Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Пузанкова, Евгения Александровна

• Пузанкова, Евгения Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пузанкова, Евгения Александровна

Введение

1 Оценка разности спектральных функций для степени оператора Лапласа

1.1 Необходимые определения и утверждения.

1.2 Свойства собственных чисел степени оператора Лапласа

1.3 Оценка разности спектральных функций.

2 ГЛАВА. Обратные задачи спектрального анализа для оператора Лапласа

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тр

2.3 Обратные задачи спектрального анализа и интерполяция по JI. Карлесону.

2.4 Восстановление потенциала в обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в пространстве R2.

2.5 Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом в пространстве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных»

Диссертация посвящена решению прямых и обратных задач спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных: изучению спектральной функции и получению формулы первого регуляризованного следа для возмущенной степени оператора Лапласа, а также решению обратной задачи спектрального анализа для этого оператора.

Актуальность проблемы. Многие вопросы математической физики приводят к проблеме спектрального анализа дифференциальных операторов, то есть к исследованию спектра и разложению заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих "прямых" задач квантовой механики.

Характерным подходом в исследовании спектра является изучение асимптотики спектральной функции и вычисление регу-ляризованных следов дифференциальных операторов. Хорошо известно, что сумма собственных значений матрицы легко вычисляется и равна сумме диагональных элементов. В классической работе В.Б. Лидского [44] установлено, что матричный след совпадает со спектральным следом у ядерных операторов. Его доказательство основано на s-числах операторов и методах теории функций комплексного переменного. Возникает вопрос об аналоге этих теорем для неограниченных операторов. В этом случае спектральный и матричный следы оператора не существуют. Поэтому возникает понятие так называемых "регуляризованных следов". Проблема вычисления регуляризованных следов восходит к работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [8], опубликованной в 1953 г. Они рассмотрели оператор Штурма-Лиувилля, порожденный краевой задачей:

У"(Х) + = Ю/faO» ф

У(0) = У(тг) = 0, яе[0,тг], где q{x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [0,7г]. Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой

1 77 /1 /Ь = п2 + -/ 4{x)dx + O(jjj), (2)

В силу этого ряд (первый регуляризованный след оператора)

00 . i * £ Ып - гг - со), где со = - / q(x)dx сходится. И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном .в [8] была установлена следующая формула: f, 2 „ч i g(Q) + <?М /о\ l^Wn-n - Со) = -Со----. (3) n=l Z 4

В работе [12] Л.А. Дикого были вычислены регуляризованные следы регулярного оператора Штурма-Лиувилля высших порядков и исследована дзета-функция оператора. Затем в работе [13] им было показано, что формула (3) эквивалентна абстрактному равенству оо (цп - п - (<qvn, vn)) = 0, (4)

71=1 где скалярное произведение рассматривается в пространстве 7г], vn — собственные ортонормированные функции оператора, порожденного краевой задачей

-v"{x) = \v(x), v(0) = v(7r) =0, x€ [0,7г].

В 60-е годы теория регуляризованных следов регулярных обыкновенных дифференциальных операторов была практически завершена работами В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [46], [45], [60]. Им удалось вычислить регуляризованные следы произвольных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений любых порядков со сложным вхождением параметра. Приведем условия, при которых достигается результат, полученный в этих работах.

Пусть / — целая функция, которая при каждом целом h > 0 допускает представление вида f(z) = IleQk2Pkh(zh к=0 ' где ak — комплексные постоянные, а

Pkh(z) ~ гп* £ №z~v + o(znk~h) v=0 при z 0. Здесь га* — некоторые целые числа, а Д^ ф 0. Числа ak и pW называют параметрами асимптотики функции /. Предполагается, что комплексную плоскость можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Pkh являются аналитическими при \z\ > С. Функции / с описанными выше свойствами называются функциями класса К.

