Нелинейная динамика мод шепчущей галереи цилиндрического микрорезонатора с вариацией радиуса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Колесникова Алена Юрьевна

• Колесникова Алена Юрьевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Колесникова Алена Юрьевна

Введение

Глава 1. Оптические микрорезонаторы

1.1 Оптические частотные гребенки в микрорезонаторах

1.2 Цилиндрический микрорезонатор с малой вариацией эффективного радиуса

1.3 Математические модели мод в цилиндрическом микрорезонаторе с малой вариацией эффективного радиуса

1.3.1 Стационарная модель аксиальных мод

1.3.2 Модель нелинейной динамики азимутальной моды

1.3.3 Обобщенное двумерное уравнение Лужиато-Лефевера

Глава 2. Модель нелинейной динамики мод шепчущей галереи

цилиндрического микрорезонатора с вариацией радиуса

2.1 Моды бесконечного цилиндра

2.2 Стационарная модель аксиально-азимутальных мод цилиндрического микрорезонатора с малой вариацией эффективного радиуса

2.3 Динамическая модель с источником излучения и нелинейностью

2.4 Система связанных нелинейных уравнений азимутальных мод

Глава 3. Связь микрорезонатора с тейпером

3.1 Простая модель связи

3.2 Определение параметров связи

3.3 Измерение параметров связи: пример

3.4 Добротность микрорезонатора и порог нелинейных эффектов

Глава 4. Анализ модуляционной неустойчивости

4.1 Система уравнений связанных мод

4.2 Нелинейная амплитудно-частотная характеристика моды с накачкой

Стр.

4.3 Генерация первичной гребенки

4.3.1 Азимутальные моды

4.3.2 Аксиальные моды

Глава 5. Нелинейная динамика мод шепчущей галереи

5.1 Численные методы для моделирования системы уравнений нелинейной динамики азимутальных мод

5.2 Приближающие к эксперименту дополнения к математической модели

5.3 Результаты моделирования солитонных решений

5.4 Оценка ширины оптической частотной гребенки аксиальных мод

Заключение

Список сокращений и обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика мод шепчущей галереи цилиндрического микрорезонатора с вариацией радиуса»

Введение

Оптические микрорезонаторы в настоящее время развивают многие направления фотоники. Небольшой объем моды и высокая добротность позволяют использовать микрорезонаторы для исследования задач нелинейной и квантовой оптики [1]. Одной из таких задач является генерация оптических частотных гребенок (ОЧГ) в микрорезонаторах. ОЧГ вызывают особый интерес в последние несколько десятилетий из-за широкого спектра применений, включая точное измерение расстояний в астрономии, атомные часы, GPS-навигацию, точную спектроскопию, химическое и биологическое зондирование и другие [2—7]. Основными характеристиками гребенки являются ширина спектра и частота повторения — спектральное расстояние между линиями в гребенке, определяемое областью свободной дисперсии (ОСД) мод микрорезонатора. В зависимости от области свободной дисперсии гребенки предпочтительны различные приложения: высокая частота повторения ОЧГ ценится в оптической связи и субтерагерцовой генерации, в то время как в приложениях спектроскопии с двумя гребенками подходят ОЧГ с более низкой частотой повторения [8].

Микрорезонаторы обладают высокой добротностью, малыми размерами, но их частота повторения ограничена размером резонатора. В кольцевых, тороидальных и сферических и т.д. микрорезонаторах частотный интервал определяется спектральным расстоянием между азимутальными модами и составляет 10 - 1000 ГГц [4; 9]. Высокие частоты повторения невозможно регистрировать напрямую без дополнительной обработки сигнала, поэтому для упрощения системы необходимы ОЧГ с низкой частотой повторения.

Существует платформа, в которой возможна генерация гребенок с низкой частотой повторения, SNAP (Surface Nanoscale Axial Photonics) [10]. Платформа представляет собой цилиндрический микрорезонатор, часто изготовленный из стандартного оптического волокна с удаленной пластиковой оболочкой, с малой вариацией эффективного радиуса (см. рис. 1). Вариация эффективного радиуса (произведение радиуса оболочки г и ее показателя преломления п) играет роль оптического потенциала, ограничивающего моды шепчущей галереи (МШГ) вдоль оси волокна. В качестве элемента связи для ввода и вывода

излучения в такой системе используется тянутое волокно - тейпер, которое в перетяжке имеет характерный размер порядка микрометра.

Рисунок 1 — Система SNAP: микрорезонатор, выполненный на базе стандартного оптического волокна с вариацией эффективного радиуса, связанный с тейпером, который обеспечивает ввод и вывод излучения. Пространственное распределение моды микрорезонатора. а) Азимутально-радиальная мода (Л = 13 мкм) с номерами т = 50 и р =1 в сечении волокна с радиусом Го = 62,5 мкм; б)аксиальные моды с номерами q = 0... 9 в микрорезонаторе с

параболической формой вариации радиуса.

В отличие от других типов микрорезонаторов, в SNAP имеется два набора мод, которые могут удовлетворять условию четырехволнового смешения, являющегося результатом керровской нелинейности [11]. Один из них — это набор азимутальных мод с одним радиальным и аксиальным номером (характерное пространственное распределение рис. 1а). Область свободной дисперсии определяется радиусом волокна и имеет типичное значение порядка 500 ГГц для волокна радиусом 62,5 мкм. Ко второму набору эквидистантных мод относятся аксиальные моды с одним азимутальным и радиальным номером (характерное пространственное распределение рис. 1б). Область свободной дисперсии регулируется шириной и высотой формы вариации радиуса и может достигать 100 МГц и меньше [12]. Таким образом, систему SNAP в принципе можно использо-

вать для генерации оптических гребенок как с высокой, так и с низкой частотой повторения [11; 13].

Однако в таких микрорезонаторах нелинейный процесс пока не наблюдался, поскольку большинство экспериментальных попыток было сосредоточено на бутылочных резонаторах [14—16]. Они похожи на SNAP микрорезонаторы, но имеют значительно большие вариации радиуса и, следовательно, меньшие объемы мод, а также гораздо большую область свободной дисперсии для аксиальных мод, поэтому не подходят для генерации ОЧГ с низкой частотой повторений. Поэтому актуальной является задача по разработке теории нелинейной динамики мод шепчущей галереи цилиндрического микрорезонатора с вариацией радиуса, которая позволит выявить возможные препятствия, мешающие наблюдению нелинейных процессов в эксперименте.

