Несимплектические обобщения и вариационные принципы гамильтоновой механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ушаков, Александр Сергеевич

• Ушаков, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ушаков, Александр Сергеевич

Введение

1 Вариационные принципы в гамильтоновой механике

1.1 Вариационные принципы.

1.2 Проблема ковариантной формулировки вариационного принципа.

1.3 Случай «неправильных» граничных условий.

1.4 Вариационные принципы и квантовая механика.

1.5 Проблема граничных условий

2 Инвариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике

2.1 Нетривиальные фазовые пространства.

2.2 Случай точной симплектической формы

2.3 Инвариантный вариационный принцип

2.4 Примеры и обсуждения.

3 Несимплектические обобщения гамильтоновой механики

3.1 Гамильтопова механика и «нелагранжевы» системы

3.2 Особенности обобщенной гамильтоновой механики

3.3 Модели.

3.4 Обсуждение.

4 Многообразия Федосова и магнитный монополь

4.1 Многообразия Федосова

4.2 Магнитный монополь.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Несимплектические обобщения и вариационные принципы гамильтоновой механики»

1. Постановка проблемы и её актуальность. Диссертация посвящена изучению основ гамильтоновой механики и ее обобщений. Гамильтонова механика сыграла важнейшую роль при построении квантовой механики, но важно еще и то, что она допускает нетривиальные обобщения. В частности, в диссертации найдено обобщение гамильтоновой механики, позволяющее включить в формализм так называемые "пелагранжевы" системы, долгое время остававшиеся за рамками возможностей стандартной механики. Еще в 1896 году Пуанкаре изучал подобные уравнения - это уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя [1]. Данное направление исследований актуально, поскольку развитие физики привело к необходимости выявления наиболее общих законов механики, что важно для изучения физики на планковских расстояниях [2, 3, 4, 5]. О фундаментальном характере гамильтоновой механики, ее важности в поиске наиболее общих законов природы свидетельствует и тот факт, что именно с модификацией механики связаны попытки решения проблемы темной материи. Довольно давно было предложено обобщить второй закон Ньютона для малых ускорений (а <С Ю-8 см/с2), известный как MOND (modified Newtonian dynamics) [6, 7, 8]. Несмотря на нерелятивистскую формулировку, модель объясняет некоторые нетривиальные особенности излучения галактик [9]. Имеется обобщение, связанное с релятивизацией MOND (теория TeVeS [9, 10]).

При аксиоматическом формулировании гамильтоновой механики необходимо знание теории симплектических многообразий. Тот факт, что содержательная геометрия может базироваться и на антисимметричном тензоре, был осознан только в середине XX в [11, 12, 13]. Пространства, которые помимо 2-формы оснащены связностью, называются пространствами Федосова [14, 15]. Они играют особую роль при деформационном и геометрическом квантовании [16, 17, 18, 19].

Оказывается, что даже отказ от симплектичности многообразия (фазового пространства) ведет к физически содержательным теориям. Например, это позволяет описать диссипативные системы в рамках общей идеологии гамильтоновой механики [20, 21, 22]. Применительно к гравитационному полю это ведет к появлению космологического члена А, что открывает новые возможности в решении проблемы темной энергии [2, 23]. Обращение к физике на планковских расстояниях проясняет природу амплитуд вероятности (квантовая механика) [2]. В диссертации рассмотрены и другие несимплектические обобщения гамильтоновой механики.

Различные варианты гамильтоновой механики могут получаться друг из друга с помощью деформации скобок Пуассона, т.е. модификацией симплектической формы. Вопрос изучен достаточно плохо, поэтому приходится рассматривать лишь простейшие примеры. В работе [24] на примере двух гармонических осцилляторов был рассмотрен случай собственных модификаций гамильтоновой механики, т.е. модификаций с различными симплектическими структурами и гамильтонианами, но с неизменными уравнениями движения. Наиболее известные примеры - несобственные деформации, такие, как переход к д-осцилляторам [25] (в [26] имеются и другие примеры подобных деформаций).

