Некоторые задачи КАМ-теории для систем Гамильтона с собственным вырождением частот тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Медведев, Антон Геннадьевич

• Медведев, Антон Геннадьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Медведев, Антон Геннадьевич

Оглавление

Введение

1 Сохранение гиперболических торов в системах Гамильтона

1.1 Гиперболический тор

1.2 Доказательство теоремы 5

2 Гиперболические торы в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром

2.1 Постановка задачи

2.2 Начальные преобразования координат

2.3 Дополнительные преобразования координат

2.4 Вспомогательные утверждения к проведению КАМ-преобразований

2.5 Построение КАМ-процедуры

2.6 Доказательство сходимости КАМ-процедуры

2.7 Пример: геодезический поток на торе

3 Лагранжевы торы в малой окрестности резонанса кратности один систем Гамильтона близких к интегрируемым

3.1 Торы в окрестности поверхности резонанса кратности один

3.2 Введение системы координат, удобной для проведения КАМ-

процедуры

3.3 Начальный гамильтониан

3.4 Гамильтониан Нт

3.5 Шаг КАМ-процедуры

3.6 Дополнительное преобразование координат

3.7 Последовательности <jm, дт, sm, Lm, Nm, Am

3.7.1 Неравенство (4.7)

3.7.2 Неравенства (4.8),(4.9),(4.10)

3.7.3 Неравенства (5.6),(5.7)

3.7.4 Неравенства (6.3),(6.6),(6.7)

3.8 Доказательства

3.8.1 Доказательство предложения 3.4.1

3.8.2 Доказательство предложения 3.5.1

3.8.3 Доказательство предложения 3.5.2

3.8.4 Доказательство предложения 3.6.1

3.8.5 Доказательство предложения 3.7.1

3.8.6 Доказательство предложения 3.8.1

3.8.7 Доказательство предложения 3.8.2

3.9 Вспомогательные леммы

3.9.1 Лемма о Д/'-проекции

3.9.2 Лемма о введении переменных дейстие-угол

3.9.3 Лемма о неявной функции

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи КАМ-теории для систем Гамильтона с собственным вырождением частот»

Введение

Классические КАМ-теоремы

Рассмотрим функцию Гамильтона Н(р,д), определенную на 2п-мерном многообразии М (считаем функцию и многообразие гладкими). Предположим, что система Гамильтона имеет п первых интегралов ^ = Н,..., Гп. Теорема Лиувилля-Арнольда [3] утверждает, что если:

• скобка Пуассона любых двух интегралов равна нулю = О (т. е. п первых интегралов находятся в инволюции),

• функции ^ независимы на множестве уровня М/ : {(р, (?) 6 М : ШРуЯ) = /г> ^ — ...,71} (т. е. п 1-форм б^ линейно независимы в каждой точке М/).

Тогда:

1. М/ - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона Н =

2. Если многообразие М/ компактно и связно, то оно диффеоморфно п-мерному тору Тп — {(с/?ь ..., <£?п)(гшхк127т)}.

3. Фазовый поток с функцией Гамильтона Н определяет на М/ условно-периодическое движение, т. е. в угловых координатах (/? = (с/?1,..., </?п)

4. Канонические уравнения с функцией Гамильтона Н интегрируются в квадратурах.

Естественным вопросом является задача о динамике в системе, полученной из вполне интегрируемой в результате малого возмущения. В частности, о существовании инвариантных торов у систем близких к интегрируемым. Если рассматривать простые частные случаи невырожденного нульмерного (положение равновесия) и невырожденного одномерного торов (периодическое решение), то легко показать, что такие объекты сохраняются при малом возмущении исходной системы. Оба случая подробно рассматриваются в классических учебниках по теоретической механике (см. например [3]). Для доказательства достаточно применить теорему о неявной функции.

Существенно более сложная задача - сохранение торов размерности выше первой. Этот вопрос волновал классиков небесной механики и наиболее явно был поставлен в работах А. Пуанкаре [31]. Трудности, возникающие в случае двух и более частот, связаны с наличием в рядах теории возмущения малых знаменателей, существенно затрудняющих исследование вопросов сходимости. Наиболее эффективный метод доказательства сходимости рядов теории возмущения в присутствии малых знаменателей был изобретен А. Н. Колмогоровым [20]. Далее метод был усовершенствован В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Набор теорем и методов, возникший в результате развития этого подхода, получил название теории KAM. Данная диссертация посвящена некоторым новым задачам теории KAM.