Для моделирования нелинейной динамики азимутальных мод в других типах микрорезонаторов ранее было выведено уравнение Лужиато-Лефевера (ЛЛ) [17; 18], которое подходит для описания азимутальных мод и в цилиндре. Для того, чтобы описать динамику аксиальных мод было предложено обобщённое уравнения Лужиато-Лефевера [19], которое было успешно реализовано для бутылочных микрорезонаторов [14; 20; 21]. Однако в предложенных моделях не было учтено влияние тейпера на микрорезонатор, которое приводит к дополнительным потерям, а также дополнительной вариации радиуса [22], поэтому элемент связи, пропускающий свет в микрорезонатор, может заметно нарушить нелинейную динамику, в связи с чем модели на основе уравнения ЛЛ неприменимы для SNAP микрорезонаторов.

Действительно, в большинстве реализованных резонаторов SNAP тейпер используется в качестве элемента связи и находится в прямом физическом контакте с микрорезонатором, в результате чего возникают два значимых эффекта [23]. Во-первых, тейпер приводит к значительному изменению эффективного радиуса, что приводит к сдвигу резонансных частот аксиальных мод. В этом случае сдвиг зависит от положения тейпера z0 вдоль оси микрорезонатора z, поэтому каждая аксиальная мода приобретает различный сдвиг из-за тейпера. Это приводит к дополнительной дисперсии, влияющей на нелинейную динамику. Вторым экспериментально наблюдаемым эффектом является зависимость силы связи от положения тейпера вдоль оси микрорезонатора [23; 24]. Продольное распределение мод вдоль оси микрорезонатора приводит к заметным различиям в интегралах перекрытия аксиальных мод с модой тейпера. По-

скольку различия в силе связи тейпера с разными аксиальными модами могут привести к нарушению синхронизации мод при генерации оптической частотной гребенки, важно учесть данный эффект в модели.

Влияние тейпера учтено в модели, основанной на стационарном уравнении Шредингера, описывающем распределение аксиальных мод [22]. Модель полезна для проектирования необходимых вариаций эффективного радиуса. В работах [13; 25] было сделано расширение этой модели для описания эволюции одной азимутальной моды, а также для двух азимутальных мод [26]. Однако эти модели не учитывают произвольное количество азимутальных мод, и более того, неопределенность нормировки функций распределения аксиальных мод в [22] не позволяет найти точную связь между параметрами связи в динамической модели и экспериментально измеряемыми значениями. Поэтому данная модель не применима для определения реальных пороговых значений мощности нелинейной генерации в эксперименте.

Таким образом, ни одна из существующих моделей не позволяет описать нелинейное взаимодействие аксиально-азимутальных мод в SNAP на количественном и качественном уровне для того, чтобы определить возможность генерации оптической частотной гребенки и солитонных решений в такой системе, определить пороги нелинейной генерации, а также дать рекомендации для оптимизации эксперимента.

Целью данной работы стала разработка математической модели и ее применение для изучения нелинейной динамики аксиально-азимутальных мод шепчущей галереи на поверхности цилиндрического микрорезонатора с вариацией радиуса, находящегося в связи с источником излучения. Одним из основных приложений разрабатываемой математической модели должна была стать оптимизация экспериментальных параметров, необходимых для генерации оптической частотной гребенки и солитонных решений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Вывести систему уравнений, описывающую динамику нелинейных взаимодействий аксиально-азимутальных мод на поверхности волоконного световода.

2. Разработать численную схему для моделирования системы нелинейных уравнений.

3. Провести верификацию численного моделирования, основываясь на результатах аналитического решения в линейном и нелинейном режимах.

4. Провести анализ связи тейпера с микрорезонатором, согласовать параметры связи и мощности источника в моделировании с параметрами, определяемыми в процессе проведения эксперимента и предложить способы ее оптимизации для снижения порога нелинейных эффектов.

5. Провести анализ модуляционной неустойчивости боковых мод для определения экспериментальных параметров микрорезонатора, необходимых для начала нелинейной генерации мод.

6. Провести моделирование нелинейной динамики мод с оптимизированными экспериментальными параметрами и проанализировать возможность наблюдения солитонных решений.

Методы исследования. Для выполнения поставленных задач были использованы теоретические методы, включающие в себя анализ уравнений, поиск аналитических решений, метод графического решения и математическое моделирование, проведённое с помощью специально разработанной численной схемы, реализованной на языке ыешь.

Основные Положения, выносимые на защиту:

1. В цилиндрических микрорезонаторах с вариацией радиуса критическая связь и, как следствие, минимальный порог нелинейных эффектов могут быть достигнуты выбором точки контакта элемента связи вдоль резонатора.

2. Пороговая мощность модуляционной неустойчивости боковых аксиальных мод растет с увеличением отстройки их резонансных частот от частоты накачиваемой аксиальной моды. Для достижения модуляционной неустойчивости при заданной мощности накачки необходима положительная модовая дисперсия, достаточная величина которой определяется параметрами системы.

3. В цилиндрическом микрорезонаторе возможна генерация аксиальных солитонов, спектр которых соответствует оптической частотной гребенке с низкой частотой повторения.

4. Ширина солитона определяется коэффициентом дифракции аксиальных мод и при прочих равных параметрах слабо зависит от профиля вариации радиуса цилиндрического микрорезонатора: уменьшение мо-

довой дисперсии аксиальных мод на порядок не приводит к значительному сужению солитона.

Научная новизна:

1. Впервые была выведена динамическая модель нелинейного взаимодействия мод шепчущей галереи цилиндрического микрорезонатора с малой вариацией радиуса с экспериментально измеряемыми параметрами.

2. Впервые предложен метод минимизации порога нелинейных эффектов Керра в цилиндрическом микрорезонаторе с помощью оптимизации положения тейпера вдоль оси цилиндра.

3. Впервые был проведен анализ модуляционной неустойчивости аксиальных мод, показавший, что для наблюдения генерации первичной ОЧГ необходима положительная модовая дисперсия определенной величины.

4. Впервые проведено моделирование нелинейной динамики аксиальных мод, в результате чего были обнаружены солитонные решения в цилиндрическом микрорезонаторе с параболической и прямоугольной формой вариации радиуса.

Научная и практическая значимость заключается в том, что разработанная математическая модель позволяет рассчитать и оптимизировать экспериментальные параметрами, которые приведут к нелинейной генерации мод в цилиндрическом микрорезонаторе, что будет способствовать получению оптических частотных гребенок с низкой частотой повторения в миниатюрных устройствах.

Степень достоверности. Выведенная обобщенная математическая модель сводится к частным моделям, полученным другими авторами. Выведенная модель в линейном случае согласуется с экспериментальными наблюдениями качественно и количественно.