Поэтому не удивителен тот факт, что вариационный принцип в гамильтоновой механике также подвергся пересмотру. Стандартный вариационный принцип не удовлетворителен с геометрической точки зрения, так как не обладает свойством ковариантности. Изначально геометрическая (ковариантная) формулировка гамильтоновой механики предполагает существование инвариантного действия с заданной симплектической матрицей. В литературе не описан общий случай вариационного принципа для нетривиальной симплектической формы (проблема ковариантной формулировки обсуждается в [24, 27], но при этом игнорируется проблема граничных условий; см. также [21], где в качестве фазового пространства берётся кэлерово многообразие). Между тем данная проблема достаточно важна. Например, системы с гироскопическими силами не могут быть описаны обычным способом как гамильтоновы системы с точными симплектическими формами (т.е. глобально не существует 1-форма 7 такая, что симплектическая форма ш = <¿7). Проблему можно решить переходом к некоторой нетривиальной симплектической структуре [28, 29].

До сих пор свойства этих обобщений и их взаимные связи были очень плохо изучены. Некоторые из перечисленных проблем решены в диссертации. Найдено несколько несимплектических обобщений гамильтоновой механики [30], которые включают в рассмотрение такие системы, как заряженная частица в поле магнитного монополя, движение твердого тела в идеальной, несжимаемой, покоящейся на бесконечности жидкости (уравнение Кирхгофа) и др. Уравнение заряженной частицы в поле магнитного монополя было получено несколькими способами: за счет выбора 2-формы и за счет модификации фазового пространства с введением в теорию нефизических переменных, т.е. в теорию со связями.

Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из симплектической формы в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения) [30]. Иногда при таком переносе может получиться весьма необычная механика (с несохраняющейся энергией!), хотя в исходной теории энергия сохраняется. Как выяснилось, возможны модификации 2-формы с неизменным гамильтонианом, которые оставят уравнения движения также неизменными.

Построено обобщение пространств Федосова на случай не замкнутых 2-форм (несимплектические многообразия) [31]. С помощью построенной конструкции изучено фазовое пространство системы "заряженная частица в поле магнитного монополя".

Сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа [32, 33]. Решена проблема граничных условий. Отмечена разница между вариационными принципами в лагранжевом и гамильтоновом формализмах. Построен вариационный принцип в случае неточных симплектических форм (нетривиальные фазовые пространства) [34].

В диссертации не затрагиваются обобщения, связанные с механикой Остроградского (теории с высшими производными) [35], механикой Намбу (теории с несколькими гамильтонианами) [36], теориями не на многообразиях [37].

2. Основной целью работы является изучение различных обобщений гамильтоновой механики: исследование свойств различных деформаций скобок Пуассона; нахождение новых обобщений, которые позволяют включать в рассмотрение так называемые "нелагранжевы" системы; построение обобщенной конструкции Федосова на случай несимплектических многообразий; изучение системы "заряженная частица в поле магнитного монополя" (включая обобщение конструкции

Федосова); решение проблемы формулирования ковариантного вариационного принципа; построение вариационного принципа в случае неточных симплектических форм.

3. Научная новизна. В диссертации впервые решены проблема ковариантного формулирования вариационного принципа и проблема граничных условий в гамильтоновой механике [32, 33]. Их решение полностью согласуется с квантовой механикой. Отмечается принципиальное различие между вариационными принципами в лагранжевой и гамильтоновой механиках. Сформулированы четыре варианта ковариантного вариационного принципа, в том числе с использованием комплексных канонических переменных [32, 33].

В диссертации впервые построен инвариантный вариационный принцип в общем случае, т.е. с включением неточной симплектической формы (нетривиальное фазовое пространство) [34]. С геометрической точки зрения действие задается на двумерной поверхности в "сверхрасширенном" фазовом пространстве (фазовое пространство дополняется двумя координатами: ось времени и ось "энергии"). Построено инвариантное действие без использования внешних дифференциальных форм в явном виде [34].

Далее найдено несимплектическое обобщение гамильтоновой механики, которое позволяет включить в рассмотрение "нелагранжевы" системы [30]. Некоторые "нелагранжевы" уравнения получены в рамках гамильтоновой механики со связями (модификация фазового пространства) и стандартной симплектической структурой. При этом существует две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй отличен от нуля.

