластине. Показано, что реакция изотропных и слоистых пластин имеют качественные различия. Проведены эксперименты, сравнение показывает хорошее совпадение перемещений пластинки, определенных теоретически и экспериментально.

В работе Штройбела [205] в линейной постановке решена и подробно исследована задача о колебаниях ш арнир но опертой прямоугольной ортотропной плиты, в центр которой ударяет массивный шар. Используется решение контактной задачи Герца. К.Карас [173] исследовал поперечный упругий удар по свободно опертой прямоугольной пластине. Обзор более ранних работ и обширное представление задач удара по изотропным балкам и пластинам можно найти у Гольдсмита [32,33]. Динамическое поведение изотропных пластин под действием ударной массы исследовано в [207]. Г.Швигер [200] развил упрощенную теорию упругого удара по тонким изотропным пластинам, в многочисленных экспериментах была подтверждена применимость этой теории. В [204] приведены результаты исследования задачи о соударении вертикально падающего шара с алюминиевой квадратной пластинкой с поперечным сечением в виде «гребенки». Предложена теория для нахождения деформаций пластины и силы, возникающей при соударении. Исследовано влияние механической анизотропии пластины и ее ребристой структуры на указанные величины. В [82,83] получены аналитические решения для нормальных смещений и кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при локальном импульсном нагружении. Исследуется напряженно-деформируемое состояние замкнутых упругих цилиндрических оболочек конечной длины при контактном ударе с падающим телом на основе функционального уравнения С.П.Тимошенко. Сближение тела с оболочкой при сжатии в месте контакта определяется зависимостью Герца. В [65] на основе теории продольных волн и контактной теории Герца определяются максимальная сила продольного удара стержней и вычисляются максимальные контактные напряжения в зависимости от скорости удара. Для реального механизма получены зависимости, позволяющие оценивать в инженерных расчетах допустимую скорость удара. В [192] предложен метод изучения продольного соударения механических систем, сложенных из упругих стержней с переменным поперечным сечением и из твердых тел. В этом методе используется теория одномерных волн для стержней с плоскими концами и метод Сирса для стержней с закругленными концами.

Исследования С.А.Зегжды посвящены упругому удару стержней [58], колец [59], кольца по балке [60], цилиндров [61].

В настоящее время в задачах удара используются различные уточнения решения Герца. При соударении тел действуют различные механизмы диссипации начальной кинетической энергии, включающие распространение волн, пластические деформации, внутреннее трение. Распространение упругих волн имеет место при любом ударе, диссипируемая при этом энергия представляет собой минимальные потери. В статье [194] изучаются потери за счет распространения упругих волн в случае соударения сферы с массивной подложкой. Рассмотрение проводится на основе подхода Гюнтера (1957), который аппроксимировал зависимость перемещения-время по Герцу, но при этом зависимость сила- время отличалась то теории Герца. Здесь же аппроксимация подправлена так, чтобы получить подобие с уравнениями Герца. В результате установлено, что улучшенная теория предсказывает потери энергии лучше, чем аппроксимация Гюнтера и хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Удар с низкой скоростью по упругим пластинам исследовался в [215]. Предложен квазианалитический метод анализа контактной силы удара упругой пули по пластине. Пуля летит со скоростью 1-4 м/с и производит нормальный удар по прямоугольной пластинке, жестко закрепленной по двум противоположным сторонам границы. В результате использования решения Буссинеска и преобразования Лапласа получена формула для вычисления силы взаимодействия пули и пластины как функции времени. Приведено сравнение аналитических формул, одна из которых получена на базе теории Герца, а другая в результате данного подхода, с результатами эксперимента. Показано, что полученная формула лучше удовлетворяет экспериментальным данным.

В то время как ранние опыты по изучению удара производились главным образом с металлическими шарами, в [208] рассмотрено поведение гораздо более мягких шаров, изготовленных из резины, а также теннисных мячей японского производства. Для исследования применялась фотосъемка со скоростью 5000 снимков в секунду. Мишень считалась абсолютно жесткой. Показано, что продолжительность соударения шара и мишени падает с ростом скорости удара, (эта тенденция совпадает с той, которую дает применение теории Герца в квазистатическом случае). Однако численные значения времени контакта меньше и составляют лишь 50-70 % предсказываемых теорией Герца. Изучены особенности деформирования шаров, как для стадии сжатия, так и для стадии восстановления. Сделана попытка выделить роль, которую играет в процессе деформирования при ударе сжатый воздух внутри шара. Отмечается невозможность описания процесса удара путем дополнения теории Герца моделью распространения волн сжатия. Эффект такой волны оказывается на порядок меньше, чем в экспериментах, и полученные расхождения автор публикации не берется объяснить.

Большое количество работ посвящено упругому удару в негерцовской постановке. Назовем некоторые из них. Ф.М.Бородич [21] рассмотрел контакт специального типа соударяющихся тел и использовал в решении автомодельность задачи. Явных решений найти не удалось, но получены качественные выводы. В частности, получены качественные выводы теории Герца. В работах А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [37,38] приведены методы построения точных решений при ударе абсолютно жестким телом, ограниченным гладкой криволинейной поверхностью, по упругому полупространству. Рассматривается только начальный этап удара, когда граница контакта расширяется со сверхзвуковой скоростью. Найдена явная связь результирующих реакций с геометрическими характеристиками области контакта и кинематическими параметрами тела. Получены квадратурные формулы для определения контактных напряжений в плоской задаче. Исследованы особенности контактных напряжений. Проведены расчеты для различных частных случаев.

В [116] рассмотрено появление ударных волн при ударе жесткого штампа по упругому полупространству. Результаты исследования задачи об ударе жесткого штампа по упругому полупространству, полученные методом «распада разрыва» Годунова, приведены в [126].

Экспериментельно-теоретический метод определения диаграммы контактных усилий в случае бокового удара тонкостенной трубы по недеформируемой преграде предложен в [120]. В [37] рассмотрен динамический контакт упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. В [177] приведены результаты экспериментально-теоретического исследования волновых процессов при нормальном упругом ударе шариков о толстые плиты. В [68] оценено влияние нелокальных динамических эффектов, а именно поверхностных волн, возникающих при соударении двух одинаковых тел, на коэффициент восстановления. В [19] дается описание комплекса измерительной аппаратуры для регистрации быстро протекающих волновых процессов в стальной плите при поперечном ударе цилиндром. Вопросам распространения ударных волн посвящены монографии [84,118] и вторая глава [47].

