Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Торшина, Ольга Анатольевна

• Торшина, Ольга Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Торшина, Ольга Анатольевна

Введение 3

1 Оператор Лапласа — Бельтрами. Функции Лежандра

1.1 Дифференцируемые многообразия.

1.2 Дифференциальные формы.

1.3 Оператор Лапласа-Бельтрами

1.4 Регуляризованный след оператора

Лапласа - Бельтрами на сфере.

2 Проблема сложения четных сферических гармоник

2.1 Теорема сложения.

2.2 Оценки числовых рядов.

3 Регуляризованный след оператора Лапласа — Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости

3.1 Вычисление второй поправки теории возмущений на проективной плоскости.

3.2 Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости

3.3 Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа

Бельтрами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости»

Постановка задачи

Рассмотрим оператор Лапласа - Бельтрами Т = —А, действующий в гильбертовом сепарабельном пространстве Н, взятом с плотностью sinOdddif {в, у? — сферические координаты). Как известно, An = п(п + 1) (п = 0, сю) являются собственными числами оператора Т. Обозначим через Vnj (i = 0,2п, п = 0, оо) ортонормированные собственные функции оператора Т, которые соответствуют собственным числам Ап. Введем семейство прямых ln = {А|А = An + п + 1 + гр, —оо < р < оо}, параллельных мнимой оси гауссовой плоскости. Пусть Р — оператор умножения на функцию р £ C2(W), W = (0,7г) х (0,2тг). Известно [ТО], что если оператор Р является ограниченным и dn = inf |Am — An| —> О, тфп то можно так занумеровать собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, что справедливо l/^n.i - п(п 4-1)| < const. (0.1)

Регуллриз о ванным следом первого порядка оператора Т+Р назовем равенство вида оо оо

-ЛП(Т)} = В(Т),

71— 1 г=0 где Ап(Т), В(Т) явно определяются через характеристики оператора выражения.

В научной литературе вопросы нахождения регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости до настоящего времени не обсуждались. В связи с этим вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа -Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости представляет научный интерес. Такое исследование требует доказательства теоремы сложения для четных сферических гармоник и ряда промежуточных лемм, открывающих путь к вычислению поправок теории возмущений с последующим выходом на формулу регуляризованного следа эллиптического дифференциального оператора.

Обоснование интереса к проблеме

Спектральная теория дифференциальных операторов является важным разделом общей спектральной теории и активно разрабатывается различными математическими школами, прежде всего московской школой под руководством В. А. Садовничего. Только в последние годы учеными представлены формулы первого регуляризованного следа для дискретных операторов [90], регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов [64], регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой [75], формулы следа М. Г. Крейна на случай возмущения типа Гильберта - Шмидта [126], [106], регуляризованный след операторного уравнения Штурма

- Лиувилля на конечном отрезке [3], формула следа для потенциала, содержащего (^-функции [13], формулы регуляризованных следов операторов с относительно компактным возмущением [143] и т. д. Однако ряд существенных проблем спектральной теории остается по-прежнему не разрешенным. К их числу относится нахождение регуляризованных следов дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости, чем обусловлен наш интерес к этой задаче.

Историография вопроса

Еще в первой половине XX столетия множество задач для спектрального анализа предложила квантовая механика. Поиск путей их решения привел в конце 20-х годов к созданию теории возмущений. В области физики основы этого метода были заложены Д. У. Рэле-ем. Его математическое обоснование дано в работах Н. Реллиха, который, прописывая метод последовательных приближений, опирался не только на соответствующие исследования в области квантовой механики, но и на опыт своих предшественников, в частности — Г. Вей-ля [129]. Именно Г. Вейль стоит у истоков исследования собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. В случае сингулярного оператора Штурма - Лиувилля оно нашло дальнейшее развитие в работах Э. Ч. Титчмарша. В частности, Э. Ч. Титчмарш, применяя метод Т. Карлемана, строго установил асимптотическую формулу для числа собственных значений для полуограниченного оператора Штурма - Лиувилля при некоторых условиях на потенциал. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов (в частности, с помощью гиперболических или параболических уравнений, соответствующих исследуемым операторам) были разработаны Б. М. Левитаном, А. Плейелем, С. Ми-накшисундарамом, А. Г. Костюченко, В. А. Ильиным и др. Изучение спектральных свойств краевых задач со сложным вхождением спектрального параметра было проведено в классческих работах Г. Д. Бир-кгофа [102] и Я. Д. Тамаркина [89]. Теория пучков операторов, порожденных этими задачами, получила широкое развитие после появления фундаментальной работы М. В. Келдыша [44].