Рассмотрены ыростейшие случаи переноса информации из симплектической структуры в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения). В одном из примеров получена весьма необычная механика (с несохраняющсйся энергией), но с неизменными уравнениями движения (в исходной теории энергия сохраняется) [30]. Собственные модификации гамильтоновой механики, т.е. дающие одни и те же уравнения движения, ранее были рассмотрены в работе [24] на примере двух осцилляторов.

Строится обобщение многообразия Федосова на случай незамкнутых 2-форм (несимплектические многообразия) [31]. С помощью построенной конструкции изучается структура фазового пространства системы "заряженная частица в поле магнитного монополя".

4. Практическая значимость работы. Поскольку диссертация касается основ физики, фундаментальных законов движения, то ее практическая значимость представляется очевидной. Результаты, касающиеся ковариантного вариационного принципа в гамильтоновой механике, позволяют избежать недоразумений и возможных ошибок при рассмотрении вариационных задач механики в целом [32, 33].

Полностью инвариантная формулировка вариационного принципа в гамильтоновой механике может применяться для всех симплектических гамильтоновых систем (что было ранее невозможно) [34]. Эта формулировка вариационного принципа справедлива даже в случае неточных симплектических форм (на языке алгебраической топологии это означает, что симплектическая форма реализует ненулевой класс двумерных когомологий де Рама [38]). Таким образом, данный принцип может оказаться полезным и в теории динамических систем [39, 40, 41], и в симплектической топологии [42]. Например, фазовое пространство систем типа Кирхгофа после редукции имеет структуру кокасательного расслоения сферы [29], т.е. структуру пространства с нетривиальной топологией. К системам типа Кирхгофа относятся уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой в осесимметричном силовом поле, уравнение Леггетта для магнитного момента в низкотемпературных фазах 3Не (ядерный магнитный резонанс) и др. [29]. Помимо систем Кирхгофа, фазовое пространство с нетривиальной топологией может появиться в калибровочных теориях, например, уже в простейших случаях фазовое пространство имеет структуру конуса [26, 43].

Можно надеяться на прогресс в понимании собственных и несобственных модификаций гамильтоновых механических систем с учетом полученных в работе [30] моделей. Построенные обобщения гамильтоновой механики [30] позволяют изучать различные "нелагранжевы" системы, долгое время остававшиеся за рамками общей теории. Кроме того, некоторые системы со связями могут быть сведены к "нелагранжевым" системам [30], что имеет существенное значение в калибровочных теориях [26, 44].

С помощью построенной обобщенной конструкции Федосова становится возможным квантование "нелагранжевых" систем в рамках деформационного квантования [45]. •

5. Краткое содержание диссертации. Предметом первой главы является ковариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике. Выясняется, что в гамильтоновой механике к вариационному принципу следует относится с учетом её специфики. Во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения: если <?(£),— решения уравнений движения, то действие будет минимально на решениях уравнений движения. Во-вторых, как к средству для получения уравнений движения. В лагранжевой механике эти два аспекта эквивалентны. В гамильтоновой механике первое условие остается неизменным, а второе требует выполнения дополнительных условий, т.к. сталкивается с проблемой граничных условий, а именно, требуется зафиксировать в два раза больше числа возможных независимых граничных условий. Более детальный анализ был получен с помощью квантовой механики; в результате сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа.

В Главе 2 строится инвариантный вариационный принцип, который справедлив глобально даже в случае неточных симплектических форм (фазовое пространство с нетривиальной топологией). Действие рассматривается в расширенном фазовом пространстве с добавленной к нему осью "энергии". Данный вариационный принцип сильно отличается от стандартного тем, что варьируется некоторая двумерная поверхность в "сверхрасширенном" фазовом пространстве, а уравнения получаются для границ поверхности. Далее строится функционал действия, явно не использующий внешние формы ("полностью динамическая версия"). В качестве примера рассмотрены некоторые механические системы с нетривиальной топологией.