Функции класса К возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр Например, в краевой задаче для дифференциального уравнения Qi(*>z) dJ-i + ''' + = 0> 0 < ® < 1, • коэффициенты которого имеют вид к ajt(z, z) = zK Yj z Jajy(®)i к — 1, n, j=о с граничными условиями, которые также полиномиально зависят от 2: mj

Uj(y) = z г"Щ(у) = 0, j = 1,п, и=0 где Uj — линейные формы вида:

Щ(у) = E{a^(fc-1](0) + bvjkyW(l)} + Г a]{x)y{x)dx. к=1 О 6

Если коэффициенты уравнения и функции сЦ(х) бесконечно дифференцируемы по х, а также ajto(x) имеет вид а*о(:г) = с*о • т(х) к = 1,п), где г (я) > 0 и многочлен р( А) = Ап + сюА"~Ч-----\-Cno не имеет кратных корней, то уравнение для определения собственных чисел задачи имеет вид f(z) = 0, где / £ К. Существенно, что при этом параметры асимптотики / явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных условий.

В работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [46], [45] построен метод, позволяющий находить m-ый регуляризованный след — суммы вида y:\zt - Am(i)]=sm, i где zi — корни функции / (т.е. собственные числа краевой задачи), Ат(1) — некоторые вполне определенные числа, обеспечивающие сходимость рядов, т — любое натуральное число. Однако применяемые здесь методы существенно используют простую асимптотику решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта проблематика получила в работах В.А.Садовничего и его учеников [66], [67].

Значительно менее исследованными являются классы операторов, содержащие дифференцирование по нескольким переменным. Различные результаты в этом направлении были получены в работах А.Г. Костюченко [32], М.Г. Гасымова [6], В. Гийемина [84]. Трудность задачи состоит в том, что для уравнений с частными производными резольвента имеет сложное строение и трудно точно описать целые функции, корнями которых являются собственные числа и потому неизвестна точная асимптотика всех собственных чисел. В работах В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [64], [15], [16] предложен подход к проблеме следов через поправки теории возмущений. С помощью методики, предложенной М.Г. Гасымовым в работе [6], можно вычислять регуляризованные следы дискретных самосопряженных операторов, используя их спектральную функцию. Пусть М — область в Rn, пусть А — самосопряженный эллиптический оператор порядка т на М, такой что главный символ flm(z,£)>0 при. f^O, тогда оператор А полуограничен снизу [81]. Обозначим через Xj его собственные значения, занумерованные в порядке возрастания (с учетом кратности), а через vj(x) — соответствующие собственные функции, образующие ортонормированную систему. Спектральной функцией оператора А назовем функцию ж,у, Л) = £ Vj(x)vj(y). \j<\

Проблеме вычисления асимптотики спектральной функции дифференциальных и псевдодифференциальных самосопряженных операторов посвящены работы многих математиков: [43], [49],[31],[77].

Асимптотика спектральной функции самосопряженного эллиптического оператора в Е" изучалась JI. Хёрмандером [77]. Им показано, что спектральная функция оператора А удовлетворяет неравенству

Q{x,x,X)-{27r)-n J d£\ < СА2^1, Л>1, хеМ, ат(х£)<Х где постоянная С не зависит от а; и А. В работах В.А. Садовниче-го и В.В. Дубровского [17], [18], [62], [63] изучено асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженного оператора с дискретным спектром с применением методов теории возмущений. Пусть на области М задан полуограниченный снизу самосопряженный дискретный оператор Т, действующий в Н = L2(M,dx), где dx — мера Лебега, Р — самосопряженный ограниченный оператор в Я. Предположим, что собственные числа оператора Т удовлетворяют асимптотике Ап = Спа + О(п^), где а > (5 > О, С > 0. Обозначим через vn соответствующие им ортонормированные собственные функции, через ип — собственные ортонормированные в Я функции оператора Т+Р, отвечающие собственным числам fin. В предположении, что |г/п(ж)| < Cn7, х € М, а ип(х) — ограничены на М (не обязательно в совокупности), в работе [63] доказано, что если А € (АПт + ||Р||, Anm+i - ||Р||) и а > 3/2, то lim ||0r+p(®, У, А) - вт(х, у, А)||2 = 0, (5)

А—» со где Эт+р и ©г — спектральные функции операторов Т и Т + Р, соответственно.

Поскольку практический интерес в квантовой механике представляют операторы, полученные из оператора Лапласа в результате "малого" возмущения, требуется получить асимптотику спектральной функции^ а также регуляризованный след для данного оператора. Однако полученный результат (5) переносится только на степень оператора Лапласа а > 3/2. Естественным образом встает задача о нахождении асимптотики спектральной функции и регуляризованного следа для степени оператора Лапласа как можно более близкой к единице.