Личный вклад. В ходе работы автор лично вывел математическую модель из первых принципов и получил все аналитические выкладки. Автором был предложен метод согласования модели с реальными экспериментальными параметрами, а также выдвинуто предположение о независимости существования солитонного решения от формы вариации радиуса, подтвержденное результатами численного моделирования. Все теоретические разработки, пред-

ставленные в данной работе, были выполнены автором лично или при его непосредственно участии.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 публикациях, 3 из которых изданы в рецензируемых междунородных журналах:

1. Kolesnikova A. Y., Vatnik I. D. Modulation-instability analysis of axial-azimuthal modes in surface nanoscale axial photonic microresonators //Physical Review A. - 2024. - Т. 109. - №. 5. - С. 053520, https://doi.org/10.1103/PhysRevA.109.053520 (Q1).

2. Kolesnikova A. Y., Vatnik I. D. Theory of nonlinear whispering-gallery-mode dynamics in surface nanoscale axial photonics microresonators //Physical Review A. - 2023. - Т. 108. - №. 3. - С. 033506, https://doi.org/10.1103/PhysRevA.108.033506 (Q1).

3. Kolesnikova A. Y., Suchkov S. V., Vatnik I. D. Frequency comb generation in SNAP fiber resonator based on axial-azimuthal mode interactions //Optics Express. - 2022. - Т. 30. - №. 7. - С. 10588-10595, https://doi.org/10.1364/0E.450298 (Q1).

5 - в тезисах докладов:

1. Kolesnikova A. Y., Vatnik I. D. Solitons in SNAP microresonator with various shape //2024 International Conference Laser Optics (ICLO). -IEEE, 2024. - С. 267-267.

2. Kolesnikova A. Y., Vatnik I. D. Nonlinear threshold in cylindrical microresonators with small radius variations in the presence of a disturbing coupler //Quantum and Nonlinear Optics X. - SPIE, 2023. - Т. 12775. -С. 8-11.

3. Kolesnikova A. Y., Suchkov S. V., Vatnik I. D. Comb generation in cylindrical microresonators based on optical fibers //Quantum and Nonlinear Optics IX. - SPIE, 2023. - Т. 12323. - С. 1232302.

4. Kolesnikova A. Y., Suchkov S. V., Vatnik I. D. Kerr frequency combs of axial-azimuthal modes in SNAP fiber resonator //2022 International Conference Laser Optics (ICLO). - IEEE, 2022. - С. 1-1.

5. Kolesnikova A. Y. et al. Single-particle sensing capabilities of cylindrical microresonators based on optical fibers //Optical Sensors 2021. - SPIE, 2021. - Т. 11772. - С. 265-269.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на молодежной конкурс-конференции «Оптические и информационные технологии 2021» (2021, Институт автоматики и электрометрии СО РАН, Новосибирск, Россия), международной конференции «20th International Conference Laser Optics 2022» (2022, Санкт-Петербург, Россия), Всероссийской конференции по волоконной оптике (2023, Пермь, Россия), международной конференции «SPIE Optics+Optoelectronics Digital Forum, 2021» (2021, онлайн), международной конференции «SPIE/COS Photonics Asia 2022» (2022, онлайн), международной конференции «SPIE/COS Photonics Asia 2023» (2023, Пекин, Китай), международной конференции «21th International Conference Laser Optics 2024» (2024, Санкт-Петербург, Россия), а также были удостоены премии им. Михаила Городецкого в рамках Конкурса научных работ в области физики квантовых технологий.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 92 страницу с 18 рисунками. Список литературы содержит 122 наименований.

Глава 1. Оптические микрорезонаторы

Оптический микрорезонатор — это своего рода оптическая ловушка для света. Если свет задерживается внутри за счет эффекта полного внутреннего отражения и циркулирует вдоль поверхности резонатора, то такая конфигурация поля называется модами шепчущей галереи. Модой называется определенное устойчивое распределение поля, которому соответствует определенная резонансная частота. Существует большое количество микрорезонаторов, отличающихся материалом изготовления, в качестве которого обычно применяют плавленый кварц, нитрид кремния, халькогениды, полупроводники и т.д. Также резонаторы могут отличаться своей формой, а следовательно, структурой и спектром собственных мод, например они могут иметь форму тороида, сферы, кольца, бутылки, цилиндры и т.д.

За счет малости объема в микрорезонаторах наблюдаются резонансы с добротностью, достигающей значений 108-10 [27], это позволяет концентрировать в малом объеме большую энергию, достаточную для наблюдения нелинейных эффектов, таких как вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР), вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна, эффекты, связанные с нелинейной поляризуемостью среды, включающие в себя эффект Керра. Микрорезонаторы являются важными элементами в оптических системах и устройствах, таких как лазеры, модуляторы, линии задержки, фильтры и детекторы. Они позволяют улучшить эффективность и точность работы этих устройств, а также снизить потребление энергии и уменьшить размеры устройств.

Микрорезонаторы были предложены в качестве фильтра оптических длин волн для телекоммуникационных приложений мультиплексирования с разделением по длине волны, в которых требуются функции добавления и удаления длин волн. Такие фильтры были реализованы на одиночном резонаторе [28], на двух микрорезонаторах[29; 30], а также на каскаде резонаторов [31]. Микрорезонаторы также могут быть использованы в качестве линий задержки [32—34].

Микрорезонатор может быть перспективным элементом для создания микролазера с низким порогом генерации и узкой линией. Лазерной генерации можно добиться путем легирования плавленого стекла редкоземельными металлами, например, в работе [35] была использована микросфера, легиро-

ванная неодимом, или, с помощью нанесения активного слоя на поверхность микрорезонатора, например, как в работе [36], где микросфера была покрыта гелем, легированным эрбием. Помимо этого, оптическая обратная связь от микросферы с высокой добротностью использовалась для сужения спектра миниатюрного высококогерентного диодного лазера [37].

Большой класс приложений лежит в области биосенсинга. Высокая чувствительность к внешним воздействиям микрорезонатора дает возможность детектирования молекул на поверхности за счет изменения добротности и структуры мод микрорезонатора [38—42]. Также микрорезонаторы МШГ применимы для измерения механических смещений. Например, МШГ можно использовать для измерения деформации оптического волокна [43]. В [44] был предложен двухрезонаторный датчик малых смещений, использующий высокую добротность и механическую перестройку нормальных мод в связанных оптических микрорезонаторах. Акселерометр, использующий высокодобротные МШГ, был представлен в [45]. Также был предложен миниатюрный интегрированный оптический датчик МШГ для гироскопических систем [46; 47].