Глава 3 посвящена различным несимплектическим обобщениям гамильтоновой механики. Сформулированы главные особенности несимплектической гамильтоновой механики: невыполнение тождества Якоби; неприменимость теоремы Дарбу; гамильтонов фазовый поток не сохраняет инвариантов Пуанкаре, кроме фазового объема (теорема Лиувилля); для таких теорий неизвестен вариационный принцип. Далее рассмотрен ряд простейших примеров нестандартных гамильтоновых механик: магнитный монополь, твердое тело с закрепленной точкой, твердое тело в идеальной, покоящейся на бесконечности жидкости (уравнения Кирхгофа), теория на алгебраическом многообразии и др.

Выявлено, что модификация гамильтоновой механики за счет выбора 2-формы (которая позволяет получить "нелагранжевы" уравнения движения) в некоторых случаях может быть рассмотрена в рамках стандартной гамильтоновой механики, но с модифицированным фазовым пространством, а именно, с введением в теории нефизических переменных, т.е. в теорию со связями. При этом существует две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй не равен пулю.

Показано, что модификация 2-формы допускает теорию с неограниченным снизу, явно зависящим от времени гамильтонианом. Соответствующая теория включает в себя такие уравнения, как уравнения Эйлера и Кирхгофа.

Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из симплектической структуры в гамильтониан и наоборот (собственные модификации гамильтоновой механики). В одном из таких переносов была получена весьма необычная механика - с несохраняющейся энергией, хотя в исходной теории энергия сохраняется.

В Главе 4 строится обобщение конструкции Федосова на случай несимплектических многообразий. Согласованность незамкнутой 2-формы со связностью накладывает ограничение на последнюю, а именно, связности не могут быть симметричными. В стандартной конструкции Федосова рассматриваются симметричные связности. В результате все обобщенные многообразия Федосова имеют ненулевой тензор кручения. Далее изучаются свойства тензора кривизны. Доказано, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна равна нулю. Затем с помощью построенной конструкции изучается структура фазового пространства такой системы, как заряженная частица в поле магнитного монополя. Имеются две модели -собственные модификации гамильтоновой механики. У первой модели, в отличие от второй, имеются ненулевые элементы тензора Риччи. Для второй модели найдены все 54 ненулевых элемента тензора кривизны.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ушаков, Александр Сергеевич

В заключение кратко сформулируем основные результаты и выводы диссертации:

1) Сформулировано четыре варианта ковариантного вариационного принципа в гамильтоновой механике. Выяснено, чаю в гамильтоновой механике к вариационному принципу следует относиться с учетом ее специфики: во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения (действие принимает минимум на решениях уравнений движения); во-вторых, как к средству для получения уравнений движений. Решена проблема граничных условий.

2) Построен инвариантный вариационный принцип в гамильтоновой механике, справедливый (глобально!) в случае любых симплектических форм (даже неточных форм). Представлено две формулировки вариационного принципа: с использованием внешних дифференциальных форм в "сверхрасширенном" фазовом пространстве и без использования внешних форм ("полностью динамическая версия").

3) Найдено несимплектическое обобщение гамильтоновой механики (за счет выбора 2-формы), которое позволяет рассматривать "нелагранжевы" системы. Представлен анализ данного обобщения. Рассмотрено несколько характерных примеров.

4) Получены уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя не только за счет выбора 2-формы, но и в рамках стандартной гамильтоновой механики с модифицированным фазовым пространством за счет введения в теорию нефизических переменных, т.е. в теории со связями. Представлено две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй не равен нулю.

5) Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из 2-формы в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения). Одна из рассмотренных моделей при таком переносе демонстрирует весьма необычную механику (с несохраняющейся энергией!), хотя в исходной теории энергия сохраняется.

6) Построено обобщение многообразий Федосова на случай незамкнутых 2-форм (несимплектические многообразия), когда связности, согласованные с соответствующей 2-формой, не могут быть симметричными; в таких теориях фазовые пространства оснащены ненулевым тензором кручения. Найдено две симметрии тензора кривизны по двум первым и последним нижним значкам. Доказано, что скалярная кривизна, как и у стандартных многообразий Федосова, равна нулю.