Рассмотрим возмущение интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом Яо(/), записанной в переменных "действие-угол":

Н{1,<р,£) = Н0{1)+еН1{1, <£,£), IeD сГ, ip е тп (0.1)

Гладкую функцию eHi(I,lp,e) будем называть возмущением, е - малая положительная константа. Предположим, что функция Н0(1) - невырождена, т.е.

В Н

det-^(/)^0. (0.2)

Наивной классической идеей является введение новой канонической системы координат (1,ф), в которой функция Гамильтона Я зависит только от переменных I. Соответственно инвариантные торы в возмущенной системе будут иметь уравнение / = const. Однако, существование таких координат противоречит неинтегрируемости возмущенной системы. Техническим выражением этого обстоятельства является присутствие в рядах Фурье, задающих переход к новым переменным, малых знаменателей (к, is), где к - целочисленный вектор размерности п, отвечающий коэффициенту Фурье, a v — Щ^ - вектор частот. Такие ряды, вообще говоря, не определены при I, задающих резонансный вектор г/, и расходятся при некоторых других и.

В статье [20] 1954-го года А.Н. Колмогоров предложил схему, позволяющую обойти эту трудность. Предлагалось рассматривать только те торы, частоты которых удовлетворяют диофантовым условиям

\(k,v) kezn\{0},

где с > 0 и 7 > n - 1. В окрестности таких торов проводится счетное количество канонических замен координат. В ходе каждой замены порядок малости возмущения повышается квадратично. Квадратичная сходимость позволяет справиться с малыми знаменателями, но только на рассматриваемом торе. Сформулируем теорему Колмогорова:

Теорема 1 Диофантовый инвариантный n-мерный тор невырожденной вещественно-аналитической системы Гамильтона с п степенями

свободы сохраняется при малых вещественно-аналитических возмущениях.

Эта теорема и ее доказательства В.И. Арнольда [1] и Ю. Мозера [22] (случай гладких функций, а также распространение на случай обратимых систем) положили начало теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.

В работах Ю. Пёшеля [30] и Д. Саламона [34] для гладких КАМ-теорем класс гладкости был приближен к оптимальному.

Требование невырожденности функции Но может быть ослаблено до невырожденности по Рюссману. Соответствующая КАМ-теорема была независимо опубликована Г. Рюссманом [33], Ю. Сунем и Ч. Ченом [13] и М.Б. Севрюком [36], [37].

В работах В.Ф. Лазуткина [21], А.И. Нейштадта [28] и Н.В. Сванидзе [35] была получена оптимальная оценка на меру множества сохраняющихся торов. Оказывается, что в случае невырожденного Но п-мерные торы в возмущенной системе с п степенями свободы заполняют все пространство за исключением множества меры порядка л/е. Соответствующие оценки на меру при ослабленных условиях невырожденности были получены М. Б. Севрюком в работе [37].

В практических задачах часто встречается случай собственного вырождения частот, когда невозмущенный гамильтониан не зависит от части переменных действия. Такая ситуация наблюдается во многих задачах небесной механики.

КАМ-теорема для случая собственного вырождения частот была сформулирована и доказана В. И. Арнольдом в работе [2]. Особенностью задач подобного рода является то, что часть частот тора в возмущенной системе имеет порядок е.

В статье [5] В.И. Арнольдом была рассмотрена автономная система с одной степенью свободы, периодически зависящая от параметра т. Там

же сформулирована теорема о том, что если параметр т менятся с малой постоянной частотой т = то неавтономная система Гамильтона будет иметь в расширенном фазовом пространстве двумерные инвариантные торы. В главе 2 мы в некотором смысле обобщим этот результат.

С основными современными результатами КАМ-тории можно познакомиться в книге [4], а также в обзорной статье М. Б. Севрюка [38].

КАМ-теория для гиперболических торов

К классическим задачам КАМ-теории относятся вопросы о сохранении маломерных торов (т. е. размерности, меньшей числа степеней свободы), в частности гиперболических. Пусть система Гамильтона с п степенями свободы имеет /-мерный инвариантный тор Т1, I < п. Не вдаваясь в строгие формулировки, дадим качественное определение гиперболического тора

Определение 0.0.1 Инвариантный тор называется гиперболическим (точнее, частично нормально гиперболическим), если в каждой точке существуют два (п — I)-мерных инвариантных относительно линеаризованного фазового потока подпространства в касательном пространстве к тору: устойчивое и неустойчивое. В направлении устойчивого подпространства линеаризованный фазовый поток экспоненциально "сжимает" в направлении неустойчивого - экспоненциально "растягивает".