Микрорезонаторы играют важную роль в современной нелинейной оптике. Высокая добротность и большие плотности поля в диэлектрических резонаторах приводят к резонансному усилению нелинейных взаимодействий различного рода, включая керровскую нелинейность, генерацию второй гармоники, вынужденное комбинационное рассеяние, вынужденное рассеяние Бриллюэна. Эти моды дают возможность добиться высокого нелинейного отклика при слабых электромагнитных полях, даже если резонатор изготовлен из материала с низкой нелинейностью. Керровская нелинейность открывает путь к генерации оптических частотных гребенок, являющихся результатом каскадной генерации мод за счет резонансного четырехволнового взаимодействия. Гребенки находят свое применение в различных областях, о чем пойдет речь в следующем разделе.

1.1 Оптические частотные гребенки в микрорезонаторах

Оптическая частотная гребенка представляет собой дискретный набор эквидистантных спектральных линий, возникающий в результате керровских

четырехволновых взаимодействий между модами микрорезонатора из нелинейного материала в результате его накачки непрерывным лазерным излучением. При накачке микрорезонатора лазерным излучением с мощностью, превосходящей пороговую, возникает модуляционная неустойчивость амплитуд боковых мод, что дает старт каскадной генерации других мод микрорезонатора. Аномальная дисперсия групповых скоростей делает возможным существование диссипативного солитона в такой системе. Его появление обусловлено балансом между накачкой и потерями, а также между дисперсией групповых скоростей и нелинейностью [1]. В спектральной области солитон как раз представляет собой набор с высокой точностью эквидистантных узких линий.

Основными характеристиками гребенки являются ширина спектра и частота повторения — спектральное расстояние между линиями в гребенке, определяемое областью свободной дисперсии (ОСД) мод микрорезонатора. В зависимости от области свободной дисперсии гребенки предпочтительны различные приложения: высокая частота повторения ОЧГ ценится в оптической связи и субтерагерцовой генерации, в то время как в приложениях спектроскопии с двумя гребенками подходят ОЧГ с более низкой частотой повторения [8]. Рассмотрим подробнее области применения ОЧГ в зависимости от их характеристик.

В первую очередь ОЧГ на микрорезонаторах находят свое применение в метрологии. Одним из передовых направлений является реализация миниатюрных стандартов частоты с беспрецедентной стабильностью вплоть до 10-18. Для стабилизации оптической частотной гребенки и ее использования в оптических часах необходимо, чтобы ее ширина перекрывала октаву [48]. Экспериментальная реализация октавной гребенки была продемонстрирована на микродиске [49; 50] и на интегральном кольце [51—54], а также была продемонстрирована генерация две трети октавы [52]. Характерное спектральное расстояние между модами 0,5 - 1 ТГц, минимальное составило 16 ГГц при миллиметровом размере резонатора, что является все еще большой частотой для реализации прямых измерений, поэтому вопрос о низкочастотной октавной гребенке в микрорезонаторе остаётся открытым. Также использование оптической частотной гребенки в качестве линейки частот позволяет использовать микрорезонаторы для спектрометрии. В частности, использование гребенок позволило достичь рекордного разрешения, достаточного для детектирования минимальных изменений спектра, вызванных обертонами колебательных уровней молекулы, чего раньше не

удавалось выполнить. Гребенки, охватывающие средний инфракрасный диапазон, позволили обнаружить концентрации газа на уровне 1:1000000000 [55]. Спектроскопия с двойной гребенкой позволяет быстро получать широкополосные рамановские и оптические спектры в радиочастотной области с высокой точностью и беспрецедентным разрешением. Миниатюризация систем спектроскопии с двумя гребенками еще больше расширяет применение этого метода [56]. Повышение разрешения этого метода определяется уменьшением частоты повторения оптической частотной гребенки.

Кроме того ОЧГ выступают в качестве преобразователя оптических частот в микроволновую область, а также в качестве генератора микроволнового излучения с низким фазовым шумом [57]. Также были продемонстрированы радиочастотные фильтры на основе ОЧГ на микрорезонаторах [58—60]. Применением ОЧГ в телекоммуникациях стало использование их в качестве сверкомпактных мультиплексоров, при котором данные передаются одновременно на нескольких оптических длинах волн. Была продемонстрирована безошибочная передача для каждой отдельной линии малошумящей микрогребенки, передаваемой на десятки километров одномодового волокна, с потерей мощности менее 0,5 дБ [61]. В работе [62] поток данных со скоростью 392 Гбит/с был закодирован на шести строках микрогребенки с использованием квадратурной фазовой манипуляции и квадратурной амплитудной модуляции с 16 состояниями.

Развивающаяся область квантовых частотных гребенок, изучающая спектральные многомодовые источники, основанные на возбуждении микрорезонаторов с нелинейностью третьего порядка, начала решать проблемы, связанные с генерацией и манипулированием неклассическими состояниями [63]. Уже было продемонстрировано несколько квантовых источников, основанных на этой концепции, среди них — гребенки коррелированных фотонов [64], пары кросс-поляризованных фотонов [65], запутанные пары фотонов [66; 67], многофотонные состояния [68] и многомерные запутанные состояния [69; 70]. Таким образом, интегрированная платформа для генерации частотной гребенки демонстрирует значительный потенциал для развития значимых квантово-опти-ческих технологий.

Оптические гребенки с характерными частотами повторения от 10 до 1000 ГГц экспериментально были получены в микрорезонаторах различной конфигурации: в кольцевых [71], тороидальных [9], дисковых [72], сферических [73]. В то

же время нет экспериментальных реализаций гребенок с более низкой частотой повторения, которые требовали бы увеличения размеров упомянутых конфигураций микрорезонаторов на порядки. Как было упомянуто ранее, низкая частота повторения предпочтительна для увеличения точности спектроскопии двойной гребенки, а также для осуществления прямых измерений в радиочастотном диапазоне. Для этих целей перспективной является платформа SNAP (Surface Nanoscale Axial Photonics), представляющая собой цилиндрический микрорезонатор с малой вариацией радиуса, в котором существует аксиальный набор мод, позволяющий уменьшить частоту повторения вплоть до сотен мегагерц.

1.2 Цилиндрический микрорезонатор с малой вариацией

эффективного радиуса

Многообещающей платформой для создания ОЧГ с низкой частотой повторения является цилиндрический микрорезонатор мод шепчущей галереи с вариацией эффективного радиуса. Одним из преимуществ такой системы является возможность ее изготовления на поверхности стандартного оптического волокна, которое имеется в любой оптической лаборатории. Для реализации в такой системе аксиальных мод с малой областью свободной дисперсии, необходимой для генерации ОЧГ с низкой частотой повторения, необходимо внести вариацию радиуса.