Важной задачей спектрального анализа является исследование собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Разрабатывая эту проблему, необходимо было определить асимптотику спектра. Однако при ее рассмотрении улучшение остаточного члена иногда оказывается невозможным; более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. В связи с этим возникла необходимость перейти к исследованию более глубокой структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования стало получение формул регуляризованных следов оператора.

У истоков исследования проблемы вычисления регуляризованных следов стоит работа И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [17] 1953 года, в которой рассматривается оператор, порожденный краевой задачей

-у"+ q(x)y = \y, 0<ж<7г, (0.2)

2/(0) = У(тг) - 0, (0.3) где q - дважды непрерывно дифференцируемая функция на интервале (0,1). Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой тг

Ап = п2 + ^ J q(x)dx + О Qj ^ . о

В силу этого числовой ряд

00 ( If \

I Ап - п2--/ q(x)dx

Л о / сходится. В рассматриваемой работе первый регуляризованный след оператора определяется формулой

Л„-пг-с„)ЛС0-£М±2М (0.4)

71 = 1 1

Здесь Со — ~г fq(x)dx. о

К аналогичным результатам пришел в том же году и JL А. Дикий [19]. Позже он показал, что формула (0.4) эквивалентна равенству оо

5>„ -п2 - (qvn,vn)) = 0, п=1 где — собственные ортонормированные функции оператора

-у" = \у, 0 < х < тг,

2/(0) = у(тг) = 0. (0.5)

В работе 1955 года [96] J1. А. Дикий вычислил регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля высших порядков.

JI. Д. Фадеев в 1957 году [10] рассмотрел обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром. В дальнейшем JI. Д. Фадеевым и В. С. Буслаевым [11], [10], [96] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.

В начале 60-х годов С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [120], [111], [110] получили формулу оо оо

- Мтг) = (°'6) п=1 п=1 оо при условии, что ряд (Вфгпфп) сходится. Здесь {^п}п=1 ' с°бстп= 1 венные числа с учетом алгебраической кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А, действующего в гильбертовом сепарабельном пространстве Н, a ~ соответствующая этим собственным числам последовательность ортонормированных собственных векторов, {An}£Lx - собственные числа оператора А + В. Для оператора А, действующего в пространстве ^2[0,7г] и заданного краевой задачей (0.5), fin = п2 являются собственными числами, а (рп(х) = ^ sin пх

- ортонормированными собственными функциями. Пусть, как и ранее, Ап - собственные значения оператора А + В Р у{ 0) = у W = 0, где д(х) - дифференцируемая на [0,7г] функция, среднее значение которой на этом отрезке равно 0. Оператор В является оператором умнооо жения на функцию д(х). Тогда ряд Y1 (.дРтфп) сходится [21], причем

71—1

VV , 9(0) + д( тг)

П=1 и формула (0.6) принимает вид (0.4).

М. Г. Гасымов в 1963 году [14] получил формулу для суммы разностей собственных значений двух самосопряженных операторов Штурма

- Лиувилля, отличающихся друг от друга финитным потенциалом. Он же в соавторстве с Б. М. Левитаном в 1963 году [15] вывел формулу для суммы разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга граничными условиями и финитным потенциалом. Согласно им, если А - полуограниченный снизу самосопряженный оператор в L2[0, оо), заданный на полуоси дифференциальным выражением

1{у) = -у" + q{x)y, q(x)eC(R+) и граничным условием у( 0) = 0, имеет дискретный спектр В - оператор умножения на вещественную функцию д(ж), причем оо g(x)eC0(R+), J g(x)dx = 0. (0.7) о

Со(R+ )-множество непрерывных, финитных на R+ функций), то для собственных чисел {Anj^Lj возмущенного оператора А-\-В справедливо равенство

9(0) оо

- ип) = п=1

В 1965 году Р. Ф. Шевченко [98], [99] вычислил сумму разности собственных значений для несамосопряженных операторов А и А + задаваемых дифференциальными выражениями на отрезке [0,1] dn dn

-—, ---1-д(х) dxn' dxn УК ' соответственно и одинаковыми регулярными краевыми условиями [58].

Из логики его рассуждений следует, что если функция д(х) достаточно гладкая и f g(x)dx = 0, то о

71=1

В 1966 году А. Г. Костюченко [47] вычислил регуляризованные следы (0.4) для полуограниченных дифференциальных операторов высших порядков. При этом предполагалось, что возмущение д{х) удовлетворяет условиям (0.7). Таким образом, к концу 60-х годов была заложена необходимая основа для изучения спектра дифференциальных операторов.

