Нелинейные эффекты КЭД в электрических полях тяжелых атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ли, Роман Николаевич

• Ли, Роман Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ли, Роман Николаевич

1 Введение

2 Влияние конечного размера ядра на поляризацию вакуума.

2.1 Функция Грина и плотность индуцированного заряда

2.2 Вычисление фактора зависящего от распределения ядерной плотности.

2.3 Асимптотики.

2.4 Численные результаты и обсуждение.

3 Дельбрюковское рассеяние в электрическом поле тяжелых атомов

3.1 Функция Грина в квазиклассическом приближении.

3.2 Дельбрюковское рассеяние.

3.3 Нулевые передачи импульса.

3.4 Ненулевые передачи импульса.

4 Расщепление фотона высокой энергии в поле атома

4.1 Преобразование амплитуды процесса.

4.2 Кинематика процесса.

4.3 Вычисление амплитуд М^ и М^.

4.4 Предел нулевой массы.

4.4.1 Асимптотика при малых А.

4.4.2 Борновское приближение.

4.5 Сечение процесса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные эффекты КЭД в электрических полях тяжелых атомов»

Квантовая электродинамика (КЭД) считается сегодня общепризнанной теорией, описывающей взаимодействие заряженных частиц и фотонов. Ее предсказания находятся в замечательном согласии с выполненными экспериментами. Однако, быстрое развитие измерительной техники и экспериментальных методов приводит к повышению точности экспериментальных данных и к возможности наблюдения новых эффектов. Это обстоятельство объясняет постоянный теоретический интерес к процессам КЭД.

Основная структура КЭД осталась, в основном, неизменной со времен формулировки программы перенормировок в конце 40-х годов и приложения теории к задаче о связанных состояниях в начале 50-х. С тех пор КЭД стала теорией, обеспечивающей описание множества явлений, связанных как со свойствами одной частицы так и с процессами, происходящими в сложных атомах и в веществе. Однако, практические вычислительные трудности ограничили приложения теории только самыми простыми системами. Даже в одно-электронном атоме вычисления эффектов КЭД, находящихся на уровне точности современного эксперимента, являются очень трудной задачей. В последние годы, благодаря появлению новых методов расчета в КЭД, ситуация изменилась и область практических приложений теории быстро расширяется. Эти методы позволили не только увеличить точность вычислений, но и описать процессы, происходящие в сильных электрических полях многозарядных ионов и тяжелых атомов.

Предсказания КЭД могут быть с великолепной точностью проверены на эксперименте. В рекордном случае измерения магнитного момента электрона точность эксперимента достигает Ю-12. Поэтому к теоретическим результатам предъявляются очень высокие требования. Это является причиной того, что со времени появления КЭД амплитуды и сечения множества элементарных процессов, допускающих рассмотрение в рамках обычной теории возмущения (в которой, в качестве нулевого приближения берутся свободные частицы), были вычислены с огромной точностью. Совсем не так дело обстоит с процессами КЭД во внешнем поле. Дело в том, что при достаточно сильном внешнем поле нельзя рассматривать его как возмущение. В этом случае необходимо строить теорию возмущений, взяв за нулевое приближение частицы, не взаимодействующие между собой, но распространяющиеся во внешнем поле ( представление Фарри). При этом фермионным линиям на диаграммах Фейнмана сопоставляются пропагато-ры (функции Грина) фермионов во внешнем поле. Существует два различных подхода к вычислению амплитуд процессов в сильных внешних полях. Первый подход, который можно назвать операторным методом, состоит в следующем. Пропагатор представляется в виде матричного элемента некоторого оператора, который можно назвать операторной функцией Грина. Это позволяет представить всю амплитуду в виде матричного элемента произведения операторов. В случае наличия в задаче замкнутой алгебры операторов это произведение оказывается возможным "распутать" и только затем вычислять матричный элемент. Во втором подходе вычисления проводятся с использованием явного вида волновых функций, являющихся решениями уравнения Дирака для электрона во внешних полях, и соответствующих функций Грина. Для вычисления амплитуды процесса в этом подходе необходимо знать функцию Грина заряженной частицы во внешнем поле. Кроме прямого решения неоднородного уравнения Дирака, известно несколько способов нахождения функции Грина частицы во внешнем поле. Одним из таких способов является разложение функции Грина по собственным функциям гамильтониана. Другой способ основан на использовании группы динамической симметрии задачи. Например, Швингер в