7) На языке обобщенных многообразий Федосова изучена структура фазового пространства системы "заряженная частица в поле магнитного монополя". Имеются две модели - собственные модификации гамильтоновой механики. В первой модели, в отличие от второй, имеются ненулевые элементы тензора Риччи. Для второй модели найдены все 54 ненулевых элемента тензора кривизны.

Содержание диссертации базируется на работах [30, 31, 32, 33, 34].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ушаков, Александр Сергеевич, 2010 год

1. Poincare Н. Remarques sur une experience de M. Birkeland. Compt. rend., Vol. 123. P. 530 (1896).

2. Прохоров JI. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть. ЭЧАЯ, Т. 38. С. 696 (2007).

3. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Квантовая механика. ЯФ, Т. 67. С. 1322 (2004).

4. Прохоров Л. В. Квантовая механика и кинетика. Вести. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 4. С. 3 (1983).

5. Прохоров Л. В. Пространство как сеть. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2004.

6. Milgrom М. A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis. Astrophys. J., V. 270. P. 365 (1983).

7. Milgrom M. A modification of the Newtonian dynamics—implications for galaxies. Astrophys. J., V. 270. P. 371 (1983).

8. Milgrom M. A modification of the newtonian dynamics—implications for galaxy systems. Astrophys. J., V. 270. P. 384 (1983).

9. Bekenstein J. D.Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D., V. 70. P. 083509 (2004).

10. Dodelson S., Liguori M. Can Cosmic Structure form without Dark ■ • Matter? Phys. Rev. Lett., V. 97. P. 231301 (2007); препринт astro-ph/0608602.

11. Lee H. C. A kind of even-dimensional geometry and its application to exterior calculus. Am. J. Math., V. 65. P. 433 (1943).

12. Лемлейн В. Г. О пространствах симметричной почти-симплектической связности. Докл. АН СССР, Т. 115. С. 655 (1957).

13. Tondeur Ph. Affine zusammenhange auf mannigfaltigkeiten mit fast-symplectischer struktur. Commun. Math. Helvetici, V. 36. P. 234 (1961).

14. Fedosov В. V. A simple geometrical construction of deformation quantization. J. Diff. Geom., V. 40. P. 213 (1994).

15. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov manifolds. Advan. Math., V. 136. P. 104 (1998); препринт dg-ga/9707024.

16. Deligne P. D'eformations de l'Algebre des Fonctions d'une Varifete Symplectique: Comparison. Selecta Mathematica. New Series, V. 1. P. 667 (1995).

17. Si-Cong Jing, Tai-Hua Heng, Bing-Sheng Lin Deformation quantization for coupled harmonic oscillators on a general noncommuta-tive space. Mod.Phys.Lett., A23. P. 445 (2008); препринт math-ph/0902.3769.

18. Habermann K. Basic properties of symplectic Dirac operators. Commun. Math. Phys., V. 184. P. 629 (1997).

19. Damien Calaque, Giovanni Felde, Andrea Ferrario, Carlo A. Rossi. Bimodules and branes in deformation quantization. Препринт math.QA/0908.2299v4.

20. Santilli M. Foundations of Theoretical Mechanics. Vol. I, II. Berlin: Springer, 1978, 1983.

21. McEwan J. A complex formulation of generalized Hamiltonian (Birkhoffian) theory. Found, of Phys., V. 23. P. 313 (1993).

22. Прохоров JI. В. Гамилътонова механика и ее обобщения. ЭЧАЯ, Т. 39. С. 1565 (2008).

23. Prokhorov L. V. Quantum Mechanics and the Cosmological Constant. Препринт gr-qc/0602023.

24. Martinez-Merino A. A., Montesinos M. Hamilton-Jacobi theory for Hamiltonian systems with non-canonical symplectic structures. Ann. Phys., V. 321. P. 318 (2006); препринт gr-qc/0601140.

25. Shabanov S. V. The Poisson bracket for q-deformed systems. J. Phys. A: Math. Gen., V. 25. P. L1245 (1992).

26. Прохоров JT. В., Шабанов С. В. Гамилътонова механика калибровочных систем. М.: КомКнига, 2006.