Простейшим примером такого тора является верхнее неустойчивое положение равновесия маятника. В этом случае I — 0 (нульмерный тор - это точка), а подпространства - касательные к сепаратрисам.

Классические результаты по вопросу сохранения гиперболических ди-офантовых торов содержатся в работах Ю.Н. Бибикова [7], С. Граффа

[17] и Э. Цендера [44]. Эти результаты распространяют теорему Колмогорова на случай гиперболических торов:

Теорема 2 Диофантповый инвариантный гиперболический тор невырожденной вещественно-аналитической системы Гамильтона сохраняется при малых вещественно-аналитических возмущениях.

Как и в случае теоремы Колмогорова доказаны утверждения о сохранении гиперболических торов с ослабленными условиями невырожденности, см. [9], [15] . Еще один вариант теоремы о сохранении гиперболических торов присутствует в качестве промежуточного результата в работе Д.В. Трещева [40] о механизмах разрушения резонансных торов.

Заметим, что в этих работах авторы предлагают координатное определение тора.

Теории гиперболических торов посвящены главы 1 и 2 данной диссертации. В работе C.B. Болотина и Д.В. Трещева [10] дается инвариантное определение гиперболического тора, обобщающее традиционное координатное определение. Там же формулируется гипотеза о том, что методы, предложенные в доказательстве С. Граффа с небольшими уточнениями работают для гиперболических торов в смысле определения из [10]. Для того чтобы это показать, необходимо изменить доказательство некоторых лемм из работы Граффа, что мы и сделаем в главе 1, результаты которой в сокращенном виде содержатся в статье [24].

Стоит отметить, что задача о сохранении гиперболических торов, в смысле инвариантного определения, не является новой. В работе [43] доказывается общая теорема, из которой, в частности, следует сохранение гиперболических торов в определении, близком по смыслу к определению Болотина и Трещева. Однако, методы [43] достаточно громоздкие.

Используя леммы и определения из главы 1, в главе 2 данной диссертации мы сформулируем и докажем КАМ-теорему, распространяющую

Рис. 1: Двумерный тор, расслоенный на гиперболические орбиты.

теорему В.И. Арнольда о существовании двумерных инвариантных торов у систем с медленно меняющимся параметром из [5] на случай наличия гиперболических координат. Не вдаваясь в строгие определения, сформулируем основной результат главы 2.

Рассмотрим систему Гамильтона с вещественно-аналитичным гамильтонианом Н(у, г), периодически зависящим от параметра т = т (тос127г), V е М, джкМ = 2п.

Пусть задан интервал энергии (к\, /¿2)- Зафиксируем уровень энергии Н(у,т) — Ио £ (/11,^2)- Предположим, что для каждого значения параметра т система имеет гиперболическое периодическое решение (тор размерности один) с частотой и (ко , т).

Уровню энергии ко в расширенном фазовом пространстве МхТ соответствует двумерный тор Т^ , расслоенный на периодические гиперболические орбиты (см. рис. 2.2). Пусть {и) (/го) = ^ /02?Г и (к о, т) <1т - средняя по т частота обращения по тору Т| . Справедлива теорема

Теорема 3 Еслие > 0 достаточно мало, вектор ((и)(ко),е) диофантов и средняя частота обращения по тору невырождена, т.е. ^-(ко) Ф

О, то в расширенном фазовом пространстве неавтономной системы с гамильтонианом Н(у, е{) существует двумерный инвариантный вещественно-аналитичный гиперболический тор с вектором частот

((")%),е).

Замечание 0.0.1 Строгие определения диофантового вектора частот ({и)(1го),£) и гиперболического тора в случае неавтономной системы будут даны в главе 2.

Доказательство теоремы проводится по схеме схожей со схемой С. Граффа, с учетом специфики построения КАМ-процедуры для систем с собственным вырождением частот.

Скорее всего эту теорему можно обобщить на случай гиперболических торов произвольной размерности, предположив существование у неавтономной системы гиперболического тора размерности два и более. Но доказательство будет более громоздким.

Гиперболические торы в системах с медленно меняющимися параметрами возникают в работах о задаче Мезера - возмущении геодезического потока на торе периодическим по времени потенциалом ( см. [29],[11],[18]). В статье [18] методами теории инвариантных гиперболических многообразий (подробнее см. [42]) показывается существование гиперболических торов в системах вида Н{у,{) = Но(у) + £2Н\(у,£^ в предположении, что невозмущенная система имеет гиперболическое решение. В отличии от нашей задачи в [18] частота невозмущенной системы постоянна, возмущение имеет порядок £2. Кроме того, теория инвариантных гиперболических многообразий позволяет установить лишь конечную гладкость получаемых торов.