Существует несколько способов внесения перманентной вариации эффективного радиуса. Самый простой подход заключается в утоньшении волокна с двух концов так, чтобы более толстая область между этими положениями образовывала микрорезонатор. Обычно утончение выполняется путем плавления волокна в сварочном аппарате, пламени или с помощью Ойг-лазера [74]. В работе [75] микрорезонатор был изготовлен методом сращивания волокон — процесс, при котором концы двух сколотых и выровненных оптических волокон нагреваются до температуры плавления и сплавляются вместе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесникова Алена Юрьевна, 2025 год

Список литературы

1. Micro-combs: A novel generation of optical sources [Текст] / A. Pasquazi [и др.] // Physics Reports. — 2018. — Т. 729. — С. 1-81.

2. Udem, T. Optical frequency metrology [Текст] / T. Udem, R. Holzwarth, T. Hansch // Nature. — 2002. — Т. 416. — С. 233—237.

3. Cundiff, S. T. Colloquium: Femtosecond optical frequency combs [Текст] / S. T. Cundiff, J. Ye // Rev. Mod. Phys. — 2003. — Март. — Т. 75, вып. 1. — С. 325—342.

4. Kippenberg, T. J. Microresonator-based optical frequency combs [Текст] / T. J. Kippenberg, R. Holzwarth, S. A. Diddams // Science. — 2011. — Т. 332, № 6029. — С. 555—559.

5. Fortier, T. 20 years of developments in optical frequency comb technology and applications [Текст] / T. Fortier, E. Baumann // Communications Physics. — 2019. — Т. 2. — С. 153.

6. kHz-precision wavemeter based on reconfigurable microsoliton [Текст] / R. Niu [и др.] // Nature Communications. — 2023. — Янв. — Т. 14, № 1. — С. 169.

7. Architecture for microcomb-based GHz-mid-infrared dual-comb spectroscopy [Текст] / C. Bao [и др.] // Nature Communications. — 2021. — Дек. — Т. 12, № 1. — С. 6573.

8. Precision dual-comb spectroscopy using wavelength-converted frequency combs with low repetition rates [Текст] / Y. Sugiyama [и др.] // Scientific Reports. — 2023. — Февр. — Т. 13, № 1. — С. 2549.

9. Optical frequency comb generation from a monolithic microresonator [Текст] / P. Del'Haye [и др.] // Nature. — 2007. — Т. 450, № 7173. — С. 1214—1217.

10. Sumetsky, M. Surface nanoscale axial photonics [Текст] / M. Sumetsky, J. M. Fini // Opt. Express. — 2011. — Дек. — Т. 19, № 27. — С. 26470—26485.

11. Dvoyrin, V. Bottle microresonator broadband and low-repetition-rate frequency comb generator [Текст] / V. Dvoyrin, M. Sumetsky // Opt. Lett. — 2016. — Дек. — Т. 41, № 23. — С. 5547—5550.

12. SNAP microresonators introduced by strong bending of optical fibers [Текст] / D. Bochek [и др.] // Opt. Lett. — 2019. — Июль. — Т. 44, № 13. — С. 3218—3221.

13. Suchkov, S. V. Frequency comb generation in SNAP bottle resonators [Текст] / S. V. Suchkov, M. Sumetsky, A. A. Sukhorukov // Opt. Lett. —

2017. — Июнь. — Т. 42, № 11. — С. 2149—2152.

14. Controllable two-dimensional Kerr and Raman-Kerr frequency combs in microbottle resonators with selectable dispersion [Текст] / X. Jin [и др.] // Photon. Res. — 2021. — Февр. — Т. 9, № 2. — С. 171—180.

15. Pollinger, M. All-optical signal processing at ultra-low powers in bottle microresonators using the Kerr effect [Текст] / M. Pollinger, A. Rauschenbeutel // Opt. Express. — 2010. — Авг. — Т. 18, № 17. — С. 17764—17775.

16. Tunable Brillouin and Raman microlasers using hybrid microbottle resonators [Текст] / S. Zhu [и др.] // Nanophotonics. — 2019. — Т. 8, № 5. — С. 931—940.

17. Lugiato, L. A. Spatial dissipative structures in passive optical systems [Текст] / L. A. Lugiato, R. Lefever // Physical Review Letters. — 1987. — Т. 58, № 21. — С. 2209—2211.

18. Mode-locked Kerr frequency combs [Текст] / A. B. Matsko [и др.] // Optics Letters. — 2011. — Т. 36, № 15. — С. 2845.

19. From the Lugiato-Lefever equation to microresonator-based soliton Kerr frequency combs [Текст] / L. Lugiato [и др.] // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. —

2018. — Т. 376, № 2135. — С. 20180113.

20. Two-dimensional nonlinear modes and frequency combs in bottle microresonators [Текст] / Y. V. Kartashov [и др.] // Opt. Lett. — 2018. — Июнь. — Т. 43, № 11. — С. 2680—2683.

21. Oreshnikov, I. Multiple nonlinear resonances and frequency combs in bottle microresonators [Текст] / I. Oreshnikov, D. V. Skryabin // Opt. Express. — 2017. — Май. — Т. 25, № 9. — С. 10306—10311.

22. Sumetsky, M. Theory of SNAP devices: basic equations and comparison with the experiment [Текст] / M. Sumetsky // Opt. Express. — 2012. — Сент. — Т. 20, № 20. — С. 22537—22554.

23. Coupling between waveguides and microresonators: the local approach [Текст] / D. L. P. Vitullo [и др.] // Opt. Express. — 2020. — Авг. — Т. 28, № 18. — С. 25908—25914.

24. Jin, X. Selective excitation of axial modes in a high-Q microcylindrical resonator for controlled and robust coupling [Текст] / X. Jin, Y. Dong, K. Wang // Applied Optics. — 2015. — Т. 54, № 27. — С. 8100.

25. Crespo-Ballesteros, M. Optimized frequency comb spectrum of parametrically modulated bottle microresonators [Текст] / M. Crespo-Ballesteros, A. B. Matsko, M. Sumetsky // Communications Physics. — 2023. — Т. 6, № 1. — С. 52.

26. Crespo-Ballesteros, M. Controlled Transportation of Light by Light at the Microscale [Текст] / M. Crespo-Ballesteros, M. Sumetsky // Physical Review Letters. — 2021. — Апр. — Т. 126, № 15. — С. 153901.

27. Gorodetsky, M. L. Ultimate Q of optical microsphere resonators [Текст] / M. L. Gorodetsky, A. A. Savchenkov, V. S. Ilchenko // Proceedings of SPIE -The International Society for Optical Engineering. — 1996. — Т. 2799, № 7. — С. 389—391.

28. A robust and tunable add-drop filter using whispering gallery mode microtoroid resonator [Текст] / F. Monifi [и др.] // Journal of Lightwave Technology. — 2012. — Т. 30, № 21. — С. 3306—3315.

