Некоторые вопросы теории диофантовых уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Устинов, Алексей Владимирович

• Устинов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Устинов, Алексей Владимирович

Оглавление

Введение

1. Проблема Варинга

§ 1.1 Свойства вспомогательных систем уравнений

§ 1.2 Уравнение Харди-Литтлвуда

§ 1.3 Системы уравнений Виноградовского типа

2. Об одном диофантовом неравенстве

§ 2.1 Рекуррентые неравенства

§ 2.2 Асимптотическая формула

Приложение

§ 3.1 О свойствах коэффициентов Фурье некоторых функций

§ 3.2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга

§ 3.3 Лемма „о попаданиях"

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории диофантовых уравнений»

Введение.

Лагранж [27] в 1770 году доказал, что всякое целое неотрицательное число N можно представить в виде

х\ + х22 + Ж3 + х\ = N, хг > 0, х2 > 0, хц >0,х4> 0,

(здесь и в дальнейшем все переменные, участвующие в уравнениях, принимают только целые значения).

Варинг [33] в том же году высказал гипотезу, что при всяком п > 2 существует такое к = к(п), при котором уравнение

++ = N, хг >0,...,хк > 0, (0.1)

разрешимо для всех натуральных N. Это утверждение получило название пр°блемы Варинга.

Первое общее (при всех п) решение прблемы Варинга было дано Гильбертом [26] в 1909 году с очень большим числом слагаемых к в зависимости от п.

В 1920 году Харди и Литтлвуд [25] опубликовали новое решение проблемы Варинга с помощью метода, который в последствии получил название кругового. Они установили для G(n) верхнюю границу

G(n) = n2n~2h(n), Jim h(n) = 1,

(через G{n) обозначается наименьшее к, при котором уравнение (0.1) разрешимо для достаточно больших N). Кроме того при

к > (п — 2)2n_1 + 5

они вывели асимптотическую формулу для I(N) — числа решений уравнения (0.1):

I(N) = ^aN«-1 + 0{N^~l~c °), (0.2)

где 7 = ' со > 0 и «г — особый ряд, сумма которого оценивается

снизу положительной константой.

В своих исследованиях Харди и Литтлвуд применяли метод производящих функций и оценивали некоторые суммы, пользуясь методом Г. Вейля [34].

В последствии Хуа Ло-Ген [31], видоизменив вывод Харди и Литтл-вуда, установил справедливость формулы (0.2) при

к>2п + 1.

В 1934 году И.М. Виноградов нашел новый метод оценки тригонометрических сумм, который позволил получить значительные продвижения в различных вопросах теории чисел. Пользуясь этим методом в работе [6], И.М. Виноградов получил оценку

<?(«) < 6п(1пп + 10).

Ряд статей И.М. Виноградова был посвящен асимптотической формуле для /(А7"). Так в его работе 1935 года [3] доказана справедливость формулы (0.2) при

п > 20, к > 91п8(1п п + I)2, а в работе 1936 года [7] при

п> 20, к > 131п5(1пп)2.

В 1947 году вышла книга [17], в которой Хуа Ло-Ген значительно упростил метод Виноградова. Хуа Ло-Геном была выделена теорема, которую он назвал теоремой Виноградова о среднем значении. Там же была доказана справедливость формулы (0.2) при

п > 14, к > п3(1пп + 2.21п1пга).

В 1942 году Ю.В. Линник в [15], [16] и И.М. Виноградов в [9], [10] получили более точные оценки тригонометрических сумм. Пользуясь новыми оценками в 1947 году в работе [5] И.М. Виноградов доказал формулу (0.2) при

п > 12, к > 10п21пп.

В 1949 году в работе [29] Хуа Ло-Ген уточнил оценку теоремы Виноградова о среднем и показал справедливость формулы (0.2) при

п > 12, к > 4п2(1п п + 0.51п 1п п + 8).

В главе 1 настоящей диссертации формула (0.2) доказывается при п> 4, к > 2[п2(1пп + 1п1пп + 6)]. (0.3)

При выводе асимптотической формулы для числа решений уравнения Варинга необходимо уметь оценивать величину 1к(Р) — число решений уравнения Харди-Литтлвуда

+ + у?= О, 0 <хъ...,ук<Р. (0.4)

В работах И.М. Виноградова и Хуа Ло-Гена для оценки 1к(Р) применялась теорема Виноградова о среднем, которая утверждает, что величина Ик(Р), равная количеству решений системы

' х± + ... - ук = 0,

< ..............................0<хг,...,ук <Р, (0.5)

+ • • • " У1 = о,

при т > 1, к > пт удовлетворяет оценке

мк(Р)« ры-^+^У. (0.6)

При выводе соотношения (0.6) используется лемма „о сдвиге", которая утверждает равносильность систем

( хх + ...-ук = 0,

( х" + ... — ук = 0,

и

{(х1 + а) + ... - (ук + а) = 0,

{х1 + а)п + ...- (ук + а)п = 0,

для любого целого а. При оценке числа решений уравнения Харди-Литтлвуда возникает трудность, связанная с тем, что равенство (0.4) перестает быть верным, если все переменные одновременно изменить на некоторое число а. В главе 1 уравнение (0.4) дополняется до системы, для которой существует аналог леммы „о сдвиге". Благодаря этому удается применить известные методы к оценке 1к{Р) и доказать, что при п > 3, т > п/2, к >п(п — 1) + пт выполняется соотношение

1к(Р) (0.7)

Кроме проблемы Варинга в аддитивной теории чисел рассматривается вопрос об одновременном представлении нескольких натуральных чисел в виде сумм степеней целых неотрицательных чисел

< ...................... 0 < жь...,0 < хк, (0.8)

в которой

1 < П\ < . . . < flf—i < nt = п.