Актуальность темы диссертации

Основной вклад в изучение регуляризованных следов дифференциальных операторов внесла Московская школа. Наиболее общие результаты достигнуты В. Б. Лидским и В. А. Садовничим [53]. Им удалось вычислить регуляризованные следы всех порядков произвольных краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра. Приведем условия, при которых достигаются результаты, полученные в этой работе. Пусть / — целая функция, которая при каждом целом h > 0 допускает представление вида

N-1 fc=о 11 где а.]ь — комплексные постоянные, а h

Pkh(z) ~ + o(znk~h) при z 0. Здесь Пк — некоторое целое число, a /3q ф 0. Предполагается, что комплексную плоскость можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Pkh являются аналитическими при \z\ > R. Функции с описанными выше свойствами называются функциями класса К, а (к) ак и {31 ' — параметрами асимптотики функции /. Функции класса К возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр z. Например, в краевой задаче для дифференциального уравнения dxn dny ai(®,+ • • • + Z)V = °> °<x < 1» (°-8) коэффициенты которого имеют вид с граничными условиями, зависящими полиномиально от -г

Uj(y) = 0, при у = 0,1,

0.9)

0.10) i/=0 где Uj — линейные формы относительно решения (0.8), (0.9). п 1

ЩУ) = tia^HO) + bJfcy^U)} + fo^{x)y{x)dx. к=i {

Пусть коэффициенты уравнения (0.8) и функции а^(ж) бесконечно дифференцируемы по х на интервале (0,1). Если предположить, что aq0(x) = aq0r(x) (g = 1,п), где г(ж) > 0 и многочлен 7г(Л) = An+ai0An-1-|-. .+ап0 не имеет кратных корней, то уравнение для определения собственных чисел задачи имеет вид = 0,. где / € К. При этом параметры асимптотики функции / явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффициенты, входящие в граничные условия (0.9). Метод, развитый в рассматриваемой работе, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой и позволяет находить регуляризованные следы дифференциальных операторов (0.8) m-го порядка

Х^Г - Лт(Щ = 5т, mG N, I где zi - корни функции f(z) (т.е. собственные числа краевой задачи (0.8) - (0.10), Am(l) - числа, обеспечивающие сходимость рядов). А.С. Печенцов дополнил результат работы [53] в случае кратных корней многочлена 7г.

Однако при рассмотрении прикладных задач механики, порожденных дифференциальными операторами с частными производными, возможна более сложная зависимость от спектрального параметра, что подтверждается совместным исследованием А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликова [50] и работой Е. П. Богомоловой [9]. В этих случаях метод В. Б. Лидского и В. А. Садовничего непосредственно не применим, так как характеристический определитель может не быть целой функцией. В сингулярном случае тоже возникают трудности при применении данного метода, связанные с отсутствием точных асимптотических равенств для фундаментальной системы решений дифференциального уравнения. В частности, в сингулярных задачах Штурма - Лиувил-ля с неограниченно растущим потенциалом возможно наличие точки поворота, в которой резко меняется поведение решений задачи, что показал М. В. Федорюк при рассмотрении асимптотических методов для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [97].

В результате возникает задача суммирования регуляризованных следов. Один путь — суммирование по Абелю. Еще в 1962 году В. Б. Лид-ский [52] применил метод Абеля при суммировании рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Кроме того, такое суммирование использовалось В. А. Любишкиным и Г. В. Козловым [57] при вычислении регуляризованных следов в случае финитных гладких возмущений степенных потенциалов, где была известна асимптотика собственных значений. А. Г. Костюченко и Г. Н. Радзиевский [?] в 1974 году использовали этот метод для суммирования n-кратных разложений. В. А. Любишкин и В. Е. Подольский, начиная с 1993 года стали применять его для суммирования регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов на компактных многообразиях [55], [63].

Второй путь - суммирование следов со скобками - впервые применен в 1987 году В. А. Садовничим , В. А. Любшпкиным и М. Мартиновичем [80] для получения формул следов конечномерных возмущенных дискретных операторов. В 1991 году В. А. Садовничий и В. В. Дубровский [71] получили классическую формулу регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. Позже ими была выведена формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере [74]. Затем Подольский [127] в 1996 году получил аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.