Все теории удара, использующие решение упругой контактной задачи, имеют существенное ограничение по скорости: для закаленного стального шарика радиусом 1 см предельная скорость упругого соударения будет порядка 10 см /с. При более высоких скоростях появляются заметные пластические деформации, и результаты эксперимента не совпадают с результатами теории упругого квазистатического удара. Попытка учесть пластические деформации делалась многими учеными, в том числе в работах А.В.Крука и Д.Табора, которые использовали для решения контактной задачи статический закон Мейера. Этот закон описывает проникание жестких сфер в плоские металлические поверхности и имеет вид [15]: где Р- контактное усилие, а - радиус зоны контакта, N и п -постоянные эмпирические величины. Н.А.Кильчевский [80] построил решение упругопластической контактной задачи, в которой упругая составляющая местного смятия подчиняется закону Герца, а пластическая - линейно зависит от контактного усилия, т.е.

О линейной зависимости пластической деформации от контактного усилия свидетельствуют эксперименты Н.Н.Давиденкова [44,45] и работа А.Ю.Ишлинского [69]. Линейная зависимость между силой и глубиной внедрения используется в [33].

Получили широкое распространение и другие, эмпирические и полуэмпирические зависимости [32]. В работе Х.Ф.Кангура и И.А.Клейса [78] описан метод и приведены некоторые результаты по экспериментальному определению коэффициента восстановления в широком диапазоне скоростей удара и рассмотрены возможности его расчетного определения. А.А.Ланков [96] рассмотрел задачу об ударе твердой сферы о массивную упругоппаетическую преграду. В работе дан метод расчета коэффициента восстановления скорости, максимального внедрения и контактной силы, времени соударения. Н.М.Кравченко [91] исследовал механизм отскока шарика от плоской поверхности. А.И.Родионов [120] рассмотрел удар твердой сферы по упругопластическому полупространству, исходя из основных уравнений теории упругости в форме, отличной от постановок Г.Герца и Н.А.Кильчевского. В [112] в упругопластической постановке методом переменного масштаба решена задача теории типа Герца. Получены общие выражения для определения а = ае + ар = кР 3 + \|/Р

2/

При разгрузке основных параметров удара. Рассмотрены частные случаи соударения остроугольных тел.

В [185] приведены данные об ударном взаимодействии двух шариков. Анализируются случаи как упругого, так и неупругого взаимодействия. Результаты теоретического исследования сравниваются с экспериментальными.

В.В.Панов [113] рассматривает поперечный сосредоточенный удар массивного тела по тонкостенному стержню открытого профиля, имеющего ось симметрии при различных концевых условиях закрепления. Используя физические представления о контактном взаимодействии и полученную функцию влияния, составляется полное решение задачи с учетом местных деформаций.

H.Dombrowskï [145] исследовал удар по тонкой пластине при упругопластическом взаимодействии. J.Frischbier [158,159] рассматривал удар шара по ребристой и анизотропной пластине. Расчеты проводились на основе решения контактной задачи теории упругости для ортотропных материалов. Полученные аналитическим путем результаты проверялись экспериментально.

В [214] дается оценка величины поглощения энергии удара слоем материала, натянутого на поверхность упругого полупространства. Исследовалась величина поглощения энергии удара и другие характеристики демпфирования удара в зависимости от материала и от толщины слоя покрытия.

Осесимметричная задача пластичности рассматривалась рядом авторов [64,69,139]. В [64,69] установлено, что изменение среднего давления q0 под пологим штампом в процессе внедрения незначительно. В [137] исследуется внедрение осесимметричного штампа в пластическое полупространство и изменение формы свободной поверхности в процессе внедрения. В случае пологого штампа предложенный метод позволяет определить изменение формы свободной поверхности в замкнутом виде.

Несмотря на сложность физических процессов, протекающих в материалах при действии ударных воздействий, удалось изучить качественную сторону исследованных явлений, включающую следующие экспериментальные факты [30,46,47]. Скорость деформирования материалов несущественно влияет на модуль упругости. Значительно она влияет на механические характеристики, связанные с пластическими свойствами - предел текучести и прочности. Наиболее интенсивно динамический предел текучести увеличивается по сравнению со статическим при скоростях удара до Ют/с и может возрастать для некоторых материалов при нормальной температуре в два-три раза. При увеличении скорости удара интенсивность роста предела текучести падает. Обзор работ по определению динамического предела текучести материала на основе результатов классического эксперимента Тейлора по соударению короткого цилиндрического стержня с жесткой стенкой, представлен в [157]. Этот метод использован в ряде публикаций [19,167,168]. В статье [188] представлены экспериментальные зависимости предела текучести от скорости деформации для ряда сталей при высокоскоростном деформировании и разных температурах. Имеются работы, в которых учитывается изменение предела текучести в процессе удара. Например, в [130] упругопластические свойства материалов описываются с учетом деформированного упрочнения в зависимости предела текучести и модуля сдвига от давления.

Несомненный теоретический интерес и большое практическое значение представляет рассмотрение теории удара в нелинейной постановке. Укажем наиболее важные причины, вызывающие необходимость привлечения методов нелинейной теории упругости в теории соударения тел: 1. Тела в процессе удара могут испытывать конечные деформации [13,25,57,207].

2. Формоизменения и деформации материалов могут не быть малыми, так что применение методов линейной теории для их описания недопустимо [141,207].

3. Деформации и напряжения вблизи угловых точек контакта, вычисляемые в линейной теории упругости, неограниченно возрастают. Устранение сингулярности полей напряжений, например, при осевом ударе конусом или цилиндром по поверхности полупространства, возможно при учете пластичности материалов соударяющихся тел.

Лишь немногие задачи, решаемые в рамках нелинейной теории, не требуют использования специальных численных методов. Решены автомодельные задачи одномерного соударения двух нелинейно-упругих полупространств [2] и динамического осесимметричного изгиба нелинейно-упругих пластин [141]. В [207] приведено решение об одноосном динамическом сжатии опорных систем из пористой резины, подвергнутых ударному нагружению. Используется упругий сжимаемый материал, выражение для упругого потенциала которого выбрано в форме, предложенной Блатцем и Ко.

В настоящее время активно развиваются специальные численные методы решения задач удара: конечных разностей [114,156,170,193], конечных элементов [20,138,154,170], граничных интегральных элементов [136], сосредоточенного параметра [179] и другие численные схемы. Наряду с традиционными подходами это позволило решить многие задачи проникания [8,42,79,93,94,131,212,213], внедрения [3,85,86,106] и пробивания [47,109,124,130,146,155,180,191]. Активно исследуется высокоскоростной удар [47,103,104,166], для изучения которого широко применяются гидродинамические модельные представления [62,63,165,210].