Такие системы рассматривались в работах И.М. Виноградова [8], К.К. Марджанишвили [IS]—[20] и др. При выводе асимптотической формулы для числа решений системы (0.8) необходимо уметь оценивать величину Ik-niy..,nt (Р), равную числу решений системы

х? + ...-ур= 0,

...................... 0<хи...,ук<Р,

[хт + ...-ут = 0,

1 < щ < ... < nt-i = m < nt = п.

В главе 1 тем же путем, что и для h(P), для величины 1к-,П1,...,щ(Р) правильная по порядку оценка получена при

п > 3, к > 2[n2(lnn + In In п + 5) + тп ln m].

Существуют различные обобщения проблемы Варинга. В работах Хуа JIo-Гена [32], [30] рассматривался вопрос о представлении чисел в виде

/(Ж1) + ... + /Ы = iV, (0.9)

где f(x) — многочлен степени п с целыми коэффициентами. Хуа JIo-Ген доказал справедливость асимтотической формулы для числа таких представлений при

к >2п + 1.

Позднее в [28] он доказал это утверждение при

п > 13, к > 2n2(21nn + lnlnn + 2.5).

Хуа Ло-Ген изучал также вопрос о представлении чисел в виде (0.9), когда многочлен f(x) имеет вид

f(z) = an(^j + ■ ■ ■ (On,---= 1-

Им в работах [32], [30] для G(f) (наименьшего к, при котором уравнение (0.9) разрешимо для достаточно больших n) были получены оценки

2п — 1 < maxG(f) < (п - 1)2п+1.

S{x)

В 1951 году В.И. Нечаев в [21] доказал неравенство

G

х

< 4п Inn + 8п In In п.

Обобщение системы уравнений Виноградова (0.5) на случай сравнений рассматривалось Н.М. Коробовым в [13] и A.A. Карацубой в [11]. В статье [11] для некоторых натуральных q < Рп для числа решений системы

хх + ... - ук = 0 (mod <?),

х™ + ... — у% = 0 (mod q), была получена правильная по порядку оценка числа решений при

п> 2, к > 6гп\пп, (0.10)

где г определяется равенством q = Рг. Эта оценка позволяет получать следствия для обобщений на случай сравнений уравнения Харди-Литтлвуда

х1 + ... + xl - у1 - ... - yl = 0 (mod q), 0 < хъ ..., ук < Р, и уравнения Варинга ^

х" + . - - + xl = N (mod q), (j) < хи ..., хк < Р.

!

В работе В.А. Быковского [2] было рассмотрено обобщение системы (0.5) на случай неравенств. В этой статье при

2 < г < п, к> -п2 + lOOrnlnr, - - - 4

(0.11)

была получена правильная по порядку оценка числа решений системы ' хг + ... + хк - уг - ... - ук = 0,

xi + ■ ■ • + хк ~ Уг ~ • • • - Ук =

\xr1+1 + ... + xl+1-f1+1-...-yl+1\<P,

в которой

0 < хи..., Ук < Р-

Доказанная оценка позволила исследовать обобщение уравнения Харди-Литтлвуда на случай неравенств

\хп1+... + хпк-у?-.,.-у«\<Рп-г, О <хи...,ук<Р. (0.12)

В статье В.А. Быковского для величины /¿ДР), равной числу решений неравенства (0.12) при ограничениях (0.11) была получена правильная по порядку оценка

Д>Г(Р) « Р2к-Г, (0.13)

и при

1 11 п>3, -х<г<п--, к > -п2 1000гп1п(г + 1), (0.14)

£ ^ ~с

асимптотическая формула

1к>г{Р) = 2 ^(к,п)Р2к~г + (0.15)

где

оо 1

7(*,п)= I |У е2™х" (1х\2к(1г.

—оо О

В главе 2 настоящей диссертации оценка (0.13) получена при п > г > 4, к > 5то + 70г21п г, а асимптотическая формула (0.15) при

и > 3, \<г <п~\, к > 40гп + 800г21п(г + 1). £ £

Видно, что оба последних условия являются более слабыми ограничениями на к, чем соответствующие границы (0.11), (0.14) из работы [2].

В настоящей диссертации используются различные леммы и теоремы, которые носят вспомогательный характер или являются вариантами известных утверждений. Их доказательства помещены в приложение.

§ 3.1 содержит леммы о коэффициентах Фурье неотрицательных функций, все коэффициенты которых также являются неотрицательными числами.