Наряду с "прямыми" задачами, важную роль играют обратные задачи спектральной теории дифференциальных операторов. Обратные задачи квантовой механики, например, такие как определение внутриатомных сил по заданным уровням энергии, то есть по спектру (который может быть найден экспериментально), приводят к обратной задаче спектрального анализа. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по тем или иным его спектральным характаристи-кам: спектрам (при различных граничных условиях), спектральной функции распределения, и другие. Центральное место в исследовании указанных задач занимают проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание "эффективных" методов их решения. Что касается проблемы существования, то до настоящего времени нет критериев глобального решения этого вопроса, что связано со значительными трудностями в исследовании уравнений, как правило нелинейных, к которым сводятся обратные задачи. Следует заметить, что вообще говоря, многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности некорректных обратных задач является выявление дополнительных условий, накладываемых на решения, обеспечивающих их единственность.

Наиболее полно изучены методы решения некорректных задач, записываемых в форме операторных уравнений первого рода: Ки — /. Однако при решении некорректных задач для дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, оператор К, получаемый при сведении задачи к операторному уравнению первого рода, оказывается слишком сложным. Поэтому требуются методы, которые учитывают дифференциальную специфику таких задач. Такие методы регуляризации краевых задач рассмотрены в монографиях В.К. Иванова, И.В.Мельниковой, А.И.Филинкова [28],[87].

Наиболее полные результаты в теории обратных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

-У"(х) + q{x)y{x) = Ху(х), у'(а) - hy(a) = 0, 2/(6) + Ну(Ь) = О б) в случае, когда функция q(x) непрерывна на конечном отрезке [а, 6]. Собственные числа этой задачи образуют счетную последовательность {Аи}^! с единственной точкой сгущения +оо. Соответствующие им собственные функции vn{x) всегда можно нормировать условием

Обратная задача Штурма-Лиувилля ставится следующим образом. Известна спектральная функция'распределения р{А) задачи (6), требуется найти q(x). Функция р{А) — это неубывающая, кусочно-постоянная функция, определенная на всей числовой оси А и такая, что р{—оо) = 0, она постоянна для А, заключенных между двумя соседними собственными числами Ani и Лп, и в точке лп имеет конечный скачок, численно равный ||г>п||2> где ||г;п|| — норма в L2[a, b] функции vn(x), подчиненной условиям (7). Таким образом, две последовательности чисел {Ап}^ и {||^n||}£Li полностью определяют функцию р(А).

Обратные задачи для дифференциальных операторов (6) исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, И.М. Гель-фанда, Б.М. Левитана, М.Г. Крейна , Н. Левинсона, В.А. Марvn{a) = 1, v'n(a) = h.

7) ченко, В.А. Садовничего, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других, (см.[82], [83], [7], [8], [34], [86], [73])

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Ам-барцумяну Им доказано, что если собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

-у" + q{x)y = Ay (q{x) е С[0, тг]), уЩ = у'(п) = О, суть А„ = п2, п = 0,1,2,., то q(x) = 0. Однако, в общем случае один спектр оператора Штурма-Лиувилля функцию q (то есть оператор) не определяет, поэтому результат В.А. Амбарцумяна является исключением из общего правила. Г. Боргом в работе [83] показано, что два спектра оператора Штурма-Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют. Вскоре Н. Левинсон в работе [86] предложил более простые доказательства некоторых результатов Г. Борга. Эффективному построению оператора Штурма-Лиувилля по двум спектрам посвящена работа [40] Б.М. Левитана, М.Г. Гасымова. В 1952 году в работе [47] В.А. Марченко был получен следующий результат: спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля (заданного на полупрямой или на конечном промежутке) однозначно определяет оператор. В работе [7] И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана был указан метод восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции распределения /)(А) и указаны достаточные условия для того, чтобы заданная монотонная функция являлась спектральной функцией распределения оператора Штурма-Лиувилля (на прямой или на конечном промежутке). В дальнейшем работа И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [7] послужила образцом для эффективного решения других обратных задач. Полностью теория обратной задачи Штурма-Лиувилля изложена в монографиях Б.М.Левитана [39], Б.М. Левитана, И.С. Саргасяна [41], В.А. Марченко [49].