Изучаются также задачи косого (наклонного) удара. При учете продольного движения тел используются упрощенные подходы [7,46,88], учитывается сухое трение [105]. Для более полного исследования деформирования ударника [35], рикошета [24,41,131] и образования кратера [40,168] используются различные численные схемы. В [16,199] предлагаются методы исследования косого высокоскоростного удара.

Одним из приложений теории удара является задача об ударе груза о лед. Существуют различные способы теоретического описания общих [135] и местных [95,136] деформаций ледяного покрова при ударе массивного тела. Экспериментально-теоретическому исследованию процесса удара сферического тела о лед посвящены работы В.П.Епифанова [49-52], Н.Г.Храпатого, А.А.Березовского, В.Г.Цуприка [137-141] и других авторов. В [174] поведение плавающих льдин под действием ударной нагрузки моделируется задачей о динамическом действии кругового штампа на тонкую пластину на поверхности идеальной жидкости. Материал пластинки ведет себя как жесткопластическое тело, подчиняющееся условию текучести Треска, а действие жидкости заменяется реакцией винклеровского основания. Серия опытов по прониканию в лед тупого цилиндра (в полупространстве при нормальном падении) представлена в [160]. В [182] приведены результаты моделирования на ЭВМ разрушения льда ударом. Лед представляется многослойной пластинкой, результаты расчетов по вдавливанию в лед цилиндрического штампа удовлетворительно согласуются с данными модельных испытаний. Результаты исследований [203] показали, что мгновенное давление при ударе может быть на порядок выше предела прочности льда на сжатие. В [202] приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований влияния динамических эффектов на изгиб слоя льда, плавающего на поверхности воды.

Из приведенного краткого обзора следует, что анализ упругопластического соударения тел является важной актуальной задачей современной механики.

Целью данной работы является разработка с помощью простой, но в то же время адекватно отражающей реальные процессы, модели местного смятия аналитических и аналитико-численных методов решения конкретных задач о неупругом соударении деформируемых тел, которые бы позволяли в достаточно простом виде и за короткий промежуток времени исследовать процесс соударения в диапазоне малых и средних скоростей для различных параметров соударения.

Содержание работы изложено в пяти главах.

В первой из них приводится подробный обзор как наиболее часто используемых в инженерной практике моделей местного смятия а(Р), так и упругопластические модели местного смятия для инденторов различной формы, которые автор использует как базовые при решении соответствующих задач.

Во второй главе дается постановка, решение и численное исследование полученного решения для задачи о продольном ударе массивным телом параболической формы по жестко защемленному с одного конца стержню произвольной конечной длины. Исследуется влияние волновых полей на основные параметры удара. Численные результаты сравниваются с экспериментальными.

В третьей главе предлагается решение задачи о прямом ударе коническим штампом по круглой пластине, лежащей на упругом винклеровском основании. Определяются основные параметры удара. Для выявления диапазона применимости решения оно численно исследуется по следующим параметрам: скорости соударения, ширине и толщине пластины, и результаты сравниваются с решением трехмерной задачи об ударе конусом по полупространству, полученным с помощью метода конечного элемента с использованием комплекса АШУй; ранее известным решением об упругопластическом ударе конусом по бесконечной пластине и экспериментальными данными.

Четвертая глава посвящена исследованию прямого упругопластического удара коническим индентором по шарнирно закрепленной по краям круговой цилиндрической панели. В явном виде определяются радиальные перемещения

26 панели в точке удара. Численно исследуется нелинейное интегральное уравнение для силы контактного взаимодействия Р(1;).

Для определения достоверности полученных результатов данная задача решается также для удара шариком той же массы, что и конус, с использованием моделей Герца, Кильчевского и упругопластической.

В пятой главе решается задача о нормальном упругопластическом ударе массивным конусом по шарнирно опертой замкнутой цилиндрической оболочке. Исследуется влияние сдвиговых деформаций на основные параметры удара. Решение сравнивается с известными результатами, полученными при решении задачи об упругопластическом ударе конусом по полупространству.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Кадомцева, Наталья Игоревна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Итак, сформулируем основные результаты, полученные в предложенной работе:

1. С единых позиций построены и исследованы решения ряда задач упругопластического соударения инденторов различной формы по элементам строительных конструкции, широко применяемых на практике.

2. Проведен всесторонний анализ достоверности полученных решений по каждой задаче. Для чего произведено сравнение с известными экспериментальными данными, а при некоторых частных значения параметров удара - сравнения с решениями, полученными другими методами.

3. Выявлены диапазоны применимости упрощенных подходов к решению динамических задач упругопластического соударения, которые широко используются в расчетной практике.

4. Показано, что наиболее часто используемые в инженерных расчетах модели Герца и Кильчевекого имеют крайне узкий диапазон применимости по скоростям соударения (для стали - скорости до 10 см/с).

5. Полученные решения позволяют проводить анализ основных характеристик соударения конкретных элементов конструкций в реальном масштабе времени, что имеет большое значение при использовании экспресс-методов определения надежности строительных конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кадомцева, Наталья Игоревна, 2000 год

1. Агамиров В.Л., Соломоненко A.A. Устойчивость конических систем при ударном нагружении. / З-д-ВТУЗ при московском автомобильном заводе. - М., 1987. - 12с. - Деп. в ВИНИТИ 19.02.87 г., № 1136-В87.

2. Агапов КЕ., Белогорцев A.M., Буренин A.A., Резунов A.B. Автомодельная задача об одномерном соударении двух полупространств из нелинейно-упругого материала. // ПМТФ.-1989.-№6. с. 146-150.

3. Агафонов A.B. Учет вязкости при дозвуковом внедрении твердого тела в изотропные преграды. //ПТМФ. -1986. № 3.- с. 120-125.

4. Алексапдрина ИМ. Поперечный удар груза о бесконечную балку./ Моск. авиац. ин-т. М.Д984.-13с. - Деп. в ВИНИТИ 6.07.84 г., №4814-В84.

5. Александров В.М., Кадомцев И.Г., Царюк Л.Б. Осесимметричные контактные задачи для упруго пластических тел. // Трение и износ. 1984. - с. 16-26.

6. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1989. - 174 с.

7. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем (приближенные методы). М.: Наука, 1978. - 352 с.

8. Багдаев А.Г., Ванцян A.A., Григорян М.С. Исследование особенности напряжений в анизотропной пластической среде при проникании конуса.// Изв. АН АРМ.ССР. Мех, 1989. - Т.42, № 4. - С. 52-57.