1], используя группу 0(4) динамической симметрии атома водорода, нашел функцию Грина нерелятивистского уравнения Шредингера в кулонов-ском поле при Е < 0. В работе [2] была найдена функция Грина для случая Е > 0. В этом случае, в качестве группы динамической симметрии задачи выступает группа 0(3,1). Динамическая симметрия задачи обычно приводит к существованию замкнутой алгебры операторов, через которые может быть выражен гамильтониан и функция Грина системы. Часто в задаче, обладающей динамической симметрией, функцию Грина удобно искать с помощью метода собственного времени. Для нахождения функции Грина применялись также комбинированные подходы. Так, в [3] функция Грина уравнения Дирака в кулоновском поле была найдена с использованием динамической алгебры 0(2,1) радиальной части уравнения. При этом угловая часть представлялась в виде разложения по собственным функциям некоторого оператора. Однако, общего рецепта нахождения функции Грина в замкнутом виде не существует, и поэтому успех решения задачи во внешнем поле во многом зависит от существования удобного представления для функции Грина частицы в этом поле. С другой стороны, во многих процессах во внешнем поле при высоких энергиях начальных частиц справедливо квазиклассическое приближение. Для таких процессов часто оказывается возможным найти соответствующее квазиклассическое приближение для функции Грина, позволяющее затем решить задачу.

В теоретических работах точно по внешнему полю рассматривалось несколько процессов. Так, были изучены радиационные эффекты в постоянном однородном электромагнитном поле, в поле плоской электромагнитной волны, суперпозиции однородного электрического поля и плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль него. Первым, кто применил операторный метод в задачах КЭД во внешнем поле был Швингер, который в работе [4] вычислил функцию Грина электрона в однородном поле и поле плоской волны. Следующий важный шаг в развитии операторных методов в КЭД был сделан в [5]. В этой работе был предложен метод, позволяющий решить задачу о вычислении массового оператора скалярной частицы без использования явного вида волновых функций и функций Грина частицы. В работах [6, 7] развивая метод, найденный в [5], была сформулирована операторная диаграммная техника, основанная на операторном представлении функции Грина электрона и позволяющая вычислять точно по внешнему однородному и постоянному полю амплитуды различных процессов. При помощи этой техники в этих работах были вычислены массовый и поляризационный операторы. В работах [8, 9] операторная диаграммная техника была обобщена на случай плоской электромагнитной волны произвольного спектрального состава и поляризации, а в [10, 11] - на случай плоской волны, движущейся вдоль однородного постоянного магнитного поля.

Некоторые из перечисленных задач решались также с использованием явного вида волновых функций и представления Швингера для функций Грина. Поляризационный и массовый операторы в скрещенных электрическом и магнитном полях ( Е — Я, Б 1 Н ) были вычислены в [12-14] , поляризационный оператор в постоянном поле был найден в [15], а в поле плоской волны в [16]. Рассматривался также массовый оператор в поле плоской волны [17].

Поле тяжелого атома или иона также является важным примером сильного поля, требующего точного учета. Процессы КЭД, протекающие в таких полях, являются одними из наиболее интересных как с точки зрения эксперимента, так и с точки зрения теории. С одной стороны, это связано с тем, что такие процессы допускают детальное экспериментальное исследование. С другой стороны, были развиты новые теоретические методы рассмотрения задач во внешнем поле. Кроме того, задачи во внешнем поле находят приложения в атомной физике, ядерной физике, астрофизике, физике плазмы. При рассмотрении этих процессов эффективным параметром теории возмущений по внешнему полю является величина Zo¿ (£\е! - заряд ядра, а = е2/47г = 1/137 - постоянная тонкой структуры, е - заряд электрона) , которая для тяжелых ядер может оказаться не малой по сравнению с единицей. В этом случае появляется необходимость учитывать поле ядра точно.