29. Low-loss micro-resonator filters fabricated in silicon by CMOS-compatible lithographic techniques: Design and characterization [Текст] / R. Marchetti [и др.] // Applied Sciences (Switzerland). — 2017. — Т. 7, № 2. — С. 1—11.

30. Multiple-channel silicon micro-resonator based filters for WDM applications: erratum [Текст] / S. Xiao [и др.] // Optics Express. — 2007. — Т. 15, № 15. — С. 9386.

31. Cascaded microresonator-based matrix switch for silicon on-chip optical interconnection [Текст] / A. W. Poon [и др.] // Proceedings of the IEEE. — 2009. — Т. 97, № 7. — С. 1216—1238.

32. Sumetsky, M. A SNAP coupled microresonator delay line [Текст] / M. Sumetsky // Optics Express. — 2013. — Т. 21, № 13. — С. 15268.

33. Designing coupled-resonator optical waveguide delay lines [Текст] / J. K. S. Poon [и др.] // Journal of the Optical Society of America B. — 2004. — Т. 21, № 9. — С. 1665.

34. Kalantarov, D. Tunable low dispersion optical delay line using three coupled micro-resonators [Текст] / D. Kalantarov, C. P. Search // Journal of Optics (United Kingdom). — 2017. — Т. 19, № 11.

35. Very low threshold whispering-gallery-mode microsphere laser [Текст] / V. Sandoghdar [и др.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 1996. — Т. 54, № 3. — R1777—R1780.

36. Yang, L. Gain functionalization of silica microresonators [Текст] / L. Yang, K. J. Vahala // Optics Letters. — 2003. — Т. 28, № 8. — С. 592.

37. Narrow-line-width diode laser with a high-Q microsphere resonator [Текст] / V. V. Vassiliev [и др.] // Optics Communications. — 1998. — Т. 158, № 1—6. — С. 305—312.

38. Chao, C.-Y. Design and optimization of microring resonators in biochemical sensing applications [Текст] / C.-Y. Chao, L. Guo // Journal of Lightwave Technology. — 2006. — Т. 24, № 3. — С. 1395—1402.

39. Vollmer, F. Label-free detection with high-Q microcavities: A review of biosensing mechanisms for integrated devices [Текст] / F. Vollmer, L. Yang, S. Fainman // Nanophotonics. — 2012. — Т. 1, № 3/4. — С. 267—291.

40. Righini, G. C. Biosensing by WGM microspherical resonators [Текст] / G. C. Righini, S. Soria // Sensors (Switzerland). — 2016. — Т. 16, № 6. — С. 1—25.

41. High performance SOI microring resonator for biochemical sensing [Текст] / C. Ciminelli [и др.] // Optics and Laser Technology. — 2014. — Т. 59. — С. 60—67.

42. Modeling and analysis of a microresonating biosensor for detection of salmonella bacteria in human blood [Текст] / M. Bahadoran [и др.] // Sensors (Switzerland). — 2014. — Т. 14, № 7. — С. 12885—12899.

43. Huston, A. L. Strain-sensitive elastic scattering from cylinders [Текст] / A. L. Huston, J. D. Eversole // Optics Letters. — 1993. — Т. 18, № 13. — С. 1104.

44. Ilchenko, V. Coupling and tunability of optical whispering-gallery modes: a basis for coordinate meter [Текст] / V. Ilchenko, M. Gorodetsky, S. Vyatchanin // Optics Communications. — 1994. — Т. 107, № 1. — С. 41—48.

45. Acceleration sensor based on high-Q optical microsphere resonator and pedestal antiresonant reflecting waveguide coupler [Текст] / J. P. Laine [и др.] // Sensors and Actuators, A: Physical. — 2001. — Т. 93, № 1. — С. 1—7.

46. Modeling and design of a novel miniaturized integrated optical sensor for gyroscope systems [Текст] / M. N. Armenise [и др.] // Journal of Lightwave Technology. — 2001. — Т. 19, № 10. — С. 1476—1494.

47. Optical gyroscope with whispering gallery mode optical cavities [Текст] / A. B. Matsko [и др.] // Optics Communications. — 2004. — Т. 233, № 1—3. — С. 107—112.

48. Udem, T. Optical frequency metrology [Текст] / T. Udem, R. Holzwarth, T. W. Hansch // Nature. — 2002. — Т. 416, № 6877. — С. 233—237.

49. Octave spanning tunable frequency comb from a microresonator [Текст] / P. Del'Haye [и др.] // Physical Review Letters. — 2011. — Т. 107, № 6. — С. 1—4.

50. Phase-coherent microwave-to-optical link with a self-referenced microcomb [Текст] / P. Del'Haye [и др.] // Nature Photonics. — 2016. — Т. 10, № 8. — С. 516—520.

51. Octave-spanning frequency comb generation in a silicon nitride chip [Текст] / Y. Okawachi [и др.] // Optics Letters. — 2011. — Т. 36, № 17. — С. 3398.

52. Photonic chip based optical frequency comb using soliton induced cherenkov radiation [Текст] / V. Brasch [и др.] // Optics InfoBase Conference Papers. — 2015.

53. Octave-spanning dissipative Kerr soliton frequency combs in Si3N4 microresonators [Текст] / M. H. P. Pfeiffer [и др.] // Optica. — 2017. — Т. 4, № 7. — С. 684.

54. Hybrid InP and SiN integration of an octave-spanning frequency comb [Текст] / T. C. Briles [и др.] // APL Photonics. — 2021. — Т. 6, № 2.

55. Optical frequency comb spectroscopy [Текст] / A. Foltynowicz [и др.] // Faraday Discussions. — 2011. — Т. 150. — С. 23—31.

56. Microresonator soliton dual-comb spectroscopy [Текст] / Q. F. Yang [и др.] // 2017 Conference on Lasers and Electro-Optics, CLEO 2017 - Proceedings. — 2017. — Т. 2017—January. — С. 1—2.

57. Torres-Company, V. Optical frequency comb technology for ultra-broadband radio-frequency photonics [Текст] / V. Torres-Company, A. M. Weiner // Laser and Photonics Reviews. — 2014. — Т. 8, № 3. — С. 368—393.

58. Moss, D. J. On the performance , analysis and design of microwave photonic spectral domain filters based on optical microcombs [Текст] / D. J. Moss. — 2023.

59. Photonic RF and microwave filters based on 49 GHz and 200 GHz Kerr microcombs [Текст] / M. Tan [и др.] // Optics Communications. — 2020. — Т. 465, February. — С. 125563.

60. Reconfigurable radiofrequency filters based on versatile soliton microcombs [Текст] / J. Hu [и др.] // Nature Communications. — 2020. — Т. 11, № 1. — С. 1—9.