9. Багреев В.В. Упрутопластический удар массивных тел.// Труды МИИТ, 1964, вып. 193, с. 53-70

10. Багреев В. В. К расчету изгибающего удара по бесконечным балкам и плитам на упругом основании.// Изв. АН СССР. МТТ.- 1966. Т.4.- С. 185-188.

11. П.Баженов ВТ. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек,// Проблемы прочности. 1984. - № 11.-С. 51-54.

12. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Экспериментально-теоретическое исследование упругопластического выпучивания цилиндрических оболочек при осевом ударе.//Прикл. механика. 1983. - Т.19, № 6.- С. 63-69.

13. Баженов В.Г., Ломунов В.К., Шеронов Г.В. Контактное взаимодействие оболочек вращения с жесткими телами при больших деформациях.// Пробл. прочн. 1988. -№ 3. - С. 100-104.

14. Батуев П.С., Голубков Ю.В., Ефремов А.К., Федосов A.A. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Высш. школа, 1980. - 408 с.

15. Бивин Ю.К. Косой удар твердого тела о грунт или воду.// Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - № 6. - С. 185-189.

16. П.Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк., 1980. - 408 с.

17. Бирюков В.Я. Экспериментальное исследование динамических характеристик стальной плиты при поперечном ударе цилиндром.// Мат. исслед. -Кишинев, 1985.-№84.-С. 4-17.

18. Богомолов А.Н., Горельский В.А., Зелепугш С.А., Хорее И.Е. Поведение тел вращения при динамическом контакте с жесткой стенкой. // ПМТФ. 1986. - № 1.-С. 161-163.

19. Богомолов А.Н., Горельский В.А., Зелепугж С.А., Хорее И.Е. Исследование взаимодействия разноплотных тел при динамическом нагружении в условияхбольших пластических деформаций.// Мех. деформир. тв. тела. Томск: Из-во Том. ун-та, 1988. - С. 9-15.

20. Бородин Ф.М. Подобие в задачах контакта упругих тел.// Прикл. мат. и мех. -1983.-Т. 47.-С. 519-521.

21. Бригадиров Г.В. Удар стержня с присоединенной массой о пластину.//Мех. деформ. тв. тела. Тула, 1983. - С. 39-45.

22. Бригадиров Г.В., Костюков Ю.А. Удар составной цилиндрической оболочки о преграду. //Прикл. проблемы прочн. и пластичн. Методы решения з-ч упругости и пласт.: Всесоюзн. межвуз. сб./Горьк. ун-т. Горький, 1986. - С.95-100.

23. Буланцев Г.М., Корнеев А.Н., Николаев А.П. О рикошетировании при ударе./ Том. ун-т. Томск, 1983. -16 с. - Деп. в ВИНИТИ 1.12.83 г., № 6443-В83.

24. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ «астра»/ Ин-т проб л. мех. АН СССР. Препр. -1988. № 326. - С. 1-63.

25. Ваксман СМ., Курбацкий E.H. Определение контактной силы при интенсивном поперечном ударе по бесконечной балке. // Изв. ВНИИ гидротехн. 1986. - 191. - С. 107-111,118.

26. Вернигор В.Н. Исследование поперечного удара тела о балку на основе элементарной теории.// Прикл. мех. JI., 1977. - Вып. 3. - С. 103-109.

27. Вернигор В.Н. Приближенные модели балки при поперечном ударе // Прикл. мех. Л., 1977. - Вып.З. - С. 110-115.

28. Волкова Г.А., Садырип А.И. К методике решения задач соударения упругопластичкских тел // Прикл. пробл. прочн. и пластичн. 1981. - С. 14-19.

29. Виноградов В.Н, Сорокин Г.М., Алгабачиев А.Ю. Изнашивание при ударе. М.: Машиностроение, 1982. - 192 с.31 .Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек.-М. Наука, 1976, 512с.

30. Голъдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат, 1965. - 448 с.

31. Голъдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях.// Физика быстропротекающих процессов. -М.: Мир, 1971. Т. 2. - С. 151-203.

32. Гордиенко В.А. Ударное выпучивание упругих систем // Изв. АН СССР , МТТ. -1971. -№ 4. С. 109-115.

33. Горелъский В.А., Зелепугин CA., Платова Т.М., Хорее И.Е. Численное исследование задачи контактирования плоских тел с пластиной при несимметричном нагружении // Мех. деформируем, тв. тела. Томск, 1988. - С. 44-49.

34. Горельский H.A., Радченко A.B., Хорее И.Е. Кинетический механизм процесса пробивания двухслойных пластин // Изв. АН СССР,МТТ. 1988. - № 6. - С. 185-189.

35. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства // Прочн, пластин и оболочек при комбинир. воздействиях. М., 1987. - С. 16-25.

36. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Результирующие реакции в пространственной задаче об ударе твердым телом по упругому полупространству // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 5. - С. 95-98.

37. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства // М.: Изд-во МАИ 1989 -48 с.

38. Гриднева В.А., Шахмейстер Л.И. Исследование удара под углом методом "крупных частиц" //Вопр. мех. и прикл. мат. Томск, 1983. - С. 85-90.

39. Гулидов А.И., Фомин В.М., Яненко H.H. Численное моделирование проникания тел в упругопластическом приближении. // Пробл. мат. и мех. -Новосибирск, 1983.-С. 71-81.

40. Давиденков H.H. Динамические испытания металлов. Л., М.: Главн. ред. литры по черн. металлургии. -1934. - 394 с.

41. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. - 510 с.

42. Динамика удара / 3укасДж. А., Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук Л.В., Курран ДР. -М.: Мир, 1985. -296 с.

43. Динник А.Н Удар и сжатие упругих тел. К. : Киев. Политехи, ин-т, 1909,- С. 108

44. Епифанов В.П. Разрушение льда при ударных взаимодействиях // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 184, № 3. - С. 599-603.

45. Епифанов В.П. Некоторые результаты экспериментальных исследований механических свойств ледяного покрова. // Изв. АН СССР. МГТ. -1985. 1986. - № 2. - С. 182-191.

46. Епифанов В. П. Разрушение льда при контактных взаимодействиях. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 6. - С. 177-185.

47. Епифанов В.Н. Трещинообразование во льду при сжатии. // Ив. АН СССР. МТТ. -1988. № 4. - С. 181-188.