Большое количество задач связано с проверкой КЭД в экспериментах по спектроскопическим измерениям радиационных сдвигов уровней заряженных частиц (электронов, мюонов) в тяжелых водородоподобных атомах (см. работы [18, 19]). Наиболее ярким и удобным для измерения примером радиационного сдвига уровней является расщепление уровней 25^2 и 2Р1у/2 в водороде. Возрастающая точность этих измерений приводит к необходимости учета все более тонких эффектов при проведении теоретических расчетов. Основными вкладами в радиационный сдвиг уровней являются вклад собственной энергии Рис. 1,а и вклад поляризации вакуума Рис. 1,5. Подробное описание этих эффектов можно найти в недавнем обзоре [20].

В первой главе дисертации рассматривается задача о влиянии конечного размера ядра на поляризацию вакуума. Поляризация вакуума является нелинейным эффектом КЭД, который заключается в том, что, благодаря присутствию в вакууме виртуальных электрон-позитронных пар, вокруг ядра появляется зарядовая плотность. Эта плотность приводит к искажению кулоновского потенциала ядра и к сдвигу уровней энергии заряженной частицы в поле ядра. Поскольку индуцированная плотность заряда становится заметной на малых расстояниях от ядра ( порядка комптоновской длины волны электрона ), особую роль эффект поляризации вакуума играет в мюонных атомах (см. [21] и цитированную там литературу). Однако, хотя для обычных атомов вклад эффекта поляризации вакуума в радиационный сдвиг уровней численно мал по сравнению с вкладом собственной энергии, тем не менее его необходимо учитывать при сравнении с экспериментом.

В первом порядке по внешнему полю поляризация вакуума впервые была рассмотрена Юлингом [22] и Сербером [23] в 1935 году для случая точечного ядра. Поправки к потенциалу Юлинга засчет конечных размеров ядра рассматривались в работе Хилтона [24] Впервые поляризация вакуума точно по внешнему полю рассматривалась в работе [25] для случая кулоновского потенциала. В этой работе был вычислен лапласовский образ произведения р{г)г2 точно по Сама плотность р(г) аналитически впервые была найдена в работе [26, 27]. В работах [28-30] поведение плотности индуцированного заряда на малых расстояниях исследовалось операторными методами. Кроме того, плотность индуцированного заряда и соответствующий ей потенциал изучались в большом числе работ с помощью численных расчетов (см. [21,31-40] ). В перечисленных работах принималась в расчет лишь сферически-симметричная часть распределения индуцированного заряда. Существуют, однако, тяжелые ядра, обладающие большими мультиполь-ными моментами. Поля таких ядер индуцируют соответствующие моменты в вакууме. Индуцированные вакуумные магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты были изучены в [41-43] . В тяжелых атомах существенным становится отличие на малых расстояниях потенциала ядра от кулоновского. Влияние конечных размеров ядра на вклад диаграммы собственной энергии был изучен недавно в [44]. Аналитически влияние конечности размеров ядра на плотность индуцированного заряда на расстояниях Я <С г <С Ас (Я - радиус ядра, Ас = 1 /га - комптоновская длина волны электрона, т - масса электрона) было изучено в [30]. Для некоторых ядер влияние эффекта конечного размера ядра на поляризацию вакуума изучалось численно для произвольных расстояний в цитированных выше работах. В первой главе диссертации влияние конечного размера ядра на поляризацию вакуума исследуется аналитически при Zo¿ < 1 на расстояниях, больших по сравнению с радиусом ядра, но произвольных по сравнению с Ас. Рассмотрение основано на использовании представления функции Грина, полученном в [3]. Содержание этого параграфа основано на результатах работ [45, 46].