27. Sergi A. Variational principle and phase space measure in non-canonical coordinates. Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti Classe di Seienze Fisiche, Matematiche e Naturali., V. 83. C1A0501003 (2005); препринт cond-mat/0508193.

28. Souriau J. M. Structure des systèmes dynamiques. J. Phys. A: Math. Gen., V. 25. P. L1245 (1992). Paris, Dunod, 1970.

29. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Усп. Мат. Наук, Т. 37. С. 1 (1982).

30. Прохоров Л. В., Ушаков А. С. Несимплектические обобщения гамилътоновой механики. Вестн. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 1. С. 29 (2010).

31. Ushakov A. S. The Fedosov manifolds and Non-Lagrangian monopoletype systems. Preprint IJTP4108, Принято в Int. J. Theor. Phys. (2010); ArXiv: math-ph/1004.3776.

32. Прохоров Л. В., Ушаков А. С. Вариационный принцип в гамилътоновой механике. ДАН: Мат. Физ., Т. 423. С. 308 (2008).

33. Прохоров Л. В., Ушаков А. С. О вариационном принципе в гамилътоновой механике. Вестн. СПбГУ. Сер. 4, Вып. 2. С. 135 (2009).

34. Golovnev A., Ushakov A. Invariant variational principle for Hamil-tonian mechanics. Journ. of Phys. A: Math. Theor., V. 41. P. 235210 (2008); препринт math-ph/0710.2990.

35. Ostrogradsky M. Les equations différentielles relatives au probleme des isoperimetres. Mem. Ac. St. Petersburg, V. 4. P. 385 (1850).

36. Nambu Y. Generalized Hamiltonian Dynamics. Phys. Rev. D., V. 7. P. 2405 (1973).

37. Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.

38. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

39. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т.1. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

40. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 4. С. 179 (1985).

41. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M., Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы II. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 16. С. 86 (1987).

42. Hofer H., Zehnder Е. Symplectic Invariance and Hamiltonian Dynamics. Birkhauser, 1994.

43. Прохоров JI.В. Фазовое пространство в теориях с калибровочной группой. ЯФ, Т. 35. С. 229 (1982).

44. Прохоров Л.В. Вопросы теории калибровочных полей. Изд. СПбГУ, 2007.

45. Kontsevich М. Deformation quantization of Poisson manifolds. Lett. Math. Phys., V. 66. P. 157 (2003); препринт q-alg/9709040.

46. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

47. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002.

48. Rabinowitz Р.Н. Periodic solutions of Hamiltonian systems. Comm. Pure Appl. Math., V. 31. P. 157 (1978).

49. Rabinowitz P.H. Periodic solutions of a Hamiltonian system on a prescribed energy surface. J. Diff. Eq., V. 33. P. 336 (1979).

50. Conley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conjecture of V.I. Arnold. Invent. Math., V. 73. P. 33 (1983).

51. Chisolm E.D. Generalizing the Heisenberg uncertainty relation Am. J. Phys., V. 69. P. 368 (2001); препринт quant-ph/0011115.

52. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Москва&Ижевск, 2003.

53. Golovnev A.V., Prokhorov L.V. Uncertainty relations in curved spaces J. Phys. A, V. 37. P. 2765 (2004); препринт quant-ph/0306080.

54. Birkhof? G.D. Dynamical Systems. AMS, 1927, 1983.

55. Cieliebak K., Floer A., Hofer H. Symplectic homology II: A general construction Math. Zeit., V. 218. P. 103 (1995).

56. Noether E. Invariante Variationsprobleme Königlich Gesellschaft der Wissenschaften Gottingen Nachrichten Mathematik-physik Klasse, V. 2. P. 235 (1918).

57. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике, пер. с англ. М.: Мир, 1968.

58. Helmholtz Н. Ueber die physikalische bedutung des princips der kleinsten Wirkung Journ. f. d. reine u. angew. Math., V. 100. P. 137 (1887).

59. Darboux G. Lesons sur la Theorie Generale des Surfaces. Paris, Gauthier-Villars, 1894.

60. Douglas J. Solution of the inverse problem of the calculus of variations Trans. Ainer. Math. Soc., V. 50. P. 71 (1941).