48. Жаворонков В. И. Продольный удар по искривленному стержню на упругой опоре. // Прикл. пробл. прочн. и пласт. Алгоритмизация и прогр. обеспечениез-ч прочности: Всесоюзн. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. Горький, 1986. - С. 122127.

49. ЗЗ.Жалнин В.А., Ивлев Д.Д., Мищенко B.C. О вдавливании кольцевого штампа в пластическое полупространство //ПМТФ. 1961. - № 6. - С. 153-154.

50. Запорожец В.В. К расчету изгибающего удара груза по пластине, лежащей на упругом основании / Днепропетр. инж. строит, ин-т. - Днепропетровск, 1986. - 20 с. - Деп. в Укр. НИИНТИ 25.09.86 г., № 2328-Ук87.

51. Запорожец В.В. К расчету изгибающего воздействия движущегося груза на пластину / Днепропетр. инж. строит, ин-т. - Днепропетровск, 1987. - 12 с. -Деп. в Укр. НИИНТИ 30.06.87 г., № 1780-Ук87.

52. Златим H.A., Кожушко A.A. Гидродинамические модельные представления в теории высокоскоростного взаимодействия твердых тел и границы их применимости // Ж. техн. физ. 1982. - Т. 52, № 2. - С. 330-334.

53. Златил H.A., Кожушко A.A., Рыкова И.И. Экспериментальная оценка границ применимости гидродинамической модели к процессу соударения твердых тел // Физ. горения и взрыва. -1989. Т. 25, № 4. - С. 141-142.

54. Ивлев Д.Д., Непершж Р.И. Внедрение гладкого сферического штампа в жестко-пластическое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 4. -С. 159-166.

55. Игнатов H.A. Динамични критерии за екоростта на удар // Изв. ВМЕИ Ленин. -София, 1985. Т.40, № 1. - С. 37-48.

56. Ильина Г.В. Математическое моделирование процессов деформирования твердых тел при динамических воздействиях // Куйбышев, авиац. ин-т. -Куйбышев, 1987. 26с. - Деп. в ВИНИТИ 9.12.87 г., № 8617-В87.

57. Исламов М.И., Керимов К.А., Мамедов P.A. Движение гибкой нити под действием импульсивной нагрузки // Теория распр. волн в упруг, и упругопласт. средах. Новосибирск, 1987. - С. 123.

58. Ичишина Д.И., Чечелъницкая Е.Ф., Стоименов Л.Г. О влиянии поверхностных волн, вызванных ударом, на коэффициент восстановления // Теор. и прикл. мех. , V национ. конгр., Варна, 23-29 сент., 1985. Докл. Кн. 3. София, 1985. -С. 60-65.

59. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бринеля // ПММ. -1944. Т. 8, Вып. 8. - С. 201-222.

60. Кадомцев ИГ. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое. // Изв. СКНЦ ВШ 1990, №4, с.50-54.

61. Кадомцева Н.И. Упруго пластический удар конического индентора по цилиндрической панели.// Легкие строительные конструкции.-Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит. ун.-т,-с. 99-106.

62. Кадомцева Н.И. Исследование влияния волновых процессов на динамическую контактную силу при продольном упрутошгастическом ударе по стержню. // Материалы международной научно-практ. конф. "Строительство-99", Ростов-на-Дону, 1999. С. 52.

63. Кадомцева Н.И. Соударение упругопластичееких тел в случае их плотного касания. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -1999.-№3.-С.119-120.

64. Кадомцев И.Г., Ковальчук В.Е.,Царюк Л.Б Теория С.П. Тимошенко при пластическом местном смятии.// Труды ХП Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Ереван, 1980. с. 191-197.

65. Кадомцев ИТ., Царюк Л.Б. Соударение жесткопластических тел вращения // Расч. оболочек и пласт. Рост. н/Д, 1978. - С. 189-194.

66. Кангур Х.Ф., Клейс И.Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления скорости при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. -1988.-№5э -С. 182-185.

67. Каримов ИМ. Аналитическое решение задачи о проникании ударника в полупространство // Физ.-техн. пробл. разраб. полезных ископаемыых. 1983. -№ 1. -С. 59-63.

68. Кильчевсшш H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. -315 с.

69. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Из-е иностр. лит., 1955. -192 с.

70. Кондауров В.И., Петров В.И. Численное исследование процесса внедрения жесткого цилиндра в упругопластическую преграду // Числ. методы в мех. деф. тв. тела. М., 1984. - С. 115-132.

71. Кондауров В.И., Петров В.И., Холодов A.C. Численное моденлирование процессов внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // ПМТФ. -1984. -№ 4. С. 132-139.

72. Корн Г.,Корн Т .Справочник по математике для научных работников и инженеров,- М: Наука,1984, 832с.

73. Корнеев А.И., Николаев А.П. Расчет параметров рикошета при ударе упругопластического шарика под углом к плоской преграде // Том. ун-т. -Томск,1989. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.89 г., № 1151- В89.

74. Корнеев А.М„ Шуталев В.Б. Численное исследование трехмерного напряженного состояния стержня при ударе торцом и боковой поверхностью // Анал. и числ. метод решения краев, з-ч пласт, и вязкоупругости. Свердловск, 1986. - С. 77-82.

75. Костюков Ю.А., Нечаев JIM., Чекунов В.Н. Усилия при ударе стержня о пластину // Работы по мех. деформ. тв. тела. Тула, 1981. - С. 158-161.

76. Кравченко НМ. О механизме отскока шарика от плоской поверхности // Аэрофиз. и геокосм, исслед. М., 1982. - С. 86-88.

77. Крысько В.А., Варыгин А.М, Лапшин A.B. Динамика гибких ортотропных облочек при продольном ударе грузом // Изв. вузов. Стр-во и архит. 1987. № 9.-С. 39-43.

78. Кубепко В.Д., Гавршенко В.В. Осесимметричная задача проникания тонких упругих сферических оболочек в сжимаемую жидкость // Прикл. мех. 1988. -Т.24, № 4. - С. 63-74.

79. Кубенко В.Д., Попов С.Н. Плоская задача удара жесткого затупленного тела о поверхность упругого полупространства // Прикл. мех. 1988. - Т. 24, № 7. - С. 69-77.

80. Курдюмов В.А., Хейсин Д.Е. Гидродинамическая модель удара твердого тела о лед // Прикл. мех. 1976. - Т. 12, № 10. - С. 103-109.

81. Ланков A.A. Проблема подобия при деформировании упругопластических сред сферой. Удар // Калинин, политехи, ин-т. Калинин, 1987. - 175 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.87, №> 4948-В87.