Результаты диссертационной работы, относящиеся к теореме 3, опубликованы в статье [23] и докладывались на конференции "Ломоносов 2013" [26].

Инвариантные торы в окрестности резонанса

Важной областью исследований является поведение траекторий возмущенной системы Гамильтона в окрестности резонансных торов, т.е. когда частоты соизмеримы с целочисленным вектором.

В качестве одного из первых продвижений в этом направлении можно назвать известную теорему А. Пуанкаре [31], в которой утверждается, что торы, состоящие из периодических решений, разрушаются не полностью. Некоторые из этих решений при возмущении сохраняются и становятся невырожденными. Более сложный случай возможности существования маломерных торов (размерности два и выше) в окрестности резонансного тора был рассмотрен в работе [40]. В ней Д.В. Трещев показал, что при определенных условиях общего положения в окрестности невозмущенного резонансного тора при каждом малом значении параметра возмущения существует инвариантный гиперболический тор размерности п — I, где п — число степеней свободы, а I — кратность резонанса. Позже его результат был обобщен в статьях [14] и [32].

Важно отметить, что маломерные торы имеют в фазовом пространстве нулевую меру, поэтому они невидимы при численном моделировании.

Одной из задач данной диссертационной работы является описание механизмов возникновения торов полной размерности, не являющихся стандартными КАМ-теоремами; доказательство их существования и оценка их меры в окрестности резонанса. Перейдем к описанию численного эксперимента, указывающего на существование таких торов.

Рассмотрим симплектическое отображение:

{у,х)^{у+,х+), у еж2, *ет2, у+ = у-е дУ/дх, х+ = х + у+, V = У(х).

(0.3) (0.4)

Рис. 2: КАМ-торы Пусть потенциал V имеет вид

V — ai cos(xi + tpi) 4- а2 cos(x"2 4- <рг) + а3 cos(.ti - х2 + <рз),

где ai, а,2, аз, (pi, Рз,£ — константы.

Зададим ау ~ 1, ipj ~ 1 и величину возмущения е ~ 1/10. С помощью компьютерной программы изучим проекции на плоскость R2 = {у} типичных траекторий рассматриваемого симплектического отображения. Отметим, что поскольку отображение (0.3) коммутирует со сдвигами у н-» у + 2ттк, к Е Z2, можно перейти к фактор системе с компактным фазовым пространством R2/27rZ2. Другими словами, можно считать, что у — точка тора Т2. Будем варьировать начальные условия и отмечать типы встречающихся картинок. Поскольку данные расчеты имеют иллюстративный характер, не будем приводить код программы, точные начальные условия и константы.

Итак, основные типы картинок следующие:

1. Как и следовало ожидать, наиболее часто встречаются проекции стандартных КАМ-торов. Они занимают все фазовое пространство за исключением множества меры порядка у/е. Мы можем наблюдать такие торы при случайно заданных начальных условиях с вероятностью 1 — С\у/е, где С\ — положительная константа. Типичные примеры проекций КАМ-торов изображены на рис. 2.

Рис. 3: Хаотические траектории

2. Варьируя начальные условия, можно получить траектории с хаотической динамикой (рис. 3). Эти траектории близки к предыдущим, но имеют размытую структуру. При увеличении возмущения такие траектории полностью теряют очертания и могут заполнять значительную долю пространства действий Т2. Если е > 0 мало, то вероятность попасть в область хаоса при случайных начальных условиях не превосходит величин порядка у/е.

3. Еще один тип траекторий, который удается наблюдать — это "замкнутые ленты". Примеры таких траекторий можно видеть на рис. 4. В главе 3 мы подробно рассмотрим эти траектории, объясним механизм их возникновения и оценим меру. Упоминание похожих объектов есть в классическом учебнике В. И. Арнольда [3]. В добавлении 8 Арнольд предлагает рассмотреть распад резонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного (то есть гг-мерный вектор частот, где любой (п — 1)-мерный набор частот диофантов). Далее предлагается усреднить возмущение по (п — 1)-мерным частотам и рассмотреть полученную консервативную систему с одной степенью свободы. Частота колебаний консервативной системы будет порядка у/ё. Автор говорит о возможности доказательства методами КАМ-теории существования в окрестности резонанса торов, имеющих п — 1 быструю частоту порядка 1 и одну медленную порядка у/ё. В нашем исследовании мы будем руководствоваться