61. High-performance silicon-nitride-based multiple-wavelength source [Текст] / J. S. Levy [и др.] // IEEE Photonics Technology Letters. — 2012. — Т. 24, № 16. — С. 1375—1377.

62. Coherent terabit communications with microresonator Kerr frequency combs [Текст] / J. Pfeifle [и др.] // Nature Photonics. — 2014. — Т. 8, № 5. — С. 375—380.

63. Chembo, Y. K. Quantum dynamics of Kerr optical frequency combs below and above threshold: Spontaneous four-wave mixing, entanglement, and squeezed states of light [Текст] / Y. K. Chembo // Physical Review A. — 2016. — Т. 93, № 3. — С. 1—24.

64. Quantum optical microcombs [Текст] / M. Kues [и др.] // Nature Photonics. — 2019. — Т. 13, № 3. — С. 170—179.

65. Massive-mode polarization entangled biphoton frequency comb [Текст] / T. Yamazaki [и др.] // Scientific Reports. — 2022. — Т. 12, № 1. — С. 1—8.

66. Frequency-bin entangled comb of photon pairs from a Silicon-on-Insulator micro-resonator [Текст] / J. Chen [и др.] // Opt. Express. — 2011. — Янв. — Т. 19, № 2. — С. 1470—1483.

67. Quantum teleportation in space and frequency using entangled pairs of photons from a frequency comb [Текст] / H. Song [и др.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2014. — Т. 90, № 4. — С. 1—10.

68. Generation of multiphoton entangled quantum states by means of integrated frequency combs [Текст] / C. Reimer [и др.] // Science. — 2016. — Т. 351, № 6278. — С. 1176—1180.

69. On-chip generation of high-dimensional entangled quantum states and their coherent control [Текст] / M. Kues [и др.] // Nature. — 2017. — Т. 546, № 7660. — С. 622—626.

70. 50-GHz-spaced comb of high-dimensional frequency-bin entangled photons from an on-chip silicon nitride microresonator [Текст] / P. Imany [и др.] // Opt. Express. — 2018. — Янв. — Т. 26, № 2. — С. 1825—1840.

71. CMOS-compatible integrated optical hyper-parametric oscillator [Текст] / L. Razzari [и др.] // Nature Photonics. — 2010. — Т. 4, № 1. — С. 41—45.

72. Papp, S. B. Spectral and temporal characterization of a fused-quartz-microresonator optical frequency comb [Текст] / S. B. Papp, S. A. Diddams // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2011. — Т. 84, № 5. — С. 1—7.

73. Microsphere-based optical frequency comb generator for 200 GHz spaced WDM data transmission system [Текст] / E. A. Anashkina [и др.] // Photonics. — 2020. — Т. 7, № 3.

74. Heat-and-pull rig for fiber taper fabrication [Текст] / J. M. Ward [и др.] // Review of Scientific Instruments. — 2006. — Т. 77, № 8.

75. Ganapathy Senthil Murugan, J. S. W. Selective excitation of whispering gallery modes in a novel bottle microresonator [Текст] / J. S. W. Ganapathy Senthil Murugan, M. N. Zervas // Physical Review Letters. — 2009. — Т. 103, № 5. — С. 11916—11925.

76. Surface nanoscale axial photonics: robust fabrication of high-quality-factor microresonators [Текст] / M. Sumetsky [и др.] // Opt. Lett. — 2011. — Дек. — Т. 36, № 24. — С. 4824—4826.

77. Sumetsky, M. Nanophotonics of optical fibers [Текст] / M. Sumetsky, M. J. Li // Nanophotonics. — 2013. — Т. 2, № 5/6. — С. 393—406.

78. Sumetsky, M. Delay of light in an optical bottle resonator with nanoscale radius variation: Dispersionless, broadband, and low loss [Текст] / M. Sumetsky // Physical Review Letters. — 2013. — Т. 111, № 16. — С. 1—5.

79. Photonic Microresonators Created by Slow Optical Cooking [Текст] / G. Gardosi [и др.] // ACS Photonics. — 2021. — Т. 8, № 2. — С. 436—442.

80. Microresonator devices lithographically introduced at the optical fiber surface [Текст] / N. Toropov [и др.] // Optics Letters. — 2021. — Т. 46, № 7. — С. 1784.

81. Fabrication of surface nanoscale axial photonics structures with a femtosecond laser [Текст] / F. Shen [и др.] // Opt. Lett. — 2016. — Янв. — Т. 41, № 12. — С. 2795—2798.

82. Sumetsky, M. Optical bottle microresonators [Текст] / M. Sumetsky // Progress in Quantum Electronics. — 2019. — Т. 64, April. — С. 1—30.

83. Novikov, A. Changes of the SNAP resonator shape owing to mode energy dissipation [Текст] / A. Novikov, D. V. Kudashkin, I. Vatnik. — 2023.

84. Crespo-Ballesteros, M. Optimized frequency comb spectrum of parametrically modulated bottle microresonators [Текст] / M. Crespo-Ballesteros, A. B. Matsko, M. Sumetsky. — 2022. — Нояб.

85. Vassiliev, V. High Q-factor reconfigurable microresonators induced in side-coupled optical fibres [Текст] / V. Vassiliev, M. Sumetsky // Light: Science and Applications. — 2023. — Т. 12, № 1.

86. Sumetsky, M. SNAP microwave optical filters [Текст] / M. Sumetsky // Optics Letters. — 2021. — Т. 46, № 17. — С. 4144.

87. Sumetsky, M. Slow light optofluidics: a proposal [Текст] / M. Sumetsky // Optics Letters. — 2014. — Т. 39, № 19. — С. 5578.

88. Rectangular SNAP microresonator fabricated with a femtosecond laser [Текст] / Q. Yu [и др.] // Optics Letters. — 2019. — Т. 44, № 22. — С. 5606.

89. Sumetsky, M. Optical bottle microresonators with axially uniform eigenmode field distribution [Текст] / M. Sumetsky // Optics Letters. — 2020. — Т. 45, № 15. — С. 4116.

90. Sumetsky, M. Fundamental limit of microresonator field uniformity and slow light enabled ultraprecise displacement metrology [Текст] / M. Sumetsky // Optics Letters. — 2021. — Т. 46, № 7. — С. 1656.

91. Sumetsky, M. Microscopic optical buffering in a harmonic potential [Текст] / M. Sumetsky // Scientific Reports. — 2015. — Т. 5, October. — С. 1—10.

92. Discovery of parabolic microresonators produced via fiber tapering [Текст] / D. L. P. Vitullo [и др.] // Opt. Lett. — 2018. — Окт. — Т. 43, № 20. — С. 4977—4980.