82. Лапшин A.B. Исследование напряженно-деформируемого состояния подкрепленных стингерами цилиндрических панелей при продольном ударе грузом // Сарат. политехи, ин-т. Саратов, 1987. - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.09.87 г., № 6332-В87.

83. Ле Хань Чау О соударении пьезокерамических стержней // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 3. - С. 182-184.

84. Луговой П.З., Мейш В.Ф. Об использовании асимптотического метода для решения задач динамики оболочек // Прикл. механика. 1987. - 23, № 2. - С. 38-44.

85. Лурье A.M. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 431 с.100Лурье A.M. Теория упругости. -М: Наука, ! 970. 940 с.101 .Лурье A.M. Пространственная задача теории упругости. -М: ГИТЛ, 1955,-491с.

86. Малама ЮТ. Численное моделирование всокоскоростного удара по полубесконечной мишени // Изв. АН СССР. Мех. жидкостей и газа. - 1982. -№2.-С. 119-125.

87. Меньшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 1. - С. 125-130.

88. Мшейко С. Т., Саркисян O.A. Феноменологическая модель пробивания // ПМТФ. -1981. № 5. - С. 140-142.

89. ЮЯ.Найда A.A. Оценка параметров разрушающих импульсных нагрузок для прямоугольных и круглых пластин // Приют, механика. 1982. - 18, № 1. - С. 86-92.

90. Панов В.В. Удар сосредоточенной массы по тонкостенному стержню моносимметричного профиля // Изв. вузов. Стр-во и архит. 1989. - № 11. - С 45-50.

91. Пацюк В.И., Рыбаков Г.А., Сабодаж П.Ф. Волновые процессы в цилиндрической оболочке при неосесимметричном продольном ударе // Прикл. механика 1985. - Т. 21, № 1. - С. 35-42.

92. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.

93. Римский В.К. Удар цилиндрического или прямоугольного индентора по термоупругопластической плите с полостями // Изв. АН СССР. МГТ. 1987. -№3.-С. 111-117.

94. Родионов А.И. О системе уравнений, описывающих удар твердого тела по упругому полупространству // Динамика мех. систем. Новосибирск, 1981. - С. 159-175.

95. Романова С.В., Сагомонян А.Я. Взаимодействие твердого тела с деформируемой преградой при наклонном соударении // Вестн. Моск. ун-та. -Сер. 1 Матем. Мех. -1989. № 6. - С. 38-42.

96. Poccuxuh Ю.А. Удар жесткого штампа по упругому полупространству // Прикл. мех. К., 1986. - Т. 22, № 5. - с. 15-21.

97. Рыжов Э.В., Колесников Ю.В., Суслов А.Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. Киев: Наук, думка, 1982. - 172 с.

98. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М.: Изд-во МГУ, 1988. -221с.

99. Сагомонян А.Я. Удар жесткопластическим усеченным конусом по абсолютно твердой поверхности // Вест. МГУ. Матем., Мех. 1988. - № 4. - С. 37-45.

100. Сепицкий Ю.Э., Панов B.B. Определение ударного импульса при падении тонкостенной трубы на недеформируемую преграду. // Расчет пространств, строит, конструкций. Куйбышев, 1987. - С. 44-50.

101. Смелянский В.А. Методика и экспериментальное исследование контактного удара //Изв. АН СССР. МТТ 1988. - № 3. - С. 175-178.

102. Степанов Г.В., Коваленко A.B. Неупругий прогиб круглой пластины локальным импульсным давлением // Пробл. прочн., 1988. № 4. - С. 29-31.

103. Степанов Г.В., Харченко В.В., Гурский В.В., Улъченко AM. Локальная деформация в тонких стальных пластинах при пробое // Пробл. прочн. 1988. -№10.-С. 69-73.

104. Сугак СТ., Капель Г.И., Фортов В.Е. Расчеты разрушений при внедрении ударника в конечную преграду // Пробл. прочн. 1987. - № 4. - С. 64-68.

105. ИО.Тарлаковский Д.В. Вертикальный удар абсолютно твердой сферы с заполнителем по упругому полупространству // Расчет на прочн. и оптим. проектир. элементов авиац. конструкций М., 1988. - С. 41-46.

106. Утенбаев М.Н. Численное решение нестационарной задачи о штампе на упругом полупространстве методом "распада разрыва" // Ред. ж. "Вестн. АН КазССР". Алма-Ата, 1986. -10 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.08.86 г., № 5788-В86.

107. Федоров М.В. К расчету гибких упругопластических круглых пластинок под действием динамических нагрузок // Сарат. полигехн. ин-т. Саратов, 1988. -33 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.02.88 г., № 1283-В88.

108. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.-736 с. 1

109. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - 215 с.

110. Хейсин Д. Е., Лшоманов В. А. Экспериментальное определение удельной энергии механического дробления льда при ударе // Пробл. Арктики и Антарктики 1973. - Вып. 41. - С. 55-61.

111. Храпатый Н.Г., Березовский A.A. Внедрение твердого тела в лед // Труды Аркт. и Антаркг. НИИ. 1984. - Т. 386. - С. 55-62

112. Храпатый Н.Г., Березовский A.A. Об ударе со средними скоростями // Гидротехн. сооружения Владивосток, 1985. - С. 56-60.

113. ЫО.Храпатый И.Г., Цуприк В.Г. К вопросу расчета бесконечных плит на упругом основании на удар с учетом контактных явлений // Гидротехника и гидравлика. Владивосток: Из-е Дальневост. ун-та,1976,- Вып. 1. - С. 41-54.

114. Царюк Л.Б. О вдавливании выпуклого осесимметричного штампа в жестко-пластическое полупространство. Изв. СКНЦ ВШ. - Ростов-на-Дону, 1973. - № 4. - С. 89-92.

115. Чубаренко В.В. Численное решение динамических задач теории упругости при воздействиях, описываемых во времени дельта-функцией Дирака // Соврем, вопр. мех. сплошн. среды в геосейсм. исслед. М., 1987. - С. 100-104.

116. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // В кн.: Механика. -1957. № 1. - С. 102-122.

117. Шитиков A.B., Еремеев А.Л., Одинокое В.И. Динамическая задача пробивки сферической оболочки абсолютно жестким цилиндром // Задачи мех. тв. тела и прогресс, процессы обработки металла давлением. Свердловск, 1987. - С. 6170.

118. Штаерман И.Я. Контактная задача теориии упругости. М-Л: ГИТЛ, 1949 -270с.

119. Ястребов В.П. Автомодельные задачи динамического осесимметричного изгиба нелинейно-упругих пластин //ПМТФ. 1989. - № 5. - С. 128-135.