Другой тип задач связан с изучением нелинейных процессов рассеяния фотона в поле тяжелого ядра или атома. В классической электродинамике, благодаря принципу суперпозиции, свет, будучи электромагнитной волной не может взаимодействовать с внешним электромагнитным полем (например, с полем ядра или атома). В квантовой электродинамике, засчет поляризации вакуума фотон может превратиться в виртуальную электрон-позитронную пару, которая, в свою очередь, может взаимодействовать с внешним полем. К процессам, протекающим таким образом прежде всего относятся дельбрюковское рассеяние (электрон-позитронная пара аннигилирует в один фотон) и расщепление фотона (пара аннигилирует в два фотона). При этом, в случае стационарного внешнего поля, суммарная энергия сохраняется.

Процесс дельбрюковского рассеяния схематически изображается диаграммой Рис. 2. Электронные линии на этой диаграмме обозначают про

Рис. 2: Дельбрюковское рассеяние пагаторы во внешнем поле. Этот процесс изучался на протяжении длительного времени. Это связано с тем, что, во-первых, он является одним из немногих нелинейных процессов КЭД, допускающим детальное экспериментальное изучение, а во-вторых, с тем, что этот процесс является фоновым по отношению к ядерному комптоновскому рассеянию, а их амплитуды интерферируют. В настоящее время ядерное комптоновское рассеяние стало важным инструментом для изучения структуры атомных ядер. Однако, для того, чтобы извлечь из сечения информацию о структуре ядра и внутренних ме зонных и нуклонных степенях свободы может оказаться необходимым точное вычисление амплитуд дельбрюковского рассеяния. Теоретическое изучение дельбрюковского рассеяния имеет большую историю и ему посвящено большое количество работ. В большинстве этих работ расссмотрение проводилось в низшем порядке теории возмущений по полю ядра (в борновском приближении) для произвольных передач импульса ядру А. В случае тяжелых ядер необходимо учитывать кулоновские поправки к дельбрюковскому рассеянию. Важный шаг в этом направлении был сделан Ченгом и Ву [47-49], получившими амплитуды точные по Ха, но справедливые при больших энергиях фотона (и >- т) и при малых углах рассеяния в (А « ив <С со). Вычисления в этих работах были выполнены при помощи суммирования в некотором приближении фейнмановских диаграмм с различным числом линий внешнего поля. Оказалось, что кулоновские поправки существенно изменяют величину борновского сечения (в поле тяжелых атомов отличие достигает одного порядка).

Специфика экспериментального исследования дельбрюковского рассеяния сильно зависит от энергии начального фотона. Дело в том, что существует два фоновых процесса, амплитуды которых интерферируют с амплитудой дельбрюковского рассеяния. Эти процессы - атомное рэлеевское рассеяние и ядерное комптоновское рассеяние. Атомное рэлеевское рассеяние является доминирующим фоновым процессом по отношению к дельбрю-ковскому рассеянию при энергиях начального фотона ниже 1 МэВ. Ядерное рассеяние при энергиях ниже 12 МэВ можно описать как сумму двух процессов: томсоновского рассеяния и рассеяния с возбуждением гигантских дипольных резонансов в промежуточном состоянии. Такое разбиение оказывается удобным, так как амплитуда томсоновского рассеяния имеет тривиальную форму и не зависит от энергии фотона. Ядерное комптоновское рассеяние через возбуждение гигантских резонансов становится существенным при энергиях от 6 МэВ до 30 МэВ. Поэтому, для того, чтобы извлечь из экспериментальных данных информацию об амплитуде и сечении дельбрюковского рассеяния при энергии до 30 МэВ, необходимо знать амплитуды этих двух процессов с возможно большей точностью. Подробное описание экспериментов по наблюдению упругого рассеяния фотонов при энергиях до 100 МэВ можно найти в [50]. Другой особенностью дельбрюковского рассеяния является неубывание его сечения с ростом энергии. Это, в частности, приводит к тому, что при больших энергиях фотона (> 100 МэВ) в рассеянии на малые углы доминирует дельбрюковское рассеяние, а все фоновые к нему процессы оказываются сильно подавленными. Первый эксперимент по наблюдению дельбрюковского рассеяния при высоких энергиях (> 1 ГэВ) был поставлен в DESY [51]. Недавно в Институте Ядерной Физики им. Г.И. Будкера был проведен эксперимент, который позволил измерить дифференциальное сечение дельбрюковского рассеяния при энергиях 140 — 150 МэВ на мишени из германата висмута Въ^е^Ою в диапазоне углов 2.6 — 16.6 мрад. с гораздо большей точностью ([52]). Результаты этого эксперимента согласуются с предсказаниями теории.