В 1994 году В. А. Садовничий и В. В. Дубровский [68] получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

4Р)Ы1 < fa^ax Н^СТ))-!!, ||Р||* (£-) '\к> so, в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор ((Г —//.Б)-1)50 является ядерным. Здесь ЛМ(Т) -резольвента оператора Т. Это позволило при < 1 и условии ограниченности оператора

Р, записать нелинейные уравнения по По tp

О' 1 к= 1 к= 1 к= 1

Р J Л>*о,Р=1,п0 (0.10) для нахождения первых по собственных чисел {/?n}nLi оператора Т+Р. Здесь а^ (n0) = Р Sp f /np~1[PRM(T)]kd/j, - поправки теории воз

Тгго мущений оператора Т+Р, ТПо - круг радиуса рПо — 1 с центром в начале координат комплексной плоскости, ЯМ(Т) - резольвента оператора Т, {^„j^-j - собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, dn — |Мп+1 — /лп|- При этом, было показано, что ряды поправок теооо рии возмущений ^ с^(по) сходятся, а о^(по) явно вычисляются через fc=i характеристики операторов Т ж Р с помощью теории вычетов.

Исследования В. А. Садовничего и В. В. Дубровского легли в основу разработанного С. И. Кадченко [37], [38] нового метода (метод регуляризованных следов) вычисления первых собственных чисел дискретных операторов основанного на уравнениях (0.10). Знал регуляризованный след оператора необходимого целого порядка п используя метод регу-ляризованных следов можно вычислить первые его собственные числа. Отметим, что с задачами теории гидродинамики вязкоупругих жидкостей тесно связаны работы Г. А. Свиридюка [85] и его учеников.

Итак, в многочисленных исследованиях последних десятилетий были открыты новые направления спектральной теории операторов. Ее развитие шло по пути расширения класса операторов, для которых можно выписать формулы регуляризованных следов, конкретизации регуляризирующих слагаемых в этих формулах, ослабления условий (типа гладкости) на рассматриваемые возмущения, анализа степени подчиненности возмущений и нахождение следов дифференциальных операторов с потенциалом на различных поверхностях. Новые возможности для углубления исследований в этой области открывает изучение дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости и создание алгоритмов вычисления регуляризованных следов соответствующих операторов, что предопределяет значимость этой проблемы и актуальность диссертационного исследования.

Научная новизна

Вычисление регуляризованных следов дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости находится на начальной стадии изучения в спектральной теории. В предлагаемой диссертационной работе впервые:

1. доказана теорема сложения для четных сферических гармоник;

2. получены оценки числовых рядов, используемые при нахождении поправок теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости;

3. вычислены поправки теории возмущений для соответствующего оператора;

4. вычислен регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на проективной плоскости;

5. показано направление исследования регуляризованных следов со сложным вхождением спектрального параметра.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты проведенного исследования могут быть использованы для нахождения поправок теории возмущений различных дифференциальных операторов в частных производных. Обращение к теореме сложения при рассмотрении регуляризованного следа дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра позволит в большинстве случаев обойти нахождение асимптотических формул для присоединенных полиномов Лежандра, что существенно упрощает решение этих задач.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проведении научных исследований в области спектрального анализа при МГУ имени М. В. Ломоносова, института математики РАН имени В. А. Стеклова, института математики СО РАН имени С. Л. Соболева, Воронежского, Новосибирского, Иркутского, Челябинского и Магнитогорского университетов.

Методы исследования

При решении поставленной задачи используются методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов и теории возмущений. В работе широко используются новые методы, разработанные московской научной школой академика РАН В. А. Садовни-чего.

Апробация работы

Результаты работы представлялись на Четвертой Всеросийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2002), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2002), International conference "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003), International conference "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2003), а также на научно-исследовательскш семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. В. Дубровского в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 2000-2002).

Краткое содержание диссертации

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава носит пропедевтический характер. Она содержит четыре параграфа, в которых характеризуются дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы, оператор Лапласа-Бельтрами.

Вторая глава определяет подходы к исследованию дифференциальных операторов на проективной плоскости. В ней обращается внимание на целесообразность представления проективной плоскости через сферу посредством отождествления противоположных точек и выкалывания полюсов, что позволяет применить к исследованию дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости отдельные методы, используемые при работе на сфере. Она включает два параграфа. Первый — содержит доказательство теоремы сложения для четных сферических гармоник, необходимой при вычислении поправок теории возмущении.