Рис. 4: Торы в окрестности резонанса, "замкнутые ленты"

Рис. 5: Торы вокруг устойчивого периодического решения

планом, предложенным В. И. Арнольдом. Помимо доказательства существования таких торов, мы дадим оценку на их меру в окрестности резонанса. Будет показано, что мера этого множества — вся резонансная область1 за исключением множества относительной меры порядка у/е. Значит, вероятность увидеть "замкнутую ленту" ~ у/е (область, в которой существуют рассматриваемые торы, несколько отличается от окрестности в классическом понимании этого термина, подробности см. далее). Численное моделирование траекторий, близких к тем, что изображены на рис. 4 присутствует в работе [39].

4. Значительно реже чем стандартные КАМ-торы и "замкнутые ленты" удается наблюдать траектории, представляющие собой набор плоттера этой области для каждого типичного резонанса кратности один ~ у/ё и быстро убывает с ростом порядка резонанса

но заполненных "пятен" на плоскости Е2 = {у}, см. рис. 5. Данный тип траекторий — инвариантные торы, расположенные около устойчивого в линейном приближении периодического решения. В нашем случае эти торы лежат в резонансной области, соответствующей резонансу кратности два. Так как мера этой области порядка то вероятность увидеть этот тип траекторий не превосходит С2е для некоторой положительной константы С2.

Строгая формулировка и доказательство теоремы, описывающей торы из п. 3, содержится в главе 3. Во введении ограничимся иллюстративными рассуждениями в упрощенном случае — когда резонансный вектор частот имеет одну нулевую компоненту.

Рассмотрим систему Гамильтона близкую к интегрируемой

X = дН/дУ, У = -дН/дХ, YeVcRn+l, X е Тп+1, (0.5) Н = Н0(У) + £Нг(У,Х) + О(£2), е>0, и) = (1У/\(1Х. (0.6)

Пусть система имеет резонансную гиперповерхность Е вида (в главе 3 представлены рассуждения для поверхностей общего вида)

Вектор частот и(У) = ^Щг(У) резонансный. Соответствующий резонанс — (0,..., 0,1). Предположим, что в окрестности Е имеем ду2 0 (У) ф 0. Тогда можно разрешить уравнение Е относительно Уп+1

В координатах (у,х,р,д), где

У = {У1, ■■■ ,Уп) ~ (У\, ■■■ 1 Уп), Р = £-1,2{Уп+1 - С(у)),

х = (жь ..., хп) = (XI + Су^, ...,Хп + д = Хп+и

резонансная поверхность Е имеет простое уравнение {р = 0}.

п+Ь

Симплектическая структура и гамильтониан принимают вид

ш — dy A dx + \fe dp A dq, A {y) + e{\A{y)p2 + u{y, q)) + eU^y, x, q) + £3/2U2{y,p, a-, q, л/ё),(0.7)

где

В2 И

л (у) = я0(з/, ОД), лад = —^-(у, СЫ).

71+1

Функции и, U\ я U2 получаются из разложения Гамильтониана в ряд и усреднения по х. Эти преобразования подробно описаны в главе 3. С точностью до éU\ + £3//2f/2 мы имеем интегрируемую систему, представляющую из себя сумму натуральной системы с одной степенью свободы и периодическим потенциалом в координатах р, q (гамильтониан \А(у)р2 + u(y,q)) и n-мерного ротатора (гамильтониан А (у)).

Отметим, что переменные у являются первыми интегралами. Если и{у> q) = —cosq, то в качестве системы с одной степенью свободы получаем математический маятник. Для краткости будем эту систему называть маятником и в общем случае.

Нас интересует область Vos, в которой "маятник" |А(у)р2 + и(у, q) совершает колебательные движения. Для каждого у рассмотрим экстремальные значения "потенциала" и:

u{y,Qmm{y)) = minu(y,g), u{y,qm&x(y)) = maxu{y,q). (0.8)

дет ÇGT

Тогда Vos задается неравенствами

Vos = {{y,P,z,q) ■ u(y,qmin) < ^A{y)p2 + u{y, q) < u{y,qm&x)}. (0.9)

Мера области Vos в исходных переменных Y, X имеет порядок у/е, это следует из формулы Yn+\ = у/ер -I- G (у).

Легко видеть, что в Vos система "ротатор + маятник" имеет инвариантные (п 4- 1)-мерные торы Т^(е), где 7 — замкнутая кривая на

Рис. 6: Фазовый портрет "маятника". Область V0 при {у = const} закрашена серым цветом, 7а и — траектории, соответствующие одному уровню энергии.