В теоретическом изучении дельбрюковского рассеяния также произошел существенный прогресс. Он связан с развитием квазиклассического подхода для описания явлений в сильном кулоновском поле [53, 54]. В приближении высокой энергии и малых углов рассеяния характерный угловой момент в процессе рассеяния I > 1 и справедливо квазиклассическое приближение. Это позволяет написать простое представление для функции Грина, справедливое в рассматриваемом приближении. В результате использования этого представления были получены простые выражения для амплитуд дельбрюковского рассеяния в кулоновском поле при высокой энергии и малых углах рассеяния.

Во второй главе диссертации используется квазиклассический подход для нахождения функции Грина частицы в произвольном убывающем сферически-симметричном потенциале. Найденная функция Грина выражается через квазиклассические фазы рассеяния частицы в этом потенциале. Затем эта функция используется для нахождения амплитуды дельбрюковского рассеяния в экранированном кулоновском потенцииале. Амплитуда этого процесса при передачах импульса, больших по сравнению с обратным радиусом экранировки совпадает с амплитудой дельбрюковского рассеяния в кулоновском потенциале. Поэтому в этой главе для изучения эффекта экранировки рассматривается рассеяние с передачей импульса А < г'1 <С т. Содержание второй главы основывается на результатах, полученных в [55, 56].

Другим нелинейным процессом квантовой электродинамики является расщепление фотона. Ему соответствует диаграмма Рис. 3. Как и на диа

Рис. 3: Расщепление фотона грамме Рис. 2, электронная линия обозначает пропагатор электрона во внешнем поле ядра или атома. В этом процессе начальный фотон, распространяясь в поле ядра, превращается в два фотона с той же суммарной энергией. При высоких энергиях начального фотона здесь также оказывается справедливым квазиклассическое приближение.

Вплоть до недавнего времени попытки экспериментального наблюдения расщепления фотона были неудачными. Так, в эксперименте в БЕБУ [51] некоторые события с двумя фотонами в конечном состоянии неправильно интерпретировались как события расщепления фотона. Однако, как было показано в работе [57] полученное в эксперименте сечение было на два порядка больше, чем теоретические предсказания для него. В той же работе было высказано предположение, (впоследствии подтвердившееся) что эти события являются фоторождением электрон-позитронной пары, сопровождающимся жестким тормозным излучением. В работе [58] обсуждались возможные условия проведения эксперимента по наблюдению этого явления. Впервые успешное наблюдение расщепления фотона высокой энергии (и т) в кулоновском поле тяжелых атомов было осуществлено в эксперименте, недавно проведенном в Институте Ядерной Физики им. Г.И.Будкера СО РАН. Предварительные результаты этого эксперимента опубликованы

15 в [52].