Теорема. Пусть уп1(в, <p) = Jcos^pf" (cos в), сферические гармоники. Тогда для четных функций на сфере справедливы формулы п ynivni = Li {рп(cos а))

1=1 (mod 2) n

Здесь vniv'nl = L2 (Pn(cosa)).

1=0 (mod 2) n n d2 i,2

• 71-771 TT ~ dip2 ~ K

IlE^rTI П m2k2 ' m—0 k=0,k^rn n n d2 7,2 v^r i 7гm j-r - dip2 ~ « i2S^|C0S| д m2fc2 ■ m=0 fc=0,fc^m

Второй параграф содержит оценки числовых рядов, используемые в дальнейшем для нахождения поправок теории возмущений.

В третьей главе вычисляется регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости. В нее входят три параграфа, в первом из которых находятся первая и вторая поправки теории возмущений для оператора Лапласа - Бельтрами, во втором - третья и четвертая поправки теории возмущений на проективной плоскости, в третьем - приводятся основные теоремы.

Теорема. Если р— четный, по аргументу в, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + -Р верно равенство

Теорема. Еслир — дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа -Бельтрами на проективной плоскости имеет вид

Благодарности

Автор благодарен научным руководителям исследования: доктору физико-математических наук, профессору В. В. Дубровскому и заведующему кафедрой прикладной математики и вычислительной техники МаГУ, кандидату физико-математических наук, доценту С. И. Кад-ченко за постоянное внимание и ценные рекомендации, а также коллективам кафедр математического анализа, прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за конструктивную критику и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Торшина, Ольга Анатольевна, 2004 год

1. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1990. Т.63. С.5-123.

2. Александрян Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С. 3-35.

3. Асланова И.М. Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Тр. инс-та мат. и мех. АН Азербайджана. 1998. N9. С.23-26.

4. Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т. М.: Наука, 1973. 296с.

5. Бирман М.Ш.,Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1977. Т.14. С.5-58.

6. Бобров А.Н. Регуляризованные следы высших порядков оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на симметрическихпространствах ранга 1//Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N6. С.800-804.

7. Бобров А.Н., Подольский В.Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере 5П//Функц. анализ и его прилож. 1997.Т.31, N4. С.69-72.

8. Бобров А.Н., Подольский В.Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере 5П//Матем. сборник. 1999. Т.190, N10. С.3-16.

9. Богомолова Е. П. Некоторые вопросы спектрального анализа несамосопряженного дифференциального оператора с "плавающей" особенностью// Дифф. ур. 1985. Т. 21. N 11.

10. Буслаев В. С. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве// ДАН СССР. 1962. Т.143. N 5. С.1067-1070.

11. Буслаев В. С., Фаддеев Л. Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма Лиувилля// ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 1. С. 13-16.

12. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах //Матем. сборник. 1967. Т.73, N1. С.126-154.

13. Винокуров В.А.,Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего ^-функцию //Докл. РАН. 2001. Т.376, N4. С.445-448.

14. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов//ДАН СССР. 1963. Т.150, N6. С.1202-1205.

15. Гасымов М.Г.,Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1963. Т.151, N5. С.1014-1017.

16. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений для дифференциального оператора 2-го порядка//УМН. 1956. Т.11, N1:67. С.191-198.

17. Гельфанд И.М.,Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго по-рядка//ДАН СССР. 1953. Т.88, N4. С.593-596.

18. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1063с.

19. Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана//УМН. 1953. Т.54, N8:2. С.119-123.

20. Дикий JI.A. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля// УМН. 1958. Т.13, N3. С.111-143.

21. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. 1955. Т.19. N4. С. 187-200.

22. Дубровский В.В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадратуре//ДАН СССР. 1980. Т.24, N3. С.210-213.

23. Дубровский В.В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N6. С.1127-1129.

24. Дубровский В. В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных //Тр.семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып.9. С.40-44.

25. Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самостоятельных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка//Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N11. С.1995-1998.

26. Дубровский В.В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов дискретных операто-ров//ВЕСУИ АН БССР. 1987. N3. С.46-50.

27. Дубровский В.В. Асимптотика спектральной функции обыкновенного дифференциального оператора//Дифференц. уравнения.1990. Т.26, N3. С.533-534.

28. Дубровский В.В.Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой//Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, N12. С.2046-2051.

29. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, зада-нанных на компактных многообразиях//Дифференц. уравнения.1991. Т.27, N12. С.2164-2166.

30. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана//УМН. 1991. Т.46, N3. С.187-188.