плоскости (p,q), соответствующая компоненте связности уровня энергии маятника, характеризующая колебательную составляющую движения. Пример фазового портрета маятника изображен на рис. 6. Символами 7а и 7ь обозначены две траектории, соответствующие одному уровню энергии.

Для получения некоторых оценок, важных при доказательстве сходимости КАМ-процедуры (подробнее см. в главе 3), необходимо отступить от сепаратрис маятника. Соответствующая область Vq при у = const закрашена на рис. 6 серым цветом.

Оказывается, большинство из торов Т™*1^) не разрушаются, а в слегка деформированном виде существуют в основной системе с гамильтонианом (0.7). Сформулируем основной результат третьей главы:

Теорема 4 Предположим, что система с гамильтонианом (0.7) вещественно-аналитична. Пусть £q > 0 достаточно мало. Тогда для любого е < £ц большинство торов Т^^ег) С Ро сохраняются при возмущениях и существуют в основной системе. Для некоторой константы С > 0, не зависящей от £, мера множества таких торов в Vq не

менее чем }л(Т>о) — Се.

Замечание 0.0.2 Так как мера Vо в исходных координатах У, X имеет порядок у/е, то относительная мера сохраняющихся торов - вся область Vо, за исключением множества относительной меры порядка

Так как одна частота рассматриваемого тора имеет порядок у/е, то задача принадлежит к классу КАМ-теорем для систем с собственным вырождением частот.

Результаты этой части диссертационной работы содержатся в работе [25], выполненной в соавторстве с А. И. Нейштадтом и Д.В. Трещевым. Результат докладывался на конференции МСТМ-2013 [27].

Постановка задачи, ее формализация и план проведения КАМ-процедуры принадлежат соавторам работы: А. И. Нейштадту и Д. В. Трещеву. Мой вклад в данную работу состоит в подробном описании КАМ-процедуры и в доказательстве ее сходимости.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В главе 1 рассматривается задача о сохранении гиперболических торов при возмущениях. В параграфе 1.1 приводятся определения гиперболического тора, нерезонансного и диофантового вектора частот, формулируется теорема, обобщающая теорему С. Граффа. Параграф 1.2 посвящен доказательству этой теоремы. Там же формулируются некоторые определения и леммы, которые используются в главе 2.

Глава 2 содержит один из двух основных результатов данной диссертационной работы — теорему о сохранении гиперболических торов

в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром, которая сформулирована в параграфе 2.1.

Дальнейшую часть главы 2 можно условно разделить на два больших раздела. Первый условный раздел (параграфы 2.2 и 2.3) содержит описание преобразований, цель которых — приведение функции Гамильтона к виду (нормальной форме), максимально удобному для последующего проведения КАМ-процедуры. Результатом является построение нормальной формы, близкой к форме из теоремы С. Граффа. Второй условный раздел (параграфы 2.4-2.6) посвящен построению КАМ-процедуры и доказательству ее сходимости. В заключительном параграфе 2.7 главы 2 представлен пример.

В главе 3 формулируется и доказывается второй основной результат диссертации — теорема о существовании инвариантных торов в окрестности резонанса и об оценке их меры. Формулировка теоремы и предварительные преобразования содержатся в параграфе 3.1. Далее, как и в предыдущей главе, следуют параграфы 3.2 и 3.3, в которых выбирается удобная система координат. Оставшаяся часть главы посвящена техническим аспектам КАМ-процедуры.

Так как главы 1, 2 и глава 3 представляют собой по сути две разные задачи, то обозначения некоторых функций, возникающих в процессе рассуждений, могут совпадать.

В заключении представлены основные результаты работы.

Я выражаю благодарность своему научному руководителю Дмитрию Валерьевичу Трещеву за всестороннюю поддержку, полезные обсуждения и замечания при написании данной диссертационной работы, при подготовке статей и докладов.

Глава 1

Сохранение гиперболических торов в системах Гамильтона

В этой главе мы покажем, что методы доказательства сохранения гиперболических торов, предложенные С. Граффом в работе [17] с небольшими уточнениями по-прежнему работают для гиперболических торов в смысле инвариантного определения из [10].

Результаты данной главы в сжатом виде содержатся в статье "Сохранение гиперболических торов в системах Гамильтона" [24].