Обратным задачам для уравнений с частными производными и их приложениям посвящено достаточно много работ. В многомерном случае обратные задачи исследовались Ю.М.Березанским, А.М.Бухгеймом, М.М.Лаврентьевым, Л.П.Нижником, В.Г.Романовым и др. (см.[1], [2], [3], [37], [56]).

В [61] В.А. Садовничим и В.В. Дубровским доказана теорема единственности решения обратной задачи для абстрактных операторов только по одному спектру и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа , заданного на прямоугольнике П с потенциалом из £г(П). К этой работе по своей тематике и методам примыкает работа [23]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных по максимуму функций. В [24], [26] разработан метод восстановления потенциала и доказана его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим в £г(П) краевую задачу:

Ти = Ли, и |зп= О, где Т = —А — оператор Лапласа, dli — граница прямоугольника П = {(ж, у) | 0 < х < а, 0 < у < Ь}, (р- — иррациональоо но). Введем оператор Тр =

J A0dE(\) ( Е(А) — спектральное раз-о ложение единицы, порожденное оператором Т) и обозначим через Vkmn (к,тп,п = 1,2,.) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям А*тп, расположенным в порядке возрастания. Обозначим dk = min — AJ. Пусть Р — оператор умножения на функцию (назовем ее потенциалом) р G С'(П), удовлетворяющую условиям р(а - х, у) = р(х, у) = р(а?, 6 - у), (х, у) Е П, (9) п а п т,п = 0,1,., оо). (10) ее ^тгтгьзс tt 2 '/г ли

JJ Р(я> у) cos-dxdy = J J p(x, у) cos —-—dxdy = 0,

N N

Если p > 3, ^Jt1 < 00 и E Iffc - < Ce (N < оо), с некоторой k=i k=i константой С, то в замкнутом шаре С/(0, е) = {р(х,у) : ||р||оо < е} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям (9), (10), и такой, что числа являются собственными значениями оператора Тр+Р. Если же в качестве оператора возмущения Р рассмотреть оператор умножения на функцию р £ £г(П), удовлетворяющую условию (9) и условию fjp(x,y)dxdy = О, (11) п то при (3 > 2,5, для последовательности чисел = + Qrn + fin + 7тпп, такой, что £ ЫЧ £ |АР)* < ( £ |7mn|2)' < *2, m=l n=1 7 m,n=l ' где = Ji(£:), = 62(e), в шаре C/(0,£r) = {p(x,y) : ||p||2 < e] существует единственный потенциал, удовлетворяющий условиям (9),(11) и такой, что числа & являются собственными значениями оператора Тр + Р. Таким образом, как и в "прямых" задачах, важным является решение обратной задачи для степени оператора Лапласа как можно более близкой к единице. Цель работы,

1. Исследовать асимптотику спектральной функции оператора Тр + Р, заданного на квадрате или на равнобедренном прямоугольном треугольнике П и действующего в пространстве 1/2(П), для /3, возможно более близкого к единице.

2. Вычислить первый регуляризованный след для оператора Тр+ Р.

3. Решить задачу восстановления потенциала только по одному спектру возмущенной степени оператора Лапласа при j3 > 1, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле.

4. Обобщить задачу восстановления потенциала только по одному спектру возмущенной степени оператора Лапласа на N—мерный параллелепипед.

Метод исследования. В диссертационной работе используются методы теории возмущений, спектральной теории операторов, различные методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного.линейных операторов. Различные методы теории возмущений основаны на изучении систем, слабо отклоняющихся от некоторой более простой системы, которая исследована полностью. Свое развитие эта теория получила в работах Т.Като [30], М.Рида и Б. Саймона [57] и др.