120. Asano Naoki An extended penalty function type of virtual work principle for impact contact of two bodies // Томагава дайгаку когакубу киё, Mem. Fac. Eng. Tamagawa Univ. -1987. № 22. - P. 7-19.

121. Chorion Seiji, Nozawa Noatake. Dynamic coefficient of an infinitely long thick strip plate subjected to an impulsive load 11 Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1986. - C64, № 476. - P. 1203-1210.

122. Daimaruya Masahi, Naitoh Masachika, Onozaki Shigeru. Dynamic behaviors of a finite length bar with a variable cross section colliding with a rigid wall // Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1987. - A53, № 496. - P. 2324-2330.

123. Dombrowski H. Der Biegestob auf eine dune Platte bei elastoplatischer Kontaktwechselwirkung. Eine vereinfachte Theorie und ihre experimentelle Überprüfung // Fortschr. Ber. VDIZ. 1982. - Reihe 1, № 89.

124. Downey H.A., Bogy D.B. The normal impact on an elastic rod-mass system // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1987. - V. 54, №2 - P. 359-366.

125. Doyle James T. Determining the contact force during the transverse impact of plates // Exp. Mech. 1987. - V. 27, № 1. - P. 68-72.

126. Duffey T.A., Cheresh M.C., Sutherland S.H. Experimental verification of scaling laws for punch-impact-loaded structures // Int. J. Impact Eng. 1984. - V. 2, №1. - P. 103-117.

127. El- Raheb M., Wagner P. Wave propagation in a plate after impact by a projectile // J. Acoust. Soc. Amer. 1987,- V. 82, №2. - P. 498-505.

128. Erlih David C. Rod impact ( Taylor) test // Metals Handb. Vol. 8. Metals Park, Ohio, 1985. - P. 203-207.

129. Frischbier Jorg. Uber das Kontaktverhalten beim Biegeatob einer Kugel auf eine Rippenplatte // Fortschr. Ber. VDIZ. 1984. - Reihe 1, № 114. - 76 S.

130. Frischbier Jorg. Theorie der Stossbelatung Ortotroper Platten und Ihre Experimentelle Überprüfung am Beispiel Einer Unidirectional Verstärkten CFKVerbundplatte // Vitt. Inst. Mech. Ruhr-Univ. Bochum. -1987. № 51. - S. 1-181.

131. Garsia M.B., Narreil D., Mellor M. Ice penetration tests // Cold Reg. Sei. and Technol. -1985. V. 1L - № 3. - P. 223-236.

132. Grover A.S., Kapur A.D. Shock response effectiveness of undamped three-layer plates // Strojn. cas. 1986. - V. 37, № 4. - P. 493-504.

133. Hardy C., Baronet C.N., Tordion G.V. The elastic-plastic indentation of a halfspace by a rigid sphere // Int. J. for Numerical Methods in Ehg. 1971. - № 3. - P. 451-462.

134. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elatischer Körper // J. fur die reine und ang. Math. 1882. - B.92. - S. 156-171.

135. Hojo Akihiro, Chatani Akiyosi, Uemura Fumito. An estimation of impact force by convolution integral // Hhxoh KHKaH raKKaM pOMÖyHCK). A, Trans. Jap. oc. Mech. Eng. A. 1989. - V. 55, № 511. - P. 477-582.

136. Holian Kathleen S., Holian Brad Lee. Hydrodynamic simulations of hypervelocity impacts I I Int. J. Impact Eng. -1989. V. 8, № 2. - P. 115-132.

137. Holsapple Keith A. The scaling of impact phenomena I I Int. J. Impact Eng. 1987. -V. 5,№1-4.-P. 343-355.

138. Hutchings I.M., O'Brien T.J. Normal impact of metal projectiles against a rigid target at low velocities // Int. J. Mech. Sci. -1981. V. 23, №5.-P. 187-192.

139. Hutchings I.M., Macmillan N.H., Rickerby D.G. Furthers studies of the oblique impact of a hard sphere against a ductile solid I I Int. J. Mech. Sci. 1981. - V. 23, № 11.-P. 639-646.

140. Inoue H, Shibuja H, Koizumi T., Fukuchi J. Measurement of impact force applied to a plate by the deconvolution method // XnxaicaH K3Hca, Journal NDI. 1988. -V. 37,№2.-P. 188-189.

141. Jeng S.T., Goldsmith W., Kelly J.M. Effect of target bending in normal impact of a flat-ended cylindrical projectile near the ballistic limit // Int. J. Solids and struct. -1988. V. 24, № 12. - P. 1243-1266.

142. Jingu Toshio, Matsumoto Hiroyuki, Nezu Kikuo. The study of mechanical similarity in longitudinal impact problems // Bull. JBME. 1988. - V. 29, № 256. - P. 499502.

143. Jones S.E., Gilis Peter P. On the equation of motion of the unreformed section of a Taylor impact specimen // J. Appl. Phys. 1987. - V. 81, № 2. - P. 499-502.

144. Karas K. Platten unter seitlichem Stob // Ing. Arch. -1939,- № 10. S. 237-250.

145. Kennedy John B., Juengar K.J. Rigid-plastic analysis of floating ice sheets under impact loads // Can. J. Civ. Eng. -1981. V. 8, № 4. - P. 409-413.

146. Kitamura Shigeru, Aoki Genya. The stress propagation in cylindrical bars due to compressive impact // CaiwnaKy ra^eKiuy ramao/pe x0K0Ky, Pap. Ship Res. Inst. -1986.-V. 23, №3,-P. 185-196.

147. KollerM.G. Elastic impact of spheres on sandwich plates // ZAMP. 1986. - B. 37, №2.-P. 256-269.

148. KollerM.G., Kolsky H. Waves produced by the elastic impact of spheres on thick plates // Int. J. Solids and struct. 1987. - V. 23, № 10. - P. 1387-1400.

149. Lain M. Jean-Pierre. Choc de deux structurée elastiques // Mec., Mater, elec.1982. № 389-391. - P. 360-364.

150. Lee Y, Hamilton J.F., Sullivan J.W. The lumped parameter method for elastic impact problems // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1983. - V. 50, № 4a. - P. 823-827.

151. Liss Joshua, Goldsmith Werner. Plate perforation phenomena due to normal impact by blunt cylinder // Int. J. Impact Eng. 1984, - V. 2, № 1. - P. 37-64.

152. Mahrenholtz ()., Nath Y., Varma K.K. Nonlinear dynamic response of doubly curved shallow shells on nonlinear elastic subgrade // ZAMM. 1987. - B.67, № 4. -P. 216-220.