1.1 Гиперболический тор

Рассмотрим вещественно-аналитичную систему Гамильтона (М, и, 71) с гамильтонианом Н, где фазовое пространство (М, со) — симплектическое многообразие размерности 2п. Напомним определения из статьи [10]. Пусть К С М — /-мерный инвариантный тор рассматриваемой системы, I < п. Фазовый .поток д1 на К квазипериодичен с вектором частот

V.

Определение 1.1.1 Тор К называется гиперболическим, если существуют два гладких подрасслоения Е3'и в Т^М таких, что:

1. размерность слоев каждого подрасслоения равна п — I;

2. Еэ,и инвариантны относительно линеаризованного фазового потока:

Од\ш)Е^ = Е3/н, ъиеК, ¿еМ;

3. линеаризованный фазовый поток сжимает на Ев и растягивает на Еи, то есть существуют положительные константы С и X, для которых

\Од^)\Е1\<Се-х\ шеК, * > О,

\Пд-*{у))\Еи\<Се-*, шеК, * > О.

Ев называется устойчивым подрасслоением, Еи — неустойчивым.

Здесь и далее | • | — стандартная норма линейного оператора или (в зависимости от контекста) стандартная евклидова норма в Ет. Символом (•, •) будем обозначать скалярное произведение.

Определение 1.1.2 Вектор частот у и соответствующий ему тор К называются нерезонансными, если справедливо соотношение

{к, и) ^¿0, кеХ1\{о}.

Если для некоторых констант с > 0 и^у > 1 — 1 выполнено неравенство

вектор и и тор К называются диофантовыми.

Определение 1.1.3 (см. [10]) Инвариантный тор К называется невырожденным, если все ограниченные решения уравнений в вариациях лежат в касательном расслоении тора, иными словами, если из того, что для вектора и Е ТЫМ, и) £ К при всех £ справедливо \Од*(ги)и\ < С, вытекает и Е Ту^К.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Медведев, Антон Геннадьевич, 2013 год

Литература

[1] В. И. Арнольд, "Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона", УМН, 18:5(113), 1964, с. 13-40

[2] В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 18:6(114), 1963, с. 91-192

[3] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, УРСС, М, 2003

[4] В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, УРСС, М., 2002

[5] В. И. Арнольд, "О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона", Докл. АН СССР, 142:4, 1962, с. 758-761

[6] В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, Симплектическая геометрия, Наука, М., 1981

[7] Ю. Н. Бибиков, "Усиление одной теоремы Мозера", Докл. АН СССР, 213:4, 1973, с. 766-769

[8] N. Brannstrom, V. Gelfreich, "Drift of slow variables in slow-fast Hamiltonian systems", Phys. D, 237:22, 2008, p. 2913-2921

[9] H. W. Broer, G. В. Huitema, and M. В. Sevryuk, Families of quasi-periodic motions in dynamical systems depending on parameters, Nonlinear dynamical systems and chaos (Groningen, 1995), Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., vol. 19, Birkháuser, Basel, 1996, p. 171-211

[10] S. V. Bolotin, D. V. Treschev, "Remarks on the definition of hyperbolic tori of Hamiltonian systems", Regul. and Chaotic Dynamics, 5:4, 2000, p. 401-412

[11] S. Bolotin, D. Treschev, "Unbounded growth of energy in nonautonomous Hamiltonian systems", Nonlinearity, 12:2, 1999, p. 365-388

[12] С. В. Болотин, Д. В. Трещев, "Формула Хилла", УМН, 65:2(392), 2010, с. 3-70

[13] Ch.-Q. Cheng and Y.-S. Sun, "Existence of KAM tori in degenerate Hamiltonian systems", J. Differential Equations 114 (1994), no. 1, 288335

[14] F. Cong, T. Kupper, Y. Li, and J. You, "KAM-type theorem on resonant surfaces for nearly integrable Hamiltonian systems", J. Nonlinear Sci., 10:1, 2000, p. 49-68

[15] F. Cong, Y. Li, and D. Jin, "Invariant hyperbolic tori for Hamiltonian systems with Rüssmann nondegeneracy conditions", Rocky Mountain J. Math., 29:3, 1999, p. 831-851

[16] V. Gelfreich, D. Turaev, "Unbounded energy growth in Hamiltonian systems with a slowly varying parameter", Comm. Math. Phys., 283:3, 2008, p. 769-794

[17] S. M. Graff, "On the conservation of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems", J. Differential Equations, 15:1, 1974, p. 1-69

[18] A. Delshams, R. de la Llave, T. M. Seara, "A geometric approach to the existence of orbits with unbounded energy in generic periodic perturbations by a potential of generic geodesic flows of T2", Comm. Math. Phys., 209:2, 2000, p. 353-392