31. Дубровский В.В. К асимптотике специальной функции дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, N1. С.69-75.

32. Дубровский В.В. Регуляризованные следы несамосопряженных операторов//Матем. заметки. 1999. Т.65, N5. С.783-787.

33. Дубровский В.В.,Аливердиев В.X. Асимптотика собственных значений одного сингулярного дифференциального оператора// Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, N1. С.35-40.

34. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора/ /Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 1998. N 2. Т. 3. С. 4-8.

35. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Паузейля в круглой трубе// ДАН. 2001. Т. 380, N 2. С. 160-163.

36. Дубровский В.В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф., Садовничий В. А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Заммерфельда// ДАН. 2001. Т. 378, N 4. С. 443-446.

37. Дубровский В.В.,Кулакова Е.Ю. Формула регуляризованного следа степени оператора Штурма-Лиувилля на треугольни-ке//Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28, N7. С.1274-1276.

38. Дубровский В.В., Печенцов А.С. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов//Дифференц.уравнения. 1993. Т.29, N5. С.852-858.

39. Иврий В.Я. О точных спектральных асимптотиках для оператора Лапласа Бельтрами при общих эллиптических краевых услови-ях//Функц. анализ. 1981. Т.15, N1. С.74-75.

40. Кадченко С. И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда//Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. N 6. Т. 5. С. 4-10.

41. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972.

42. Кельдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// ДАН СССР. 1951. Т. 77. С. 11-14.

43. Коган Ю.В. Формулы следов для псевдодифференциальных операторов на окружности//Вестник МГУ. Сер. матем. 1980. N6. С.7-10.

44. Кожевников А. Н. Оценка остатка в асимптотике спектра и комплексные степени систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу//ДАН СССР. 1980. Т. 254, 1. с.32-35.

45. Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального порядка 2т//ДАН СССР. 1966. Т.168, N2. С.276-279.

46. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов//Матем.заметки. 1967. Т.1, N3. С.365-378.

47. Костюченко А.Г.,Радзиевский Г.Н. О суммируемости методом Абеля n-кратных разложений//Сиб. матем. журн. 1974. Т.15, N4. С.855-870.

48. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функц. ан. 1983. Т. 17. С. 38-61.

49. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений// Мат. сб. 1953. Т. 33. В. 3. С.597 -626.

50. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов//Труды ММО. 1962. N11. С.3-35.

51. Лидский Б.В.,Садовничий В.А.Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций//Функц. анализ и его прил. 1967. Т.1, N2. С.52-59.

52. Логинов Б. В., Сидоров Н. А. Вычисление собственных чисел и векторов ограниченных операторов методом ложных возмущений // Математические заметки. 1976. Т.19, N1. С. 105-108.

53. Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризованных следов дифференциальных операторов //Математические заметки. 1993. Т.54, N2. С.33-38.

54. Максудов Ф.Г.,Байрам Оглы М., Адыгезалов А.А. О регуляри-зованном следе оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неограниченным операторным коэффициентом//ДАН СССР. 1984. Т.277, N4. С.795-799.

55. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы// М. МГУ. 1965.

56. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

57. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.:Наука, 1978. 376 с.

58. Печенцов А.С. Формулы следов обыкновенных дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1998. Т.2. С.150-152.

59. Печенцов А.С. Следы одного класса сингулярных дифференциальных операторов: метод Лидского-Садовничего//Вестник МГУ. Сер.1. 1999. 5. С.35-42.

60. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2 //Матем.заметки. 1994. Т.56, N1. С.71-77.

61. Подольский В.Е. Суммирование по Абелю регуляризованных сле-дов//Вестник МГУ. Сер.1. 1999. 5. С.42-48.

62. Садовничая И.В. Регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов//Дифференц. уравнения. 2001. Т.37, N6. С.771-778.

63. Садовничий В.А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков //Дифференциальные уравнения. 1966. Т.2, N12. С.1611-1624.

64. Садовничий В.А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных опера- торов//Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, N4. С.1276-1285.

65. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 367 с.

66. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. М.: МГУ, 1994. В. 17. С. 244 248.

67. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета функции операторов// Дифф. ур. 1977. Т. 13. N 7. С.1264-1271.

68. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных произвед-ных//Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, N11. С.2033-2042.

69. Садовничий В.А.,Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 52//ДАН СССР. 1991. Т.319, N1. С.61-62.

70. Садовничий В.А.,Дубровский В.В. Формула первого регуля-ризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциа-лом//ДАН СССР. 1991. Т.318, N4. С.825-827.

71. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов// Труды сем. Петровского. 1994. В. 17. С.244-248.

72. Садовничий В. А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1996. Вып.19. С.37-72.

73. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Соченко Н.Ю. Регуляризо-ванные следы несамосопряженных дискретных операторов с не ядерной резольвентой//Докл. РАН. 2000. Т. 370, N1. С. 24-26.

74. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой,возмущенного опера-тором//Докл. РАН. 2000. Т.373, N1. С.26-28.

75. Садовничий В.А.,Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа//ДАН СССР. 1981. Т.256, N4. С.794-798.

76. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов//Дифференц. уравнения. 1982. Т.18, N1. С.109-116.

77. Садовничий В.А.,Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов//Функц. анализ и его прил. 1986. Т.20, N3. С.55-65.

78. Садовничий В.А.,Любишкин В.А.,Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов//ДАН СССР. 1987. Т.239, N5. С.1062-1064.

79. Садовничий В. А., Подольский В. Е. О вычисление первых собст-веных значений оператора Штурма Лиувилля // ДАН (России). 1996. Т. 346, N 2. С. 162-164.

80. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно ядерным возмущением//Докл. РАН. 2001. Т.378, N3. С.324-325.

81. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением//Матем. сб. 2002. Т.193, 2. С.129-152.

82. Садовничий В.А., Фазулин З.Ю. Формула первого регуляризо-ванного следа для возмущений оператора Лапласа-Бельтрами //Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N3. С.402-409.

83. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Известия ВУЗов. Математика. 1994. N 1. С.62-70.

84. Сидоренко С.В. О формулах регуляризованных следов//Успехи матем. наук. 1999. Т.54, N5. С.173-174.

85. Сидоров Н. А. Вычисление собственных чисел и векторов линейных операторов на основе теории возмущений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14, N 8. С.1522-1255.

86. Сидоров Н. А. О регуляризации линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14, N 3. С.556-560.

87. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.

88. Томин Н.Г. О первом регуляризованном следе дискретного оператора //Дифференц. уравнения. 1998. Т.2. С.165-167.

89. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам/Тезисы докладов. Владимир. 2000. С.189-190.

90. Томин И.Г. О некоторых формулах первого регуляризованного следа для дискретных операторов//Матем. заметки. 2001. Т.70, N1. С.109-122.

91. Томина И.В. Первый регуляризованный след степени оператора Лапласа на прямоугольном треугольнике с углом |г в случае задачи Дирихле// Фунд. и прикладн. математика. 1995. Т.1, N2. С.569-572.

92. Томина И.В., Томин И.Г. О регуляризованных следах степени оператора Лапласа с потенциалом на круге//Воронежская зимняя математическая школа " Современные методы теории функций и смежные проблемы"/Тезисы докладов. Во- ронеж. 2001. С.260-261.

93. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

94. Фадеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1957. Т.115, N5. С.878-881.

95. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// М. Наука. 1983.

96. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора//ДАН ССР. 1965. Т.164, N1. С.62-65.

97. Шевченко Р.Ф. Регуляризация следа обыкновенного дифференциального оператора//Вест. Моск. ун-та. 1965. N 6. С.28-36. Т.164, N1. С.62-65.

98. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.гНаука, 1978.

99. Avakumovic V.G. Uber die Eigenfunktionen auf geschlossen Riemannschen Mannigfaltigkeiten//Math.Z. 1956. V.65. P.324-344.

100. Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter// Trans Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. P. 219-231.

101. Boutet de Monvel L. Hupoelliptic operators with double characteristics and related pseudodifferential operators//Com. Pure. Appl. Math.27 (2974). P.585-639.

102. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen/Ber.Sachs. Acad. Wiss.//Leipzig. 1936. V.88. P.119- -132.

103. Duistermaat G.G.Oscilatory integrals,Lagrange immersions and unfoldings of singularities//Camm.Pure.Appl.Math. 1974. V.27. P.207-281.

104. Duistermaat G.G.,Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics//Ivn. Math. 1975. V.29. P.39-79.

105. Duistermaat G.G.,Hormander L. Fourier integral operators II//Acta Math. 1972. V.128. P.183-269.

106. Gilbert R. C., Kramer V. A. Trace formulas for a perturbed operator// Duke Math. J. 1963. V. 30. N 2. P. 275-296.

107. Gilbert R. C., Kramer V. A. Trace formulas for powers of a Sturm-Liouville operator// Can. Math. J. 1964. V. 16. N 2. P. 412-422.