Пусть А и В — самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, До — изолированная m-кратная точка спектра оператора A, d — расстояние от До до остального спектра А. Хорошо известна формула теории возмущений

00

А + еВ)-1 = A~l Z (-1 )кек{ВА~1)к (12) к=о

Проекционый оператор на подпространство собственных функций оператора А, отвечающих точке До, имеет вид где Г — кривая в комплексной плоскости, пересекающая действительную прямую в точках Xo—d/2, Xo+d/2. При достаточно малом е проекционный оператор Р\0{А + еВ) имеет размерность т и

Рх0(Л + еВ) = ±-f(A - АД)"1 [В(А - A£)"f d\

13) где 7 — окружность с центром Ао и радиусом d/2. Следовательно, собственные значения оператора А + еВ внутри 7 и соответствующие собственные функции совпадают с собственными значениями и собственными функциями оператора

А + eB)±J(A - AS)"1 E(-1)V [В{А - XE)~l]kd\, (14) который можно рассматривать на подпространстве размерности т. Таким образом, задача сводится к отысканию собственных функций и собственных значений симметрической матрицы порядка т. Полученные ряды для собственных функций и собственных значений оператора А + еВ называют рядами теории возмущений. В данной работе будет рассматриваться только случай, когда спектр оператора А дискретный.

Краткое содержание диссертации. Данная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пузанкова, Евгения Александровна, 2003 год

1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

2. Бухгейм A.JI. Многомерные обратные задачи спектрального анализа// ДАН СССР. 1985. Т.284, N1. С.21-24.

3. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

5. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

6. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов // ДАН СССР. 1963. Т.150, N6. С.1202-1205.

7. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции.// Изв.АН СССР, сер. мат. 1951. Т.15. С.309-360.

8. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка //ДАН СССР. 1953. Т. 88, N4. С. 593-596.

9. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

10. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

11. Данфорд Н., Щварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

12. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке //Изв. АН СССР, сер. матем. 1955. Т.19, N 4. С. 187-200.

13. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля //УМН. 1958. ТЛЗДЗ. С. 111-143.

14. Дубровский В.В. Асимптотика собственных чисел дискретных операторов // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1978. Т.4. С. 627-631

15. Дубровский В.В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных //Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 40-44.

16. Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самосопряженных эллиптических дифференциальных оператороввторого порядка //Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N 11. С. 1995-1998.

17. Дубровский В.В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов дискретных операторов //Вести АН БССР. 1987, N 3. С.46-50.

18. Дубровский В.В., Нагорный А.В. К оценке разности спектральных функций дискретных операторов в L2.// Вестн. Мое. ун-та. Сер 1. Математика, механика. 1988, N 5. С.44-47.

19. Дубровский В.В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой.//Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, N12. С.2046-2051.

20. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообрази-ях.//Дифференц.уравнения. 1991. Т.27, N12. С.2164-2166.

21. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана.// УМН. 1991. Т.46, N 3. С. 187-188.

22. Дубровский В.В. К асимптотике спектральной функции дифференциальных операторов в LP(M).// Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, N 1. С.69-75.

23. Дубровский В.В. Теорема существования в обратной задаче спектрального анализа //Дифференциальные уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N 12. С. 1702-1703.

24. Дубровский В.В., Нагорный А.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом //Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, N 9. С.1563-1567.

25. Дубровский В.В., Нагорный А.В. Устойчивость решения обратных задач //Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, N 5. С.839-843.

26. Дубровский В.В., Нагорный А.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из Ь2 //Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, N 9. С.1552-1561.

27. Дубровский В.В., Печенцов А.С. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 5. С. 852-858.

28. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально- операторные уравнения и некорректные задачи. М.:Физматгиз, 1995.

29. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир,1967.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

31. Костюченко А.Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального оператора порядка 2т //ДАН СССР. 1966. Т. 168, N 2. С. 276-279.

32. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов //Матем. заметки. 1967. T.l, N 3. С. 365-378.

33. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов /4-я летняя мат. школа //Киев: Наукова Думка. 1968. С. 42-112.

34. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. Т.76. С.315-318

35. Крейн М.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

36. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: ГТТИ, 1933.

37. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциалных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

38. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

39. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

40. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам.// УМН. 1964. Т.19, N 2(116).С.3-63.

41. Левитан Б.М., Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.I

42. Левитан Б.М., Саргсян И.О. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.- М.: Наука, 1988.

43. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении по собственным функциям самосопряженного уравнения второго порядка Н.//Изв. АН СССР, сер. матем. 1955. Т.19. С.33-58.

44. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след //ДАН СССР. 1959. Т. 125, N 3. С. 485-487.

45. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций //Функциональный анализ и его приложения. 1967. T.l, N 2. С.52-59.

46. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций //ДАН СССР. 1967. Т. 176, N 2. С.259-262.

47. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории обномерных линейных дифференциальных операторов II порядка, I// Труды Моск.матем.об-ва, 1952. T.l. С.327-420.

48. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка.// ДАН СССР. 1950. Т.72, N 3. С.457-460.

49. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1977.

50. Мельникова И.В. Связь между задачами Дирихле и Коши // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N 2. С.311-316.

51. Мельникова И.В. Решение обратной задачи Коши методом квазиобращения// Изв. вузов. Математика. 1981. N 6. С36-38.

52. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве.// Изв. вузов. Математика. 1986. N 8. С.46-52.

53. Мельникова И.В. Корректные и некорректные задачи для дифференциально операторных уравнений в банаховых пространствах. Дис. докт.физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1988.

54. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

55. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

56. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

57. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982.

58. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

59. Садовничий В.А. Теорема единственности решения обратной задачи спектрального анализа в случае дифференциального уравнения с периодическими граничными условиями //Дифферент уравнения. 1973. Т.9, N 2. С.271-277.

60. Садовничий В.А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1974. Т.10, N4. С. 1276-1285.

61. Садовничий В.А., ДубровскийВ.В. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром //Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 7. С.1206-1211. .

62. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Нагорный А.В. Асимптотика спектральной функции дискретного операто-ра.//Дифференц. уравнения. 1989. Т25, N 5. С1340-1344.

63. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Нагорный А.В. Асимптотика спектральной функции оператора с дискретным спектром в 1Л//Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1991. Вып. 16. С.182-185.

64. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере S2 //ДАН СССР. 1991. Т.319, N1. С.61-62.

65. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризо-ванный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным.// ДАН. 2000. Т.373, N 1. С.26-28.

66. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа //Дан СССР. 1981. Т.256, N4. С. 794-798.

67. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов //Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, N1. С. 109116.

68. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

69. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т2. М.: ИЛ, 1961.

70. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.// ДАН СССР. 1943. Т.39, N5. С.195-198.

71. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

72. Фадцеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа ШтурмаЛиувилля //ДАН СССР. 1957. Т. 115, N 5. С. 878-881.

73. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.// УМН. 1959. Т. 14, N4. С.57-119.

74. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

75. Хачатрян И.Г. О восстановлении дифференциального оператора по спектру //Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т.10, N I. С.93-94.

76. Хёрмандер JT. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.2.(Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами) М.: Мир, 1986.

77. Хёрмандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. ТЗ(Псевдодифференциальные операторы). М.:Мир, 1987.

78. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980.

79. Шестопал А.Ф. Разложения по фундаментальным решениям эллиптических операторов. Киев: Наукова думка, 1968.

80. Шестопал А.Ф. Геометрия оператора Лапласа. Киев.: Выща шк., 1991.

81. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

82. Ambarcumian V.A. Ueber eine Frage der Eigengwerttheorie // Zeits.f. Phisik. 1929. N53. S. 690-695.

83. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertauf-gabe // Acta Math. 1946. Bd.78, N 1. S.l-90.

84. Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the тг-sphere //Adv. math. 1978. V.27, N 3. P. 273286.

85. Ivaniec H. On the divisor and circle problems // Journal of number theory, 1988. N 29. P.60-63.

86. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidssk.B. 1949. P. 25-30.

87. Melnikova I., Filinkov A. Abstract Cauchy problems // Chapman & Hall/CRC monographs and surveys in pure and applied math-cs, 2001. N120.

88. Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Оценка разности спектральных функций степени оператора Лапласа, заданного на треугольнике, в Lp при 1 < р < 2// ДАН. 1999. Т.365, N 3. С.311-313.

89. Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуляризованных следов степени оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате, в LP, 1 < р < 2.// Дифференц. уравнения. 1999. Т.35, N 4.C. 1-4

90. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом.// ДАН. 1999. Т.367, N 3. С.307-309.

91. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике.// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, N12. С. 1695-1698.

92. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Дубровский В.В.-мл., Пузанкова Е.А. О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа.// ДАН. 2001. Т.380, N 4. С.462-464.

93. Пузанкова Е.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом в пространстве RN.// Деп. в НИИ ВО 27.02.02 N18-2002. 8с.