[19] M. R. Herman, "Inégalités "a priori" pour des tores lagrangiens invariants par des difféomorphismes symplectiques", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 70, 1989, p. 47-101

[20] A.H. Колмогоров, "О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона", Докл. АН СССР, 98:4, 1954, с. 527-530

[21] В. Ф. Лазуткин, "К теореме Мозера об инвариантных кривых", В сб.: Вопр. динамич. теории распростр. сейсмич. волн., вып. 14., Л.: Наука, 1974, с. 109-120

[22] J. Moser, "On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus", Nachr. Akad. Wiss. Gôttingen Math.-Phys. Kl. II, 1962, p. 1-20

[23] А. Г. Медведев, "Гиперболические торы в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром", Матем. сб., 204:5, 2013, с. 45-66

[24] А. Г. Медведев, "Сохранение гиперболических торов в системах Гамильтона", Матем. заметки, 95:2, 2014 (принята в печать)

[25] A. G. Medvedev, A. I. Neishtadt, D. V. Treschev, "Lagrangian tori near resonances of near-integrable Hamiltonian systems", arXiv: 1311.0132 (http://arxiv.org/abs/1311.0132)

>

[26] А. Г. Медведев, "Гиперболические торы в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром", материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2013" / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс], М.: МАКС Пресс, 2013, 1 электрон, опт. диск (DVDROM)

[27] А. Г. Медведев, А. И. Нейштадт, Д. В. Трещев, "Лагранжевы торы в окрестности резонанса системы Гамильтона близкой к интегрируемой", тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике, Суздаль 2013 г., с. 166

[28] А. И. Нейштадт, "Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений", ПММ., 45:6, 1981, с. 1016-1025

[29] Г. Н. Пифтанкин "Скорость диффузии в задаче Мезера", Докл. РАН, 408:6, 2006, с. 736-737

[30] J. Pöschel, "Uber invariante Tori in differenzierbaren Hamiltonshen Systemen", Bonner Mathematische Schriften, 120, Universität Bonn Mathematisches Institut, Bonn, 1980

[31] А. Пуанкаре, Новые методы небесной механики, Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971

[32] М. Rudnev and S. Wiggins, "KAM theory near multiplicity one resonant surfaces in perturbations of a priori stable Hamiltonian systems", J. Nonlinear Sei., 7:2, 1997, p. 177-209

[33] H. Rüssmann, "Nondegeneracy in the perturbation theory of integrable dynamical systems", Number theory and dynamical systems (York, 1987), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 134, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, pp. 5-18

[34] D. Salamon, "The Kolmogorov-Arnold-Moser theorem", ETH-Zürich, 1986 (preprint), 44 p.

[35] H. В. Сванидзе, "Малые возмущения интегрируемой динамической системы с интегральным инвариантом", Краевые задачи математической физики. 10, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 147, 1980, с. 124-146

[36] М. Б. Севрюк, "Инвариантные торы гамильтоновых систем, невырожденных в смысле Рюссмана", Докл. РАН, 346:5, 1996, с. 590-593

[37] М. В. Sevryuk, "KAM-stable Hamiltonians", J. Dynam. Control Systems, V. 1, N. 3, 1995, 351-366

[38] M. B. Sevryuk, "The classical К AM theory at the dawn of the twenty-first century", Mosc. Math. J., 3:3, 2003, p. 1113-1144

[39] C. Simó, "Dynamical properties of the figure eight solution of the three-body problem", in Proceedings of the Celestial Mechanics Conference dedicated to D. Saari for his 60th birthday, Evanston, 1999, ed. A. Chenciner et al, 209-228, Contemporary Mathematics 292, AMS, 2000

[40] Д. В. Трещев, "Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем", Матем. сб., 180:10, 1989, с. 1325-1346

[41] D. Treschev, О. Zubelevich, Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian Systems, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2010

[42] N. Fenichel, "Persistence and Smoothness of Invariant Manifolds for Flows", Indiana Univ. Math. J., 21, 1971, p. 193-226

[43] E. Fontich, R. de la Llave, Y. Sire, "Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions", J. Differential Equations, 246:8, 2009, p. 3136-3213

[44] E. Zehnder, "Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems, II", Comm. Pure Appl. Math. 29:1, 1976, p. 49-111

[45] Лекции no еимплектической геометрии и топологии, ред. Я. Эли-ашберга, Л. Тейлор, МЦНМО, М., 2008