93. Chembo, Y. K. Modal expansion approach to optical-frequency-comb generation with monolithic whispering-gallery-mode resonators [Текст] / Y. K. Chembo, N. Yu // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2010. — Т. 82, № 3. — С. 1—18.

94. Demchenko, Y. A. Analytical estimates of eigenfrequencies, dispersion, and field distribution in whispering gallery resonators [Текст] / Y. A. Demchenko, M. L. Gorodetsky // J. Opt. Soc. Am. B. — 2013. — Нояб. — Т. 30, № 11. —

C. 3056—3063.

95. Torchigin, V. P. Optical solitons observed during propagation of whispering-gallery modes [Текст] / V. P. Torchigin, S. V. Torchigin // Kvantovaya Elektronika. — 2003. — Т. 33, № 10. — С. 913—919.

96. Ландау, Л. Курс теоретической физики. Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория) [Текст] / Л. Ландау, Е. Лифшиц. — 2002.

97. Boyd, R. W. Nonlinear optics [Текст] / R. W. Boyd. — Academic press, 2020.

98. Chembo, Y. K. Spectrum and dynamics of optical frequency combs generated with monolithic whispering gallery mode resonators [Текст] / Y. K. Chembo,

D. V. Strekalov, N. Yu // Physical Review Letters. — 2010. — Т. 104, № 10. — С. 1—4.

99. Gorodetsky, M. L. Optical microsphere resonators: optimal coupling to high-Q whispering-gallery modes [Текст] / M. L. Gorodetsky, V. S. Ilchenko //J. Opt. Soc. Am. B. — 1999. — Янв. — Т. 16, № 1. — С. 147—154.

100. Yariv, A. Universal relations for coupling of optical power between microresonators and dielectric waveguides [Текст] / A. Yariv // Electronics Letters. — 2000. — Т. 36, № 4. — С. 321.

101. Universal formation dynamics and noise of Kerr-frequency combs in microresonators [Текст] / T. Herr [и др.] // Nature Photonics. — 2012. — Т. 6, № 7. — С. 480—487.

102. Городецкий, М. Оптические микрорезонаторы с гигантской добротностью [Текст] / М. Городецкий. — Физматлит Москва, 2011.

103. Fano resonances in photonics [Текст] / M. F. Limonov [и др.] // Nature Photonics. — 2017. — Т. 11, № 9. — С. 543—554.

104. Tunable oscillating Fano spectra in a fiber taper coupled conical microresonator [Текст] / Y. Lu [и др.] // IEEE Photonics Journal. — 2019. — Т. 11, № 4. — С. 1—7.

105. Spillane, S. M. Fiber-coupled Ultra-high-Q Microresonators for Nonlinear and Quantum Optics Thesis by [Текст] / S. M. Spillane // Thesis. — 2004. — Т. 2004. — С. 143.

106. Low threshold optical oscillations in a whispering gallery mode CaF 2 resonator [Текст] / A. A. Savchenkov [и др.] // Physical Review Letters. — 2004. — Т. 93, № 24. — С. 2—5.

107. Optical hyperparametric oscillations in a whispering-gallery-mode resonator: Threshold and phase diffusion [Текст] / A. B. Matsko [и др.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2005. — Т. 71, № 3. — С. 1—10.

108. Hansson, T. Dynamics of the modulational instability in microresonator frequency combs [Текст] / T. Hansson, D. Modotto, S. Wabnitz // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2013. — Т. 88, № 2. — С. 1—8.

109. Integrated gallium phosphide nonlinear photonics [Текст] / D. J. Wilson [и др.] // Nature Photonics. — 2020. — Т. 14, № 1. — С. 57—62.

110. Temporal solitons in optical microresonators [Текст] / T. Herr [и др.] // Nature Photonics. — 2014. — Т. 8, № 2. — С. 145—152.

111. Kondratiev, N. M. Modulational instability and frequency combs in whispering-gallery-mode microresonators with backscattering [Текст] / N. M. Kondratiev, V. E. Lobanov // Physical Review A. — 2020. — Т. 101, № 1. — С. 13816.

112. Numerical study of solitonic pulse generation in the self-injection locking regime at normal and anomalous group velocity dispersion [Текст] / N. M. Kondratiev [и др.] // Optics Express. — 2020. — Т. 28, № 26. — С. 38892.

113. Kolesnikova, A. Y. Theory of nonlinear whispering-gallery-mode dynamics in surface nanoscale axial photonics microresonators [Текст] / A. Y. Kolesnikova, I. D. Vatnik // Phys. Rev. A. — 2023. — Сент. — Т. 108, вып. 3. — С. 033506.

114. Bender, C. M. Anharmonic Oscillator. II. A Study of Perturbation Theory in Large Order [Текст] / C. M. Bender, T. T. Wu // Phys. Rev. D. — 1973. — Март. — Т. 7, вып. 6. — С. 1620—1636.

115. Temporal solitons in optical microresonators [Текст] / T. Herr [и др.] // Nature Photonics. — 2014. — Т. 8, № 2. — С. 145—152.

116. Herr, T. Dissipative Kerr solitons in optical microresonators [Текст] / T. Herr, M. L. Gorodetsky, T. J. Kippenberg // Nonlinear optical cavity dynamics: from microresonators to fiber lasers. — 2016. — С. 129—162.

117. Gaeta, A. L. Photonic-chip-based frequency combs [Текст] / A. L. Gaeta, M. Lipson, T. J. Kippenberg // nature photonics. — 2019. — Т. 13, № 3. — С. 158—169.

118. Dissipative Kerr soliton microcombs for FEC-free optical communications over 100 channels [Текст] / S. Fujii [и др.] // Opt. Express. — 2022. — Янв. — Т. 30, № 2. — С. 1351—1364.

119. Versatile tuning of Kerr soliton microcombs in crystalline microresonators [Текст] / S. Fujii [и др.] // Communications Physics. — 2023. — Т. 6, № 1. — С. 1.

120. Taha, T. R. Analytical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equations. II. Numerical, nonlinear Schrodinger equation [Текст] / T. R. Taha, M. I. Ablowitz // Journal of Computational Physics. — 1984. — Т. 55, № 2. — С. 203—230.

121. Press, W. H. Numerical recipes 3rd edition: The art of scientific computing [Текст] / W. H. Press. — Cambridge university press, 2007.

122. Lobanov, V. E. Generation of platicons and frequency combs in optical microresonators with normal GVD by modulated pump [Текст] / V. E. Lobanov, G. Lihachev, M. L. Gorodetsky // Europhysics Letters. — 2015. — Дек. — Т. 112, № 5. — С. 54008.