108. Gilkey P., Branson P. The asymptotics of the Laplacian on a manifold with boundary //Commun.Part.Different. Equations. 1990. V.15, N2. P.245- -272.

109. Guillemin V. Symplectic spinors and partial differential equations, C.N.R.S. Symposium on symplectic qeometry and mathematical physics// Aix-en-Provence. 1974.

110. Guillemin V. The Radon transform on Zoll surfaces//Adv. in Math. 1976. V.22. P.85-119.

111. Guillemin V. An addendum to: some spectral results on rank one symmetric spaces//Advances in Math. 1978. V.28. P.138-147.

112. Guillemin V. Some spektral results on rank one symmetric spaces//Adv.Math. 1978. V.28. P.129-137.

113. Guillemin V. Some spektral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere //Advan.Math. 1978. V.27. P.273-286.

114. Guillemin V. Band asymptotics in two dimensions//Adv. in Math. 1981. V.42. P.248-282.

115. Guillemin V. The Radon transform on Zoll surfaces//Adv. in Math. 1976. V.22. P.85-119.

116. Halberg C. J. A., Jr Kramer V. A. A generalisation of the trase concept// Duke Math. J. 1960. V. 27. N 4. P. 607-617.

117. Hormander L. Pseudo-dilferential operators and non-elliptic boundary problem//Ann/Math. 1966. V.83. P.129-209.

118. Hormander L. The spectral function of an elliptic operator//Acta Math. 1968. V.121. P.193-218.

119. Hormander. Fourier integral operators//Acta Math. 1971. VI. P.79-183.

120. Ivrii V. Precise spectral asymptotics for elliptic operators//Lect.Notes in Math. 1984. V.1100. P.l-238.

121. Moser I. On the volume element on a manifold//Trans.Amer.Math.Soc. 1965. V.120. P.286-294.

122. Neidhardt H. Spectral shift function and Gilbert-Schmidt perturbation: extensions of some work of L. S. Koplienko//Math. Nachr. 1988. V.138. P. 7-25.

123. Podolskii V.E. On summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one// Rus. J. of Math. Phys. 1996. V.3, N4. P.l-8.

124. Shamma S.E. Asymptotic eigenfunctions of mixed problems of Stekloff type// Zs.Angev.Math.Phys. 1972. V.23. P.l-12.

125. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesaz der Eigenverte linearer partiel- ler differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf Theoril Hohraumstrahlung) //Math.Ann. 1912. 71. P.441-479.

126. Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential// Duke Math. J. 1977. V.44. P.883-892.

127. Widom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere//Adv. in Math. 1979. V.31. P.63-66.

128. Winstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential//Duke Math.G. 1977. V.44. P.883-892.

129. Yilrey P.,Branson P. The asymptotics of the Laplaccian on a manifolds with boundary//Comm. in Partial Diff.Equations. 1990. V.15, N2. P.245-272.

130. Zoll O. Uber Flachen mit Scharen geschlossener geodatischer Linien//Math. Ann. 1993. V.57. P.108-133.

131. Дубровский В. В., Торшина О. А. Об одном из вопросов теории возмущений// Четвертая Всеросийская научная internet конференция "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках". Тамбов. 2002. Вып. 17. С. 36.

132. Дубровский В. В., Торшина О. А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра//Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 2002. N 9. Т. 7. С. 4-10.

133. Дубровский В. В., Торшина О. А. Формула первого регуляри-зованного следа для дифференциального оператора Лапласа -Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. 2002. N 1. С. 9 -19.

134. Дубровский В. В., Торшина О. А. Формула регуляризованного следа для дифференциального оператора в частных производных //Тез. докл. Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2002. С. 69-70.

135. Торшина О. А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ. Математика. 2003. В. 4. С. 183 -215.

136. Торшина О. А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского университета. Математика, механика, информатика. 2003. Серия 3. С. 178 192.

137. Торшина О. А. Регуляризованный след эллиптического дифференциального оператора// Деп. ВИНИТИ. 2003. N 60-2003. 52 с.

138. Dubrovskiu В. В., Torshina О. A. The regularized trace of the Laplase-Beltrami operator on a projective plane// Ill-posed and inverse problems: Inter. Conf., Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics. 2002. P. 51.

139. Torshina O. A. The first regularized trace of the Laplace — Beltrami perfubed operator on a projective plane // Nonlinear partial differential equations: Inter. Conf., Donetsk. 2003. P. 212.