153. Mansour A., Seireg A. A computer-based simulation of ice-breaking by impact // Trans. ASME: Energy Resour. Technol. 1983. - V. 105, № 4. - P. 446-453.

154. Mittal R.K. A simplified analysis of the effects of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading // Int. J. Solids and struct. 1987. - V. 23, № 8. - P. 1191-1203.

155. Muller E. Nouvelles experiences sur choc de deux lilies // Bull. Union, phys.1983. V. 77, № 652. - P. 673-694.

156. Munteanu M. Metoda de calcul aproximativ a deformatilor si tensiunilor intr-o plaça sub actiunea unei ciocniri transversale // Bul. Inst. Politehn. Bucuresti. Ser. mec. 1987.-V. 49.-P. 59-70.

157. Mustoe G.G. Penetration and fracturing of brittle plates under dynamic impact // Int. Conf. Numer. Meth. Eng.: Theory and Appl., Swansea, 6-10 July, 1987: NUMETA'87. Vol. 2. - Dordrecht etc., 1987. - T54/1 - T54/9.

158. Nojima Taketoshi. Strain rate dependence of lower yield stress for plain carbon steels at high strain rates // ^aMpë, J. Soc. Mater. Sei., Jap. 1986. - V. 35, № 397. -P. 1118-1124.

159. Nurick G.N., Martin J.B. Deformation of thin plates subjected to impulsive loading. A Review. Part II. // Int. J. Impact Eng. 1989. - V. 8, № 2. - P. 171-186.

160. ChioshiTadashi. Easy calculation for the response of an elastic plate to transverse impact // Hhxoh KHKaîi raiacaH poMÔyHcio. A., Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1989. -V. 55, №511.-P. 483-488.

161. Perez E. Etude experimentale et theorique de la penetration de cibles métalliques semi-infinies par des projectiles métalliques de grand allongement et de vitesse ssuper-sure a 2000 m/s // Sei. et techn. armement. 1982. - V. 56. - № 1. - P. 1M55.

162. Pielors Amalia. Longitudinal collision of mechanical systems consisting of rods and rigid bodies. // Arch. bud. masz. 1986. - V. 33, № 3. - P. 249-283.

163. Plan Helmut, Larek E., Geick N. Zur stobbelastung von Bemoullibalken und isotropen Rechteckplatten von Differenzmethoden il Schiffbauforschung. 1987. - B. 26, №2.-S. 98-104.

164. Reed J. Energy losses due to elastic wave propagation during an elastic impact // J. Phys. D: Appl. Phys. 1985. - V. 18, № 12. - P. 2329-2337.

165. Rosenberg Z., Mayseless M, Partom Y. The use of managing transducers in impulsively loaded long rod experiments // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1984. - V. 51, № l.-P. 202-204.

166. Schonberg William P. A correlative study between analysis and experiment on the low velocity impact of finite beams // Int. J. Eng. Sei. 1989. - V. 27, № 2. - P. 187192.

167. Schonberg William P. Predicting the low velocity impact of finite beams in cases of large area contact // Int. J. Impact Eng. 1989. - V. 8, № 2. - P. 87-97.

168. Schonberg W. P., Keer L.M., Woo T.K. Low velocity impact of transversely isotropic beams and plates // Int. J. Solids and struct. 1987. - V. 23, № 7. - P. 871-896.

169. Schonberg William P., Taylor Roy A. Analisis of oblique hypervelocity impact phenomena // AIAA/ASME/ASCE/AHS 29th Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Williamsburg, Va, Apr. 18-20,1988. P. 1252-1261.

170. Schwieger H. Vereinfachte Theorie des elastischen Biegestobes auf eine dünne Plate und ihre experimentelle Überprüfung // Forsch. Ing. Wes. - 1975. - № 41. - S. 122-132.

171. Sears J.E. On longitudinal impact of metal rods with rouded ends // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1912. - V. 21, № 2. - P. 49.

172. Sodhi DevinderB. Dynamic buckling of floating ice sheets // YTT. Symp. 1983. -№28. P. 822-833.

173. Sodhi D.S., Morris C.E. Impact ice force and pressure: an experimental study with urea ice // Proc. 1st. Int. Offshore Mech. and Arct. Eng. (OMAE) Symp., Tokio, Apr. 13-18,1986. Vol. 4. - New York, 1986. - P. 569-576.

174. Streubel Reinhard. The transverse impact on orthogonally stiffened plates, a simplified theory verified by optical methods // Proc. Int. Conf. Exp. Mech., Beijing, Oct. 7-10, 1985. Beijing, 1985. - P. 485-490.

175. Streubel Reinhard. Zur Stobbelastimng anisotroper Bauteile // Ing. Arch. - 1986. -B.56, № 3. - S. 181-191.

176. Sun C.T., Chattopadhysy S. Dynamic response of anisotropic laminated plates under initial stress to impact of a mass // J. Appl. Mech. 1975. - №42. - P. 693-698.

177. Tait R.J., Haddow J.B. Finite compression of a foam rubber support system subjected to impact loading // ZAMM. 1987. - B. 67, № 3. - S. 202-204.

178. Tatara Yoichi. Behavior of solf spheres during impact by high-speedphotography // Trans. ASME: J. Eng. Mater, and Techonol. 1983. - V. 105, № 1. - P. 63-73.

179. WengXiaowel, Yew Ching H. Hypervelocity impact of two spheres // Int. J. Impact Eng. 1989. - V. 8, № 3. - P. 229-240.

180. Whittaker William L, Christiano Paul. Dynamic response of plate on elastic helfspace // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1982. - V. 108, № 1. - P. 133-154.

181. Woodward Raymond L. Penetration of semi-infinite metal targets by deforming projectiles // Int. J. Mech. Sei. 1982. - V. 24, № 2. - P. 73-87.

182. Wridht T.W. A survey of penetration mechanics for long rods // Lect. Notes Eng. -1983.-№3.-P. 85-106.

183. Yamamoto Hirosaki, Komatsu Yoshihiro. Shock absorbing evaluation of cushioning materials stretched in the space // Кобэ дайгаку ногакубу кэнкю хококу, Sei. Repts Fac. Agr. Kobe Univ. !984. - V. 16, № 1. - P. 85-106.

184. Zhang Tao, Wang Duo. Study of impact on elastic plates with low velosity // Харбин гун'е дасюэ сюэбао, J. Harbin Inst. Thechnol. 1989. - № 2. - P. 18-24.