В § 3.2 с помощью оценки (0.7) доказывается асимптотическая формула для числа решений уравнения Варинга при ограничениях (0.3).

§ 3.3 содержит доказательство леммы Виноградова „о попаданиях"с незначительно измененной формулировкой.

Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Н.М. Коробова „Тригонометрические суммы и их приложения", на семинаре проф. A.A. Карацубы „Аналитическая теория чисел и приложения"и на научно-исследовательском семинаре по теории чисел, руководителями которого являются проф. A.B. Шидловский, проф. Ю.В. Нестеренко, проф. В.И. Нечаев, доц. А.И. Галочкин.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [22]- [24].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.М. Коробову за поставленные задачи, внимательное руководство и многочисленные советы. Автор также выражает благодарность В.А. Быковскому за постановку задачи, решенной в главе 2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Устинов, Алексей Владимирович, 1998 год

Литература

[1] Архипов Г.И., Карацуба А.А, Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. // М., Наука, 1987.

[2] Быковский В.А. О системах неравенств. // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1981, т. 129, 3-33.

[3] Виноградов И.М. Асимптотическая формула для числа представлений в проблеме Варинга. // Мат. сборник, 1935, т. 42, 531-534.

[4] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // М., Наука, 1980.

[5] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // Тр. матем. института им. В.А. Стеклова, 1947, т. 23, 1-109.

[6] Виноградов И.М. Новая оценка G(n) в проблеме Варинга. // ДАН СССР, 1934, т. 4, №5, 249-253.

[7] Виноградов И.М. Об асимптотической формуле в проблеме Варинга. // Мат. сборник, 1936, т. 1(43), 169-174.

[8] Виноградов И.М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений. // Изв. АН СССР, сер. физ.-матем., 1929, № 4, 355-376.

[9] Виноградов И.М. Об оценках тригонометрических сумм. // ДАН СССР, 1942, т. 34, №7, 199-200.

[10] Виноградов И.М. Улучшения оценок тригонометрических сумм. // Изв. АН СССР, 1942, т. 6, 33-40.

[11] Карацуба A.A. О системах сравнений. // Изв. АН СССР, Сер. матем., 1965, т. 29, 935-944.

[12] Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. // М., Наука, 1983.

131 Коробов Н.М. Об оценке рациональных тригонометрических сумм. // ДАН СССР, 1958, т. 118, №2, 231-232.

141 Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. // М., Наука, 1989.

151 Линник Ю.В. Новые оценки сумм Вейля по методу Виноградова. // Изв. АН СССР, 1942, т. 6, 41-70.

161 Линник Ю.В. О суммах Вейля. // ДАН СССР, 1942, т. 34, №7, 201203.

171 Ло-Ген Хуа. Аддитивная теория простых чисел. // Тр. матем. института им. В.А. Стеклова, 1947, т. 22, 1-179.

181 Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении чисел суммами первых, вторых,... ,п-ых степеней. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1937, 609-631.

191 Марджанишвили К.К. Об одной системе уравнений в прстых числах. // ДАН СССР, 1950, т. 70, 381-383.

201 Марджанишвили К.К. О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. // Мат. сборник, 1953, т. 33(75), 630-675.

211 Нечаев В.И. Проблема Варинга для многочленов. // Тр. матем. института им. В.А. Стеклова, 1951, т. 38, 190-243.

221 Устинов A.B. О количестве слагаемых в асимптотической формуле для числа решений уравнения Варинга. // Математические заметки. 1998, т. 64, вып. 2, 285-296.

231 Устинов A.B. О системах уравнений Виноградовского типа. // МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1998, 5с. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, №3042-В98

24] Устинов A.B. Об одном диофантовом неравенстве. // МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1998, 18с. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, №3041-В98

251 Hardy G.H., Littlewood J.E. Some Problems of Partitio Numenorum I. A New Solution of Waring's Problem. // Göttinger Nachr., 1920, 33-54.

26] Hilbert D. // Göttinger Nachr., 1909, 17-36; Math. Ann., 1909, 67, 281-300.

[27] Lagrange J.L. // Nouv. Mém. Acad. Roy. Sc. de Berlin, année 1770, Berlin 1772, 123-133.

[28] Loo-Keng Hua. Additive Primzahltheorie., // Acad. Sinica Press., 1953.

[29] Loo-Keng Hua. An Improvement of Vinogradov's Mean-Value Theorem and Several Applications., // Quart. J. Math., 1949, v. 20, N 77, 48-61.

[30] Loo-Keng Hua. On a Generalized Waring Problem. //J. Chinese Math. Soc., 1940, v. 2, 175-191.

[31] Loo-Keng Hua. On Waring's Problem. // Quart. J. Math., 1938, v. 9, N 35, 199-202.

[32] Loo-Keng Hua. On Waring Problem with Polinomial summands. / / Proc. London Math. Soc., 1937, v. 43 (2), 161-182.

[33] Waring E. Meditationes algebraicae, // Cambridge, 1770, 204-205; ed. 3, 1782, 349-350.

[34] Weyl H. Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins., // Math. Ann., 1916, 77, 313-352.