Теоретически расщепление фотона изучалось в работах [59-63] в низшем по Za порядке теории возмущений. Полученные в [59, 60] выражения являются очень громоздкими и их сложно использовать для численных расчетов. Тем не менее такие расчеты были проведены в [62, 63]. В работе [61] амплитуды процесса были получены в существенно более простом виде, но с логарифмической точностью (с помощью метода эквивалентных фотонов). Проведенное в [62] сравнение точного борновского сечения с приближенным результатом [61] показало, что в рассматриваемой области энергий максимальное отличие достигает 20%. Величина кулоновских поправок в процессе расщепления фотона до сих пор была неизвестной. В настоящее время обработка данных эксперимента [52] находится в стадии завершения. Поэтому теоретическое исследование этого процесса точно по кулоновскому полю представляет несомненный интерес.

В третьей главе диссертации вычисляются спиральные амплитуды расщепления фотона для случая высоких энергий начального фотона и малых углов между импульсами конечных фотонов по отношению к импульсу начального. Для этого используется квазиклассическая функция Грина, найденная во второй главе. Исследуется зависимость различных сечений от поперечных импульсов конечных фотонов и величина кулоновских поправок. Результаты, изложенные в этой главе получены в работах [64-66].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ли, Роман Николаевич

Основные результаты настоящей диссертации:

1. Изучено влияние конечного размера ядра на поляризацию вакуума в электрическом поле тяжелого атома на расстояниях, больших по сравнению с радиусом ядра. Показано, что для всех реалистичных распределений ядерной плотности поправка к поляризации вакуума зависит лишь от среднеквадратичного радиуса ядра и его полного заряда. Получена аппроксимационная формула для этой поправки.

2. Получены новые представления для квазиклассической функции Грина уравнения Дирака и "квадрированного" уравнения Дирака в произвольном сферически-симметричном потенциале.

3. Используя найденные квазиклассические функции Грина, вычислена амплитуда дельбрюковского рассеяния в экранированном кулоновском потенциале при высоких энергиях.

4. Точно по внешнему полю вычислены амплитуды и различные дифференциальные сечения процесса расщепления фотона при высоких энергиях в электрическом поле тяжелого атома. Показано, что при передаче импульса ядру А ~ т кулоновские поправки изменяют (в основном, уменьшают) величину полностью дифференциального сечения в несколько раз, а для полного сечения процесса при энергиях эксперимента [52] эти поправки составляют ~ 20%.

5 Заключение

Диссертация посвящена изучению нелинейных эффектов квантовой электродинамики в сильном электрическом поле атома.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ли, Роман Николаевич, 1998 год

1. Coulomb Green's function. J. of Math. Phys. 5(1964) 1606.

2. Переломов A.M., Попов B.C.

3. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода. ЖЭТФ 50 (1966) 179.

4. Milstein A.I., Strakhovenko V.M.

5. The 0(2,1) algebra and the electron Green's function in a Coulomb field. Phys.Lett. 90 (1982) 447.4. Schwinger J.

6. On gauge invariance and vacuum polarization. Phys. Rev.- 82 (1951) 664.5. Schwinger J.

7. Classical radiation of accelerated electrons. 2. A quantum viewpoints. Phys. Rev.-D7(1951) 1696.

8. Байер B.H., Катков B.M., Страховенко B.M.

9. Операторный подход к квантовой электродинамике во внешнем поле: массовый оператор. ЖЭТФ. 67 (1974.) 453.

10. Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М.

11. Операторный подход к квантовой электродинамике во внешнем поле: электронные петли. ЖЭТФ. 68 (1975) 405.

12. Байер В.Н., Катков В.М., Мильштейн А.И. Страховенко В.М.

13. К теории квантовых процессов в поле интенсивной электромагнитной волны.1. ЖЭТФ.- 69 (1975) 783.

14. Байер В.Н., Катков В.М., Мильштейн А.И. Взаимодействие фотона с интенсивной электромагнитной волной. ЖЭТФ.- 69 (1975) 1893.

15. Байер В.Н., Мильштейн А.И.