61. Marmo C., Saletan E. Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian formalism: Transformation properties Nuovo cimento, V. 40. P. 67 (1977).

62. Hojman S.A., Shepley L.C. No Lagrangian? No quantization! J. Math. Phys., V. 32. P. 142 (1991).

63. Cortese I., Garcia J. Equation of motion, noncommutativity and quantization. Препринт hep-th/0605.156.

64. Bateman H. On Dissipative Systems and Related Variational Principles. Phys. Rev., V. 38. P. 815 (1931).

65. Feshbach H., Tikochinsky Y. Quantization of the damped harmonic oscillator. Trans. N. Y. Acad. Sci., Ser. II, V. 38. P. 44 (1977).

66. Dekker H. Classical and quantum mechanics of the damped harmonic oscillator. Phys. Rep., V. 80. P. 1 (1981).

67. Celeghini E., Rasetti M., Vitello G. Quantum dissipation. Ann. Phys., V. 215. P. 156 (1992).

68. Banerjee R., Mukherjee P. A canonical to the quantization of the damped harmonic oscillator. J. Phys. A, V. 35. P. 5591 (2002).

69. Blasone M., Jizba P. Bateman's dual system revisited: quantization, geometric phase and relation with the ground-state energy of the linear harmonic oscillator. Ann. Phys., V. 312. P. 354 (2004).

70. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Canonical quantization of so-called Non-Lagrangian systems. Eur. Phys. J. С, V. 50. P. 691 (2007); препринт hep-th/0605025.

71. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. On the action principle for a system of differential equations. J. Phys. A, V. 40. P. 10071 (2007); препринт arXiv:0710.4532.

72. Havas P. The range of application of the Lagrange formalism. Nuovo Cimento Suppl., V. 3. P. 363 (1957).

73. Sarlet W. Invariance and conservation laws for Lagrangian systems with one degree of freedom. J. Math. Phys., V. 19. P. 1049 (1978).

74. Sarlet W. The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics. J. Phys. A: Math. Gen., V. 15. P. 1503 (1982).

75. Hojman S., Pardo F. Lagrangians for differential equations of any order. J. Math. Phys., V. 33. P. 584 (1992).

76. Wigner E.P. Do the Equations of Motion Determine the Quantum Mechanical Commutation Relations? Phys. Rev., V. 77. P. 11 (1950).

77. Okubo S. Does the equation of motion determine commutation relations? Phys. Rev. D, V. 22. P. 919 (1980).

78. Henneaux M., Shepley L. Lagrangians for spherically symmetric pao-tentials. J. Math. Phys., V. 23. P. 2101 (1982).

79. Cislo J., Lopuzanski J. To what extent do the classical equations of motion determine the quantization sheme? J. Math. Phys., V. 42. P. 5163 (2001).

80. Alfinito E., Leo R., Soliani G., Tempesta P. Quantum models related to fouled Hamiltonians of the harmonic oscillator. J. Math. Phys., V. 43. P. 3583 (2002).

81. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия. Ижевск: Удмуртский университет, 2000.

82. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957.

83. Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1959.

84. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987.

85. Cabibbo N., Ferrari Е. Quantum electrodynamics with Dirac monopoles. Nuovo cimento, V. 23. P. 1147 (1962).

86. Wu T.T., Yang C.N. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields. Phys. Rev. D, V. 12. P. 3845 (1975).

87. Dirac P.A.M. Quantized singularities in the electromagnetic field. Proc. Roy. Soc. A., V. 133. P. 69 (1931).

88. Dirac P.A.M. The Theory of Magnetic Poles. Phys. Rev., V. 74. P. 817 (1948).

89. Райдер Jl. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.

90. Дирак П.A.M. Лекции по теоретической физике. Ижевск, 2001.

91. Martin J. L. Generalized classical dynamics, and the "classical analogue "of a Fermi oscillator. Proc. Roy. Soc. A., V. 251. P. 536 (1959).

92. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. M.: Мир, 1964. .

93. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2001.