16. Радиационные эффекты вблизи циклотронного резонанса. ЖЭТФ.-75(1978) 390.11. Baier V.N., Milstein A.I.

17. Radiative effects in a plane wave moving along a magnetic field. J. Phys. A: Math. Gen. 11 (1978) 297.12. Нарожный Н.Б.

18. Распространение плоских электромагнитных волн в постоянном поле. ЖЭТФ.-55 (1968) 714.13. Ритус В.И.

19. Радиационные эффекты и усиление в интенсивном электроманитном поле.1. ЖЭТФ.-57 (1969) 2176.14. Ритус В.И.

20. Радиационные поправки к движению электронов и фотонов в интенсивном поле и их аналитические свойства.

21. Сб. Проблемы теоретической физики. М.: Наука, 1972.- С.306-334.15. Баталин И.А., Шабад А.Е.

22. Функции Грина фотона в постоянном однородном электромагнитномполе общего вида. ЖЭТФ. 60 (1971) 894.16. Becker W., Mitter Н.

23. Vacuum polarization in laser fields. J. Phys. A: Math. Gen.8 (1975) 1638.17. Becker W., Mitter H.

24. Modification of the quasi-levels of an electron in a laser field due to radiative corrections.

25. J. Phys. A: Math. Gen. 9 (1976) 2171.

26. Stohlker Th., Mokler P.H. et al. Phys. Rev . Lett. 71 (1993) 2184.

27. Pross H.-J., Budelsky D. et al. Phys. Rev. A48 (1993) 1875.

28. Mohr P.J., Plunien G., Soff G. QED corrections in heavy atoms Phys. Rep. 293 (1998) 227.21. Borie E., Rinker G.A.

29. Rev. Mod. Phys. 54 (1982) 67.22. Uehling E.A.1. Phys. Rev. 48 (1935) 5523. SerberR.1. Phys. Rev. 48 (1935) 4924. Ну It on D.J.

30. Phys. Rev. A 32 (1985) 130325. Wichmann G.H., Kroll N.M.

31. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Phys. Rev.101 (1956) 843.

32. Milstein A.I., Strakhovenko V.M.

33. Electron Green function and vacuum polarization in a Coulomb field. Phys. Lett. A 92 (1982) 381.

34. Милынтейн А.И., Страховенко B.M.

35. Плотность индуцированного заряда в сильном кулоновском поле. ЖЭТФ. 84 (1983) 1247.

36. Brown L.S., Calm R.N., McLerran L.D.

37. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. 1.Induced point charge. Phys. Rev. D12(1975) 581.

38. Brown L.S., Cahn R.N., McLerran L.D.

39. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Short-distance corrections. Phys. Rev. D12(1975) 596.

40. Brown L.S., Cahn R.N., McLerran L.D.

41. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. 3.Nuclear size effects. Phys. Rev. D12(1975) 609.

42. Pieper W., Greiner W. Z. Phys. 218 (1969) 327.32. Gyilassy M.

43. Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 1393.33. Gyilassy M.

44. Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 921.34. Gyilassy M.

45. Nucl. Phys. a 244 (1975) 497.35. Neghabian A. R.

46. Vacuum polarization for an electron in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A 27 (1978) 2311.

47. Манаков H.Jl., Некипелов А.А., Файнштейн А.Г.

48. Поляризация вакуума сильным кулоновским полем и ее вклад в спектры многозарядных ионов. ЖЭТФ. 95 (1989) 1167.37. Soff G., Mohr P.J.

49. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A 38 (1988) 5066.38. Soff G., Mohr P.J.1.fluence of vacuum-polarization corrections of order a(Za) and a(Za) inhydrogenlike uranium.

50. Phys. Rev. A 40 (1989) 2174.39. Soff G., Mohr P.J.

51. Higher-order vacuum polarization corrections in muonic atoms. Phys. Rev. A 40 (1989) 2176.40. Franosch Т., Soff G.1. Z. Phys. D 18 (1991) 219.

52. Milstein A.I., Yelkhovsky A.S.

53. Vacuum polarization and magnetic moment of heavy nucleus. Phys. Lett. В 233 (1989) 11.

54. Milstein A.I., Yelkhovsky A.S.

55. Vacuum polarization and magnetic moment of heavy nucleus. Phys. Lett. В 241 (1990) 184.

56. Елховский A.C., Мильштейн А.И.

57. Поляризация вакуума и мультипольные моменты ядер. ЖЭТФ. 99 (1991) 1068.44. Mohr Р., Soff G.

58. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 158.45. Lee R.N., Milstein A.I.

59. Finite nuclear size and vacuum polarization in heavy atoms Phys. Lett. A 189 (1994) 72.46. Ли P.H., Мильштейн А.И.

60. О влиянии конечных размеров ядра на поляризацию вакуума в тяжелых атомах ЖЭТФ 106 (1994) 47.47. M.Cheng and T.T.Wu

61. High-energy collision processes in quantum electrodinamics.3. Phys. Rev. 182 (1969) 1873.48. M.Cheng and T.T.Wu

62. High-energy Delbiick scattering close to the forward direction. Phys. Rev. D 2 (1970) 2444.49. M.Cheng and T.T.Wu

63. High-energy Delbrück scattering from nuclei. Phys. Rev. D 5 (1972) 3077.

64. A.I.Milstein and M.Schumacher Present status of Delbrück scattering. Phys. Rep. 243 (1994) 183.51. G.Jarlskog et al.

65. Measurement of Delbrück scattering and observation of photon splitting at high energies.

66. Phys.Rev. D 8 (1973) 3813 .

67. Report given at the international conference "Photon-97", Egmond-aan-Zee, Holland.

68. A.I.Milstein and V.M.Strakhovenko

69. Quasiclassical approach to the high-energy Delbrück scattering Phys. Lett A 95 (1983) 135.

70. Мильштейн А.И., Страховенко B.M.

71. Когерентное рассеяние фотонов большой энергии в сильном кулонов-ском поле.1. ЖЭТФ 85 (1983) 14.55. Lee R.N., Milstein A.I.

72. Quasiclassical Green function and Delbrück scattering in a screened Coulomb field

73. Phys. Lett. A 198 (1995) 217.56. Ли P.H., Мильштейн А.И.

74. Квазиклассическая функция Грина и дельбрюковское рассеяние в экранированном кулоновском поле ЖЭТФ 107 (1995) 1393.

75. Р.М.Джилкибаев, Э.А.Кураев, В.С.Фадин, В.А.Хозе Письма в ЖЭТФ 19 (1974) 73 .

76. A.I.Milstein and B.B.Wojtsekhowski1. is possible to observe photon splitting in a strong Coulomb field Preprint INP 91-14, Novosibirsk 1991.59. Y.Shima1. Phys.Rev. 142 (1966) 944.

77. V.Costantini, B.De Tollis and G.Pistoni Nuovo Cimento A 2 (1971) 733.

78. V.N.Baier, V.M.Katkov, E.A.Kuraev and V.S.Fadin Phys.Lett. В 49 (1974) 385.

79. A.M.Johannessen, K.J.Mork and I.Overbo Phys.Rev. D 22 (1980) 1051.

80. H.-D.Steinhofer Z.Phys. С 18 (1983) 139.

81. Ли P.H., Мильштейн А.И., Страховенко В.М.

82. Расщепление фотона высокой энергии в сильном кулоновском поле ЖЭТФ 112 (1997) 1921.

83. Lee R.N., Milstein A.I., Strakhovenko V.M. High-energy photon splitting on heavy atoms. Phys. Rev. A 57 (1998) 2325.

84. Lee R.N., Milstein A.I., Strakhovenko V.M.

85. Cross section of high-energy photon splitting in the electric field of heavy atoms.

86. Phys. Rev. A 58 (1998) 1757